0.3 LOPPUTULOKSEN ESITTÄMISTARKKUUS

Transkriptio

1 18 0. LOPPUTULOKSEN ESITTÄMISTARKKUUS Fysikaalisen mittauksen ja virheenarvioinnin seurauksena määritettävän suureen arvolle saadaan likiarvo ja virhe (epätarkkuus). Lopputulokseen ei ole tarpeen sisällyttää sellaisia likiarvon numeroita, joilla ei ole merkitystä, kun virhe otetaan huomioon. Sääntö on: - Mittauksen lopputulosta esitettäessä otetaan mukaan kaikki merkitsevät numerot. - Numeroa pidetään merkitsevänä, jos sen epätarkkuus (virhe) on enintään 15 yksikköä. - Virheeseen otetaan mukaan yhtä monta desimaalia kuin lopputulokseen, mutta virhe pyöristetään aina ylöspäin. Esimerkki: Mittaustulos 0,765 ± 0,0601. Verrataan likiarvoa ja virhettä: 0,765 0, desimaalin (7) virhe on 0,601 yksikköä: mukaan.. desimaalin () virhe on 6,01 yksikköä: mukaan.. desimaalin () virhe on 6,01 yksikköä > 15. Pyöristetty lopputulos on siis 0,7. Tässä pyöristäminen tehdään normaalien pyöristyssääntöjen mukaan.

2 Pyöristetty virhe on 0,07. Tässä pyöristetään aina ylöspäin. Lopputuloksen esitysmuoto on 0,7 ± 0,07. Käytännön ohje: Säännön mukaan virhe voi olla korkeintaan... tai 0,0015 tai 0,015 tai 0,15 tai 1,5 tai... Heti, jos virheeksi saadaan esim. 0,16, täytyy sekä likiarvosta että virheestä pudottaa yksi numero pois, jolloin virhe tulisi olemaan 0,. Suhteellinen virhe esimerkissä on 0,0601 = 0,0878, prosentteina 8,78 %. 0,765 Myös tässä virhe voi olla korkeintaan 15 yksikköä, eli... tai 0,15 % tai 1,5 % tai 15% tai... joten oikea valinta on 9 % ja esitysmuodoksi tulee 0,7 ± 9%. 19

3 Esimerkki: Mittaustulos 185, ± 15. Verrataan likiarvoa ja virhettä 185, numeron (1) virhe on 0,15 yksikköä, mukaan.. numeron (8) virhe on 1,5 yksikköä, mukaan.. numeron () virhe on 1,5 yksikköä, mukaan.. numeron () virhe on 15, yksikköä > 15. Pyöristetty lopputulos on 1800 Pyöristetty virhe on Lopputulos voidaan esittää periaatteessa muodossa 1800 ± Tästä esitystavasta ei kuitenkaan voida päätellä ovatko lopussa olevat nollat merkitseviä numeroita vai ei (ellei tunneta käytettyä lopputuloksen esittämismenetelmää). Siksi tällaisessa tapauksessa tulos on parasta esittää joko kymmenen potenssien tai etuliitteiden (m, k, M,...) avulla niin, että merkitsevien numeroiden määrä näkyy tuloksesta yksikäsitteisesti. Tässä tapauksessa esimerkiksi 18, 10 ± 1,5 10

4 Fysiikan laboratoriotyöt 1 Kevät 016 Viikko Maanantai 18.. Tiistai 19.. Keskiviikko 0.. Torstai 1.. FL 1 Perjantai.. FL FL 1 FL 1 FL Viikko Maanantai 5.. Tiistai 6.. Keskiviikko 7.. Torstai 8.. FL 1 Perjantai 9.. FL FL 1 FL 1 FL

