5.9. Harmoninen värähdysliike

5.9. Harmoninen värähdysliike 5.9.1. Hahmottava lähestymistavan mukainen opetusrunko Peruskäsitteet. Harmoniseen värähdysliikkeeseen liittyvät peruskäsitteet ovat harmoninen voima, amplitudi, rata, taajuus, ja jaksonaika. Perushahmotus. Mekaaninen värähtelijä on kappale, joka pyrkii palaamaan tiettyyn paikkaan, tasapainoasemaan, mikäli kappale siirretään pois tästä asemasta. Mikäli kappaleen liikettä vastustavat voimat eivät ole liian suuria, tasapainoasemastaan poikkeutettu ja irti päästetty kappale jää värähtelemään, ts. toistamaan jaksollista liikettä. Jos palauttava voima kohdistuu kohti tasapainoasemaa ja on verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta, voimaa kutsutaan harmoniseksi. Tällaisia voimia ovat jousivoima pienillä jousen venymillä, ja heilurin punnukseen kohdistuvan kokonaisvoiman radan suuntainen komponentti pienillä heilahduskulmilla. Idealisointi. Tarkastellaan yhdessä ulottuvuudessa tapahtuvaa värähdysliikettä. Kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa tapahtuvan liikkeen rekisteröimiseen soveltuva laitteisto on kaupallisesti saatavana (V-Scope; ominaisuudet kts. esim. [57 s. 7 73]), mutta se lienee liian kallis koulukäyttöön. Jousen varassa värähtelevän punnuksen tapauksessa jätetään jousen massa huomioimatta. Heilureista tarkastellaan vain ns. matemaattista heiluria hyvin vastaavaan todellista heiluria. Matemaattinen heiluri on teoreettinen malli, jossa on painottoman ja venymättömän langan varassa riippuva massapiste. Lisäksi tarkastelu rajoitetaan pieniin heilahduskulmiin. Suureet, lait. Jaksonaika on harmoniselle värähtelijälle ominainen vakio, joka ei riipu värähtelyn amplitudista. Harmonisen värähdysliikkeen radan laki on y() t = A sin( π t T ), jossa A on värähtelyn amplitudi (maksimipoikkeama tasapainoasemasta) ja T on värähtelyn jaksonaika. Jousesta ja punnuksesta koostuvan värähtelijän jaksonajan laki on T = π m k, jossa k on jousivakio ja m punnuksen massa. Yksinkertaiselle heilurille vastaava laki on T = π l g. 5.9.. Tietokoneavusteisten demonstraatioiden niveltyminen opetukseen Tarkastellaan aluksi luonnossa ja erilaisissa laitteissa ilmeneviä värähdysliikkeitä. Tällaisia ovat mm. puun huojuminen tuulessa, kellon heilurin liike ja soittimen kielen värähtely. Mekaaniseen värähtelyyn tarvitaan värähtelevä kappale ja kappaleeseen kohdistuva voima, joka pyrkii palauttamaan kappaleen tasapainoasemaansa. Todetaan, että värähdysliikettä kuvaavat liikkeen jaksonaika T (jonka käänteisarvo on liikkeen jaksonaika; f=1/t ) ja liikkeen laajuus eli amplitudi A. 13

Harmoninen värähtelijä. Seuraavaksi tutkitaan yksinkertaista värähtelijää, jousen päähän kiinnitettyä kappaletta. Käytetään kappaleena ilmatyynyradalla vaakasuoraan kitkatta liikkuvaa vaunua, johon on kiinnitetty kevyt venyvä ja puristuva jousi. Vaunuun ei vaikuta muita liikeen suuntaisia voimia kuin jousen jousivoima. Kiinnitetään jousen toinen pää voima-anturiin. Koska jousi on kevyt, jousen anturiin kohdistama voima on miltei yhtäsuuri jousen vaunuun kohdistaman voiman kanssa. Asetetaan mittausjärjestelmä mittaamaan voimaa ja vaunun paikkaa. Poikkeutetaan vaunua tasapainoasemasta ja mitataan voima. Todetaan voiman kohdistuvan kohti tasapainoasemaa, ja olevan verrannollinen poikkeamaan: F = ky, jossa k on jousen jäykkyyttä kuvaava vakio, jousivakio. Poikkeutetaan vaunu tasapainoasemasta, päästetään irti ja rekisteröidään vaunun paikka y ajan funktiona. Verrataan funktion y = y(t) kuvaajaa tietokoneella piirrettyyn sinifunktion kuvaajaan, todetaan kuvaajien samanmuotoisuus. Rata on siis ilmeisesti muotoa y() t = A sin bt, jossa A on maksimipoikkeama tasapainosta ja vakio b määrää taajuuden. Olkoon yhden jakson aika T. Aikavälin 0 t T täytyy vastata väliä 0 bt π, joten b = ( π ) T ja y() t = A sin( π t T ). Toistetaan koe eri amplitudeilla ja määritetään taajuus. Todetaan, että amplitudi ei vaikuta jaksonaikaan. Muita jaksonaikaan vaikuttavia tekijöitä ovat ilmeisesti jousivakio ja vaunun massa. Esikvantifioivilla kokeilla erilaisilla jousilla ja punnuksilla todetaan massan kasvattamisen suurentavan, jousivakion kasvattamisen pienentävän jaksonaikaa. Varioidaan vaunun massaa ja määritetään värähtelyn jaksonaika. Piirretään pisteet ( m,t )-koordinaatistoon; todetaan niiden asettuvan origon kautta kulkevalle suoralle. Toistetaan koesarja pitäen vaunun massa vakiona ja 1 k, T -koordinaatistoon, jossa ne asettuvat varioiden jousivakiota. Piirretään pisteet ( ) origon kautta kulkevalle suoralle. Tulokset osoittavat verrannollisuuden T ~ m k. Määritetään verrannollisuuskerroin piirtämällä pisteet ( m k, T )-koordinaatistoon. Pisteet asettuvat origon kautta kulkevalle suoralle, jonka kulmakerroin π. Siis T = π m k, ja y() t = A sin ( k m t). Rekisteröidään yhtä aikaa vaunun kiihtyvyyttä ja vaunuun vaikuttavaa voimaa. Todetaan, että myös voiman kuvaaja on sinimuotoinen. Tämä on ilmeistä, koska voima on verrannollinen poikkeamaan tasapainosta. Toisaalta vaunu noudattaa liikeyhtälöä F = ma. Osoitetaan tämä piirtämällä yhtä aikaa em. mittauksen datoista ensin yhtaikaa kuvaajat F = F() t ja a = a() t, sitten pisteet ( a, F ). Näiden pisteiden havaitaan asettuvan suoralle, jonka fysikaalinen kulmakerroin on vaunun massa. Asettamalla liikeyhtälöön voimaksi harmonisen voiman lauseke, saadaan yhtälö ky = ma, joka ratkaisemalla päädytään samaan radan lausekkeeseen kuin yllä. Tämä vaatii differentiaaliyhtälön ratkaisemista, joka ei sisälly lukion matematiikkaan. Mikäli oppilaat eivät laajan fysiikan 3. kurssia opiskeltaessa vielä ole opiskelleet differentiaalilaskentaa, ei voida osoittaa että aiemmin saatu radan yhtälö toteuttaa liikeyhtälön. Tässä tapauksessa osoittaminen jää 3. luokan kertausvaiheeseen, jolloin oppilaat myös tuntevat kiihtyvyyden määrittelyn paikan. derivaattana. Ei-harmoninen värähtelijä. Tutkitaan ei-harmonista värähdysliikettä. Tällainen on esimerkiksi V:n muotoisessa kourussa edestakaisin kulkevan kuulan 14

