Kosmologia Kosmologia tutkii maailmankaikkeutta kokonaisuutena: -laajeneminen -ainesisältö -alkuhetket -kohtalo Kosmologia käsittelee avaruuden aikakehitystä: yleisen suhteellisuusteorian sovellus suurimpaan mahdolliseen systeemiin. Kosmologiassa ei tehdä kokeita, ainoastaan havaintoja! Pitkään kosmologia oli epätarkkaa ( often wrong, but never in doubt ), mutta tilanne on muuttunut viimeisen 20 vuoden aikana. 1
Mikroaaltotausta: COBE 1992 Kiertoradalle 1989 Havainnot julki 1992 Nobel-palkinto 2006: Mather ja Smoot Kolme instrumenttia: DIRBE: pölyä ja galakseja FIRAS: CMB:n spektri DMR: CMB:n anisotropia 2
Mikroaaltotausta: COBE 1992 FIRAS: CMB:n spektri DMR: CMB:n anisotropia the COBE-project can also be regarded as the starting point for cosmology as a precision science (http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2006/info.pdf) 3
Mikroaaltotausta: WMAP 2003 4
Mikroaaltotausta: Planck 2013 http://sci.esa.int/science-e/www/object/index.cfm?fobjectid=47333 5
Suuren mittakaavan rakenne arxiv:astro-ph/0604561, Nature 440:1137.2006 6
Tyypin Ia supernovat 7
8
9
10
Kosmologian aikakaudet t ( E -2 ) E Tapahtuma 14 Gyr 10-3 ev tänään 10 Gyr 10-3 ev laajeneminen kiihtyy (pimeä energia?) 400 Myr 10-2 ev reionisaatio 40 Myr 10-1 10-2 ev ensimmäiset rakenteet 400 000 yr 0.1 ev valo ja aine eroavat 50 000 yr 1 ev materia saa säteilyn kiinni 3-30 min 0.1 MeV Big Bang Nucleosynthesis 10-4 10-5 s 100 MeV QCD-faasitransitio (?) 10-11 s 100 GeV sähköheikko faasitransitio (?) 10-13 10-36 s 10 3 10 16 GeV baryogenesis? 10-13 10-36 s 10 3 10 16 GeV inflaatio? 10-13 10-42 s 10 3 10 19 GeV kvanttigravitaatio? 11
Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-malli Friedmann 1922, Lemaître 1927, Robertson ja Walker 1935: Malli, jossa maailmankaikkeus on paikan suhteen 1) Homogeeninen ja 2) Isotrooppinen Homogeenisuus ja isotrooppisuus ovat riippumattomia ominaisuuksia! Esimerkiksi sähkömagnetismissa vakiosähkökenttä on homogeeninen, mutta ei isotrooppinen. Toisaalta paikallaan olevan pistevarauksen sähkökenttä on isotrooppinen, mutta ei homogeeninen. Matemaattinen tosiseikka: jos avaruus on isotrooppinen ainakin kolmen pisteen suhteen, niin se on myös homogeeninen. 12
Friedmann(-Lemaître)-Robertson-Walker-malli Havainnot: avaruus statistisesti homogeeninen ja isotrooppinen Malli: avaruus eksaktisti homogeeninen ja isotrooppinen 13
