Sisällysluettelo 1 Laskutoimituksia Peruslaskutoimitukset luvuilla Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7 Prosentti 11 Prosenteilla vertaaminen 17 Kuvaaminen koordinaatistossa Kertaustehtäviä 9 Lausekkeesta yhtälöön Lineaarinen riippuvuus Yhtälö 8 Ongelmasta yhtälöksi 5 Suhde ja verranto 61 Verrannollisuus 70 Kertaustehtäviä 80 Toisen asteen yhtälö 85 Toisen asteen polynomifunktio 85 Ratkaisukaava 9 Toisen asteen yhtälön sovelluksia 111 Kertaustehtäviä 19 Harjoituskokeet 11 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
1 Laskutoimituksia Peruslaskutoimitukset luvuilla 1. a) 7 b) 5 c) 0 d) 6. a) 7 b) 56 c) 9 d) 7. a) b) 0 c) 6 d) 60. a) 5 b) 1 5. a) 8 b) 11 6. a),5 b),5 c) 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
7. a) (8 + 5) (8 5) 1 9 b) (17 (8 + )) ( 7) 6 ( ) 8. a) b) c) d) 1 5 6 1 9 6 7 9. a) ) 1 + 1 6 6 + ( 1 6 6 b) c) ) ) 5 + 6 1 + 5 1 10 1 + ) ) 1 5 + 1 + 8 1 9 1 + + 5 1 0 1 1 59 1 11 1 1 11 1 10. a) b) ) ) 1 1 6 5) ) 1 1 5 6 5 0 1 6 0 0 0 9 0 19 1 0 c) 1 5 ) 5) 1 7 5 6 15 115 15 5 15 7 15 11. a) 9 6 b) 11 1 15 c) 9 5 5 1 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
1. a) : 9 1 1 18 b) 1 : 6 9 6 c) 1 1 : 7 7 1. a) b) 1 6 5 5 5 1 1 ) 9 7 1 7 5 9 1 5 1 1 c) 5 5 + 1 1 10 ) 17 5 ) + 5 11 10 10 8 10 + 11 10 7 10 7 10 1. 1 5 punaisia, 1 ) 5) vihreitä, keltaisia: 1 1 15 5 7 1 5 15 15 15 15 7 15 0 1 Vastaus: Keltaisten karkkien osuus on 7/15 kaikista karkeista. Keltaisten karkkien määrä on 1. 15. 15 g voita, 0,5 dl sokeria, 1 1 dl fariinisokeria, 1 kananmuna, puolikkaan sitruunan raastettu kuori, 1 dl kaurahiutaleita, 1 dl vehnäjauhoja, 0,5 tl suolaa ja 0,5 tl soodaa 16. 5 ) 5) 5 5 + 5 9 15 + 5 15 16 15 1 1 15 17. a) b) c) 1 1 10 6 8 5 5 1 7 ) ) 7 6 1 1 16 1 : 1 5 88 1 81 1 7 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 5
18. a) b) c) 1 1 5 ) ) 17 5 51 + 1 + + 1 ) 5) 16 5 1 5 1 1 1 1 8 8 16 8 15 0 1 5 15 71 1 15 1 11 5 1 8 15 19. a) 18 b) 1 c) 0 0. a) b) 11 c) 1 1. a) 6 1 1 b) ) ) 8 6 9 1 6 6. a) 6 + 1 ( ) ( ) 5 6 + 1 0 b) 1 ( 5) + 1 1 + 5 7 10 ) 1 11 7 0. + + 1 + + 5 (dl) Vastaus: Kuivia aineita tarvitaan 5 dl. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 6
. 1,5 6 0,5 (l) 0,5 l,5 dl Vastaus: Kukin saa,5 dl limsaa. 5. 1500 1 5 1500 1 6 1500 1 1500 575 ( ) Vastaus: Kaukolle jää rahaa 575. 6. a) b) c) 1 1 5 9 5 5 8 0 ( ) ( + ) ( ) ( + ) 6 1 1 6 6 1 6 7 1 1 (10 1 + 5 6 9 1 5 1 ) :1 6 1 1 10 + 1 6 ( 6 17 1 1 17 5 ) : 6) 5 1 1 5 6 1 5 5 9 ) 18 ) 1 7 1 1 69 1 9 5 5 1 Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7. a) 7a b) 1x c) 6x + 6 8. a) 5 b) x 9. a) x + x 6x + 8x 1x b) x x 1x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 7
0. a) x b) 1a c) x + x 1. a) a b) 1y c) 6xy. a) a b) c) 6x. a) 6x + ( x) + x 6x x + x 5x b) 6x ( x) x 6x. a) 1y + 8 + 11y 1 y b) 9x 6 + x 11x 10 5. a) 15x + 5x b) x + x 6. a) ( x 1)( x ) x x x + x x + b) (y + )(y ) 9 y 1 y + 1 y 16 9 y 16 7. a) ( x 7x) x( x + ) x 7x x x 11x b) x(x 1) + x 6x x + x 7x x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 8
c) ( 6a a ) ( a + a ) 6a + a + a a a 5a 8. a) ( x ) + ( x + 5) x x + 5 x + b) ( x ) ( x + 5) x + x 5 x 7 c) (x )( x + 5) x + 15x + x 10 x + 17x 10 9. Piiri: (x ) + x x 6 + x 6x 6 Pinta-ala: x(x ) x x 0. x x (x + ) x (x + ) x + 6x 1. ( 5a + 8b) (6b + 11a) 5a + 8b 6b 11a 6a + b 6 ( 1) + 1 6 +. a) (x ) (x )(x ) x 6x 6x + 9 x 1x + 9 b) (x + ) (x + )(x + ) x + 6x + 6x + 9 x + 1x + 9 c) (x + )(x ) x 6x + 6x 9 x 9. a) 5 x ( 15x) 5x + 15x 10x b) 5x 15x 1 c) 5x ( 15x) 75x. a) Piiri: ( x 1) + (x 1) x + x 6x Pinta-ala: (x 1)(x 1) x x x + 1 x x + 1 b) (x x + 1) x x x + x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 9
5. a) ( x 1) + ( x + 5) x 1 x + 5 x + b) ( x 1) ( x + 5) x 1 + x 5 7x 6 c) (x 1)( x + 5) 1x + 0x + x 5 1x + x 5 6. a) 6 y (y + 1) (5y + ) 6 y y 1 5y y b) y( y + 1) 5y( y 1) y + y 5y + 5y y + 7 y 7. a) a b) x c) x + 8. a) (x + )(x 7) x 7x + x 1 x 5x 1 b) (y + 6)(y 9) 8y 18y + y 5 8y + 6y 5 c) (x + 8) (x + 8)(x + 8) x + 8x + 8x + 6 x + 16x + 6 9. a) 1x + (x y) (y 5x) ( x + 6y) 1x + x y y + 5x x 6y 19x 10y b) 1x(x y) (y 5x) (x + 6y) 6x 1xy xy 18y + 5x + 0xy 1x + 15xy 18y 50. a) a 5a : a + a a 5a + a 6a b) a a + a a a + a a a a + a ( a + a 1) a a + a + a a + 1 a + a a + 1 51. (a + b)( b + a) + a( a) ab + 8a b + 1ab 8a b + 10ab 0,5 + 10 ( ) 0,5 10,75 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 10
5. a) Piiri: 5x + x + x + x + 6x + 8x + x 5x 5 0,5 17,5 (m) b) A x 5x + x x + 5x x + x 6x 0x + 16x + 10x + 1x 58x 58 0,5 1,5 (m ) 5. a) x ( x + 1) x( x + 1)( x + 1) x( x + x + x + 1) x( x + x + 1) x + x + x b) (a b) + (a + b) + (a b)(a + b) (a b)(a b) + (a + b)(a + b) + (a b)(a + b) a ab ab + b + a + ab + ab + b + a + ab ab b a ab + b + a + ab + b + a b a + b Prosentti 5. a) 0 % b) 15 % c) 5 % 55. a) b) c) d) e) f) 0,7 0,15 0,0 70 100 15 100 100 106 1,06 100 10 1, 100 00,0 100 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 11
56. a) 87 87 % 100 b) 150 150 % 100 c) 5 5 % 100 d) 110 110 % 100 e) 16 16% 100 f) 5 5 % 100 57. a) 50 0,1666... 17 % 00 b) 10 0,... % 00 c) 80 0,9... 9 % 00 0 58. 0,1... 1 % 150 Vastaus: Voittoarpoja on 1 % arvoista. 59. a) 0,01 00 ( ) b) 0, 00 0 ( ) c) 0,5 00 90 ( ) 60. a) 0,0 500 11,50 ( ) b) 0,0 1000 ( ) c) 0,0 00 55,0 ( ) Vastaus: Sisu saa vuodessa a) 11,50, b) ja c) 55,0. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
5 61. 0,1785... 18 % 8 Vastaus: Vasenkätisiä on 18 % oppilaista. 6. a) 0, 9 7,80 ( ) b) 9 7,80 1,0 ( ) Vastaus: a) Alennus on 7,80. b) Alennettu hinta on 1,0. 6. a) 0,65 b) 0,9 c) 1, d),0 6. a) 0,95a b) 1,8a c) a d) 1,5a 65. a) 0,7 00 61 ( ) b) 00 61 1 679 ( ) Vastaus: a) Pii maksaa veroa 61. b) Piille jää käteen 1 679. 66. 0, 0 1 Vastaus: Naisvieraita oli 1. 60 67. 0,088... 1% 00 Vastaus: Sisun veroprosentti on 1 %. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
6 68. a) Kärpät: 0,68... 6 % 56 19 b) TPS: 0,9... % 56 1 c) Lukko: 0,71... 7 % 56 11 d) TPS: 0,196... 0 % 56 Vastaus: a) Paras voittoprosentti on Kärpillä. b) Suurin tasapeliprosentti on TPS:llä. c) Suurin häviöprosentti on Lukolla. d) Suurin jatkoaikaprosentti on TPS:llä. 69. a) 0,19 5 658 786,6 786 b) 0,16 5 658 5,78 5 c) 0,0 5 658 169,7 170 Vastaus: a) 786 kyselyyn vastanneista syö makeisia monta kertaa päivässä. b) 5 syö makeisia 1 kertaa viikossa. c) 170 ei syö makeisia. 70. 0,5 65 16,5 65 16,5 8,75 ( ) TAI 0,75 65 8,75 ( ) Vastaus: Alennettu hinta on 8,75. 71. a) b) c) d) 0,065 0,08 0,00 0,0015 65 1000 8 1000 1000 15 10 000 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
e) f) 0,10 0,0005 10 1000 5 10 000 7. a) 580 b) 100 c) 05 d) 90 e) 1 0 f) 6 5 00 000 7. 0,0008 0,8 6500 000 000 Vastaus: Suomalaisia oli 0,8 kaikista maailman ihmisistä. 7. a) 0,80 1,0 17, (g) 1 b) 8,,78...,8 (g) 1 0,58... 58 Vastaus: a) Hopeariipuksessa on hopeaa 17, g. b) Sormuksen kultapitoisuus on 58. 75. nestetilavuus elimistössä: 0,66 60 kg 9,60 kg annoksia: 1 g 6 g 6 g veren alkoholipitoisuus: 0,000909... 0,9 9 600g Vastaus: Lain mukaan voi. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 15
