1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat): (1) a + b = b + a, ab = ba (vaihdantalait) (2) a + (b + c) = (a + b) + c, a(bc) = (ab)c (liitäntälait) (3) a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc (osittelulait) (4) a + 0 = a, a 1 = a (5) On olemassa luvut x ja y joille a + x = 0, by = 1 (jos b 0). Tässä x on luvun a vastaluku, merkitään x = a, ja luku y on luvun b käänteisluku, merkitään y = b 1. Merkinnän ab 1 asemesta käytetään usein merkintää a/b. Liitäntälakien nojalla esim. tulo abcd ja summa a + b + c + d eivät tuota tulkintaongelmia ja sulkeita voidaan asettaa vapaasti kummassakin kirjoitelmassa. Esim. Olkoot a ja b nollasta eroavia reaalilukuja. Luvun a/b käänteisluku on b/a, sillä (5) (4) (5) a b b a = (ab 1 )(ba 1 ) = a(b 1 b)a 1 {}}{ = a 1 a 1 {}}{ = aa 1 {}}{ = 1. Kunta-aksioomista seuraa mm. laskusäännöt: (6) a 0 = 0 (aina) (7) a b c d = ac bd (b, d 0) (8) a b + c d = ad+cb bd (b, d 0) Perustellaan näistä (6) ja (8), säännön (7) perusteleminen jätetään harjoitustehtäväksi. (4) (3) {}}{ {}}{ (6): a 0 = a (0 + 0) = a 0 + a 0. Lisätään molemmille puolille a 0, jolloin väite seuraa aksioomista (5) ja (4). (8): ad+cb bd (1),(3) = (ad + bc)(bd) 1 = (ad + cb)d 1 b 1 {}}{ = add 1 b 1 + cbb 1 d 1 (5) {}}{ = ab 1 + cd 1 = a + c b d. 1

2 Esim. Olkoot a, b, c reaalilukuja, b 0. Silloin a b + c b (8) {}}{ ab + cb = bb (3) {}}{ = = (a + c)b bb = (a + c)b b 1 b 1 (5) {}}{ = (a + c)b 1 = a + c b Esim. Olkoot a, b, c, d reaalilukuja, joista b, c, d nollasta eroavia. Silloin a b c d = a ( c b d ) 1 a d = b c (7) {}}{ = ad bc Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja olkoon a reaaliluku. - Jos n on pariton, niin yhtälöllä x n = a on täsmällen yksi reaalinen ratkaisu. Tämä ratkaisu on luvun a n:s juuri. - Jos n on parillinen ja a on positiivinen, niin yhtälöllä x n = a on täsmälleen yksi positiivinen ratkaisu. Tällöin tämä ratkaisu on luvun a n:s juuri. - Jos n on parillinen ja a on negatiivinen, niin luvulla n ei ole (reaalista) n:ttä juurta. - Luvun a n:ttä juurta merkitään symbolilla n a tai symbolilla a 1/n. Olkoot m ja n positiivisia kokonaislukuja ja a reaaliluku. Määritellään a m = a } a {{ a} m kertaa a m/n = (a 1/n ) m (jos a 1/n on olemassa) a m/n = (a m/n ) 1 a 0 = 1 Seuraavat pikku laskulait ovat usein käyttökelpoisia: (9) a 2 b 2 = (a b)(a + b) (10) a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 (tässä oikea puoli on binomin neliö) Nämä perustellaan kertomalla sulkeet pois eli käyttämällä osittelulakeja (3).

3 muodossa, jossa neliöjuurta ei esiinny viivan alla eli nimit- Esitetään luku täjässä: 1 4 101 (4) {}}{ = 1 1 4 101 4 4+ 101 101 4+ = 4+ 101 101 (4 101)(4+ 101) (9) {}}{ = 4+ 101 (16 ( = 4+ 101 101) 2 ) 16 101 = 4+ 101 85. Reaaliluvun a itseisarvo a on reaaliakselin pisteen a etäisyys pisteestä 0 eli { a, jos a < 0, a = a, jos a 0. Esim. Olkoon a reaaliluku. Silloin 2m a 2m = a kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla m. Erityisesti a 2 = a. Rationaaliluku on muotoa m/n oleva reaaliluku, missä m ja n ovat kokonaislukuja joista n 0. Rationaaliluku m/n on supistetussa muodossa, jos lukujen m ja n suurin yhteinen tekijä (eli jakaja) = 1. Jos a on positiivinen reaaliluku ja x on reaaliluku, niin määritellään a x = lim n a xn, missä (x n ) on lukua x kohti suppeneva rationaalilukujono. Olkoot u, v, x, y reaalilukuja. Seuraavat laskulait ovat voimassa ( u ) x (10) (uv) x = u x v x u x (11) = v (12) u x u y = u x+y (13) ux u = y ux y (14) (u x ) y = u xy kunhan kaavojen sekä oikea että vasen puoli on määritelty. Esim. u 2 v = u v, kunhan v ei ole negatiivinen. v x

