Aiemmin opittu Perusopetuksen opetussuunnitelman mukaan seuraavat lukuihin ja laskutoimituksiin liittyvät sisällöt on käsitelty vuosiluokilla 3 5: kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla lukujen luokittelu ja järjestäminen kertolasku sisältöjako, ositusjako ja jaollisuus laskualgoritmit ja päässälasku murtoluvun käsite ja murtolukujen muunnokset desimaaliluvun käsite murtoluvun, desimaaliluvun ja prosenttiluvun välinen yhteys murtolukujen ja desimaalilukujen yhteen- ja vähennyslasku sekä kertominen ja jakaminen luonnollisella luvulla laskutoimitusten tulosten arviointi, tarkistaminen ja pyöristäminen sulkeiden käyttö negatiivisen kokonaisluvun käsite erilaisten vaihtoehtojen lukumäärän tutkiminen. Ajankäyttö Luku 45 min oppitunti 70 75 min oppitunti 2 3 4 2 5 6 7 2 8 9 2 0 2 3 4 5 6 7 2 2 8 9 2 20 2 22 23 24 2 25 26 2 2 Vuosiluokalla 6 on oppimateriaalien mukaan vaihdellen käsitelty alustavasti kokonaislukuja, murtolukuja, desimaalilukuja ja prosentteja sekä niihin liittyviä laskutoimituksia. Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteiden mukaiset oppimistavoitteet ja keskeiset sisällöt vuosiluokille 6 9 löytyvät Sähköisestä opetusaineistosta. Tutustu kirjaan! Jakson tavoitteet Matematiikan kirjasi, Pii 7, on Pii-sarjan seitsemännelle vuosiluokalle tarkoitettu oppikirja. Jos tarvitset enemmän tukea, voit käyttää täyttötiloilla varustettua Pii 7 E -oppikirjaa, joka sisältää samat perusasiat kuin varsinainen oppikirja. Tulevina vuosina opiskelet matematiikkaa Pii 8-, Pii 9- ja Pii ϖ -oppikirjoista. Tutustu kirjaan ja vastaa seuraaviin kysymyksiin: Kirjassa on kolme jaksoa. Mitkä ovat jaksojen nimet ja tunnusvärit? Jokainen jakso on jaettu oppitunnin mittaisiin lukuihin. Kuinka monta lukua on jokaisessa jaksossa? Kuinka monta kertausosiota on yhdessä jaksossa? Millaisia osia on jokaisessa luvussa? Miten löydät tuntiin liittyvät kotitehtävät? Minkä tehtävien vastaukset ovat kirjan lopussa? Pohtikaa yhdessä myös seuraavia matematiikan opiskeluun ja oppimiseen liittyviä asioita: Mitä matematiikka mielestäsi on? Mihin matematiikkaa tarvitaan? Miten matematiikkaa opitaan ja opiskellaan? Miten valmistaudut matematiikan tunnille? Miten valmistaudut matematiikan kokeisiin? Miksi matematiikka on tärkeä oppiaine juuri sinulle? Millaisia tavoitteita sinulla on matematiikassa? Toivotamme menestystä matematiikan opinnoillesi Piin parissa! Tässä jaksossa tutkitaan kymmenjärjestelmän lukujen muodostamista ja desimaalilukujen paikkajärjestelmää tutustutaan luonnollisiin lukuihin sekä luonnollisten lukujen jaollisuuteen ja monikertoihin opitaan luonnollisten lukujen jaollisuussääntöjä ja luvun jakaminen alkutekijöihin tutustutaan kokonaislukuihin opitaan vastaluvun käsite ja sulkeita sisältävän lausekkeen sieventämissääntöjä opitaan laskemaan kokonaislukujen summa ja erotus Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 4
