Polynomiyhtälön ratkaiseminen

Polynomiyhtälön ratkaiseminen Anna-Mari Auvinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan tilastotieteen laitos Kevät 018

Tiivistelmä: Anna-Mari Auvinen, Polynomiyhtälön ratkaiseminen engl. Solving polynomial equations), matematiikan pro gradu -tutkielma, 50 sivua, Jyväskylän yliopisto, Matematiikan tilastotieteen laitos, kevät 018. Tämän tutkielman tarkoituksena on näyttää, kuinka eri asteisia polynomiyhtälöitä ratkaistaan. Todistetaan toisen kolmannen asteen yhtälöiden ratkaisukaavat, mutta näytetään myös tietyissä erikoistapauksissa toimivia tapo ratkaista yhtälöitä. Kolmannen asteen yhtälöiden ratkaisukaavaan perehdytään tarkimmin. Ennen kuin tarkastellaan polynomiyhtälöiden ratkaisutapo, kerrataan kompleksilukujen ominaisuuksia. Erityisesti täytyy hallita De Moivren kaava, jota käytetään esimerkiksi laskettaessa kompleksilukujen juuria. Tämä tuotti vaikeuksia kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavassa, kun kompleksiluvusta täytyy ottaa kuutiojuuri. Tätä kutsutaan Casus irreducibilis-tilanteeksi. Tutkielmassa näytetään myös tapa, jolla juurenotto vältetään kosinin kolminkertaisen kulman kaavan avulla. Toisen asteen yhtälöä tarkastellaan ensiksi reaalikertoimisena. De Moivren kaavasta nähdään, että jokaisella kompleksiluvulla on kaksi neliöjuurta. Näin ollen reaalikertoiminen toisen asteen yhtälön ratkaisukaava voidaan yleistää kompleksikertoimisen yhtälön tapaukseen, jossa se tuottaa kertaluku huomioiden) aina kaksi ratkaisua. Toisen asteen yhtälön, niin kuin myös muidenkin n-asteisien polynomien, kertoimilla on yhteys sen juuriin. Näitä kutsutaan Vietan kaavoiksi. Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavat, Cardanon kaavat, saadaan johdettua muuttunvaihdon, toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan Vietan kaavo avulla. Cardanon kaavat pätevät kolmannen asteen yhtälön supistettuun muotoon x px q = 0. Jokainen kolmannen asteen yhtälö saadaan tähän muotoon sijoituksen avulla. Cardanon kaavat antavat juuret supistetulle muodolle alkuperäisen yhtälön juuret saadaan selville sijoituksen avulla. Kolmannen asteen yhtälön juuret saadaan selville myös determinanttimenetelmän avulla. Siinä käytetään hyväksi determinantte sekä tietoa toisen asteen yhtälön tekijöitymisestä tai kuutioon täydentämistä. Toisen kolmannen asteen yhtälöiden ratkaisukaavat sisältävät diskriminantin, jolla pystytään määrittämään polynomiyhtälön juurten laatu sekä määrä. Juurien arvoa sillä ei saa selville. Tutkielmassa diskriminantti on määritetty toisellakin tapaa, polynomin juurien avulla. Tällöin diskriminantti saadaan laskettua polynomin kertoimien avulla. Kaiken pohn eri asteisien polynomiyhtälöiden ratkaisuille luo Algebran peruslause, joka sanoo, että jokaisella kompleksikertoimisella polynomilla on ainakin yksi kompleksinen juuri. Algebran peruslauseen seuraus sanoo, että jokaisella n-asteisella polynomilla on kertaluvut huomioiden täsmälleen n kompleksista juurta. Lisäksi polynomi voidaan esittää juuriensa avulla. i

Sisältö Johdanto 1 Luku 1. Kompleksiluvut 1.1. Johdatus kompleksilukuihin 1.. Trigonometriset summakaavat 10 Luku. Toisen asteen yhtälö 11.1. Reaalikertoiminen toisen asteen yhtälö 11.. Kompleksilukukertoiminen toisen asteen yhtälö 14 Luku. Kolmannen asteen yhtälö 0.1. Kolmannen asteen yhtälön helppo ratkaisutapo 0.. Cardanon kaavat 4.. Casus irreducibilis 1.4. Diskriminantti.5. Ratkaisu determinantin avulla 40 Luku 4. n-asteinen yhtälö 45 4.1. Algebran peruslause 45 Kirllisuutta 50 ii

Johdanto Tässä tutkielmassa esitellään, kuinka eri asteisia polynomiyhtälöitä voidaan ratkaista. Pääosassa ovat kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavat, Cardanon kaavat. Ennen kuin tutustutaan toisen kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavoihin käydään läpi helppo ratkaisutapo, joita ovat muun muassa arvaaminen ryhmittely. Jos nämä keinot eivät riitä, saadaan yhtälön juuret ratkaisukaavojen avulla. Aluksi palautetaan mieleen kompleksiluvut niiden ominaisuudet, joita tarvitaan polynomiyhtälöiden ratkaisemisessa. Esimerkiksi silloin, kun negatiivisesta luvusta täytyy ottaa neliöjuuri. Koulumaailmassa sanotaan, että toisen asteen yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua, kun diskriminantti on negatiivinen. Ratkaisu on, mutta ei reaalilukujen joukossa vaan kompleksilukujen, sillä 1 = i. Lukua i kutsutaan imaginaariyksiköksi. Entäpä jos juurrettavana on kompleksiluku? Silloin kompleksiluku täytyy muuttaa polaarimuotoon. Tällöin voidaan käyttää De Moivren kaavaa juurien löytämisessä. De Moivren kaava sanoo, että jokaisella kompleksiluvulla on n:s juuri juuria on tasan n kappaletta. Näin ollen toisen kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavat saadaan toimiviksi olipa juurrettavana reaali- tai kompleksiluku. Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavojen johtamisessa tullaan tarvitsemaan ykkösen kolmansia juuria eli yhtälön z = 1 ratkaisu. Ratkaisukaavoista palautetaan ensiksi mieleen kaikille jo lukiosta tuttu toisen asteen yhtälön ratkaisukaava, jota tullaan tarvitsemaan Cardanon kaavojen johtamisessa. Ensiksi tarkastellaan reaalikertoimista toisen asteen polynomiyhtälöä, mutta nähdään, että jokaisella kompleksiluvulla on kaksi neliöjuurta. Näin ollen ratkaisukaava voidaan yleistää kompleksikertoimisen yhtälön tapaukseen. Reaali- kompleksilukukertoimisen) toisen asteen yhtälön juurilla on yhteys sen kertoimiin. Juurten tulolle summalle saadaan todistettua kaavat, joita kutsutaan Vietan kaavoiksi. Niitä tullaan tarvitsemaan myös Cardanon kaavojen johtamisessa. Cardanon kaavat toimivat suoraan kaikille muotoa x px q = 0 oleville kolmannen asteen yhtälöille. Jokainen kolmannen asteen yhtälö voidaan saattaa tähän supistettuun muotoon sijoituksen avulla. Cardanon kaavat saadaan johdettua toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan sen ominaisuuksien avulla. Siinä kolmannen asteen yhtälö saadaan Vietan kaavojen avulla muutettua toisen asteen yhtälöksi, jonka juuret saadaan ratkaistua toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla. Sen jälkeen tiettyjen ehtojen avulla saadaan ratkaistua supistetun muodon juuret. Alkuperäisen yhtälön juuret saadaan selville ensimmäisen sijoituksen avulla. Toisen asteen polynomiyhtälöllä ei ole välttämättä yhtään reaalista ratkaisua. Sen 1

