Luvun 13 laskuesimerkit

Luvun 13 laskuesimerkit

Esimerkki 13.1 Olkoon Cavendishin vaa'an pienen pallon massa m 1 = 0.0100 kg ja suuren pallon m 2 = 0.500 kg (molempia kaksi kappaletta). Miten suuren gravitaatiovoiman F g pallot kokevat lähinnä olevan pallon vaikutuksesta kun pienen ja ison pallon välimatka on 0.0500 m? F g = Gm 1m 2 = 6.67 10 11 Nm 2 /kg 2 0.0100 kg 0.500 kg r 2 (0.0500 m) 2 F g = 1.33 10 10 N.

Esimerkki 13.2 Oletetaan nyt, että otamme kaksi pallukkaa edellisestä esimerkistä ja sijoitamme ne avaruuteen kauas muista kappaleista. Jos pallukat ovat taas 0.0500 m päässä toisistaan, niin miten suuret kiihtyvyydet niiden välinen gravitaatiovoima aiheuttaa? a 1 = F g = 1.33 10 10 N m 1 0.0100 kg a 2 = F g = 1.33 10 10 N m 2 0.500 kg = 1.33 10 8 m/s 2 = 2.66 10 10 m/s 2 Vaikka pallukoihin kohdistuva gravitaatiovoima on sama, on kevyemmän pallukan kiihtyvyys paljon suurempi!

Esimerkki 13.3 Minkä voiman Aurinko kohdistaa Maahan? Maan massa on M E = 5.97 10 24 kg, Auringon massa M = 1.99 10 30 kg, etäisyys on r = 1 AU = 149.6 10 6 km = 1.496 10 11 m. F g = GM em r 2 = 6.67 10 11 Nm 2 /kg 2 5.97 10 24 kg 1.99 10 30 kg (1.496 10 11 m) 2 F g = 3.54 10 22 N. Entä ihmiseen? Jos ihmisen massaksi oletetaan n. 70 kg, niin Auringon kohdistama voima on ainoastaan 0.415 N, n. 0.6 % Maan aiheuttamasta painosta!

Esimerkki 13.4 Marsin säde on r M = 3.40 10 6 m ja sen massa m M = 6.42 10 23 kg. Marsiin laskeutuvan luotaimen paino Maassa on 39200 N. Laske sen paino ja kiihtyvyys a) 6.0 10 6 m Marsin pinnan yläpuolella (suunnilleen samalla korkeudella kuin Marsin kuu Phobos) b) Marsin pinnalla. a) Luotaimen massa saadaan sen painosta Maassa: m = w g = 39200 N 9.80 m/s 2 = 4000 kg a)-kohdan tapauksessa etäisyys Marsin keskipisteeseen on r = 6.0 10 6 m + 3.40 10 6 m = 9.4 10 6 m.

Tästä saadaan painoksi F g = 6.67 10 11 Nm 2 /kg 2 6.42 10 23 kg 4000 kg (9.4 10 6 m) 2 F g = 1940 N Kiihtyvyys tässä pisteessä Marsin yläpuolella on g M = F g m = 1940 N 4000 kg = 0.48 m/s2 b) Marsin pinnalla puolestaan saadaan F g = 15000 N ja kiihtyvyys g M = 3.7 m/s 2.

Esimerkki 13.5 Jules Vernen kirjassa Maasta Kuuhun (1865) kolme astronauttia lähetetään Kuuhun aluksella, joka ammutaan liikkeelle valtavalla tykillä. a) Laske mikä nopeus suoraan ylöspäin ammuttavalla kuulalla on lähtöhetkellä oltava, jotta se saavuttaisi korkeuden, joka on sama kuin Maan säde? b) Laske pakonopeus, ts. nopeus, jolla kuula ei enää palaa Maahan. Ilmanvastus ja Maan pyöriminen jätetään nyt huomioimatta.

a) Maan säde, R E = 6.38 10 6 m ja m E = 5.97 10 24 kg. Kuula siis lähtee Maan pinnalta r 1 = R E ja saavuttaa korkeuden r 2 = 2R E, missä nopeus on nolla: K 1 + U 1 = K 2 + U 2 1 2 ( mv 2 1 + Gm ) ( E m = 0 + Gm ) E m R E 2R E