opitaan sieventämään kokonaislukuja sisältävä lauseke ja laskemaan sen arvo opitaan itseisarvon käsite ja itseisarvoja sisältävän lausekkeen sieventäminen opitaan laskemaan kokonaislukujen tulo opitaan potenssin merkitseminen ja potenssin arvon laskeminen harjoitellaan useita laskutoimituksia sisältävän lausekkeen sieventämistä tutustutaan murtolukuihin ja niiden merkitsemiseen opitaan murtoluvun supistaminen ja laventaminen opitaan samannimisten ja erinimisten murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku Luvut ja laskutoimitukset Numeroista lukuja... 6 2 Luonnolliset luvut... 0 3 Luonnollisten lukujen jaollisuus... 4 4 Tekijöihin jakaminen ja alkutekijät... 8 5 Kokonaisluvut... 22 6 Vastaluku... 26 7 Kokonaislukujen yhteenlasku... 28 8 Kokonaislukujen vähennyslasku... 32 9 Yhteen- ja vähennyslaskua kokonaisluvuilla. 34 0 Itseisarvo... 38 Kokonaislukujen kertolasku... 40 2 Kokonaislukujen jakolasku... 44 3 Luvun potenssi... 48 4 Yhdistettyjä laskutoimituksia... 52 5 Kertaus... 56 opitaan murtoluvun kertominen kokonaisluvulla ja toisella murtoluvulla opitaan osan ottaminen luvusta opitaan jakamaan murtoluku luonnollisella luvulla ja toisella murtoluvulla harjoitellaan positiivisia ja negatiivisia murtolukuja sisältävän lausekkeen sieventämistä harjoitellaan murtolukujen käyttöä aikalaskuissa ja muissa arkielämään liittyvissä tehtävissä. 6 Murtoluvut... 58 7 Supistaminen ja laventaminen... 62 8 Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku... 66 9 Erinimisten murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku... 70 20 Murtolukujen kertolasku... 74 2 Osan ottaminen luvusta... 78 22 Murtoluvun jakaminen osiin... 82 23 Murtoluvun jakaminen murtoluvulla... 86 24 Laskuja murtoluvuilla... 90 25 Sovelluksia murtoluvuilla... 94 26 Kertaus... 98 Toteuttamisvihjeitä Lukuvuoden ensimmäisellä matematiikan tunnilla on hyvä keskustella matematiikan opiskelusta yläkoulussa sekä aikatauluista, kokeista ja arvioinnista. Samalla voidaan silmäillä alustavasti oppikirjan sisältöä ja lukuvuoden aikana käsiteltäviä aihepiirejä. Tavoitteena on, että matematiikan tunneista saataisiin vuorovaikutteisia keskustelutilanteita, joissa ongelmia voitaisiin pohtia myös yhteisesti. Teorian läpikäynti opetuskeskusteluna yhteisesti antaa tähän hyvän mahdollisuuden. Tuntitilanne kannattaa kuitenkin järjestää sellaiseksi, että myös itsenäiseen opiskeluun ja harjoitteluun jää riittävästi aikaa, jolloin oppilailla on mahdollisuus opiskella omien oppimisedellytyksiensä mukaisesti. Tämän jakson aiheina ovat luvut ja laskutoimitukset. Jakson alkupuolella käsitellään lähinnä lukumäärää ilmaisevia luonnollisia lukuja ja niiden välisiä laskutoimituksia. Lukualuetta laajennetaan sitten kokonaislukuihin ja jakson loppupuolella myös murtolukuihin. Keskeisiä asioita