JOHDANTO sian kolmannen asteen polynomiyhtälöllä on ainakin yksi reaalinen ratkaisu. Jos kolmannen asteen yhtälöllä on kolme reaalista ratkaisua, päädytään Cardanon kaavo käytettäessä ns. Casus irreducibilis-tapaukseen. Se tarkoittaa kautumatonta tapausta. Siinä kompleksiluvusta täytyy ottaa kuutiojuuri. Juuret saadaan selville De Moivren kaavan avulla. Tutkielmassa näytetään myös tapa, jolla kuutiojuurenotto kompleksiluvusta vältetään. Siinä käytetään hyödyksi kosinin kolminkertaisen kulman kaavaa. Kolmannen asteen yhtälön ratkaisutavoista esitellään myös determinanttimenetelmä, jossa juuret saadaan selville determinanttien kuutioksi täydentämisen avulla. Myös neljännen asteen yhtälölle on olemassa ratkaisukaava, jonka johtaminen menee vastaavalla tavalla kuin kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavan johtaminen. Siinä muuttunvaihdolla asteluku saadaan yhden pienemmäksi. Näin ollen voidaan käyttää kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavaa hyväksi saadaan neljännen asteen polynomin ratkaisut selville. Neljännen asteen yhtälön ratkaisukaava alkaa olemaan sen verran monimutkaisempi, että yleensä turvaudutaan ratkaisemaan juuret graafisesti tai numeerisesti, jolloin on tyydyttyvä likiarvoihin. Tässä tutkielmassa ei neljännen asteen yhtälöön perehdytä tämän tarkemmin. Entäpä korkeampi asteisilla yhtälöillä? Viidennen sitä korkeampi asteisien yhtälöiden ratkaisuun ei ole olemassa yleisiä ratkaisukaavo, mutta joihinkin erikoistapauksiin löytyy ratkaisu. Silloin yhtälöistä yleensä puuttuu kertoimia, jolloin se on supistunut yksinkertaisempaan muotoon juuret löytyvät helposti. Yleensä korkeampi asteisien polynomiyhtälöiden ratkaisemisessa käytetään numeerisia keino selvittämään juurten likimääräiset ratkaisut. Yksi keinoista on muun muassa Newtonin menetelmä, jossa nollakohdat etsitään funktion ensimmäisen derivaatan avulla, mutta siihen ei tutkielmassani perehdytä. Toisen kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavoihin liittyy diskriminantti, joka kertoo juurten määrän laadun. On muistettava, että se ei kuitenkaan kerro juurten arvoa. Kolmannen asteen yhtälön tapauksessa diskriminantti on määritetty ensiksi yhtälön supistetulle muodolle. Tutkielmassa näytetään toinenkin tapa määrittää diskriminantti. Siinä diskriminantti saadaan määritettyä juurten erotuksien neliöiden tulona. Tällöin diskriminantti saadaan laskettua polynomin kertoimien avulla. Tämä määritelmä mahdollistaa yleistyksen n-asteisille polynomeille. Kaiken pohn eri asteisten polynomiyhtälöiden ratkaisuille luo Algebran peruslause sekä sen seuraukset. Algebran peruslause sanoo, että jokaisella kompleksikertoimisella polynomilla on ainakin yksi kompleksinen juuri. Nähdään, että juuria on itse asiassa polynomin korkeimman potenssin verran. Ne voivat tietenkin olla monikerto eli sama juuri esiintyy useamman kerran. Polynomi voidaan esittää juuriensa avulla olivatpa juuret reaalisia tai kompleksisia.

LUKU 1 Kompleksiluvut Tässä luvussa kerrataan kompleksilukujen ominaisuuksia, joita tullaan tarvitsemaan eriasteisien yhtälöiden ratkaisukaavoissa. Palautetaan mieleen, kuinka kompleksiluvut voidaan ilmaista trigonometristen funktioiden avulla näin ollen niistä saadaan helposti otettua juuria. 1.1. Johdatus kompleksilukuihin Toisen asteen yhtälön ratkaisemisessa kaikki menee hyvin, jos diskriminantti on positiivinen tai nolla, mutta mitä sitten, jos se on negatiivinen esim. 1? Reaaliluvuista ei löydy enää vastausta, joten täytyy siirtyä kompleksilukujen joukkoon. Kompleksilukujen joukossa on luku i, jolle i = 1 eli i = 1. Tätä lukua kutsutaan imaginääriyksiköksi. Kompleksiluvuilla on tiettyjä ominaisuuksia, jotka kerrataan kappaleessa lyhyesti. Näin saadaan työkalu polynomiyhtälöiden ratkaisemiseen. Varsinkin kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavassa kompleksilukujen ominaisuudet ovat tärkeitä hyödyllisiä. Ensiksi palautetaan mieleen kompleksilukujen määritelmä se, kuinka niitä voidaan esimerkiksi laskea yhteen kertoa keskenään. Määritelmä 1.1. Kompleksiluvut ovat muotoa Kompleksilukujen joukkoa merkitään z = x yi, x, y R. C = {x yi, x, y R}. Määritelmä 1.. Olkoon z C, z = x yi. Tällöin x = Rez) = luvun z reaaliosa y = Imz) = luvun z imaginääriosa. Jos x = 0, kompleksiluku supistuu pelkäksi imaginääriseksi luvuksi. Jos taas y = 0, niin kompleksiluku supistuu reaaliluvuksi näin ollen saadaan, että reaaliluvut kuuluvat kompleksilukujen joukkoon. Määritelmä 1.. Olkoon z, w C, z = x yi w = a bi. Kompleksilukujen yhteenlasku kertolasku määritetään seuraavasti: z w = x a) y b)i zw = xa yb) xb ya)i.

1.1. JOHDATUS KOMPLEKSILUKUIHIN 4 Esimerkki 1.4. Laske kompleksilukujen 1i 5i summa tulo. Summaksi saadaan tuloksi 1 i) 5 i) = 1 5) )i = 6 5i 1 i)5 i) = 1 5 ) 1 5)i = 1 1i. Kompleksilukuku z C, z = a bi voidaan samaistaa xy-tason pisteen a, b) kanssa. Luvun z reaaliosa on Rez) on siis pisteen x-koordinaatti imaginääriosa Imz) sen y-koordinaatti. Tällöin kompleksiluvun hahmottaminen on selvempää kompleksiluvun pituus saa geometrisen tulkinnan. Esimerkki 1.5. Piirrä kompleksiluku z = 5i xy-koordinaatistoon. Kuva 1.1. Kompleksiluku z = 5i xy-koordinaatistossa. Kompleksiluvun pituus saadaan laskettua tutun Pythagoraan lauseen avulla. Määritelmä 1.6. Luvun z = x yi C moduli eli itseisarvo pituus) on z = x y. Esimerkki 1.7. Kompleksiluvun 4i moduli eli pituus on z = 4 = 5. Seuraavaksi määritellään, mikä on kompleksikonjugaatti eli liittoluku. Kompleksiluku sen liittoluku poikkeavat toisistaan imaginaariosan osalta. Imaginääriosa on muuten sama, mutta vain erimerkkinen Imz) = Im z). Liittolukuihin törmätään polynomiyhtälöitä ratkaistaessa. Esimerkiksi toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan diskriminantin ollessa pienempää kuin nolla, yhtälön ratkaisuksi saadaan kompleksiluku sen liittoluku. Tähän palataan myöhemmin tarkemmin.

1.1. JOHDATUS KOMPLEKSILUKUIHIN 5 Määritelmä 1.8. Luvun z = x yi C kompleksikonjugaatti eli liittoluku on kompleksiluku z = x yi C. Kompleksiluku sen kompleksikonjugaatti ovat koordinaatistossa toistensa peilikuvia x-akselin suhteen. Kuva 1.. Kompleksilukukonjugaatit xy-koordinaatistossa. Huom! Kuten kuvasta näkyy kompleksiluvun sen kompleksikonjugaatin modulit ovat yhtäsuuret, z = z. Esimerkki 1.9. Lukujen z = i sekä w = 9i kompleksikonjugaatti ovat z = i w = 9i. Kompleksiluvun w sen kompleksikonjugaatin w modulit ovat w = 9 w = 9. Seuraava lause on hyödyllinen esimerkiksi kompleksilukujen osamäärän selvittämisessä. Lause 1.10. Olkoon z C z sen kompleksikonjugaatti. Tällöin Todistus. z z = z. z z = x yi)x yi) = x y = x y ) = z.

1.1. JOHDATUS KOMPLEKSILUKUIHIN 6 Esimerkki 1.11. Kompleksilukujen 1 i 5 i osamäärä on 1 i 5 i 1 i)5 i) = 5 i)5 i) 1 1i = 5 i) 1 1i = 4 = 1 4 1 4 i. Kompleksiluvut voidaan ilmoittaa napakoordinaattien avulla esitystä kutsutaan luvun z polaariesitykseksi. Tätä hyödyntäen kolmannen asteen yhtälön ratkaiseminen onnistuu. ts. Lause 1.1. Olkoon z = x yi C. Tällöin on olemassa θ R siten, että z = z cos θ i sin θ) x = z cos θ y = z sin θ Kuva 1.. Kompleksiluvun polaariesitys. Kuinka saadaan selville kulman θ suuruus? Edellä olevasta lauseesta kävi ilmi se, mitä luvut x y vastaavat. Täytyy löytää siis sellainen kulma, joka täyttää molemmat ehdot. Kulman suuruus saadaan selville arkusfunktioiden avulla. Määritelmä 1.1. Kompleksiluvun z 0 argumentti argz) on reaaliluku θ ] π, π], jolle x = z cos θ y = z sin θ