liike. Palauttavan voiman itseisarvo on nyt vakio. Havaitaan, että värähdystaajuus riippuu amplitudista. Yksinkertainen heiluri. Tarkastellaan yksinkertaisen heilurin punnukseen vaikuttavia voimia teoreettisesti. Olkoon langan pituus l ja poikkeama tasapainosta radan kaarta pitkin mitattuna s. Punnukseen vaikuttavat sen paino G r ja langan tukivoima N r. Tukivoima on aina kohtisuorassa rataa vastaan, joten se ei vaikuta radan tangentin suuntaiseen liikkeeseen. Painon tangentin suuntainen komponentti Ft = mgsinϕ, jossa ϕ = sl. Tämä on se palauttava voima, joka vaikuttaa värähdysliikkeeseen. Pienillä kulmilla sin ϕ ϕ, joten Ft = mg l s. Tämä on samaa muotoa kuin jousivoima F = ky, joten matemaattinen heiluri käyttäytyy pienillä heilahduskulmilla kuten harmoninen värähtelijä, jonka jousivakio on k = mg l. Matemaattisen heilurin radalle saadaan laki sbg t = s0 dgl ti, ja heilahtelujen jaksonajaksi T = π l g. Testataan ennuste mittaamalla heilurin jaksonaika eri langan pituuksilla. Piirretään mittaustulokset clt, h-koordinaatistoon, jolloin ne asettuvat origon kautta kulkevalle suoralle, jonka kulmakerroin on 4π g 4. 0. 5.9.3. Testatut demonstraatiot Harmoninen värähtelijä (1) Värähtelijän radan määritys () Jousivakion vaikutus jaksonaikaan (esikvantitatiivinen) (3) Massan vaikutus jaksonaikaan (kvantitatiivinen) (4) Kiihtyvyyden ja voiman yhteys Matemaattinen heiluri (5) Heilurin pituuden vaikutus jaksonaikaan 5.9.4. Demonstraatioiden järjestelyt Harmoninen värähtelijä. Koejärjestely voidaan toteuttaa kahdella tavalla. 1. Jousi kiinnitetään voima-anturiin tai statiiviin pystysuoraan, ja punnus ripustetaan jousen alapäähän. Värähtely tapahtuu pystysuorassa suunnassa.. Käytetään ilmatyynyrataa. Jousi kytketään liukuvaunuun, joka värähtelee vaakasuorassa. Jousen toinen pää kiinnitetään voima-anturiin tai statiiviin. Menetelmän 1 etuna on koejärjestelyn nopea pystytys sekä se seikka, että jouseen kohdistuva voima on pelkästään vetävä. Jousivakiota on helppo muuttaa käyttäen useita samanlaisia jousia rinnakkain. Menetelmän haittana on paikan tasapainoaseman muuttuminen jousivakiota ja punnuksen massaa muutettaessa. 15

Jousen ripustuspisteeseensä kohdistama voima ei ole sama kuin punnukseen kohdistuva nettovoima; jälkimmäisen selvittäminen vaatii punnuksen ja jousen painon vähentämisen. Punnus voi joutua häiritsevään vaakasuoraan heilahdusliikkeeseen, mikäli jousen ja punnuksen muodostaman heilurin värähtely on resonanssissa pystysuoran värähtelyn kanssa. Menetelmän etuna on paikan tasapainoaseman säilyminen vaunun massaa lisättäessä. Häiritseviä poikittaisia heilahteluja ei voi syntyä. Jousen kiinnityspisteeseen kohdistuva voima on myös (lähes) sama kuin vaunuun kohdistuva vaakasuora nettovoima. Koejärjestely on hitaampi pystyttää kuin menetelmässä 1. Jousen on oltava myös puristuva. Kahteen suuntaan toimivia sopivia jousia ei yleensä ole demovälinesarjoissa. Jousen nurjahtaminen (sivusuunnassa taipuminen) on estettävä, joten jousen kiinnitysten on oltava jäykät. Tämä aiheuttaa ongelmia jousien rinnakkain kytkemiseen. Käytetty menetelmä valittiin sen mukaan, minkä parhaiten katsottiin soveltuvat eri demonstraatioihin ja järjestelmien ominaisuuksiin. Kokeissa käytetyt jouset on esitelty taulukossa 3. Kaikki jouset ovat teräslangasta valmistettuja kierrejousia. Jousivakiot on määritetty kuormittamalla jousia viidellä eri voimalla s.e. maksimivenymä oli välillä 00 mm 300 mm. Jousivakion virhe on arvioitu venymän määrityksen ±1 mm mittaustarkkuudesta. Jousia A ja B käytettiin myös rinnan, jolloin yhdistelmän jousivakio olisi teoreettisesti yksittäisten jousivakioiden summa. Käytännössä näin ei aivan tarkkaan ole, koska jousien kierteet menevät limittäin ja jouset häiritsevät toistensa toimintaa. Rinnakkain kytkettyjen jousien jousivakiota ei ole kuitenkaan mitattu erikseen, koska se vaihtelee kytkentäkerrasta toiseen riippuen jousien keskinäisestä asennosta. jousi jousivakio [N/m] tyyppi A 3.40 ± 0.03 veto B 3.35 ± 0.03 veto C 31.8 ± 0.3 veto D 11.5 ± 0. veto ja puristus Taulukko 3 ULI- ja UIA-järjestelmiin kuuluu ultraääneen perustuva paikka-anturi. Tällä on mahdollista rekisteröidä värähtelevän kappaleen liikettä häiritsemättä. Menetelmä 1 toteutettiin näillä järjestelmillä käyttäen n. 50 g massaisia koukuilla varustettuja punnuksia sekä suhteellisen pienen jousivakion omaavia lähes samanlaisia jousia A ja B. Empirica -järjestelmän paikka-anturi on potentiometri, jonka akseliin on yhdistetty varsi. Tämä vaatii suuremman punnuksen ja jäykemmän jousen käyttöä, jotta potentiometrin kitkahäviöt eivät vaimentaisi värähtelyä liikaa. Empirican kanssa käytettiin jousta C ja n. 1 kg punnuksia. Menetelmässä (ilmatyynyradalla vaakasuorassa värähtelevä vaunu) oli rajoituttava käyttämään vain yhtä jousta (D). Kokeeseen käytetyn jousen on oltava sekä venyvä että puristuva. Tällaisten jousien saatavuus valmiina on huono. Empiricaja ULI-järjestelmien voima-antureissa vakiovarusteena olleet ripustuskoukut korvattiin puristinkiinnityksellä, joka pystyy välittämään myös työntävää voimaa. Jousen päihin tehtiin kiinnikkeet, jotka estivät jousen nurjahtamisen. 16

Kokeissa käytettiin Leybold-Heraeus -ilmatyynyrataa vaunuineen. Vaunun massa on n. 100 g, samoin vaunuun asennettavien lisäpunnusten. Radan osoittamisessa sinimuotoiseksi tyydytään kommentoimaan, miten se olisi mahdollista ohjelman omin keinoin tai muuten. Kuten jo aikaisemmin on todettu, kaikista ohjelmista voidaan siirtää dataa taulukkolaskentaohjelmaan. Ohjelmassa voidaan laskea vertailudata haluttua kaavaa käyttäen, ja piirtää sitten mittausdata ja vertailudata samaan koordinaatistoon. Olisi myös mahdollista käyttää pelkkään kuvaajien piirtämiseen tarkoitettua ohjelmaa. Esimerkiksi ilmaisohjelma Gnuplot osaa piirtää kuvaajat sekä suoraan annetusta funktiosta, että tiedostossa olevista datapisteistä. Jousivakion vaikutus värähdystaajuuteen tehtiin esikvantifioivana demonstraationa. Käytössä oli kaksi samanlaista kierrejousta (A ja B). Käytettiin värähtelijässä ensin yhtä, sitten kahta rinnakkain kytkettyä jousta, ja rekisteröitiin värähtelijän rata tai jousen kiinnityspisteeseen kohdistuva voima. Kun kuvaaja esitetään yhtä aikaa, jousivakion vaikutus näkyy esikvantifiointiin riittävällä tavalla. Värähdystaajuudet määritettiin mahdollisuuksien mukaan mittausohjelmien omilla välineillä. Taajuuden riippuvuus värähtelijän massasta, T m, osoitettiin piirtämällä pisteet cmt, h-koordinaatistoon. Missään kokeiltujen mittausjärjestelmien omissa ohjelmistoissa ei ollut tähän sopivia työkaluja. Tästä syystä data on kopioitu Excel-taulukkolaskimeen, jolla on suoritettu tarvittava laskenta ja kuvaajan piirtäminen. Yksinkertainen heiluri. Kokeissa käytettiin kuvan 114 esittämää heiluria. Se voidaan rakentaa tavallisista statiivikomponenteista ja teräsviivoittimesta, ja heilurin pituuden muuttaminen on helppoa. Heilurin V-muotoinen lanka (puuvillaa) kulki teräsviivoittimen reunan yli, joten langan pituus säilyi vakiona kulman muuttuessa, ja langan kitka oli pieni. Heilurin pituutta muutettiin kiertämällä lankaa pyöreän tangon ympärille. Heilurin pituus määritettiin mittaamalla langan ripustusreunan ja punnuksen painopisteen etäisyys pöydän pinnasta. Tämä rakenne sopii demokäyttöön. Harjoitustyökäytössä, jossa rakennelma voi olla puolikiinteästi samaan paikkaan pystytettynä, heiluri voidaan varustaa pitemmällä teräslangalla ja raskaammalla punnuksella. 17