jaksossa ovat laskutoimitukset eri lukualueilla sekä lukujen käyttöä ja laskutoimitusten osaamista harjaannuttavat sovellukset. Lukuihin liittyvät harjoitustehtävät on oppikirjassa jaettu kolmeen vaativuustasoon, jotka on merkitty tehtävänumeroihin. Helpoimmat, ilman tähteä olevat tehtävät ovat tehtäväosion alussa, näitä hiukan vaativammat, yhden tähden tehtävät osion keskivaiheilla ja vaativimmat, kahden tähden tehtävät osion lopussa. Useimmissa luvuissa on väripohjalla merkitty ekstraosio, jossa on käsiteltävään asiaan liittyvää lisämateriaalia ja harjoitustehtäviä. Kotitehtävien avulla voidaan kerrata kotona edellisellä tunnilla opitut keskeiset asiat. Kotitehtävien tarkistaminen on luontevaa tehdä heti tunnin alussa, jolloin voidaan samalla kerrata edellisellä tunnilla käsitellyt asiat ja keskustella niistä yhteisesti. Jotta kynnys omien ratkaisujen esittämiseen madaltuisi, ovat kotitehtävien vastaukset oppikirjan lopussa. 5
Toteuttamisvihjeitä Tässä luvussa tutustutaan arabialaisista numeroista muodostuviin kymmenjärjestelmän lukuihin ja paikkajärjestelmään. Aluksi kerrataan numeroiden merkitys luvussa ja opitaan kirjoittamaan luku summalausekkeena. Desimaalilukujen käsittelyn yhteydessä opitaan samat asiat desimaaliluvuilla ja kerrataan aiemmin opitut yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskualgoritmit. Lukuun liittyvät harjoitustehtävät tähtäävät ennen muuta paikkajärjestelmän ymmärtämiseen ja harjaannuttavat allekkainlaskutaitoa. Tuntiesimerkkeinä voidaan käyttää joko kirjan esimerkkitehtäviä tai opettajan itsensä laatimia esimerkkitehtäviä. Myös harjoitustehtävät soveltuvat yhteisesti käsiteltäviksi, jolloin myös ne voivat toimia esimerkkitehtävinä. Luontevaa on, että oppilaat harjaantuvat tarkistamaan laskemiaan tehtäviä itsenäisesti, jolloin opettajalle jää enemmän aikaa yksilölliseen ohjaukseen. Tehtävien käsittelyn yhteydessä on tarpeen korostaa, että pelkkiä lukuja sisältävät lähtöarvot ovat tarkkoja arvoja, mistä syystä vastauksia ei saa pyöristää. Myös käytäntöön liittyvissä tehtävissä lähtöarvoja pidetään tarkkoina eikä vastauksia sen vuoksi pyöristetä, jotta vastauksen ilmoittamisessa ei opittaisi vääriä malleja. Likiarvoja, pyöristämistä ja vastausten ilmoittamistarkkuutta likiarvotehtävissä käsitellään kahdeksannella luokalla. Jos käytetään oppikirjan esimerkkejä, ainakin esimerkit ja 3 on hyvä käsitellä yhteisesti ja myös keskustella niistä. Myös esimerkin 5 algoritmit on hyvä kerrata yhteisesti. Allekkain laskemista voidaan harjoitella lisää sen mukaan, millaiset aiemmat valmiudet oppilailla on. Tehtä- Keskeinen sisältö numerot ja niistä muodostetut kymmenjärjestelmän luvut luvun kirjoittaminen lukuyksiköiden avulla desimaalilukujen paikkajärjestelmä ja laskualgoritmit Päässälaskuja. 3 8 (24) 2. 5 6 (30) 3. 9 7 (63) 4. 8 5 (40) 5. 4 6 (24) 6. 