5 Pistetul ja sen svellutuksia Kun kahdella vektrilla, a ja b n hteinen alkupiste, niiden määräämät pulisurat jakavat tasn kahteen saan, kahteen kulmaan, jtka vat tistensa eksplementtikulmia, siis kulmia, jiden astelukujen summa n 360. Vektreiden välinen kulma, jta merkitään ( a,b), tarkittaa näistä kahdesta eksplementtikulmasta pienempää, jten vektreiden välinen kulma vidaan aina rajittaa välille 0, 180. Erikisesti n [ ] ( a, b) = 0, kun a b, (a,b) = 180, kun a b ja MÄÄRITELMÄ 7 Vektreiden a ja b pistetul eli skalaaritul a b = a b cs( a, b) Tämä n siis pistetuln määritelmä. Se antaa kahden vektrin sellaisen tuln, jnka lpputuls n skalaari; tuln tekijöinä vat tulntekijävektreiden pituudet sekä niitten välisen kulman ksini. Esim. 1 i i = i i cs(i,i) = 1 1 cs 0 j i = j i cs( j,i) = 1 1 cs 90 = 1 = 0
Pistetula ei kätännössä juurikaan määritelmän mukaan lasketa. Määritelmä n silti muistettava, sillä sitä judutaan varsin usein svellutuksissa kättämään erittäinkin vektreiden välisen kulman määrittämiseen, kun kmpnenttimutisten vektreiden varsinaisen pistetuln laskemiseen jhdetaan khta kätevä laskukaava tista tietä. Sitä ennen käsitellään kuitenkin pistetuln minaisuuksia kskeva Lause 8 1 2 3 a b = b a a ( b + c ) = a b + a c ( r a ) ( s b ) = rs( a b ) Ykköskhdan mukaan pistetul n vaihdannainen, kakkskhdan mukaan sittelulaki n vimassa ja klmskhtaa santaan skalaaritekijän siirtsäännöksi. Td.: 2 sivuutetaan, kska vaatii vektriprjektin kättööntta 3 Olkt esimerkiksi r ja s mlemmat psitiivisia. Sillin ( ra,sb) = (a,b), jten kulmien ksinitkin vat htä suuret. Kska r a = r a ja sb = s b, 3 kum- niin sveltamalla pistetuln määritelmää khdan paankin puleen saadaan samat lausekkeet. Tapaukset r < 0, s > 0 ja r < 0, s < 0 sekä vielä r > 0, s < 0 käsitellään kukin erikseen. Kahdessa niistä tarvitaan trignmetriasta tuttua tieta cs(180 v) = cs v Kkeile! Harjitustehtäväksi!!
Määritelmän njalla vidaan kirjittaa heti lause, jsta n paljn hötä laskennallisissa tehtävissä: Lause 9 Js a ja b mlemmat vat nllasta eravia vektreita, niin a b = 0 a b Td.: Pistetuln määritelmässä esiint klme lukua. Niiden tul n nlla täsmälleen sillin, kun ainakin ksi niistä n = 0. Kska letuksen mukaan tekijävektrit eravat nllasta, tul vi lla nlla ainastaan siinä tapauksessa, että vektreiden välisen kulman ksini n nlla. Yhtälön cs = 0 ratkaisuista ainastaan 90 O n sellainen, jka kelpaa vektreiden väliseksi kulmaksi. Esim. 2 ABC n tasaklkinen surakulmainen klmi, missä kateetit vat = a ja sura kulma n pisteessä C. Laske AB AC. B C A AB = a 2 ja ( AB,AC) = 45 1 2 AB AC = AB AC cs45 = a 2 a = a. 2
Esim. 3 Osita vektreita kättäen, että pulimprän sisältämä kehäkulma n sura. Olkn PA = u, PO = r, PB = v ja vielä AO = OB = d. Mudstetaan suuntajanjen PAjaPB eli vektreiden u ja v välinen pistetul. Nämä eivät vi lla nllavektreita. Lausutaan ne r : n ja d :n avulla: PA + AO = PO PA = PO AO u = r d. Vastaavasti saadaan PB = v = r + d ja nt u v = (r d) (r + d) = r r + r d d r d d = 2 2 2 2 r d. Lauseke r d n vektreiden r ja d pituuksien neliöiden ertus. Nämä vektrit vat htä pitkät, vaikkakaan eivät le saman suuntaiset. Kseinen ertus saa siten arvn nlla. Tämä ertus n samalla kehäkulman klkivektreiden pistetuln arv. Kun pistetul häviää, niin nllasta eravat tekijävektrit vat khtisurassa tisiaan vastaan. P A O B ***** Lause 10 Olkt a = a î + a ĵ ja b = bî + b ĵ.tällöin a b = a b + a b Td.: Lasketaan pistetul laskulakeihin njautuen ihan raakasti aukikertmalla:
a b = (a î + a ĵ ) (b î + b ĵ ) = = a î) (b î ) + (a î) (b ĵ) + (a ĵ) (b î) + ( ( a ĵ) (b ĵ) = = a b )(î î) + (a b )(î ĵ ) + (a b )(ĵ î) + (a b )(ĵ ĵ) = ( a b + a b =, nhan nt î î = ĵ ĵ = 1 ja î ĵ = ĵ î = 0. Tdistetun lauseen avulla n pistetuln laskeminen humattavasti vaivattmampaa kuin määritelmän mukaan. Esim. 4 Js a = 3î ĵ ja b = 2î + 5ĵ, niin a b = 3 2 + ( 1) 5 = 6 5 = 1 Esim. 5 Olkn a = 4î 5ĵ ja b = 5î 12ĵ. Määritä sadassa-asteen tarkkuudella annettujen vektreiden välinen kulma. Pistetuln määritelmästä vidaan ratkaista vektreiden välisen kulman ksini: a b a b = a b cs(a,b) cs(a,b) = a b cs(a,b) jsta = = 2 2 2 2 4 4 5 + ( 5)( 12) + ( 5) 5 + ( 12) 80, 13 41 ( a,b) = 16.0399... 16.04. (Kuvi! Tarkistus!!) Lause 11 Vektrin pituus = neliöjuuri sen pistetulsta itsensä kanssa a = a a
Td.: Pistetuln määritelmään sijittamalla saadaan suraan 2 2 a a = a a cs( a, a) = a cs 0 = a, jsta tuls j näkkin. ***** Svella tätä tulsta eräässä harjitustehtävässä. Aivan mekaanisesti!