4 Harjoitustehtäviä. 1.1. Anna seuraavien lausekkeiden arvo supistetussa muodossa olevana rationaalilukuna (a) 3 5 + 5 3 (b) 3 5 5 3 (c) 100 99 33 25 (d) 100 99 25 33 1.2. Anna seuraavien lausekkeiden arvo supistetussa muodossa olevana rationaalilukuna 100 (a) ( 100 33 99 25 ) 2 99 (b) ( 33 (c) 31001 2999 (d) (31001 2999 ) 3 (e) 21001 2 25 ) 1 6 1000 6 1000 2 500 +1 1.3. Sievennä (a) (2 11 101 ) 11+ 101 (b) 2 11 101 2 11+ 101 (c) 3 16 2 2 2 1.4. Esitä seuraavat lausekkeet murtolausekkeina, joissa neliöjuurta ei esiinny nimittäjässä 1 (a) 2 (b) 2+ 2 2 3 (c) 1 2 2+2 + 2+1 2( 2+2) 1.5. Sievennä seuraavat lausekkeet täydentämällä juurrettava binomin neliöksi (a) 3 2 2 (b) 7 4 3 1.6. Sievennä (a) (a2 ) 3 b 3 c 2 (abc 1 ) 2 (b) (m 2 n 1 ) 3 (mn 2 ) 1 +m 1 n 1.7. Olkoon n kokonaisluku. Sievennä (a) ( 1) 2n+1 (a + a 2 )(a a 2 ) + ( 1) 2n (a 2 ) 1 ( ) (c) x2n+1 x 2n y x 1 (d) x 2 / x 3 x n+2 x n y 2 (x+1) 2 x 2 1 2x 2 2 (b) (2a+2)(3a 1) 6a2 2+4a 4a 2 1 1.8. Sievennä (a) b 2 2ab + a 2 (b) a 3 a 2 b ab 2 b 3 a b (c) a b 3 b/a 2 3 a/b 2

5 2. Polynomiyhtälöt, lineaarinen yhtälöpari, itseisarvo- ja juuriyhtälö, toisen asteen käyrät ja niiden tangentit Olkoot a, b, c, d mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja, d 0. Kunta-aksioomista johdettavia, yhtälöiden käsittelyä helpottavia laskusääntöjä: (1) a = b a + c = b + c (2) ab = 0 a = 0 tai b = 0 (tulon nollasääntö) (3) a = b da = db (4) a 2 = b 2 a = ±b Olkoot a ja b reaalilukuja. Ensimmäisen asteen yhtälö (eli lineaarinen yhtälö): ax + b = 0 (1) Jos a = b = 0, tällä on ratkaisuina (eli juurina) kaikki reaaliluvut x. (2) Jos a = 0 ja b 0, tällä ei ole ratkaisuja. (3) Jos a 0, tällä on yksikäsitteinen ratkaisu x = b/a. Lineaarinen yhtälöpari: { ax + by = c cx + dy = e Tällä on yksikäsitteinen ratkaisu (x, y) jos ja vain jos ad bc 0. Se voidaan ratkaista esim. ratkaisemalla jommasta kummasta yhtälöstä x ja sijoittamalla sen lauseke toiseen yhtälöön. Olkoot a, b, c reaalilukuja, a 0. Toiseen asteen yhtälö (eli kvadraattinen yhtälö): ax 2 + bx + c = 0 Se voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä: Kerrotaan yhtälö puolittain luvulla 4/a, jolloin saamme ekvivalentin yhtälön 0 = 4x 2 + 4 b a x + 4 c a = (2x + b a )2 ( b a )2 + 4 c a, ekvivalentisti (2x + b a )2 = ( b a )2 4 c = 1 (b 2 4ac a a 2 } {{ } ). =:D (1) Jos D < 0, niin yhtälöllä ei ole (reaalisia) ratkaisuja. (2) Jos D = 0, niin yhtälöllä on yksikäsitteinen ratkaisu x = b 2a (kaksoisjuuri). (3) Jos D > 0, niin yhtälöllä on kaksi ratkaisua x = b± D. 2a Tässä D on yhtälön diskriminantti.

6 Olkoon n positiivinen kokonaisluku, ja olkoot a 0, a 1,..., a n reaalilukuja, a n 0. Astetta n oleva polynomiyhtälö on muotoa p(x) = 0 oleva yhtälö, missä p(x) on astetta n oleva polynomi(funktio): Nollakohtalause: p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0. p(c) = 0 p(x) = (x c)h(x), missä h(x) on astetta n 1 oleva polynomi. Esim. Yhtälön x 3 + 3x 2 4 = 0 eräs ratkaisu on x = 1. Jakokulmalaskulla saadaan x 3 + 3x 2 4 = (x 1)(x 2 + 4x + 4) = (x 1)(x + 2) 2. Täten yhtälön x 3 + 3x 2 4 = 0 kaikki ratkaisut ovat x = 1 ja x = 2. Ensimmäisen asteen polynomifunktion p(x) = ax + b kuvaaja on suora y = ax + b, jonka kulmakerroin on a. Toisen asteen polynomifunktion p(x) = ax 2 + bx + c kuvaaja on paraabeli y = ax 2 + bx + c. Kuva 1. Nouseva ja laskeva suora Kuva 2. Ylös- ja alaspäin aukeava paraabeli Paraabelin lisäksi muita keskeisiä toisen asteen tasokäyriä (kartioleikkauksia) ovat: r-säteinen ympyrä: x 2 + y 2 = r 2 Ellipsi, jonka pikkuakselit ovat a ja b: Hyperbeli, jonka pikkuakselit ovat a ja b: x 2 a 2 + y2 x 2 a 2 = 1 b 2 y2 = 1 b 2 Tasokäyrää voidaan siirrellä koordinaattimuunnoksella u = x x 0, v = y y 0. Esim. Tasokäyrä (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 = r 2 on uv-koordinaatistossa ympyrä u 2 +v 2 = r 2.