76. nestetilavuus: 0,75 70 kg 5,5 kg 5 500 g annoksia: 10 1 g 10 g maksan polttama alkoholin määrä: 11 7 g 77 g 10 g 77 g g 5500 0,000819... 0,8 Vastaus: Mittari näyttää lukemaa 0,8. 77. a) 8 0,685... 7 % 175 b) 0 0,8 80 % 50 78. 0,065 15,795 15,80 ( ) 79. 0,86 1 70 81, 810 (kg) Vastaus: Malmierässä on rautaa 810 kg. 80. 1, 0,66 66 % Vastaus: Soittimen muistista on käytetty 66 %. 81.,7 GB 1 0,7 81,8 (MB) 1950 käytetty : 81,8 0,05169... 0,5 % käyttämättä: 100 % 0,5 % 59,8 % 59 % Vastaus: Levystä jäi käyttämättä 59 %. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 16
8. a) alennus: 0,15 75 11,5 b) alennettu hinta: 75 11,5 6,75 Vastaus: a) Alennus on 11,5. b) Alennettu hinta on 6,75. 8. Alennusprosentti on suurimmillaan, kun kaikki tuotteet maksavat yhtä paljon. 1 0,... % Vastaus: Alennusprosentti on suurimmillaan %. 8. a) kehon nestetilavuus: 0,66 65 kg,9 kg 900 g alkoholin määrä: 6 1 g 7 g 7 g 900 g 0,001678... 1,7 b) kehon nestetilavuus 0,75 65 kg 8,75 kg 8 750 g 7 g 8750 g 0,00176... 1,5 Vastaus: Alkoholipitoisuus voi nousta a) 1,7, b) 1,5. 85. vettä: 18 dl 1,8 l eli 1,8 kg suolaa: 10 g 0,10 kg suola vesi+ suola 0,10 0,065 6,5 % 1,8 + 0,10 Vastaus: Suolapitoisuus on 6,5 %. Prosenteilla vertaaminen 86. muutos: 1 580 1500 80 muutos alkuperäinen eli 80 1500 0,05... 5, % Vastaus: Palkka nousi 5, %. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 17
87. housujen alkuperäinen hinta: 1,95 5,90 ( ) alennus: 5,90 1,95 10,95 10,95 alennusprosentti : 5,90 Vastaus: Alennus on %. 0,7... % muutos 5181115 09 80 88. 0,856... 9 % alkuperäinen 09 80 Vastaus: Väkiluku kasvoi 9 %. 89. a) kasvoi 50 % : 0,5 0 10 uusi määrä: 10 + 0 0 väheni 0 % : 0, 0 9 uusi määrä: 0 9 1 muutos 1 0 1 b) 0,05 5% alkuperäinen 0 0 Vastaus: a) Kerhossa oli 1 jäsentä. b) Jäsenmäärä kasvoi 5 %. muutos 6,5 1 90. a) 5,5 550% alkuperäinen 1 b) maaseudulla eläviä on 6,5,5,0 (miljardia),0 0,615... 6 % 6,5 Vastaus: a) Väkiluku on kasvanut 550 %. b) 6 % ihmisistä elää maaseudulla. 91. kasvua 50 % eli 1,5 a 1,5a pienenee 50 % eli 0,5 1,5a 0,75a muutos alkuperäinen a 0,75a a 0,5a a 0,5 5 % Vastaus: Luku pienenee 5 %. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 18
9. a) erotus 15 1 0,5 5 % arvo johon verrataan 1 1 b) 15 1 0, 0 % 15 15 erotus 1 18 9. 0,1666... 17 % arvo johon verrataan 18 18 Vastaus: Tyttöjen määrä on 17 % suurempi kuin poikien. erotus 97 61 96 9. 0,19... % arvo johon verrataan 97 97 Vastaus: Pienimmän tuoton saanut joukkue keräsi % vähemmän kuin suurimman tuoton kerännyt joukkue. 95. a) väärin: muutos 5 0 5 prosenttiyksikköä b) oikein: 10 8 prosenttiyksikköä c) 0 5 5 väärin: 0,1666... 17 % 0 0 d) 16 000 1 000 000 oikein: 0,5 5 % 16 000 16 000 96. a) 11 10 1 prosenttiyksikkö b) 1 0,1 10% 10 97. a) 8 1 prosenttiyksikköä 1 b) 0,66... 6 % Vastaus: a) Vero aleni 1 prosenttiyksikköä. b) Veronalennus oli 6 %. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 19
98. a) % 17 % 16 prosenttiyksikköä b) 16 0,88... 8 % Vastaus: a) Ero on 16 prosenttiyksikköä. b) Kevytjuusto on 8 % kevyempää. 99. Eiri: 0 0,19 +,95 8,65 ( ) Kara: 0 0,5 7,5 ( ) erotus on 8,65 7,5 1,15 ( ) 1,15 8,65 0,19... 1 % Vastaus: Kara saa kuvat 1 % halvemmalla kuin Eiri. 150 000 100 000 50 000 100. a) 0,5 50% 100 000 100 000 150 000 75 000 75 000 b) 0,5 50 % 150 000 150 000 0 c) alaraja: 0,000 0, 100 000 100 yläraja: 0,001 1 100 000 Vastaus: a) Vaaleahiuksisilla on 50 % enemmän hiuksia kuin ruskeahiuksisilla. b) Punahiuksisilla on 50 % vähemmän hiuksia kuin vaaleahiuksisilla. c) Hiuksia irtoaa 0, 1. 101. a) 6 8 78 Vastaus: 78 / hlö b) hintaero 78 19,90 58,10 ( ) 58,10,9195... 9% 19,90 Vastaus: a) Matkan hinta oli 78 /hlö. b) Matka oli mainokseen verrattuna 9 % kalliimpi. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 0
10. a) 50 0 10 0,5 5 % 0 0 b) 50 0 10 0, 0 % 50 50 10. a) alennus: 0,5 75 6,5 ( ) b) alennettu hinta: 75 6,5 8,75 ( ) Vastaus: a) Alennus on 6,5. b) Alennettu hinta on 8,75. 10 8,5 1,5 10. 0,176... 18% 8,5 8,5 Vastaus: Palkankorotus oli 18 %. 105. a),5 0,75 prosenttiyksikköä b) 0,75 0,5 Vastaus: Korko aleni a) 0,75 prosenttiyksikköä, b) 5 %. 80 780 60 106. 0,0769... 8% 780 780 Vastaus: Korotus oli 8 %. 107. a) verta: 0,07 60, (kg) b) plasmaa: 0,55,,1, (kg) c) verisoluja: 0,5, 1,89 19 (kg) 108 799 96 5 66 108. 0,00... 0 % 108 799 108 799 Vastaus: Ikäluokka pieneni 0 %. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
109. korotettu hinta: 0,15 15 + 15 1,75 tai 1,15 15 1,75 alennus: 1,75 15 1,75 18,75 1,75 Vastaus: Hinta muuttui 1 %. 0,10... 1% 110. a) 0,05 0,6 0,01 b) 1 0,8 8 % 5 Vastaus: a) Rasvaa on 1 g. b) Se on 8 % päivittäisestä rasvasuosituksesta. 111. a) kasvaa % eli tulee 1,0-kertaiseksi: 1,0 6 580 6 8, vähenee 5 % eli tulee 0,95 kertaiseksi: 0,95 6 8, 6 501,0 6 501 yhdellä lausekkeella: 1,0 0,95 6 580 6 501,0 6 501 b) 6 580 6 501 79 79 6 580 0,0100... 1, % Vastaus: a) Väkiluku on muutosten jälkeen 6 501. b) Väkiluku pieneni 1, %. 11. a) Sisun saama kalorimäärä: 0,75 570 7,5 Karan saama kalorimäärä: 0,75 5,75 7,5,75 18,75 18,75 0,758... 75%,75 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
b) Sisun saama rasvan määrä: 0,75 7 7,75 (g) Karan saama rasvan määrä: 0,75 0, 0,15 (g) 7,75 0,15 7,6 (g) 7,6 7,75 0,995... 99 % c) Sisun saama hiilihydraattien määrä: 0,75 50 7,5 (g) Karan saama hiilihydraattien määrä: 0,75 77 57,75 (g) 57,75 7,5 0,5 (g) 0,5 0,5 5 % 7,5 Vastaus: a) 75 % enemmän b) 99 % vähemmän c) 5 % enemmän Kuvaaminen koordinaatistossa 11. 11. A ( 1, ), B (1, ), C (, ), D (0, ), E (, 0) ja F (, 1) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
115. suunnikas 116. a) b) suora suora 117. a) vihreä b) punainen c) sininen 118. a) x y x y piste (x, y) (, ) 1 1 (, ) 0 0 (, 0) b) x y x + y 1 piste (x, y) 1 1 1 (, 1) 1 0 1 + 0 1 (1, 0) 0 1 0 + 1 1 (0, 1) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
119. a) x y x + piste (x, y) 0 0 + (0, ) 1 1 + (1, ) + (, ) b) x y x + 1 piste (x, y) 0 0 + 1 1 (0, 1) 1 1 + 1 1 (1, 1) + 1 (, ) 10. a) x y x + 1 piste (x, y) 1 1 + 1 (1, ) + 1 (, ) + 1 (, ) b) x y x piste (x, y) 0 0 (0, ) 1 1 1 (1, 1) (, ) 11. a) x y x + y 1 1 1 + 1 1 1 b) x y x y 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1. a) 1 b) noin, kg Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 5
Vastaus: a) kg tomaatteja maksaa 1. b) Tomaatteja saa noin, kg. 1. a),5 /kg b) noin 7 kg Vastaus: a) Omenoiden kilohinta on,5 /kg. b) Omenoita saa noin 7 kg. 1. Piste A ei ole samalla suoralla. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 6
15. a) x y x y 1 ( 1) ( ) 0 1 0 ( 1) 1 0 1 0 b) x y x + y 0 1 1 ( 1) + 1 0 0 0 0 + 0 0 1 1 1 + ( 1) 0 16. x y x + (x, y) 0 0 + (0, ) 1 1 + 6 (1, 6) + 8 (, 8) x y x + (x, y) 0 0 + (0, ) 1 1 + (1, ) + 0 (, 0) 17. x 6 y 1 x 6 1 6 7 1 6 8 1 6 6 9 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 7
a) pisteessä (0, 6) b) pisteessä ( 1, 0) 18. a) y x b) y x + c) y x + d) y x + 19. x y x (x, y) 0 0 0 (0, 0) 1 1 (1, ) (, ) x y 0,5x 5 (x, y) 0 0,5 0 5 5 (0, 5) 0,5 5 (, ) 0,5 5 (, ) Suorat leikkaavat pisteessä (, ). 10. x y x y 1 1 1 1 5 5 1 8 8 1 x y x + (x, y) 0 0 + (0, ) 1 1 + (1, ) + 5 (, 5) Suorat leikkaavat pisteessä (, 5). Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 8
