Insidenssifunktioiden teoriaa

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Rauno Soppi Insidenssifunktioiden teoriaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Marraskuu 2011

2 2

3 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SOPPI, RAUNO: Insidenssifunktioiden teoriaa Pro gradu -tutkielma, 140 s. Matematiikka Marraskuu 2011 Tiivistelmä Insidenssifunktiolla tarkoitetaan sellaista funktiota, jonka määrittelyjoukko on jonkin paikallisesti äärellisen osittain järjestetyn joukon tulojoukko ja jonka arvojoukko täyttää algebralliselta kunnalta vaaditut edellytykset. Tässä tutkielmassa tarkastellaan insidenssifunktioita yleisenä matemaattisena käsitteenä edellä mainittuihin insidenssifunktion määrittelyjoukon ja arvojoukon ominaisuuksiin perustuen. Tutkielma sisältää lyhyen esityksen yleisistä matemaattisista käytännöistä ja periaatteista. Joukko-opin perusteita esitellään siltä osin, kuin aiheen käsittelyn kannalta on oleellista. Insidenssifunktion määrittely- ja arvojoukosta johtuen insidenssifunktioihin liittyvät tulokset perustuvat järjestettyjen joukkojen teoriaan ja abstraktiin algebraan. Tutkielma sisältää esitykset sekä osittain järjestettyyn joukkoon liittyvistä peruskäsitteistä että abstraktin algebran perusteista siltä osin, kuin aiheen käsittelyn kannalta on oleellista. Abstraktin algebran käsitteitä sovelletaan kahdessa eri tarkoituksessa. Ensinnäkin insidenssifunktion arvojoukolta edellytetään, että se on algebrallinen kunta. Toiseksi insidenssifunktioiden muodostamia joukkoja luonnehditaan algebrallisten käsitteiden välityksellä. Tutkielma sisältää aiheen käsittelyn kannalta tarkoituksenmukaisen esityksen hiloista, jotka ovat osittain järjestettyihin joukkoihin liittyviä rakenteita. Insidenssifunktioita tarkasteltaessa hila käsitetään laajemmassa merkityksessä verrattuna varsinaisen hilateorian yleiseen käytäntöön. Insidenssifunktioiden esittelyn keskeisinä aiheina ovat insidenssifunktion yleinen käsite, yksittäiset insidenssifunktiot, insidenssifunktioihin liittyvät binäärioperaatiot, insidenssifunktioiden muodostamien algebrallisten struktuurien tarkastelu ja insidenssifunktion sisäisen rakenteen tarkastelu hiloihin liittyvien ominaisuuksien (modulaarinen hila, distributiivinen hila) välityksellä. Insidenssifunktion sisäiseen rakenteeseen liittyen tarkastellaan käsitteitä distributiivinen funktio, (täydellisesti) faktoraabeli funktio, (täydellisesti) multiplikatiivinen funktio ja translaatioinvariantti funktio. 3

4 4

5 Sisältö Johdanto 7 1 Yleisiä käytäntöjä ja periaatteita Suljettu lause ja lausekonnektiivit Looginen päättely, tautologia ja ristiriita Nimi, määrätty kuvaus ja identiteetti Avoin lause ja kvantifiointi Matemaattinen määritelmä, lause ja todistus Joukko-opin perusteita Joukko ja joukon alkio Osajoukko ja potenssijoukko Joukkojen perusoperaatiot Järjestetty pari ja relaatio Funktio Äärellinen joukko ja ääretön joukko Osittain järjestetty joukko Osittainen järjestys, poset ja vertailullisuus Maksimaalinen alkio ja minimaalinen alkio Suurin alkio ja pienin alkio Yläraja ja alaraja Pienin yläraja ja suurin alaraja Tiukka järjestys Peiterelaatio Väli ja paikallisesti äärellinen poset Ketju Antiketju Pituus ja leveys Abstraktin algebran perusteita Binäärioperaatio Algebrallinen struktuuri, neutraalialkio ja keskus Puoliryhmä Monoidi, kääntyvä alkio, käänteisalkio ja potenssi Yhteenlasku ja kertolasku Monikerta Sigma-merkintä ja pii-merkintä Ryhmä Rengas, karakteristika, nollanjakaja ja yksikkö Kunta

6 5 Hila Posetin hila ja hila Hilaoperaatiot sup ja inf Hilassa yleispäteviä lainalaisuuksia Modulaarinen hila Distributiivinen hila Paikallinen hila Paikallisesti modulaarinen paikallinen hila Paikallisesti distributiivinen paikallinen hila Insidenssifunktiot Insidenssifunktio yleisenä käsitteenä Insidenssifunktioiden yhteenlasku Insidenssifunktioiden kertolasku Insidenssifunktioiden konvoluutio Möbiuksen funktio µ ja kardinaliteettifunktio τ Distributiivinen funktio Täydellisesti faktoraabeli funktio Faktoraabeli funktio Täydellisesti multiplikatiivinen funktio Multiplikatiivinen funktio Translaatioinvariantti funktio Viitteet 140 6

7 Johdanto Insidenssifunktiolla tarkoitetaan sellaista funktiota, jonka määrittelyjoukko on jonkin paikallisesti äärellisen osittain järjestetyn joukon tulojoukko ja jonka arvojoukko täyttää algebralliselta kunnalta vaaditut edellytykset. Tässä esityksessä insidenssifunktioita tarkastellaan yleisenä matemaattisena käsitteenä edellä mainittuihin insidenssifunktion määrittelyjoukon ja arvojoukon ominaisuuksiin perustuen. Edellä oleva insidenssifunktioiden luonnehdinta antaa lukijalle oikeutetun aiheen olettaa, että insidenssifunktioihin liittyvät tulokset perustuvat tavalla tai toisella joukko-oppiin, järjestettyjen joukkojen teoriaan sekä abstraktiin algebraan. Lukijalta ei kuitenkaan edellytetä ennalta näiden edellä mainittujen matematiikan alojen tiettyjen erikoisuuksien tai välttämättä edes niiden perusteiden hallintaa, sillä näiltä osin kaikki tarvittava sisältyy esitykseen. Luku 1 sisältää lyhyen esityksen yleisistä matemaattisista käytännöistä ja periaatteista. Näitä käytäntöjä ja periaatteita sovelletaan toistuvasti varsinaisen aiheen käsittelyssä ilman, että niihin vedotaan eksplisiittisesti. Luku 2 sisältää suppean esityksen joukko-opin perusteista siltä osin, kuin aiheen käsittelyn kannalta on oleellista. Luku 3 sisältää esityksen osittain järjestetystä joukosta ja siihen liittyvistä peruskäsitteistä siltä osin, kuin aiheen käsittelyn kannalta on oleellista. Luku 4 sisältää esityksen abstraktin algebran perusteista siltä osin, kuin aiheen käsittelyn kannalta on oleellista. Abstraktin algebran käsitteitä sovelletaan kahdessa eri tarkoituksessa. Ensinnäkin insidenssifunktion arvojoukolta edellytetään, että se on algebrallinen kunta. Toiseksi insidenssifunktioiden muodostamia joukkoja luonnehditaan algebrallisten käsitteiden välityksellä. Luku 5 sisältää aiheen käsittelyn kannalta tarkoituksenmukaisen esityksen hiloista, jotka ovat osittain järjestettyihin joukkoihin liittyviä rakenteita. Hilojen voidaan katsoa ansaitsevan oman lukunsa, sillä ne ovat keskeisessä asemassa tarkasteltaessa insidenssifunktioiden tiettyjä ominaisuuksia. Huomautettakoon jo esityksen tässä vaiheessa, että insidenssifunktioita tarkasteltaessa hila käsitetään laajemmassa merkityksessä verrattuna varsinaisen hilateorian yleiseen käytäntöön. Luku 6 sisältää varsinaisen aiheen eli insidenssifunktioiden esittelyn, ja se tukeutuu vahvasti sitä edeltävien lukujen sisältöihin. Luvun keskeisinä aiheina ovat insidenssifunktion yleinen käsite, yksittäiset insidenssifunktiot, insidenssifunktioihin liittyvät binäärioperaatiot, insidenssifunktioiden muodostamien algebrallisten struktuurien tarkastelu ja insidenssifunktion sisäisen rakenteen tarkastelu hiloihin liittyvien ominaisuuksien välityksellä. Insidenssifunktioiden osalta esitys perustuu P. J. McCarthyn teoksen Introduction to Arithmetical Functions [8] lukuun 7 ja D. A. Smithin artikkeleihin Incidence Functions as Generalized Arithmetic Functions, I III, [10], [11] ja [12]. Yleisesti todettakoon, että jokaisen yksittäisen luvun alussa esitellään siihen liittyvät lähdeteokset (ks. Viitteet). 7