7 Kuva 3. Ympyrä (x 2) 2 + (y 3) 2 = 4 2 Kuva 4. Ellipsi x2 6 2 + y2 4 2 = 1 Kuva 5. Hyperbeli x2 2 2 y2 3 2 = 1 (sininen käyrä) ja sen asymptootit y = ± 3 x (punaiset suorat). 2 Suora y = ax + b sivuaa tasokäyrää F (x, y) = 0 (eli on sen tangentti), jos niillä on vain yksi leikkauspiste ts. yhtälöllä F (x, ax + b) = 0 on vain yksi ratkaisu x. Esim. Osoitetaan, että suora y = ax + 6 sivuaa paraabelia y = x 2 + 2x + 5 jos ja vain jos a = 4 tai a = 0. Yhtälöllä ax + 6 = x 2 + 2x + 5 eli yhtälöllä x 2 + (a 2)x + 1 = 0 on täsmälleen yksi ratkaisu jos ja vain jos sen diskriminantti D = 0. Koska D = (a 2) 2 4 = (a 2 2)(a 2 + 2), niin D = 0 jos ja vain jos a = 4 tai a = 0. Kuva 6. Paraabeli y = x 2 +2x+5 ja sen muotoa y = ax + 6 olevat tangentit

8 Harjoitustehtäviä. 2.1. Millä vakion a arvoilla yhtälö a 2 x = (a + 1)x + 1 on ratkeava ja mitkä ovat sen ratkaisut? 2.2. Motoristilla on 50 litraa bensiinin ja öljyn seosta jossa on 10 % öljyä, sekä 100 litraa seosta jossa on 2 % öljyä. Mikä on suurin määrä p prosenttista öljyseosta, jonka hän näitä sekoittamalla voi saada, kun (a) p = 5 (b) p = 3? 2.3. Joukko-osasto, jonka pituus on 1.5 km marssii tasaisella nopeudella tietä pitkin. Sen loppupäästä lähtee moottoripyörälähetti, joka tasaisella nopeudella ajaen saavuttaa osaston alkupään kolmessa minuutissa. Paluumatka osaston loppupäähän kestää 2.5 minuuttia. Mikä on joukko-osaston ja mikä lähetin nopeus? 2.4. Määritä ne vakion a arvot, joilla lauseke supistuu polynomiksi. 2.5. Ratkaise juuriyhtälöt x 3 (a + 3)x 2 + 2a 2 x 4 x 2 3x + 2 (a) x + 1 = x 1 (b) x + 6 = x (c) 2x + 3 x 2 = 2 2.6. Ratkaise itseisarvoyhtälöt (a) x + 3 4 = 2 (b) x + 1 + 2x 1 = 3 (c) x 2 1 = x 1 (d) x 2 1 x = 3x 2.7. Tutki neliöksi täydentämällä minkä tasokäyrän muodostavat yhtälön 4y 2 +9x 2 + 8y 18x = 23 ratkaisut. 2.8. Määritä niiden ympyrää x 2 + y 2 = 10 sivuavien suorien yhtälöt, joiden kulmakerroin on 1/2. Määritä myös sivuamispisteet. 2.9. Hahmottele käyrän xy = 1 kuvaaja uv-koordinaatistossa, kun x = u v ja y = u + v.

