Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt

Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustulokset ovat aina likiarvoja, joilla on tietty tarkkuus Kokeellisissa luonnontieteissä käsitellään usein mittaustuloksia. Mittaustulokset ovat aina likiarvoja, joilla on tietty mittausmenetelmästä tai mittausvälineestä riippuva tarkkuus. Tästä syystä mittausvälineet valitaan kuhunkin mittaukseen mittaukselta vaadittavan tarkkuuden mukaan. Mittavälineiden tarkkuuden lisääntyessä niiden hinta yleensä kasvaa, mittaukseen kuluu enemmän aikaa ja välineiden käyttö vaatii harjoittelua. Siksi mittauksia ei yleensä suoriteta tarkemmin kuin lopputuloksen kannalta on mielekästä. Keittiövaa alla voidaan mitata noin 0 g:n tarkkuudella, mutta laboratoriotyöskentelyssä mitataan yleisesti milligramman tarkkuudella. Tavallisimpia mitattavia suureita lukion kemian oppilastöissä ovat massa, tilavuus, lämpötila ja aika. Vaakatyypin mukaan massa mitataan yleensä 0 mg:n, mg:n tai 0, mg:n tarkkuudella. Jos mitattava tilavuus on suurempi kuin 00 ml, tarkkaan tilavuuden mittaukseen käytettävien mittapullojen, täyspipettien ja byrettien tarkkuus on suuruusluokkaa 0, 0,4 ml. Pienten tilavuuksien ( 00 ml) mittaamiseen käytettävien mittapullojen, pipettien sekä mikro- ja mäntäpipettien tarkkuus on koon ja mallin mukaan 0, 0,00 ml. Yleistyksenä voidaan sanoa, että tilavuus voidaan mitata 3 4:n merkitsevän numeron tarkkuudella. Lämpötila mitataan tavallisesti o C: n tai 0, o C: n tarkkuudella lämpömittarin asteikon mukaisesti. Aika saadaan mitattua käsiajanotolla sekundaattoria käyttäen korkeintaan 0,2 s:n tarkkuudella. Tarkkoihin mittauksiin tarkoitetuissa välineissä on usein ilmoitettu niiden mittaustarkkuus. Esimerkiksi 20 ml:n mittapullossa on merkintä 20 o C, ± 0,04 ml. Miten mittaustarkkuus ilmoitetaan? Mittaustarkkuus ilmoitetaan tilanteesta riippuen yksikön avulla merkitsevien numeroiden lukumäärän avulla desimaalien lukumäärän avulla. Likiarvolaskennan säännöt Laskutoimitusten lähtöarvot ovat usein tietyllä tarkkuudella mitattuja mittaustuloksia. Lähtöarvojen laskutoimituksista saadaan lukuja, jotka sisältävät yleensä enemmän numeroita kuin lähtöarvot. Mittaustarkkuus ei voi kuitenkaan laskutoimituksissa muuttua, joten lopputulos on pyöristettävä epätarkimman lähtöarvon (mittauksen) määräämällä tavalla. 22

) Kerto- ja jakolaskuissa pyöristyksen määrää merkitsevien numeroiden lukumäärä (lyhennettynä mn). Tällöin epätarkin lähtöarvo on se, jossa merkitseviä numeroita on vähiten. Mittaustulos Merkitsevien numeroiden lukumäärä (mn) 30, ml 3 mn, koska luvussa on kolme numeroa 3, 0 ja. 5,00 g 4 mn: desimaalipilkun jälkeiset kaksi nollaa ovat merkitseviä numeroita eli ne ilmoittavat, että mittaus on tehty vaa alla, jolla voidaan mitata 0,0 g:n eli 0 mg:n tarkkuudella. Jos punnitaan esimerkiksi suodatinpaperi vaa alla, jonka tarkkuus on mg, ja vaaka antaa lukeman,200 g, niin mittaustulokseen merkitään myös kaksi viimeistä nollaa, koska ne ilmoittavat punnituksen tarkkuudeksi 4 mn. 0,0254 g 3 mn: desimaalimerkinnän edessä olevia nollia ei lueta merkitseviksi numeroiksi, koska ne aiheutuvat yksikön valinnasta. Jos 0,0254 g muutetaan milligrammoiksi, tulee 25,4 mg, jossa on 3 mn. 340 ml Merkintä on epäselvä, jollei asiayhteydestä selviä, onko viimeinen nolla merkitsevä numero vai ei (eli onko tilavuus mitattu 0 ml:n vai ml:n tarkkuudella). Epäselvyydeltä vältytään, jos tilavuus esitetään kymmenpotenssimerkintänä, jonka alkuosa ilmoittaa tarkkuuden. Yksiselitteiset esittämistavat ovat 3,40 0 2 ml (jos 3 mn) tai 3,4 0 2 ml (jos 2 mn). 3,7000 0 2 g Alkuosasta 3,7000 (0 2 on nimeltään potenssiosa) nähdään, että suure on ilmoitettu 5 mn:n tarkkuudella. Numeromerkintänä 3,7000 0 2 g = 3,7000. 00 g = 370,00 g, jolloin desimaalipilkun jälkeiset kaksi nollaa ilmoittavat, että massa on mitattu 0 g:n tarkkuudella. 5800 kg Selvemmät ilmaisut: 5,8 0 3 kg, jos 2 mn:n eli 00 kg:n tarkkuus 5,80 0 3 kg, jos 3 mn:n eli 0 kg:n tarkkuus 5,800 0 3 kg, jos 4 mn:n eli kg:n tarkkuus 2) Yhteen- ja vähennyslaskuissa pyöristyksen määrää desimaalien lukumäärä. Tällöin epätarkin lähtöarvo on se, jossa desimaaleja on vähiten. Yhteen- ja vähennyslaskuissa suureilla täytyy olla sama yksikkö. 23