5

6 Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 PERUSMITTAUKSIA 1. Työn tavoitteet 1.1 Mittausten tarkoitus Tässä työssä määrität tutkittavaksesi annetun metallikappaleen tiheyden laskemalla sen suoraan tiheyden määritelmästä eli kappaleen massan ja tilavuuden suhteesta. Kappaleen massan määrität punnitsemalla kappaleen ja tilavuuden mittaamalla kappaleen ulko- ja sisähalkaisijat sekä korkeuden. Opit arvioimaan mittaustulostesi luotettavuutta niin, että osaat arvioida sekä tilavuuden että tiheyden absoluuttisen ja suhteellisen virheen ylärajat. Kun olet määrittänyt tutkittavan kappaleen tiheyden, voit päätellä, mitä metallia kappale on. 1. Oppimistavoitteet Työn tarkoituksena on opettaa sinua käyttämään kolmea tärkeää perusmittausvälinettä analyysivaakaa, työntömittaa ja mikrometriruuvia. Jos jatkat tämän kurssin jälkeen kohti vaativampia fysiikan, kemian tai tekniikan mittauksia, tulet käyttämään näitä mittalaitteita monta kertaa. Opit myös määrittämään vaa an, työntömitan ja mikrometriruuvin lukematarkkuuden, mikä on tärkeää arvioitaessa yksittäisen suureen mittaustarkkuutta. Tässä työssä keskeisenä tavoitteena on myös harjoitella mittaustulosten luotettavuuden arviointia. Opit arvioimaan omien mittaustesi perusteella yksittäisen mittaustuloksen virhettä. Tuloksen luotettavuutta parannetaan usein mittaamalla sama suure monta kertaa, jolloin suureen virhe voidaan arvioida tarkastelemalla yksittäisten mittaustulosten poikkeamaa tulosten keskiarvosta. Opit myös soveltamaan luennoilla käsiteltyä kokonaisdifferentiaalimenetelmää mittauksissa esiintyvään tilanteeseen, jossa määritettävät suureet (metallikappaleen tilavuus ja tiheys) eivät ole suoraan mitattavissa. Harjoittelet myös käyttämään ns. 15 yksikön sääntöä, joka on yleisesti käytössä oleva ohje sille, miten lopputulos ilmoitetaan virherajoineen. Kolmas tärkeä oppimistavoite on tutustuttaa sinut mittausraportin, jota fysiikan ja kemian töiden yhteydessä usein kutsutaan työselostukseksi, laatimiseen. Kaikki tälle kurssille osallistuvat opiskelijat olivatpa he sitten tulevia fyysikoita, kemistejä, opettajia tai diplomi-insinöörejä tulevat todennäköisesti tulevissa työtehtävissään kirjoittamaan koko joukon erilaisia mittausraportteja. Siksi työselostusten kirjoittaminen on hyvää harjoitusta tulevia työtehtäviäsi ajatellen. Työselostusten laatimisen helpottamiseksi löytyy ohje tämän kurssin sivuilta.

7 PERUSMITTAUKSIA. Pituuden mittaus ja punnitseminen.1 Metrimitta Metrimitalla voidaan sen pituudesta riippuen kätevästi mitata pituuksia 0,1 m 0 m. Metrimitan lukematarkkuus on 0,5 1 mm.. Työntömitta Lyhyitä, alle 0 cm:n välejä mitattaessa päästään suurempaan tarkkuuteen, kun käytetään metrimitan sijaan työntömittaa. Työntömitan lukematarkkuus on 0,05 0,1 mm. Työntömitta on esitetty kuvassa 1.1. Kuvan mukaisesti voidaan kiinteän ja liikkuvan mittausleuan (a 1 ja a ) välissä mitata kappaleiden ulkomittoja ja kiinteän ja liikkuvan mittauskärjen (b 1 ja b ) välissä sisämittoja. Kielen c avulla mitataan syvyyttä. Työntömitan pääasteikko löytyy sen rungolta (d) ja lisäksi työntömittaan kuuluu liikkuvalta osalta eli luistilta (e) löytyvä lukematarkkuutta parantava ns. noniusasteikko eli sivuasteikko. Työntömitassa on yleensä lukituslaite eli salpa (f), joka lukitsee leuat, kärjet ja kielen mittausasemaan. b 1 b d c a 1 a e f a 1, a = leuat, b 1,b = kärjet, c = kieli, d =runko, e = luisti, f = salpa Kuva 1.1. Työntömitta ja sen osat. Ennen mittausta tarkastetaan työntömitan nollakohta ja tarvittaessa otetaan korjaus huomioon vähentämällä nollakohdan lukema etumerkkeineen saadusta työntömitan lukemasta. Tämän jälkeen mitattava kappale asetetaan paikoilleen esimerkiksi ulkohalkaisijan mittaamista varten leukojen a 1 ja a väliin. Työntömitalla mittaamista esittää tarkemmin kuva 1.. Mittaustuloksen kokonaisosa luetaan pääasteikolta (kuvassa 1. g 1 ) sivuasteikon nollaviivan kohdalta. Pääasteikon jaotus on tavallisesti 1 mm. Esimerkiksi kuvan 1. tilanteessa, joka näkyy suurennettuna kuvan oikeassa alanurkassa, sivuasteikon nollaviiva sattuu välille 70 mm ja 71 mm ja kokonaisosaksi saadaan siten kuvan tilanteessa 70 mm. Sivuasteikolla (kuvassa 1. h 1 ) on pääasteikon