9 3. Epäyhtälöistä Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. järjestysaksioomat): (1) Täsmälleen yksi relaatioista a = b, a < b, a > b on voimassa. (2) Jos a < b ja b < c, niin a < c. (3) Jos a < b, niin a + c < b + c. (4) Jos a > 0 ja b > 0, niin ab > 0. Järjestysaksioomista seuraavia laskulakeja: (5) Jos a > 0 ja b < c, niin ab < ac. (6) Jos a < 0 ja b < c, niin ab > bc. (7) ab > 0 jos ja vain jos a ja b ovat samanmerkkiset. (8) Jos a ja b ovat positiivisia, niin a 2 < b 2 jos ja vain jos a < b. (9) a < b jos ja vain jos b < a < b. (10) a > b jos ja vain jos a > b tai a < b Jos p(x) ja q(x) ovat muuttujan x sisältäviä lausekkeita, niin epäyhtälön p(x) < q(x) ratkaisemisella tarkoitetaan kaikkien sellaisten reaalilukujen c etsimistä joilla p(c) < q(c) eli joilla käyrä y = p(x) on käyrän y = q(x) alapuolella. Esim 1. Lineaarinen epäyhtälö 2x + 5 < 1 toteutuu täsmälleen niillä muuttujan x arvoilla, joilla x > 1 (1 5) = 2 (sovelletaan sääntöjä (3) ja (6)). 2 Esim 2. Olkoon a > 0. Jos yhtälöllä ax 2 + bx + c = 0 ei ole ratkaisuja tai sillä on kaksoisjuuri, niin epäyhtälöllä ax 2 + b + c < 0 ei ole ratkaisuja. Tällöin paraabeli y = ax 2 + bx + c ei milloinkaan käy x-akselin alapuolella. Jos ax 2 + bx + ca = a(x x 0 )(x x 1 ), missä x 0 < x 1, niin soveltamalla sääntöä (7) nähdään, että epäyhtälön ax 2 + bx + c < 0 ratkaisut ovat ehdon x 0 < x < x 1 toteuttavat x:n arvot. Nämä ovat siis ne x-akselin pisteet, joissa paraabeli y = ax 2 + bx + c on x-akselin alapuolella.

10 Kuva 7. Paraabeli y = (x+1)(x 3) on x-akselin alapuolella välillä 1 < x < 3 Esim 3. Ratkaistaan murtoepäyhtälö x2 3x+2 x+3 1: x 2 3x+2 x+3 1 x2 3x+2 (x+3) x+3 0 x2 4x 1 x+3 0 (x (2+ 5))(x (2 5)) x+3 0. Soveltamalla sääntöjä (3) ja (7) saadaan merkkikaavio, josta voidaan päätellä ratkaisut: 3 2 5 2 + 5 x 2 4x 1 + + + x + 3 + + + x 2 4x 1 x+3 + + Täten x2 3x+2 x+3 1 jos ja vain jos 3 < x 2 5 tai x 2 + 5. Esim 4. Ratkaistaan itseisarvoepäyhtälö x 2 1 x + 1: x 2 1 x + 1 (9) {}}{ x 1 x 2 1 x + 1 x 1 x 2 1 ja x 2 1 x + 1 (3) {}}{ x 2 + x 0 ja x 2 x 2 0 (x + 1)x 0 ja (x + 1)(x 2) 0 (7) {}}{ (x + 1)x(x + 1)(x 2) 0 (x + 1) 2 x(x 2) 0. Tulon nollasäänön ja säännön (7) nojalla tämä epäyhtälö on ratkeava jos ja vain jos 0 x 2 tai x = 1.

11 Kuva 8. Epäyhtälö x 2 1 x + 1 toteutuu täsmälleen niissä x-akselin pisteissä, joissa punainen käyrä ei ole sinisen alapuolella. Esim 5. Ratkaistaan juuriepäyhtälö 3 x 2 > 2x 1: Juurrettavan on oltava ei-negatiivinen, joten välttämättä on oltava 3 x 3. Koska neliöjuuri on aina ei-negatiivinen, niin epäyhtälö on tosi jos 2x 1 < 0 eli x < 1/2 (ja x 3). Jos 2x 1 0 eli x 1/2, niin nyt säännön (8) nojalla epäyhtälö on tosi jos ja vain jos ( 3 x 2 ) 2 > (2x 1) 2 3 x 2 > 4x 2 4x + 1 5x 2 4x 2 < 0 5(x 2 14 5 )(x 2+ 14 5 ) < 0 ( 2 14 5 <) 1 2 x < 2+ 14 5 (< 3) Siispä epäyhtälö on ratkeava jos ja vain jos 3 x < 2+ 14 5. Kuva 9. Epäyhtälö 3 x 2 > 2x 1 toteutuu täsmälleen niissä x-akselin pisteissä, joissa punainen käyrä on sinisen alapuolella.

12 Harjoitustehtäviä. 3.1. Ratkaise epäyhtälöt (a) 2x+6 3 < 3x 1 (b) (x 2) 2 (2x 1)(x+3) 2 > 1 3.2. Ratkaise epäyhtälöt (a) x 2 + x + 2 > 0 (b) 4x 2 12x + 9 > 0 (c) x 2 + x 2 > 0 3.3. Ratkaise epäyhtälöt (a) 1 x + 1 x 2 1 x 3 (b) (x 2 + x 1) 2 < x 4 3.4. Ratkaise epäyhtälö a 2 x (2a 1)x + 1 vakion a eri arvoilla. 3.5. Ratkaise epäyhtälöt (a) 2x + 3 > x 1 (b) x 2 x 5 < x 2 + x 5 3.6. Piirrä tasoon seuraavien epäyhtälöiden ratkaisujoukot: (a) (x 2) 2 + (x 1) 2 2 (b) x + y < 1 3.7. Ratkaise epäyhtälöt (a) x < x (b) x + 1 > x 2 1 (c) x + 2 < 2x 2 (d) 4 x 2 > x + 3 (e) 1 x 2 < x

