Hilateriasta Boolen algebroihin ja propositiologiikkaan

Hilateriasta Boolen algebroihin ja propositiologiikkaan Pro Gradu -tutkielma Hanna Kauppinen 260373 Fysiikan ja matematiikan laitos Itä-Suomen yliopisto 15.5.2019

Tiivistelmä Tämä tutkielma käsittelee hilateorian perusteita ja erityisesti erästä tiettyä hilaa, jota kutsutaan Boolen algebraksi, sekä sen yhteyttä propositiologiikkaan. Toisessa luvussa käsitellään lyhyesti hilateorian historiaa. Kolmannessa luvussa tutustutaan osittain järjestettyihin joukkoihin, esitellään duaalisuusperiaate ja esitetään supremumin ja infimumin määritelmä. Nämä kaikki ovat tärkeitä käsitteitä hiloja tarkasteltaessa. Neljännessä luvussa hilat määritellään kahdella tavalla, ensinnäkin osittain järjestettynä joukkona ja toiseksi algebrallisena rakenteena, jossa supremum ja infimum ovat binäärioperaatioita. Luvussa esitetään myös muita hilateorian perusteita ja näytetään, kuinka hiloja voidaan havainnollistaa Hassekaavioiden avulla. Viidennessä luvussa esitellään modulaariset ja distributiiviset hilat, jotka ovat merkittäviä hilojen erityistapauksia. Näitä hilatyyppejä luonnehditaan viisikulmioksi ja timantiksi kutsuttujen alihilojen avulla. Työssä esitetään todistukset lauseille, jotka helpottavat modulaaristen ja distributiivisten hilojen tunnistamista. Kuudennessa luvussa esitellään Boolen algebrat sekä näihin liittyviä tärkeitä ominaisuuksia. Boolen algebralle esitetään vaihtoehtoisia määrittelytapoja. Tarkastelun kohteena on myös Boolen rengas ja luvun lopuksi esitetään kuinka Boolen algebran avulla voidaan konstruoida Boolen rengas ja käänteisesti. Boolen algebralle on olemassa useita sovelluksia, joista tämän tutkielman seitsemännessä luvussa esitetään esimerkkinä propositiologiikka. Luvussa esitellään propositiologiikan perusteet ja todistetaan väittämien joukon varustettuna loogisilla konnektiiveilla ja negaatiolla olevan Boolen algebra.

Abstract This thesis concerns lattice theory. In particular, a lattice called Boolean algebra as well as its connection to propositional logic are considered. Chapter two concerns briefly the history of lattice theory. Chapter three introduces partially ordered sets, the principle of duality as well as supremum and infimum. All of these are important concepts when considering lattices. Chapter four introduces lattices with two definitons. Firstly, as partially ordered set and secondly, as an algebraic structure with two binary operations, supremum and infimum. This chapter also introduces basics of lattice theory and shows how lattices can be described with Hasse-diagrams. Chapter five concerns modular and distributive lattices that are significant lattices. A sublattice called diamond is typical example of nonmodular and non-distributive lattices. Also a sublattice called pentagon is non-modular. With these two sublattices it is easier to identify distributive and modular lattices. Chapter six introduces Boolean algebras and important properties of them. There are at least two to define Boolean algebras and this thesis introduces both of them. Boolean rings are studied at the end of the chapter and it is shown how to construct a Boolean algebra from a Boolean ring and conversely. Chapter seven introduces one of the many applications of Boolen algebra, propositional logic. This chapter shows why the set of propositions with logical connectives and negation is Boolean algebra.

Sisältö 1 Johdanto 1 2 Hilateorian historiasta ja merkityksestä 2 3 Osittain järjestetty joukko 3 3.1 Relaatiot.............................. 3 3.2 Osittain järjestetty joukko.................... 3 3.3 Isomorfismi ja duaalisuus..................... 5 3.4 Supremum ja infimum...................... 6 4 Hilat 9 4.1 Hilat osittain järjestettyinä joukkoina.............. 9 4.2 Hilojen kuvaaminen Hasse-kaaviolla............... 11 4.3 Hilat algebrallisina rakenteina.................. 14 5 Modulaariset ja distributiiviset hilat 18 5.1 Hilojen epäyhtälöitä....................... 18 5.2 Modulaariset hilat........................ 20 5.3 Distributiiviset hilat....................... 20 5.4 Viisikulmiot ja timantit..................... 22 6 Boolen algebrat 28 6.1 Boolen algebrat.......................... 28 6.2 Boolen rengas........................... 31 7 Propositiologiikka 37

1 Johdanto Tämä tutkielma käsittelee hilateorian perusteita, sekä tärkeitä hilojen erikoistapauksia, kuten modulaarisia ja distributiivisia hiloja sekä Boolen algebraa. Lisäksi näytetään Boolen algebran yhteys propositiologiikkaan. Tutkielmassa esitetään aluksi hilateorian historiaa Boolen algebrasta yleisen hilateorian kehitykseen. Tässä työssä lähdetään päinvastoin kehittämään Boolen algebran määritelmää hilateorian perusteista alkaen. Lopulta tarkastellaan kuinka Boolen algebrasta voidaan kontruoida Boolen rengas ja päinvastoin, sekä kuinka propositiologiikka liittyy Boolen algebraan. Hilateoriaan liittyviä tärkeitä käsitteitä ovat osittain järjestetyt joukot, duaalisuusperiaate sekä supremum ja infimum. Hilat voidaan määritellä sekä osittain järjestettyjen joukkojen että binäärioperaatioilla varustetun algebrallisen rakenteen näkökulmasta. Hiloja voidaan havainnollistaa Hassekaavioiden avulla. Modulaariset ja distributiiviset hilat ovat hilojen tärkeitä erikoistapauksia, joista erityisesti distributiivisuutta tarvitaan Boolen algebran määrittämiseksi. Boolen algebra on komplementoitu distributiivinen hila. Tästä näkökulmasta voidaan tarkastella useita Boolen algebralle tärkeitä ominaisuuksia. 1

2 Hilateorian historiasta ja merkityksestä Hilateoria sai alkunsa Boolen algebrasta, joka oli ensimmäinen esitetty hilarakenne. 1800-luvun puolivälissä George Boole loi formaalin propositiologiikan pyrkiessään esittämään logiikkaa algebrallisin merkinnöin ja menetelmin. [1] Boolen työtä jatkoivat muun muassa Charles Peirce ja Ernst Schröder. Peirce teki parannuksia Boolen logiikkaan erityisesti sen aksioomien suhteen. Schröder puolestaan edesauttoi hilojen tutkimiseen johtavaa kehitystä osoittamalla, että osittelulait ovat riippumattomia muista laeista. [1] Myös Richard Dedekind edesauttoi hilateorian syntyä tutkimalla algebrallisten lukujen ideaaleja ja moduleita. Dedekindin lähtökohta oli hyvin erilainen kuin edellä mainituilla matemaatikoilla, mutta hänkin päätyi hilan käsitteeseen ja esitteli myös modulaariset hilat. [1] 1930-luvulle asti hilateoriaa tutkittiin lähinnä Boolen algebrojen näkökulmasta. Garrett Birkhoff julkaisi vuonna 1940 teoksensa Lattice Theory, jossa hän esitteli hilateorian merkinnät, sen yhteneväisyydet muihin matematiikan osa-alueisiin sekä sen sovelluksia. Birkhoffin tutkimuksia pidettiin merkittävinä ja hilateorian tutkimus laajentui valtavasti. Birkhoff julkaisi vielä kaksi laitosta kirjastaan, joista kolmas [2] on tämän tutkielman tärkeä lähde. [1] Toinen merkittävä hilateorin tutkija on George Grätzer. Grätzer pyrki syventämään hilateoriaa ja julkaisi tutkimustensa pohjalta muun muassa teoksen General Lattice Theory [4] vuonna 1978, joka on merkittävä lähde tässä tutkielmassa. [1] Hilateorian merkitys ei ole sen historian aikana ollut aina selvä. Boole ei saanut alkuun paljon kannattajia ja Schröderin ja Dedekindin tutkimukset eivät johtaneet jatkotutkimuksiin, koska abstraktien rakenteiden tutkiminen ei ollut muodissa 1800-luvun puolivälissä. Grätzer toivoi, että hilateoria voisi kiinnostaa lukijoita sen sisäisen kauneuden tähden. [1] On kuitenkin perusteita hilateorian tärkeydestä sekä matematiikan että erilaisten sovellusten kannalta. Matematiikan puolella hilojen merkitys tulee esille muun muassa universaalialgebran puolella. Esimerkiksi alialgebrojen ja algebran kongruenssien struktuurit muodostavat hilan. Hilateorian tuntemuksesta on myös hyötyä, kun tarkastellaan rakenteita, jotka omaavat operaatioiden lisäksi myös jonkinlaisen sisäisen järjestyksen. Tällaisia rakenteita ovat esimerkiksi ryhmät, renkaat ja vektoriavaruudet. [3, s.iii-iv] Käytännön sovelluksia hilateorialle löytyy muun muassa kuvankäsittelyn, teoreettisen tietojenkäsittelyn, virtapiirien ja kvanttimekaniikan alueilta. [1] [3, s.iii-iv] 2