teräsviivotin pyöreä tanko langat heilurin maksimipituus pituuden mitt. virhe punnuksen massa punnuksen halkaisija Taulukko 33. 850 mm ± mm 14 g 3.0 cm punnus Kuva 114. Mittauksissa ei ollut tarpeen rekisteröidä heilurin rataa, koska haluttiin määrittää vain heilahtelun taajuus. Heilurin liike rekisteröitiin valoportilla. Pyrittiin suorittamaan mittaus siten, että tuloksena on suoraan heilahdustaajuus. Valoportti asetettiin siten, että heiluri sulki portin heilahduksen ääriasennossa. Mittaustulosten käsittely oli täten yksinkertaisempaa kuin jos portti olisi sijoitettu heilahduksen keskikohtaan, jolloin olisi mitattu puolijakson aikoja. Tehtiin koesarja, jossa mitattiin heilurin jaksonaika viidellä eri langan pituudella välillä 0.1 m.. 0.9 m. Jaksonaika määritettiin vähintään kymmenen heilahdusajan keskiarvona. Verrannollisuus T ~ l osoitettiin piirtämällä pisteet clt, h- koordinaatistoon. Tämä ei ollut mahdollista minkään mittausjärjestelmän omilla tulostenkäsittelyvälineillä. Ko. toimenpiteitä varten data siirrettiin taulukkolaskimeen. 5.9.5. Järjestelmien esilletulevia ominaisuuksia punnuksen tai vaunun paikan mittaus liikettä häiritsemättä voiman mittaus valoportit jaksonajan määritys liikkeen kuvaajasta tai muulla tavalla jaksonajan määritys valoportin antamasta signaalista riippuvuuksien T m ja T ~ l osoittaminen 18

5.9.6. Empirica 5.9.6.1. Mekaaninen värähtelijä Empirican varusteisiin kuuluu voima-anturi ja mekaaninen, kiertyvään potentiometriin perustuva paikka-anturi, jota järjestelmän dokumentit kutsuvat siirtymäanturiksi. Tämän anturin liikkeelle aiheuttama kitka on niin suuri, ettei anturia voi käyttää ilmatyynyradalla tehtävissä kokeissa. Tästä syystä kokeet, joissa tutkittiin värähtelijän liikettä, tehtiin pystysuoraan ripustetulla jousella ja punnuksella. Koejärjestely on esitetty kuvassa 115. statiivi voima-anturi jousi siirtymäanturi punnus Kuva 115. Kuva 116. Empiricalla pitäisi periaatteessa olla mahdollista mitata yhtä aikaa punnuksen siirtymää ja jousen kiinnityspisteeseensä kohdistamaa voimaa. Kuitenkin osoittautui, että Empiricalla ei voi mitata luotettavasti yhtä aikaa voimaa ja siirtymää (kts. yhteenveto). Tästä syystä mitattiin erikseen siirtymää ja voimaa. Värähtelijän radan määritys. Mittaukseen käytettiin Empirica-ohjelman valintaa Anturit Fysiikka Siirtymä. Kokeissa käytettiin jousta C, ja 1 kg sekä kg punnuksia. Mittausajaksi asetettiin 8 s. Radan kuvaajat ovat kuvassa 116. Havaitaan, että siirtymäanturi aiheuttaa värähtelylle mekaanista vaimennusta. Jotta saataisiin aikaan tarpeeksi kauan kestävä värähtely, käytettiin suurehkon jousivakion omaavaa jousta ja raskaita punnuksia. Empiricassa ei ole välineitä radan sinimuotoisuuden osoittamiseen. Radan kuvaajan vertailu sinikäyrään on tehtävä ohjelma ulkopuolella. Tiedonsiirto GnuPlotohjelmaan ei onnistu suoraan, koska Empirica ei osaa tuottaa datasta puhdasta tekstitiedostoa. Jousivakion vaikutus jaksonaikaan. Empirican siirtymäanturin käyttö on mahdollista vain tarpeeksi jäykkien jousien kanssa. Tällaisia jousia ei ollut käytettävissä kahta samanlaista. Tästä syystä kokeissa käytettiin jousta A yksin sekä jousia A ja B rinnan. Värähdystaajuuksien esikvantitatiivinen vertailu tehtiin voima- 19

anturilla mitatuista jousen kiinnityspisteeseen kohdistuvan voiman F = F( t) -kuvaajista. Kuvan 117 ylempi kuvaaja on saatu jousella A, alempi kuva jousilla A ja B rinnan. Massan vaikutus jaksonaikaan. Kokeet tehtiin ilmatyynyradalla. Mitattiin jousen kiinnityspisteeseen kohdistuvaa voimaa. Voima-anturi kiinnitettiin ilmatyynyradan päähän. Jousi D kiinnitettiin vaunuun ja voima-anturiin. Voima-anturi oli Kuva 117 kalibroitu ennen mittauksia. Käytettiin 8 s mittausaikaa. Värähdysajat määritettiin Empirica-ohjelman toiminnolla Kuvaaja-Laske. Toiminto tuo kuvaajan päälle kaksi graafista kursoria, jotka asetettiin yhden värähdyksen alku- ja loppuhetken kohdalle. Ohjelma tulostaa tällöin jaksonajan. Jaksonajan määrityksen virhe on arvioitu kursorien avulla luettavan aikakoordinaatin resoluutiosta, joka on 0.0 s. Jaksonajat eri värähtelijän massoilla ovat taulukossa 34. Taulukossa on vertailun vuoksi myös teoreettiset jaksonajat. Verrannollisuuden T ~ m osoittaminen ei ole mahdollista Empiricalla. m, T -parit siirrettiin käsin taulukkolaskimeen, jossa piirrettiin kuvaaja Taulukon 34 ( ) ( m,t ) -koordinaatistoon (kuva 118). Havaitaan, että pisteet asettuvat suoralle, joka ei kulje aivan origon kautta. Tässä näkyy jousen massan vaikutus. Kiihtyvyyden ja voiman yhteys. Tämän demonstroiminen ei käytännössä ole m [g] T [s] T teor [s] 86.9 0.61±0.04 0.546 186.7 0.85±0.04 0.800 86.1 1.03±0.04 0.990 386.1 1.19±0.04 1.15 Taulukko 34. Empiricalla mahdollista seuraavista syistä: Siirtymäanturia ei voi käyttää ilmatyynyradalla. Paikan ja voiman yhtäaikainen mittaaminen aiheuttaa virheen voiman mittaustuloksiin. T^ [s^] Empirica ei laske kiihtyvyyttä siirtymäanturilla mitatusta paikkadatasta. 1.60 1.40 1.0 1.00 0.80 0.60 0.40 0.0 0.00 0 100 00 300 400 m [g] Kuva 118. 130