1.1. JOHDATUS KOMPLEKSILUKUIHIN 7 ts. θ = argz) = arccos x z = arcsin y z Huom! Saatu argumenttikulma on yksikäsitteinen π:n monikerto vaille. on Esimerkki 1.14. Etsitään luvulle z = 1i sen polaariesitys. Luvun z pituus z = 1) = 4. Seuraavaksi täytyy selvittää, minkä suuruisen kulman kompleksiluku muodostaa x- akselin kanssa. Kulman θ täytyy toteuttaa yhtälöt Ratkaistaan ensin yhtälö θ = arccos 4 = arcsin 1. 4 θ = arccos 4 = arccos 1, josta saadaan θ = π nπ tai θ = π nπ, missä n N.Vastaavasti toinen yhtälö josta saadaan θ = arcsin 1 4 θ = 4π = arcsin, nπ tai θ = π nπ, missä n N. Koska molempien yhtälöiden tulee olla voimassa, polaariesitykseksi saadaan z = 4 cos π nπ) i sin π nπ)). Seuraavaa lemmaa, sinin kosinin summakaavo, tarvitaan napakoordinaattimuodossa olevien kompleksilukujen kertolaskun todistuksessa sekä myöhemmin vielä kolmannen asteen yhtälön Casus irreducibilis-tilanteessa. Lemma 1.15. Olkoon x, y R. Tällöin sinx y) = sin x cos y cos x sin y cosx y) = cos x cos y sin x sin y. Todistus. Todistus löytyy lähteestä [5]

1.1. JOHDATUS KOMPLEKSILUKUIHIN 8 Lause 1.16. Olkoon z 1, z C \ {0}. Olkoon θ j argz j ), j = 1,, ts. Tällöin z j = z j cos θ j i sin θ j ). z 1 z = z 1 z cosθ 1 θ ) i sinθ 1 θ )). Todistus. Trigonometristen funktioiden summakaavo käyttäen saadaan z 1 z = z 1 cos θ 1 i sin θ 1 ) z cos θ i sin θ ) = z 1 z cos θ 1 i sin θ 1 )cos θ i sin θ ) = z 1 z cos θ 1 cos θ sin θ 1 sin θ ) icos θ 1 sin θ sin θ 1 cos θ )) = z 1 z cosθ 1 θ ) i sinθ 1 θ )). Edellisestä lauseesta saadaan tutut de Moivren kaavat, joita tullaan tarvitsemaan kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavassa. Siinä kompleksiluku on kerrottu itsensä kanssa n kertaa. Lause 1.17. Olkoon θ R. Kun n N z = rcos θ i sin θ), on voimassa z n = r n cos θ i sin θ) n = r n cosnθ) i sinnθ)). De Moivren kaavan avulla saadaan selville, kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä w n = z,missä z on annettu luku. Niitä on tasan n kappaletta. Seuraava lause kertoo, miten ratkaisut löydetään helposti. Lause 1.18. Olkoon z C, z = z cos θ i sin θ), z 0 n = 1,,,.... Tällöin yhtälölle w n = z on täsmälleen n eri ratkaisua w = w k = n z cos θkπ ) i sin θkπ )), n n missä k = 0, 1,,..., n 1. Esimerkki 1.19. Ratkaise yhtälön w 4 16 = 0 juuret. Nyt w 4 4 z = 4 16 = sekä θ = π. Juuret ovat täten muotoa = 16, joten w k = cos πkπ 4 ) i sin πkπ 4 )), missä k = 0, 1,,. Tällöin juuriksi saadaan w 0 = cos π 4 i sin π 4 ) = i w 1 = cos π 4 i sin π 4 ) = i w = cos 5π 4 i sin 5π 4 ) = i w = cos 7π 4 i sin 7π 4 ) = i Juuret siitsevat tasaisin välein origokeskeisen, -säteisen ympyrän kehällä.

1.1. JOHDATUS KOMPLEKSILUKUIHIN 9 Kuva 1.4. Yhtälön w 4 16 = 0 juuret ympyrän kehällä. Seuraava esimerkki on vastaavanlainen kuin edellinen esimerkki, mutta sen yksi juurista on oleellinen kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavan todistuksessa. Esimerkki 1.0. Ratkaise yhtälön w 1 = 0 juuret. Nyt w = 1, joten z = 1 = 1 sekä θ = 0. Juuret ovat täten muotoa w k = cos kπ kπ ) i sin )), missä k = 0, 1,. Tällöin juuriksi saadaan w 0 = cos 0 i sin 0 = 1 w 1 = cos π i sin π = 1 i w = cos 4π i sin 4π = 1 i Juuret siitsevat tasaisin välein origokeskeisen, 1-säteisen ympyrän kehällä. Kuva 1.5. Yhtälön w 1 = 0 juuret ympyrän kehällä.

1.. TRIGONOMETRISET SUMMAKAAVAT 10 Huom! Jatkossa tullaan kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavoissa tarvitsemaan lukua ζ C, joka on eräs ykkösen kolmas juuri. Merkitään sitä ζ = cos π i sin π = 1i. 1.. Trigonometriset summakaavat Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavoissa päädytään tilanteeseen, jossa kompleksiluvusta täytyy ottaa kuutiojuuri. Tätä kutsutaan Casus irreducibilis-tilanteeksi. Kuutiojuurenotto voidaan välttää kosinin kolminkertaisen kulman kaavan avulla. Lause 1.1. Olkoon x R. Tällöin cosx) = 4 cos x cos x. Todistus. Todistus saadaan käyttämällä kosinin summakaavaa tietoa, että cosx) = cos x 1 sinx) = sin x cos x sekä sin x = 1 cos x. Nyt cosx) = cosx x) = cos x cos 1) sin x sin x cos x) = 4 cos x cos x.

LUKU Toisen asteen yhtälö Tässä luvussa tarkastellaan, kuinka toisen asteen reaali- kompleksikertoimisia yhtälöitä voidaan ratkaista. Ensiksi käydään läpi reaalikertoiminen toisen asteen yhtälö, kunnes toisen asteen yhtälön ratkaisukaava voidaan yleistää kompleksikertoimisen yhtälön tapaukseen. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava sisältää diskriminantin, joka kertoo, kuinka monta reaalista kompleksista ratkaisua toisen asteen yhtälöllä on. Muistettavaa on se, että se ei kerro ratkaisu vaan vain ratkaisujen määrän laadun. Toisen asteen polynomin juurilla kertoimilla on yhteys, joita kutsutaan Vietan kaavoiksi..1. Reaalikertoiminen toisen asteen yhtälö Reaalikertoimisen toisen asteen yhtälön ratkaisukaava on jokaiselle lukiolaiselle tuttu tai pitäisi ainakin olla. Se esiintyy monien eri aihepiirien yhteydessä on hyödyllinen muistaa. Toisen asteen yhtälöt voivat tietenkin joissakin erikoistapauksissa ratketa helposti ilman ratkaisukaavaa, muun muassa jonkin juuren ollessa helposti arvattavissa tai yhtälön ollessa vaillinainen. Palautetaan mieleen myös toisen asteen yhtälön diskriminantin ominaisuudet. Vaikka tässä kappaleessa yhtälö onkin reaalikertoiminen, saattavat sen ratkaisut olla kompleksisia. Määritelmä.1. Toisen asteen reaalikertoiminen polynomiyhtälö on muotoa missä a 0, a 1, a R, a 0. a x a 1 x a 0 = 0, Näytetään seuraavan esimerkin avulla, kuinka toisen asteen yhtälön ratkaisut saadaan selville ilman ratkaisukaavaa. Tätä tapaa kutsutaan arvaamiseksi. Esimerkki.. Ratkaise toisen asteen yhtälön x x = 0 juuret. Arvataan, että eräs ratkaisu on x = 1. Se on yhtälön yksi juuri, koska sijoittamalla x = 1 yhtälöön yhtälö toteutuu. Tällöin toisen asteen polynomi on ollinen binomilla x 1), mikä seuraa Algebran peruslauseesta. Algebran peruslause on tarkemmin esitelty luvussa 4. Jakamalla toisen asteen yhtälö tällä binomilla, saadaan x x = x 1)x ) = 0. Näin ollen yhtälön juuret ovat x = 1 x =. Joskus saattaa olla hieman hankalaa arvata oikein yhtälön jokin juuri, joten apuna voi käyttää jo lukiosta tuttua toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. 11

.1. REAALIKERTOIMINEN TOISEN ASTEEN YHTäLö 1 Lause.. Jos a 0, a 1, a R, a 0, niin toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisut ovat x 1 = a 1 a 1 4a a 0 a a x a 1 x a 0 = 0 x = a 1 a 1 4a a 0 a. Huom! Toisen asteen asteen yhtälön ratkaisut voivat olla joko reaalisia tai kompleksisia. Ratkaistaan edellisen esimerkin yhtälö ratkaisukaavojen avulle. Esimerkki.4. Ratkaise yhtälön x x = 0 juuret. Tehdään sijoitus toisen asteen yhtälön kaavoihin. Saadaan, että x 1 = 4 1 ) 1 x = 4 1 ) 1 = 1 =. Ratkaisukaavojen avulla juuret saadaan mekaanisesti ratkaistua ilman, että täytyy arvata jokin juuri. Joissakin tapauksissa on järkevämpää jättää käyttämättä ratkaisukaavo kuten esimerkiksi silloin kun toisen asteen yhtälö on vaillinainen. Esimerkiksi jos a 1 = 0, niin yhtälö supistuu muotoon a x a 0 = 0 toisen asteen yhtälö saadaan helposti ratkaistua ilman ratkaisukaavaa. Esimerkki.5. Ratkaise yhtälön x 4 = 0 juuret. x 4 = 0 x = 4 x = ± 4 x = ± Yhtälön juuret ovat siis. Toisen asteen polynomi voidaan kaa tekijöihin ryhmittelemällä tai nollakohtien avulla. Tämä seuraa Algebran peruslauseesta: Lause.6. Olkoon fx) = a x a 1 x a 0 toisen asteen polynomi. Täsmälleen yksi seuraavista kohdista pitää paikkansa Polynomilla on kaksi eri suurta reaalista juurta x 1 x. Tällöin polynomi voidaan kaa tekijöihinsä seuraavanlaisesti fx) = a x x 1 )x x ).