8 Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 mittaväli l jaettu n:ään osaan (tavallisesti n on 10, 0 tai 50). Kuvan tilanteessa pääasteikon mittaväli 1 mm on jaettu 0 osaan. Myös nonius-asteikon pituus vastaa pituutta l ja siinä on mittaviivoja etäisyydellä l toisistaan siten, että l = l n, jolloin l = l/n. Kuvassa nonius-asteikon mittaviivojen välimatka vastaa siis todellisuudessa etäisyyttä 1 mm/0 = 0,05 mm. Yleensä tämä työntömitan lukematarkkuus on merkitty mittaan (kuvassa 1. i). Mittaustuloksen murto-osat luetaan nyt katsomalla, mikä sivuasteikon viiva sattuu parhaiten kohdakkain jonkin pääasteikon viivan kanssa. Kuvan 1. tilanteessa sivuasteikon lukemaa 7 vastaava viiva sattuu parhaiten kohdakkain pääasteikon viivan kanssa. Mittaustulos on tässä tilanteessa siten 70,70 mm. i g h g 1 h 1 g 1, g = pääasteikko (cm, tuuma), h 1, h = sivuasteikko (cm, tuuma), i = lukematarkkuus Kuva 1.. Työntömitalla mittaaminen.. Mikrometriruuvi Mikrometriruuvilla tai mikrometrillä voidaan mitata lyhyitä, alle,5 cm:n välejä. Mikrometriruuvin lukematarkkuus on yleensä 0,01 mm. Kuva 1. esittää tyypillistä fysiikan töissä käytettävää mikrometriruuvia. Mikrometriruuvi muodostuu kaarevasta runko-osasta (kuvassa a), jonka toisessa päässä on ruuvikierre (b) ja toisessa päässä vastinkappale eli alasin (c). Kiertämällä ruuvia voidaan säätää ruuvin pään ja alasimen välimatkaa. Ruuvin yhtä kierrosta vastaava nousu on yleensä 0,5 tai 1 mm. Ruuvin mukana kiertyy sylinterinmuotoinen putki, jonka reunassa on asteikko (kuvassa d ja e). Asteikko on jaettu joko 50 osaan nousun ollessa 0,5 mm tai 100 osaan nousun ollessa 1 mm, jolloin pienin jako-osa on 0,01 mm. Tämä mikrometriruuvin lukematarkkuus on usein merkitty näkyville (f.)