11. a) 7 /kg b) noin 570 g Vastaus: a) Karkkien kilohinta on 7 /kg. b) Karkkeja saa noin 570 g. 1. Kertaustehtäviä 1. x y x + 6 (x, y) 0 0 + 6 6 (0, 6) 1 1 + 6 (1, ) + 6 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0). 1. x y x (x, y) 0 0 (0, 0) 1 1 (1, 1) (, ) x y x + (x, y) 0 0 + (0, ) 1 1 + 7 (1, 7) + 11 (, 11) Suorat leikkaavat pisteessä ( 1, 1). Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 9
15. a) ( x ) + (x + 1) x + x + 1 x b) ( x ) (x + 1) x x 1 5x 5 c) ( x )(x + 1) 6x x 1x 6x 1x 16. ( x + y) + (x 1y) 1 x + y + x 1y 1 x 8y 1 kun x ja y 1, saadaan 8 ( 1) 1 + 8 1 7 17. a) 5a (b + a) + ( 1a + 15b) + ( 10a) 6b 5a b a 1a + 15b 10a 6b 9a + 7b b) a( b + a) ( 7b + a)( b a) 1ab a (7b + 7ab ab a ) 1ab a 7b 7ab + ab + a a 7b + 8ab 18. a) (a a)(a 11a) 1a a 6a + a 1a 50a + a b) y( x + 5y) y( x + y) 6xy + 10y + xy y 7y xy 19. kummilapsi: 1 00 5 ( ) 1 kuulovammaiset nuoret: 1 00 75 ( ) 6 sisällissodan lapset: 1 00 100 ( ) diabetesliitto: 1 00 100 ( ) syöpähoidot: 00 (5 + 50 + 75 + 100) 50 ( ) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 0
10. a) 8 17 8 17 16 9 5 5 5 15 1 15 b) 8, käänteisluku 8 5 17 5, käänteisluku 5 17 8 : 5 17 17 ( 17) 8 5 8 5 51 0 11 1 0 11. korotus: 0,0 50 15,9 ( ) uusi vuokra: 50 + 15,9 55,90 ( ) yhdellä lausekkeella laskettuna: 1,0 50 55,90 ( ) Vastaus: Asunnon vuokra on 55,90. 00 1. 0,666... 7% 1500 Vastaus: Vaikuttavaa ainetta on 7 %. 1. osia yhteensä 1 + 1 tiivisteen osuus: 0,5 5% Vastaus: Tiivistettä on 5 %. 1. 1. alennus: 0,15 19,85 ( ) alennettu hinta: 19,85 186,15 ( ). alennus: 0,0 186,15,7 ( ) alennettu hinta: 186,15,7 18,7 18, ( ) yhdellä lausekkeella laskettuna: 0,85 0,98 19 18,7 18, ( ) Vastaus: Soittimesta joutuu maksamaan 18,. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
15. 199 001 kulta 0 000 15 000 platina 0 000 0 000 a) 0 000 15 000 5 000 0,... % 15 000 15 000 b) 0 000 0 000 10 000 0,5 5% 0 000 0 000 Vastaus: a) % enemmän b) 5 % vähemmän Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
Lausekkeesta yhtälöön Lineaarinen riippuvuus 16. a) 0 km b) 5 km c) 10 min Vastaus: a) Auto oli kulkenut 0 km. b) Auto kulki 5 km. c) Aikaa kului 10 min. 17. a) 000 b) 800 c) 7,5 vuoden kuluttua d) 000 Vastaus: a) Pääoma oli 000. b) Pääoma oli 800. c) 7,5 vuoden kuluttua. d) Pääoma kasvoi 000. 18. a),0 b) 7,0 c) 0,96 d) 1,0x e) y 1,0x 19. a) 70 f) b) 90 c) 10 d) (0,0x + 50) e) y 0,0x + 50 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
150. a) y 1,9x + 5,08 b) c) /kk d) m e) Suora leikkaa y-akselin perusmaksua vastaavassa kohdassa y 5,08. 151. a) y 0,70x + 5 000 b) 15. a) T(x) 110x c) b) K(x) 60x + 15 000 d) 110x 60x + 15 000 60x 50x 15 000 : 50 x 00 (kpl) e) 55 000 5 000 10 000 ( ) 15. a) f(5) 0 5 + 600 700 b) f(6) 0 6 + 600 70 c) f(7) 0 7 + 600 70 d) Funktion arvo kasvaa 0:llä. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
1 1 15. a) f + 6 5 b) f( 1) ( 1) + 6 8 c) 1 1 f + 6 7 d) Funktion arvo pienenee kahdella. 155. a) f(60) 0,06 60 + 6 9,60 Jos (soitettujen) puhelujen kesto on 60 minuuttia, kuukausimaksu on 9,60. b) f(0) 0,06 0 + 6 0,0 Jos (soitettujen) puhelujen kesto on 0 minuuttia, kuukausimaksu on 0,0. c) Perusmaksu saadaan, kun puheluiden kesto on 0 minuuttia. f(0) 0,06 0 + 6 6 ( ) Vastauksen 6 voi päätellä myös suoraan funktion f(x) lausekkeesta. d) a- ja c-kohtien perusteella 60 minuuttia puheluita lisää kuukausimaksua 156. 9,60 6,60 ( ). Yhden puheluminuutin hinta:,60 0,06 ( ) 60 Vastauksen 0,06 voi päätellä myös suoraan funktion f(x) lausekkeesta. 156. a) b) f(50) 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 5
c) f(80) 180 d) f(x) 100, kun x 0 157. a) f() 5 + 100 90 b) f() 5 + 100 85 c) f() 5 + 100 80 d) Funktion arvo pienenee viidellä. 158. a) 1 f ( ) 8, 5 b) 1 f ( ) ( ) 6, 5 c) 1 1 f 1 1 d) Funktion arvo kasvaa kolmella. 159. a) f() 150 + 100 950 Jos kilohinta on, kuukausimyynti on 950 kg. b) f(6) 150 6 + 100 500 Jos kilohinta on 6, kuukausimyynti on 500 kg. c) a- ja b-kohtien perusteella euron hinnanlisäys vähentää kuukausimyyntiä 950 500 50 (kg). Vähennys euroa kohti: 50 150 (kg) Myynti laskee 150 kg. Tämän voi päätellä myös suoraan funktion f(x) lausekkeesta. 160. a) 1 800 b) 7 00 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 6
c) 1 600 d) 0,18x e) f(x) 0,18x 161. f(x) 0,06x + 16. a) R(x) 10x + 500, T(x) 15x + 00 b) c) Kuukausipalkat ovat samat, kun kauppoja on tehty 0 kpl/kk. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 7
16. a) Jäsen f(x) 7x + 50 ja ei jäsen g(x) 10x b) c) 17 kertaa 16. a) T(x) 5x c) b) K(x) 18x + 500 c) noin 7 tuntia Yhtälö 165. a) x + 9 x 6 : x b) 8x + 5x + 17 8x 5x + 15 5x x 15 : x 5 166. a) 5x 8 + 5x 10 : 5 x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 8
b) 5x 1 x 5 + 1 5x x + 8 x x 8 : x 167. a) 8x 110 5x + 190 + 110 8x 5x + 00 5x x 00 : x 100 b) ( x) 5(x + ) + 1 x 5x 15 + 1 x 5x 1 + 5x + x 1 x 18 : x 6 168. a) x 5 + 10 5 x + 15 50 15 x 5 b) x x 1 x x 6 x x 6 : ( ) x 18 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 9
169. a) + 7x (1 + x) + 7x 1 x + 7x 1 x 7x x + x 8x : 8 x 8 b) (x ) 5 (x + 1) x 8 5 9x x 8 9x + 8 x 10 9x + 9x 11x 10 : 11 10 x 11 170. a) 0,x + 1,,8 + 0,x 1, 0,x,6 + 0,x 0,x 0,6x,6 : ( 0,6) x 6 b) x x 8 8 8 x 16 x + 16 x x + 16 x x 16 : x 8 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 0
171. a) x 1 x 6 +1 6 6x 6 6x 6 + 6 x x + 6 + x x + 8 x x 8 : x x x x b) 7 + x 5 15 15 0x 5x 5 15x 105 + 15x 15 10x 9x 105 + x 15x x 105 1x + 1x 15x 105 : 15 x 7 17. a) 1,x + 150 10 150 1,x 60 : 1, x 50 b) 1,x + 150 70 150 1,x 10 : 1, x 100 c) 1,x + 150 750 150 1,x 600 : 1, x 500 17. 5 + 5 1 1 epätosi Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
5 + 5 17 17 tosi 5 5 5 + 5 0 epätosi Vastaus: x 17. a) x + 8 1 8 x 1 b) 1 x 9 1 x : ( 1) x c) 7x 91 : 7 x 1 d) x 8 9 8 x 7 e) (x + 5) 0 x + 10 0 10 x 0 : x 10 10 + 6x 175. a) (x ) 6x 1 10 + 6x + 1 6x + 6x 6x 0 epätosi Yhtälöllä ei ole ratkaisua. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
b) x 1 (5x + ) (x + ) x 1 5x x 8 x 5 5 x + 5 x x + x 0 0 tosi Kaikki x:n arvot toteuttavat yhtälön. 176. a) x (x ) 5 + x x x + 5 + x x + 5 + x x + x x 0 epätosi Yhtälöllä ei ole ratkaisua. x 1 x + 1 b) x x x (x 1) (x +1) x x (x 1) x + 1 x x x + 1 x + 1 x x + 1 x + 1 1 x x + x x 0 : x 0 177. a) 5x (x ) 1 x 5x x + 6 1 x x + 6 1 x 6 x 5 x + x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
x 5 : x 5 1 b) x x + 5 6 1 1x 1x + 60 6 8 1x x + 10 x 8 15x 10 8 15x : ( 15) x 15 178. a) x + a 8a a x 6a : x a b) x a 6 + a x 6 + a : x 6 + a x + a c) 5x 5a 1x 6a + 5a 5x 1x 1a 1x 7x 1a : ( 7) x a 179. sijoitetaan x k( + ) 1 k ( 1) 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
k 1 1 1 k 1 180. a) x + 8 x 8 8 x x 16 x x 16 : ( ) x 8 b) 1x 10 x + 10 + 10 1x x + 0 x 10x 0 : 10 x c) 19 9x x + 9 x 19 10x 9 19 10x 10 : ( 10) x 1 181. a) 15 x 5 + 15 x sijoitetaan x 5 15 ( 5) + 15 ( 5) 5 0 5 + 15 15 1 15 epätosi x 5 ei ole yhtälön ratkaisu sijoitetaan x 5 15 5 5 + 15 5 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 5