Esimerkkejä,2 cm 3 +,2 cm 3 + 3,07 cm 3 = 5,427 cm 3 5,4 cm 3, koska epätarkimmassa lähtöarvossa,2 cm 3 on yksi desimaali (,2 cm 3 :ssa on kaksi ja 3,07 cm 3 :ssa kolme desimaalia). 2,67 kg + 396 g - 99,6 g = 2,67 kg + 0,396 kg - 0,996 kg = 2,8664 kg 2,87 kg, koska epätarkimmassa lähtöarvossa 2,67 kg on kaksi desimaalia. Tilavuus 270 ml on mitattu 500 ml:n mittalasilla (tarkkuus enintään 0 ml) ja tilavuus 65 ml 00 ml:n mittalasilla (tarkkuus enintään ml): 270 ml + 65 ml = 335 ml 340 ml = 3,4 0 2 ml, koska epätarkin mittaus on tehty 0 ml:n tarkkuudella. Kymmenpotenssimerkintä Jos luku tai suure on hyvin suuri tai pieni tai jos mittaustarkkuus halutaan ilmaista täsmällisesti, käytetään kymmenpotenssimerkintää, esimerkiksi N A = 6,022 0 23 /mol, u =,66 0-27 kg ja 8,300 0 3 g. Kymmenpotenssimerkinnässä luku esitetään tulon muodossa a 0 n, jossa alkuosa a on kokonais- tai desimaaliluku yleensä väliltä...0. Alkuosan avulla ilmoitetaan merkitsevien numeroiden lukumäärä. potenssiosa 0 n, jonka eksponentti n on positiivinen (jos suure 0) tai negatiivinen (jos suure ) kokonaisluku. Esimerkkejä Eräässä bakteeriviljelmässä tiedetään olevan noin 50 000 000 bakteeria. Alkuosa on,5 (2 mn) ja potenssiosa on 0 8, joten 50 000 000 kpl =,5. 0 8 kpl. Punaisten verisolujen läpimitta on noin 0,0000075 m. Alkuosa on 7,5 ja potenssiosa on 0-6, joten 0,0000075 m = 7,5. 0-6 m. 4740 mg = 4,74. 0 3 mg (jos 3 mn) tai 4,740. 0 3 mg (jos 4 mn) Yksikönmuunnokset Etuliitteettömät yksiköt (esimerkiksi mooli, gramma, metri, kuutiometri ja joule) ovat usein epäkäytännöllisen suuria tai pieniä mittaustulosten ilmoittamiseen. Tällöin käytetään etuliitteitä, jotka ilmoittavat, kuinka monikertainen tai kuinka mones osa kerrannaisyksikkö on etuliitteettömään yksikköön verrattuna. Seuraavaan taulukkoon on kirjattu eniten käytettyjä etuliitteitä (taulukkokirja): 24

nimi tunnus kerroin nimi tunnus kerroin giga G 0 9 = 000 000 000 sentti c 0-2 = 00 mega M 0 6 = 000 000 milli m 0-3 = 000 kilo k 0 3 = 000 mikro μ 0-6 = 000 000 deka da 0 = 0 nano n 0-9 = 000 000 000 desi d 0 - = /0 = 0, piko p 0-2 = 000 000 000 000 Yksikönmuunnoksia voidaan tehdä mm. seuraavilla tavoilla: ) Suurempi yksikkö muutetaan pienemmäksi joko kertomalla suhdeluvulla tai kirjoittamalla etuliitteen paikalle kerroin. 2) Pienempi yksikkö muutetaan suuremmaksi joko jakamalla suhdeluvulla tai kirjoittamalla etuliitteen paikalle kerroin. Suhdeluku ilmoittaa, kuinka monikertainen suurempi yksikkö on pienempään verrattuna. Esimerkkejä 0,6776 kg = 0,6776 000 g = 677,6 g, koska kg = 000 g 0,0059 mol = 0,0059 000 mmol = 5,9 mmol, koska mol = 000 mmol 5,44 0-5 g = 5,44 0-5 0 6 μ g = 54,4 μ g, koska g = 000 0000 μ g = 0 6 μ g 0,062 ml = 0,062 000 μ l = 62 μ l, koska ml = 000 μ l 46800 mg = 46800 000 g = 46,8 g, koska mg = g 000 73 ng = 73 0-9 g = 7,3 0-8 g, koska ng = 0-9 g. Tilavuuden yksiköissä mm 3, cm 3, dm 3 ja m 3 jälkimmäinen on aina 000-kertainen edelliseen verrattuna. Ruokaohjeissa ja kuluttajapakkauksissa käytettävät vetomitat cl ja dl jakavat välin millilitrasta litraan niin, että jälkimmäinen on aina 0-kertainen edelliseen verrattuna. SI-yksikkö Vetomitat cm 3 ml cl = 0 ml dl = 00 ml dm 3 l l = dm 3 = 000 ml 25