3 Osittain järjestetty joukko Tässä luvussa käsitellään hiloihin liittyviä tärkeitä käsitteitä, joita tarvitaan luvussa 4 hilateorian perusteiden pohjatiedoksi. Ensimmäiseksi esitellään osittain järjestetty joukko relaationa, jolla on tiettyjä ominaisuuksia. Osittain järjestettyjä joukkoja voidaan havainnollistaa Hasse-kaavioiden avulla. Seuraavaksi luvussa esitetään duaalisuusperiaate, joka on hyödyllinen apuväline hiloihin liittyvissä todistuksissa. Lopuksi käydään läpi käsitteet supremum ja infimum, joiden avulla luvussa 4 määritellään hilat vaihtoehtoisena määritelmänä osittain järjestettyihin joukkoihin pohjautuvalle määritelmälle. 3.1 Relaatiot Määritellään aluksi binäärirelaatio, siihen liittyviä tärkeitä ominaisuuksia sekä käänteisrelaatio. Määritelmä 3.1. Olkoot X epätyhjä joukko. Jos R X X, niin R on binäärirelaatio joukon X yli. Jos alkio x X on relaatiossa alkion y X kanssa, merkitään xry tai (x, y) R. [6, s.11] Määritelmä 3.2. [6, s. 12] Olkoon R X X binäärirelaatio. Binäärirelaatio R on 1. refleksiivinen, jos kaikilla x X pätee xrx. 2. symmetrinen, jos kaikilla x, y X pätee xry yrx 3. antisymmetrinen, jos kaikilla x, y X pätee xry yrx x = y 4. transitiivinen, jos kaikilla x, y, z X pätee xry yrz xrz Määritelmä 3.3. Binäärirelaation R käänteisrelaatio on R siten, että x Ry jos ja vain jos yrx. [2, s. 3] 3.2 Osittain järjestetty joukko Osittain järjestetty joukko koostuu joukosta alkioita ja järjestysrelaatiosta, joka määrittelee alkioiden järjestyksen. Merkintä a b tarkoittaa "a on pienempi tai yhtä suuri kuin b"tai toisaalta "b on suurempi tai yhtä suuri kuin a". Voidaan myös sanoa, että "alkio a on alkion b alla"tai "alkio b on alkion a yllä". [6, s. 14] Määritelmä 3.4. [6, s. 13-14] (P, ) on osittain järjestetty joukko, jos P ja on binäärirelaatio, jolle kaikilla a, b, c P 3

1. a a, (refleksiivisyys) 2. jos a b ja b a, niin a = b, (antisymmetrisyys) 3. jos a b ja b c, niin a c. (transitiivisyys) Usein sanotaan, että P on osittain järjestetty joukko, jos voidaan olettaa, että osittainen järjestys on tunnettu. Seuraavaksi esitellään esimerkkejä osittain järjestetyistä joukoista. Esimerkki 3.5. a) Tarkastellaan joukkoa P (X), joka koostuu kaikista joukon P osajoukoista X sisältäen joukon P ja tyhjän joukon. Joukko P (X) ja relaatio muodostavat osittain järjestetyn joukon (P (x), ), missä A B, A, B P (X), tarkoittaa "joukko A on joukon B osajoukko". [2, s. 1] b) Positiivisten kokonaislukujen joukko Z + ja relaatio m n "alkio m jakaa alkion n"muodostavat osittain järjestetyn joukon [2, s. 1]. Osoitetaan tämä käymällä läpi Määritelmän 3.4 ehdot 1-3. Olkoon l, m, n Z +. Jaollisuuden määritelmän mukaan luku n on jaollinen luvulla m, jos on olemassa c Z siten, että n = mc. 1. Koska m = 1m, niin m m. 2. Olkoon m n eli n = mc ja n m eli m = nc. Tämä on totta jos ja vain jos c = 1, joten n = m, eli antisymmetrisyys on voimassa. 3. Olkoon m n eli n = mc ja n l eli l = nc. Siispä l = mcc = mc 2, missä c 2 Z +. Näin ollen m l eli transitiivisuus toteutuu. Toisaalta (Z, ) ei ole osittain järjestetty joukko, sillä esimerkiksi 1 1 ja 1 1 ja 1 1 eli antisymmetrisyys ei ole voimassa kaikilla alkioilla. Määritelmä 3.6. Osittain järjestetty joukko on täysin järjestetty, jos 4. joko x y tai y x. (vertailullisuus) Tällöin osittain järjestettyä joukkoa kutsutaan ketjuksi. [2, s. 2] Ketjussa siis kaikki joukon jäsenet ovat vertailullisia. Tarkasteltaessa kahta täysin järjestetyn joukon eri jäsentä, voidaan sanoa, että toinen on pienempi ja toinen on suurempi. Jos a ja b ovat eivät ole verrattavissa keskenään, ne ovat vertailukelvottomia ja merkitään a b. [4, s.2] Esimerkki 3.7. Luonnollisella järjestyksellään varustettuna lukujoukot N, Z ja Q muodostavat ketjun. [3, s. 1] 4

Seuraavaksi määritellään peittämisrelaatio osittain järjestetyssä joukossa. Määritelmä 3.8. Osittain järjestetyssä joukossa P ilmaisu "alkio a peittää alkion b", jota merkitään b a, tarkoittaa, että a > b, a, b P ja millään x P ei päde a > x > b. [2, s.4] Osittain järjestettyjä joukkoja voidaan havainnollistaa Hasse-kaavioiden avulla. Relaatiosta on hyötyä Hasse-kaaviota piirrettäessä. Jokaista alkiota piirretään edustamaan pieni ympyrä ja jos a > b, alkio a piirretään alkion b yläpuolelle. Silloin kun b a, niin alkioiden a ja b välille piirretään suora viiva. [2, s. 4] Esimerkki 3.9. Esitetään Hasse-kaavion avulla osittain järjestetty joukko, jossa P = {a, b, c, d, e} sekä b a, d b, c b, e c ja e d. Kun kaaviota lähdetään piirtämään, esimerkiksi b a tarkoittaa, että a piirretään alkion b yläpuolelle ja näiden välille piirretään viiva. Vastaavasti kaavioon piirretään muut alkiot ja määrättyjen alkioiden välille piirretään viivat. Näin saadaan kuvassa 1 esitetty Hasse-kaavio. a b c d e Kuva 1: Osittain järjestetyn joukon Hasse-kaavio 3.3 Isomorfismi ja duaalisuus Määritelmä 3.10. [2, s. 2] Olkoot P ja Q osittain järjestettyjä joukkoja a P ja b Q. Funktio F : P Q on järjestyksen säilyttävä eli isotoninen, jos a b F (a) F (b). Määritelmä 3.11. Olkoot P ja Q osittain järjestettyjä joukkoja ja a P ja b Q. Funktio F : P Q on isomorfismi, jos se on bijektio ja sille pätee a b F (a) F (b). 5