Mistä saadaan = = 7900 m/s. v 1 = Gm E R E 6.67 10 11 Nm 2 /kg 2 5.97 10 24 kg 6.38 10 6 m

b) Meille riittää, että kuula saavuttaa juuri ja juuri äärettömyyden, eli sen nopeus lähenee nollaa kun etäisyys lähenee ääretöntä. Tällöin siis sekä K 2 = 0 ja U 2 = 0. Tällöin saamme mekaanisen energian säilymislaista ( 1 mv 2 1 + Gm ) E m = 0 2 R E

eli = v 1 = 2Gm E R E 2 6.67 10 11 Nm 2 /kg 2 5.97 10 24 kg 6.38 10 6 m = 1.12 10 4 m/s. Tämä tulos voidaan yleistää mille tahansa pallosymmetriselle massajakaumalle, jonka massa on M ja säde R, pakonopeus 2GM v esc = R Maan tapauksessa se on em. 11.2 km/s, Marsille n. 5 km/s ja Jupiterille n. 60 km/s. Maan pyörimistä voidaan hyödyntää lähettämällä satelliitti Maata kiertävälle radalle Maan pyörimissuuntaan (itään) mahdollisimman lähellä päiväntasaajaa, tällöin tarvittava nopeus pienenee.

Esimerkki 13.6 Massaltaan 1000 kg oleva satelliitti kiertää ympyräradalla, jonka korkeus maanpinnasta on 300 km. a) Mikä on satelliitin ratanopeus, periodi ja kiihtyvyys? b) Kuinka paljon on pitänyt tehdä työtä, jotta satelliitti on saatu radalleen? c) Kuinka paljon lisää olisi tehtävä työtä, jotta satelliitti pääsisi pakenemaan Maan kiertoradalta? Käytetään Maan strategisille mitoille arvoja R E = 6380 km ja m E = 5.97 10 24 kg. a) Satelliitin radan säde on nyt r = 6380 km + 300 km = 6.68 10 6 m. Ympyräratanopeuden kaavasta saamme GmE 6.67 10 11 Nm 2 /kg 2 5.97 10 24 kg v = = r 6.68 10 6 m

Eli v = 7720 m/s. Kiertoaika puolestaan on T = 2πr v = 2π 6.68 106 m 7720 m/s T = 5440 s = 90.6 min. Radiaalikiihtyvyys a rad = v 2 r = (7720 m/s)2 6.68 10 6 m/s = 8.92 m/s2

b) Vaadittu työ vastaa erotusta mekaanisessa kokonaisenergiassa tilanteessa, jossa satelliitti on radallaan verrattuna alkutilanteeseen, jossa se on maanpinnalla. Ympyräradalla olevalle satelliitille johdettiin äsken E 2 = Gm em 2r = 6.67 10 11 Nm 2 /kg 2 5.97 10 24 kg 1000 kg 2 6.68 10 6 m = 2.99 10 10 J. Kun satelliitti pötköttelee maanpinnalla, sen mekaaninen energia on ( E 1 = K 1 + U 1 = 0 + Gm ) em R E = 6.67 10 11 Nm 2 /kg 2 5.97 10 24 kg 1000 kg 6.38 10 6 m = 6.25 10 10 J.

Vaadittu työ on siis W = E 2 E 1 = 2.99 10 10 J ( 6.25 10 10 J) = 3.26 10 10 J. c) Jotta satelliitti pääsisi karkaamaan äärettömyyteen, sen mekaanisen kokonaisenergian on oltava nolla. Toisin sanoen vaadittava lisätyö olisi nyt 2.99 10 10 J.

Esimerkki 13.7 Tarkastellaan nyt esimerkinomaisesti Keplerin 2. lakia. Tarkastellaan pientä aikaväliä dt, jolloin planeetan ja Auringon yhdysviivan suunta muuttuu kulman d θ verran. Aikaväli oletetaan niin lyhyeksi, että planeetan etäisyys r ei käytännössä muutu. Tällöin voimme kirjoittaa yhdysviivan pyyhkäisemän pienen sektorin pinta-alalle da (pintanopeus): da dt = 1 r 2 dθ 2 dt

Merkitään nyt planeetan ratanopeuden v paikkavektoria vastaan kohtisuoraa komponenttia v = v sin φ, missä φ on kulma planeetan paikkavektorin (tai yhdysviivan) ja nopeusvektorin välillä. Toisaalta kohtisuora siirtymä lyhyenä aikavälinä dt on rd θ, joten v = rdθ/dt. Sijoittamalla edellä olleeseen kaavaan saamme da dt = 1 rv sin φ 2 Toisaalta rv sin φ on vektorin r v suuruus ja liikemäärämomentin määritelmähän on L = r m v.