2 8 (6) Numeroista lukuja Luku merkitsee suuruutta tai määrää. Luku muodostuu numeroista, joita kymmenjärjestelmässä on kymmenen erilaista. Me käytämme lukujen merkitsemiseen arabialaisia numeroita 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9. Luvussa numeron merkitys määräytyy paikan mukaan. Numerot ilmaisevat eri lukuyksiköitä, joita ovat ykköset, kymmenet, sadat, tuhannet ja niin edelleen. esimerkki Mitä lukuyksiköitä on luvussa 2 356? Kirjoita luku summalausekkeena. Luvussa 2 356 numeroiden merkitys on seuraava: 2 3 5 6 ykköset kymmenet sadat tuhannet Tuhannet Sadat Kymmenet Ykköset 2 3 5 6 Luku 2 356 kirjoitetaan ja luetaan kaksituhatta kolmesataaviisikymmentäkuusi. Luku 2 356 voidaan esittää summalausekkeena seuraavasti: 2 356 = 2 000 + 300 + 50 + 6 = 2 000 + 3 00 + 5 0 + 6 Desimaaliluvut Desimaaliluvussa on kokonaisosa ja desimaaliosa, jotka erotetaan toisistaan pilkulla. Ensimmäinen desimaali edustaa lukuyksikkönä kymmenesosia, toinen sadasosia, kolmas tuhannesosia ja niin edelleen. esimerkki 2 Mitä lukuyksikköä numero 4 edustaa luvussa a) 243 b) 40 573 c) 800 624 d) 3,249? Vastaus: a) kymmeniä b) kymmeniätuhansia c) ykkösiä d) sadasosia 6 6
vien joukossa on myös käytännön elämään liittyviä tehtäviä, joiden yhteydessä algoritmien käyttö on luontevaa. Laskimet otetaan käyttöön vasta myöhemmin, mutta tässä yhteydessä niitä voidaan käyttää vastausten tarkistamiseen. Oppilaita on jo lukuvuoden alussa hyvä opastaa valitsemaan lukuun liittyvistä harjoitustehtävistä omia oppimisedellytyksiä vastaavia tehtäviä, joista helpoimmat ovat osion alussa, keskitasoiset keskellä ja vaativimmat lopussa. Vaativimmista tehtävistä suoriutuminen edellyttää yleensä myös aiempaa osaamista ja ongelmanratkaisutaitoa. Ekstraosiossa on vielä näitäkin vaativampia eriyttäviä tehtäviä ja joskus myös lisää teoriaa. Sähköisessä opetusaineistossa on lisää oppikirjan tapaan kolmeen vaativuustasoon ryhmiteltyjä harjoitustehtäviä sekä muuta opetusta tukevaa materiaalia ja aktiviteetteja. Kotitehtävät ovat kaikille yhteisesti tarkoitettuja tehtäviä, joita voidaan käsitellä yhdessä tai jättää oppilaiden itsenäisesti tarkistettaviksi. Jos myös kotitehtävissä on tarvetta eriyttää, sellaisina voidaan käyttää vaativuustasoin merkittyjä harjoitustehtäviä. Oppikirjan lopussa on vastaukset koti- ja kertaustehtäviin. Tässä aineistossa ja Sähköisessä opetusaineistossa on vastaukset kaikkiin oppikirjassa oleviin tehtäviin. Sähköisessä opetusaineistossa myös yksittäisen tehtävän vastaus on mahdollista saada näkyviin klikkaamalla kyseistä tehtävää. esimerkki 3 Mitä lukuyksiköitä on luvussa 25,306? Kirjoita luku summalausekkeena. 