.1. REAALIKERTOIMINEN TOISEN ASTEEN YHTäLö 1 Polynomilla on vain yksi juuri a. Tällöin yhtälö voidaan kaa tekijöihinsä seuraavanlaisesti fx) = a x a 1 ). Polynomilla on kaksi erisuurta kompleksista juurta r r. Tällöin yhtälö voidaan kaa tekijöihinsä seuraavanlaisesti fx) = a x r)x r). Huom! Toisen asteen yhtälölle ei siis välttämättä ole yhtään reaalista) juurta x. Esimerkki.7. Toisen asteen yhtälön x x = 0 tapauksessa yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon kun 1 ovat yhtälön juuret. x x = 1x 1)x )) = x 1)x ), Nyt olemme nähneet toisen asteen yhtälön erilaisia ratkaisutapo seuraavaksi palautetaan mieleen, mikä on diskriminantti mitä se kertoo toisen asteen yhtälöstä. Määritelmä.8. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta D = a 1 4a a 0 kutsutaan diskriminantiksi. Diskriminantti kertoo toisen asteen yhtälön juurten laadun. Kun D > 0: Yhtälöllä on kaksi reaalista juurta. D = 0: Yhtälöllä on tasan yksi reaalinen juuri. D < 0: Yhtälöllä on kaksi kompleksista juurta ne ovat toistensa kompleksikonjugaatte eli liittoluku. Esimerkki.9. Toisen asteen yhtälöllä x x = 0 on kaksi kompleksista juurta, koska Yhtälön juuret ovat D = a 1 4a a 0 = 4 ) ) = 0 < 0. x 1 = 4 ) ) ) = 0 4 = 1 i 5 x = 4 ) ) = 0 = 1 5 ) 4 i. Juuriksi saatiin kaksi kompleksilukua ne ovat toistensa liittoluvut niinkuin kuuluukin olla. Toisen asteen yhtälön diskriminantti D voidaan esittää juurien avulla. Merkataan tätä.

.. KOMPLEKSILUKUKERTOIMINEN TOISEN ASTEEN YHTäLö 14 Lause.10. Olkoon a 1 a 0 reaaliluku r 1 r toisen asteen yhtälön x a 1 x a 0 = 0 reaaliset tai kompleksiset) juuret. Tällöin diskriminantti = r 1 r ). Todistus. Nyt r 1 r ovat toisen asteen yhtälön x a 1 x a 0 = 0 juuret. Tällöin voidaan kirjoittaa, että x a 1 x a 0 = x r 1 )x r ) Tästä saadaan, että Nyt = x xr xr 1 r 1 r = x x r 1 r )) r 1 r = 0. a 1 = r 1 r ) a 0 = r 1 r. Saatiin siis diskriminantti D. r 1 r ) = r 1 r 1 r r = r 1 r ) r 1 r r 1 r = r 1 r ) 4r 1 r = a 1 4a 0. Löydettiin siis diskriminantille kaksi eri määritelmää. Määritelmistä jälkimmäinen on helppo yleistää korkeamman asteen polynomiyhtälölle. Luvussa 4 määritelläänkin n-asteisen polynomin diskriminantti... Kompleksilukukertoiminen toisen asteen yhtälö Edellä on tarkasteltu toisen asteen yhtälöä, jonka kertoimet ovat reaalisia. Mutta entäpä, jos toisen asteen yhtälön kertoimet ovatkin kompleksisia? Millaisia ovat silloin sen ratkaisut? Tässä kappaleessa tarkastellaan toisen asteen yhtälöä, jonka kertoimet ovat kompleksisia sen ominaisuuksia. Määritelmä.11. Toisen asteen kompleksilukukertoiminen polynomiyhtälö on muotoa a x a 1 x a 0 = 0, missä a 0, a 1, a C, a 0. Ensimmäisessä kappaleessa selvisi, että jokaiselle kompleksiluvulla on n.juuri juuria on tasan n kappaletta. Näin ollen jokaiselle nollasta eroavalla kompleksiluvulla on kaksi kompleksista neliöjuurta. Lause.1. Jos z C, z 0, niin on olemassa kompleksiluku w siten, että w = z, ts. jokaisella kompleksiluvulla on kompleksinen neliöjuuri. Näitä on kaksi kappaletta, w w. Nyt voidaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaava yleistää kompleksikertoimisen yhtälön tapaukseen.

.. KOMPLEKSILUKUKERTOIMINEN TOISEN ASTEEN YHTäLö 15 Lause.1. Jokaisella kompleksikertoimisella toisen asteen polynomiyhtälöllä a x a 1 x a 0 = 0, a, a 1, a 0 C, a 0 on juuri kompleksilukujen joukossa C juuret saadaan kaavalla x = a 1 a 1 4a a 0 a. Huom! Neliöjuurenotto kompleksiluvusta antaa kaksi juurta, jotka ovat toistensa kompleksikonjugaatte. Todistus. Täydennetään toisen asteen polynomi neliöksi ratkaistaan yhtälö sen avulla. a x a 1 x a 0 = 0 a x a 1 x = a 0 4a x 4a a 1 x = 4a a 0 4a x 4a a 1 x a 1 = a 1 4a a 0 a x a 1 ) = a 1 4a a 0 a x a 1 = a 1 4a a 0 a x = a 1 a 1 4a a 0 x = a 1 a 1 4a a 0. a Kompleksikertoiminen toisen asteen polynomi voidaan kirjoittaa juuriensa avulla seuraavanlaisesti. Lause.14. Olkoon b c kompleksiluku. Tällöin on olemassa kompleksiluvut z 1 z siten, että x bx c = x z 1 )x z ). Esimerkki.15. Kompleksikertoimisen polynomiyhtälön x 5ix 6 = 0 juuret ovat x 1 = 5i) 5i) 4 1 6) 1 = 5i 5i 4 = 5i 5 4 = 5i 1 = 5i i = i

.. KOMPLEKSILUKUKERTOIMINEN TOISEN ASTEEN YHTäLö 16 toiseksi ratkaisuksi saadaan x = 5i i = i. Yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa x 5ix 6 = x i)x i) = 0. Edellisessä esimerkissä kävi hyvin, kun diskriminantista tuli reaalinen, mutta entäpä jos diskriminantti on kompleksinen? Esimerkki.16. Ratkaise polynomin fx) = x x i juuret. Nyt x = 4 1 i 1 = 4 4 i = 41 i) = 1 i) = 1 1 i. Nyt täytyy kompleksiluvusta z = 1 i ottaa neliöjuuri, joten täytyy käyttää De Moivren kaavaa. Moduliksi saadaan z = 1 ) = argumentiksi joten arkuskosinia vastaava kulma on θ = arccos 1, θ = π nπ tai θ = π nπ. Lasketaan arkussiniä vastaava kulma vastaavasti θ = arcsin, joten arkusiniä vastaavat kulma on Nyt siis θ = π Juuret ovat täten muotoa θ = π nπ tai θ = 4π nπ. polaariesitykseksi saadaan w k = cos π kπ z = cos π ) i sin π )). ) sin π kπ )), missä k = 0, 1.