0 +15 15 5 15 15 tosi x 5 toteuttaa yhtälön b) x x 10 sijoitetaan x 5 ( 5) ( 5) 10 ) 15 ) 10 10 5 0 10 6 6 5 10 epätosi 6 x 5 ei toteuta yhtälöä sijoitetaan x 5 5 5 10 ) 15 ) 10 5 6 10 0 10 6 5 10 epätosi 6 x 5 ei toteuta yhtälöä Kumpikaan arvo ei toteuta yhtälöä. c) (x + 1) x x + sijoitetaan x 5 ( 5 + 1) ( 5) 5 + ( ) + 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 6
1 + 10 tosi x 5 toteuttaa yhtälön sijoitetaan x 5 (5 + 1) 5 5 + 6 10 8 18 10 8 8 8 tosi x 5 toteuttaa yhtälön Molemmat arvot toteuttavat yhtälön. 18. a) (x 9) 5(11 x) 8x 6 55 5x + 6 8x 91 5x + 5x 1x 91 : 1 x 7 b) x (x + ) (x ) x x x + x x + x 7 x + x x 7 : x 7 1 c) 17p (18p ) p 17p 18p + p p + p p 1 p + p p 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 7
18. a) x 15 ( x) 5x 6 x 15 + x 5x 6 6x 8 5x 6 + 8 6x 5x + 5x x b) x (x 5) x + 1 x x + 10 x + 1 x + 10 x + 1 10 x 9 x x 9 : ( ) x c) 10 y (y + 0) 10 y y 60 + y 10 + y 60 + 10 y 50 : y 5 18. a) (x ) (5 x) (x + 1) x 5 + x x + x 8 x + + 8 x x + 10 x x 10 : x 5 b) x 7 x 7 + 7 x x x x 0 : x 0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 8
c) (x 5) x x + 15 x 15 x x + 15 x 15 x + 15 + 15 x x + 0 x 0 0 epätosi Yhtälöllä ei ole ratkaisua. 185. a) x x x (x ) 6 x (x ) 6 x x + 6 x + 6 x b) + x + x 1 1 1( + x) 1( + x) 1 ( + x) ( + x) 1 1 + x 9 x 1 + x 1 x 9 9z 5z 11 c) 5 (9z ) (5z 11) 0 9z (5z 11) 0 9z 5z + 11 0 z + 8 0 8 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 9
z 1 : z 186. a) x 5x 1 + + x 0 10 0x 10 + 0(5x 1) 0 + 0x x + 5(5x 1) 0 + 0x x + 5x 5 0 + 0x 7x 5 0 + 0x + 5 7x 5 + 0x 0x 7x 5 : 7 5 x 6 7 7 b) x + 1 x x 6 6(x + ) 6(1 x) 6x (x + ) (1 x) 6x x + 6 + x 6x 7x + 6x 7x 6x 6x x c) r 8 + r + r + r 60 8 8r 8 + 8r + 8r + 8r 80 r + r + r + 8r 80 15r 80 : 15 r Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 50
187. a) x + x x 1 (x + ) x x x + x x x + x x x x Yhtälöllä ei ole ratkaisua. b) x x 1 x (x 1) 0 epätosi 1 6 x (x 1) 6 x x + 1 6 x + 1 6 1 x 5 Yhtälöllä on yksi ratkaisu. c) (x + ) x x + x + 6 x x + x + x + x x x 0 0 tosi Kaikki x:n arvot toteuttavat yhtälön, joten ratkaisuja on ääretön määrä. 188. a) x + 6x x 6x 6x 5x : ( 5) x 5 0,8 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 51
b) (x ) 5 x 5x 10 x + 10 5x x + 10 x x 10 x 10,5 c) 7x x + 8 + 7x x + 1 x 6x 1 : 6 x 189. a) sijoitetaan x 8,8 + m(8 6,5) 5,6 b) sijoitetaan x 5 6k,8 + 1,5m 5,6,8 1,5m 1,8 : 1,8 m 1,8 1,5 1, k k 5 k 6 6 6(k 5) 6 6k k (k 5) 6k k k + 5 6k k + 5 6k 5 k 6k 5 6k 5k 5 : ( 5) k 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 5
Ongelmasta yhtälöksi 190. Merkitään palkan määrää x:llä. x 0,7x 1 600 0,7x 1 600 : 0,7 x 191,78 ( ) Vastaus: Palkan pitää olla 191,78. 191. Merkitään x:llä vuokraa ennen korotusta. 1,08x 61 : 1,08 x 575 ( ) Vastaus: Vuokra oli ennen korotusta 575. 19. Merkitään suurempaa osuutta x:llä. x + 0,8x 900 1,8x 900 : 1,8 x 500 ( ) Pienempi osuus on 0,8 500 00 ( ) Vastaus: Osuudet ovat 500 ja 00. 19. Merkitään kysyttyä lainan suuruutta x:llä. x 0,01x 00 15 000 0,99x 00 15 000 + 00 0,99x 15 00 : 0,99 x 15 5,5 15 5 ( ) Vastaus: Laina on 15 5. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 5
19. Merkitään Onnin osuutta x:llä. x + 1,5x + 0,75x 18 000 x 18 000 : x 6 000 Onni: 6 000 Voitto: 1,5 6 000 7 500 Toivo: 0,75 6 000 500 Vastaus: Onni saa 6 000, Voitto saa 7 500 ja Toivo saa 500. 195. Merkitään lisättävän veden määrää x:llä. suolan määrä: 0,1 5 l 0,7 l 0,06 (5 + x) 0,7 0, + 0,06x 0,7 0,06x 0, : 0,06 x 6,66... 6,7 (l) Vastaus: Vettä pitää lisätä 6,7 litraa. 196. Merkitään etikan määrää x:llä. Veden määrä on tällöin 8 x. Etikan määrän pitää olla alku- ja lopputilanteessa sama. 0,1x 0,0 8 0,1x 0, : 0,1 x, (l) Vettä käytetään 8, 5,6 (l) Vastaus: Etikkaa käytetään, litraa ja vettä 5,6 litraa. 197. Merkitään tarvittavan kivennäisveden määrää x:llä. 0,1 1,5 0,0 (1,5 + 0,5 + x) 0,18 0,0 ( + x) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 5
0,18 0,08 + 0,0x 0,0x 0,0x + 0,18 0,08 0,18 0,0x 0,1 : ( 0,0) 0,1 x,5 (l) 0,0 Vastaus: Kivennäisvettä lisätään 1,5 litraa. 198. a) 1 10 b) 1 c) f(5) 110 + 1 5 1 180 Kuukausipalkka on 1 180. d) Merkitään ylityötuntien määrää x:llä. 1 10 + 1x 1 00 110 1x 180 : 1 x 15 (h) Vastaus: a) Normaalityöajan palkka on 1 10. b) Ylityötunnilta saatava korvaus on 1. c) Kuukausipalkka on 1 180. d) Ylityötunteja tarvitaan 15 tuntia. 199. Merkitään lyhyemmän sivun pituutta x:llä. Pidemmän sivun pituus on x + 8. (x + 8) + (x + 8) + x + x 6 x 8 : x 1 lyhyempi sivu: 1 cm pidempi sivu: 1 cm + 8 cm 0 cm Vastaus: Suorakulmion sivut ovat 1 cm ja 0 cm. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 55
00. Merkitään puheaikaa minuutteina x:llä. a) + 0,10x 15 0,10x 11 : 0,10 x 110 (min) b) + 0,1x + 0,10x 0,10x 0,1x 0,10x 0,0x 1 : 0,0 x 50 (min) Vastaus: Puheaika on a) 110 min, b) 50 min. 01. Merkitään vohvelien määrää x:llä. 0 +,0x 60 0,x 10 :, x 60,8 61 (kpl) Vastaus: Vohveleita on myytävä 61 kpl. 0. Merkitään kuukausipalkkaa x:llä. x ( 1 x + 1 x + 1 x) 00 1 6 1x 6x x x 00 x 00 ( ) Vastaus: Kuukausipalkka on 00. 0. Merkitään lyhimmän osan pituutta x:llä. 6 m 600 cm 600 x + (x + 0) + (x + 0 + 0) + (x + 0 + 0 + 0) + (x + 0 + 0 + 0 + 0) 600 5x + 00 00 5x 00 : 5 x 80 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 56
Lyhimmän osan pituus on 80 cm. Muiden osien pituudet ovat 100 cm, 10 cm, 10 cm ja 160 cm. Vastaus: Metallitangon osat ovat 80 cm, 100 cm, 10 cm, 10 cm ja 160 cm. 0. Merkitään Teon osuutta x:llä. x + x + x 80 000 6 6x + 1x + 6x 80 000 6x + x + x 80 000 Teo: 6 9,08 1x 80 000 : 1 x 6 9,0769 6 9,08 Leo : 1 6 9,08 18 61,5 Lea : 6 9,08 615,8 Vastaus: Teo sai 6 9,08, Leo 18 61,5 ja Lea 615,8. 05. Merkitään kaikkien äänien määrää x:llä. 0,085x 1 77 : 0,085 1 77 x 0,085 x 156 00 Vastaus: Ääniä annettiin 156 00. 06. a) 800 kpl b) vähenee 00 kpl c) 600 kpl d) Merkitään viikkojen määrää x:llä. 800 00x 00 800 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 57
00x 00 : ( 00) x 1 (viikon) e) Merkitään viikkojen määrää x:llä. 800 00x 0 00x 800 : ( 00) x (viikkoa) Vastaus: a) Varaston koko on 800 kpl. b) Varasto vähenee 00 kpl. c) Varaston koko on 600 kpl. d) Varasto on puolittunut 1 viikon jälkeen. e) Varastoa riittää viikoksi. 07. x + x + 1,5x 10,5x 10 :,5 x x x 0 1,5x 1,5x 1,5 0 60 Vastaus: Kyljet 0 cm ja kanta 60 cm 08. Merkitään 60-prosenttisen alkoholin määrää x:llä. Varsinaisen alkoholin määrän tulee olla sama ennen sekoittamista ja sen jälkeen. 0,60x 0,16 0,60x 0, : 0,60 x 0,5 (l) 0,5 1,7 (l) Vastaus: 0,5 litraa alkoholia ja 1,7 vettä. 09. Merkitään x:llä 1 800 euron rajan ylittävää palkan osaa. (1800 + x) 0, 1 800 0,9x 1 800 1 0 0,9x 1 800 1 0 0,61x 96 : 0,61 x 69,180 69,18 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 58