8 1 Yleisiä käytäntöjä ja periaatteita Tämän luvun sisältö perustuu P. Suppesin teoksen Introduction to Logic [14] lukuihin 1 7. Yksittäisissä kohdissa on tukeuduttu teoksiin J. B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra [4] ja H. B. Enderton, Elements of Set Theory [3]. 1.1 Suljettu lause ja lausekonnektiivit Matemaattista todellisuutta kuvataan luonnollisen kielen ja muodollisen kielen välityksellä. Muodollinen kieli, josta käytetään myös nimitystä formaali esitys, muodostuu formaalin logiikan merkinnöistä ja periaatteista varustettuna muilla matemaattisilla merkinnöillä. Kielen ja sen välityksellä kuvatun matemaattisen todellisuuden välistä yhteyttä ilmentää kielellisen ilmaisun ominaisuus, josta käytetään nimitystä totuusarvo. Kielellisen ilmaisun totuusarvo on tosi, jos se ja sen kuvaama todellisuus vastaavat toisiaan; muuten kielellisen ilmaisun totuusarvo on epätosi. Totuusarvon tosi lyhennysmerkintänä käytetään symbolia t, ja totuusarvon epätosi lyhennysmerkintänä käytetään symbolia e. Määritelmä 1.1. Kielellinen ilmaisu on suljettu lause eli propositio, jos sillä on yksikäsitteinen totuusarvo. Jos kielellisellä ilmaisulla ei ole yksikäsitteistä totuusarvoa, niin se ei ole suljettu lause. Suljettuja lauseita merkitään pääsääntöisesti pienillä kirjaimilla p, q, r ja niin edelleen. Huomautus. Suljetusta lauseesta käytetään myös lyhyempää nimitystä lause. Lauseiden muodostuksessa käytetään lausekonnektiiveja eli loogisia konnektiiveja, joita ovat negaatio, konjunktio, disjunktio, implikaatio ja ekvivalenssi, ja niistä käytetään seuraavia symboleja ja luonnollisen kielen vastineita (ks. [14, s. 3 10]): Negaatio: ei. Konjunktio: ja. Disjunktio: tai. Implikaatio: jos..., niin.... Ekvivalenssi: jos ja vain jos. Merkintä p tarkoittaa lauseen p negaatiota, ja sen vastineita luonnollisessa kielessä ovat ei p, ei ole niin, että p ja ei pidä paikkaansa, että p. Määritelmä 1.2. ([14, s. 3 4].) Toden lauseen negaatio on epätosi, ja epätoden lauseen negaatio on tosi. Merkintä (p q) tarkoittaa lauseiden p ja q konjunktiota, ja sen vastineita luonnollisessa kielessä ovat p ja q ja sekä p että q. Lauseet p ja q ovat konjunktion (p q) konjunkteja. 8

9 Määritelmä 1.3. ([14, s. 4 5].) Konjunktio on tosi, jos sen molemmat konjunktit ovat tosia; muuten se on epätosi. Merkintä (p q) tarkoittaa lauseiden p ja q disjunktiota, ja sen vastineita luonnollisessa kielessä ovat p tai q ja joko p tai q. Lauseet p ja q ovat disjunktion (p q) disjunkteja. Määritelmä 1.4. ([14, s. 6].) Disjunktio on tosi, jos vähintään toinen disjunkteista on tosi; muuten se on epätosi. Huomautus. Luonnollisessa kielessä sanaa tai käytetään kahdessa eri merkityksessä. Sanaa tai käytetään inklusiivisessa eli sisältävässä merkityksessä, jos p tai q tarkoittaa sitä, että p tai q tai sekä p että q. Sanaa tai käytetään eksklusiivisessa eli poissulkevassa merkityksessä, jos p tai q tarkoittaa sitä, että joko p tai q, mutta ei sekä p että q. Disjunktion merkitys on inklusiivinen, mikä ilmenee myös määritelmästä 1.4. Luonnollisessa kielessä sanan tai merkitys ilmenee yleensä asiayhteydestä, mutta tarvittaessa se ilmaistaan myös eksplisiittisesti. (Ks. [14, s. 5 6].) Merkintä (p q) tarkoittaa lauseista p ja q muodostettua implikaatiota, ja sen vastineita luonnollisessa kielessä ovat jos p, niin q, p vain jos q, q, jos p, q sillä edellytyksellä, että p, p on riittävä ehto sille, että q ja q on välttämätön ehto sille, että p. Lause p on implikaation eli ehtolauseen (p q) etujäsen (tai oletus), ja lause q sen takajäsen (eli johtopäätös). (Ks. [14, s. 6 9].) Määritelmä 1.5. ([14, s. 6].) Implikaatio on epätosi, jos sen etujäsen on tosi ja takajäsen epätosi; muuten se on tosi. Merkintä (p q) tarkoittaa lauseista p ja q muodostettua ekvivalenssia, ja sen vastineita luonnollisessa kielessä ovat p, jos ja vain jos q, p, jos q, ja p vain jos q, jos ja vain jos q, niin p, q on riittävä ja välttämätön ehto sille, että p, jos p, niin q, ja jos q, niin p, ja p ja q ovat yhtäpitävät. Lause p on ekvivalenssin eli kaksisuuntaisen ehtolauseen (p q) vasemmanpuoleinen jäsen, ja lause q sen oikeanpuoleinen jäsen. (Ks. [14, s. 9 10].) Määritelmä 1.6. ([14, s. 9 10].) Ekvivalenssi on tosi, jos sen vasemmanpuoleisella ja oikeanpuoleisella jäsenellä on sama totuusarvo; muuten se on epätosi. Lausekonnektiivien totuusehdot (määritelmät 1.2, 1.3, 1.4, 1.5 ja 1.6) esitetään totuustaulujen muodossa seuraavasti: p p t e e t p q (p q) (p q) (p q) (p q) t t t t t t t e e t e e e t e t t e e e e e t t 9

10 Määritelmä 1.7. ([14, s. 12].) Suljettu lause on yksinkertainen lause eli atomilause, jos ja vain jos se ei sisällä lausekonnektiiveja. Määritelmä 1.8. ([14, s. 4].) Suljettu lause on yhdistetty lause, jos ja vain jos se sisältää sekä yksinkertaisia lauseita että lausekonnektiiveja. Yhdistetty lause voi sisältää useita lausekonnektiiveja, joten lauseiden yksikäsitteisyys edellyttää sitä, että lausekonnektiivien ja atomilauseiden yhdistelmät tulkitaan yksikäsitteisellä tavalla. Luonnollisessa kielessä lauseiden yksikäsitteinen merkitys eli lausekonnektiivien vaikutusala ja tulkintajärjestys välittyy erilaisten kielellisten keinojen välityksellä. Formaalissa esityksessä lausekonnektiivien vaikutusalat ja tulkintajärjestys puolestaan määrittyvät jäännöksettä sulkumerkkien välityksellä. Lauseen formaalia esitysmuotoa voidaan tietyissä tapauksissa tiivistää vähentämällä siinä olevien sulkumerkkien lukumäärää. Yleinen käytäntö on, että implikaation etu- tai takajäsenenä olevan konjunktion sulkumerkit, implikaation etu- tai takajäsenenä olevan disjunktion sulkumerkit, ekvivalenssin vasemman- tai oikeanpuoleisena jäsenenä olevan konjunktion sulkumerkit, ekvivalenssin vasemman- tai oikeanpuoleisena jäsenenä olevan disjunktion sulkumerkit, lauseen uloimmat sulkumerkit voidaan jättää merkitsemättä elleivät esitykseen liittyvät asiat toisin vaadi. 1.2 Looginen päättely, tautologia ja ristiriita Oletus, päättelysääntö ja johtopäätös ovat loogiseen päättelyyn liittyviä peruskäsitteitä. Oletus on lähtökohtaisesti tosi eli paikkansapitävä lause. Tosista lauseista johdetaan eli päätellään päättelysääntöä soveltamalla uusi lause eli johtopäätös. Pätevä päättely säilyttää totuuden, mikä tarkoittaa sitä, että tosista lauseista johdettu johtopäätös on myös tosi. Päättelyn pätevyys varmistetaan asettamalla päättelyssä käytettäville päättelysäännöille tiettyjä vaatimuksia. (Ks. [14, s ].) Määritelmä 1.9. ([14, s. 14].) Yhdistetty lause on tautologia, jos ja vain jos sen sisältämän minkä tahansa atomilauseen (kaikkien esiintymien) korvaaminen millä tahansa toisella atomilauseella tuottaa toden lauseen. 10