Friedmann(-Lemaître)-Robertson-Walker-metriikka Yleisin mahdollinen eksaktisti homogeeninen ja isotrooppinen metriikka: ds 2 =!c 2 dt 2 + a(t) 2 " $ K 1+ # 4 r2 2 % (dx2 + dy 2 + dz 2 ) ' & =!c 2 dt 2 + a(t) 2 dr "1! 2 Kr + % $ 2 r2 d( 2 ' # & avaruuden kaarevuus universumin skaalatekijä Aika-avaruuden kaarevuudella on FRW-metriikassa kaksi puolta: 1) Avaruuden kaarevuus ( ulkoinen kaarevuus ), jota kuvaa vakio K 2) Avaruuden laajeneminen ( sisäinen kaarevuus ), jota kuvaa funktio a(t) 14
Friedmann(-Lemaître)-Robertson-Walker-metriikka Siivun t=t 0 =vakio (eli avaruuden) metriikka: ds 2 = a(t 0 ) 2! # K 1+ " 4 r2 2 $ (dx2 + dy 2 + dz 2 ) & % = a(t 0 ) 2 dr!1' 2 Kr + $ # 2 r2 d( 2 & " % Kolme vaihtoehtoa: 1) K=0: euklidinen avaruus (ääretön): tasainen eli laakea 2) K>0: kolmiulotteinen pallopinta (äärellinen): suljettu 3) K<0: kolmiulotteinen hyperbolinen pinta (ääretön): avoin 15
Friedmann(-Lemaître)-Robertson-Walker-metriikka K=0: kolmiulotteinen euklidinen avaruus ds 2 =!c 2 dt 2 + a(t) 2 (dr 2 + r 2 d! 2 + r 2 sin 2!d" 2 ) K>0: kolmiulotteinen pallopinta ds 2 =!c 2 dt 2 + a(t)2 K (d! 2 + sin 2!d" 2 + sin 2! sin 2 "d# 2 ) K<0: kolmiulotteinen hyperboloidi ds 2 =!c 2 dt 2 + a(t)2 K [d! 2 + sinh 2!(d" 2 + sin 2 "d# 2 )] 16
Maailmankaikkeuden kinematiikkaa: paikkaetäisyydet Rajoitutaan tapaukseen K=0. ds 2 =!c 2 dt 2 + a(t) 2 (dx 2 + dy 2 + dz 2 ) =!c 2 dt 2 + a(t) 2 ( dr 2 + r 2 d" 2 ) Etäisyys pinnalla t=vakio: l = a(t)x Etäisyydet venyvät ajan mukana: maailmankaikkeus laajenee Laajenemisnopeuden kertoo Hubblen parametri H =! a(t) a(t) 17
Maailmankaikkeuden laajeneminen Etäisyys pinnalla t=vakio: l = a(t)x Näennäinen nopeus, jolla pisteet etääntyvät toisistaan:!l =!ax = Hax = Hl Hubblen laki Hubblen parametrin tämänhetkinen arvo: H 0 = (74 ± 4) H 0 = (62 ± 5) km s! Mpc km s! Mpc 18
Entäpä valon kulku? Rajoitutaan tapaukseen K=0. ds 2 =!c 2 dt 2 + a(t) 2 (dx 2 + dy 2 + dz 2 ) =!c 2 dt 2 + a(t) 2 ( dr 2 + r 2 d" 2 ) Valolle ds 2 = 0 Kaikki suunnat samanarvoisia: tarkastellaan liikettä x-akselin suunnassa: 0 =!c 2 dt 2 + a(t) 2 dx 2 " dx = c dt a(t) " #x = $ dx = c x x 0 t $ t 0 dt a(t)! d = a"x = ca(t) t # t 0 dt a(t) 19
Maailmankaikkeuden kinematiikkaa: valon kulku ds 2 =!c 2 dt 2 + a(t) 2 (dx 2 + dy 2 + dz 2 ) =!c 2 dt 2 + a(t) 2 ( dr 2 + r 2 d" 2 ) Valolle ds 2 = 0 d = ca(t) t! t 0 dt a(t) Jos a(t)=vakio, saadaan l=ct. Jos avaruus laajenee, valo kulkee ajassa t pidemmän tai lyhyemmän matkan kuin ct! 20
Punasiirtymä Kaikkien hiukkasten liikemäärä hiipuu laajenemisen myötä: Fotoneilla on vain liike-energiaa: E = pc = hc! = hf p!1/ a Fotonien taajuus pienenee ja aallonpituus venyy:!! a E! f!1/ a Määritellään punasiirtymä: z!! hav "! läh! läh #1+ z $1/ a Punasiirtymä on käytännöllinen kosmisen ajan mittari. Spektriviivoista voidaan päätellä λ läh. 21