1 800 + 69,18 9,18 Vastaus: Palkan tulisi olla 9,18. 10. Merkitään toiseksi sijoittuneen palkintosummaa x:llä. x + 1,5x + 0,x 1 000,9x 1 000 :,9 x 17,910 17,9 ( ). sija: 17,9 1. sija: 1,5 17,9 6 06,90. sija: 0, 17,9 1 655,17 Vastaus: Palkintosummat ovat 17,9, 6 06,90 ja 1 655,17. 11. Merkitään possujen määrää x:llä. Kanojen määrä on tällöin x. Muodostetaan jalkojen määrästä yhtälö. x + ( x) 9 x + 68 x 9 68 x : x 1 x 1 Vastaus: saparoja on 1 ja helttoja. 1. Merkitään ylityötuntien määrää x:llä. 7,5 1 0, 7,5 1 + 1x 0,6 1x 500 1,x + 99 500 99 1,x 101 : 1, x 7,5 Vastaus: 8 ylityötuntia viikossa Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 59
1. Merkitään pullapitkojen määrää x:llä.,0x 1,0x 0 60 + 0 1,9x 80 : 1,9 x,105,1 Vastaus: vähintään pullapitkoa 1. Merkitään 5-prosenttisen liuoksen määrää x:llä. 15-prosenttisen liuoksen määrä on tällöin 0 x. Varsinaisen lipeän määrät liuoksissa: 5-prosenttinen liuos: 0,5x 15-prosenttinen liuos: 0,15 (0 x) Määrän tulee olla sama ennen ja jälkeen sekoittamisen. 0,5x + 0,15 (0 x) 0,18 0 0,5x + 0,15x,6 0 x 0 6 1 0,1x 0,6 : 0,1 x 6 Vastaus: 6 litraa 5 %:n liuosta ja 1 litraa 15%:n liuosta 15. Merkitään vuotuista sähkönkulutusta kilowattitunteina x:llä. 1 1 + 0,08x 1 00 1 + 0,08x 1 00 1 0,08x 1 056 : 0,08 x 1 00 Vastaus: 1 00 kwh:n vuotuisella kulutuksella. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 60
Suhde ja verranto 16. a) b) c) dl 10 dl 1: 5 1 dl 1: 0 0 dl dl 5 dl : 5 17. Merkitään tiivisteen määrää x:llä. x + 6x,5 7x,5 : 7 x 0,571 0,6,5 0,6,1 Vastaus: Mehutiivistettä 0,6 litraa ja vettä,1 litraa. 18. Merkitään Janin korttien määrää x:llä. Jonin korttien määrä on tällöin 7x. x + 7x 788 11x 788 : 11 x 71,66 71,6 71,6 86, 7 71,6 501, Vastaus: Janille 87 ja Jonille 501 korttia. 19. Merkitään pienintä osaa x:llä. x + x + 9x 0 1x 0 : 1 x,8571,86,86 97,1 97,1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 61
9,86 18,57 18,57 Vastaus:,9, 97,1 ja 18,57 0. Merkitään pienimmän alueen kalkkimäärää 00x:llä. Muiden alueiden määrät ovat tällöin 600x ja 700x. 00x + 600x + 700x 10 00 0,0706 8, 8 600 0,0706,6 700 0,0706 9, 9 1700x 10 : 1700 Vastaus: 8 kg, kg ja 9 kg x 0,070588 0,0706 1. Merkitään pienimmän paketin kustannuksia 5x:llä. Muiden pakettien kustannukset ovat tällöin 1x ja 0x 5x + 1x + 0x 98 58x 98 : 58 5 1,6897 8,85 8,5 x 1,689655 1,6897 1 1,6897 1,9661 1,97 0 1,6897 67,588 67,59 Vastaus: 8,5, 1,97 ja 67,59 rahtikustannuksia.. a) x 6 9 x 6 9 x 5 : x 7 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 6
b) 9 x x 9 x 6 : x 1 c) 5 x 0 8 0x 5 8 0x 0 : 0 x 0 0 1 1. a) x 8 50 50x 8 50x : 50 x 50 0,6 b) 15 x 100 x 15 100 x 1 500 : x 75. Merkitään veden määrää x:llä. 1 l 10 dl 10 10 x x 100 x 5 (dl) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 6
5 dl,5 l Vastaus:,5 litraa vettä 5. Merkitään kysyttyä dollarimäärää x:llä 10 1000 15,60 x 10x 15,60 1 000 10x 15 600 : 10 x 1 80 Vastaus: 1 80 dollaria 6. a) x x + x (x + ) x x + x x : x b) x 1 x + 1 10 11 11(x 1) 10(x + 1) 11x 11 10x + 10 + 11 10x x 1 c) 8 7x 0 18 x 8(18 x) 7x 0 1 8x 80x + 8x 1 88x : 88 1 x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 6
7. Merkitään suolan määrää x:llä. Liuoksen yhteismäärä kilogrammoina on tällöin 0,x, koska litra vettä painaa yhden kilogramman. x 0, + x 6 100 100x 6(0, + x) 100x, + 6x 6x 9x, : 9 x 0,0551 0,055 (kg) 0,055 kg 5,5 g Vastaus: 5,5 grammaa suolaa 8. a) x 9 10 x 9 10 x 90 : x 0 b) 10 0 x x 10 0 x 00 : x 75 c),6 x 150 5 150x,6 5 150x 90 : 150 x 90 150 9. kananmunat: 1 x 0 0,6 5 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 65
1x 0 1x 60 : 1 x 5 sokeri ja perunajauhot: 1 1 x 0 1x 1 0 1x 0 : 1 x,5 vehnäjauhot: 1 x 0 1x 0 1x 90 : 1 x 7,5 leivinjauhe: 1 1 x 0 1x 1 0 1x 0 : 1 x,5 margariini: 5 1 x 0 1x 5 0 1x 750 : 1 x 6,5 Vastaus: 5 kananmunaa,,5 dl sokeria,,5 dl perunajauhoja, 7,5 rkl vehnäjauhoja,,5 tl leivinjauhetta ja 6,5 g margariinia tai voita. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 66
0. Merkitään pienemmän osan suuruutta x:llä. Isomman osan suuruus on tällöin x. x + x 6 000 5x 6 000 : 5 x 1 00 1 00 00 1 00 600 Vastaus: 00 ja 600 1. Merkitään kevyimmän osan painoa x:llä. Muiden osien painot ovat tällöin 5x ja 10x. x + 5x + 10x 800 16x 800 : 16 x 50 5 50 50 10 50 500 Vastaus: 50 g, 50 g ja 500 g. Vettä tarvitaan laimennuksessa seitsemän kertaa niin paljon kuin tiivistettä. a) 7 0,5 l,5 l,5 l + 0,5 l l Vastaus: pienemmästä litraa b) 7 0,95 l 6,65 l 6,65 l + 0,95 l 7,6 l Vastaus: suuremmasta 7,6 litraa. a) Merkitään shampoon määrää x:llä. 1 x 16 16x : 16 x 0,15 (l) 0,15 l 15 ml Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 67
b) Merkitään veden määrää x:llä. 1 7 16 x 1 x 16 7 x 7 568 7568 + 7 801 (ml) 8 01 ml 8,01 l Vastaus: a) Shampoota lisätään 15 ml. b) Pesunestettä saadaan noin 8 litraa.. Merkitään Karlin osuutta 500x:llä. Brorin osuus on tällöin 00x ja Henrikin osuus (1 000 500 00) x 6 00x 500x + 00x + 6 00x 8 000 1 000x 8 000 : 1 000 x,1666...,17 Osuudet voitosta saadaan sentin tarkkuudella käyttämällä välituloksesta laskimen antamaa tarkkuutta. 500,1666 7 916,666... 7 916,67 00,1666... 10 1,... 10 1, 6 00,1666... 19 950 Vastaus: Karl sai 7 916,67, Bror 10 1, ja Henrik 19 950 euroa. 5. a) 10x 6 5 10x 6 5 60x 75 : 60 x 1,5 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 68
b) 1 x (x ) 1 x + x 7 : x,5 c) x x + 6 x +1 x (x )(x ) (x + 6)(x + 1) x x x + 6 x + x + 6x + 6 x 5x + 6 x + 7x + 6 x 5x + 6 7x + 6 6 7x 1x 0 : ( 1) x 0 6. Merkitään pienemmän osan suuruutta x:llä. Isomman osan suuruus on tällöin 1,x x + 1,x 500,x 500 :, x 1 58,... 1 58, 500 1 58, 01,67 Vastaus: 1 58, ja 01,66 7. Erä kannattaa jakaa käänteisesti koko erän valmistamiseen kuluvien aikojen suhteessa. Merkitään nopeamman Pätkän osuutta 5x:llä. Hitaamman Pekan osuus on tällöin 5x. 5x + 5x 0 000 80x 0 000 : 80 x 50 5 50 11 50 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 69
5 50 8 750 Vastaus: Pätkä 11 50 ja Pekka 8 750 kuusenjalkaa. 8. Kun matka pysyy samana, siihen kulunut aika ja keskinopeus muuttuvat käänteisessä suhteessa. Merkitään ensimmäisen päivän aikaa 95x:llä. Toisen päivän aika on tällöin 10x. 95x + 10x 155 15x 155 : 15 x 0,7090... 0,709 (min) 95 0,709 68,855 68,9 (min) 10 0,709 86,508 86,51 (min) 68,9 min 1 h 8,9 min 1 h 8 min + 0,9 60 s 1h 8 min 9, s 86,51 min 1 h 6,51 min 1 h 6 min + 0,51 60 s 1 h 6 min 0,8 s Vastaus: 1. päivänä aikaa kului 1 h 8 min 9 s ja. päivänä 1 h 6 min 1 s. Verrannollisuus 9. Määrä (kg) Hinta ( ),5 1 x Hinta ja määrä ovat suoraan verrannolliset.,5 1 x,5x 1,5x 6 :,5 x 1, Vastaus: 1,0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 70
0. Määrä (g) Hinta ( ) 0 1,85 1 00 x Rajahinta saadaan suoraan verrannollisuuden perusteella. 0 1,85 100 x 0x 1,85 1 00 0x 0 : 0 x 10,0909... 10,09 Vastaus: 10,09 1. a) 5 1,5 6,65 6,6 b) 60 1,5 79,50 0 c) 15,09... 15,09 (l) 1,5 50 d) 7,758... 7,7 (l) 1,5 Tehtävän voi ratkaista myös suoraan verrannollisuuden perusteella. Vastaus: Bensiini maksaa a) 6,6, b) 79,50. Bensiiniä saa c) 15,09 litraa, d) 7,7 litraa.. Arvot saadaan suoraan verrannollisuuden perusteella. 10 5 x x 5 10 x 50 : x 5 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 71