2 5,3 0 6 tuhannesosat sadasosat kymmenesosat ykköset kymmenet Kymmenet Ykköset, Kymmenesosat Sadasosat Tuhannesosat 2 5, 3 0 6 kokonaisosa desimaaliosa Luku 25,306 kirjoitetaan ja luetaan kaksikymmentäviisi kokonaista kolmesataakuusi tuhannesosaa. Luku 25,306 voidaan esittää summalausekkeena seuraavasti: 25,306 = 20 + 5 + 0,3 + 0,006 = 2 0 + 5 + 3 0, + 6 0,00 esimerkki 4 Kirjoita luku lukuyksiköiden mukaisena summalausekkeena. a) 392 b) 0,602 c) 547,38 a) 392 = 3 00 + 9 0 + 2 b) 0,602 = 6 0, + 2 0,00 c) 547,38 = 5 00 + 4 0 + 7 + 3 0, + 8 0,0 esimerkki 5 Laske ilman laskinta. a) 0,9 +,74 b) 46,23 5, c) 7,42,6 d) 8,64 : 2,6 a) 0, 9 0 +, 7 4 2, 6 4 b) 4 6, 2 3 5, 0 4, 3 Yhteen- ja vähennyslaskuissa desimaalipilkut asetetaan kohdakkain. c) 7, 4 2, 6 2 4 4 5 2 + 7 4 2, 8 7 2 Kertolaskussa viimeiset numerot asetetaan kohdakkain. d) 3, 4 2 6 8, 6 4 x x 7 8 3 6 2 6 0 4 0 4 0 Koska jakajana on desimaaliluku, jaettava ja jakaja kerrotaan ensin 0:llä: 8,64 : 2,6 = 8,64 : 26. Vastaus: a) 2,64 b) 4,3 c),872 d) 3,4 7 7
Vastaukset Harjoitustehtävät. a) ja 5 b) 2 ja 5 c) 0, 2, 3 ja 6 d) 0,, 2, 3 ja 9 2. a) 372 b) 206 c) 5,27 d) 0,609 3. a) 53 kokonaista b) 746 tuhannesosaa 4. a) ykkösiä b) satoja c) sadasosia d) kymmenesosia 5. a) 7 b) 8 c) 6 d) 25 6. Numero on merkki, jota käytetään lukujen merkitsemiseen. Luku koostuu yhdestä tai useammasta numerosta. 7. a) 39,327 b) 0,63 c) 75,684 d) 2,432 8. a) 34 = 3 0 + 4 b) 57 = 00 + 5 0 + 7 c) 820 = 8 00 + 2 0 d) 4 083 = 4 000 + 8 0 + 3 9. a) 2,9 = 2 + 9 0, b) 5,70 = 0 + 5 + 7 0, c) 60,04 = 6 0 + 4 0,0 d) 0,003 = 3 0,00 0. a) 53,6 b) 0,34 c) 5 073 200 d) 308,002. 2 850 euroa 2. 8,0 euroa 3. a) kaupassa C b) kaupassa A c) kaupassa B d) Lemonin,50 /l, Jafan,80 /l ja Colan,60 /l 4. a) summa 3,30 b) erotus 83,952 5. suurin 9 652, pienin 2,569 P U L M A 3 54 = 62 harjoitustehtävät. Mitä numeroita on luvussa a) 5 b) 255 c) 30,26 d) 9 023? 2. Kirjoita lukuna. a) kolmesataaseitsemänkymmentäkaksi b) kaksisataakuusi c) viisi kokonaista kaksikymmentäseitsemän sadasosaa d) kuusisataayhdeksän tuhannesosaa 3. Mikä on luvun 53,746 a) kokonaisosa b) desimaaliosa? 4. Mitä lukuyksikköä edustaa numero a) 5 luvussa 235 b) 0 luvussa 2 073 c) luvussa 2,37 d) 6 luvussa 0,62? 5. Laske luvussa olevien numeroiden summa. a) 520 b) 458 c) 3,067 d) 65 482 6. Mikä ero on käsitteillä luku ja numero? 7. Laske ilman laskinta. a) 5,47 + 23,9 b) 2,5,87 c) 36,04 2, d) 7,296 : 3 Kirjoita luku lukuyksiköiden mukaisena summalausekkeena. 8. a) 34 b) 57 c) 820 d) 4 083 9. a) 2,9 b) 5,70 c) 60,04 d) 0,003 0. Mikä luku on kyseessä? a) 5 0 + 3 + 6 0, b) 3 0, + 4 0,0 c) 5 000 000 + 7 0 000 + 3 000 + 2 00 d) 3 00 + 8 + 2 0,00. Iidan tuntipalkka on 8,20 euroa, jolloin hänen kuukausipalkakseen tulee 2 730 euroa. Tuntipalkka nousee 80 senttiä. Mikä on Iidan uusi kuukausipalkka? 2. Yrityksessä on 5 työntekijää, joista kolmen tuntipalkka on 7,50 euroa ja kahden muun 9,00 euroa. Mikä on kaikkien 5 työntekijän keskituntipalkka? 