Jos joukkojen P ja Q välillä on isomorfismi, sanotaan, että ne ovat isomorfisia ja merkitään P = Q. Isomorfismia joukolta P itselleen sanotaan automorfismiksi. [2, s. 2-3] Kaksi osittain järjestettyä joukkoa ovat isomorfiset jos ja vain jos niille voidaan piirtää identtiset Hasse-kaaviot [3, s.7]. Tarkastellaan seuraavaksi käänteisrelaatioita. Olkoon (P, ) osittain järjestetty joukko. Olkoon relaatio relaation käänteisrelaatio eli Määritelmän 3.3 mukaan b a jos ja vain jos a b, missä a, b P. Helposti nähdään, että (P, ) on myös osittain järjestetty joukko, sillä se on refleksiivinen, antisymmetrinen ja transitiivinen. Paria (P, ) kutsutaan osittaisen järjestyksen (P, ) duaaliksi ja relaatiota relaation duaaliseksi järjestykseksi. Kun tarkastellaan jotakin väitettä Φ osittain järjestetyssä joukossa, sen duaalinen väite saadaan vaihtamalla relaatio relaatioksi. Tästä saadaan duaalisuusperiaate: [3, s. 8] Duaalisuusperiaate: Jos väite Φ on tosi kaikissa osittain järjestetyissä joukoissa, niin sen duaali Φ d on tosi kaikissa osittain järjestetyissä joukoissa. [4, s. 3] Duaalisuusperiaate on hyödyllinen osittain järjestettyjä joukkoja tarkasteltaessa, sillä niitä koskevia väitteitä todistettaessa riittää monesti, että todistetaan toinen puoli väitteestä, jolloin toinen seuraa duaalisuuden perusteella. Määritelmä 3.12. Funktio F : P Q on antitoninen jos 1. a b F (a) F (b), 2. F (a) F (b) a b. Bijektiota F, joka täyttää Määritelmän 3.12 ehdot 1 ja 2, kutsutaan duaaliseksi isomorfismiksi [2, s. 3]. 3.4 Supremum ja infimum Määritelmä 3.13. Olkoon P osittain järjestetty joukko ja X P. Joukon X pienin alkio on a X siten, että a x kaikilla x X. Joukon X suurin alkio vastaavasti on b X siten, että x b kaikilla x X. Joukon X minimaalinen alkio on m X siten, että jos x m, seuraa m = x kaikilla x X. Vastaavasti joukon X maksimaalinen alkio on n X siten, että jos n x, seuraa n = x kaikilla x X. [2, s. 4] 6

Pienintä ja suurinta alkiota ei tule sekoittaa minimaaliseen ja maksimaaliseen alkioon. Määritelmästä nähdään, että pienin alkio on aina minimaalinen alkio ja suurin alkio on aina maksimaalinen alkio, mutta päinvastaiset eivät päde. [2, s. 4] Osittain järjestetyssä joukossa voi olla pienin ja suurin alkio, joita merkitään vastaavasti 0 ja 1. Näiden yksikäsitteisyys on helppo osoittaa, mikäli tällaiset alkiot ovat olemassa. Perustellaan malliksi alkion 0 yksikäsitteisyys. Olkoon 0 P, jolle pätee 0 x kaikilla x P. Jos on olemassa kaksi alkiota a ja b, joille tämä pätee, niin a b ja b a, jolloin antisymmetrisyyden nojalla a = b. [2, s. 1-2] Tarkasteltaessa osittain järjestetyn joukon osajoukkoa tärkeiksi käsitteiksi nousee supremum eli pienin yläraja ja infimum eli suurin alaraja. Määritelmä 3.14. Olkoon X P, missä (P, ) on osittain järjestetty joukko. Alkio i P on joukon X infimum eli suurin alaraja jos seuraavat ehdot ovat totta: 1. Kaikilla x X pätee i x, 2. Jos i 0 P ja i 0 x kaikilla x X, niin i 0 i. Merkitään joukon X infimumia i = inf X. [5, s. 4] Määritelmän ensimmäinen ehto tarkoittaa, että i on joukon X alaraja. Toinen ehto tarkoitttaa, että jos i 0 on myös joukon X alaraja, se on pienempi kuin i, eli i on siis joukon X suurin alaraja. Supremumin määritelmä on samantapainen. Määritelmä 3.15. Olkoon X P, missä (P, ) on osittain järjestetty joukko. Alkio s P on joukon X supremum eli pienin yläraja jos seuraavat ehdot ovat totta: 1. Kaikilla x X pätee x s, 2. Jos s 0 P ja x s 0 kaikilla x X, niin s s 0. Merkitään joukon X supremumia s = sup X. [5, s.4] Osittain järjestetyssä joukossa supremum ja infimum ovat yksikäsitteisiä ja niiden ei tarvitse kuulua osajoukkoon X. Lause 3.16. Olkoon P osittain järjestetty joukko ja Q sen epätyhjä osajoukko. Jos inf Q on olemassa, niin tämä infimum on yksikäsitteinen. Vastaavasti, jos sup Q on olemassa, niin tämä supremum on yksikäsitteinen. 7

Todistus. Oletetaan, että s 1 ja s 2 ovat molemmat joukon Q supremum. Määritelmän 3.15 mukaan jokaiselle joukon Q muulle ylärajalle y pätee s 1 y. Erityisesti, koska s 2 on joukon Q yläraja, niin s 1 s 2. Toisaalta, koska s 2 on joukon Q supremum, jokaiselle joukon Q muulle ylärajalle y pätee s 2 y. Erityisesti s 2 s 1. Näin ollen s 1 = s 2 antisymmetrisyyden nojalla, jolloin joukon Q supremumin täytyy olla yksikäsitteinen. Duaalisuuden perusteella myös joukon Q infimum on yksikäsitteinen. [7, s. 398] ja Käytetään joukon {x, y} infimumista ja supremumista merkitöjä x y = inf{x, y} x y = sup{x, y}. Seuraava lemma liittää binäärioperaatiot ja yhteen relataation kanssa. Lemma 3.17. Olkoon (P, ) osittain järjestetty joukko ja x, y P. Tällöin 1. x y (x y) = y, 2. x y (x y) = x. Todistus. Todistetaan ensimmäinen väite. ( ) Jos x y, niin y on joukon {x, y} yläraja. Koska kaikki joukon {x, y} muut ylärajat ovat välttämättä suurempia kuin y ja x, niin y on pienin yläraja. Näin ollen (x y) = y. ( ) Olkoon (x y) = y, toisin sanoen y on joukon {x, y} pienin yläraja. Tällöin pätee erityisesti x y. Duaalisuuden perusteella myös toinen väite pätee. [5, s.5] 8

4 Hilat Tässä luvussa käydään läpi hilateorian perusteita. Hiloja voidaan kuvata kahdella eri tavalla. Ensinnäkin ne voidaan määritellään osittain järjestettyinä joukkoina, joissa kaikille mielivaltaisille alkiopareille on olemassa infimum ja supremum. Toisaalta hiloja voidaan tarkastella algebrallisina rakenteina, eli joukkoina, joissa on laskutoimituksia. Tässä luvussa hilat määritellään näistä kahdesta näkökulmasta, tarkastellaan hiloja Hasse-kaavioiden avulla sekä esitellään hiloihin liittyviä ominaisuuksia. 4.1 Hilat osittain järjestettyinä joukkoina Määritelmä 4.1. Osittain järjestetty joukko (L, ) on hila jos kaikilla x, y L on olemassa x y ja x y. [2, s. 6] Tarkastellaan esimerkkejä hiloista. Esimerkki 4.2. a) Kaikki ketjut ovat hiloja, missä x y on alkioista x ja y pienempi ja vastaavasti x y on alkioista x ja y suurempi. [2, s. 7] b) Joukon X kaikkien osajoukkojen joukko P (X) on hila, jossa osajoukkojen A ja B yhdiste A B on A B ja leikkaus A B on A B [7, s.398]. Esimerkissä 3.5 a) todettiin, että (P (X), ) on osittain järjestetty joukko. Osoitetaan, että A B = sup{a, B}. Olkoon A, B P. Selvästi A A B ja B A B eli A B on joukon {A, B} yläraja. Lähteessä [7, s.484] todetaan, että joukkojen yhdisteellä ja leikkauksella on seuraavat ominaisuudet: ja Y Z jos ja vain jos Y Z = Z Y Z jos ja vain jos Y Z = Y. Olkoon C P ja A C sekä B C eli A C = C ja B C = C. Osoitetaan, että A B C. Tämä pätee, koska (A B) C = A (B C) = A C = C. Siis A B on sup{a, B}. Vastaavasti näytetään, että A B = inf{a, B}. c) Pari (Z +, ) on hila, missä x y on alkioiden x ja y pienin yhteinen jakaja ja x y on alkioiden x ja y suurin yhteinen tekijä. [3, s. 11] Esimerkissä 3.5 b) on todettu, että (Z +, ) on osittain järjestetty joukko. Osoitetaan, että syt(x, y) = inf{x, y}. Olkoon d = syt(x, y). Tällöin d x ja d y, joten d on joukon {x, y} alaraja. 9