10 y 10y 10y 8 : 10 y,8. Merkitään kysyttyä tuottoa x:llä. 7 8 500 x 000 8 500x 16 859 000 : 8 500 x 1 98,11... 1 98,1 Vastaus: 1 98,1. Merkitään Ullan viikkorahaa u:lla ja Kaarlon k:lla. Viikkoraha ( ) Ikä (v) u 1,70 9 k 7 u,70 1 9 9u,70 1 9u, : 9 u,6,70 k 9 7 9k,70 7 9k 18,9 : 9 k,1 Vastaus: Ulla saa viikkorahaa,60 ja Kaarlo,10. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 7
5. Kun määräraha on sama, sauvojen hinta ja määrä ovat kääntäen verrannolliset. 15 1 x 0 1x 15 0 1x 50 : 1 x 7,5 Jos yksittäisiä sauvoja ei osteta, x 7. 15 y 50 0 50y 15 0 50y 50 : 50 y 9 6. Aika (min) Nopeus (l/min) 50 10 x 190 Kun vesimäärä pysyy samana, pumpun nopeus ja tyhjentämiseen kuluva aika ovat kääntäen verrannolliset. 50 x 190 10 190x 50 10 190x 7 000 : 190 x 6,8... 7 Vastaus: 7 minuuttia Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 7
7. Opiskelijoiden määrä Kuluva aika (h) 8 1 5 x Urakkaan kuluva aika ja siihen osallistuvien opiskelijoiden määrä ovat kääntäen verrannolliset. 8 x 5 1 5x 1 8 5x 96 : 5 x 19, (h) Vastaus: noin 19 tuntia 8. Hinta ( /100g) Määrä (g) 0,80 600 0,9 x Kun viikkoraha on sama, karkkien määrä ja hinta ovat kääntäen verrannolliset. 0,80 x 0,9 600 0,9x 0,80 600 0,9x 80 : 0,9 x 979,59 980 Vastaus: Marketista saa karkkeja 980 g. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 7
9. a) 0 6 0x b) 0 6 0x 0x 50 : 0 x 17, 17, ( ) 0x 50 : 0 x 1 c) kääntäen verrannollisia Vastaus: Kustannus on a) 17,, b) 1. c) Matkustajien lukumäärä ja kustannus matkustajaa kohti ovat kääntäen verrannollisia. 50. a) suoraan b) kääntäen c) suoraan d) ei kumpikaan e) kääntäen f) ei kumpikaan 51. Merkitään Jutan osuutta 1,8x:llä. Juuson osuus on tällöin,x. 1,8x +,x 00 5x 00 : 5 x 0 1,8 0 7, 0 18 Vastaus: Jutta sai 7 ja Juuso 18. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 75
5. Euroa Puntaa 00 07 0 x Eurojen ja puntien määrä ovat suoraan verrannolliset. 00 07 0 x 00x 0 07 00x 86 90 : 00 x 89,8 Vastaus: 89,80 puntaa. 5. Merkitään kaikkien vastaajien määrää x:llä. 0,6x 785 : 0,6 x 1 706,51... 1 706,5 0,18 1 706,5 07,17 07 Vastaus: 07 vastaajaa 5. a) suoraan b) ei kumpikaan c) suoraan d) kääntäen 55. a) Kun nopeus on vakio, aika ja matka ovat suoraan verrannolliset. 0 x 5 10 5x 0 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 76
5x 00 : 5 x 96 (min) x 96 min 1 h 6 min h 10 min 10 min 0 5 10 y 0y 10 5 0y 50 : 0 y 16,5 (km) b) Kun matka on vakio, nopeus ja aika ovat kääntäen verrannolliset. 0 x 0 50 0x 0 50 0x 1 000 : 0 x 50 (km/h) 0 110 y 50 110y 0 50 110y 1 000 : 110 y 9,09 9 (min) 56. Kävelijän nopeus:,7 km 0min 0,09 km/min 1, km a) 1,... min 0,09 km/min b) 9 km 100 min 0,09 km/min Vastaus: a) 1 minuuttia b) 1 h 0 min Tehtävän voi ratkaista myös suoraan verrannollisuuden perusteella. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 77
57. Keskinopeus (km/h) Aika (min) 80 50 0 m 0 p 6 k Kun matka pysyy samana, keskinopeus ja aika ovat kääntäen verrannolliset. a) 80 m 0 50 0m 80 50 0m 000 : 0 m 1, 1 (min) b) 80 p 0 50 0p 80 50 0p 000 : 0 p 00 (min) c) 80 k 6 50 6k 80 50 6k 000 : 6 k 666,66 667 (min) Vastaus: a) Vastaus: h 1 min, b) Vastaus: h 0 min, c) 11 h 7 min 58. Öljyn osuus bensiinin määrästä 0,5 l 0,05,5% 10 l Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 78
a) 0,05 l 0,1 l b) Merkitään bensiinimääriä x:llä ja y:llä. 0,05x 1 : 0,05 x 0 0,05y : 0,05 y 160 Tehtävän voi ratkaista myös suoraan verrannollisuuden perusteella. Vastaus: a) Vastaus: 0,1 litraa öljyä b) 0 litraa ja 160 litraa 59. Koska menoille ei ole annettu mitään lukuarvoa, merkitään niitä kirjaimilla. Korko (%) Korkomenot ( ) 5 a 6 b Korkoprosentti ja korkomenot ovat suoraan verrannolliset. Muodostetaan verranto ja ratkaistaan siitä b. 5 a 6 b 5b 6a : 5 b 1,a Koron nousun jälkeiset menot ovat 10 % aiemmista menoista. Nousu on 10 % 100 % 0 %. Vastaus: 0 % 60. Hammasluku Pyörimisnopeus (kierrosta/min) 6 180 8 x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 79
Hammasluku ja pyörimisnopeus ovat kääntäen verrannolliset. 6 8 x 180 8x 6 180 8x 11 160 : 8 x 98,57 99 Vastaus: 99 kierrosta minuutissa Kertaustehtäviä 61. a) 1 x 19 11x 1 + 11x 10x 5 : 10 1 x 0,5 b) (6 1,1x) 1,7x 18,x 1,7x 18 1,7x 5x 0 : ( 5) x c) 8x (6 x) 5 (x 1) 8x 6 + x 5x 5 9x 6 5x 5 + 6 5x x 1 : 1 x 0,5 d) x + 7 x 5 5(x + 7) (x ) 5x + 5 x 1 5 x x 7 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 80
6. a) f( ) 1,5 ( ) + 6 1,5 b) f(5) 1,5 5 + 6 1,5 c) 1,5x + 6 0 6 1,5x 6 : 1,5 x d) y 1,5 0 + 6 6 6. x + (x +,9) + (x +,9) 16 x +,9 x +,9 x + 5,8 16 5,8 x 10, : x, +,9 6, x, Vastaus:, cm, 6, cm ja 6, cm 6. Merkitään Kaisan painoa x:llä. Matin paino on tällöin 1,5x ja Kallen 1,5x 8. x + 1,5x + (1,5x 8) 00 x 8 00 + 8 x 08 : x 5 1,5 5 78 1,5 5 8 70 Vastaus: Kaisa painoi 5 kg, Matti 78 kg ja Kalle 70 kg. 65. Paino (g) Hinta ( ) 50 1,60 x 5 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 81
Paino ja hinta ovat suoraan verrannolliset. 50 1,60 x 5 1,60x 50 5 1,60x 150 : 1,60 x 781,5 780 Vastaus: Makkaraa saa noin 780 g. 66. Keskinopeus (km/h) Aika (h) 90 6 70 a 100 m Kun matka pysyy samana, keskinopeus ja aika ovat kääntäen verrannolliset. a) 90 a 70 6 70a 90 6 70a 50 : 70 a 7,718 7,71 (h) 7,71 h 7 h + 0,71 60 min 7 h,8 min 7 h min b) 90 m 100 6 100m 90 6 100m 50 : 100 m 5, h 5, h 5 h + 0, 60 min 5 h min Vastaus: Matka kestää a) 7 h min b) 5 h min. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 8
Koska keskinopeus ja aika on annettu toisiaan vastaavissa yksiköissä, tehtävän voi ratkaista myös laskemalla ensin matkan pituuden 6 90 50 (km). 67. a) y 0x + 50 b) c) 7,5 kuutiota 68. Huoneistojen osuudet kustannuksista ovat 9x, 68x, 68x ja 115x. 9x + 68x + 68x + 115x 500 x 500 : x 68,51 68,5 Jotta osuudet saadaan sentin tarkkuudella oikein, välituloksena kannattaa käyttää laskimen antamaa tarkkuutta. 9 68,51 6 0,069 6 0, 1 68 68,51 658,891 658, 89 115 68,51 7 879,0087 7 879,01 A:n osuus: 6 0,1 B:n ja C:n osuus: 658,89 D:n osuus: 7 879,01 Vastaus: Huoneistoille tulleet maksut ovat 6 0,1, 658,89, 658,89 ja 7 879,01. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 8
69. Sivujen määrä Lukuaika (min) 66 95 76 66 696 x Sivujen määrä ja lukuaika ovat suoraan verrannolliset. 66 95 696 x 66x 696 95 66x 66 19 : 66 x 1 001,8181... 1 001,8 (min) 1001,8 1 001,8 min h 16,697 h 60 1001,8 min 16 60 min 1,8 min min Vastaus: Lukemiseen kuluu vielä 16 tuntia minuuttia. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 8
Toisen asteen yhtälö Toisen asteen polynomifunktio 70. a) x y 0,5x + 1 b) 0 1 0,5 1,15 0,5 1,15 1 1,5 1 1,5 1,5,15 1,5,15,5,15,5,15 71. Toisen asteen polynomifunktioita ovat g(x) ja h(x), koska niissä on x -termit. Muut eivät ole, koska f(x):ssä ei ole x -termiä, i(x):ssä x on jakajana ja j(x):ssä on x -termi. 7. a) f(x) x + x + 7 b) g(x) x c) h(x) x + 1 7. f(0) 0 + 0 f( ) ( ) + ( ) f(5) 5 + 5 5 f( 1 ) ( 1 ) + 1 7. a) f(1) 1 1 + 1 1 b) f( 10) ( 10) ( 10) + 1 111 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 85