3. Kolme kauppaa tarjoaa,5 litran virvoitus juomia seuraavilla hinnoilla: Juoma Kauppa A Kauppa B Kauppa C Lemon 2,40 /pullo 5,00 / 6 pulloa 6,75 / 3 pulloa Jafa 6,20 / 6 pulloa 8,25 / 3 pulloa 2,90 /pullo Cola 7,50 / 3 pulloa 2,40 /pullo 5,90 / 6 pulloa Missä kaupassa a) Lemonin b) Jafan c) Colan litrahinta on halvin? d) Mitkä ovat Lemonin, Jafan ja Colan halvimmat litrahinnat? 4. Laske numerot 5, 9,, 8 ja 4 sisältävien suurimman ja pienimmän kolmidesimaalisen luvun a) summa b) erotus. P U L M A Sijoita ruutuihin numerot 6 niin, että kertolasku on oikein. = 8 5. Muodosta suurin ja pienin nelinumeroinen luku, jossa on numerot 6, 2, 9 ja 5. 8
Kotitehtävät 6. a) 0 ja 4 b) 0, 3 ja 7 c) 0,, 2 ja 6 d) 0,, 3, 5, 7 ja 9 7. a) kymmenesosia b) ykkösiä c) sadasosia d) kymmeniä ja sadasosia 8. a) 66,24 b) 54,805 c) 7,74 d) 4,25 9. a) 0 + 7 + 3 0, b) 8 0, + 7 0,0 + 4 0,00 c) 2 0 + 5 0,0 d) 6 0,0 + 0,000 20. a) 56,2 b) 6 005,049 c) 70,309 2. 37,50 Ekstra 22. a) 99,4 ja 94,9, joiden summa on 94,3 b) 44,9 ja 49,4, joiden summa on 94,3 23. a) 584,003 b) 376,342 c) 29,4 d) 4,25 24. a) 5,32 b) 8,57 c),260 d) 0,02 25. a) pienin 237,9 ja suurin 973,2 b) pienin 304,8 ja suurin 843,0 c) pienin 5,8 ja suurin 885, d) pienin 333,6 ja suurin 666,3 26. a) 763,0 b) 997,2 c) 553,20 d) 888,83 kotitehtävät 27. a) A = 6 ja B = 3 b) C = 9, D =, E = 2 ja F = 3 6. Mitä numeroita on luvussa a) 404 b) 0,73 c) 0,206 d) 379 50? 7. Mitä lukuyksikköä edustaa numero a) 7 luvussa 5,753 b) 9 luvussa 9,27 c) 4 luvussa 0,045 d) 2 luvussa 25,725? 8. Laske ilman laskinta. a) 47,7 + 8,54 b) 92,04 37,235 c) 20,3 5,8 d) 6,5 : 3,8 9. Kirjoita luku lukuyksiköiden mukaisena summalausekkeena. a) 7,3 b) 0,874 c) 20,05 d) 0,060 20. Kirjoita luku a) jonka kokonaisosa on viisikymmentäkuusi ja desimaaliosa kaksitoista sadasosaa b) joka luetaan kuusituhattaviisi kokonaista neljäkymmentäyhdeksän tuhannesosaa c) joka on summalausekkeena 7 0 + 3 0, + 9 0,00. 2. Kangas, jonka pituus on 4,20 metriä, maksaa 52,50. Kuinka paljon maksaa 3,0 metriä samaa kangasta? ekstra 22. Muodosta kumpaakin numeroa 4 ja 9 ainakin kerran käyttäen kaksi eri suurta kolminumeroista, yksidesimaalista lukua, joiden summa on mahdollisimman a) suuri b) pieni. 23. Laske ilman laskinta. a) 397,023 + 86,98 b) 632,05 255,708 c) 25,34,5 d) 80,975 : 2,7 24. Mikä desimaaliluku on a) yhden kymmenesosan pienempi kuin 5,42 b) kolme sadasosaa suurempi kuin 8,54 c) kolme tuhannesosaa pienempi kuin,263 d) kaksi kymmenesosaa suurempi kuin 9,82? 25. Muodosta jokaista annettua numeroa ainakin kerran käyttäen pienin ja suurin nelinumeroinen, yksidesimaalinen luku. a) 2, 9, 3 ja 7 b) 3, 8, 0 ja 4 c) 5, 8 ja d) 3 ja 6 26. Muodosta jokaista annettua numeroa ainakin kerran käyttäen mahdollisimman suuri viisinumeroinen, kaksidesimaalinen luku. a) 6, 0, 3, 7 ja b), 9, 2 ja 7 d) 5, 0, 3 ja 2 c) 3 ja 8 27. Anna kirjaimille numeroarvot siten, että seuraava lasku pitää paikkansa. a) A,7 5,B =,4 b) C,8D 6,E4 = F,57 9 9