Olkoon c Z + jokin joukon {x, y} alaraja, eli c x ja c y. Koska x = cm, y = cn ja lähteen [7, s. 7] nojalla jollekin m, n, k, l, niin d = xk + yl d = cmk + cnl = c(mk + nl). Siis c d, joten d on suurin joukon {x, y} alaraja. Vastaavasti on selvää, että pyj(x, y) =: e on joukon {x, y} yläraja. Olkoon c Z + joku joukon {x, y} yläraja, toisin sanoen x c ja y c. Nyt e c, sillä jos näin ei ole, niin kokonaislukujen jakoyhtälön (ks. [7, s.2]) nojalla c = ke + r missä 0 < r < e. Tällöin r = c ke on jaollinen sekä luvulla x, että luvulla y, mikä on ristiriita sen kanssa, että e on pienin yhteinen monikerta. d) Hilan (L, ) duaali (L, ) on hila. [4, s. 4] Lause 4.3. Osittain järjestetty joukko (L, ) on hila jos ja vain jos sup H ja inf H ovat olemassa kaikilla joukon L äärellisillä epätyhjillä osajoukoilla H. Todistus. Riittää todistaa väite suuntaan, sillä suunta on triviaalisti totta. Olkoon (L, ) hila ja H L epätyhjä ja äärellinen. Todistetaan väite induktiolla joukon H alkioiden lukumäärän suhteen. Jos H on yhden tai kahden alkion joukko, väite pätee Määritelmän 4.1 nojalla. Oletetaan, että supremum on olemassa n 1 alkion tapauksessa ja nimitetään sitä s = sup H, missä s L, H = {a 0, a 1, a n 1 } ja n 2. Siis Määritelmän 3.15 mukaan a i s kaikilla a i H ja jos s 0 L ja a i s 0 kaikilla a i, niin s s 0. Osoitetaan nyt, että supremum on olemassa n alkion tapauksessa. Olkoon H = {a 0, a 1, a n }, n 2. Osoitetaan, että sup{a 0, a 1,, a n 1, a n } = sup{s, a n } =: s 1. Ensinnäkin a i s kaikilla i = 1,, n 1 induktio-oletuksen nojalla ja s s 1, joten transitiivisuuden nojalla a i s 1 kaikilla i = 1,, n 1. Lisäksi pätee a n s 1, joten s 1 on joukon H yläraja. Toiseksi, jos s 2 on joukon H yläraja, niin s s 2 sillä s = sup{a 1,, a n 1. Myös a n s 2, jolloin sup{s, a n } s 2. Näin ollen s 1 s 2, eli s 1 on joukon H pienin yläraja eli supremum. Duaalisuuden perusteella myös inf H on olemassa. 10

Määritelmä 4.4. Hila L on täydellinen, jos sen jokaisella osajoukolla X on supremum ja infimum joukossa L. Epätyhjä täydellinen hila sisältää aina pienimmän alkion 0 ja suurimman alkion 1. Äärellinen hila on aina täydellinen. Täydellisen hilan duaali on aina täydellinen hila, duaalissa ja vaihtavat paikkoja. Rationaaliluvut ja reaaliluvut luonnollisessa järjestyksessään eivät ole täydellisiä hiloja, ellei joukkoihin lisätä + ja. Esimerkissä 4.2 esitetyistä hiloista a)-c) ainoastaan (P (X), ) on täydellinen hila. Siinä = 0 ja X = 1. [2, s. 6-7] Määritelmä 4.5. Olkoon (L, ) hila. Joukko S L on tämän alihila jos kaikilla x, y S pätee x y S ja x y S. [2, s. 7] Jokaisella hilalla L on triviaalit alihilat hila L itse sekä jokainen hilan L yksialkioinen osajoukko. Hilan kaksialkioinen osajoukko {x, y}, jossa x ja y ovat vertailullisia, on alihila. Alihila on on aina hila, mutta hilan osajoukko, joka on hila, ei ole aina alihila, kuten seuraavassa esimerkissä nähdään. [3, s. 16] Esimerkki 4.6. Olkoon L = (P({1, 2, 3}), ) ja K = (K, ), missä K = {, {1}, {2}, {1, 2, 3}}. Sekä L että K ovat hiloja ja K P({1, 2, 3}). K on hila, sillä operaatio määrittää osittaisen järjestyksen siten, että {1}, {2}, {1, 2, 3}, {1} {1, 2, 3} ja {2} {1, 2, 3}. {1, 2, 3} {1} {2} Kuva 2: Hila K Kuvassa 2 on esitetty osittainen järjestys Hasse-kaaviossa ja siitä nähdään helposti, että jokaisella alkioparilla on olemassa supremum ja infimum. Hila K ei ole hilan L alihila, sillä hilassa L {1} {2} = {1, 2}, kun taas hilassa K {1} {2} = {1, 2, 3}. Hilan K operaatiot ja eivät siis ole hilan L operaatioita. [3, s. 16] 4.2 Hilojen kuvaaminen Hasse-kaaviolla Hiloja voidaan havainnollistaa Hasse-kaavioiden avulla samalla tavoin kuin osittain järjestettyjä joukkoja, kuten jo esimerkissä 4.6 nähtiin. 11

Esimerkki 4.7. Tarkastellaan Kuvissa 3 ja 4 esitettyjä Hasse-kaavioita ja tutkitaan ovatko esitetyt kaaviot hiloja. Kuvassa 3 esitetyt Hasse-kaaviot eivät kuvaa hiloja. Kaaviossa P 1 alkioilla a ja b ei ole suurinta yhteistä alarajaa. Kaaviossa P 2 alkioilla a ja b ei ole alarajaa. [3, s. 10] a b a b P 1 P 2 Kuva 3:. {x, y, z} 1 {x, y} {x, z} {y, z} a b {x} {y} {z} 0 L 1 L 2 L 3 Kuva 4: Kuvassa 4 esitetyt Hasse-kaaviot ovat hiloja. 12

Hila L 1 = (L, ) on osittaisella järjestyksellä varustettu joukko L = {0, a, b, 1}. Osittaista järjestystä voidaan kuvata pareina (x, y), jossa x y. Siis = {(0, 0), (0, a), (0, b), (0, 1), (a, a), (a, 1), (b, b), (b, 1), (1, 1)}. Toisaalta kaikki parit, jotka ovat muotoa (x, x) voidaan jättää pois, sillä x x. Transitiivisuuden nojalla pois voidaan jättää myös 0 1, sillä 0 a ja a 1 kertoo saman asian. Tällöin jäljelle jää vain parit, joista toinen peittää toisen. Ilmaistaan siis hila L 1 relaation avulla: L 1 = (L, ), missä = {(0, a), (0, b), (a, 1), (b, 1)}. [4, s. 9-10] Hila L 2 on ääretön ketju. Äärettömien hilojen Hasse-kaavio voidaan piirtää, mikäli hila on säännöllinen ja kuvan ohessa on selitysteksti. Hila L 3 on esimerkissä 4.6 esitetyn hilan L = (P({1, 2, 3}), ) Hassekaavio. Hilaa kuvaavan Hasse-kaavion sanotaan olevan tasainen, jos sen viivat eivät risteä. Kaavio on optimaalinen, jos mahdollisimman harvat viivat risteävät keskenään. Optimaaliset kaaviot ovat käytännöllisimpiä hilojen havainnollistamisessa. [4, s.10-11] [4, s. 13] Kuva 5: Esimerkki 4.8. Kuvassa 5 on esitetty kahden hilan Hasse-kaaviot, jotka tarkemmin tarkasteltaessa huomataan esittävän samaa hilaa. Näistä oikean puoleinen kaavio on tasainen, koska sen viivat eivät risteä. Tämä kaavio on siis myös optimaalinen. Vasemman puoleinen kaavio ei ole tasainen eikä optimaalinen. Kuvassa 6 esitetty hila ei ole tasainen, sillä siinä viivat risteävät, mutta se kuitenkin on optimaalinen, sillä sitä ei voisi esittää muulla tavoin siten, että kaaviossa olisi vähemmän risteäviä viivoja. 13