11 Määritelmän 1.9 perusteella yhdistetty lause on tautologia, jos se on sisältämiensä atomilauseiden totuusarvoista riippumatta tosi lause. Tautologia on näin ollen sisäisestä rakenteestaan johtuen tosi eli identtisesti tosi lause. Vastaavasti tautologian negaatio on sisäisestä rakenteestaan johtuen epätosi eli identtisesti epätosi lause. Lause p p on tautologia eli identtisesti tosi. Lause p p on puolestaan identtisesti epätosi, ja näin ollen sen negaatio on identtisesti tosi eli tautologia: p p p p p p (p p) t e e t t e t e t t Määritelmä ([14, s. 37].) Kaksi lausetta ovat ristiriitaisia, jos ja vain jos ne ovat toistensa negaatioita. Määritelmä ([14, s. 37].) Kahden lauseen konjunktio on ristiriita, jos ja vain jos lauseet ovat ristiriitaisia. Loogisen päättelyn lähtökohtana olevilta oletuksilta edellytetään, että ne ovat yhteensopivia. Jos oletukset eivät voi olla samanaikaisesti paikkansapitäviä, niin ne eivät ole yhteensopivia vaan yhteensopimattomia. Toisin ilmaistuna oletukset ovat yhteensopimattomia, jos ja vain jos niiden konjunktio on identtisesti epätosi. Näin ollen yksinkertaisissa tapauksissa oletusten yhteensopivuus tai yhteensopimattomuus voidaan todeta oletusten konjuntiota tarkastelemalla. Oletusten yhteensopivuuden tarkastelussa voidaan soveltaa myös loogisen päättelyn periaatteita ja menetelmiä. Jos tarkastelun kohteena olevista oletuksista voidaan johtaa jokin ristiriita, joka on identtisesti epätosi lause, niin pätevän päättelyn periaatteiden perusteella kyseiset oletukset ovat yhteensopimattomia. (Ks. [14, s ].) Looginen seuraus on edellä esiteltyjen käsitteiden ohella yksi loogiseen päättelyyn liittyvistä peruskäsitteistä. Määritelmä ([14, s. 15].) Lause q on lauseen p looginen seuraus, jos ja vain jos ehtolause p q on tautologia. Jos lause p q on tautologia, niin se on identtisesti tosi, joten ei voi olla niin, että oletus p on tosi ja johtopäätös q on epätosi. Näin ollen johtopäätös q seuraa loogisesti oletuksesta p, eli oletuksen p paikkansapitävyydestä voidaan päätellä, että johtopäätös q on paikkansapitävä. (Ks. [14, s. 16].) Lause p (p q) q on tautologia (ks. [14, s. 32]): p q p q p (p q) p (p q) q t t t t t t e e e t e t t e t e e t e t 11

12 Näin ollen määritelmän 1.12 perusteella lause q on lauseiden p ja p q looginen seuraus, joten lauseiden p ja p q paikkansapitävyydestä voidaan päätellä lauseen q paikkansapitävyys. Loogisessa päättelyssä sovelletaan usein mm. seuraavia loogisia seurauksia (ks. [14, s. 34]): p q p p p q p (p q) q p (p q) q q (p q) p (p q q) p (p q) (q r) (p r) Looginen yhtäpitävyys on loogista seurausta vahvempi loogiseen päättelyyn liittyvä käsite. Määritelmä ([14, s. 16].) Kaksi lausetta ovat loogisesti yhtäpitävät eli loogisesti ekvivalentit, jos ja vain jos ne ovat toistensa loogisia seurauksia. Määritelmän 1.13 perusteella lauseet p ja q ovat loogisesti yhtäpitävät, jos ja vain jos kaksisuuntainen ehtolause p q on tautologia. Loogisella yhtäpitävyydellä on tärkeä rooli päättelyssä, sillä loogisesti yhtäpitävät lauseet ilmaisevat olennaisesti samat tosiasiat. Jos yhdistetyn lauseen jokin lausekokonaisuus korvataan jollakin sen kanssa loogisesti yhtäpitävällä lauseella, niin tuloksena on lause, joka on loogisesti yhtäpitävä alkuperäisen lauseen kanssa. (Ks. [14, s ].) Lause (p q) ( q p) on tautologia (ks. [14, s. 34]): p q p q p q q p (p q) ( q p) t t e e t t t t e e t e e t e t t e t t t e e t t t t t Näin ollen määritelmän 1.13 perusteella lauseet p q ja q p ovat loogisesti yhtäpitävät. Lause (p q) p q on tautologia (ks. [14, s. 34]): p q q p q (p q) p q (p q) p q t t e t e e t t e t e t t t e t e t e e t e e t t e e t Näin ollen määritelmän 1.13 perusteella lauseet (p q) ja p q ovat loogisesti yhtäpitävät. 12

13 Loogisessa päättelyssä sovelletaan usein mm. seuraavia loogisia ekvivalensseja (ks. [14, s. 34]): p p (p q) ( q p) (p q) p q (p q) p q p q q p p q q p p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) (p q) p q (p q) p q (p q) (p q) (q p) (p q) (p q) ( p q) Lause p (q r) (p q) r on tautologia, ja täten määritelmän 1.13 perusteella lauseet p (q r) ja (p q) r ovat loogisesti yhtäpitävät. Vastaavalla perusteella lauseet p (q r) ja (p q) r ovat loogisesti yhtäpitävät. Näin ollen konjunktion konjunktina olevan konjunktion sulkumerkit ja disjunktion disjunktina olevan disjunktion sulkumerkit voidaan jättää merkitsemättä, sillä niillä ei ole merkitystä yhdistetyn lauseen tulkinnassa. Tämä merkitsemiskäytäntö voidaan yleistää koskemaan myös useamman kuin kolmen konjunktin tai disjunktin sisältäviä merkintöjä. Tämän käytännön täsmällinen perustelu edellyttää matemaattiseen induktioon perustuvaa todistusta, joka tässä yhteydessä ohitetaan. Luonnollisessa kielessä lauseiden p 1, p 2,..., p n ja p n+1 konjunktiota p 1 p 2 p n p n+1 vastaa lauseyhdistelmä p 1, p 2,..., p n ja p n+1 (tai p 1, p 2,..., p n, p n+1 ) ja disjunktiota p 1 p 2 p n p n+1 lauseyhdistelmä p 1, p 2,..., p n tai p n Nimi, määrätty kuvaus ja identiteetti Matemaattisten käsitteiden ilmentymät ovat matemaattisia olioita tai lyhyemmin ilmaistuna olioita. Määrättyyn eli tiettyyn olioon viitataan yleensä käyttämällä olion nimeä tai vaihtoehtoisesti olion yksikäsitteisesti yksilöivää määrättyä kuvausta. (Ks. [14, s ].) Tekstissä olion nimi ja olio erotetaan toisistaan seuraavasti: Olion nimeen viitataan käyttämällä merkintää, jossa olion nimi on yksinkertaisissa lainausmerkeissä. Olioon viitataan käyttämällä olion nimeä ilman lainausmerkkejä. (Ks. [14, s ]). Matemaattisia olioita sekä niihin viittaavia nimiä ja määrättyjä kuvauksia koskevat tietyt periaatteet, jotka perustuvat olioiden identtisyyteen. Määritelmä ([14, s ].) Olkoon a tiettyyn olioon viittaava nimi tai määrätty kuvaus. Olio a on identtinen olion b kanssa eli oliot a ja b ovat identtiset, jos ja vain jos b on nimi tai määrätty kuvaus, joka viittaa samaan olioon kuin a. Merkintä a = b tarkoittaa sitä, että oliot a ja b ovat identtiset, ja sen vastineita luonnollisessa kielessä ovat a ja b ovat samat ja a on b. Merkintä a b tarkoittaa sitä, että oliot a ja b eivät ole identtiset, ja sen vastineita luonnollisessa kielessä ovat a ja b eivät ole samat, a ei ole b ja a on eri kuin b. 13