9 PERUSMITTAUKSIA Mikrometriruuviin kuuluu tavallisesti lukituslaite (kuvassa g), jolla ruuvi voidaan lukita mittausasemaan. Ruuvia kierrettäessä lukitus ei saa olla päällä. Sylinteriputken päässä tai päällä näkyvä osa on kitkajarru (h). Ruuvin loppukiristys tehdään mittaustilanteessa kitkajarrulla, jolloin saadaan jokaisella mittauskerralla yhtä suuri voimavaikutus mittauskohteeseen. Mikrometriruuvia on vältettävä kiertämästä liian voimakkaasti, koska tämä voi aiheuttaa nollakohdan siirtymisen. Mikrometriruuvilla mitattaessa asteikon nollakohta onkin aina muistettava tarkastaa. Jos nollakohtaa vastaa jokin muu lukema kuin nolla, korjataan mittauslukemaa vähentämällä nollakorjaus etumerkkeineen saadusta mikrometriruuvin lukemasta. Kuvan 1. alanurkan tilanteessa mikrometriruuvin nollalukema on +0,01 mm. e h c b d a f g a = runko, b = ruuvikierre, c = alasin, d = sylinteriputki, e = asteikko, f = lukematarkkuus, g = lukitus, h = kitkajarru Kuva 1.. Mikrometriruuvi. Mikrometriruuvilla mitattaessa kappale Yläasteikko asetetaan kuvan 1. mukaisesti ruuvikierteen ja alasimen väliin ja käännetään kitkajarrusta ruuvi mittausasentoon. Kuvassa käytössä on mikrometriruuvi, jonka kierteen nousu on 0,5 mm. Tässä mikrometri- Ala-asteikko ruuvissa mittauslukeman kokonaiset millimetrit luetaan yläasteikolta ja puolikkaat Kuva 1.. Mikrometriruuvilla mittaaminen. ala-asteikolta. Kuvan tilanteessa kokonaisia millimetrejä saadaan 15, mutta ala-asteikolta huomataan, että lukemaa 15,5 vastaava viiva on vasta tulossa näkyviin, jolloin puolikkaita millimetrejä ei tässä ole. Murto-osat luetaan sylinteriputken reunassa olevalta asteikolta ja kuvassa lukema on 0. Mittaustulos on siten (15 + 0,0 + 0,0) = 15,0 mm. Kuvan 1. alareunassa näkyvä nollakorjaus huomioiden mittaustulokseksi saadaan 15,0 mm 0,01 mm = 15,9 mm.

10 Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 5. Punnitseminen Kevyitä kappaleita, joiden massa on alle 00 g, punnitaan opetuslaboratoriossa kuvassa 1.5 a) näkyvällä digitaalisella analyysivaa alla. Painavampia kappaleita punnittaessa käytetään kuvassa 1.5 b) esitettyä orsivaakaa, jonka käyttöön tutustut lähemmin Fysiikan laboratoriotyöt kurssissa. a) b) Ovet Kappale Nollaus (Tare) On/Off Kuva 1.5. a) Digitaalinen analyysivaaka b) Orsivaaka.. Ennakkotehtävät Ratkaise seuraavat tehtävät ennen saapumista työvuorolle. Palauta ratkaisusi työn ohjaajalle. d 1 d 1. Tutkittava kappale on oheisen kuvan mukainen h sylinterirengas, jonka ulkohalkaisija on d 1, sisähalkaisija on d ja korkeus on h. Johda renkaan tilavuudelle V yhtälö h V = p ( d1 - d ). (1.1) Kuva 1.6. Tutkittava sylinterirengas.. Osoita liitteessä 1 annettujen ohjeiden avulla, että tilavuuden absoluuttisen virheen yläraja D V voidaan laskea yhtälöstä DV phd -phd + 1 p Dd1 Dd + ( d1 - d ) Dh. (1.)