Kuva 6: 4.3 Hilat algebrallisina rakenteina Hiloja voidaan kuvata algebrallisina rakenteina, eli laskutoimituksilla varustettuna joukkona. Relaatio on joukon L 2 osajoukko, kun taas ja ovat kuvauksia joukolta L 2 joukkoon L. Käsittelemällä hiloja algebrallisena, saamme käyttöömme yleisiä algebran tuloksia. Seuraavaksi käsitellään operaatioiden ja algebrallisia ominaisuuksia hiloissa. [4, s.4-5] Lemma 4.9. Olkoon L hila siten, että x, y, z L. Joukossa L operaatioilla ja pätevät seuraavat säännöt: (L1) x x = x, x x = x. (idempotenttisuus) (L2) x y = y x, x y = y x. (vaihdannaisuus) (L3) x (y z) = (x y) z, x (y z) = (x y) z. (liitännäisyys) (L4) x (x y) = x, x (x y) = x. (absorptiolait) Todistus. [2, s. 8] Riittää, että jokaisesta kohdasta todistetaan vain ensimmäinen väite, toinen väite on totta duaalisuuden perusteella. (L1) Tiedetään, että x x on joukon {x, x} = {x} supremum. Toisaalta on selvää, että joukon {x} supremum on x. Siispä Lauseen 3.16 perusteella x x = x. [7, s. 400] (L2) Tiedetään, että x y on joukon {x, y} supremum ja y x joukon {y, x} supremum. Koska {x, y} ja {y, x} ovat sama joukko, Lauseen 3.16 perusteella x y = y x. [7, s. 399] (L3) Osoitetaan ensin, että (x y) z on joukon {x, y, z} yläraja. Olkoon d = x y. Ylärajan määritelmän mukaan z d z = (x y) z. Vastaavasti x x y ja x y = d d z = (x y) z. Siispä transitiivisuuden perusteella x (x y) z. Vastaavalla tavalla osoitetaan, että myös y (x y) z. Näin ollen (x y) z on joukon {x, y, z} yläraja. 14

Seuraavaksi osoitetaan. että (x y) z on joukon {x, y, z} pienin yläraja. Jos v on joukon {x, y, z} mikä tahansa muu yläraja, niin x v ja y v. Määritelmästä 3.15 seuraa, että d = x y v. Koska d v ja z v, niin vastaavasti Määritelmän 3.15 perusteella (x y) z = d z v. Näin ollen (x y) z on joukon {x, y, z} pienin yläraja. Vastaavalla argumentoinnilla voidaan osoittaa, että myös x (y z) on joukon {x, y, z} pienin yläraja. Tästä seuraa Lauseen 3.16 perusteella, että (x y) z = x (y z). [7, s. 399-400] (L4) Absorptiolait nähdään helposti toteen Lemman 3.17 avulla. Olkoon x y. Tällöin x (x y) = x y = x ja x (x y) = x x = x. Vastaavasti, jos y x, niin x (x y) = x x = x ja x (x y) = x y = x. [2, s. 8] Määritellään nyt hilat tietynlaisena algebrallisena struktuurina. Määritelmä 4.10. Rakenne (L,, ) on hila, jos L on epätyhjä joukko, molemmat ja ovat binäärioperaatioita joukossa L, sekä molemmat ovat idempotentteja, liitännäisiä ja vaihdannaisia, sekä absorptiolait ovat voimassa kummallakin. [4, s.5] Seuraavaksi esitetään tärkeitä aputuloksia. Lemma 4.11. Jos osittain järjestetyssä joukossa P on pienin alkio 0, niin 0 x = 0 ja 0 x = x kaikilla x P. Vastaavasti, jos joukossa P on suurin alkio 1, niin x 1 = x ja x 1 = 1 kaikilla x P. Todistus. Olkoon 0 osittain järjestetyn joukon (P, ) pienin alkio. Silloin 0 x kaikilla x P. Lemman 3.17 mukaan 0 x = 0 ja 0 x = x kaikilla x P. Suurimman alkion 1 todistus on edellisen duaali. [2, s. 9] Lemma 4.12. Kaikissa hiloissa operaatiot ja ovat isotonisia: Jos y z, niin x y x z ja x y x z. Todistus. Olkoon y z. Tällöin x y = (x x) (y z) (L1), Lemma 3.17 = (x y) (x z) (L2), (L3) eli Lemman 3.17 mukaan x y x z. Duaalisesti voidaan osoittaa, että myös x y x z pätee. [2, s.9] Seuraava lause liittää yhteen Määritelmät 4.1 ja 4.10. 15

Lause 4.13. i) Olkoon (L, ) hila. Asetetaan x y = sup{x, y} ja x y = inf{x, y}. Tällöin (L,, ) on hila. ii) Olkoon (L,, ) hila. Asetetaan x y jos ja vain jos x y = x. Tällöin (L, ) on hila. Todistus. i) Koska (L, ) on hila, joukko L on epätyhjä. Määrittelynsä perusteella ja ovat laskutoimituksia. Todistetaan Lemman 4.9 ehdot L1-L4: (L1) Refleksiivisyyden ja Lemman 3.17 perusteella idempotenttisuus on voimassa. (L2) Vaihdannaisuus seuraa siitä, että sup{x, y} = sup{y, x} ja inf{x, y} = inf{y, x} aina, kun x, y L. (L3) Koska sup{sup{x, y}, z} = sup{x, y, z} = sup{x, sup{y, z}}, niin x (y z) = (x y) z. Sama päättely pätee infimumin tapauksessa eli liitännäisyys on voimassa. (L4) Koska x y x, niin käyttämällä Lemmaa 3.17 ja Määritelmän 4.9 kohtaa (L2) saadaan x (x y) = x. Vastaavasti saadaan toinen puoli ehdosta ja absorptiolait ovat siis voimassa. [3, s. 14] ii) Asetetaan x y tarkoittamaan x y = x. Osoitetaan ensin, että (L, ) on osittain järjestetty joukko. Ensimmäiseksi, koska on idempotentti, niin on refleksiivinen. Toiseksi x y ja y x tarkoittaa vastaavasti, että x y = x ja y x = y. Koska on vaihdannainen voidaan päätellä, että x = x y = y x = y eli on antisymmetrinen. Kolmanneksi on transitiivinen, koska jos x y ja y z, niin x = x y ja y = y z ja siis liitännäisyyden nojalla x = x y = x (y z) = (x y) z = x z eli siis x z. Näistä seuraa, että (L, ) on osittain järjestetty joukko. Seuraavaksi osoitetaan, että (L, ) on hila näyttämällä, että sup{x, y} = x y ja inf{x, y} = x y. Käyttämällä liitännäisyyttä, vaihdannaisuutta ja idempotenttisuutta saadaan (x y) x = x (y x) = x (x y) = (x x) y = x y. Tästä nähdään, että x y x. Vastaavasti nähdään, että x y y. Jos z x ja z y, eli toisin ilmaistuina z x = z ja z y = z, niin z (x y) = (z x) y = z y = z. Täten x y = inf{x, y}. Lopuksi 16

x x y ja y x y, koska absorptiolakien perusteella x = x (x y) ja y = y (x y). Jos x z ja y z, jotka ovat toisin ilmaistuina x = x z ja y = y z, niin absorptiolakien perusteella x z = (x z) z = z ja y z = z. Nyt (x y) z = (x y) (x z) = (x y) (x (y z)) = (x y) ((x y) z) = x y, mikä tarkoittaa, että x y z eli x y = sup{x, y}. [4, s. 5] 17

5 Modulaariset ja distributiiviset hilat Tässä luvussa esitellään kaksi merkittävää hilojen erikoistapausta, modulaariset hilat ja distributiiviset hilat. Ensimmäiseksi esitetään aputuloksia, muun muassa distributiivisia ja modulaarisia epäyhtälöitä, jotka pätevät kaikissa hiloissa. Kun nämä epäyhtälöt tarkennetaan yhtälöiksi, saadaan hilojen erikoistapauksena seuraavaksi esiteltävät modulaariset ja distributiiviset hilat. Lopuksi tarkastellaan kyseisiä hiloja alihilojen avulla ja todistetaan lauseet, joiden avulla on helppo tunnistaa modulaarisia ja distributiivisia hiloja. 5.1 Hilojen epäyhtälöitä Seuraavaksi esitetään joitakin epäyhtälöitä, jotka ovat yleisesti voimassa hiloissa. Lauseen 5.1 kohta ii) on nimeltään minimax-lause ja kohta i) on sen erikoistapaus. Lause 5.1. Jokaisessa hilassa on voimassa epäyhtälöt i) (a b) (c d) (a c) (b d), ii) ( n m ) ( m n ) a ij a ij. j=1 i=1 i=1 j=1 Todistus. [3, s. 23] i) Koska a b a a c ja c d c a c, niin (a b) (c d) a c. Vastaavasti a b b b d ja c d d b d, joten (a b) (c d) b d. Näistä seuraa (a b) (c d) (a c) (b d). ii) Koska m n a ij0 a i0 j 0 i=1 aina, kun 1 i 0 m ja 1 j 0 n, niin n m ( a ij ) j=1 i=1 j=1 n j=1 a i0 j a i0 j aina, kun 1 i 0 m. Tällöin n j=1 ( m i=1 a ij) m i=1 ( n j=1 a ij). Lauseen 5.2 kohtia i)-iii) kutsutaan distributiivisiksi epäyhtälöiksi ja kohtia iv) - v) kutsutaan modulaarisiksi epäyhtälöiksi. Lause 5.2. Jokaisessa hilassa ovat voimassa seuraavat epäyhtälöt 18