14 Lause 1.1. Jos a on olio, niin a = a. Todistus (vrt. [14, s. 102]). Olkoon a olio. Tällöin a on tiettyyn olioon viittaava nimi. Näin ollen a viittaa samaan olioon kuin a, ja täten määritelmän 1.14 perusteella a = a. Lause 1.2. Jos oliot a ja b ovat sellaiset, että a = b, niin b = a. Todistus (vrt. [14, s. 102]). Olkoot oliot a ja b sellaiset, että a = b. Tällöin määritelmän 1.14 perusteella a viittaa samaan olioon kuin b. Näin ollen b viittaa samaan olioon kuin a, ja täten määritelmän 1.14 perusteella b = a. Lause 1.3. Jos oliot a, b ja c ovat sellaiset, että a = b ja b = c, niin a = c. Todistus (vrt. [14, s. 102]). Olkoot oliot a, b ja c sellaiset, että a = b ja b = c. Tällöin määritelmän 1.14 perusteella a viittaa samaan olioon kuin b ja b viittaa samaan olioon kuin c. Näin ollen a viittaa samaan olioon kuin c, ja täten määritelmän 1.14 perusteella a = c. Jos oliot a, b ja c ovat sellaiset, että a = b ja b = c, niin lauseen 1.3 perusteella a = c. Merkinnät a = b ja b = c voidaan yhdistää käyttämällä merkintää a = b = c, mikä siis pitää sisällään myös sen, että a = c. Intuition perusteella tämä merkitsemiskäytäntö voidaan yleistää koskemaan myös useamman kuin kolmen alkion sisältäviä merkintöjä. Tämän käytännön täsmällinen perustelu edellyttää matemaattiseen induktioon perustuvaa todistusta (kaavan pituuden suhteen), joka tässä yhteydessä ohitetaan. 1.4 Avoin lause ja kvantifiointi Määräämättömään olioon eli olioon, joka ei ole määrätty, viitataan käyttämällä muuttujaa. Muuttujia merkitään yleensä pienillä kirjaimilla x, y, z ja niin edelleen. (Ks. [14, s ].) Määritelmä ([14, s ].) Kielellinen ilmaisu on avoin lause eli predikaatti, jos ja vain jos sen totuusarvo riippuu yhdestä tai useammasta muuttujasta. Määritelmä ([14, s. 46].) Avoin lause on yksinkertainen avoin lause eli yksinkertainen predikaatti, jos ja vain jos se ei sisällä lausekonnektiiveja. Yksinkertaisia avoimia lauseita merkitään pienillä kirjaimilla p, q ja r varustettuna sulkumerkkien väliin merkityillä muuttujalistoilla. Yhden muuttujan yksinkertainen avoin lause ilmaisee olion ominaisuutta, ja kahden tai useamman muuttujan avoin lause ilmaisee olioiden välistä suhdetta: p (x) = Oliolla x on ominaisuus p, r(x, y) = Olio x on suhteessa r olion y kanssa, missä x ja y ovat muuttujia. 14

15 Määritelmä ([14, s. 47].) Avoin lause on yhdistetty avoin lause eli yhdistetty predikaatti, jos ja vain jos se sisältää sekä yksinkertaisia avoimia lauseita että lausekonnektiiveja. Avoimesta lauseesta saadaan suljettu lause, eli lause saa totuusarvon, kun lauseeseen sijoitetaan muuttujakohtaisesti muuttujan kaikkien esiintymien paikalle jokin määrätty olio (ks. [14, s ]). Avoimen lauseen muuttujat kvantifioidaan käyttämällä kvanttoreita, joita ovat universaalikvanttori ja eksistenssikvanttori (ks. [14, s ]). Seuraavat merkinnät ja niiden luonnollisen kielen vastineet ilmaisevat yhden ja kahden muuttujan kvantifioituja avoimia lauseita: x : p (x) x, y : r(x, y) x : y : r(x, y) x : p (x) x, y : r(x, y) x : y : r(x, y) jokaisella x on ominaisuus p, jokaisen x ja y välillä on suhde r, jokainen x on suhteessa r jonkin y kanssa, on olemassa x, jolla on ominaisuus p, on olemassa x ja y, joiden välillä on suhde r, jokin x on suhteessa r jokaisen y kanssa. Avoimen lauseen kaikkien muuttujien kvantifiointi tuottaa suljetun lauseen eli lauseen, jolla on totuusarvo. Määritelmä ([14, s. 48].) Lause x : p (x) on tosi, jos ja vain jos kaikilla x lause p (x) on tosi. Määritelmä ([14, s. 48].) Lause x : p (x) on tosi, jos ja vain jos on olemassa vähintään yksi sellainen x, että lause p (x) on tosi. Universaalikvanttorin ja eksistenssikvanttorin välillä vallitsee määritelmiin 1.18 ja 1.19 perustuva looginen riippuvuussuhde (ks. ([14, s ])). Lause 1.4. Olkoon p (x) avoin lause, jonka totuusarvo riippuu muuttujasta x. Tällöin x : p (x) x : p (x). Todistus. Lause x : p (x) on tosi, jos ja vain jos lause x : p (x) on epätosi. Lause x : p (x) on epätosi, jos ja vain jos kaikilla x lause p (x) on epätosi. Lause p (x) on epätosi, jos ja vain jos lause p (x) on tosi. Näin ollen lause x : p (x) on tosi, jos ja vain jos lause x : p (x) on tosi. Lause 1.5. Olkoon p (x) avoin lause, jonka totuusarvo riippuu muuttujasta x. Tällöin x : p (x) x : p (x). Todistus. Lause x : p (x) on tosi, jos ja vain jos lause x : p (x) on epätosi. Lause x : p (x) on epätosi, jos ja vain jos on olemassa sellainen x, että lause p (x) on epätosi. Lause p (x) on epätosi, jos ja vain jos lause p (x) on tosi. Näin ollen lause x : p (x) on tosi, jos ja vain jos lause x : p (x) on tosi. 15

