Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007
SISÄLLYS Saatteeksi............... 3 Luku................ 6 Murtoluku desimaaliluku....... 8 Desimaaliluku murtoluku...... 8 Laskutoimitukset........... 8 Laskujärjestys............. 9 2 Potenssi............... Potenssin määritelmä......... Potenssisäännöt........... Nollas potenssi............ 2 Negatiivinen potenssi......... 2 Murtoluvun potenssi......... 2 Desimaaliluvun potenssi........ 3 Kymmenpotenssiesitys........ 3 3 Juuret................ 6 Neliöjuuri............... 6 Kuutiojuuri.............. 7 4 Polynomi.............. 8 Peruskäsitteitä............ 8 Peruslaskutoimitukset......... 8 5 Muistikaavat............ 2 Summan ja erotuksen tulo...... 2 Summan neliö............. 22 Erotuksen neliö.......... 22 6 Tekijöihin jako........... 24 Kokonaislukujen jaollisuusehtoja... 24 Kokonaisluvun jakaminen tekijöihin.. 25 Polynomin jako tekijöihin....... 25 7 Rationaalilausekkeet........ 28 Supistaminen............ 28 Kertolasku.............. 28 Jakolasku............... 29 Yhteen- ja vähennyslasku....... 29 8 Yhtälö................ 30 Peruskäsitteitä............ 30 Ensimmäisen asteen yhtälö...... 3 9 Toisen asteen yhtälö........ 34 Vaillinaiset yhtälöt........... 34 Täydellinen yhtälö........... 35 0 Prosenttilasku........... 38 Erityyppisiä prosenttilaskutehtäviä... 38 Prosenttiyksikkö............ 4 Promille................ 4 Sanalliset tehtävät........... 4 Epäyhtälö.............. 45 Peruskäsitteitä............ 45. asteen epäyhtälö.......... 46 2 Yhtälöpari.............. 48 Yhteenlaskukeino........... 48 Sijoituskeino............. 48 Sanallinen yhtälöpari......... 49 3 Geometriaa............. 5 Yksiköiden muunnoksia........ 5 Pituusyksiköt............. 5 Pinta-alayksiköt............ 52 Tilavuusyksiköt............ 52 Tasokuvioiden piirit ja pinta-alat.... 53 Monikulmiot.............. 53 Ympyrä................ 54 Suorakulmaisen kolmion geometriaa. 56 Avaruusgeometriaa.......... 60 Harjoitustehtävien ratkaisuja...... 73 Liitteet Joukko-oppia............... 9 Merkintöjä ja symboleja......... 92 Aloitustesti................ 94
2. Potenssi Samojen lukujen summa voidaan esittää tulon muodossa, esimerkiksi voidaan kirjoittaa: 5 + 5 + 5 = 3 5. Vastaavasti samojen lukujen tulo voidaan lyhentää: 5 5 5 = 5 3. Tämä merkintätapa on nimeltään potenssi, jossa 5 on kantaluku ja 3 eksponentti. Yleistämällä saadaan Potenssin määritelmä 3. (a m ) n = a mn potenssin potenssi 4. (ab) n = a n b n tulon potenssi a ( b) n = an b n 5. osamäärän potenssi 6. a 0 = nollas potenssi (a 0, 0 0 ei tarkoita mitään) a n = a a a, jossa n Z + n kpl 7. a n = a n ( a b) n b = ( b a) n = n a n negatiivinen potenssi (n > 0) Potenssisäännöt Määritelmän perusteella saadaan seuraavat laskusäännöt (MAOL s. 8). Laskusääntöihin liittyvät esimerkkilaskut:. a 6 a 3 = a 6 + 3 = a 9. 2. a m a n = a m + n a m a n = am n samankantaisten potenssien tulo samankantaisten potenssien osamäärä 2. 3. 4. a 6 a 3 = a6 3 = a 3 ( a 6 ) 3 = a 6 3 = a 8 (ab) 6 = a 6 b 6
