JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen avulla.. Olkoot a > ja b >. a) Laske ellipsin x y = f(x) avulla. + b a b = rajoittaman alueen pinta-ala funktion kuvaajaesityksen b) Olkoon : [, π] R, (t) := (a cos t, b sin t). Määrää ellipsipolun rajoittaman alueen pinta-ala käyräintegraalin ( y dx + x dy) avulla. (π a b) 3. Määrää kardioidin : [, π] R, (t) := a ( cos t) (cos t, sin t), rajoittaman alueen pinta-ala (a positiivinen vakio). Mikä on sellaisen suoran katiskan pinta-ala, jonka pohjana ja kantena on y.o. kardioidi, ja jonka korkeus on h? 4. (Jatkoa.) Määrää edellisen tehtävän kardioidin sen osan pinta-ala, joka jää origokeskisen a-säteisin ympyrän ulkopuolelle ( kuunsirppi ; ks. kuva ). 5. Määrää polun α: [, ] R, α(t) := (t, t 3 a t), rajoittaman alueen pinta-ala. Tässä a on annettu vakio, jolle < a < 4. (Kuva ) 6. Tason R rθ := R koordinaatteja merkittäköön r ja θ. Olkoot G: R rθ R xy := R, G(r, θ) := (r cos θ, r sin θ), ja : J R rθ positiivisesti suunnistettu (paloittain) sileä, umpinainen Jordan-polku ja B käyrän (J) sisäpuoli (jolloin B on Jordan-joukko). Osoita, että a) r θ dr = r dr dθ ; B b) jos (J) (, ) ( π, π), niin integraali r θ dr antaa xy-tason alueen R xy, jolle G(B) =, pinta-alan. [Vihje: IL/muuttujanvaihtolause.] 7. a) Olkoot G kuten edellisessä tehtävässä ja : J R rθ annettu C -polku. Olkoon := G : J R xy. Osoita, että ( y dx + x dy) = r dθ. b) Bernoullin lemniskaatan määrittelee yhtälö (x + y ) = a (x y ), missä a on positiivinen vakio (kuva ). Osoita, että napakoordinaattien r ja θ avulla käyrä saa parametriesityksen r = a cos(θ). Selvitä, mitkä muuttujan θ arvot ovat mahdollisia, ja mitkä välit vastaavat kuvan käyrän eri osia. b) Määrää Bernoullin lemniskaatan rajoittaman alueen pinta-ala.
Kardioidi ja ympyrä (a = ); tehtävän 5 polku α (a = 3); Bernoullin lemniskaatta (a = ). - - 3 4.3.. -. -. -.3 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 3 4.5.5 - -4.5-4 - 4.5.5.5 3 Vasen kuva: Fermat n spiraali, jonka määrittelee napakoordinaattiyhtälö r = θ, ja x-akselin suuntainen jana muodostavat umpinaisen Jordan-käyrän. Oikea kuva: Funktioiden u n,m (x, y) := sin(n x) sin(m y) lineaarikombinaation u := u, + µ u, tasa-arvokäyrä u =, kun µ :=., ja neliön (, π) (, π) reuna muodostavat kaksi umpinaista Jordan-käyrää. Ympyrän ja neliön muotoiset pisteet ovat kyseisten Jordan-käyrien eri puolilla. *8. Olkoot G: R rθ R xy, G(r, θ) := (r cos θ, r sin θ) ja R xy, B R rθ alueita siten, että G(B). Olkoon f = (f, f ): R C -vektorikenttä, : [a, b] B C -polku ja := G. Osoita, että ( f d s = ((f G) cos θ + (f G) sin θ) dr + ((f G) r cos θ (f G) r sin θ) dθ ). *9. Laske edellisen tehtävän avulla käyräintegraali + f d s, kun f(x, y) := ( arctan(y/x), log(x + y ) ) ja alue on napakoordinaattien avulla ilmaistuna := {(x, y) R < r <, π 4 < θ < π 4 }. [Vihje: Napakoordinaattien avulla (f G)(r, θ) = (θ, log r ). Käyräintegraalin voit laskea suoraan tai Greenin lauseen avulla.] Funktiot u n,m ovat Laplace-operaattorin := x + y ominaisfunktioita neliössä (, π) (, π), eli ne toteuttavat yhtälön u n,m = λ n,m, u n,m joillekin vakioille λ n,m (laske). Myös u on ominaisfunktio; sitä vastaa ominaisarvo λ = 45. Kaava saa kauniimman muodon, jos asetetaan (θ) := (cos θ, sin θ) ja (θ) := ( sin θ, cos θ). Tällöin (θ) ja (θ) ovat keskenään kohtisuoria yksikkövektoreita ja käyräintegraali ( ) ) f d s = (f G (θ)) dr + r (f G (θ)) dθ = ( f G (θ) dr + r (θ) dθ ; lauseke (θ) dr + r (θ) dθ vastaa nyt vektorikaarialkiota d s.