Esimerkkejä 2,58 0-5 m 3 = 2,58 0-5 0 6 cm 3 = 25,8 cm 3 = 25,8 ml, koska m 3 = 000 000 cm 3 = 0 6 cm 3 48 μ l = 48/000 ml = 0,048 ml = 0,000 048 l 4,5 dl = 4,5 0 cl = 45 cl = 45 0 ml = 450 ml 8760kg 8760 kg/m 3 = 3 000dm = 8,760 ; kg/dm3 kg/dm 3 voidaan myös kirjoittaa muotoon kgdm -3, koska /dm 3 = dm -3 ( a = ). Vastaavasti n a-n moolimassan yksikkö g/mol voi esiintyä muodossa gmol -. Tehtäviä. Kuinka monen merkitsevän numeron tarkkuudella seuraavat mittaustulokset on ilmoitettu? a) 2,07 g b) 34, ml c) 0,0234 kg d) 3,500 dm 3 e) 0,00500 μ l f) 0,0008 kg/m 3 g) 74 mg h) 3,62 0 5 m 3 i) 2,99792458 0 8 m/s 2. Kuinka monen desimaalin tarkkuudella seuraavat mittaustulokset on ilmoitettu? a) 23,56 g b) 500 ml c) 250,006 dm 3 d) 6,2 ng. 3. Ilmoita yksikön avulla, millä tarkkuudella seuraavat mittaustulokset on ilmoitettu: a) 45.2 s b) 23,58 g c) 50,0 ml d) 59,3422 g e) 8,6 0 3 kg f) (250,00 ± 0,02) dm 3 4. Muuta kymmenpotenssimerkinnäksi: a) ihmisen perimän (DNA:n) emäsparien lukumäärä 3 200 000 000 b) kulta-atomin säde 0,000 000 000 44 m c) ihmisen arvioitu seleenin tarve vuorokaudessa 0,000 09 g d) Suomen väkiluku noin 5 miljoonaa. 5. Muuta seuraavat massat laskinta käyttäen grammoiksi. Ilmoita vastaus kymmenpotenssimerkintänä a) 3,456 kg b) 6,2 mg c) 6444 µg d) 26,7 tn 6. Muuta seuraavat tilavuudet laskinta käyttäen dm 3 :eiksi. Ilmoita vastaus desimaalilukuna a) 56,7 ml b) 225 μ l c) 2,4 dl d) 0,055 m 3 e) 293,5 mm 3 7. Laske laskimella ja pyöristä lopputulos oikeaan tarkkuuteen: 34,567kg 23 kpl 54mol a) b) 6,022 0 2 23,42m 2,46m mol 8,3 0 m 2 3 c) 0,245 dm 3 + 25,6 cm 3 + 0,039 dm 3 d) 23 kpl 6,022 0 (2,6543g,673g) mol g 55,85 mol 26

Ratkaisut. a) 5 b) 3 c) 3 d) 5 e) 3 f) g) 3 h) 3 i) 9 2. a) 2 b) 0 c) 3 d) 3. a) sadasosasekunnin (0,0 s:n) tarkkuudella b) sadasosagramman (0,0 g:n) tai 0 mg:n tarkkuudella c) kymmenesosamillilitran (0, ml:n) tarkkuudella d) kymmenestuhannesosagramman (0,000 g:n) tai kymmenesosamilligramman (0, mg:n) tarkkuudella e) kymmenesosatonnin (0, tn:n) eli 00 kg:n tarkkuudella f) kahden sadasosakuutiodesimetrin (0,02 dm 3 :n) eli 20 cm 3 :n (20 ml:n) tarkkuudella. 4. a) 3,2 0 9 b),44 0-0 m c) 9 0-5 g d) 5 0 6 5) a) 3,456 0 3 g b) 6,2 0-3 g c) 6,444 0-3 g d) 2,67 0 7 g 6) a) 0,0567 dm 3 b) 0,24 dm 3 c) 55 dm 3 d) 0,000 2935 dm 3 7) a) 0,59998 kg/m 3 0,600 kg/m 3 b) 3,9993 0 2 kpl/m 3 4,0 0 2 kpl/m 3 c) 0,3096 dm 3 0,30 dm 3 tai 30 cm 3 d),05808 0 22 kpl,058 0 22 kpl 27