13 4. Trigonometrisista funktioista Olkoon t reaaliluku ja olkoon P t = (x t, y t ) se origo-keskisen yksikköympyrän x 2 + y 2 = 1 piste, jonka etäisyys pisteestä pisteestä P 0 = (1, 0) mitattuna pitkin ympyrän kaarta on t, kun kuljetaan (a) vastapäivään jos t 0, (b) myötäpäivään jos t < 0. Tällöin lukua t sanotaan pisteen P t kulmaksi ja sen yksikkö on radiaani (rad). Annetun kehäpisteen P t kulma ei ole yksikäsitteinen, sillä myös t + k 2π on sen kulma kaikilla kokonaisluvuilla k (sillä yksikköympyrän kehän pituus on 2π). Jos kulma t rajoitetaan välille 0 t < 2π, niin sitä sanotaan pisteen P t vaihekulmaksi. Koska yksikköympyrän kehän pituus on 2π, niin 2π rad = 360 ja saamme mm. piste (x, y) vaihekulma/rad vaihekulma/ (1, 0) 0 0 (0, 1) π/2 90 ( 1, 0) π 180 (0, 1) 3π/2 270 Olkoon t reaaliluku. Pisteen P t = (x t, y t ) x-koordinaattia x t sanotaan kulman t kosiniksi ja merkitään cos t. Pisteen P t y-koordinaattia y t sanotaan kulman t siniksi ja merkitään sin t. Koska piste P t on yksikköympyrällä, niin x 2 t + y 2 t = 1 ja näin ollen (1) cos 2 t + sin 2 t = 1 kaikilla reaaliluvuilla t. Koska P t = P t+k2π kaikilla kokonaisluvuilla k, niin kosini ja sini ovat 2π-jaksollisia ts. (2) cos t = cos(t + k2π), sin t = sin(t + k2π) kaikilla kokonaisluvuilla k. Kuva 10. Ympyrän x 2 + y 2 = 1 eräs piste P t = (cos t, sin t) ja sen vaihekulma t

14 Esim. Edellisen taulukon nojalla saamme seuraavat kosinin ja sinin arvot: t/rad cos t sin t 0 1 0 π/2 0 1 π -1 0 3π/2 0-1 Esim. Lasketaan (a) sin(π/4) ja cos(π/4), (b) sin(π/3) ja cos(π/3) (ks. kuva (11)) (a) Koska π/4 on puolet kulmasta π/2, niin piste P π/4 sijaitsee suoralla y = x. Sijoittamalla x = y yksikköympyrän yhtälöön x 2 + y 2 = 1 saadaan x = y = 1/ 2 ts. sin(π/4) = cos(π/4) = 1/ 2. (b) Olkoon A = (1, 0) ja O = (0, 0). Kolmio P π/3 OA on tasakylkinen, joten sivujen AO ja AP π/3 välinen kulma on yhtä suuri kuin sivujen P π/3 O ja P π/3 A välinen kulma. Täten kolmio AP π/3 B on tasasivuinen, jonka sivu on 1. Täten cos(π/3) = 1/2 ja sin(π/3) = 1 (1/2) 2 = 3/2. Kuva 11 Sinillä ja kosinilla on seuraavat symmetriaominaisuudet (ks. kuva (12)): (3) cos( t) = cos t, (4) sin( t) = sin t (peilaus x-akselin suhteen) (4) cos(π t) = cos t, (5) sin(π t) = sin t (peilaus y-akselin suhteen) (6) cos(π + t) = cos t (7) sin(π + t) = sin t (peilaus x- ja y-akselien suhteen) Kuva 12

15 Perustellaan seuraavaksi keskeinen ns. kosinin yhteenlaskukaava: (8) cos(s t) = cos s cos t + sin s sin t Olkoot s ja t reaalilukuja ja O = (0, 0), A = (1, 0), P s = (x s, y s ), P t = (x t, y t ) ja P s t = (x s t, y s t ). Koska kolmiot P t OP s ja AOP s t yhtenevät (ks. kuva (13)) niin sivut P s P t ja P s t A ovat yhtä pitkät eli (x s x t ) 2 + (y s y t ) 2 = (x s t 1) 2 + (y s t 0) 2 (cos s cos t) 2 + (sin s sin t) 2 = (cos(s t) 1) 2 + (sin(s t) 0) 2 cos 2 s 2 cos s cos t + cos 2 t + sin 2 s 2 sin s sin t + sin 2 t = cos 2 (s t) 2 cos(s t) + 1 + sin 2 (s t) =1 =1 { }} { { }} { cos 2 s + sin 2 s + cos 2 t + sin 2 t 2 sin s sin t 2 cos s cos t = cos 2 (s t) + sin 2 (s t) 2 cos(s t) + 1 } {{ } =1 2 2(cos s cos t + sin s sin t) = 2 2 cos(s t), mistä kaava (8) seuraa välittömästi. Kuva 13