3 *. Vektorianalyysin kaavoja. Olkoot R n avoin ja f : R, F = (F,..., F n ): R n C -kuvauksia. Määritellään funktion f gradientti f = grad f : R n, Laplaceoperaattori f : R ja vektorikentän F divergenssi F = div F : R kaavoilla 3 grad f := ( f,..., n f), f := f + + nf, div F := F + + n F n, sekä tapauksessa n = 3 vektorikentän F roottori 4 F = rot F : R 3 kaavalla rot F := ( F 3 3 F, 3 F F 3, F F ). Olkoot R 3 avoin, f, g : R ja F = (F, F, F 3 ), G = (G, G, G 3 ): R 3 C -kuvauksia. Osoita, että 5 a) div rot F = b) rot grad f = c) div grad f = f d) grad(fg) = f grad g + (grad f)g e) div(ff ) = f div F + (grad f) F f) rot(ff ) = f rot F + (grad f) F g) div(f G) = G rot F (rot F ) G h) (fg) = f g + ( f)g + (grad f) (grad g) *. (Divergenssilause tasossa; vrt. H/T7.) Olkoot polku, alue ja vektorikenttä f = (f, f ) kuten Greenin lauseessa, sekä J : R R, J(x, y) := (y, x). Olkoon ν : I R, ν(t) := J( (t))/ (t), ja n(p) = ν(t), kun p = (t). Osoita, että vektorikentän f vuolle polun läpi on f d n := (f J ) = div f d(x, y). I *. Olkoot R 3 origon suhteen tähtimäinen alue ja F C -vektorikenttä alueessa siten, että div F =. Määritellään vektorikenttä G: R 3 asettamalla G(x) := t F (t x) x dt =: t F d s, x missä x : [, ], x (t) := t x Tässä vektoriarvoisen funktion H = (H, H, H 3 ), H(t) := t F (t x) x, integraali määritellään asettamalla ( ) H(t) dt := H (t) dt, H (t) dt, H 3 (t) dt. Osoita, että rot G = F. (Vertaa luentomonisteen lauseeseen 4.8.) 3 Tässä yhteydessä sisätuloa merkitään yleensä pisteellä: u v := (u v), kun u, v R n. Ristitulon ominaisuuksia on käsitelty kurssin Differentiaalilaskenta harjoitusten 4 tehtävässä *. 4 Englanninkielisessä kirjallisuudessa vektorikentän F roottoria merkitään yleensä curl F. 5 Ne kaavat, joissa roottori ei esiinny, käyvät yleisemmin R n :ssä. Kirjallisuudesta löytyy muutama muukin derivointikaava. Osa on tosin sen verran hämäräperäisiä ja mutkikkaita, ettei niitä kannata katsoa kuin kummeksuen. Esimerkiksi sisätulon gradientti grad(f G) kannattaa laskea komponenteittain j ( n k= F k G k ) =... tai palauttaen lasku derivaattakuvaukseen (ja tulon derivointiin): (grad(f G)(x)) u = D(F G)(x) u = (DF (x)u) G(x) + F (x) (DG(x)u).
