Esimerkkejä derivoinnin ketjusäännöstä (5.9.008 versio 1.0) Esimerkki 1 Määritä funktion f(x) = (x 5) derivaattafunktio. Funktio voidaan tulkita yhdistettynä funktiona, jonka ulko- ja sisäfunktiot ovat ulkofunktio: u(x) = x sisäfunktio: s(x) = x 5 f(x) = u(s(x)). = du(s(x)) } ds {{ } ulkofunktion derivaatta, johon laitettu alkuperäinen sisäfunktio s(x) sisään u (s(x)) ds(x) } {{ } sisäfunktion derivaatta s (x) Tarvitsee siis laskea ulko- ja sisäfunktion derivaatat ulkofunktio: u (x) = x 3 sisäfunktio: s (x) =. Yhdistetyn funktion derivaatta voidaan nyt rakentaa näistä paloista = (x 5)3 ulkofunktion derivaatta x 3, johon laitettu x 5 sisäfunktioksi }{{} sisäfunktion derivaatta on Sievennetty tulos on = 8(x 5)3
Esimerkki Määritä funktion f(x) = 7 x derivaattafunktio. Tulkitaan f(x) yhdistettynä funktiona ja lasketaan ulko- ja sisäfunktion derivaatat ulkofunktio: u(x) = x 1 u (x) = 1 x 1 sisäfunktio: s(x) = 7 x s (x) = x Kysytty derivaatta on siten = 1 (7 x ) 1 ulkofunktion derivaatta u (x), johon laitettu 7 x sisäfunktioksi ( x) sisäfunktion derivaatta x Sievennyksen jälkeen tulos on = x (7 x ) 1 x = 7 x
Esimerkki 3 Määritä funktion U(x) = sin 3x derivaattafunktio ja laske derivaatan arvo pisteessä x = π. Tämä voidaan tulkita kolmen funktion yhdistelmänä. Kutsutaan näitä lyhyesti nimillä f, g, h, jolloin U = f g h. Ketjusääntöön tulee nyt yksi kertolasku aiempaa enemmän, mutta muuten rakenne on aivan sama kuin ennen. Tunnistetaan siis osafunktiot ja lasketaan niiden derivaatat. ulkofunktio: f(x) = x f (x) = x sisäfunktio 1: g(x) = sin x g (x) = cos x sisäfunktio : h(x) = 3x h (x) = 3 = (g(h(x))) } dg {{ } funktion johon sisäfunk- uloimman derivaatta, tungettu tioksi kaikki, mitä siellä alunperinkin oli, siis f (g(h(x))) dg(h(x)) } dh {{ } seuraavaksi sisemmän funktion derivaatta, johon tungettu sisäfunktioksi kaikki, mitä sen sisällä alunperinkin oli eli g ((h(x)) Sijoitetaan edellä lasketut derivaatat ja funktiot paikoilleen = (sin 3x) ulkofunktion derivaatta x, johon laitettu sin 3x sisäfunktioksi cos 3x sisäfunktion 1 derivaatta cos x, johon laitettu sisäfunktio. (x) } {{ } sisimmän funktion derivaatta h (x) }{{} 3 sisäfunktion derivaatta on 3 Sievennetään tulos = 6 sin 3x cos 3x = 3 sin 6x. Lopussa on sovellettu kaksinkertaisen kulman sinin kaavaa (sin x = sin x cos x). Derivaatan arvo pisteessä x = π saadaan sijoittamalla derivaattafunktioon kyseinen x:n arvo. ( ) 6π = 3 sin = 3. x= π Tämä merkitään yleensä lyhyesti U ( π ) = 3.
Esimerkki Määritä funktion W (x) = e 9x +x derivaatta. Tulkitaan W (x) yhdistettynä funktiona ja määritetään osafunktioiden derivaatat. ulkofunktio: u(x) = e x u (x) = e x sisäfunktio: s(x) = 9x + x s (x) = 18x + dw = e 9x +x u (s(x)) ( 18x + ) = ( 18x + ) e 9x +x s (x) Esimerkki 5 Määritä funktion sinh x derivaatta. Hyperboliset funktiot määritellään eksponenttifunktioiden avulla. sinh x = ex e x = 1 ex 1 e x Kyseessä on siis kahden funktion summa. Olkoon f(x) = 1 ex ja g(x) = 1 e x, jolloin sinh x = f(x) + g(x). Nämä on helppo derivoida, f (x) = 1 ex g (x) = 1 e x (merkki vaihtui sisäfunktion x derivaatasta tulevan miinuksen takia) Näin ollen derivaatta on sinh x = 1 ex + 1 e x = ex + e x = cosh x. Vastaavasti saadaan hyberbolisen kosinin derivointikaavaksi cosh x = sinh x. Huomaa, että toisin kuin tavallisten trigonometristen funktioiden kaavoissa, hyberpolisen kosinin derivaattakaavassa ei ole miinusmerkkiä. Nämä ovat tunnettuja derivointikaavoja, joita voi käyttää tällaisenaan. Niitä ei tarvitse joka kerta johtaa erikseen eksponenttifunktiomääritelmän kautta.
Esimerkki 6 Olkoon P = 1 U, U = 1 + R/3 ja R = T. Määritä derivaatta dp dt. Kyseessä on yhdistetty funktio P (U(R(T ))), joten sen derivaatta voidaan ratkaista ketjusäännöllä. Lasketaan tarvittavat derivaatat. Käytetään nyt hieman erilaista merkintää, kuin aiemmin. Halutessaan, tässäkin voi kirjoittaa kaikki funktiot apumuuttujan x avulla, mutta fysiikassa on hyvä totutella myös tällaiseen suorempaan merkintätapaan. P (U) = U 1 P (U) = U U(R) = 1 + R /3 U (R) = 3 R1/3 R(T ) = T R (T ) =. Vastaus saadaan asettamalla tarvittavat sisäfunktiot paikalleen dp dt = P (U) U (R) R (T ) = U 3 R1/3 = 8 R 1/3 = 8 (T ) 1/3 10/3 3 U 3 (1 + (T ) /3 ) = T 1/3 3 (1 + /3 T /3 )