1 1 1 c) f + 1 5 5 5 5) 5) 1 1 5 + 5 5 5 1 5 5 + 5 5 5 1 5 75. a) ( ) 16 Piste on kuvaajalla. b) 1 1 Piste ei ole kuvaajalla. 76. a) f( ) ( ) 16 b) f(6) 6 6 77. ƒ(x) ax + 1 ƒ() a + 1 a + 1 a + 1 1 1 a 1 : a Siis f(x) x + 1. ƒ(5) 5 + 1 5 + 1 76 78. Ratkaistaan ensin vakio k. ƒ(v) kv f(60) k 60 600k Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 86
600k 6 : 600 k 0,01 a) 0,01 80 6 (m) b) 0,01 100 100 (m) c) 0,01 10 1 (m) Vastaus: Jarrutusmatka on a) 6 m, b) 100 m ja c) 1 m. 79. a) x 0 ja x 5 b) ei nollakohtia c) x 0 d) x 80. a) x 1,0 tai x,0 b) f(),0 c) x, ja x 1, d) f( 1) 5,0 81. h(x) x x + a) h(1) 1 1 + 1 b) h( ) ( ) ( ) + 1 c) h() + 8. a) f(x) x x + 1 b) f( 1) ( 1) ( 1) + 1 6 f(0) 0 0 + 1 1 f(1) 1 1 + 1 f() + 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 87
f() + 1 c) f() 1, f(5) 6 d) x 0, ja x,7 8. x f(x) 0,6x + 1,7x (x, y) 0 f(0) 0,6 0 + 1,7 0 0 (0, 0) 0,5 f(0,5) 0,6 0,5 + 1,7 0,5 0,7 (0,5; 0,7) 1 f(1) 0,6 1 + 1,7 1 1,1 (1; 1,1) 1,5 f(1,5) 0,6 1,5 + 1,7 1,5 1, (1,5; 1,) f() 0,6 + 1,7 1 (, 1),5 f(,5) 0,6,5 + 1,7,5 0,5 (,5; 0,5) a) kyllä b) n. 1 1,5 m ennen estettä Vastaus: a) Hevonen ylittää esteen. b) Hevosen on ponnistettava n. 1 1,5 m ennen estettä. 8. Kuvassa kaikki a:n arvot ovat positiivisia. Kun a on pieni, paraabeli on laakea. Kun a on suuri, paraabeli on terävä. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 88
85. c:n arvon kasvattaminen nostaa paraabelia koordinaatistossa yhtä monta askelta ylöspäin, arvon pienentäminen vastaavasti laskee paraabelia. 86. Funktiot g(x) ja j(x) ovat toisen asteen polynomifunktioita, koska niissä on x -termit. h(x) on ensimmäisen asteen funktio, f(x) on neljännen asteen funktio ja i(x):ssä x on jakajana. 87. a) f(x) x + 10x 9 b) g(x) x + x + 10 g( 10) ( 10) + ( 10) + 10 100 88. g(x) x + 1 x g(0) 0 + 1 x 0 g( 1) ( 1) + 1 ( 1) 6 1 g(10) 10 + 1 10 98 g( 1 10 ) ( 1 10 ) + 1 1 10 8,98 89. a) f( ) ( ) + ( ) + 1 7 b) g(10) 0,5 10 + 0,5 10 1 6 90. a) x 0 f(0) 0 0 + 1 1 Vastaus: piste (0, 1) on kuvaajalla b) x 1 f(1) 1 1 + 1 Vastaus: piste (1, 0) ei ole kuvaajalla c) x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 89
f ( ) +1 9 + +1 8 9 + 6 9 + 9 9 9 5 9 Vastaus: piste (, ) on kuvaajalla 9 91. a) f( 1) 0, ( 1) +,7 b) x,6 tai x,6 f(,6) 0, (,6) + 0,97 1 f(,6) 0,,6 + 0,97 1 9. Kuvaajien piirtämistä varten on laskettava funktion arvoja eri x:n arvoilla. x f(x) x x + 1 f( ) ( ) ( ) + 1 1 f( ) ( ) ( ) + 1 7 1 f( 1) ( 1) ( 1) + 1 0 f(0) 0 1 + 1 1 1 f(1) 1 1 + 1 1 f() + 1 f() + 1 7 Kuvaaja ei leikkaa x-akselia. Funktiolla ei ole nollakohtia. 9. a) n. 155 m b) n. 1 m c) n. 0 m ja 10 m Vastaus: a) Lyönti on 155 m. b) Pallon korkeus on 1 m. c) Pallo on 0 m:n ja 10 m:n päässä lyöjästä. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 90
9. f() a 9a 9a : 9 a 9 Siis 9 f ( x) x. f(6) 9 6 6 16 9 95. a) 1 x x x 1 x b) A(x) x(1 x) c) A(0) 0 (1 0) 0 A(1) 1 (1 1) 10 A() (1 ) 16 A() (1 ) 18 A() (1 ) 16 A(5) 5 (1 5) 10 A(6) 6 (1 6) 0 96. Etäisyyden neliö tarkoittaa sen toista potenssia. Painovoima (N) Etäisyys (km) Etäisyys 15 00 6 70 6 70 x 6 70 + 15 6 85 6 85 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 91
15 00 x 6 85 6 70 6 85 x 15 00 6 70 : 6 85 15 00 670 x 685 x 15 18,666... 15 100 (N) Vastaus: Paino on 15 100 N. 97. p(x) x, A(x) x x x a) p(1) 1 p() 8 p() 1 p() 16 p(5) 5 0 A(1) 1 1 A() A() 9 A() 16 A(5) 5 5 b) x 10 : x,5 A(,5),5 6,5 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 9
98. a) x y 0,08x + x +,0 1,0 0,08 1,0 + 1,0 +,0,9,0 0,08,0 +,0 +,0,68,0 0,08,0 +,0 +,0,8,0 0,08,0 +,0 +,0,7 5,0 0,08 5,0 + 5,0 +,0 5 6,0 0,08 6,0 + 6,0 +,0 5,1 7,0 0,08 7,0 + 7,0 +,0 5,08 8,0 0,08 8,0 + 8,0 +,0,88 9,0 0,08 9,0 + 9,0 +,0,5 10,0 0,08 10,0 + 10,0 +,0 11,0 0,08 11,0 + 11,0 +,0, 1,0 0,08 1,0 + 1,0 +,0,8 1,0 0,08 1,0 + 1,0 +,0 1,8 1,0 0,08 1,0 + 1,0 +,0 0, 15,0 0,08 15,0 + 15,0 +,0 1 b) c) n. 1, m d) n. m e) n. 1,9 m tai 10,5 m Ratkaisukaava 99. a) x x + 6 0 a, b ja c 6 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 9
b) ( ) ± x ( ) ( 6) c) x ± 16 + 8 ± 6 ± 8 x + 8 1 tai x 8 Vastaus: x 1 tai x 1 00. a) x + x + 0 a 1, b ja c x ± 1 1 ± 16 1 ± ± x + 1 tai x Vastaus: x tai x 1 b) x + 8x x + 8x 0 a, b 8 ja c x 8 ± 8 ( ) x 8 ± 0 8 + 0 tai x Vastaus: x tai x 7 8 0 7 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 9
01. a) y + y + 1 0 a, b ja c 1 ± y ± 16 16 8 Vastaus: 1 1 y ± 0 8 1 b) 5x 1 x x 5x x 1 0 a 5, b ja c 1 ( ) ± ( ) ( 5) ( 1 x ) ( 5) ± 10 10 ± 6 10 Vastaus: ei ratkaisua 0. a) TAPA 1 10 000x 000x + 100 0 a 10 000, b 000 ja c 100 x ( 000) ( 000) 10 000 100 10 000 000 ± 0 0 000 TAPA 1 10 10 000x 000x + 100 0 : 100 100x 0x + 1 0 a 100, b 0 ja c 1 x ( 0) ± ( 0) 100 1 100 0 ± 0 00 1 10 Vastaus: x 1 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 95
b) 10t + t 10t t + 10t 0t t 0 a 0, b ja c t ( ) ± ( ) 0 ( ) 0 ± 56 0 ±16 0 t +16 0 tai t 16 0 Vastaus: t 1 tai t 10 0. a) x x + 1 x(x + 1) x x + 1 x x + x + x x + 1 0 1 x 1 : ( 1) x 1 Vastaus: x 1 b) 0,1x + 0,x 0,1 0,1x + 0,1 0,1x 0,1 0,1x + 0,1x 0, 0 TAPA 1 a 0,1, b 0,1 ja c 0, x 0,1± 0,1 0,1 ( 0,) 0,1 0,1± 0, 0, 0,1 + 0, 0, 0,1 0, 0, x 1 tai x 0, 0, 0, 0, TAPA 0,1x + 0,1x 0, 0 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 96
x + x 0 a 1, b 1 ja c x 1± 1 1 ( ) 1 1± 1+ 1 x 1tai x Vastaus: x 1 tai x 0. a) r 9 5 r (r 9) ( r) 5 r + 9r 0 0 r + 9r 0 0 a 1, b 9 ja c 0 9 ± r 9 ± (9) ( 1) ( 0) ( 1) 1 9 ± 1 9 + 1 9 1 r tai r 5 Vastaus: r tai r 5 b) 1 x x 8 x(x ) 1 8 9x 6x 8 8 9x 6x 8 0 a 9, b 6 ja c 8 ( 6) ± x ( 6) 9 ( 8) 9 6 ± 6 ± 18 18 18 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 97
6 + 18 1 6 18 1 x 1 tai x 18 18 18 18 Vastaus: 1 x tai x 1 05. a) TAPA 1 (ratkaisukaava) x 1 587 0 a, b 0 ja c 1587 x 0 ± 0 ( 1 587) ± 19 0 6 ±18 6 18 18 x tai x 6 6 TAPA b) TAPA 1 x 1 587 0 + 1 587 x 1 587 : x 59 x ± 59 x ± Vastaus: x tai x x + 81 0 a 1, b 0 ja c 81 x 0 ± 0 1 81 1 ei ratkaisua TAPA x + 81 0 81 ± x 81 aina epätosi, ei ratkaisua Vastaus: ei ratkaisua Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 98
06. a) x + x x + x + 15 x x 15 x 18 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a, b 0 ja c 18 x 0 ± 0 ( 18) ± 1 ±1 1 1 x tai x TAPA x 18 0 + 18 x 18 : x 9 x ± 9 x ± Vastaus: x tai x b) x(x + 10) 10x + 100 x + 10x 10x + 100 10x 100 x 100 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b 0 ja c 100 0 ± x 0 1 ( 100) 1 ± 00 ± 0 0 0 x 10 tai x 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 99
TAPA x 100 0 + 100 x 100 x ± 100 x ± 10 Vastaus: x 10 tai x 10 07. a) TAPA 1 (ratkaisukaava) z + z 0 a, b 1 ja c 0 z 1± 1 ( ) 0 ( ) 1± 1 6 1+ 1 1 1 z 0 tai x 6 6 TAPA z + z 0 z( z + 1) 0 1 z 0 tai z + 1 0 1 z 1 : ( ) 1 z 1 Vastaus: z 0 tai z 1 b) y + 5y 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b 5 ja c 0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 100
y 5 ± 5 1 0 1 5 ± 5 5 ± 5 5 + 5 5 5 y 0 tai y 5 TAPA y + 5y 0 y(y + 5) 0 y 0 tai y + 5 0 5 y 5 Vastaus: y 0 tai y 5 08. a) x x x x x 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b 1 ja c 0 x ( 1) ± ( 1) 1 0 1 1± 1 1± 1 1+ 1 1 1 x 1 tai x 0 TAPA x x 0 x(x 1) 0 x 0 tai x 1 0 +1 Vastaus: x 0 tai x 1 x 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 101