9. Toisen asteen yhtälö Toisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, jossa muuttujan suurin eksponentti on kaksi. Täydellinen toisen asteen yhtälö on muotoa ax 2 + bx + c = 0, jossa a, b ja c ovat vakioita ja lisäksi a 0. Jos ensimmäisen asteen termi bx tai vakiotermi c puuttuu, yhtälöä kutsutaan vaillinaiseksi toisen asteen yhtälöksi. Esimerkiksi 4x 2 2x + 5 = 0 on täydellinen, mutta 4x 2 + 5 = 0 ja 4x 2 2x = 0 ovat vaillinaisia toisen asteen yhtälöitä. Vaillinaiset yhtälöt. Muotoa ax 2 = c oleva yhtälö Jakamalla edellisen yhtälön molemmat puolet a:lla, saadaan x 2 = c, josta ratkaisut c a x = ± a. Esimerkkejä. Ratkaise yhtälö x 2 = 6. Ratkaisuja on kaksi, eli x = 4, koska 4 2 = 6 ja x = 4, koska myös ( 4) 2 = 6. Tämä voidaan merkitä lyhyemmin muodossa x = ± 4. 2. Ratkaise yhtälö 4x 2 2 = 0. Ratkaistaan ensin x 2 kuten ensimmäisen asteen yhtälöstä. 4x 2 2 = 0 4x 2 = 2 : 4 x 2 = 2 = 3 4 x = ± 3 Vastaus jätetään neliöjuurimuotoon, jo ka on tarkka arvo. Laskimesta on saatavissa vain likiarvo, esim. viiden desimaalin tarkkuudella x ±,73205. 3. Ratkaise yhtälö 3x 2 + 2 = 0. 3x 2 + 2 = 0 3x 2 = 2 : 3 x 2 = 7 Koska toinen potenssi ei koskaan ole negatiivinen, niin yhtälöllä ei ole ratkaisua. 2. Muotoa ax 2 + bx = 0 oleva yhtälö Ratkaisu saadaan jakamalla vasen puoli tekijöihin (yhteinen tekijä, ks. luku 6) ja käyttämällä tulon nollasääntöä. Tulon arvo on 0 silloin ja vain silloin, kun jokin tekijöistä on 0. 34
PROSENTTILASKU 4. Parturi- ja kampaamomaksut muodostuvat verottomasta hinnasta ja arvonlisäverosta, joka on 22 % palvelun verottomasta hinnasta. Hiusten leikkaus maksoi 20. Kuinka suuri tämä maksu olisi ollut, jos arvonlisävero olisi ollut 0 prosenttiyksikköä pienempi? Jos veroton hinta on x, niin verollinen hinta on,22x. Saadaan yhtälö,22x = 20, josta x = 20 ( 6,40). Koska uusi arvonlisävero on 2 %, on uusi verollinen hinta,22,2x =,2 20 8,36. Tämä pyöristetään käytännössä ylöspäin 0, :n tark-,22 kuuteen. Vastaus: Maksu olisi ollut 8,40. 5. Erään tuotteen hinta nousi tammikuussa 0 % ja joulukuussa 2 %. Kuinka monta prosenttia sen hinta nousi kaikkiaan? [S-77-L-] Alkuperäinen hinta = 00a. Hinta on tammikuun korotuksen jälkeen, 00a = 0a ja joulukuun korotuksen jälkeen,2 0a = 23,2a, joka on 23,2 % korkeampi kuin alkuperäinen hinta 00a. Vastaus: Hinta nousi kaikkiaan 23,2 %. Harjoitustehtäviä Kuinka paljon on. 5 % 2000:sta? 2. 75 % :sta? 3 3. 0,3 %,9:sta? 4. 2 % 80:stä? 2 5. 60 % min 40 s:sta? 6. 2,0 8,5 l:sta? Kuinka monta % 7. 45 on 900:sta? 8. on 3 :sta? 5 5 9. 600 m on 2,5 km:stä? 0. 8 on pienempi kuin 2?. 40 min on lyhyempi aika kuin h 5 min? 2. 0 m/s on nopeampi vauhti kuin 30 km/h? 3. kg 250 g on painavampi kuin 0,5 kg? Mikä luku on 4. 0 % suurempi kuin 995? 5. 00 % suurempi kuin 00? 6. 25 % pienempi kuin 7? 5 7. 50 % pienempi kuin 50? Mistä luvusta 8. 35 % on 40? 9. 200 % on 8? 20. Lukua suurennetaan 0 %. Kuinka mon ta % alkuperäinen luku on saatua lukua pienempi? 43