16 Kaavasta (8) seuraa seuraavat kosinin ja sinin symmetriaominaisuudet (joka ovat ilmeisiä geometrisestikin): (9) sin t = cos(π/2 t), (10) cos t = sin(π/2 t) (peilaus suoran y = x suhteen). Nimittäin kaavasta (8) seuraa heti kaava (9): cos(π/2 t) = cos(π/2) cos t + sin(π/2) sin t = 0 + 1 sin t, ja tästä seuraa myös kaava (10): sin(π/2 t) = cos(π/2 (π/2 t)) = cos t. Kaavoista (3)-(6) saadaan helposti myös seuraavat yhteenlaskukaavat: (11) cos(s + t) = cos s cos t sin s sin t (12) sin(s + t) = sin s cos t + cos s sin t (13) sin(s t) = sin s cos t cos s sin t ja monia muita trigonometrisia kaavoja, joita löytyy taulukkokirjoista. Esim. Perustellaan kaava: sin(2u) = 2 sin u cos u. Valitaan s = t = u lausekkeessa sin(s + t), jolloin kaavan (12) nojalla sin(2u) = sin(u + u) = sin u cos u + cos u sin u = 2 sin u cos u. Kulman t sinin ja kosinin osamäärä on kulman t tangentti, merkitään tan t. Se on määritelty aina kun cos t 0 ts. tan t = sin t cos t, missä t (2k + 1)π kaikilla kokonaisluvuilla k. 2 Koska tan(t + π) = niin tan t on π-jaksollinen ts. sin(t + π) cos(t + π) = sin t cos t = sin t cos t = tan t, tan t = tan(t + kπ) kaikilla kokonaisluvilla k.

17 Olkoon P = (x, y) tason piste ja r janan OP pituus. Olkoon OP t janan OP suuntainen yksikköympyrän säde. Koska janan OP pituus on r-kertainen janan OP t pituuteen nähden, niin sama pätee myös pisteiden P ja P t koordinaateille ts. x = rx t = r cos t y = ry t = r sin t. Tässä r ja t ovat pisteen P napakoordinaatit, kun π < t π. Nyt siis r = x 2 + y 2 ja tan t = y/x. Kuva 14. Piste P ja sen napakoordinaatit r ja t Koska sini ja kosini liittävät jokaiseen reaalilukuun t yksikäsitteisen reaaliluvun, ovat ne funktioita, nk. trigonometrisia funktioita, joiden määrittelyjoukko on R. Kummankin arvojoukko on suljettu väli [ 1, 1]. Tangentti on trigonometrinen funktio, jonka määrittelyjoukko on R poislukien muuttujan t arvot (2k + 1) π, missä k on kokonaisluku. 2 Kun siniä, kosinia ja tangenttia ajatellaan funktioina, niin tällöin usein muuttujan nimenä käytetään kirjainta x kirjaimen t asemesta. Kuva 15. Funktion f(x) = sin x kuvaaja Kuva 16. Funktion f(x) = cos x kuvaaja

18 Kuva 17. Funktion f(x) = tan x kuvaaja Tarkastellaan joidenkin trigonometristen yhtälöiden ratkaisemista. Olkoon a reaaliluku. (A) Jos a > 1, niin yhtälöillä sin x = a ja cos x = a ei ole ratkaisua, koska tällöin suora y = a ei milloinkaan leikkaa käyriä y = sin x ja y = cos x. (B) Jos a < 1, niin sekä yhtälöllä sin x = a että cos x = a on välillä [0, 2π) täsmälleen kaksi ratkaisua, koska suora y = a leikkaa käyriä y = sin x ja y = cos x täsmälleen kahdessa pistessä ko. välillä. (C) Jos a = 1, niin sekä yhtälöllä sin x = a että cos x = a on välillä [0, 2π) on täsmälleen yksi ratkaisu, koska suora y = a leikkaa käyriä y = sin x ja y = cos x täsmälleen yhdessä pistessä ko. välillä. Jos u on välille [0, 2π) kuuluva yhtälön sin x = a ratkaisu, niin sen toinen ko. välille kuuluva ratkaisu on π u (tai 3π u jos π u < 0), sillä sin(π u) = sin u = a. Siis sin x = sin u x = u + k2π tai x = π u + k2π, kaikilla kokonaisluvuilla k. Jos u on välille [0, 2π) kuuluva yhtälön cos x = a ratkaisu, niin sen toinen ko. välille kuuluva ratkaisu on 2π u, sillä cos(2π u) = cos( u) = cos u = a. Siis cos x = cos u x = ±u + k2π, kaikilla kokonaisluvuilla k.

19 Olkoon a reaaliluku. Yhtälöllä tan x = a on yksikäsitteinen ratkaisu u välillä ( π/2, π/2), sillä ko. välillä suora y = a leikkaa käyrää y = tan x täsmälleen yhdessä pisteessä. Siis tan x = tan u x = u + kπ, kaikilla kokonaisluvuilla k. Esim. Ratkaistaan yhtälö sin x = cos(3x). Kaavan (7) nojalla sin x = cos(π/2 x), joten ratkaistavana on yhtälö ekvivalentisti Täten cos(π/2 x) = cos(3x), π/2 x = ±3x + k2π. x = π 8 + k π 2 tai x = π + kπ, kaikilla kokonaisluvuilla k. 4 Esim. Ratkaistaan yhtälö sin x = 3 cos x. Tämä on ekvivalentti yhtälön tan x = 3 kanssa. Laskimesta saadaan ratkaisun likarvo x = 1.249 rad = (1.249 180/π) = 71.57.