Yhteenveto ja lisähuomioita Empirican käytöstä mekaanisen värähtelijän tutkimiseen. Empirican ohjelmalla voidaan tarkastella yhtä aikaa kahta tai kolmea eri mittauksissa saatua siirtymän tai voiman kuvaajia. Tämä helpottaa esikvantifioinnissa suoritettavia vertailuja. Empiricalla voidaan kätevästi määrittää jousivakiot. Asetetaan statiivin tai ilmatyynyradan viereen viivoitin, ja käynnistetään voiman mittaus siten että riippuvuus on aktivoitu. Toiseksi suureeksi annetaan vaunun poikkeama tasapainoasemasta. Mitataan bg-pareja, yf, ja sovitaan ohjelmalla pisteisiin suora. Jousivakio on suoran fysikaalinen kulmakerroin. Empirican ohjelma pysähtyy ajonaikaiseen virheeseen joka kerran kun yhden voiman mittauksen jälkeen yritetään aloittaa toinen voiman mittaus. Tämä hidastaa mittaussarjojen tekemistä. Empiricalla pitäisi olla mahdollista mitata yhtä aikaa kahta suuretta. Liitäntäyksikössä on kaksi mittaustuloa A ja B, joihin pitäisi voida kytkeä yhtä aikaa kaksi anturivahvistinta. Voima-anturilla on oma anturivahvistin, mutta siirtymäanturi kytketään Mittausyksikköön. Anturivahvistimissa ja Mittausyksikössä on valintakytkimet, jotka asetetaan asentoon 1 tai sen mukaan onko laite kytketty tuloon A vai B. Käyttöohjeesta ei käy selvästi ilmi, pitäisikö anturivahvistin ja Mittausyksikkö olla mahdollista kytkeä Liitäntäyksikköön yhtä aikaa ilman sovittimia. Testattiin Mittausyksikön liittämisen vaikutusta voiman mittaukseen (taulukko 35). Testissä a) mitattiin voimaa yksinään mittaustulossa A olevalla voima-anturilla (anturivahvistimen kytkin asennossa 1). Testissä b) mitattiin myös voimaa yksinään, mutta Mittausyksikkö oli kytkettynä kanavaan B ja yksikön kytkin oli asennossa. Testissä c) mitattiin voimaa ja siirtymää yhtä aikaa, Mittausyksikkö oli kytkettynä kanavaan B ja yksikön kytkin oli asennossa. todellinen voima [N] Empiricalla mitattu voiman arvo [N] testi a) testi b) testi c) 0.0 0.0 1.71 1.69 4.9 4.93 5.69 5.5 9.8 9.89 9.3 9.38 14.7 14.8 13.34 13.48 19.6 19.75 17.56 17.77 Taulukko 35. Testit paljastavat, että Mittausyksikön kytkeminen B-kanavaan aikaansaa A- kanavalla mitatun suureen arvon vääristymisen. Testeissä b) ja c) siirtymäanturin vivun liikuttaminen ei vaikuttanut mitattuun voiman arvoon. Testeissä b) ja c) mitatut voiman arvot ovat lineaarisesti riippuvia todellisesta voimasta. Näin ollen olisi ilmeisesti mahdollista kalibroida voima-anturi erikseen sitä tilannetta varten, että myös siirtymäanturi on kytkettynä. Tätä ei kuitenkaan kokeiltu. 5.9.6.. Yksinkertainen heiluri Heilurin pituuden vaikutus jaksonaikaan. Käytettiin Empirican omaa valoporttia. Empirican ohjelmalla voi mitata yhden heilahduksen jaksonajan, tai 131

heilahtelun taajuuden määritettynä useista peräkkäisistä heilahduksista. Koska haluttiin saada useiden peräkkäisten heilahdusten jaksoaikojen keskiarvo, käytettiin taajuusmittausta. Ohjelmassa on kaksi mahdollisuutta: valinnalla "Hidas" ohjelma laskee taajuuden kymmeneen peräkkäiseen valoportin ohitukseen kuluneesta ajasta. Valinnalla "Nopea" ohjelma laskee taajuuden 1 s aikana tapahtuneista valoportin ohituksien lukumäärästä. Käytettiin "Hidas"-valintaa. Tehtiin mittaussarja siten että ohjelmassa oli kahden suureen välinen riippuvuus aktivoituna. Riippuvaksi suureeksi annettiin heilurin ripustuslangan pituus. Näin koko mittaussarja tallettui yhteen tiedostoon. Empiricalla on mahdollista tutkia jaksonaikaa tai taajuutta langan pituuden funktiona, ja perustella riippuvuus T ~ l. Esitetään tarkastelu tässä l, f -pisteiden kuvaajaan voidaan Empiricalla esimerkinomaisesti. Mittaussarjan ( ) 0.500-1 sovittaa potenssifunktio (kuva 119). Sovitettu funktio on f () l = 0.497 l m s, 1 0.500 joten T () l =.01 l m s. Tämä perustelee riippuvuuden T ~ l. Tarkastelu ei tällaisena ole kuitenkaan hahmottavan lähestymistavan mukainen, koska hahmottamisen kannalta on olennaista tarkastella lakeja verrannollisuuksina tai lineaarisina riippuvuuksina [30, s. 191]. l, f -data siirrettiin DIF-muodossa taulukkolaskimeen, jossa laskettiin pisteet (,T ) ( ) l ja piirrettiin niiden kuvaaja (kuva 10). Pisteisiin sovitetun suoran yhtälöksi saatiin taulukkolaskimen suoransovitustoiminnolla s T = ( 4.07 ± 0.06) l + ( 0.00 ± 0.03) s {17} m Kulmakerroin vastaa hyvin teoreettista arvoa 4π g = 4. 0. Yhtälön parametrien virhearvioiksi on otettu suoransovituksen niille laskemat keskivirheet. Virhearvioinnissa ei ole otettu huomioon heilurin pituuden ja heilahdusajan määritystarkkuuden vaikutuksia. 1 T^ [s^] 4.0 3.5 3.0.5.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 l [m] Kuva 119. Kuva 10. 13

5.9.7. UIA 5.9.7.1. Mekaaninen värähtelijä UIA-järjestelmään kuuluu ultraääneen perustuva paikka-anturi. Järjestelmään ei kuulu valmista voima-anturia. Näin ollen kokeissa mitataan pelkästään paikkaa. UIA:n paikkaa-anturi koostuu erillisistä lähettimestä ja vastaanottimesta. Lähetin kiinnitetään esineeseen, jonka paikkaa mitataan. Värähtelijän radan määrittäminen. Koe voidaan tehdä sekä ripustetulla punnuksella että ilmatyynyradalla. Tässä koe on tehty ilmatyynyradalla. Jousi D kiinnitettiin liukuvaunuun ja radan päähän asennettuun statiiviin. Paikka-anturin lähetin kiinnitettiin vaunuun sinitarralla. Vaunussa käytettiin kahta lisäpainoa. Näin varustetun vaunun massa oli 343 g. Vastaanotin kiinnitettiin statiivikouran avulla 3 cm radan yläpuolelle, 50 cm päähän vaunun tasapainokohdasta. Vastaanottimen ja radan väliin asetettiin 5 cm 0 cm muovilevy vähentämään ilmavirran kohinan aiheuttamia häiriöitä. Mittauksiin käytettiin Liikemittaus-osaa. Mittausaika oli 10 s, mittausalue 0.50 m ja paikan offset -0.5 m. Radan kuvaaja on kuvassa 11. IPC3-ohjelmistolla voidaan osoittaa mitattu käyrä ym = ym() t sinimuotoiseksi käyttäen Prosessointi-ohjelmaan sisältyvää käyränsovitustoimintoa. Tällä voidaan mittauspisteisiin sovittaa käyrä, joka on muotoa y s () t = asin ( bt + c) + d. Sovitus tapahtuu joko käsin antamalla parametreille arvoja ja liikuttamalla käyrää osoitinhiiren avulla koordinaatistossa, tai automaattisesti. Automaattisovituksen onnistuminen edellyttää, että parametreille on annettu ensin oikeaa suuruusluokkaa olevat lähtöarvot. Sovitetun käyrän yhtälö on 1 = 0.0591m sin 5.6656s t + 0.639 + 0.0038 {18} y s ( ) m Kuvassa 11 nähdään automaattisovituksella saatu käyrä, jota on siirretty hieman mittauspisteiden muodostaman käyrän yläpuolelle (pisteviiva). Alkuperäinen sovitettu käyrä on niin tarkasti mitatun käyrän päällä, ettei sovitettu käyrä erotu. Sovitettua käyrää voidaan liikuttaa osoitinhiiren avulla. Havaitaan että yhteensopivuus on hyvä, joten y = y () t on sinimuotoinen. m m 133