Näin ollen saamme da dt = 1 r m v = L 2m 2m Keplerin havainto pintanopeuden vakioisuudesta tarkoittaa siis sitä, että planeetan liikemäärämomentti säilyy. Ja toisin päin - Keplerin 2. lain voi johtaa liikemäärämomentin säilymisen perusteella. Planeetan liikemäärämonentin säilyminen on itse asiassa ilmeistä. Liikemäärämomentin muutoksellehan on aiemmin kirjoitettuna d L dt = τ = r F Planeetan tapauksessa paikkavektori r osoittaa kohti planeettaa, toisaalta Aurinkoon osoittava voimavektori on sille vastakkaissuuntainen, jolloin vektoritulo r F = 0, ts. d L/dt = 0. (1)

Liikemäärämomentti on vakio paitsi suuruudeltaan, niin myös vektorimuodossa. Tämä tarkoittaa sitä, että koska vektori L = r m v on kohtisuorassa vektoreita r ja v vastaan, tapahtuu planeetan liike paikka- ja nopeusvektoreiden määrittämässä tasossa, ratatasossa. Aurinkokunnassamme kaikkien planeettojen ratatasot ovat melko lähellä toisiaan, mikä kertoo yhtä jos toista aurinkokunnan syntyprosessista.

(Wikimedia Commons: Mintz)

Esimerkki 13.8 Asteroidi Pallaksen rataperiodi on 4.62 vuotta ja sen radan eksentrisyys e = 0.233. Mikä on sen radan isoakselin puolikas ja mitkä ovat asteroidin minimi- ja maksimietäisyydet Auringosta? Auringon massa m S = 1.99 10 30 kg. Isoakselin puolikas saadaan laskettua Keplerin 3. laista kun kiertoaika tunnetaan: ( ) 1/3 T = 2πa3/2 Gm S T 2 a = = GmS 4π 2 4.15 10 11 m (jahka kiertoajan syöttää edelliseen sekunteina) Ellipsirataa esittävästä kaavakuvasta näemme, että radan lähimmässä pisteessä, perihelissä r p = a(1 e) ja kauimmassa pisteessä, aphelissä r a = a(1 + e). Toisin sanoen r p = (1 0.233) 4.15 10 11 m = 3.18 10 11 m r a = (1 + 0.233) 4.15 10 11 m = 5.12 10 11 m

Esimerkki 13.9 Halleyn komeetta liikkuu Auringon ympäri pitkin eksentistä rataa, jonka perihelietäisyys on 8.75 10 7 km ja aphelietäisyys 5.26 10 9 km. Mikä on radan isoakselin puolikas, eksentrisyys ja kiertoaika? Aiemmin esillä olleen kuvan perusteella tiedämme, että periheli- ja aphelietäisyyksien summa on 2a. Siis a = 8.75 107 km + 5.26 10 9 km 2 = 2.67 10 9 km Perihelietäisyys r p = a(1 e), mistä saamme e = 1 r p a = 1 8.75 10 7 km 2.67 10 9 km = 0.967

Rataperiodi taas saadaan Keplerin 3. laista: T = 2πa3/2 GmS = = 2.38 10 9 s = 75.5 vuotta. 2π (2.67 10 12 m) 3/2 6.67 10 11 Nm 2 /kg 2 1.99 10 30 kg

Esimerkki 13.10 Jos Aurinko muuttuisi (vastoin kaikkea tähtien kehitystä koskevaa tietoamme) yllättäen mustaksi aukoksi, niin mikä olisi sen Schwarzschildin säde? Mitä maapallolle tällöin tapahtuisi? R S = 2GM c 2 = 2 6.67 10 11 Nm 2 /kg 2 1.99 10 30 kg 3.0 10 8 m/s = 2.95 km Maa kiertäisi edelleen radallaan, mutta täällä tulisi varsin kylmä.