Juuret ovat vastaavasti.. KOMPLEKSILUKUKERTOIMINEN TOISEN ASTEEN YHTäLö 17 w 0 = cos π 0 π ) i sin π 0 π )) = cos π ) i sin π )) = cos π 6 ) i sin π 6 )) = 1 i) = 6 i w 1 = cos π 1 π ) sin π 1 π )) = cos 5π 6 ) i sin 5π 6 )) = 1 i) = 6 i. Polynomiyhtälön juuriksi saadaan x 1 = 1 x = 1 6 i) = 1 6 ) i 6 6 i) = 1 ) i. Jos polynomissa kaikki kertoimet ovat imaginaariset, voidaan yhteiseksi tekijäksi ottaa i. Tällöin juuret saadaan ratkaistua ratkaisukaavalla. Esimerkki.17. Ratkaise polynomin fx) = ix ix i juuret. Nyt fx) = ix ix i = ix x 1) = 0. Yhtälö toteutuu, kun x = 1 tai x = 1. Reaali- kompleksilukukertoimisen) toisen asteen yhtälön juurilla on yhteys sen kertoimiin, sillä juurten tulolle summalle pätevät seuraavat kaavat, joita kutsutaan Vietan kaavoiksi. Niitä tullaan tarvitsemaan kolmannen asteen yhtälön ratkaisemisessa. Lause.18. Olkoot x 1, x C polynomin P x) = a x a 1 x a 0 juuret, silloin x 1 x = a 1 a x 1 x = a 0 a.

.. KOMPLEKSILUKUKERTOIMINEN TOISEN ASTEEN YHTäLö 18 Todistus. Olkoon x 1 x toisen asteen yhtälön P x) = a x a 1 x a 0 = 0 ratkaisut. Nyt x 1 x = a 1 a 1 4a a 0 a 1 a 1 4a a 0 a a x 1 x = = a 1 a 1 a = a 1 a = a 1 a a1 a 1 4a a ) 0 a1 a 1 4a a ) 0 a a = a 1) a 1 4a a 0 ) 4a = a 1) a 1 4a a 0 ) 4a = a 1 a 1 4a a 0 4a = 4a a 0 4a = a 0 a. Esimerkki.19. Ratkaise toisen asteen yhtälön x 9x 0 = 0 juuret Vietan kaavojen avulla. Sijoitetaan toisen asteen yhtälön kertoimet Vietan kaavaan saadaan näin ollen yhtälöpari: x 1 x = 9 1 = 9 x 1 x = 0 1 = 0. Vietan kaavoista nähdään selvästi, että juuret ovat x 1 = 4 x = 5. Ne tosiaan ovat oikeat, koska sijoitettaessa ne toisen asteen yhtälöön, yhtälö toteutuu. Edellisessä esimerkissä kävi hyvin juuret nähtiin helposti, mutta näin ei aina käy. Vietan kaavat eivät ole juurien ratkaisemiseen paras mahdollinen keino, koska ratkaistaessa juuria se palautuu toisen asteen yhtälöksi. Tällöin täytyisi käyttää toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. Miksi sitä ei tekisi sitten heti aluksi? Parempi keino käyttää Vietan kaavo on esimerkiksi ratkaista polynomi, jonka juuret ovat tiedossa. Tähänkin löytyy parempia keino, mutta tässä tutkielmassa niitä ei tarvita. Esimerkki.0. Muodosta Vietan kaavojen avulla polynomi, jonka juuret ovat 1. Haetaan polynomia muodossa x a 1 x a 0 eli a = 1, jolloin Vietan kaavat supistuvat yksinkertaisempaan muotoon. Nyt x 1 x = a 1 x 1 x = a 0.

.. KOMPLEKSILUKUKERTOIMINEN TOISEN ASTEEN YHTäLö 19 Kertoimiksi saadaan a 1 = 1 )) = a 0 = 1 ) =. Polynomiksi saadaan x x.

LUKU Kolmannen asteen yhtälö Tässä luvussa tutustutaan erilaisiin keinoihin ratkaista kolmannen asteen yhtälön juuret. Lukiossa kolmannen asteen yhtälöitä ratkotaan arvaamalla ensimmäinen juuri käyttämällä sen jälkeen kokulmaa. Tällöin vaillinaiseksi osamääräksi saadaan toisen asteen yhtälö, jonka ratkaisut saadaan ratkaisukaavalla. Arvaaminen saattaa kuitenkin osoittautua hieman hankalaksi tarvitaan muita keino. Tällöin kolmannen asteen yhtälö voidaan ratkaista kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavalla, Cardanon kaavoilla. Myös Cardanon kaavat sisältävät diskriminantin, jonka arvosta saadaan selville juurien määrä laatu. Diskriminantin ollessa negatiivinen päädytään Casus irreducibilis-tilanteeseen, jossa kompleksiluvusta täytyy ottaa kuutiojuuri. Tämä onnistuu tutulla De Moivren kaavalla. Kuutiojuurenotto voidaan kyllä välttää käyttämällä hyväksi kosinin kolminkertaisen kulman kaavaa. Tässä luvussa esitellään myös eräs vähemmin tunnettu tapa, jolla saadaan kolmannen asteen yhtälö ratkaistua. Sitä voidaan kutsua determinanttimenetelmäksi..1. Kolmannen asteen yhtälön helppo ratkaisutapo Tässä kappaleessa näytetään kuinka kolmannen asteen yhtälöitä voidaan ratkaista erikoistapauksissa sekä kuinka juuret saadaan selville arvaamalla. Määritellään ensiksi kolmannen asteen polynomiyhtälö katsotaan sen muutama ominaisuus. Määritelmä.1. Kolmannen asteen polynomiyhtälö on muotoa missä a, a, a 1, a 0 R, a 0. a x a x a 1 x a 0 = 0, Toisen asteen polynomiyhtälöllä ei välttämättä ole yhtään reaalista juurta, mutta kolmannen asteen polynomilla on ainakin yksi reaalijuuri. Lause.. Olkoon fx) kolmannen asteen polynomi. Tällöin löytyy aina reaaliluku a siten, että fa) = 0. Todistus. Tarkastellaan yhtälöä fx) = 0 eli a x a x a 1 x a 0 = 0. Ilman yleisyyden menetystä voidaan olettaa, että a > 0 jos a < 0, päättely menee oleellisesti samalla tavalla). Tällöin lim fx) = x lim fx) =. x Koska f on tkuva, niin Bolzanon lauseen edellä laskettujen ra-arvojen perusteella sillä on ainakin yksi nollakohta. 0

.1. KOLMANNEN ASTEEN YHTäLöN HELPPOJA RATKAISUTAPOJA 1 Koska kolmannen asteen polynomille löytyy aina yksi reaalinen juuri a, niin tällöin ettaessa polynomi binomilla x a) saadaan kojäännökseksi alkuperäistä polynomia yksi aste alempi polynomi eli toisen asteen polynomi. Täten kolmannen asteen polynomi voidaan aina esittää ensimmäisen toisen asteen polynomin avulla. Loput juuret ratkeavat helposti toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. Lause.. Olkoon fx) = a x a x a 1 x a 0 kolmannen asteen polynomi a sen reaalijuuri. Tällöin fx) voidaan esittää muodossa missä b, b 1, b 0 R, b 0. fx) = x a)b x b 1 x b 0 ), Todistus. Lauseen. nolla on olemassa reaaliluku a Algebran peruslauseen nolla polynomi f on ollinen binomilla x a). Tällöin polynomien koyhtälöstä saadaan fx) x a = a x a x a 1 x a 0 = b x b 1 x b 0 ). x a Seuraavaksi esimerkki tästä ratkaisutavasta. Esimerkki.4. Kolmannen asteen polynomiyhtälön x x x 1 = 0 yksi juuri on 1. Polynomi voidaan kirjoittaa muotoon x x x 1 = x 1)x x 1). Toisen asteen yhtälön juuriksi saadaan x 1 = ) ) 4 1 1) = 8 = 1 1 x = ) ) 4 1 1) = 8 = 1 1 Kolmannen asteen polynomiyhtälön juuret ovat 1, 1 1. Kolmannen asteen polynomi voidaan esittää juuriensa avulla. Lause.5. Olkoon fx) = a x a x a 1 x a 0 kolmannen asteen polynomi. Täsmälleen yksi seuraavista kohdista pitää paikkansa Polynomilla on yksi kolminkertainen reaalinen juuri x 1. Tällöin polynomi voidaan kaa tekijöihinsä seuraavanlaisesti fx) = a x x 1 ). Polynomilla on kaksi erisuurta reaalista juurta x 1 x, joista x on kaksinkertainen juuri. Tällöin polynomi voidaan kaa tekijöihinsä seuraavanlaisesti fx) = a x x 1 )x x ).