20 Harjoitustehtäviä. 4.1. Laske kulmaa t vastaavan yksikköympyrän pisteen koordinaattien tarkat arvot, kun (a) t = 6002π/6 (b) t = 12015π/12 4.2. Olkoon t reaaliluku, jolle sin t = π/4. Laske likiarvoja käyttämättä (a) cos t (b) tan t 4.3. (a) Laske likiarvoja käyttämättä cos(k π) 3 ja sin(k π ) kaikilla kokonaisluvuilla k. 3 (b) Piirrä tasoon pisteet (x, y) = (cos(k π), sin(k π )) kaikilla kokonaisluvuilla k. 3 3 4.4. Ratkaise likiarvoja käyttämättä yhtälöt (a) sin x = sin 3 (b) cos x = cos 3 (c) tan x = tan 3 4.5. Ratkaise yhtälöt (a) sin(3x) + cos(x/2) = 0 (b) 3 sin x + (cos x)/2 = 0 (c) tan x = sin(2x) 4.6. Ratkaise yhtälöt (a) sin 2 x 2 cos x 2 = 0 (b) (x 2 1) 5 sin(2x 1) = 0 4.7. Ratkaise likiarvoja käyttämättä yhtälöt (a) sin(cos x) = 0 (b) 2 cos(sin x) = 3. 4.8. Ratkaise likiarvoja käyttämättä epäyhtälöt (a) sin x < 1/ 2 (b) cos x > 1/2 (c) tan x 1 4.9. Olkoon f(t) = 3 cos t + 4 sin t. Etsi sellaiset reaaliluvut A ja B, että f(t) = A sin(t + B) kaikilla reaaliluvuilla t. (Vihje: käytä yhteenlaskukaavaa lausekkeelle sin(t + B) ja vertaa kertoimia.)

21 5. Eksponentti- ja logaritmifunktio Olkoon k 1 positiivinen reaaliluku. Muotoa f(x) = k x olevaa funktiota sanotaan eksponenttifunktioksi ja lukua k sen kantaluvuksi ja muuttujaa x sen eksponentiksi. Eräs tärkeä kantaluvun k arvo on Neperin luku e, joka määritellään raja-arvona ( 1 ) n e = lim n + 2.718281... n n Esim. Funktio f(x) = e 2x e 2x = (e 2 ) x. on eksponenttifunktio, jonka kantaluku on e 2, sillä Kaikille eksponenttifunktioille f(x) pätee: (1) f(x):n arvojoukko on koko positiivisten reaalilukujen joukko (2) f(x) on aidosti kasvava jos k > 1 ja aidosti vähenevä jos k < 1. (3) f(0) = 1 Kuva 18. Eksponenttifunktioiden f(x) = k x kuvaajia eri kantalukujen k arvoilla Esim. Ratkaistaan yhtälö 2 x = 3 4. Koska 3 4 = 4 1/3 = (2 2 ) 1/3 = 2 2/3, niin ratkaistavana on siis yhtälö 2 x = 2 2/3. Ominaisuuden (2) nojalla 2 x = 2 2/3 jos ja vain jos x = 2/3 eli x = ±2/3.

22 Esim. Ratkaistaan yhtälö 2 x + 4 2 x = 4. Kerrotaan yhtälö puolittain 2 x :llä, jolloin saadaan ekvivalentti yhtälö 2 2x + 4 = 4 2 x (2 x ) 2 4 2 x + 4 = 0 (2 x 2) 2 = 0 2 x {}}{ = 2 x = 1. (2) Olkoon a positiivinen reaaliluku. Eksponenttifunktion f(x) = k x ominaisuuksien (1) ja (2) nojalla yhtälöllä k x = a on täsmälleen yksi ratkaisu. Tätä sanotaan a:n k-kantaiseksi logaritmiksi ja merkitään log k a. Merkinnän log k a asemesta käytetään joskus myös merkintää log a, jollei ole tarpeen korostaa kantalukua. Jos k = e, niin yleensä käytetään merkintää ln a merkinnän log e a asemesta. Esim. log k k = 1 sillä k 1 = k, ja log k 1 = 0 sillä k 0 = 1. Esim. log 2 1024 = 10 sillä 2 10 = 1024. Esim. Minkä luvun 5-kantainen logaritmi on 1/3? Ratkaisu: log 5 a = 1/3 jos ja vain jos a = 5 1/3 = 1/ 3 5. Esim. Ratkaistaan yhtälö log 3 (x + 2) = 2. Määritelmän nojalla log 3 (x + 2) = 2 jos ja vain jos 3 2 = x + 2 jos ja vain jos x = 7. Liittämällä jokaiseen positiviiseen reaalilukuun x sen logaritmi, saadaan k-kantainen logaritmifunktio f(x) = log k x. Koska k x = y x = log k y, niin logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio ja niiden kuvaajat saadaat toisistaan peilaamalla ne suoran y = x suhteen.