16 Lause 1.6. Olkoon p (x) avoin lause, jonka totuusarvo riippuu muuttujasta x. Tällöin x : p (x) x : p (x). Todistus. Lause x : p (x) on tosi, jos ja vain jos lause x : p (x) on epätosi. Lause x : p (x) on epätosi, jos ja vain jos on olemassa sellainen x, että lause p (x) on epätosi. Lause p (x) on epätosi, jos ja vain jos lause p (x) on tosi. Näin ollen lause x : p (x) on tosi, jos ja vain jos lause x : p (x) on tosi. Lause 1.7. Olkoon p (x) avoin lause, jonka totuusarvo riippuu muuttujasta x. Tällöin x : p (x) x : p (x). Todistus. Lause x : p (x) on tosi, jos ja vain jos lause x : p (x) on epätosi. Lause x : p (x) on epätosi, jos ja vain jos kaikilla x lause p (x) on epätosi. Lause p (x) on epätosi, jos ja vain jos lause p (x) on tosi. Näin ollen lause x : p (x) on tosi, jos ja vain jos lause x : p (x) on tosi. Luonnollisessa kielessä kvantifioinnin yksikäsitteinen merkitys eli kvantifioitu lausekokonaisuus ilmaistaan erilaisten kielellisten keinojen välityksellä. Formaalissa esityksessä kvanttoreiden vaikutusala eli kvanttorin kvantifioima lausekokonaisuus ilmenee joko asiayhteydestä tai sulkumerkkien välityksellä. Yleinen periaate on, että elleivät sulkumerkit toisin määrää, niin lausekonnektiivi, jota seuraa suljettu lause, on kvanttorin vaikutusalan takaraja. Yleensä kvantifiointi rajoitetaan koskemaan johonkin tiettyyn oliokategoriaan kuuluvia olioita. Kvantifioinnin rajoittaminen ilmaistaan korvaamalla kvanttoria seuraava muuttuja oliokategorian määrittävällä yhden muuttujan avoimella lauseella. Tätä merkintätapaa noudattaen toisiaan vastaavia merkintöjä ovat sekä p (x) : q (x) ja x : p (x) q (x) p (x) : q (x) ja x : p (x) q (x). Huomautus. Avoimen lauseen kvantifioinnissa voidaan käyttää erilaisia eksistenssikvanttorin ja universaalikvanttorin yhdistelmiä. Tällaisissa tapauksissa on huomioitava se, että kvanttoreiden ja niillä kvantifioitujen muuttujien esiintymisjärjestys vaikuttaa lauseen merkitykseen. Esimerkiksi merkintä x : y : r(x, y) tarkoittaa sitä, että olio x on suhteessa r kaikkiin olioihin y. Tässä merkityksessä olio x on siis yksi ja sama olio. Vastaavasti merkintä y : x : r(x, y) puolestaan tarkoittaa sitä, että jokaista oliota y kohti on olemassa sellainen olio x, joka on suhteessa r olioon y. Tässä merkityksessä olio x ei siis välttämättä ole yksi ja sama olio. 16

17 1.5 Matemaattinen määritelmä, lause ja todistus Matemaattiset käsitteet esitellään täsmällisesti matemaattisten määritelmien välityksellä. Matemaattisen määritelmän täsmällisyyteen kuuluu, että se esittää määrittelemänsä käsitteen alan jäännöksettä. Tämä tarkoittaa sitä, että käsitteen määritelmän perusteella on oltava mahdollista päätellä minkä tahansa olion kohdalla, kuuluuko kyseinen olio käsitteen alaan vai ei. Näin ollen matemaattisen käsitteen määritelmä on ulkoisesta esitysmuodostaan riippumatta sisäiseltä muodoltaan universaalikvanttorilla kvantifioitu avoin lause, joka sisältää jos ja vain jos -väitteen. Yleinen käytäntö on, että matemaattisissa määritelmissä luonnollisen kielen ilmaisun jos ja vain jos sijasta käytetään ilmaisua jos tai jos..., niin. (Ks. [4, s. 3].) Matemaattisia väitteitä esitetään matemaattisten määritelmien lisäksi myös matemaattisten lauseiden muodossa. Matemaattisten lauseiden paikkansapitävyys perustuu määritelmien paikkansapitävyyteen, joten ne eivät ole lähtökohtaisesti tosia eli paikkansapitäviä väitteitä. Näin ollen matemaattiselle lauseelle on esitettävä todistus, joka takaa lauseen esittämän väitteen paikkansapitävyyden. Matemaattisen lauseen sisältämä väite on ulkoisesta esitysmuodostaan riippumatta sisäiseltä muodoltaan joko jos..., niin -väite tai jos ja vain jos -väite. Ehtolause jos p, niin q eli implikaatio p q sisältää kaksi komponenttia, jotka ovat oletus p ja väitös q. Tällainen väite osoitetaan paikkansapitäväksi osoittamalla, että jos oletus p pitää paikkansa, niin myös väitös q pitää paikkansa. Kaksisuuntainen ehtolause p, jos ja vain jos q palautuu kahdeksi ehtolauseeksi jos p, niin q ja jos q, niin p, joten kaksisuuntaisen ehtolauseen todistaminen palautuu kahden ehtolauseen todistamiseen. Matemaattiseen väitteeseen sisältyvä oletus on usein muodoltaan erillisten oletusten p 1, p 2,..., p n muodostama konjunktio. Tällöin lauseen mielekkyyden kannalta on välttämätöntä, että oletukset p 1, p 2,..., p n ovat yhteensopivia. Matemaattiset lauseet muotoillaan siten, että ne eivät sisällä ylimääräisiä oletuksia, joten jokainen lauseeseen eksplisiittisesti sisällytetty oletus on sekä lauseen soveltamisen että todistamisen kannalta oleellinen. Väite jos p, niin q, jonka väitöksen q mukaan tietynlainen olio on olemassa, todistetaan määrittämällä väitöksen q mukainen olio. Jos väitöksen q mukaan tietyllä oliolla on tietty ominaisuus, niin väite todistetaan osoittamalla, että tällä kyseisellä oliolla on tämä tietty ominaisuus. Jos väitöksen q mukaan kaikilla tietyt vaatimukset täyttävillä olioilla on tietty ominaisuus, niin väite todistetaan osoittamalla, että jollakin satunnaisesti valitulla väitöksen q vaatimukset täyttävällä oliolla, josta ei tehdä mitään ylimääräisiä oletuksia, on tämä tietty ominaisuus. Jos matemaattisen lauseen väite on kvantifioitu universaalikvanttorilla luonnollisten lukujen suhteen, niin sen todistuksessa voidaan soveltaa erityistä todistusperiaatetta, josta käytetään nimitystä matemaattinen induktio (ks. [4, s ], [3, luku 4]). 17

18 Muotoa jos p, niin q olevien väitteiden eli ehtolauseiden p q todistuksissa sovellettavat menetelmät ovat suoran todistamisen menetelmä, kontrapositiomenetelmä ja ristiriitamenetelmä. Suoran todistamisen menetelmässä oletetaan, että oletus p on paikkansapitävä eli tosi, ja oletusta p käyttämällä päätellään, että myös väitös q on tosi. Tällöin implikaation totuusehdon perusteella lause p q on tosi, eli väite jos p, niin q on paikkansapitävä. Kontrapositiomenetelmä perustuu tautologiaan (p q) ( q p). Kontrapositiomenetelmässä todistetaan suoran todistamisen menetelmää soveltamalla väite jos ei q, niin ei p eli implikaatio q p, mikä riittää todistamaan sen kanssa loogisesti yhtäpitävän väitteen jos p, niin q eli implikaation p q paikkansapitävyyden. Ristiriitamenetelmä perustuu oletuksen p ja väitöksen q negaation q yhteensopimattomuuteen. Ristiriitatodistuksessa oletetaan oletuksen p lisäksi myös väitöksen q negaatio q paikkansapitäväksi, ja näitä molempia käyttämällä päätellään jonkin lauseen r ja sen negaation r paikkansapitävyys. Tällöin lauseen r ja sen negaation r konjunktio r r on tosi, mikä on ristiriita. Tämän perusteella oletus p ja väitöksen negaatio q ovat yhteensopimattomia, joten lause p q on epätosi. Oletuksen p ollessa lähtökohtaisesti tosi on väitöksen negaation q näin ollen oltava epätosi, ja täten väitöksen q on oltava tosi eli paikkansapitävä. Tällöin implikaation totuusehdon perusteella myös lause p q on tosi eli väite jos p, niin q on paikkansapitävä. (Ks. [14, s ]). Ehtolause jos p, niin q eli implikaatio p q osoitetaan paikkansapitämättömäksi soveltamalla vastaesimerkkimenetelmää, joka perustuu tautologiaan (p q) p q. Vastaesimerkkimenetelmässä esitetään tapaus, jossa oletus p ja väitöksen q negaatio q ovat paikkansapitäviä eli tosia. Tällöin konjunktion totuusehdon perusteella lause p q on tosi, ja näin ollen myös sen kanssa loogisesti yhtäpitävä lause (p q) on tosi. Tällöin negaation totuusehdon perusteella lause p q on epätosi eli väite jos p, niin q ei ole paikkansapitävä. Formaalissa logiikassa todistuksen eteneminen eli johtopäätöksen johtaminen oletuksista lähtien esitetään määrätyssä muodossa ja siten, että jokainen todistukseen sisältyvä päättelysääntö ja sen käyttötilanteet ilmaistaan eksplisiittisesti. Formaalista logiikasta poiketen matemaattisessa todistamisessa käytetään loogisiin päättelysääntöihin ja matemaattisiin määritelmiin ja lauseisiin perustuvaa luonnollista päättelyä, jonka eteneminen esitetään epämuodollisesti luonnollisen kielen välityksellä. (Ks. [14, s ].) Jos matemaattisessa todistuksessa käytetään samassa yhteydessä jotakin määritelmää tai lausetta toistuvasti, niin jokaista käyttötilannetta ei välttämättä mainita erikseen. Jos matemaattinen todistus sisältää samanlaisia tai toisiaan vastaavia perusteluketjuja, niin tällaisessa tapauksessa voidaan toiston välttämiseksi vedota vastaavuuteen todistuksessa jo edellä esitetyn kanssa. Matemaattisen lauseen todistuksessa voidaan vedota myös jonkin edellä todistetun lauseen todistukseen tai johonkin sen osaan. 18