ds 2 =!c 2 dt 2 + Dynamiikka a(t) 2 " $ K 1+ # 4 r2 Avaruus saattaa laajeta tai supistua tai olla staattinen. Mikä näistä tapahtuu, eli mikä on funktio a(t)? Tarvitaan liikeyhtälö: Einsteinin yhtälö 2 % (dx2 + dy 2 + dz 2 ) ' & 22
Maailmankaikkeuden dynamiikkaa Yleisessä suhteellisuusteoriassa on kaksi osaa: 1) Gravitaatio on aika-avaruuden geometrian ilmentymä 2) Einsteinin yhtälö G!" = 8#G c 4 T!" FRW-metriikka + Einsteinin yhtälö = FRW-yhtälöt 23
Energia-impulssitensori Einsteinin yhtälö kertoo, miten aine ja geometria vuorovaikuttavat, mutta ei sitä, millaista ainetta on olemassa. Ainetta kuvaa energia-impulssitensori, joka FRW-malleissa on " $ $ T!" = $ $ $ #!#(t) 0 0 0 0 p(t) / c 2 0 0 0 0 p(t) / c 2 0 0 0 0 p(t) / c 2 % ' ' ' ' ' & Kaksi vapausastetta: energiatiheys ρ ja paine p Uutta verrattuna Newtonin teoriaan: 1) massatiheys energiatiheys 2) myös paine toimii gravitaation lähteenä 24
Friedmann(-Lemaître)-Robertson-Walker-yhtälöt FRW-metriikka ja energia-impulssitensori syötetään Einsteinin yhtälöön: G!" = 8#G c 4 T!" 3! a 2 a 2 = 8!G N c 4 "! 3 K a 2 a 3!! a =! 4!G N c 4 a!! + 3! " $ a! + p # c 2 " $ " + 3 p # c 2 % ' = 0 & % ' & 25
Friedmann(-Lemaître)-Robertson-Walker-yhtälöt 3! a 2 a 2 = 8!G N c 4 "! 3 K a 2 a 3!! a =! 4!G N c 4 a!! + 3! " $ a! + p # c 2 " $ " + 3 p # c 2 % ' = 0 & % ' & FRW-yhtälöt määräävät maailmankaikkeuden kehityksen. Kolme vapausastetta: a(t), ρ(t), p(t) Kolme yhtälöä, mutta yksi näistä voidaan johtaa muista kahdesta. Tarvitaan vielä tilanyhtälö, joka liittää p:n ja ρ:n toisiinsa. (Eli kertoo, millaista aine on.) 26
Maailmankaikkeus on dynaaminen 3! a 2 a 2 = 8!G N c 4 "! 3 K a 2 a 3!! a =! 4!G N c 4 a!! + 3! " $ a! + p # c 2 " $ " + 3 p # c 2 % ' = 0 & % ' & Jos K=0 tai K<0, maailmankaikkeus ei voi olla staattinen. Jos K>0 ja p>0, maailmankaikkeus ei voi olla staattinen. 27
Kosmologinen vakio Kun Einstein huomasi, että hänen kenttäyhtälönsä ennustavat joko laajenevan tai romahtavan universumin, hän päätti lisätä yhtälöihin termin, joka pitäisi maailmankaikkeuden staattisena. G!" = 8#G c 4 T!" G!" = 8#G c 4 T!" +!g!" kosmologinen vakio Hubble osoitti 1929 galaksihavainnoilla, että universumi todella laajenee. Tällöin Einstein kertoman mukaan kutsui kosmologista vakiota pahimmaksi munauksekseen. (Vuodesta 1998 alkaen on kuitenkin näyttänyt siltä, että kosmologista vakiota saatetaan tarvita. Palaamme tähän pian!) 28
Hubblen laki v=hl Maailmankaikkeus laajenee! (Huom: y-akselin yksiköt ovat km/s!) 29