i) x (y z) (x y) (x z), ii) (x y) (x z) x (y z), iii) (x y) (y z) (z x) (x y) (y z) (z x), iv) x z x (y z) (x y) z, v) (x y) (x z) x (y (x z)). Todistus. [3, s. 24] i) Sovelletaan Lausetta 5.1 i) alkioihin a = b = x, c = y ja d = z. Tästä saadaan idempotenttisuutta käyttämällä x (y z) = (x x) (y z) (x y) (x z). ii) Sovelletaan Lausetta 5.1 i) alkioihin a = b = x, c = y ja d = z. Tästä saadaan idempotenttisuutta käyttämällä (x y) (x z) (x x) (y z) = x (y z). iii) Sovelletaan Lausetta 5.1 ii) alkioihin Tästä saadaan a 11 = x, a 21 = y, a 31 = x, a 12 = y, a 22 = y, a 32 = z, a 13 = x, a 23 = z, a 33 = z. (x y) (y z) (z x) = (x y x) (y y z) (x z z) (x y x) (y y z) (x z z) = (x y) (y z) (z x) käyttämällä idempotenttisuutta, vaihdannaisuutta ja liitännäisyyttä. iv) Olkoon x z. Kohdan i) ja Lemman 3.17 perusteella saadaan x (y z) (x y) (x z) = (x y) z. v) Kohdan i), vaihdannaisuuden ja absorptiolain perusteella (x y) (x z) = (x z) (x y) ((x z) x) ((x z) y) = x (y (x z)). 19

5.2 Modulaariset hilat Lause 5.3. Seuraavat ehdot ovat ekvivalentteja kaikissa hiloissa: (L5) kaikilla x, y, z pätee (x y) (x z) = x (y (x z)), (L5 ) kaikilla x, y, z pätee x z (x y) z = x (y z). Todistus. [3, s.27] Oletaan, että ehto (L5) on voimassa ja että x z. Siis x = x z, joten ehdon (L5) ja vaihdannaisuuden perusteella x (y z) = (z y) (z x) = z (y (z x)) = (x y) z. Käänteisesti oletetaan, että ehto (L5 ) on voimassa. Koska x z x, niin ehdon (L5 ) ja vaihdannaisuuden perusteella. (x y) (x z) = (x z) (y x) = ((x z) y) x = x (y (x z)). Määritelmä 5.4. Hila L on modulaarinen, jos se toteuttaa ehdot (L5) ja (L5 ). [3, s. 27] Lemma 5.5. Modulaarisen hilan alihila on modulaarinen. Todistus. Olkoon L modulaarinen hila ja s L sen alihila. Mielivaltaiset alkiot x, y, z S toteuttavat ehdot (L5) ja (L5 ) hilassa L, joten ehtojen täytyy olla voimassa myös hilassa S. Näin ollen S on modulaarinen hila. 5.3 Distributiiviset hilat Monissa hiloissa operaatiot ja ovat analogisia aritmeettisiin operaatioihin ja + myös osittelulakien osalta. Aritmetiikassa osittelulaki on muotoa x(y+z) = xy+xz. Osittelulain toteuttavissa hiloissa distributiiviset epäyhtälöt voidaan tarkentaa yhtälöiksi, jotka eivät kuitenkaan päde kaikissa hiloissa. [2, s. 11] Lause 5.6. Seuraavat ehdot ovat ekvivalentteja kaikissa hiloissa: (L6) kaikilla x, y, z pätee x (y z) = (x y) (x z), (L6 ) kaikilla x, y, z pätee x (y z) = (x y) (x z). 20

Todistus. [2, s. 11] Osoitetaan, että implikaatio (L6) (L6 ) on totta. Käänteinen väite (L6 ) (L6) seuraa duaalisuuden nojalla. Kaikilla x, y ja z pätee (x y) (x z) = [(x y) x] [(x y) z] (L6) = x [z (x y)] (L4) ja (L2) = x [(z x) (z y] (L6) = [x (z x)] (z y) (L3) = x (z y) (L4) = x (y z). (L2) Määritelmä 5.7. Hila L on distributiivinen, jos se toteuttaa osittelulait (L6) ja (L6 ). [2, s. 12] Kaikki ketjut ovat distributiivisia. Distributiivisen hilan duaali on distributiivinen hila. [2, s. 12] Luvussa 5.4 esitetään esimerkkejä ei-distributiivisista hiloista. Huomaa, että jokainen distributiivinen hila on modulaarinen, mutta kaikki modulaariset hilat eivät ole distributiivisia. Lemma 5.8. Distributiivisen hilan alihila on distributiivinen hila. [2, s. 12] Todistus. Olkoon L distributiivinen hila ja S L sen alihila. Mielivaltaiset alkiot x, y, z S toteuttavat osittelulait L6 ja L6 hilassa L, joten ne toteutuvat myös sen alihilassa S. Näin ollen S on distributiivinen hila. Lause 5.9. Distributiivisessa hilassa pätee implikaatio: Jos c x = c y ja c x = c y, niin x = y. [2, s. 12] Todistus. Oletetaan, että c x = c y ja c x = c y pätee. Oletusta hyödyntämällä saadaan x = x (c x) = x (c y) (L4) = (x c) (x y) (L6) = (c y) (x y) (L2) = (c x) y (L6) = (c y) y = y. (L2), (L4) 21

5.4 Viisikulmiot ja timantit Tarkastellaan seuraavaksi kahta hilaa, jotka ovat tyypillisiä esimerkkejä eidistributiivisista hiloista. Kuvassa 7 on esitetty hila N 5. Hilan L osajoukkoa A kutsutaan tästä eteenpäin viisikulmioksi, jos ja vain jos se on alihila, joka on isomorfinen hilan N 5 kanssa. [4, s. 59] 1 z x y 0 Kuva 7: Hila N 5 eli "Viisikulmio"@ Kuvassa 8 on puolestaan esitetty hila M 3. Hilan L osajoukkoa B kutsutaan tästä eteenpäin timantiksi, jos ja vain jos se on alihila, joka on isomorfinen hilan M 3 kanssa. [4, s. 59] 1 x y z 0 Kuva 8: Hila M 3 eli "Timantti"@ Näiden hilojen ei-distributiivisuus on helppo todeta, sillä hilassa N 5 y (z x) = y 0 = y ja (y z) (y x) = z 1 = z, eli y (z x) (y z) (y x). 22

ja Vastaavasti hilassa M 3 x (y z) = x 0 = x (x y) (x z) = 1 1 = 1 eli x (y z) (x y) (x z). [3, s. 25] Lisäksi hila N 5 ei ole modulaarinen, sillä y z, mutta y (x z) = y 0 = y z = 1 z = (y x) z [3, s. 27]. Hilat N 5 ja M 3 ovat olennaisia tutkittaessa hilojen modulaarisuutta ja distributiivisuutta, kuten lauseita 5.10 ja 5.11 tarkasteltaessa huomataan. Lause 5.10. Hila L on modulaarinen jos ja vain jos se ei sisällä alihilaa, joka on isomorfisesti viisikulmio. [4, s. 59] Todistus. Jos hila L on modulaarinen, niin lemman 5.5 mukaan sen jokainen alihila on myös modulaarinen. Hila N 5 ei ole modulaarinen, joten se ei voi olla hilan L alihila. Oletetaan, että hila L ei ole modulaarinen, jolloin on olemassa hilan L alkiot x, y ja z siten, että x z ja x (y z) (x y) z. Siispä lauseen 5.2 iv) perusteella x (y z) < (x y) z. Osoitetaan, että alkiot y z, y, x (y z), (x y) z ja x y muodostavat Kuvan 9 mukaisen hilan L alihilan, joka on isomorfisesti viisikulmio. On siis osoitettava, että nämä alkiot ovat erillisiä ja että niiden supremumit ja infimumit ovat Kuvan 9 mukaiset. x y (x y) z y x (y z) y z Kuva 9: 23