19 2 Joukko-opin perusteita Tämän luvun sisältö perustuu H. B. Endertonin teoksen Elements of Set Theory [3] lukuihin 1 3 ja P. Suppesin teoksen Introduction to Logic [14] lukuihin Yksittäisissä kohdissa on tukeuduttu teokseen J. B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra [4]. 2.1 Joukko ja joukon alkio Joukko-opin peruskäsitteiden esittely aloitetaan joukko-opin kaikkein keskeisintä termiä joukko kuvaavalla luonnehdinnalla: Joukko on kokoelma olioita, joka käsitetään yksittäiseksi olioksi, ja kokoelmaan kuuluva olio on joukon alkio. (vrt. [3, s. 1]). Tämän edellä olevan luonnehdinnan perusteella joukko-opin lähtökohdaksi otetaan seuraavat peruskäsitteet: joukko, joukon alkio ja on joukon alkio. Edellä mainittuja käsitteitä voidaan intuition perusteella pitää niin selvinä, että niitä ei tarvitse määritellä täsmällisesti. Toisaalta voidaan todeta, että matemaattisesti täsmällisen määritelmän muotoileminen näille käsitteille on ongelmallista, mitä edellä oleva joukon luonnehdintakin ilmentää. Ensisijaisesti joukoksi käsitettävä olio nimetään pääsääntöisesti käyttämällä isoja kirjaimia A,..., Z. Vastaavasti joukon alkioksi käsitettävä olio nimetään käyttämällä pieniä kirjaimia a,..., z. Merkinnöissä käytetään lisäksi erilaisia kirjainten korostuskeinoja ja tarkenteita. Joukon ja olion välinen suhde ilmaistaan seuraavasti. Merkintä a A tarkoittaa sitä, että olio a on joukon A alkio. Merkinnästä a A käytetään myös luonnollisen kielen vastineita a kuuluu joukkoon A ja joukossa A on alkio a. Merkintä a A tarkoittaa sitä, että olio a ei ole joukon A alkio. Merkinnästä a A käytetään myös luonnollisen kielen vastineita a ei kuulu joukkoon A ja joukossa A ei ole alkiota a. Joukkojen ja olioiden välisiä suhteita ilmaisevia merkintöjä voidaan tarvittaessa yhdistää. Esimerkiksi, jos a A ja b A, niin voidaan käyttää merkintää a, b A, ja jos a A ja a B, niin voidaan käyttää merkintää a A, B. Joukko voidaan esittää luettelemalla joukon alkiot aaltosulkeiden välissä pilkulla toisistaan erotettuina. Tämän esitystavan mukaisesti joukkomerkintä {a 1, a 2,..., a n } tarkoittaa joukkoa, jonka alkiot ovat a 1, a 2,..., a n. Kaksi samat alkiot sisältävää joukkomerkintää, jotka eroavat toisistaan ainoastaan joukon alkioiden järjestyksen osalta, tarkoittavat samaa joukkoa. Joukkomerkintä, jossa yksi tai useampi joukon yksittäinen alkio esiintyy useammin kuin kerran, tarkoittaa samaa joukkoa kuin sellainen vastaavat alkiot sisältävä joukkomerkintä, jossa jokainen joukon alkio esiintyy täsmälleen kerran. Joukko voidaan esittää myös käyttämällä abstraktiomenetelmää, jossa luonnollista kieltä, matemaattisia merkintöjä tai näiden yhdistelmää käyttä- 19

20 mällä esitetään ehdot, jotka joukkoon kuuluva olio täyttää. Tämän esitystavan mukaisesti joukkomerkintä { x p (x) } tarkoittaa joukkoa, jonka alkioita ovat sellaiset ja vain sellaiset oliot x, joilla on ominaisuus p. Joukko määritellään asettamalla jokin nimetty joukko ja jotakin tiettyä joukkomerkintää vastaava joukko identtisiksi eli samoiksi. Tämän menettelytavan mukaisesti määrittely A = { x p (x) } tarkoittaa sitä, että A on joukko, jonka alkioita ovat sellaiset ja vain sellaiset oliot x, joilla on ominaisuus p, eli x : x A p (x). Joukko voidaan määritellä myös vapaamuotoisesti käyttämällä luonnollista kieltä ja matemaattisia merkintöjä. Määritelmä 2.1. N = { n n on luonnollinen luku } = {0, 1, 2, 3,... }, Z = { z z on kokonaisluku } = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... }, Q = { q q on rationaaliluku } = { q = x/y x, y Z, y 0 }. Huomautus. Määritelmä 2.1 perustuu intuition mukaiseen käsitykseen luonnollisista luvuista, kokonaisluvuista ja rationaaliluvuista. Edellä määritellyt lukujoukot N, Z ja Q sekä niihin liittyvät laskutoimitukset ja luonnolliset järjestykset voidaan määritellä täsmällisesti käyttämällä joukko-opin käsitteitä (ks. [3, luvut 4 ja 5]). Joukon ekstensionaalisuus tarkoittaa sitä, että joukon alkiot määrittävät joukon täydellisesti ja yksikäsitteisesti. Näin ollen kaksi joukkoa ovat identtiset eli samat, jos ja vain jos niillä on täsmälleen samat alkiot. Tästä periaatteesta käytetään nimitystä joukkojen ekstensionaalisuusperiaate. Määritelmä 2.2. ([14, s. 178].) Joukot A ja B ovat samat eli A = B, jos x : x A x B. Määritelmä 2.3. ([14, s. 178].) Joukko A on tyhjä joukko, jos x : x A. 20

21 Lause 2.1. Olkoot A ja B joukkoja. Jos niin A = B. x : x A ja x : x B, Todistus (vrt. [14, s. 178]). Olkoot A ja B sellaiset joukot, että x : x A ja x : x B. Oletetaan, että A B. Tällöin määritelmän 2.2 perusteella x : x A ja x B tai x : x A ja x B. Jos on olemassa sellainen x, että x A, niin x A ja x / A, mikä on ristiriita. Jos on olemassa sellainen x, että x B, niin x B ja x / B, mikä on ristiriita. Näin ollen A = B. Määritelmän 2.3 ja lauseen 2.1 perusteella tyhjä joukko on yksikäsitteinen. Tyhjää joukkoa merkitään symbolilla. Määritelmä 2.4. Joukko A on epätyhjä, jos A. Määritelmä 2.5. ([3, s. 19].) Olion x yksiö on joukko {x} eli joukko, jonka ainoa alkio on x. Määritelmä 2.6. ([3, s. 19].) Olioiden x ja y pari on joukko {x, y} eli joukko, jonka alkiot ovat x ja y. Parista käytetään myös nimitystä järjestämätön pari. 2.2 Osajoukko ja potenssijoukko Tarkastellaan joukkoja A ja B, jotka ovat sellaiset, että jokainen joukon A alkio on myös joukon B alkio mutta ei välttämättä päinvastoin. Määritelmä 2.7. ([14, s. 181].) Joukko A on joukon B osajoukko, jos x : x A x B. Merkintä A B tarkoittaa sitä, että joukko A on joukon B osajoukko. Näin ollen A B ( x : x A x B). Merkinnästä A B käytetään myös luonnollisen kielen vastineita joukko A sisältyy joukkoon B ja joukko B sisältää joukon A. Merkintä A B tarkoittaa sitä, että joukko A ei ole joukon B osajoukko. 21