Seuraavat tehtävät käsittelevät samoja asioita kuin kompleksianalyysin kurssi, mutta reaalisten käyräintegraalien avulla. Polku ja alue ovat kuten Greeenin lauseessa ( : I R on positiivisesti suunnistettu paloittain sileä umpinainen Jordan-polku ja käyrän (I) sisäpuoli), ja u, v : G R ovat jatkuvasti differentioituvia funktioita alueessa G R, jolle G. Merkitään z = x + i y ja f(z) = u(x, y) + i v(x, y). 4 *3. Osoita, että jos pari (u, v) toteuttaa alueessa G Cauchyn ja Riemannin yhtälöt (CR) x = v y ja y = v x, niin 6 (u dx v dy) = ja (v dx + u dy) =. *4. (Jatkoa.) Jordan-käyrän (I) rajoittama alue on yhdesti yhtenäinen (tämä on faktaa; ei tarvitse todistaa). Osoita, että edellisessä tehtävässä alueen yhdesti yhtenäisyydestä ei voida luopua. [Vihje: Tarkastele esimerkiksi funktioita u ja v, joille u(x, y) := x/(x + y ) ja v(x, y) := y/(x + y ).] *5. Osoita, että seuraavat funktioparit (u, v), joille f = u + i v, toteuttavat Cauchyn ja Riemannin yhtälöt: a) f(z) := x y + i x y; b) f(z) := e x cos y + i e x sin y; c) f(z) := sin x cosh y + i cos x sinh y d) f(z) := log x + y + i θ(x, y), missä θ on napakoordinaattikulma alueessa R \ {(x, y) R y =, x }. *6. Osoita, että Greenin lauseen tulos kompleksiselle käyräintegraalille voidaan esittää muodossa f(z) dz = i zf d(x, y), missä z f := ( xf + i y f). *7. Oletetaan, että pari (u, v) toteuttaa Cauchyn ja Riemannin yhtälöt alueessa G. Osoita, että jos : [a, b] G on paloittain jatkuvasti derivoituva polku, niin ( v((b)) v((a)) = ) dx + y x dy. Jatkuu 6 Kompleksianalyysin kurssilla määritellään kompleksiarvoisen funktion f = u + iv (kompleksinen) käyräintegraali pitkin polkua summaksi f(z) dz := (u dx v dy)+i (v dx+u dy). Funktioita f, joita vastaava pari (u, v) toteuttaa Cauchyn ja Riemannin yhtälöt, kutsutaan kompleksiana- lyyttisiksi tai yksinkertaisesti analyyttisiksi (tai, kuten paremminkin pitäisi, holomorfisiksi), kun ei ole sekaantumisen vaaraa reaalianalyyttisten funktioiden kanssa. Kompleksianalyyttisille funktioille on siis f(z) dz =, kun on paloittain sileä umpinainen Jordan-polku ja f on analyyttinen polun rajoittamassa alueessa. Luentojen Greenin lause on itse asiassa peräisin Cauchyn kompleksianalyyttisten funktioiden tutkimuksista. Greenin oma tulos on myöhemmin käsiteltävä divergenssilause sekä Greenin I ja II kaava (ks. monisteen tehtäviä 5 7 ja 5 8, kaikki kolmiulotteisessa tapauksessa).
*8. Olkoon G R yhdesti yhtenäinen alue ja u: G R annettu C -funktio. Osoita, että jos u toteuttaa alueessa G Laplacen yhtälön 7 ( ) u := u x + v y =, niin käyräintegaalin ( ) dx + y x dy avulla voidaan määritellä funktio v : G R siten, että pari (u, v) toteuttaa Cauchyn ja Riemannin yhtälöt alueessa G. *9. Olkoon n(p) reunan ulkoinen yksikkönormaali pisteessä p (vrt. H/T7). Olkoon / n := n u = ( u n) funktion u: G R derivaatta ulkonormaalin n suuntaan. Osoita, että C -funktioille u, v : G R on voimassa Greenin I kaava v n ds = ( ) v u + ( u v) + + *. (Jatkoa.)... ja myös Greenin II kaava ( v n u v ) ( ) ds = v u u v. n *. (Harmonisten funktioiden keskiarvo-ominaisuus.) Oletetaan, että C -funktio u toteuttaa Laplacen yhtälön u = alueessa G. Osoita, että u(x, y ) = u ds, kun := B((x, y ), r) ja G. πr + [Vihje: seta U(r) := πr + u ds = π π u(x + r cos θ, y + r sin θ) dθ, kun r >. Osoita, että U (r) = π ( u(x + r cos θ, y + r sin θ) (cos θ, sin θ) ) dθ = π πr + n ds tehtävän *9 merkinnöin. Osoita tehtävän *9 tai * avulla, että U (r) =, joten U(r) = vakio = lim r + U(r) = u(x, y ).] *. Osoita edellisen tehtävän avulla, että alueessa G Laplacen yhtälön ratkaisulla u ei voi olla lokaalia ääriarvoa alueen G sisäpisteessä ellei u ole vakio. 5 7 On helppo nähdä, että jos u, v : G R ovat C -funktioita siten, että pari (u, v) toteuttaa Cauchyn ja Riemannin yhtälöt, niin kumpikin funktioista u ja v toteuttaa myös Laplacen yhtälön.