ja Todistetaan ensin alkioiden erillisyys. On selvää, että epäyhtälöt y z y x y y z x (y z) < (x y) z x y ovat voimassa. Helpoilla laskutoimituksilla huomataan, että jos edellisissä epäyhtälöissä olisi voimassa yhtäsuuruus jossakin kohtaa, päädytään ristiriitaan x (y z) = (x y) z. Näytetään esimerkiksi yksi tapaus: Olkoon y z = y. Tällöin x (y z) = x y. Toisaalta (x y) z x y = x (y z), joka on ristiriita. Vastaavaan ristiriitaan päädytään, jos oletetaan, että y on vertailullinen (ks. Määritelmä 3.6) joko alkio x (y z) tai alkion (x y) z kanssa. Näytetään esimerkiksi tapaus, jossa oletetaan, että y on vertailullinen alkion x (y z) kanssa, eli y x (y z) tai x (y z) y. Näin ollen näiden viiden alkion on oltava erillisiä ja niiden järjestyssuhteet ovat Kuvan 9 mukaiset. Seuraavaksi osoitetaan, että Kuvan 9 alkioparien supremumit ja infimumit ovat kuvan mukaiset. Keskenään vertailullisten alkioparien supremumit ja infimumit ovat selvästi Kuvan 9 mukaiset. Käydään läpi vertailukelvottomien alkioparien supremumit ja infimumit. Liitännäisyyttä, vaihdannaisuutta ja absorptiolakeja apuna käyttämällä saadaan y (x (y z)) = (y x) (y z) = (x y) (y z) = x (y (y z)) = x y ja y ((x y) z) = (y (x y)) z = y z. Tiedetään, että y z y, y z x (y z) ja x (y z) < (x y) z, josta seuraa y z y (x (y z)) y ((x y) z) = y z. Tämän perusteella y (x (y z)) = y z. Vastaavasti x y = y (x (y z)) y ((x y) z) x y, joten y ((x y) z) = x y. Nyt on siis osoitettu, että kaikkien alkioparien supremumit ja infimumit ovat Kuvan 9 mukaiset. Näin ollen nämä alkiot muodostavat hilan L alihilan, joka on isomorfisesti viisikulmio. [3, s. 28-31] 24

Lause 5.11. Hila L on distributiivinen jos ja vain jos se ei sisällä alihilanaan kumpaakaan hiloista, joka on isomorfisesti timantti tai viisikulmio. [3, s.29] Todistus. Jos hila L on distributiivinen, niin silloin jokainen sen alihila on myös distributiivinen, kuten Lemmassa 5.8 on osoitettu. Hilat N 5 ja M 3 eivät ole distributiivisia, joten ne eivät voi olla hilan L alihiloja. Oletetaan, että hila L ei ole distributiivinen. Jos L ei ole myöskään modulaarinen, niin silloin Lauseen 5.10 perusteella hila N 5 on hilan L alihila. Käydään vielä läpi tapaus, jossa L on modulaarinen, muttei distributiivinen. Tällöin on olemassa sellaiset alkiot x, y, z L, että x (y z) (x y) (x z). Lauseen 5.2 i) perusteella x (y z) < (x y) (x z). Osoitetaan, että on olemassa hilan L alihila, joka on isomorfisesti timantti kuvan 10 b x 1 y 1 z 1 mukaisesti. Tässä a Kuva 10: a = (x y) (y z) (z x), b = (x y) (y z) (z x), x 1 = a (b x), y 1 = a (b y), z 1 = a (b z). On siis osoitettava, että kaikkien alihilan alkioparien supremumit ja infimumit ovat kuvan 10 mukaiset, ja että kaikki alkiot ovat erillisiä. Todistetaan ensin, että supremumit ja infimumit ovat kuvan 10 mukaiset. Helposti nähdään, että a a (b x) = x 1. Lauseen 5.2 iii) perusteella a b. Tästä seuraa Lemmaa 4.12 ja absorptiolakia käyttämällä a x 1 = a (b x) b (b x) = b. Vastaavalla päättelyllä myös a y 1 b ja a z 1 b. Näin ollen supremumit ja infimumit ovat oikein niillä alkiopareilla, joissa ainakin toinen alkio on a 25

tai b. Osoitetaan seuraavaksi, että ja x 1 y 1 = y 1 z 1 = x 1 z 1 = a x 1 y 1 = y 1 z 1 = x 1 z 1 = b. Käydään tapaus x 1 y 1 = a läpi yksityiskohtaisesti, muut osoitetaan vastaavasti. Voidaan päätellä, että x 1 y 1 = (a (b x)) (a (b y)) = a [(b x) (a (b y))] (L5 ), missä a a (b y) = a [(b x) (a (y b))] (L2) = a [(b x) ((a y) b)] (L5 ), missä a b = a [((b x) b) (a y)] (L2), (L3) = a ((b x) (a y)). (L2), (L3), (L1) Tässä alkiolle b x saadaan esitys b x = x b (L2) = x [(x y) (y z) (z x)] = [x (x y)] [x (z x)] [x (y z)] (L2), (L3), (L6) = x x (x (y z)) (L4 = x (y z). (L1) Vastaavasti saadaan, että a y = y (x z). Jatketaan nyt päättelyä a ((b x) (a y)) = a [(x (y z)) (y (x z))] (L2), (L6), (L4) = a [x [(y z) (y (x z))]] (L3) = a [x ((y (x z)) (y z))] (L2) = a [x [y ((x z) (y z))]] (L5 ), missä y y z = a [x (y (x z))] (L3), (L4) = a ((x y) (x z)) (L5) = a. Nyt on todistettu, että kaikkien alkioparien supremumit ja infimumit ovat Kuvan 10 mukaiset. Todistetaan seuraavaksi, että alkiot a, b, x 1, y 1 ja z 1 ovat erillisiä. Ensinnäkin a ja b eivät voi olla samoja, koska tällöin olisi 26

x (y z) = x ((x y) (y z) (z x)) = x a = x b = x ((y z) ((x y) (x z))) (L4) = (x (y z)) ((x y) (x z)) (L5 ), missä x ((x y) (x z)) = (x y) (x z), mikä on vastoin oletusta. Seuraavaksi havaitaan, että x 1 ja y 1 eivät voi olla samoja, sillä tällöin a = x 1 y 1 = x 1 x 1 = x 1 = x 1 x 1 = x 1 y 1 = b, mikä todettiin edellä mahdottomaksi. Vastaavasti on mahdotonta, että olisi y 1 = z 1 tai z 1 = x 1. Edelleen, jos a = x 1, niin aiemmin todettujen ehtojen a y 1, a z 1 ja x 1 y 1 = b seurauksena y 1 = a y 1 = x 1 y 1 = b = x 1 z 1 = a z 1 = z 1, mikä on edellisen perusteella ristiriidassa. Vastaavasti myös a = y 1 ja a = z 1 johtavat ristiriitaan. Lopuksi, jos b = x 1, niin ehdon y 1 b seurauksena y 1 = y 1 b = y 1 x 1 = a, mikä on jälleen ristiriita. Samalla tavoin myös b = y 1 ja b = z 1 ovat mahdottomia. Siispä on todistettu, että alkiot a, b, x 1, y 1 ja z 1 ovat erillisiä. Nämä alkiot siis muodostavat hilan L alihilan, joka on isomorfisesti timantti. [3, s. 29-31] 27