.1. KOLMANNEN ASTEEN YHTäLöN HELPPOJA RATKAISUTAPOJA Polynomilla on kolme erisuurta reaalista juurta x 1, x x. Tällöin polynomi voidaan kaa tekijöihinsä seuraavanlaisesti fx) = a x x 1 )x x )x x ). Polynomilla on yksinkertainen reaalijuuri x 1. Tällöin polynomi voidaan kaa tekijöihinsä seuraavanlaisesti fx) = a x x 1 )sx) missä sx) on toisen asteen polynomi, jolla ei ole reaalisia nollakohtia. Huom! Tällöin juurina on x 1 kompleksikonjugaatit z z. fx) = a x x 1 )x z)x z) Kolmannen asteen yhtälöllä on täsmälleen kolme kompleksista juurta polynomi voidaan esittää tulomuodossa juuriensa avulla. Lause.6. Olkoon x 1, x, x C kolmannen asteen polynomin P x) = a x a x a 1 x a 0 juuria. Tällöin P x) = a x a x a 1 x a 0 = a x x 1 )x x )x x ). Edellä on nähty, kuinka polynomiyhtälö voidaan ratkaista arvaamalla. Näytetään seuraavaksi, kuinka kolmannen asteen polynomiyhtälö voidaan ratkaista ryhmittelemällä tekijät. Esimerkki.7. Ratkaise yhtälön x x 4x 4 = 0 juuret ryhmittelemällä. Huomataan, että kahdesta ensimmäisestä termistä voidaan ottaa tekijäksi x lopuista luku 4. Saadaan, että x x 1) 4x 1) = 0. Nyt voidaan ottaa yhteiseksi tekijäksi x 1) saadaan polynomi muotoon x 4)x 1) = 0. Polynomiyhtälö toteutuu, kun x = 1 tai x = ±. Polynomi voidaan kaa tekijöihinsä seuraavanlaisesti x x 4x 4 = x 1)x )x ). Tähän mennessä kolmannen asteen yhtälö on saatu ratkaistua ryhmittelemällä tekijät sekä arvaamalla. Kolmannen asteen yhtälö voi olla vaillinainen eli joku sen kertoimista voi olla nolla, mutta tietenkin a 0. Katsotaan ensiksi tapaus, jossa kolmannen asteen yhtälössä a, a 1 = 0. Yhtälö supistuu tällöin muotoon a x a 0 = 0, joka on vastaavanlaisesti ratkaistavissa kuin toisen asteen yhtälö Esimerkissä.5, mutta ratkaisuun tarvitaan neliöjuuren sian kuutiojuurta.

.1. KOLMANNEN ASTEEN YHTäLöN HELPPOJA RATKAISUTAPOJA Esimerkki.8. Ratkaise kolmannen asteen yhtälön x 8 = 0 juuret. x 8 = 0 x = 8 x = 8 x = Yhtälön kolminkertainen juuri on. Polynomi voidaan kaa tekijöihinsä x 8 = x ) = 0. Jos kolmannen asteen yhtälössä a 0 = 0, yhtälö supistuu muotoon a x a x a 1 x = 0. Tällöin tekijäksi voidaan ottaa x, jolloin yhtälö saadaan muotoon a x a x a 1 x = xa x a x a 1 ) = 0. Polynomiyhtälö totetutuu silloin kun x = 0 tai a x a x a 1 ) = 0. Toisen asteen yhtälön juuret saadaan ratkaistua ratkaisukaavalla. Esimerkki.9. Ratkaistaan kolmannen asteen polynomin x x x juuret. Kolmannen asteen polynomi voidaan kirjoittaa muotoon x x x = xx x ). Esimerkin.4 avulla nähtiin, että toisen asteen yhtälön juuret ovat 1. Kolmannen asteen polynomin juuret ovat siis 1, 0. Polynomi voidaan kirjoittaa muotoon x x x = x 0)x 1)x ) = xx 1)x ). Edellisestä kappaleesta tutut Vietan kaavat pätevät myös kolmannen asteen yhtälöön. Seuraava lause kertoo kolmannen asteen yhtälön juurien yhteyden yhtälön kertoimiin. Lause.10. Olkoot x 1, x, x C polynomin P x) = a x a x a 1 x a 0 nollakohdat eli juuret, silloin x 1 x x ) = a a, x 1 x x x x x 1 = a 1 a x 1 x x = a 0 a. Todistus. Olkoon x 1, x x kolmannen asteen yhtälön P x) = a x a x a 1 x a 0 juuret. Tällöin x x 1 )x x )x x ) = x xx xx 1 x 1 x )x x ) = x x x x x 1 x 1 x x x x xx x xx 1 x x 1 x x = x x x 1 x x ) xx 1 x x x x x 1 ) x 1 x x.

Nyt.. CARDANON KAAVAT 4 x x x 1 x x ) xx 1 x x x x x 1 ) x 1 x x = x a x a 1 x a 0, a a a josta saadaan, että x 1 x x ) = a, a x 1 x x x x x 1 = a 1 a x 1 x x = a 0 a. Edellisessä luvussa huomattiin, että Vietan kaavat eivät ole paras mahdollinen keino etsiä yhtälön juuria. Seuraavaksi esimerkki, jossa täytyy määrittää kolmannen asteen polynomi, kun juuret tiedetään. Esimerkki.11. Etsi kolmannen asteen polynomi fx) = a x a x a 1 x a 0, jonka juuret ovat, 7. Valitaan a = 1, jolloin Vietan kaavat supistuvat yksinkertaisempaan muotoon. Siten polynomin kertoimiksi saadaan a = 7) = 6, a 1 = 7 7 ) = 1 a 0 = ) 7 = 4. Kolmannen asteen polynomi on fx) = x 6x 1x 4. Edellä on esitetty muutamia erilaisia tapo ratkaista kolmannen asteen yhtälön juuret, mutta aina ei päästä näin helpolla. Silloin on otettava käyttöön toisenlaiset ratkaisukeinot. Seuraavaksi päästään tutustumaan Cardanon kaavoihin, joiden avulla jokainen kolmannen asteen polynomiyhtälö voidaan ratkaista... Cardanon kaavat Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavojen historia on mielenkiintoinen. Vaikka ratkaisukaavo kutsutaan Cardanon kaavoiksi, Cardano ei itse keksinyt niitä. Hän kylläkin kehitti ratkaisukaavo ratkaisi apulaisensa, Ferrarin, kanssa neljännen asteen yhtälön ratkaisukaavatkin. Näitä kutsutaan Ferrarin kaavoiksi, mutta niihin ei tässä tutkielmassa perehdytä. Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavan takana on Fontano, joka luovutti ratkaisukaavan runomuodossa Cardanolle paremman työpaikan toivossa. Cardano lupasi olla palstamatta ratkaisua kenellekään. Cardano huomasi kaavojen ongelman, jossa negatiivisesta luvusta täytyy ottaa neliöjuuri. Cardano kysyi neuvoa Fontanolta, mutta tämä vastasi vaikeaselkoisesti, koska halusi harhauttaa Cardanoa. Hän kuitenkin onnistui päättelemään, kuinka ongelma ratkaistaan.

.. CARDANON KAAVAT 5 Lupauksesta piittaamatta Cardano julkaisi kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavan omassa teoksessaan, jolloin Fontano raivostui. Hän kirjoitti loukkaavia kommentte Cardanosta, jolloin Ferrari suuttui. Hän haastoi Fontanon kaksintaisteluun, jossa täytyi ratkaista kolmannen neljännen asteen yhtälöitä. Fontano kieltäytyi tästä halutessaan haastaa vain Cardanon. Kuitenkin kuullessaan hyvästä työpaikasta Bresciassa Fontano atteli näyttää taitonsa suostumalla Ferrarin haasteeseen. Fontano huomasi ensimmäisenä haastepäivänä, että Ferrari osasi ratkaista yhtälöitä paremmin kuin hän itse. Niinpä hän häpeän pelossa poistui paikalta salaa yön aikana. Vaikka Fontano oli alun perin kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavan keksijä, hän joutui elämään loppuelämänsä köyhyydessä. Haasteeseen osallistumisen takia hänelle ei enää ensimmäisen vuoden jälkeen maksettu Bresciassa palkkaa. Cardano sen sian oli arvostettu matemaatikko lääkäri. Fontano esitti kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavan runona. Kun kuutio asiat yhdessä Ovat yhtä kuin jokin hienovarainen luku, Etsi kaksi muuta lukua, jotka eroavat siitä. Sitten otat tavaksesi Että niiden tulo on aina sama Kuin kolmannen asian kuutio. Loput ovat sitten aina Vähennettyinä kuutiojuuristaan Saman suuruisia kuin tärkein asia Näistä näytöksissä toisessa, Ja kun kuutio on yksin, Huomaat nämä muut yhtäläisyydet: Jaat heti luvun kahteen osaan Niin että yksi kerrottuna toisella tuottaa selvästi Täsmälleen kolmannen asian kuution. Sitten näistä kahdesta osasta Otetaan kuutiojuuret lasketaan yhteen, Ja tämä summa on atuksesi. Kolmas näistä laskuistamme Ratkeaa toisen avulla jos olet huolellinen, Sillä ne vastaavat melkein toisiaan luonnostaan. Nämä asiat sain tietää, enkä laiskoin askelin, Vuonna tuhat viisisataa kolmekymmentä neljä. Vahvoin tukevin perustein Meren vyöttämässä kaupungissa. Selvyyden vuoksi johdetaan kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavat matemaattisesti.