22 Määritelmä 2.8. ([3, s. 4].) Joukon A potenssijoukko P(A) määritellään seuraavasti: P(A) = { B B A }. Huomautus. Jos A on joukko, niin määritelmän 2.7 perusteella P(A). Lause 2.2. Olkoon A joukko. Tällöin A A. Todistus (vrt. [14, s. 181]). Olkoon A joukko ja x A. Tällöin x A, ja täten määritelmän 2.7 perusteella A A. Lause 2.3. Olkoot A, B ja C joukkoja. Jos A B ja B C, niin A C. Todistus (vrt. [14, s. 181]). Olkoot joukot A, B ja C sellaiset, että A B ja B C, ja olkoon x A. Tällöin määritelmän 2.7 perusteella x B, koska A B. Näin ollen määritelmän 2.7 perusteella x C, koska B C. Näin ollen x C, jos x A, ja täten määritelmän 2.7 perusteella A C. Lause 2.4. Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin A = B, jos ja vain jos A B ja B A. Todistus. Olkoot A ja B joukkoja. (1) Oletetaan, että A = B. Olkoon x A ja y B. Tällöin määritelmän 2.2 perusteella x B ja y A, ja täten määritelmän 2.7 perusteella A B ja B A. (2) Oletetaan, että A B ja B A. Jos x A, niin määritelmän 2.7 perusteella x B, koska A B. Jos x B, niin määritelmän 2.7 perusteella x A, koska B A. Näin ollen x A, jos ja vain jos x B, ja täten määritelmän 2.2 perusteella A = B. Kohtien (1) ja (2) perusteella A = B, jos ja vain jos A B ja B A. Joukon osajoukko määritellään yleensä siten, että osajoukkouden määrittävä ehto erotetaan merkinnällisesti muista joukkoa määrittelevistä ehdoista. Tämän menettelytavan mukaisesti määrittely A = { x B p (x) } tarkoittaa sitä, että A on joukon B sellainen osajoukko, jonka alkioita ovat sellaiset ja vain sellaiset joukon B alkiot, joilla on ominaisuus p. Määritelmä 2.9. ([14, s. 182].) Joukko A on joukon B aito osajoukko, jos A B ja A B. Merkintä A B tarkoittaa sitä, että joukko A on joukon B aito osajoukko. Näin ollen A B A B ja A B. 22

23 2.3 Joukkojen perusoperaatiot Joukkojen perusoperaatiot ovat unioni ja leikkaus. Joukkojen unionin ja leikkauksen lisäksi määritellään joukkojen välinen suhteellinen komplementti eli joukko-opillinen erotus. Määritelmä ([3, s. 27].) Joukkojen A ja B unioni eli yhdiste A B (eli A unioni B) määritellään seuraavasti: A B = { x x A tai x B }. Määritelmä ([3, s. 27].) Joukkojen leikkaus B) määritellään seuraavasti: A ja B leikkaus A B (eli A A B = { x x A ja x B }. Määritelmä ([3, s. 27].) Joukon B suhteellinen komplementti joukossa A eli joukkojen A ja B (joukko-opillinen) erotus A \ B (eli A erotus B) määritellään seuraavasti: A \ B = { x x A ja x B }. Huomautus. Jos B A, niin joukkojen A ja B joukko-opillisesta erotuksesta A \ B voidaan käyttää myös merkintää A B. 2.4 Järjestetty pari ja relaatio Jos oliot x ja y kuuluvat johonkin samaan joukkoon, niin on olemassa jokin peruste sille, miksi ne kuuluvat kyseiseen joukkoon. Samaan joukkoon kuuluminen ei kuitenkaan ilmaise joukon yksittäisten alkioiden välillä mahdollisesti vallitsevia keskinäisiä suhteita, joten näiden ilmaisemiseksi tarvitaan siihen tarkoitettuja käsitteitä. Määritelmä ([3, s. 36].) Olioiden x ja y järjestetty pari x, y, missä x on järjestetyn parin ensimmäinen jäsen ja y toinen jäsen, määritellään seuraavasti: x, y = {{x}, {x, y}}. Lause 2.5. Järjestetyt parit x, y ja u, v ovat samat eli x, y = u, v, jos ja vain jos x = u ja y = v. Todistus (vrt. [3, s. 36]). (1) Oletetaan, että x, y = u, v. Tällöin määritelmän 2.13 perusteella {{x}, {x, y}} = {{u}, {u, v}}, ja näin ollen {x}, {x, y} {{u}, {u, v}} ja {u}, {u, v} {{x}, {x, y}}. Käsitellään erikseen tapaukset x = y ja x y. (i) Jos x = y, niin {x, y} = {x}, ja täten {{x}, {x, y}} = {{x}}. Näin ollen {u, v} {{x}}, ja täten 23

24 {u, v} = {x}. Näin ollen u = x, v = x ja x = y, ja täten x = u ja y = v. (ii) Jos x y, niin x u tai y u, ja täten {x, y} = {u}. Näin ollen {x, y} {{u}, {u, v}} ja {x, y} {u}, ja täten {x, y} = {u, v}. Koska x y, niin {x} {x, y}, ja täten {x} {u, v}. Näin ollen {x} {{u}, {u, v}} ja {x} = {u, v}, ja täten {x} = {u}. Näin ollen {x} = {u}, {x, y} = {u, v} ja x y, ja täten x = u ja y = v. Kohtien (i) ja (ii) perusteella x = u ja y = v, jos x, y = u, v. (2) Oletetaan, että x = u ja y = v. Tällöin {x} = {u} ja {x, y} = {u, v}. Näin ollen {{x}, {x, y}} = {{u}, {u, v}}, ja täten määritelmän 2.13 perusteella x, y = u, v. Kohtien (1) ja (2) perusteella x, y = u, v, jos ja vain jos x = u ja y = v. Huomautus. Määritelmässä 2.13 käsite järjestetty pari määritellään käyttämällä joukko-opin peruskäsitteitä. Vaihtoehtoinen lähestymistapa on, että järjestettyä paria pidetään yhtenä joukko-opin peruskäsitteenä, jota ei määritellä muiden käsitteiden välityksellä. Tällöin järjestetyn parin käsitteeltä edellytetään ainoastaan, että järjestetyt parit x, y ja u, v ovat samat, jos ja vain jos niiden ensimmäiset jäsenet ovat samat ja toiset jäsenet ovat samat. Määritelmä ([3, s. 40].) Joukko on relaatio (eli binäärirelaatio), jos sen jokainen alkio on järjestetty pari. Huomautus. Määritelmien 2.3 ja 2.14 perusteella tyhjä joukko on relaatio. Relaatiot nimetään yleensä käyttämällä isoja kirjaimia R, S ja T. Jos joukko R on relaatio, niin merkintä xry tarkoittaa sitä, että x, y R. Relaatiomerkintöjä voidaan yhdistää seuraavalla tavalla: Jos R ja S ovat relaatioita, xry ja ysz, niin tällöin voidaan käyttää merkintää xrysz. Huomautus. Merkinnästä xrysz ei seuraa, että xrz tai xsz. Määritelmä ([3, s. 40].) Relaation R määrittelyjoukko dom R ja arvojoukko ran R määritellään seuraavasti: dom R = { x y : x, y R }, ran R = { y x : x, y R }. Määritelmä ([3, s. 37].) Joukkojen X ja Y tulojoukko eli karteesinen tulo X Y määritellään seuraavasti: X Y = { x, y x X ja y Y }. Joukko X X on joukon X tulojoukko eli joukon X karteesinen tulo itsensä kanssa. Tulojoukosta X X käytetään myös merkintää X 2. Määritelmä Olkoon X sellainen joukko, että X. Joukko R on relaatio joukossa X, jos R X X. 24