23 Kuva 19. Funktion f(x) = k x ja sen käänteisfunktion f 1 (x) = log k x kuvaajat (k > 1) Olkoot a, b, c reaalilukuja ja oletetaan, että a > 0 ja b > 0. k-kantaistelle logaritmille log on voimassa seuraavat laskusäännöt: (4) log(ab) = log a + log b (5) log(a/b) = log a log b (6) log a c = c log a Perustellaan näistä sääntö (4). Sääntö (4) väittää, että yhtälön k x = ab ratkaisu on log a + log b. Näytetään, että tämä pitää paikkansa, käyttäen Luvun 1 kaavaa (12): k log a+log b = k log a k log b = ab. Laskusäännöt (5) ja (6) perustellaan samaan tapaan käyttäen Luvun 1 kaavoja (13) ja (14). Esim. Millä x:n arvoilla pätee kaava log 2x 1 1 x = log(2x 1) log(1 x)? Ratkaisu. Kaavan (5) nojalla kaava pätee kaikilla niillä x:n arvoilla, joilla molemmat puolet on määritelty. Oikea puoli on määritelty jos ja vain jos 2x 1 > 0 ja 1 x > 0 eli 1/2 < x < 1. Tällöin myös 2x 1 > 0, joten ko. kaava pätee jos ja vain jos 1/2 < x < 1. 1 x Esim. Lasketaan logaritmien laskusääntöjen avulla seuraavien logaritmien tarkat arvot: (a) log 2 3 2 7 2 (b) (lg 50)2 (lg 2) 2 lg 5 missä lg = log 10. Ratkaisu: (a) log 2 3 2 7 2 = log 2 (2 2 1/7 ) 1/3 = log 2 (2 8/7 ) 1/3 = 1 3 log 2(2 8/7 ) = 1 3 8 7 = 8 21. (b) (lg 50)2 (lg 2) 2 lg 5 = (lg 50 lg 2)(lg 50+lg 2) lg 5 = lg(50/2) lg(50 2) lg 5 = lg 25 lg 100 lg 5 = lg 52 2 lg 5 = 2 lg 5 2 lg 5 = 4.

24 Olkoot k, h ja a positiivisia reaalilukuja. Silloin voimme siirtyä k-kantaisesta logaritmista h-kantaiseen: (7) log h a = 1 log k h log k a, erityisesti log h a = 1 ln h ln a Nimittäin a = h log h a, joten ottamalla puolittain k-kantaiset logaritmit saadaan säännön (6) nojalla yhtälö log k a = (log h a)(log k h). Esim. Ratkaistaan yhtälö log 2 x + ln x = 3. Nyt log 2 x = 1 ln x, joten yhtälö on ln 2 ekvivalentti yhtälön ( 1 + 1) ln x = 3 kanssa. Täten ln 2 3 log 2 x + ln x = 3 ln x = 1 + 1 x = e 3 ln 2 1+ln 2 3.4149 ln 2 Esim. Olkoot k positiivinen reaaliluku. Osoitetaan, että funktion f(x) = log 1/k (x) kuvaaja saadaan funktion g(x) = log k (x) kuvaajasta peilaamalla se x-akselin suhteen. Ts. osoitetaan, että log 1/k (x) = log k (x) kaikilla positiivisilla reaaliluvuilla x. Olkoon a positiivinen reaaliluku. Nyt (7) {}}{ 1 log 1/k a = log log k (1/k) k a = 1 {}}{ 1 log log k k 1 k a = log log k k k a = log k a. (7)

25 Harjoitustehtäviä. 5.1. Ratkaise yhtälöt (a) 2 x2 +1 4 x 1 = 2 (b) 2 x+1 2 x 1 = 12 5.2. Ratkaise yhtälö 3 x + 3 1 x = 4. 5.3. Millä vakion a arvolla yhtälö e sin x + a = 3 on ratkeava? 5.4. Ratkaise epäyhtälöt (a) e x2 sin x > 0 (b) 3 x2 5x+8 > 9 (c) 5 x 3 5.5. Ratkaise yhtälöt (a) log 2 x = 3 (b) log x 3 = 1/2 (c) log x (x + 1) = 2 5.6. Ratkaise yhtälöt (a) ln(x+1) ln(x 1) = 2 (b) 2 log 10(x 1) = log 10 (x + 2) + 1 5.7. Ratkaise yhtälö log x 2 log2 x = 7 4. 5.8. Ratkaise epäyhtälö log 1/3 (x 2 2) 1. 5.9. Ratkaise epäyhtälö log x (4x 2) > 0. 5.10. Olkoon n (> 1) positiivinen kokonaisluku. Millä kantaluvun k arvoilla pätee: log k ( 1 2 ) + log k( 2 3 ) + log k( 3 4 ) + + log k( n 1 n ) 1