6 Boolen algebrat Tässä luvussa esitellään Boolen algebrat. Lisäksi esitellään Boolen rengas ja konstruoidaan Boolen algebran avulla Boolen rengas ja päin vastoin. 6.1 Boolen algebrat Tässä aliluvussa käsitellään Boolen algebroita ja niiden ominaisuuksia sekä esitetään erilaisia määrittelyjä käsitteelle. Aluksi tarkastellaan mitä komplementti tarkoittaa hilassa. Määritelmä 6.1. Hilassa L, joka sisältää alkiot 0 ja 1, alkion x L komplementti on alkio y L siten, että x y = 0 ja x y = 1. Hilaa L sanotaan komplementoiduksi, jos kaikilla sen alkioilla on komplementti. [2, s. 16] Määritelmä 6.2. Boolen algebra on komplementoitu distributiivinen hila. [7, s. 406] Määritelmästä 6.2 nähdään suoraan, että Boolen algebra sisältää aina suurimman alkion 1 ja pienimmäin alkion 0. Lause 6.3. Kaikissa Boolen algebroissa jokaisella alkiolla x on tasan yksi komplementti x, eli ehdoista x c = 1 ja x c = 0 saadaan c = x. Lisäksi (L8) x x = 0 ja x x = 1, (L9) (x ) = x, (L10) (x y) = x y ja (x y) = x y. Todistus. [2, s. 17] [7, s.408-409] Määritelmien 6.1 ja 6.2 perusteella (L8) on selvästi tosi. Komplementtien yksikäsitteisyys seuraa ehdosta (L8) ja Lauseesta 5.9. Jos x c = 1 ja x c = 0, niin x c = x x ja x c = x x. Näin ollen c = x Lauseen 5.9 perusteella. Käyttämällä ehtoa (L8) ja komplementin yksikäsitteisyyttä saadaan: Jos x x = 1 ja x x = 0, niin x = (x ) eli (L9) pätee. Ehto (L10) voidaan osoittaa soveltamalla komplementin yksikäsitteisyyttä. Riittää osoittaa, että (x y) (x y ) = 1 ja (x y) (x y ) = 0, josta 28

seuraa, että x y = (x y). Oletuksia käyttäen voidaan päätellä (x y) (x y ) = x (y (x y )) (L3) ja toisaalta = x ((y x ) (y y ) (L6 ) = x ((y x ) 1) (L8) = x (x y) Lemma 4.11, (L2) = (x x ) y (L3) = 1 y (L8) = 1 Lemma 4.11 (x y) (x y ) = (x y ) (x y) (L2) = ((x y ) x) ((x y ) y) (L6) = ((x x) y ) (x (y y)) (L2), (L3) = (0 y ) (x 0) (L8) = (0 0) Lemma 4.11 = 0. (L1) Duaalisuuden nojalla toinen osa ehdosta (L10) osoitetaan vastaavasti. Lauseessa 6.3 esitetyt ehdot ovat tärkeitä ominaisuuksia Boolen algebroissa. Lähteessä [2, s. 18] Boolen algebra on määritelty algebraksi, joka sisältää lait (L1)-(L10) toteuttavat operaatiot, ja. Lauseessa 6.4 esitellään lisää ominaisuuksia, joita Boolen algebroilla on. Näitä ominaisuuksia tarvitaan Lauseen 6.5 todistuksessa. Lause 6.4. [7, s. 408] Jos B on Boolen algebra ja x, y, z B, niin (1) x 1 = 1 ja x 0 = 0. (2) 0 = 1 ja 1 = 0. Todistus. (1) Lemmasta 4.11 seuraa, että x 1 = 1 ja x 0 = 0 pätevät Boolen algebrassa, sillä Boolen algebra on hila ja edelleen hila on osittain järjestetty joukko. (2) Komplementin määritelmän mukaan alkion 0 komplementti on alkio y B siten, että 0 y = 0 ja 0 y = 1. Koska 0 1 saadaan 0 y = 0 1 ja 0 y = 0 1. Nyt Lauseen 5.9 mukaan y = 1 eli alkion 0 komplementti on 0 = 1. Vastaavasti osoitetaan, että 1 = 0. 29

Lause 6.5. Epätyhjä joukko B on Boolen algebra jos ja vain jos on olemassa binäärioperaatiot ja siten, että ehdot (1)-(3) ovat voimassa: (1) Operaatiot ja toteuttavat ehdot (L2), (L3), (L6) ja (L6) eli ovat vaihdannaisia, liitännäisiä ja distributiivisia. (2) On olemassa alkiot 1, 0 B siten, että x 0 = x ja x 1 = x kaikilla x B. (3) Kaikille x B on olemassa x B siten, että x x = 1 ja x x = 0. Todistus. [7, s. 407-408] Jos B on Boolen algebra määritelmän mukaan se on komplementoitu distributiivinen hila, joka sisältää pienimmän alkion 0 ja suurimman alkion 1 eli Lemmojen 4.9 ja 4.11 sekä Määritelmien 5.7 ja 6.1 perusteella (1)-(3) ovat voimassa, kun x y = sup{x, y}, x y = inf{x, y} ja x on alkion x komplementti. Käänteisesti, jos B on ehdon (1) täyttävillä binäärioperaatioilla ja varustettu joukko, niin B on distributiivinen hila Määritelmien 4.10 ja 5.7 perusteella, kunhan se on idempotentti (L1) ja toteuttaa absorptiolait (L4). Idempotenttisuus on voimassa, koska x = x 0 (2) = x (x x) (3), (L2) = (x x ) (x x) (L6 ) = 1 (x x) (3) = x x. (2) Vastaavasti näytetään, että x = x x. Ensimmäinen absorptiolaki pätee, sillä x (x y) = (x 0) (x y) (2) = x (0 y) (L6) = x (y (y y )) (L2), (3) = x ((y y) y ) (L3) = x (y y ) (L1) = x 0 (3) = x (2) 30

Vastaavasti osoitetaan toisen absorptiolain voimassaolo. Näin ollen B on distributiivinen hila, jossa x y tarkoittaa x y = x Lauseen 4.13 kohdan ii) perusteella. Vielä on osoitettava, että hila B on komplementoitu. Osoitetaan, että hilassa B on olemassa suurin ja pienin alkio. Jos x B, niin x 1 = x kohdan (2) perusteella. Näin ollen x 1 kaikilla x B. Lemman 3.17 mukaan x y = y ja x y = x ovat ekvivalentteja. Näin ollen vaihdannaisuudesta ja kohdasta (2) eli 0 x = x seuraa, että 0 x kaikilla x B. Siis 1 on suurin alkio ja 0 pienin alkio joukossa B, joten B on komplementoitu hila kohdan (3) perustella ja näin ollen Boolen algebra. Lausetta 6.5 käytetään usein Boolen algebran määritelmänä, ks. [8, s. 130-131]. Määritelmä 6.6. Boolen algebran A (Boolen) alialgebra B on epätyhjä osajoukko, jossa mille tahansa alkiolle x, y B myös (x y), (x y), x B. 6.2 Boolen rengas Tässä aliluvussa määritellään Boolen rengas ja näytetään, kuinka Boolen algebrasta voidaan konstruoida Boolen rengas ja päinvastoin. Käydään ensin läpi renkaan määritelmä ja muita tarvittavia määritelmiä. Määritelmä 6.7. [7, s. 40] Rengas on epätyhjä joukko R, joka on varustettu kahdella joukon R binäärioperaatiolla + ja siten, että ehdot 1-8 toteutuvat. Kaikilla x, y, z R pätee (1) Jos x R ja y R, niin x + y R, (2) x + (y + z) = (x + y) + z, (3) x + y = y + x, (4) On olemassa alkio 0 R siten, että x + 0 = x = 0 + x kaikilla x R, (5) Yhtälölle x + a = 0 on ratkaisu x joukossa R kaikilla a R, (6) Jos x R ja y R, niin x y R, (7) x (y z) = (x y) z, (8) x (y + z) = (x y) + (x z) ja (x + y) z = (x z) + (y z). Määritelmä 6.8. Kommutatiivinen rengas on rengas R, joka toteuttaa ehdon 31

(9) x y = y x. Määritelmä 6.9. [7, s. 40] Ykkösellinen rengas on rengas R, joka sisältää alkion 1, jolle (10) x 1 = x = 1 x kaikilla x R. Määritelmä 6.10. [7, s. 55] Olkoon R rengas ja r R. Määritellään yhteenlaskulle ja kertolaskulle Määritellään nyt Boolen rengas. 2r := r + r r 2 := rr. Määritelmä 6.11. Rengas (R, +,, 0, 1), joka on ykkösellinen rengas ja jossa kaikki alkiot ovat idempotentteja eli r 2 = r kaikilla r R, on Boolen rengas. [8, s. 131] Lause 6.12. Boolen rengas on kommutatiivinen ja 2r = 0 kaikilla r R. Todistus. [8, s. 132] Olkoon R Boolen rengas. Osoitetaan ensin, että 2r = 0. Voidaan päätellä, että 2r = r + r = (r + r) 2 = r 2 + 2rr + r 2 = r + 2r + r = r + r + 2r. Ehdosta 2r = r + r + 2r saadaan lisäämällä 2r puolittain 0 = 2r. Osoitetaan seuraavaksi, että Boolen rengas on kommutatiivinen. Renkaan laskusääntöjen nojalla ja x + y = (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 = x + 2xy + y = x + y + 2xy y + x = (y + x) 2 = y 2 + 2yx + x 2 = y + yx + x = x + y + 2yx. Yhteenlaskun vaihdannaisuuden perusteella x + y = y + x x + y + 2xy = x + y + 2yx 2xy = 2yx xy = yx 32