Maailmankaikkeus laajenee ahdistaako? 3! a 2 a 2 = 8!G N c 4 "! 3 K a 2 + " a 3!! a =! 4!G N c 4 a!! + 3! # % a! + p $ c 2 # %" + 3 p $ c 2 & ( = 0 ' & (+ " ' Jos K>0 ja p=0, on olemassa sellaiset yksi ratkaisu, jolla maailmankaikkeus on staattinen tämä on Einsteinin universumi. Kosmologinen vakio on repulsiivinen, ja se kumoaa energiatiheyden gravitaatiovetovoiman. Tämä ratkaisu ei kuitenkaan ole stabiili pienille häiriöille. 30
FRW-yhtälöiden ratkaisuja 3! a 2 a 2 = 8!G N c 4 "! 3 K a 2 a 3!! a =! 4!G N c 4 a!! + 3! " $ a! + p # c 2 " $ " + 3 p # c 2 % ' = 0 & % ' & FRW-yhtälöt määräävät maailmankaikkeuden kehityksen. p = w!c 2 Otetaan tilanyhtälöksi, missä w = vakio > -1. Kolmannesta yhtälöstä saadaan 1 d!! dt =!3(1+ w) a! a "! # a!3(1+w) 31
FRW-yhtälöiden ratkaisuja Otetaan K=0: a 3! 2 a = 8!G N 2 c 4 1 2 # a (1+3w) da!±dt "! a "3(1+w) 3(1+w) # a!(t " t 0 ) = t 2 2 3(1+w) Valitaan positiivinen merkki: avaruus laajenee Skaalatekijä menee nollaan äärellisen ajan päässä menneisyydessä, ja tiheys divergoi: alkuräjähdys (big bang)! Kysymys Mitä oli ennen alkuräjähdystä? ei tarkoita mitään. (Vrt. Mitä on etelänavasta etelään? ) 32
Kohti alkua a!= t 2 3(1+w) Etäisyydet skaalautuvat tekijällä a: l = a(t)x Lähestyttäessä alkua kaikki pisteet lähestyvät toisiaan, ja avaruuden tilavuus pienenee. Hetkellä t=0 avaruuden tilavuus on määrittelemätön (nolla kertaa ääretön) tapauksissa K=0 ja K<0, ja nolla tapauksessa K>0. Mutta maailmankaikkeudesta näkee yhä pienemmän osan alkua lähestyttäessä (kun w>-1/3)! t dt d = ca(t)! = a(t) t 0 3+ 3w 1+ 3w ct " ct t#0 $ $$ # 0 Horisontti 33
Realistisia ratkaisuja a 3! 2 a = 8!G N 2 c 4 "! a "3(1+w) a!= t 2 3(1+w), w " p /! Säteily (massattomat tai relativistiset hiukkaset, varhainen maailmankaikkeus): p = 1 3!c2!! " a #4, a "= t 1 2 Pöly (massiiviset hiukkaset, galaksit): p = 0!! " a #3, a "= t Kosmologinen vakio (tai tyhjön energia) 2 3 p =!!c 2 "! = vakio, a # e Ht 34
Todellinen maailmankaikkeus (?) 3! a 2 a 2 = 8!G N c 4 (" pöly + " säteily + " tyhjö ) = 8!G N c 4 (" säteily,0 a!4 + " pöly,0 a!3 + " tyhjö,0 ) Maailmankaikkeus on varhain säteilyn dominoima, sitten pölyn ja lopulta tyhjön energian ehkä! Tällä hetkellä tavallisimman tulkinnan mukaan aineesta noin 10-4 on säteilyä, 25% epärelativistista materiaa ja 75% tyhjön energiaa. a 3!! a =! 4!G N c 4 " $ " + 3 p # c 2 % ' & Laajeneminen kiihtyy kun paine on tarpeeksi negatiivinen! 35