11 6 PERUSMITTAUKSIA. Mittaukset Valitse työn ohjaajan antamasta kokoelmasta tutkittavaksesi yksi metallirengas. Tarkastele valitsemaasi kappaletta ja yritä päätellä, mitä metallia se voisi olla..1 Kappaleen tilavuus Mittaa valitsemasi kappaleen halkaisijat kymmenestä eri kohdasta työntömitalla ja korkeus samoin kymmenestä kohdasta mikrometriruuvilla. Kirjaa ylös käyttämiesi mittalaitteiden lukematarkkuudet ja muista tarkastaa myös nollakorjaukset.. Kappaleen massa Kappaleen punnituksessa käytetään kuvassa 1.5 a) esitettyä analyysivaakaa. Tarkasta vaa an nollakohta ennen mittausta ja punnitse kappale sitten ohjaajan antamien ohjeiden mukaan. Kirjaa mittauspöytäkirjaan ylös punnitustulos sekä massan virheenä käytettävä vaa an lukematarkkuus. 5. Mittaustulosten käsittely ja tulosten luotettavuuden arviointi 5.1 Kappaleen tilavuuden määritys Laske tutkimasi kappaleen ulko- ja sisähalkaisijoiden sekä korkeuden keskiarvot. Laske tämän jälkeen yksittäisten mittaustulostesi poikkeamat keskiarvosta. Nyt voit määrittää halkaisijoiden ja korkeuden absoluuttisten virheiden ylärajat D d1, D d ja D h vertaamalla mitan lukematarkkuutta ja suurinta poikkeamaa keskiarvosta toisiinsa. Tee halkaisijoiden ja korkeuden keskiarvoihin mahdolliset nollakorjaukset ja laske tämän jälkeen kappaleen tilavuus yhtälöstä (1.1). Määritä sitten tilavuuden absoluuttisen virheen yläraja lausekkeen (1.) avulla sijoittamalla siihen määrittämäsi halkaisijoiden ja korkeuden absoluuttisten virheiden ylärajat. Laske lisäksi tilavuuden suhteellisen virheen yläraja D V V.. Metallin tiheyden määritys Aineen tiheydellä r tarkoitetaan sen massan m ja tilavuuden V suhdetta, ts. m r =. (1.) V

12 Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 7 Sijoita määrittämäsi kappaleen massa ja edellä laskemasi tilavuus yhtälöön (1.) ja laske metallin tiheys. Muodosta sitten yhtälön (1.) perusteella aineen tiheyden luonnollisen logaritmin ln r lauseke massan m ja tilavuuden V luonnollisten logaritmien ln m ja ln V avulla. Määritä tiheyden suhteellisen virheen D r r ylärajan lauseke Liitteen 1 avulla ja sijoita saamaasi lausekkeeseen mittaamasi massan arvo m sekä sen virheraja D m ja edellä laskemasi tilavuuden suhteellisen virheen yläraja D V V. Laske vielä näin saamasi suhteellisen virheen ylärajan avulla tiheyden absoluuttisen virheen Dr yläraja. 6. Lopputulokset ja johtopäätökset Ilmoita lopputuloksina tutkimasi kappaleen tilavuus ja määrittämäsi metallin tiheys sekä niiden absoluuttiset ja suhteelliset virheet. Työselostuksen tärkeässä Johtopäätökset kappaleessa voit tarkastella omia mittaustuloksiasi kriittisesti, kuinka luotettavia ne mielestäsi ovat. Voit myös pohtia sitä, arvasitko oikein, mitä metallia tutkimasi kappale oli. Tarkastele myös työn opetuksellisia tavoitteita, opitko niitä asioita, joista kappaleessa 1. kerrottiin. Tulisiko mieleesi jotain, millä oppimistasi voitaisiin parantaa?

13 OULUN YLIOPISTO Työn suorittaja: FYSIIKAN OPETUSLABORATORIO Mittauspäivä: / 0 klo - Fysiikan laboratoriotyöt 1 Työn ohjaaja: MITTAUSPÖYTÄKIRJA PERUSMITTAUKSIA 1. Kappaleen tilavuus Keskiarvot d 1 (mm) d (mm) h (mm) Mittaustarkkuudet: Työntömitta: Mikrometri: d 1 d Nollakorjaukset: Työntömitta: Mikrometri: h. Kappaleen massa m = Dm = Ohjaajan allekirjoitus

14 Fysiikan laboratoriotyöt 1 Perusmittauksia Tekijän tiedot: Nimi ja sähköpostiosoite Koulutusohjelma Päiväys: Mittausten suorituspäivä Työn ohjaajan nimi:

15 Perusmittauksia 1. Työn tarkoitus Kuvaa lyhyesti ja täsmällisesti työn kohteena olleet ilmiöt, käytetyt mittausmenetelmät sekä ne tutkittavat suureet, joiden arvot oli määritettävä. Ilmaise suureet sanallisesti, ei symbolein. Tässä työssä voisit kirjoittaa esimerkiksi seuraavaa: Työn tarkoituksena oli saada selville metallin tiheys määrittämällä metallista valmistetun sylinterirenkaan tilavuus pituuden mittauksilla ja massa punnitsemalla. Lisäksi tarkoituksena oli opetella käyttämään perusmittausvälineitä, arvioimaan mittaustulosten luotettavuutta ja laatimaan työstä raportti.. Teoria Kirjoita tähän kappaleeseen lyhyt katsaus työn teoriaan. Esitä kaikki tarvittavat yhtälöt numeroituina ja ilman johtoa. Määrittele yhtälöissä esiintyvät suureiden symbolit yksikäsitteisesti. Voit käyttää esityksen pohjana työohjetta, luentoja tai muuta kirjallisuutta. Esitä kuitenkin asia omin sanoin kopioimatta lähteen tekstiä sellaisenaan. Tutkitun sylinterirenkaan tilavuus V saadaan yhtälöstä h V d1 d, (1) missä h on sylinterin korkeus ja d 1 ja d ovat sen ulko- ja sisähalkaisijat. Metallin tiheys on m, () V missä m on metallista valmistetun sylinterin massa ja V on sen tilavuus.. Mittausmenetelmät Esittele koelaitteisto ja kuvaa suoritetut mittaukset siten, että lukija voi esityksesi perusteella tarvittaessa toistaa mittaukset. Jos työssä käytettiin useita välineitä, voit esittää ne esimerkiksi luettelona. Sylinterirenkaan halkaisijat mitattiin työntömitalla ja korkeus mikrometriruuvilla. Luotettavuuden parantamiseksi halkaisijat ja korkeus mitattiin kymmenestä eri kohdasta. Kappaleen massa määritettiin punnitsemalla kappale digitaalisella analyysivaa alla.

16 Perusmittauksia. Mittaustulokset ja niiden käsittely Tämän kappaleen on tarkoitus kertoa lukijalle, miten pääset mittaustuloksistasi lopputuloksiin. Kerro, että lukija voi tarkastaa alkuperäiset havaintoarvosi liitteenä olevasta mittauspöytäkirjasta. Sijoita mittaustulokset teoriaosassa esitettyihin yhtälöihin, joihin viittaat numeroin. Kirjoita mallisijoitus kustakin laskettavasta suureesta yksikköineen näkyviin. Käytä laskuissa riittävää, mutta järkevää numeerista tarkkuutta. Seuraavassa on esimerkki siitä, millainen tämä kappale voisi olla tässä työssä. Välittömät mittaustulokset löytyvät liitteenä olevasta mittauspöytäkirjasta. Alla olevassa Taulukossa 1 on esitetty mittaustulosten keskiarvoina saadut kappaleen halkaisijat ja korkeus. Lisäksi siitä löytyvät mittojen nollalukemat sekä halkaisijoiden ja korkeuden nollakorjatut arvot. Mittaustulosten luotettavuuden arvioinnissa tarvitaan mittaustulosten absoluuttisia virherajoja. Ne on määritetty käyttäen taulukossa mittojen lukematarkkuuksia sekä suurimpia poikkeamia halkaisijoiden ja korkeuden keskiarvoista. Taulukko 1. Mittaustulokset ja niiden virherajat. Ulkohalkaisija d 1 (mm) Sisähalkaisija d (mm) Korkeus h (mm) Keskiarvo 70,70 5,50 15,0 Mittojen nollalukemat 0,00 0,00 0,01 Nollakorjattu keskiarvo 70,70 5,50 15,9 Mitan lukematarkkuus 0,05 0,05 0,01 Suurin poikkema keskiarvosta 0,0 0,0 0,0 Absoluuttinen virhe 0,05 0,05 0,0 Virheeksi valitaan suurempi näistä Sijoittamalla Taulukossa 1 näkyvät lihavoidut halkaisijoiden ja korkeuden arvot yhtälöön (1) kappaleen tilavuudeksi saadaan V h 15,9 mm d d 70,70 5,50 mm 59,5015 mm 5,9 1 cm. Edellä lasketun tilavuuden V ja kappaleen massan m = 95,770 g avulla metallin tiheydeksi saadaan yhtälöstä () m 95,770 g g g, ,706. V 5,95015 cm cm cm