25 2.5 Funktio Funktiota luonnehditaan usein säännöksi, joka liittää jonkin määrätyn joukon jokaiseen alkioon täsmälleen yhden alkion jostakin määrätystä joukosta (ks. [4, s. 88]). Tällaisen säännön perusteella muodostuvat alkioparit voidaan esittää järjestettyinä pareina, ja täten edellä esitetyn yksikäsitteisyysehdon täyttävä relaatio on funktio (ks. [14, s. 229]). Määritelmä ([3, s. 42].) Relaatio R on funktio eli kuvaus, jos x dom R : y ran R : ( x, y R ja ( z ran R : x, z R z = y) ). Määritelmän 2.18 mukaan relaatio R on funktio, jos ja vain jos jokaista alkiota x dom R kohti on olemassa täsmälleen yksi sellainen y ran R, että x, y R. Määritelmä ([3, s. 43].) Relaatio R on funktio joukolta X joukkoon Y, jos R on funktio, dom R = X ja ran R Y. Jos relaatiota tarkastellaan ensisijaisesti funktiona, niin tällöin käytetään erityistä merkitsemiskäytäntöä ja terminologiaa. Funktiot nimetään yleensä käyttämällä pieniä kirjaimia f, g ja h. Jos relaatio f on funktio, niin merkintä y = f(x) tarkoittaa sitä, että x, y f. Merkintä f : X Y : f(x) = y tarkoittaa funktiota f joukolta X joukkoon Y, missä alkio y Y on alkion x X kuva funktiossa f. (Ks. [4, s. 88].) Merkintä f : X Y Z : f(x, y) = z, missä merkintä f(x, y) tarkoittaa samaa kuin merkintä f( x, y ), tarkoittaa funktiota f tulojoukolta X Y joukkoon Z. Merkintä f : (X Y ) Z W : f(x, y, z) = w, missä merkintä f(x, y, z) tarkoittaa samaa kuin merkintä f( x, y, z ), tarkoittaa funktiota f tulojoukolta (X Y ) Z joukkoon W. Tämä merkitsemiskäytäntö yleistetään koskemaan erilaisia tulojoukkoyhdistelmiä. Kaksi relaatiota ovat samat, jos niillä on täsmälleen samat alkiot. Jos kahdella funktiolla on täsmälleen samat alkiot, niin tästä huolimatta näitä kahta funktiota ei välttämättä pidetä samana funktiona. Määritelmä Funktiot f : X Y ja g : U V ovat samat, jos X = U, Y = V ja x X : f(x) = g(x). Erityistä merkitystä on sellaisella funktiolla, jonka jokaisella määrittelyjoukon alkiolla on eri kuva kuin millään muulla määrittelyjoukon alkiolla. Määritelmä ([4, s. 89].) Funktio f : X Y on injektio, jos x 1, x 2 X : f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. 25

26 Erityistä merkitystä on myös sellaisella funktiolla, jonka jokainen arvojoukon alkio on vähintään yhden määrittelyjoukon alkion kuva. Määritelmä ([4, s. 89].) Funktio f : X Y on surjektio, jos y Y : x X : y = f(x). Lause 2.6. Olkoot f : X Y ja g : Y X funktioita. Jos niin f on injektio ja g on surjektio. x X : g(f(x)) = x, Todistus. Olkoot funktiot f : X Y ja g : Y X sellaiset, että x X : g(f(x)) = x. Olkoot x 1, x 2 X sellaiset, että f(x 1 ) = f(x 2 ). Tällöin oletuksen perusteella x 1 = g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )) = x 2, ja täten määritelmän 2.21 perusteella f on injektio. Olkoon x X. Koska f on funktio, niin määritelmän 2.18 perusteella Näin ollen oletuksen perusteella y Y : f(x) = y. x = g(f(x)) = g(y), ja täten määritelmän 2.22 perusteella g on surjektio. Jos funktio on sekä injektio että surjektio, niin se liittää jokaiseen arvojoukon alkioon täsmälleen yhden määrittelyjoukon alkion, ja näin ollen se asettaa määrittely- ja arvojoukon alkiot yksi-yhteen vastaavuuteen. Määritelmä ([4, s. 89].) Funktio on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. 2.6 Äärellinen joukko ja ääretön joukko Keskeinen joukkoa luonnehtiva peruskäsite on joukon alkioiden lukumäärä, jota voidaan intuition perusteella pitää niin selvänä, että sitä ei tarvitse määritellä täsmällisesti. Määritelmä ([3, s. 133].) Joukko A on äärellinen, jos on olemassa sellainen n N, että on olemassa bijektio joukolta { k N k 0 ja k n } joukkoon A. Joukko A on ääretön, jos se ei ole äärellinen. Merkintä A tarkoittaa äärellisen joukon A alkioiden lukumäärää. Jos joukko A on äärellinen, niin määritelmän 2.24 perusteella n N : A = n. Huomautus. Jos joukko A on äärellinen ja B A, niin määritelmien 2.7 ja 2.24 perusteella myös joukko B on äärellinen. 26

27 3 Osittain järjestetty joukko Tämän luvun sisältö perustuu B. A. Daveyn ja H. A. Priestleyn teoksen Introduction to Lattices and Order [2] lukuihin 1 ja 2 ja P. J. McCarthyn teoksen Introduction to Arithmetical Functions [8] lukuun 7. Edellä mainittujen ohella luvun sisältöön on vaikuttanut myös R. P. Stanleyn teoksen Enumerative Combinatorics, Volume I [13] luku Osittainen järjestys, poset ja vertailullisuus Joukko käsitetään yksinkertaisimmillaan kokoelmana olioita, jotka puolestaan ovat kyseisen joukon alkioita. Joukkoa ei kuitenkaan yleensä tarkastella pelkästään kokoelmana erillisiä olioita, vaan usein tarkastelu kohdistuu joukon alkioiden välillä vallitseviin suhteisiin. Jos P on joukko ja merkintä r(x, y) ilmaisee sen alkioiden x ja y välistä suhdetta, niin lause x, y P : x, y R r(x, y) määrittelee relaation R. Jos relaatio R täyttää tietyt ehdot, niin se määrää joukon P järjestyksen. Määritelmä 3.1. ([2, s. 2].) Olkoon P epätyhjä joukko eli P. Relaatio joukossa P on joukon P osittainen järjestys, jos (i) x P : x x (refleksiivisyys), (ii) x, y P : (x y ja y x) x = y (iii) x, y, z P : (x y ja y z) x z (antisymmetrisyys), (transitiivisuus). Merkintä x y tarkoittaa sitä, että x, y. Huomautus. Jos relaatio on joukon P osittainen järjestys, niin refleksiivisyyden perusteella se ei ole minkään muun joukon osittainen järjestys. Huomautus. Jos joukko P on sellainen, että P > 1, niin sitä kohti on olemassa useita osittaisia järjestyksiä. Määritelmä 3.2. ([2, s. 2].) Joukko P ja relaatio muodostavat osittain järjestetyn joukon, jos relaatio on joukon P osittainen järjestys. Merkintä (P, ) tarkoittaa joukon P ja relaation muodostamaa osittain järjestettyä joukkoa. Osittain järjestetystä joukosta käytetään yleensä englannin kielen sanoista partially ordered set muodostettua lyhennesanaa poset. Posetin (P, ) rakenne perustuu relaation määräämiin joukon P alkioiden järjestyssuhteisiin. Tämän rakenteen tarkastelua yksinkertaistetaan rajoittamalla tarkastelu tapauskohtaisesti joukon P erilaisiin osajoukkoihin. Joukon P osajoukosta käytetään myös nimitystä posetin (P, ) osajoukko. 27