Kuva 11. Kuva 1. Jousivakion vaikutus jaksonaikaan. Tämä koe tehtiin pystysuoraan ripustetulla jousella, ja punnuksena käytettiin jouseen ripustettua paikka-anturin lähetintä yhdessä 50 g punnuksen kanssa. Lähettimeen kiinnitettiin kuparilankalenkki, josta lähetin voitiin ripustaa jouseen. Näin varustetun lähettimen massa oli 56 g, ja yhdistelmän massa oli 106 g. Mittauksiin käytettiin IPC3-ohjelmiston Liikemittaus-osaa. Asetukset olivat samat kuin värähtelijän radan määrityksessä käytetyt. Tehtiin kaksi mittausta. Jousena käytettiin ensimmäisessä mittauksessa jousta A yksin, toisessa mittauksessa jousia A ja B rinnan. Värähtelijän tasapainoasema asetettiin aina etäisyysmittauksen nollakohtaan. Näin siksi, että muuten molempien mittausten rataa olisi ollut vaikea saada pysymään valitun mittausalueen (-0.5 m 0.5 m) sisällä. Jos etäisyysmittauksen skaalaa vaihdetaan mittausten välillä, aikaisemman mittauksen data häviää näkyvistä. Kuvaajat ovat kuvassa kuvassa 1. Tässä esitetty kuva on koottu asettamalla Paintbrush- piirto-ohjelmaa käyttäen päällekkäin IPC3-ohjelmiston Prosessointiosassa erikseen piirretyt y = ybg-kuvaajat. t Vastaava kuva saadaan mittausvaiheessa Liikemittaus-ohjelmalla, mutta levylle talletetusta datasta ei useita kuvaajia sisältävää kuvaa voi IPC3-ohjelmiston omin keinoin piirtää. Kahta tai useampaa kuvaajaa ei voi analysoida yhtä aikaa. Massan vaikutus jaksonaikaan. Kokeet tehtiin ilmatyynyradalla käyttäen jousta D. Mittaukset yleinen toteutus ja Liikemittaus-ohjelman asetukset olivat samanlaiset kuin värähtelijän radan määrityksessä. Jaksonajat määritettiin y = ybg-kuvaajasta. t Ohjelmiston Prosessointi-osiossa poimittiin kuvaajalta 8 tai 10 jakson päässä toisistaan olevat pisteet käyttäen Muokkaus-Taulukko-Valitse lukemat -toimintoa. Jaksonaika laskettiin aikakoordinaateista ohjelman ulkopuolella. Jaksonaikojen virheet arvioitiin ajan mittauksen resoluutiosta 0.05 s. Tehtiin neljä mittausta (vaunu ja lähetin, 1, ja 3 lisäpunnusta). Mitatut värähdysajat ovat taulukossa 36. Taulukossa on vertailun vuoksi myös teoreettiset värähdysajat. 134

m [g] T [s] T teor [s] 144.0 0.75±0.01 0.704 43.8 0.95±0.01 0.917 343. 1.11±0.01 1.09 443. 1.3±0.01 1.3 Taulukko 36. T^ [s^] 1.60 1.40 1.0 1.00 0.80 0.60 0.40 0.0 0.00 0 100 00 300 400 500 m [g] Kuva 1. Verrannollisuuden T ~ m osoittaminen ei ole mahdollista IPC3-ohjelmistolla. m, T -parit siirrettiin käsin taulukkolaskimeen, jossa piirrettiin kuvaaja Taulukon 36 ( ) ( m,t ) -koordinaatistoon (kuva 1). Havaitaan, että pisteet asettuvat suoralle. Jousen massan vaikutus näkyy jälleen siitä, että suora ei kulje aivan origon kautta. Kiihtyvyyden ja voiman yhteys. Tämän demonstroiminen ei ole mahdollista IPC3-mittausohjelmistolla, koska sillä ei voi mitata yhtä aikaa ultraäänianturia ja analogisen jännitteen tuottavaan anturia käyttäen. UIA-mittausjärjestelmän dokumenttien mukaan yhtäaikaiselle mittaukselle ei ole teknistä estettä, ja dokumentoinnin avulla olisi mahdollista kirjoittaa mittauksen suorittava ohjelma. Järjestelmään ei kuitenkaan kuulu omaa valmista voima-anturia. Yhteenveto ja lisähuomioita UIA:n käytöstä mekaanisen värähtelijän tutkimiseen. Voima-anturin puuttuminen järjestelmästä saa aikaan sen, ettei UIAlla voida tutkia värähtelijän liiketilaa muuttavaa voimaa. Se, että vain yhden mittauksen data voi olla kerralla ohjelman muistissa, hankaloittaa esikvantifioivia tarkasteluja. Vain peräkkäin tehtyjen mittausten kuvaajat voivat olla esillä yhtä aikaa. Ilmatyynyradan ilmavirran kohina häiritsee helposti paikka-anturia. Häiriöitä voi vähentää sijoittamalla vastaanottimen alle levyn, joka estää ilmavirran osumisen vastaanottimeen. Lähetin ja vastaanotin kannattaa kiinnittää mahdollisimman korkealle radan pinnasta. Tässä pitää yrittää löytää radan, vaunujen ja lisäpainojen sallima kompromissi. 5.9.7.. Yksinkertainen heiluri Heilurin pituuden vaikutus jaksonaikaan. Koska UIA-järjestelmään kuuluvaa valoporttia ei ollut käytettävissä, käytettiin Griffin-ajanottojärjestelmän valoporttia. Vastaanotindiodi kytkettiin Mittauskonsolin 1 V jännitelähdön ja jännitemittaustulon välille. Mittauksiin käytettiin Demomittari-ohjelman Pulssiväli-toimintoa. Tehtiin viisi mittausta, kullakin mitattiin 10 heilahduksen ajat. Heilahdusajoiksi otettiin heilahdusaikojen keskiarvot. Keskiarvot voidaan laskea IPC3-ohjelman Prosessointi-osassa sovittamalla mittauspisteisiin suora. Tämän menetelmän hankaluutena on, ettei laskettuja keskiarvoja voida tallettaa eikä siirtää muihin ohjelmiin muuten kuin käsin. Tästä syystä jokaisen mittauksen data talletettiin DIF- 135

muodossa ja luettiin taulukkolaskimeen, jossa laskettiin heilahdusaikojen keskiarvot. Tulokset ovat taulukossa 37. Taulukkolaskimella piirrettiin myös kuvaaja clt, h- T^ [s^] 3.5 l [m] T [s] l = ±0.00m T = ±0.001s 0.143 0.768 0.37 0.9864 0.47 1.3149 0.69 1.5941 0.863 1.868 3.0.5.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 l [m] Taulukko 37. koordinaatistoon, kuva 13. Taulukkolaskimella sovitettiin kuvan 13 pisteisiin suora, jonka yhtälöksi saatiin s T = ( 4.03 ± 0.01) l + ( 0.010 ± 0.005) s {19} m Kulmakerroin vastaa erittäin hyvin teoreettista arvoa 4π g = 4. 0. Yhtälön parametrien virhearvioiksi on otettu suoransovituksen niille laskemat keskivirheet. Virhearvioinnissa ei ole otettu huomioon heilurin pituuden ja heilahdusajan määritystarkkuuden vaikutuksia. 5.9.8. ULI Kuva 13. 5.9.8.1. Mekaaninen värähtelijä ULIn varusteisiin kuluu ultraääneen perustuva paikka-anturi sekä voima-anturi. Mittauksiin käytettiin MacMotion 3.04 -ohjelmaa. Värähtelijän radan määritys. Koe tehtiin ilmatyynyradalla. Käytettiin jousta D. Vaunuun kiinnitettiin pystysuora 4 cm 4 cm kokoinen pahvilappu heijastimeksi. Paikka-anturi kiinnitettiin statiivikouralla 5 cm ilmatyynyradan yläpuolelle, 50 cm päähän vaunun tasapainoasemasta. MacMotion ohjelman etäisyysmittaus asetettiin siten, että vaunun värähdysliikkeen tasapainokohta oli sama kuin paikan nollakohta. Mittausaika oli 10 s, näytteenottotaajuus 0 Hz. 94 g massaisella vaunulla tehdyn kokeen ym = ym() t -kuvaaja on kuvassa 14. MacMotion-ohjelmassa ei ole keinoa osoittaa kuvaajaa sinimuotoiseksi. Tätä Kuva 14. 136