.. CARDANON KAAVAT 6 Lähdetään tarkastelemaan yhtälöä a z a z a 1 z a 0 = 0, a 0. Voimme olettaa, että a = 1. Voimme kaa sillä yhtälön molemmat puolet näin ollen yhtälö muotoutuu yksinkertaisempaan muotoon. Sijoittamalla yhtälöön z = x a saadaan eliminoitua toisen asteen termi. Nyt a z a z a 1 z a 0 = x a ) a x a ) a 1 x a ) a 0 = x a )x xa a 9 ) a x xa a 9 ) a 1 x a ) a 0 = x x a a x xa xa 9 x a xa a 9 7 = x xa 1 a ) a 0 a 1a Yksinkertaistetaan muotoa merkkaamalla kertoimiksi a 9 a 1x a 1a a 0 a 7. p = a 1 a q = a 0 a 1a a 7. Alkuperäinen yhtälö saadaan supistettuun muotoon, jossa ei ole enää toisen asteen termiä x px q = 0. Sijoitetaan tämän jälkeen yhtälöön x = u v, jolloin saadaan x px q = u v) pu v) q Yhtälö toteutuu ainakin, jos = u v)u uv v ) pu pv q = u u v uv u v v u v pu pv q = u v q) uv p)u v) = 0. u v = q uv = p. Oikeanpuoleinen yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon u v kaavojen nolla u v ovat toisen asteen yhtälön = p ), jolloin Vietan w qw p ) = 0 ratkaisu. Tästä eteenpäin yhtälö osataan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavo käyttäen. Saadaan, että w 1 = q q 4 p ) w = q q 4 p ) = q q = q q ) p ) ) p ).

.. CARDANON KAAVAT 7 Toisen asteen yhtälön ratkaisut ovat siis u v eli u = w 1 sekä v = w, joten u = q q ) p ) v = q q ) p ). Niinpä u v = q q ) p ) q q p ) ) = q u v = q q ) p ) ) q q ) p ) ) p ). = Siispä uv on yksi yhtälön x pxq = 0 ratkaisu. Onko yhtälöllä muita ratkaisu? Kompleksilukujen ominaisuuksista selvisi, että yhtälöllä w n = z on täsmälleen n eri ratkaisua kompleksilukujen joukossa, joten molemmille muuttujille u sekä v saadaan kolme ratkaisua u, ζu, ζ u v, ζv, ζ v, missä ζ on eräs ykkösen kolmas juuri ζ = 1, ζ = cos π i sin π = 1i. ). Tällöin jos u = q q ) p ) niin myöskin ζu) = ζ u = q q ) p ) ζ u) = ζ 6 u = q q ) p ). Täten ehdon u v = p ) toteuttavia ratkaisupare u, v) on yhdeksän. On muistettava, että lisäksi halutaan, että uv = p. Jos nyt u 0, v) on jokin ratkaisu, niin se täyttää ehdon jonkin tuloista u 0 v) = p ) u 0 v, u 0 ζv) tai u 0 ζ v) täytyy toteuttaa ehto uv = p. Oletetaan, että toinen tulon tekijöistä on v 0. Nyt ensimmäiseksi ratkaisuksi saadaan z 1 = u 0 v 0. Muut ehdon täyttävät ratkaisuparit ovat ζu 0, ζ v 0 ) ζ u 0, ζv 0 ), joista saadaan loput ratkaisut eli z = ζu 0 ζ v 0 z = ζ u 0 ζv 0.

.. CARDANON KAAVAT 8 Esimerkiksi ratkaisupariksi ei käy ζ u, ζ v), koska niiden tulossa on ylimääräinen ζ ζ uζ v = ζ 4 uv = ζ 4 p ) = ζζ p ) = ζζ p ) = ζ p ). Ratkaisut voivat tietenkin olla samo, jolloin saadaan kaksinkertainen tai kolminkertainen juuri. Huom! Alkuperäisen yhtälön a z a z a 1 z a 0 = 0, a 0 ratkaisut saadaan ensimmäisen sijoituksen z = x a avulla. Lause.1. Cardanon kaavat) Yhtälön z pz q = 0, p, q C ratkaisut ovat kompleksiluvut z 1 = u 0 v 0, z = ζu 0 ζ v 0 z = ζ u 0 ζv 0, missä u 0 = q q ) p ) v 0 = q q ) p ) kuutiojuurten arvojen täytyy täyttää ehto u 0 v 0 = p. Todistus. Kolmannen asteen yhtälöllä on maksimissaan kolme ratkaisua, jotka edellisellä johtamisella löydettiin eli näin ollen Cardanon kaavaa ei tässä tutkielmassa enää sen kummemmin todisteta. Esimerkki.1. Ratkaise yhtälö x x 4 = 0 Cardanon kaavojen avulla. Nyt p = q = 4, joten u 0 = 4 4 ) ) = 100 7 v 0 = 4 4 ) ) = 100. 7

.. CARDANON KAAVAT 9 Vaadittava ehto täyttyy eli u 0 v 0 =. Yhtälön ratkaisu ovat siis z = = 1 z 1 = ) 1i i 100 100 =, 7 7 100 7 1i ) ) 100 100 7 7 ) 100 100 7 7 100 7 = 1 ) i ) = 1 i z = = 1 i. 1i ) 100 7 1i ) 100 7. Yhtälön juuret ovat siis, 1 i 1 i. Määritelmä.14. Kolmannen asteen yhtälön supistettu muoto on missä p, q C. x px q = 0, Kaikki kolmannen asteen reaali- ) kompleksikertoimiset yhtälöt voidaan palauttaa supistettuun muotoon muuttunvaihdon avulla. Näin ollen saadaan ratkaistua juuret Cardanon kaavojen avulla. Lause.15. Olkoon x a x a 1 xa 0, a, a 1, a 0 C kolmannen asteen polynomi. Muuttunvaihdolla x = y a saadaan sievennettyä polynomi supistettuun muotoon missä p = a 1 a q = a 0 a 1a a 7. x px q, Huom! Alkuperäisen polynomin juuret saadaan selville lisäämällä a supistetun muodon juuriin.

.. CARDANON KAAVAT 0 Esimerkki.16. Ratkaise yhtälön x 4x 6x 4 = 0 juuret. Nyt a = 4, a 1 = 6 a 0 = 4, joten p = 6 4) q = 4 6) 4) Tällöin yhtälön supistettu muoto on = 4) 7 = 0 7. x x 0 7 = 0. Ratkaistaan tämä yhtälö Cardanon kaavojen avulla, jolloin saadaan u 0 = 0 10 = 7 7 ) 4 7 = 10 7 v 0 = 0 10 = 7 7 ) 4 7 = 10 7 0 ) 7 ) 0 7 ) ) ) ehto u 0 v 0 = = täyttyy. Supistetun yhtälön ratkaisuiksi saadaan 9 z 1 = u 0 v 0 = 10 7 10 7 =, z = ζu 0 ζ v 0 = = 1 i 1i ) 10 7 ) 1i ) 10 7 z = ζu 0 ζ v 0 = 1i ) 10 7 1i ) 10 7 = 1 i.

Alkuperäisen yhtälön juuret ovat.. CASUS IRREDUCIBILIS 1 x 1 = z 1 4 = 4 =, x = z 4 = 1 i 4 = 1 i x = z 4 = 1 i 4 = 1 i... Casus irreducibilis Kolmannen asteen yhtälön ratkaisemissa Cardanolle tuli ongelmia, kun kompleksiluvusta piti ottaa kuutiojuuri. Tätä kutsutaan Casus irreducibilikseksi, joka tarkoittaa kautumatonta tapausta. De Moivren kaavan avulla saadaan otettua kompleksiluvuista kolmas juuri trigonometriasta tuttujen kaavojen avulla. Näin ollen Cardanon kaavat säilyvät toimivina. Seuraavassa esimerkissä näytetään, kuinka Casus irreducibilis-tilanne saadaan ratkaistua. Siinä kompleksiluvusta otetaan kuutiojuuri ensimmäisestä luvusta tuttua De Moivren kaavaa käyttämällä. Esimerkki.17. Ratkaise yhtälön x 7x 6 = 0 juuret. Nyt p = 7 q = 6, joten u 0 = 6 6 ) 7 ) = = 100 7 10 i. v 0 = 10 i. Muutetaan kompleksiluvut z 1 = 10 i z = 10 i polaarimuotoon. Kompleksiluvun z 1 moduli on ) 7 ) 10 z 1 = ) =. Lasketaan luvun z 1 argumentti eli kulma θ. Määritelmän 1.1 mukaan kulman θ pitää toteuttaa yhtälö θ 1 = arccos 7 ),