17 Perusmittauksia 5. Tulosten luotettavuuden arviointi Voit esittää arvioita tulosten luotettavuudesta erillisessä omassa kappaleessaan tai voit myös yhdistää tämän kappaleen mittaustulosten käsittelyyn, jolloin voit otsikoida kappaleen Mittaustulosten käsittely ja luotettavuuden arviointi. Tässä työssä tilavuuden ja tiheyden satunnaisvirhettä arvioidaan kokonaisdifferentiaalia käyttäen. Johda tähän sopivat kokonaisdifferentiaalilausekkeet ja esitä myös, mitä sijoitat lausekkeisiin virheitä laskiessasi. Seuraavassa on esimerkki siitä, millainen tämä kohta voisi olla. Arvioidaan tilavuuden ja tiheyden virheet kokonaisdifferentiaalimenetelmää käyttäen. Koska tilavuus V = V(d 1, d,h), tilavuuden absoluuttisen virheen ylärajaksi saadaan V V V d1 d d d 1 V h h, jossa esiintyvät osittaisderivaatat ovat yhtälön (1) perusteella V d h d h d ; V h d h d d h ; V d Näin ollen tilavuuden absoluuttisen virheen ylärajaksi saadaan sijoittamalla Taulukosta 1 lihavoidut mitattujen suureiden nollakorjatut keskiarvot ja niiden absoluuttisten virheiden ylärajat 1 d. V hd 1 d (70,70 1 hd 5,50 d ) mm ( d 1 d 15,9 mm 70,70 mm 15,9 mm 5,50 mm 0,05 mm 0,05 mm ) h 0,0 mm 09,91969 mm 0,1cm, jonka avulla suhteellisen virheen ylärajaksi saadaan V V 0, % 0, % 0,60 %. 5,95015 Tiheyden luonnollinen logaritmi on yhtälön () perusteella ln ln m lnv. Näin ollen metallin tiheyden suhteellisen virheen yläraja on

18 5 Perusmittauksia m ln ln 0,000 95,770 m V V m m 0, ,95015 josta saadaan absoluuttisen virheen ylärajaksi V V 100 % 0, % 0,60 %, g 0, , cm g 0, cm g 0,017 cm. 6. Lopputulokset Kokoa tähän selkeästi näkyville työn lopputuloksena saamiesi suureitten arvot eli tässä työssä kappaleen tilavuuden ja metallin tiheyden arvot. Kiinnitä erityistä huomiota lopputulosten numeeriseen tarkkuuteen ja esitysmuotoon. Ilmaise kaikki tulokset SI-yksiköissä tai sallituissa lisäyksiköissä. Vielä muistutus tulosten ilmoitustavasta: Virheraja ilmoittaa suoraan, kuinka monta yksikköä kunkin numeron epävarmuus on. Yhtään oikeata numeroa ei jätetä ilmoittamatta, ts. mukaan otetaan kaikki merkitsevät numerot. Merkitsevinä numeroina voidaan pitää numeroita, joiden epävarmuus on enintään 15 yksikköä. Lopputulos ja virheraja ilmoitetaan aina samalla desimaalisella tarkkuudella. Esimerkiksi yllä käsitellyn esimerkin tapauksessa tähän voitaisiin kirjoittaa seuraavaa: Kappaleen tilavuudeksi saatiin V (5, 0,) cm 5, cm 0,6 % ja metallin tiheydeksi saatiin g g,71 0,0,71 0,6 %. cm cm

19 6 Perusmittauksia 7. Johtopäätökset Tässä selostuksen kannalta tärkeässä kappaleessa arvioit saamiasi tuloksia ja niiden oikeellisuutta esimerkiksi vertaamalla niitä teoreettisiin tai sopivista taulukoista löytyviin arvoihin. Esitä myös muut omat päätelmäsi työstä tässä. Mikäli tuloksia ei ole kovin paljon, voit myös yhdistää kaksi viimeistä kappaletta esimerkiksi otsikon Tulokset ja niistä saadut johtopäätökset alle. Liitteet Tässä työselostuksessa liitteenä tulee olla mittauspöytäkirja.