varten data on siirrettävä toiseen ohjelmaan. Toinen mahdollisuus olisi käyttää toista ohjelmaa (esim. taulukkolaskinta tai jollain ohjelmointikielellä kirjoitettua lyhyttä rutiinia) tuottamaan laskennallista dataa MacMotionin ymmärtämässä tekstisarakemuodossa. 1. sarakkeessa on tällöin aika t, ja. sarakkeessa sovitettava paikka y s () t = asin ( bt + c) + d. Sarakkeiden 3, 4 ja 5 MacMotion odottaa olevan vastaavasti v(t), a(t) ja F(t), mutta lasketussa datassa näissä sarakkeissa saa olla mitä tahansa lukuarvoja. Data luetaan MacMotioniin, kanavaan B, jolloin ym = ym()- t ja ys = ys() t -kuvaajia voidaan verrata. Muuttamalla datan tuottajaohjelmassa parametreja a, b, c ja d, saadaan sovitus paremmaksi. Tärkeää ei kuitenkaan ole tarkka sovitus, vaan ym ():n t osoittaminen sinimuotoiseksi. Jousivakion vaikutus jaksonaikaan. Koe tehtiin pystysuoraan ripustetulla jousella ja punnuksella. Mittausjärjestely on esitetty kuvassa 15. Laitteistossa oli mukana myös voima-anturi, vaikka sen tuottamaa dataa ei tässä kokeessa käytettykään hyväksi. Mikäli ilmatyynyrataa tai puristuvaa jousta ei ole käytettävissä, kuvan 15 esittämällä koejärjestelyllä on soveltaen mahdollista tehdä myös tässä ilmatyynyradalla toteutettuja demonstraatioita. Voima-anturi kiinnitettiin statiiviin. Jousi ripustettiin voima-anturin koukkuun. Punnukseen kiinnitettiin 4 cm pahvilevy ultraäänen heijastimeksi. Mittausaika oli 10 s, näytteenottotaajuus 0 s -1. Tehtiin mittaukset käyttäen jousta A yksin, sekä jousia A ja B rinnan. Punnuksen massa oli molemmissa tapauksissa 101 g. Radat ovat kuvassa 16. Etäisyysmittauksen offset-asetusta ei muutettu mittausten välillä, joten radoilla on eri tasapainokohdat. Jos mittauksille halutaan sama tasapainokohta (kuten kuvassa 1), tämä voidaan tehdä joko muuttamalla offset-asetusta tai säätämällä jousen ripustusta. voima-anturi statiivi jousi punnus paikkaanturi heijastuslevy Kuva 15. Kuva 16. Massan vaikutus jaksonaikaan. Kokeet tehtiin ilmatyynyradalla käyttäen jousta D. Mittauksen järjestelyt ja MacMotion-ohjelman asetukset olivat samat kuin värähtelijän radan tutkimisessa. Jaksonaikojen määritykset tehtiin ( t, y) -datan kuvaajien avulla. Ohjelman Data- Analyze Data -toiminto tuo koordinaatistoon kohdistimen, jonka avulla kuvaajalta voidaan lukea suureiden arvoja. Kohdistimen avulla kuvaajilta määritettiin 8 tai 10 137

värähdykseen kulunut aika. Taajuuksien virheet arvioitiin näytteenonottotaajuuden määräämästä ajan resoluutiosta 0.05 s. Tehtiin neljä mittausta (pelkkä vaunu, 1, ja 3 lisäpunnusta). Mitatut jaksonajat ovat taulukossa 38. Taulukossa on vertailun vuoksi myös teoreettiset jaksonajat. Verrannollisuuden T ~ m osoittaminen ei ole mahdollista MacMotionohjelmistolla. Taulukon 38 bg-parit mt, siirrettiin käsin taulukkolaskimeen, jossa piirrettiin kuvaaja cmt, h-koordinaatistoon (kuva 17). Jousen massan vaikutus näkyy jälleen siten että suora, jolle pisteet asettuvat, ei kulje aivan origon kautta. Kiihtyvyyden ja voiman yhteys. ULI on ainoa testatuista järjestelmistä, jolla m [g] T [s] T teor [s] 94.9 0.63±0.01 0.571 194.7 0.86±0.01 0.80 94.1 1.04±0.01 1.00 394.1 1.19±0.01 1.16 Taulukko 38. T^ [s^] voidaan tutkia värähtelijän liikesuureita ja jousen kiinnityspisteeseensä kohdistamaa voimaa samassa mittauksessa. Koe tehtiin ilmatyynyradalla. Järjestelyt olivat muuten samat kuin värähtelijän radan määrityksessä, mutta jousi kiinnitettiin nyt voimaanturiin, joka oli asennettu ilmatyynyradan päähän vaakasuoraan. Jousi ja voimaanturi olivat vaunun vastakkaisella puolella paikka paikka-anturiin nähden. Voimaanturiin kohdistuvan voiman oletetaan tässä kokeessa olevan yhtä suuri ja vastakkaissuuntainen jousen vaunuun kohdistaman voiman kanssa. Jotta mittaustulosten tulkinta olisi helpompaa, paikan ja voiman mittauksen positiiviset suunnat asetettiin toisilleen vastakkaisiksi, jolloin mittauksen antama voima on yhtä suuri ja samanmerkkinen vaunuun kohdistuvan voiman kanssa. Voima-anturi kalibroitiin ennen mittauksia 500 g punnuksella. Mittausaika oli 10 s, näytteenottotaajuus 0 Hz, keskiarvoistus kiihtyvyydelle 9 pistettä ja voimalle 3 pistettä. Vaunun massa oli 394.1 g. Käytettiin jousta D. Kuvaajat F = Fbgja t a = a() t ovat kuvassa 18, pisteiden bgkuvaaja a, F on kuvassa 19. 1.6 1.4 1. 1.0 0.8 0.6 0.4 0. 0.0 0 100 00 300 400 m [g] Kuva 17. 138

Pisteet ( F ) Kuva 18. Kuva 19. a, asettuvat likimain suoralle, jonka fysikaalinen kulmakerroin pitäisi dynamiikan peruslain mukaan olla vaunun massa. Kulmakerroin määritettiin lukemalla ohjelman analysointitoiminnon avulla pisteet ( a min, F min ) ja ( a max, F max ) ja laskemalla kulmakerroin näistä mittausohjelman ulkopuolella. Kulmakertoimeksi saatiin ( 0.4 ± 0.0)kg {0} Yhteenveto. ULI varustettuna paikka- ja voima-antureilla sekä MacMotionohjelmalla sopii hyvin mekaanisen värähtelijän tutkimiseen. Ohjelma mahdollistaa kuvaajien monipuolisen esittämisen. Paikka-anturi häiriintyy ilmatyynyradasta purkautuvan ilmavirran äänestä, jos anturi on liian lähellä radan pintaa. Ohjelmiston heikkoutena on sopivien analyysityökalujen puute. Ohjelma ei anna suoraan edes kahden kuvaajan pisteen aikaväliä. 5.9.8.. Yksinkertainen heiluri Heilurin pituuden vaikutus jaksonaikaan. ULI-mittausjärjestelmään kuuluvaa PASCO-valoporttia ei ollut käytettävissä, joten käytettiin Griffinajastusjärjestelmän vastaavaa komponenttia. Valoportin vastaanotinosa kytkettiin ULIn digitaalimittaustuloon, joka on TTL-logiikan mukainen. Kun valoa ei osu vastaanottimeen, sen valotransistori ei johda ja mittaustulon tila on looginen "1". Kun vastaanottimeen osuu valoa, johtava valotransistori kytkee mittaustulon maapotentiaaliin ja tila on looginen "0". Valoportti asetettiin siten, että heilahtava punnus sulki portin heilahduksen ääriasennossa. Ohjelmana käytettiin Event Timer -ohjelmaa, joka on tarkoitettu valoporteilla tapahtuvaan mittaukseen. Astettiin ohjelma mittaamaan kahden valoportin sulkeutumisen aikavälejä. Mittausajaksi asetettiin 30 s. 139