.4. DISKRIMINANTTI joten θ 1 147, tai π θ 1 1, 7. Kulman θ tulee toteuttaa myös yhtälö θ = arcsin 10 7 ) = 10, 4 joten θ, 7 tai π θ ) 147,. Argumenttikulma on siis θ 147,. Kompleksiluvun z 1 polaariesitys on 7 z 1 = cos θ i sin θ). Juuret ovat täten muotoa ) )) 7 θ kπ θ kπ w k = cos i sin, missä k = 0, 1,. Koska z z 1 ovat kompleksikonjugaatte, niin z 1 = z argz ) = argz 1 ). Tällöin kompleksiluvun z polaariesitys on 7 z = cos θ) i sin θ)). Juuret ovat täten muotoa ) )) 7 θ kπ θ kπ q k = cos i sin, missä k = 0, 1,. Kuutiojuurten arvojen täytyy täyttää ehto uv = 7 = 7. Ehdon täyttävät luvut ovat w 0 q 0, koska 7 w 0 q 0 = cos θ ) i sin θ )) ) )) 7 cos θ i sin θ 7 = ) cos θ θ)) i sin θ θ)) 7 = ) cos 0 i sin 0) = 7. Yhtälön ratkaisuiksi saadaan x 1 = w 1 q 1 = x = ζw 1 ζ q 1 = x = ζ w 1 ζq 1 = 1..4. Diskriminantti Luvussa palautettiin mieleen diskriminantti. Myös Cardanon kaavoissa neliöjuuren alla olevaa lauseketta kutsutaan diskriminantiksi sen arvon perusteella saadaan tietoon ratkaisujen määrä laatu. Määritellään seuraavaksi kolmannen asteen yhtälön supistetun muodon diskriminantti.

.4. DISKRIMINANTTI Määritelmä.18. Olkoon x px q = 0, p, q C. Yhtälön diskriminantti on q ) p ). D = Diskriminantin arvosta nähdään, kuinka monta reaalista kompleksista juurta on yhtälöllä. Lause.19. Olkoon D kolmannen asteen yhtälön x px q = 0 diskriminantti. Jos D > 0: Yhtälöllä on yksi reaalinen juuri kaksi kompleksista juurta, jotka ovat toistensa kompleksikonjugaatte eli liittoluku. D = 0: Yhtälöllä on kaksi reaalista juurta. D < 0: Yhtälöllä on kolme reaalista juurta. Todistus. Tapaus D > 0: Kun q ) p ) D = > 0, Cardanon kaavojen avulla ensimmäiseksi juureksi z 1 = u 0 v 0 tulee reaalinen. Koska D > 0, neliöjuuresta tulee reaalinen luku, joten kuutiojuuren alle tulee myöskin reaaliluku. Toinen juuri saadaan kaavalla z = ζ = 1i = 1i = 1 q q i ) q q q q q q q q p ) ζ ) ) ) p p p ) ) ) ) p q q ) 1i ) 1 i ) q q ) q q ) p q q q q ) ) p ) p ) ) ). ) p ) p

Kolmanneksi juureksi saadaan ) z = ζ q q = = = 1 1i ) 1 i ) i.4. DISKRIMINANTTI 4 p q q q q q q q q ) ) ζ ) ) p ) p p ) p q q ) ) ) 1i ) 1i ) q q ) q q p ) q q q q ) p ) ) p ). ) ) ) p ) p Huomataan, että z z ovat toistensa liittoluku, imaginaariosa on nollasta eroava. Tällöin ne ovat todella kaksi toisistaan eroavaa kompleksista ratkaisua. Juuriksi saatiin yksi reaalinen juuri kaksi kompleksista juurta, jotka ovat toistensa liittoluku. Tapaus D = 0: Diskriminantin ollessa nolla, täytyy olla p < 0 tai p = 0 q = 0. Jos p < 0, Cardanon kaava antaa u 0 = q v 0 = q. Tällöin juuret ovat z 1 = q q = q, z = ζ q ζ q = 1 i ) = 1 i ) = q q 1 i ) q q 1 i ) q

z = ζ q ζ q = 1 i ) = 1 i ) q =..4. DISKRIMINANTTI 5 q 1 i ) q q 1 i ) q Nähdään, että z z ovat samat. Saatiin ratkaisuiksi reaalista juurta toinen niistä on kaksinkertainen juuri. Ja jos p = 0 q = 0, niin silloin yhtälöllä on kolminkertainen juuri z = 0. Tapaus D < 0: Tällöin p < 0. Kirjoitetaan u 0 v 0 muotoon u 0 = q q ) p ) v0 = q q ) p ). Huomataan, että nyt u 0 v 0 ovat kompleksikonjugaatte, koska diskriminantti on negatiivista. Näin ollen kaavan neliöjuuri on puhtaasti imaginaarinen. Diskriminantti voidaan kirjoittaa kompleksilukujen ominaisuuksien takia muotoon D = i D, kun D < 0. Täten u 0 = q i D v 0 = q i D. Kompleksiluvuista q i q ) p ) ) q i q ) p ) ) täytyy ottaa kuutiojuuri, joten muodostetaan niiden polaariesitykset rcos θ i sin θ). Moduliksi saadaan r = q ) q ) p )) ) = q ) q ) p ) ) ) = q = = p ) p ). ) q ) p )

Nyt joten Tällöin.4. DISKRIMINANTTI 6 cos θ = q r = θ = arccos q p ), q p ). u k = p ) cos θ kπ ) i sinθ kπ ) ) = p cos θ kπ ) i sinθ kπ ) ) v k = p ) cos θ kπ ) i sinθ kπ ) ) = p cos θ kπ ) i sinθ kπ ) ), missä k = 0, 1,. Ehto u k v l = p pätee, kun k = l u k v k ovat toistensa kompleksikonjugaatit, joten u k v k = u k ū k = u k = p. Supistetun muodon ratkaisut ovat z 1 = u 0 v 0 = p ) cos θ i sin θ p ) cos θ i sin θ = p cos θ, z = u 1 v 1 = p ) cos θ π ) i sin θ π ) p ) cos θ π ) i sin θ π ) = p ) cos θ π ) z = u v = p ) cos θ 4π ) i sin θ 4π ) p ) cos θ 4π ) i sin θ 4π ) = p ) cos θ 4π ). Kun p < 0, kaikki juuret ovat tällöin reaaliset eri suuruiset. Näin ollen saatiin kolme eri ratkaisua.

.4. DISKRIMINANTTI 7 Esimerkki.0. Yhtälöllä x x 4 = 0 on yksi reaalinen juuri kaksi kompleksista juurta, koska 4 ) ) 100 D = = 7 > 0. Lauseen.19 todistuksessa huomataan, että diskriminantin ollessa tiedossa kolmannen asteen yhtälön juuret supistuivat yksinkertaisimpiin muotoihin. Seuraavassa esimerkissä tarkastellaan tilannetta, jossa diskriminantti on positiivinen. Esimerkki.1. Ratkaise yhtälön x x 4 = 0 juuret. Edellisestä esimerkistä nähdään, että D = 100 > 0. Tällöin yhtälön juuret ovat 7 z 1 = 4 100 7 4 100 7 =, z = 1 4 116 7 4 D) i 4 D 4 D) = 1 i z = 1 4 D 4 D) i 4 D 4 D) = 1 i. Edellä on nähty, kuinka Casus irreducibilis saadaan ratkaistua De Moivren kaavaa käyttäen, mutta esitellään toinenkin tapa ratkaista se. Siinä käytetään kosinin kolminkertaisen kulman kaavaa näin ollen vältetään kuutiojuurenotto kompleksiluvusta. Silloin kun D < 0, täytyy p < 0. Tehdään kolmannen asteen yhtälön supistettuun

.4. DISKRIMINANTTI 8 p muotoon sijoitus x = y. Tällöin saadaan p p x px q = y ) py ) q = 8y p ) p yp q = 8y p ) 1 y p ) 1 q = p ) 4y y q ) = 0, missä q = q. Yhtälö x px q = 0 toteutuu siis täsmälleen silloin kun p ) 4y y = q. Sijoitetaan saatuun yhtälöön y = cost) q = cosφ), missä φ = arccosq ) = arccos q ). Tämä on mahdollista tapauksessa D < 0, koska q < 1. Tällöin p ) myös y < 1, koska muulloin lausekkeen 4y y >1. Yhtälö saadaan muotoon 4 cos t) cost) = cosφ). Luvusta 1 tuttua kosinin kolminkertaisen kulman summakaavaa cost) = 4 cos t) cost) käyttäen saadaan yhtälö muotoon cosφ) = cost). Yhtälö toteutuu, kun t = {± φ, ±φ π ), ±φ 4π )}. Koska cosu) = cos u), niin voidaan valita t = { φ, φ π ), φ 4π )}. Tällöin juuret ovat missä φ = arccos q ). p ) p x 1 = cosφ ), p x = cosφ π ) p x = cosφ 4π ), Nähdään, että viimeisin tapa oli selvästi lyhyempi vaati vain muistutusta kosinin kolminkertaisen kulman summakaavasta. Seuraava lause tiivistää edellisen johtamisen tuloksen.