MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa arvostelussa käytettävistä kriteereistä päättää tutkintoaineen sensorikunta. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti. Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty symbolista laskinta, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä laskimella saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan laskimesta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi. Matematiikan koe, lyhyt oppimäärä 3.3.06
OsaA-osa A. :n derivaatta on Osa A. x:n derivaatta on x :n derivaatta on x f (x) =4x + x + x =5x x 4x +=0 joten x =. Idea toiseen potenssiin korottamisesta 7 < 3 =9 x +9> x 3x < 9 joten 3 <x< 3 Jussi on käyttänyt sääntöä (0a + b)(0c + d) = 0c 0a + 0cb + 0ad + bd, joka on pätevä. 3. ( piste/kohta) Sanallinen muoto 3 A Lausekkeen, 3 arvo on,3 3,3,33 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l 5 000 l C Luvuista 6 3, 7 ja 6 suurin on 6 6 6 3 7 3 D Luvun a b vastaluku on b a a - b a b E Yhtälön x 3x 0 juurten summa on 3 4 5 F Tuotteen hinta nousee ensin 0 % ja laskee sitten 0 %, joten lopullinen hinta on alkuperäisestä hinnasta. 99 % 00 % 0 % Kohta A B C D E F Vaihtoehdon 3 numero 4. Seuraavat seikat ilmenevät kuviosta f () = 0 f on vähenevä f on symmetrinen pisteen suhteen (esimerkiksi piiretty y = x) g kasvaa välillä [0, 3] g vähenee välillä [ 3, ] g on alaspäin kaartuva (eli konkaavi) (esimerkiksi piiretty y = x(3 x)) Matematiikan koe, lyhyt oppimäärä 3.3.06
B-osa 5. Kesäkuussa 006 indeksi oli 0,7 ja kesäkuussa 00 se oli 09,7, joten lasketaan 09,7 0,7, 079, eli nousua oli 7, 9%. Vuokraa on korotettu viimeksi tammikuussa 04 vastaamaan joulukuun 03 indeksiä; siten riittää, että verrataan indeksejä syyskuussa 0 ja joulukuussa 03, 9,, 049. 4, Vuokra oli noin 54/, 049 50 euroa kuukaudessa. 6. Lasketaan palojen pinta-ala. Kerrotaan pinta-ala paksuudella, jolloin saadaan tilavuus, sekä tiheydellä, jolloin saadaan paino. Em. askeleet oikein suoritettu, vastaus, 76 kg. (3 00 cm 3 oikein, p.) Hahmotelma, miten palat sopivat yhteen: sisäleveydestä, -korkeudesta ja -syvyydestä vähintään oikein (p.o. 0, 0 ja 4 cm). Ulottuvuuksien tulo, joka on 400 cm 3. 7. Ensimmäinen numero voidaan valita viidellä eri tavalla, seuraava voidaan valita neljällä tavalla, sitten kolmella ja lopuksi kahdella tavalla, mahdollisuuksia on siis 5 4 3 = 0. Koodeja ilman numeroa 9 on 4 3 =4kappaletta. Lista 4 koodista. Näistä vain 375 ja 573 kelpaavat. (Päätelty, että ensimmäinen/viimeinen numero ei voi olla /7, + p.) 8. Kyseessä on eksponentiaalinen kasvun malli 40 t/8 joten CRP voi kuudessa tunnissa nousta enintään arvoon 40 6/8 67, 3. Väheneminen noudattaa eksponentiaalista mallia 00 ( )t/9 joten ratkaistaan yhtälö 00 ( )t/9 log 0 = 0 josta t = 9 log 63= 4 + 5, joten pitoisuus voidaan saavuttaa torstaina klo 03:00. Matematiikan koe, lyhyt oppimäärä 3.3.06
9. Selvitetty suorien L ja L yhtälöt. Selvitetty suorien L ja L leikkauspiste. Selvitetty suorien L ja L 3 leikkauspiste. Selvitetty suorien L ja L 3 leikkauspiste tai huomattu graafista, ettei sitä tar- vita. Yritetty laskea arvot em. pisteissä sekä pisteissä (0, 0), (, 0) ja (0, 3). Oikeista arvoista valittu oikein suurin ja pienin funktion arvo 4 ja. TAI Päätelty, että funktion suurin arvo saavutetaan, kun x on suurin mahdollinen (eli ) ja y pienin mahdollinen (0) eli f(, 0) = 4 ja funktion pienin arvo saavutetaan, kun x on pienin mahdollinen (0) ja y suurin mahdollinen (3) eli f(0, 3) =. Osa B B-osa 0. Perintö kuuluu kategoriaan 40 000 60 000, joten veron määrä on 700 + 0, (58 000 40 000) = 3 680 (euroa). Veroprosentti on 3 680/58 000 6, 3%. Kuvaaja on kasvava. Nivelkohdat (0 000, 0, 5), (40 000, 4, 5) ja (60 000, 6, 5) oikein. Kuvaaja konkaavi väleillä 0 000 40 000 ja 40 000 60 000, ja derivaatassa epäjatkuvuus kohdassa 40 000. Kuvaajasta ilmenee euroja prosenttien sijaan. max p.. cos saa kaikki arvot välillä ja, joten cos(x)+suurin arvo on += ja pienin arvo on +=0. sin saa kaikki arvot välillä [, ], joten A sin(x) saa kaikki arvot välillä [ A, A], joten A sin(x)+b saa kaikki arvot välillä [ A + B,A + B]. b-kohdassa vain suurin ja pienin arvo - p.. Vähintään kaksi kohtaa oikein. Kaikki kohdat oikein. Taulukoidut pisteen oikein merkitty. Pisteet yhdistetty suoralla. Suoran kulmakerroin on, joka vastaa muuttujan t eksponenttia. Suora leikkaa y-akselia kohdassa, joka vastaa kertoimen logaritmia lg 0. Matematiikan koe, lyhyt oppimäärä 3.3.06
3. Odotusaika oikein vähintään yhdessä nollasta poikkeavassa tapauksessa (esim. kerros K, 5 sekuntia). Odotusaikaa on laskettu oikean periaatteen mukaisesti suurimmassa osassa tapauksia (ainakin 5 kerrosta). Kaikki odotusajat oikein (ks. alla). Kerroksia, joissa odotusaika on yli sekuntia, on siis 7 ja jokaisessa todennäköisyys hissin tilaukselle on 0, 05, joten kokonaistodennäköisyys yli sekunnin odotukselle on 7 0, 05 = 0, 75. Kerroksissa, 8 ja 6 odotusaika on 0 s. Kerroksissa K,, 7, 9, 5, 7 odotusaika on 5 s. Kerroksissa 3, 6, 0, 4, 8 odotusaika on 0 s. Kerroksissa 4, 5,, 3, 9 odotusaika on 5 s. Kerroksissa ja 0 odotusaika on 30 s. Kerroksia, joissa odotusaika on yli sekuntia on siis 7. Matematiikan koe, lyhyt oppimäärä 3.3.06