Kuva 130. Tehtiin mittaussarja viidellä heilurin pituudella. Kuvassa 130 ovat Event Timer -ohjelman graafinen ja numeerinen tulostusikkuna. Heilahduksen jaksonajoiksi T otettiin ohjelman antamien t-arvojen keskiarvo. Ohjelma ei tarjoa välineitä keskiarvon laskemiseen. Keskiarvo voidaan laskea. siirtämällä taulukkoikkunan sisältö Leikepöydän kautta taulukkolaskimeen, ja laskemalla siellä t-sarakeen keskiarvo Taulukossa 39 on mittaussarjan tulokset. Jaksonajat on laskettu 10 heilahduksen keskiarvona. Jaksonajan virheeksi T on otettu suurin havaittu t-arvon poikkeama keskiarvosta T. l [m] T [s] l = ±0.00m T = ±0.0015s 0.143 0.758 0.37 0.976 0.47 1.310 0.68 1.589 0.877 1.879 T^ [s^] 4.0 3.5 3.0.5.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 l [m] Taulukko 39. Kuva 131. Taulukkolaskimella piirrettiin myös kuvaaja clt, h-koordinaatistoon, kuva 131. Taulukkolaskimella sovitettiin kuvan 131 pisteisiin suora, jonka yhtälöksi saatiin s T = ( 4.07 ± 0.004) l + ( 0.00 ± 0.00) s {1} m Kulmakerroin vastaa erittäin hyvin teoreettista arvoa 4π g = 4. 0. Yhtälön parametrien virhearvioiksi on otettu suoransovituksen niille laskemat keskivirheet. Virhearvioinnissa ei ole otettu huomioon heilurin pituuden ja heilahdusajan määritystarkkuuden vaikutuksia. 140

5.10. Aaltoliikkeen taajuus, muoto ja spektri 5.10.1. Taustaa Vanhan opetussuunnitelman mukaan aaltoliike on sijoittunut lukion fysiikassa mekaniikan sekä lämmön ja energian jälkeen, ennen sähköoppia. Aaltoliikkeen taajuuden, muodon ja spektrin välistä yhteyttä käsitellään ääniopin ja akustiikan yhteydessä. Taajuus ja spektri voidaan tällöin liittää äänen havaittaviin ominaisuuksiin, sävelkorkeuteen ja sävyyn. Taajuuden määrittämiseen ja aaltomuodon esittämiseen on perinteisesti käytetty analogista oskilloskooppia. Tämä on asettanut rajoituksia tutkittavalle äänelle: sen on täytynyt säilyä taajuudeltaan, aaltomuodoltaan ja amplitudiltaan vakiona useita sekunteja, jotta tavallisella oskilloskoopilla saatava kuva olisi tarpeeksi vakaa esikvantifioiviin havaintoihin. Signaaligeneraattorista ja ääniraudasta saatavan signaalin tutkiminen on helppoa; soittimien ja ihmisäänen tutkiminen jo vaikeampaa. Kokonaan mittausmahdollisuuksien ulkopuolelle ovat jääneet lyhytkestoiset ja hälymäiset äänet. Analogisen oskilloskoopin avulla voidaan demonstroida se, että erilaiset aaltomuodot omaavilla äänillä on erilainen sävy, mutta äänen spektrin analysoiminen ei ole koulun perinteisillä mittausvälineillä mahdollista. Tietokoneavusteiset mittausjärjestelmät mahdollistavat jännitteen rekisteröimisen ajan funktiona, ja U() t -kuvaajan esittämisen talletetuista jännitteen arvoista. Tutkittavalle signaalille ei aseteta vaatimuksia taajuuden, aaltomuodon tai amplitudin pysyvyyden suhteen. Sensijaan kaikki testatut tietokonemittausjärjestelmät eivät pysty niin suureen näytteenottotaajuuteen, että kuultavan äänen aaltomuodon tutkiminen olisi niiden avulla mahdollista. Mikään testatuista järjestelmistä ei pysty rekisteröimään suoraan esim. mikrofonista saatavaa mv-tasoista signaalia, vaan jännite on vahvistettava. Vahvistinta tarvitaan myös nostamaan signaalin tasajännitetasoa niillä mittausjärjestelmillä, jotka eivät pysty mittaamaan negatiivista jännitettä. Kaikissa testatuissa järjestelmissä on mahdollisuus värähtelyn jaksonajan määrittämiseen U() t -kuvaajasta koordinaatistossa liikutettavien graafisten kohdistimien avulla. Kaikissa järjestelmissä on mahdollista mitata signaalin perustaajuus myös suoraan. Koska taajuuden suora määritys perustuu pulssien laskemiseen, signaalin täytyy olla sähköisesti sopivalla tasolla eikä se saa sisältää perustaajuutta voimakkaampia yliaaltokomponentteja. Joissain mittausjärjestelmissä on myös taajuusanalyysitoiminto, joka laskee Fourier-muunnoksella signaalin taajuusspektrin. Jos tätä toimintoa ei ohjelmistossa ole, U() t -data voidaan siirtää esim. taulukkolaskimeen tai muuhun ulkoiseen ohjelmaan ja suorittaa spektrin laskenta siellä. Nykyisin kehittyneissä taulukkolaskimissa, kuten esim. Excelissä ja Quattro Pro'ssa, on nopea Fourier-muunnos (Fast Fourier Transform, FFT) valmiina makrokäskynä tai kirjastofunktiona. Lukiossa ei voida perehtyä Fourier-muunnoksen teoriaan, joten laskenta-algoritmi jää pakosta mustaksi laatikoksi. Lähtökohta ja lopputulos ovat kuitenkin niin selkeitä, ja saavutettu hyöty niin suuri, että FFT:n käyttö voitaneen hyväksyä. 141

Tietokoneavusteisen mittauksen avulla voidaan osoittaa kokeellisesti, että kaikki jaksolliset aaltomuodot voidaan esittää sinimuotoisten aaltojen summina. Vaikka tämä havainto ei ole lukiofysiikassa keskeinen, se on tärkeä lukiota seuraavien fysiikan ja matematiikan opintojen kannalta. Laurikaisen [36, s. 66] fysiikan laudatur- ja jatkoopiskelijoita koskevien havaintojen mukaan Fourier-muunnoksen oppimistuloksissa on pahoja puutteita, vaikka asiaa sivutaan monilla fysiikan ja matematiikan kursseilla. Vaikka Laurikainen mainitsee vain puutteet teorian hallinnassa, voidaan olettaa että huonojen oppimistulosten taustalta löytyy myös se, että opiskelijalta on puuttunut oikea perushahmo aiheesta. Integraatio musiikkiin. Fysiikalla ja musiikilla on laajat integraatiomahdollisuudet [30 s. 89-90 ja viitteet siinä]. Tietokoneavusteinen mittaus mahdollistaa kokeellisuuden tällä alueella perinteisiä mittausmenetelmiä paremmin mm. seuraavissa aiheissa: soittimien äänen värin tutkiminen taajuussuhteet: intervallit, sävelasteikot, sointujen rakenne huojunta, soittimen viritys äänisynteesi, elektroniset soittimet äänen käsittely efektilaitteilla: säröytyminen, suodattaminen 5.10.. Hahmottavan lähestymistavan mukainen opetusrunko Rajoitutaan tässä tarkastelussa äänen korkeudesta taajuuteen ja äänen väristä spektriin johtaviin kvantifiointeihin, sekä jännitetyn kielen värähdystaajuutta kuvaaviin lakeihin. Tarkastelun ulkopuolelle on jätetty äänen aallonpituus, nopeus ja intensiteetti, koska niistä ei ole toteutettu testidemonstraatioita. Peruskäsitteet. Äänen havaittavat ominaisuudet ovat korkeus, voimakkuus ja väri. Perushahmotus. Ääntä synnyttäville esineille tai ilmiöille on yhteistä se, että ne värähtelevät ja "tönivät" ympärillään olevaa ilmaa, josta vaikutus etenee laajemmalle. Ääni on paineaalto. Korvassa ja mikrofonissa on kalvo, jota paineen vaihtelu liikuttaa. Suurempi äänen voimakkuus tarkoittaa suurempaa paineen vaihtelua. Mikrofonissa kalvon liike tuottaa paineeseen verrannollisen sähköisen signaalin. Vastaavasti tietynlaisen paineenvaihtelun omaavaa ääntä voidaan synnyttää kaiuttimella ohjaamalla sen kalvon liikettä sähkövirralla. Idealisointi. Korkeuden kvantifioinnissa taajuudeksi tutkitaan ääntä, jolla on selvä vakiona pysyvä sävelkorkeus, ja joka on mahdollisimman "väritön". Ääniraudan ääni ja signaaligeneraattorista saatavan siniaallon ääni ovat tällaisia. Sävyn kvantifioinnissa spektriksi tarkastelu aloitetaan sähköisesti tuotetuista yksinkertaisista aaltomuodoista, kuten sini-, kolmio- ja sakara-aalto. Suureet, lait. Äänellä, kuten muillakin aaltoliikkeillä, on vaihenopeus, taajuus, aallonpituus ja amplitudi. Vaihenopeutta c, taajuutta f ja aallonpituutta λ yhdistää laki λ = c f. Äänen vaihenopeus on taajuudesta riippumaton suuria ultraäänen taajuuksia lukuunottamatta. Amplitudi voidaan määritellä joko paineen vaihtelun tai ilman 14