Pimeä energia (?) Energiatiheydestä 30% epärelativistista ainetta ja 70% tyhjön energiaa. Onko tämä kummallista?! aine! a "3,! tyhjö = vakio! tyhjö! 3! aine Tänään. Mikroaaltotaustan syntyaikaan tyhjön energian suhde on 10-9 kertaa pienempi, tulevaisuudessa se on paljon suurempi. Elämme erikoista aikaa: yhteensattumaongelma (coincidence problem). 1) Pimeä energia? 2) Yleinen suhteellisuusteoria ei päde? 3) Homogeeninen ja isotrooppinen approksimaatio ei päde? Kosmologian suurin mysteeri 36
Yleinen suhteellisuusteoria summa summarum - Aika-avaruus on dynaaminen, sitä kuvaa metriikka ds 2 = g!" (t, x)dx! dx " - Metriikan määrää Einsteinin yhtälö G!" [g!" ] = 8#G c 4 T!" (aine) - Gravitaatio ei ole voima: energia, paine jne. kaareuttavat avaruutta - Kappaleet liikkuvat suoraviivaisesti kaarevassa avaruudessa: liike näyttää suoraviivaisessa koordinaatistossa kaarevalta -Erityisesti: valo liikkuu valonkaltaista geodeettia: ds 2 = 0-2 tärkeintä ratkaisua (Minkowski-avaruuden jälkeen): Schwarzschild ja FRW 37
1) Schwarzschildin ratkaisu ds 2 =!c 2 " 1! r s $ # r % 'dt 2 + dr2 & 1! r s r + r 2 d( 2 -Staattinen avaruus pallosymmetrisen massan M ulkopuolella -Schwarzschildin säde r s = 2GM / c 2 - Tapahtumahorisontin sisäpuolella aika ja radiaalikoordinaatti vaihtavat rooleja - Tapahtumahorisontin takaa ei ole paluuta, putoaminen keskipisteen singulariteettiin - Ulkopuolisen havaitsijan mielestä tapahtumahorisontin läpi putoaminen kestää äärettömän kauan - Ulkopuolisen mielestä horisontilla kaikki tapahtuu äärettömän hitaasti ja signaalit ulos punasiirtyvät äärettömän paljon 38
2) Friedmann-Robertson-Walker-universumi ds 2 =!c 2 dt 2 + a(t) 2 " $ K 1+ # 4 r2 2 % (dx2 + dy 2 + dz 2 ) ' & -Homogeeninen ja isotrooppinen avaruus: kosmologinen malli -Kaksi kaarevuuden puolta: avaruuden kaarevuus K ja Hubblen parametri H(t) -Hubblen laki v = Hl -Ennustaa maailmankaikkeuden äärellisen iän, ja varhaisen kuuman vaiheen (kosminen mikroaaltotausta!) -Maailmankaikkeudesta nähdään vain äärellinen osa: horisontti - Realistisessa ratkaisussa mukana säteily + pöly + tyhjön energia varhainen laajeneminen hidastuu, myöhäinen kiihtyy 39
Yleisen suhteellisuusteorian tuolle puolen Yleinen suhteellisuusteoria ei ole viimeinen sana! SIsäinen ongelma: singulariteetit: alkujärähdys, musta aukko,... Lisäksi: kvanttifysiikka ja yleinen suhteellisuusteoria eivät ole sopusoinnussa! Yleinen suhteellisuusteoria on deterministinen, mutta aika-avaruus on dynaaminen. Kvanttifysiikka on epädeterminististä, mutta aika-avaruus on staattinen. Ongelmat tulevat esille Planckin skaalalla: M P hc = 1.22 10 GeV / c G 19 2 Tarvitaan kvanttigravitaatioteoria! Toistaiseksi paras kandidaatti: säieteoria Tervetuloa Modernin fysiikan kurssille! 40