osasten liikkeen perusteella. Perusmuotoisen äänen aiheuttama paineen vaihtelu tietyssä pisteessä on p() t = p0 sin πft. Jännitetyn kielen perustaajuus riippuu kielen jännityksestä (suurempi jännitys suurempi taajuus), pituusmassasta ρ l = ml (suurempi pituusmassa pienempi taajuus) ja kielen pituudesta: f ~1 l. Jokainen jaksollinen aalto voidaan esittää sinimuotoisten aaltojen summana. Näiden sinimuotoisten aaltojen taajuudet ovat kokonaislukusuhteessa siten, että ne ovat jaksollisen aallon perustaajuuden monikertoja. 5.10.3. Tietokoneavusteisten demonstraatioiden niveltyminen opetukseen Rekisteröidään ääniraudan mekaanista värähtelyä, jolloin havaitaan, että värähtelyn rata on sinimuotoinen. Tämä voidaan tehdä monella tavalla: Jos on käytettävissä terävällä kärjellä varustettu äänirauta, piirretään sillä kärjen rata noetulle lasille. Annetaan valonsäteen heijastua soivasta ääniraudasta tai siihen kiinnitetystä peilistä, ja ohjataan heijastunut säde pyörivällä peilillä varjostimelle, jossa nähdään värähtelyn kuvaaja. Jos äänirauta on ferromagneettista materiaalia, tuodaan raudan lähelle induktiomikrofoni. Tarkastellaan mikrofonin antamaa jännitettä oskilloskoopilla. Selitetään oppilaille mikrofonin toimintaperiaate. Dynaamisen mikrofonin toiminta perustuu sähkömagneettiseen induktioon, joka on käsitelty peruskoulun 9. luokalla. Elektreettimikrofonin toiminta perustuu vakiovaraukseen ladatun kondensaattorin jännitteen muuttumiseen, kun levyjen välimatkaa muutetaan. Tämän toimintaperiaatteen selittäminen ei ole mahdollista ennenkuin kondensaattorilaki on käsitelty. Elektreettimikrofonin vaste ulottuu hyvin mataliin taajuuksiin, joten mikrofonin toimintaa sähköisenä paineanturina voidaan demonstroida vaikkapa avaamalla ja sulkemalla huoneen ovea. Ovi toimii tällöin mäntänä, ja huoneen ilmanpaineen vaihtelu näkyy selvästi elektreettimikrofonin antamassa signaalissa. Selitetään myös kaiuttimen toiminta. Kaikki kaiuttimet perustuvat käämin ja magneettikentän väliseen vuorovaikutukseen, joten toiminnan kvalitatiiviselle ymmärtämiselle on edellytykset peruskoulun 9. luokalla opitun pohjalta. Toistetaan mikrofonilla rekisteröity ääniraudan ääni kaiuttimella. Toistetaan koe myös muilla äänillä. Todetaan, että ääni toistuu lähes samanlaisena. Voidaan siis olettaa, että mikrofonin tuottama jännite on analoginen alkuperäisen äänen kanssa, ja että kaiutin tuottaa sähköisen signaalin kanssa analogisen äänen. Rekisteröidään ääniraudan ääntä mikrofonilla ja mittausjärjestelmällä. Esitetään mikrofonin antaman jännitteen kuvaaja. Havaitaan U(t)-kuvaajan olevan sinimuotoinen, joten äänen aiheuttama paineenvaihtelu p(t) on myös sinimuotoista. Harmonisen värähtelijän yhteydessä esitetyn perusteella siis p() t = p sin πft, jossa f 0 143

on ääniraudan värähtelyn ja äänen taajuus. Määritetään taajuus U(t)-kuvaajasta. Tehdään U(t)-signaalille Fourier-muunnokseen perustuva taajuusanalyysi. Spektrin kuvaajassa näkyy vain yksi taajuus, joka on sama kuin suoraan U(t)-kuvaajasta määritetty taajuus. Taajuusanalyysimenetelmä siis toimii. Kytketään signaaligeneraattori kaiuttimeen ja mittausjärjestelmään. Pyritään ensin matkimaan ääniraudan ääntä: käytetään siniaaltoa ja säädetään taajuus samaksi kuin ääniraudalla. Havaitaan että kuultava ääni ei juuri eroa ääniraudan äänestä. Vaihdetaan aaltomuoto sakara-aalloksi. Havaitaan, että äänen sävelkorkeus pysyy samana, mutta ääneen tulee terävämpi sävy, "jotain lisää". Rekisteröidään signaali ja tehdään taajuusanalyysi. Havaitaan, että perustaajuuden lisäksi äänessä on korkeampia taajuuksia, jotka ovat 3, 5 jne. kertaa perustaajuutta suurempia. Rekisteröidään ja analysoidaan ääniä, joilla on selkeä säveltaso (esimerkiksi ihmisäänen vokaalit, kieli- ja puhallinsoittimet), sekä hälymäisiä ääniä, joilla ei ole säveltasoa (soinnittomat konsonantit, käsien yhteen lyönti, lyömäsoittimet). Havaitaan, että säveltason omaavien äänien aaltomuoto on jaksollinen, ja äänet koostuvat taajuuksista, jotka ovat perustaajuuden kokonaislukukerrannaisia. Hälymäisten äänien aaltomuoto on jaksoton ja koostuu taajuuksista joilla ei ole ainakaan yksinkertaista matemaattista riippuvuutta keskenään. Tutkitaan jännitettyä kieltä. Käytetään joko sonometria, tai sen puuttuessa sähkö- tai tavallista kitaraa. Mitataan kielen värähtelyn taajuus eri kielen pituuksilla, kun kielen jännitys pidetään samana. Havaitaan taajuuden kasvavan kieltä lyhennettäessä. Piirretään pisteet ( l, 1 f )-koordinaatistoon, jolloin ne asettuvat origon kautta kulkevalle suoralle. Siis f ~ 1 l. Sonometrilla voidaan tutkia vastaavasti kielen jännityksen T ja pituusmassan ρ l vaikutusta taajuuteen; tällöin päädytään verrannollisuuksiin f ~ T, f ~1 ρ l [57, s. 14-15], [9, s. 140]. Kitaraa käytettäessä täytyy tyytyä kvalitatiiviseen havainnointiin. Kieliä voidaan kiristää ja löysätä viritysruuveista, jolloin havaitaan sävelkorkeuden muuttuvan. Kitaran rakenteesta voidaan päätellä eri kielien jännityksen olevan suunnilleen yhtä suuri Paksummat kielet tuottavat matalamman taajuuden kuin ohuemmat. Poikkeutetaan kieltä eri kohdista, havainnoidaan äänensävyä, rekisteröidään värähtely ja analysoidaan spektri. Havaitaan, että keskeltä poikkeutetun kielen spektri sisältää melko vähän ja vain parittomia ylä-ääneksiä. Parillisten ylä-äänesten puuttuminen johtuu siitä, että niitä vastaavilla värähtelymoodeilla olisi solmu keskellä kieltä. Läheltä päätä poikkeutetun kielen spektri sisältää paljon ylä-ääneksiä, mukana on myös parillisia. Ylä-äänekset ovat voimakkaita suhteessa perustaajuuteen. 5.10.4. Testatut demonstraatiot a) Signaaligeneraattorista saatavien sini- ja sakaramuotoisten signaalien rekisteröinti ja analysointi. b) Harmonisen ja hälymäisen äänen rekisteröinti ja analysointi. c) Jännitetyn kielen pituuden ja taajuuden välinen riippuvuus. d) Jännitetyn kielen taajuusspektri. 144