b) x + 7x + 1 1 + x + x x + x 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b ja c 0 x ± 1 0 1 ± 16 ± + 8 x 0 tai x TAPA x + x 0 x(x + ) 0 x 0 tai x + 0 x Vastaus: x 0 tai x 09. x + x + p 0 a) yhtälö toteutuu, kun x 0 0 + 0 + p 0 p 0 x + x + 0 0 a, b ja c 0 x ± 0 ± + 6 x 0 tai x 1 1 Vastaus: p 0, toinen ratkaisu on x 1 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 10
b) yhtälö toteutuu, kun x 1 ( 1) + ( 1) + p 0 + p 0 +1 1 + p 0 p 1 x + x + 1 0 a, b ja c 1 x ± 1 ± 1 ±1 + 1 1 1 x tai x 1 Vastaus: p 1, toinen ratkaisu on x 1 10. a) x + 9x + 5 0 a, b 9 ja c 5 x 9 ± 9 ( ) 5 ( ) 9 ± 11 9 ±11 9 + 11 1 9 11 x tai x 5 Vastaus: x 1 tai x 5 b) x x 108 0 a 1, b ja c 108 x ( ) ± ± 1 ( ) 1 ( 108) 1 ± 1 + 1 1 x 1 tai x 9 Vastaus: x 1 tai x 9 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 10
11. a) z z z + 10z 60 z 10z + 60 z 11z + 60 0 a 1, b 11 ja c 60 z ( 11) ± ( 11) 1 60 1 11± 119 Vastaus: ei ratkaisua b) x 100 0x + 0x 100 x + 0x 100 0 a 1, b 0 ja c 100 x 0 ± 0 ± 0 0 ( 1) ( 100) ( 1) 0 10 1. a) (x 6)(x 8) 0x 10 x 6x 8x + 8 0x 10 x 1x + 8 0x 10 + 0x + 10 x + 16x + 168 0 a 1, b 16 ja c 168 x 16 ± 16 1 168 1 16 ± 16 Vastaus: ei ratkaisua b) x 8x 1 x x x 1 ( 8x) x + 8x + 8x x 8x + 0 a, b 8 ja c x ( 8) ± ( 8) ( ) ( ) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 10
8 ± 100 6 8 ±10 6 8 + 10 8 10 x tai x 6 6 1 Vastaus: x tai x 1 1. x x(x + x + ) 1 0 x x x x 1 0 x ( ) ± ± 0 x x 1 0 a 1, b ja c 1 1 Vastaus: x 1 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) 1. a) z z z + z z z z z 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b ja c 0 z ( ) ± ( ) 1 0 1 ± + z tai z 0 TAPA z z 0 z(z ) 0 z 0 tai z 0 + Vastaus: z 0 tai z z Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 105
b) TAPA 1 (ratkaisukaava) x 5 0 a, b 0 ja c 5 x 0 ± ± 00 8 0 ( 5) ±0 8 0 1 0 x tai x 8 8 TAPA x 5 0 + 5 x 5 : x 5 1 x ± 5 5 x ± Vastaus: x 1 tai 1 15. a) TAPA 1 00 000x + 90 000x + 00 000 0 a 00 000, b 90 000 ja c 00 000 x 90 000 ± 90 000 00 000 00 000 00 000 90 000 ± 151 900 000 000 00 000 ei ratkaisua TAPA 00 000x + 90 000x + 00 000 0 : 10 000 0x + 9x + 0 0 a 0, b 9 ja c 0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 106
x 9 ± 9 0 0 0 9 ± 1 519 0 Vastaus: ei ratkaisua b) 0,000x 0,001x + 8 000 8 000 8 000 0,000x 0,001x 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 0,000, b 0,001 ja c 0 x ( 0,001) ± ( 0,001) 0,000 0 0,000 0,001± 0,000001 0,0006 0,001± 0,001 0,0006 0,001 + 0,001 1 0,001 0,001 x tai x 0 0,0006 0,0006 TAPA 0,000x 0,001x 0 x(0,000x 0,001) 0 x 0 tai 0,000x 0,001 0 + 0,001 0,000x 0,001 : 0,000 x 0,001 0,000 1 Vastaus: x 0 tai x 1 16. a) x(x + 1) + 100 x 1+ 00 x x + x + 100 x + 00 x 00 x 100 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a, b 0 ja c 100 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 107
x 0 ± 0 ( 100) ± 1 600 8 ±0 8 0 0 x 5 tai x 5 8 8 TAPA x 100 0 + 100 x 100 : x 5 x ± 5 x ±5 Vastaus: x 5 tai x 5 b) (y + 1) (y + 7) (y + 1)(y + 1) x + 1 y + 1y + 1y + 1 y + 1 y + y + 1 y + 1 y 1 y + y 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b ja c 0 ± y 1 0 1 ± 8 ± + y 0 tai y TAPA y + y 0 y(y + ) 0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 108
y 0 tai y + 0 y Vastaus: y 0 tai y 17. a) TAPA 1 (ratkaisukaava) x(x + 0,5) 0 x 0,5x 0 a 1, b 0,5 ja c 0 x ( 0,5) ± ( 0,5) ( 1) 0 ( 1) 0,5 ± 0,5 0,5 ± 0,5 0,5 + 0,5 0,5 0,5 x 0,5 tai x 0 TAPA x(x + 0,5) 0 x 0 tai x + 0,5 0 0,5 x 0,5 Vastaus: x 0 tai x 0,5 b) x(x + 0,5) 1 x 0,5x 1 0 a 1, b 0,5 ja c 1 x ( 0,5) ± x ( 0,5) ± ( 0,5) ( 1) ( 1) ( 1) ( 0,5) ( 1) ( 1) ( 1) 0,5 ±,75 Vastaus: ei ratkaisua Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 109
18. ax + 6x 1 1 ax + 6x 1 0 a a, b 6 ja c 1 x 6 ± 6 a ( 1) a Yhtälöllä on vain yksi ratkaisu, jos neliöjuurimerkin sisällä olevan lausekkeen arvo on nolla. 6 a ( 1) 0 676 + 5a 0 676 5a 676 : 5 a 1 Ratkaisukaavan käyttö edellyttää, että yhtälön toisen asteen termin kerroin a 0. Jos a 0, yhtälö on 1. asteen yhtälö, jolla on yksi ratkaisu. 6x 1 : 6 x 1 Vastaus: a 1 tai a 0 19. Ratkaistaan molemmat yhtälöt. Ensimmäisen yhtälön voisi ratkaista myös ilman ratkaisukaavaa. 5x 5 0 a 5, b 0 ja c 5 x 0 ± 0 5 ( 5) 5 ± 900 ± 70 10 10 x 7 tai x 7 x x 5 5 x x 5 0 a 1, b ja c 5 x ( ) ± x ± 1 ( ) 1 ( 5) 1 ±1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 110
+ 1 1 x 7 tai x 5 x 7 tai x 5 Vastaus: yhteinen juuri 7, toiset juuret 7 ja 5 0. x 5x 7x x + x 7x x x 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a, b ja c 0 x ( ) ± ( ) 0 ± 1 0 8 ± 8 + x 8 tai x 0 8 8 TAPA x x 0 x(x ) 0 x 0 tai x 0 + x : x 8 Vastaus: arvoilla x 8 ja x 0 Toisen asteen yhtälön sovelluksia 1. a) Piiri on 18 cm. x x Leveys on 18 x 9 x. b) x(9 x) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 111
c) x(9 x) 0 9x x 0 0 9x x 0 0 x + 9x 0 0 a 1, b 9 ja c 0 x 9 ± 9 ( 1) ( 0) ( 1) 9 ±1 x 9 + 1 tai x 9 1 x tai x 5 Kun x, 9 x 9 5. Kun x 5, 9 x 9 5. Vastaus: Suorakulmion mitat ovat cm ja 5 cm.. x(x + 5) 750 x + 5x 750 0 x a 1, b 5 ja c 750 x + 5 x 5 ± 5 1 ( 750) 1 5 ± 05 5 ± 55 x 5 + 55 tai x 5 55 x 5 tai x 0 ei käy toinen sivu: 5 + 5 0 Vastaus: pituus 5 cm ja leveys 0 cm Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 11
. (10 x)(15 x) 75 150 0x 0x + x 75 75 x 50x + 75 0 x 75 cm x 10 cm a, b 50 ja c 75 x ( 50) ± ( 50) 75 15 cm 50 ± 1 00 8 50 ± 6,06 8 x tai x 50 + 6,06 8 50 6,06 8 Vastaus: 1,7 cm 10,76 ei käy, koska tulos on liian suuri 1,7. ( + x)(7 + x) 7 10 1 + x + 1x + x 1 10 0 x + 18x 10 0 x x 7 m m a, b 18 ja c 10 x 18 ± 18 ( 10) 18 ± 8 8 18 ± 8 18 + 18 x tai x 8 8 x 1 tai x 5 ei käy Vastaus: 0,5 m Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 11
5. Ratkaistaan Pythagoraan lauseen avulla: a + b c x + (x + 5) 0 x + (x + 5)(x + 5) 00 x + x + 5x + 5x + 5 00 00 x + 10x 75 0 a, b 10 ja c 75 x x + 5 0 cm x 10 ± 10 ( 75) 10 ± 100 10 ± 55,68 10 + 55,68 10 55,68 x 11, tai x 16, ei käy toinen kateetti: 11, + 5 16, Vastaus: 11, cm ja 16, cm 6. a) pienempi: x yhtä suurempi: x + 1 b) x(x + 1) 110 c) x(x + 1) 110 110 x + x 110 0 a 1 b 1 c 110 x 1± 1 1 ( 110) 1 1± 1 1± 1 x 1+ 1 tai x 1 1 x 10 tai x 11 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 11
Yhtä suuremmat luvut ovat 11 ja 10 Vastaus: 10 ja 11 tai 11 ja 10 7. Merkitään pienempää luvuista x:llä, jolloin suurempi on x + 1. Luvun neliö on sen toinen potenssi. x + (x + 1) 85 x + (x + 1)(x + 1) 85 x + x + x + x + 1 85 85 x + x 8 0 a, b ja c 8 x ± ( 8) ± 676 ± 6 x + 6 tai x 6 x 6 tai x 7 Yhtä suuremmat kokonaisluvut ovat 7 ja 6. Vastaus: 6 ja 7 tai 7 ja 6 8. a) Kun pienempi parillinen luku on x, seuraava parillinen luku on x +. x(x + ) 6 6 x + x 6 0 a, b ja c 6 x ± ( 6) ± 10 000 8 ±100 8 x + 100 8 Tapaus x 1: 1 tai x 100 8 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 115
x 1 x + + 6 Tapaus x 1: x ( 1) 6 x + 6 + Vastaus: ja 6 tai 6 ja b) Kun pienempi kolmella jaollinen luku on x, sitä seuraava kolmella jaollinen luku on x +. x(x + ) 68 68 9x + 9x 68 0 a 9, b 9 ja c 68 x 9 ± 9 9 ( 68) 9 9 ± 09 18 9 ±15 18 x 9 +15 18 Tapaus x 8: x 8 tai x x + + 7 Tapaus x 9: x 7 x + 7 + 9 15 9 18 Vastaus: ja 7 tai 7 ja 9. a) TAPA 1 (ratkaisukaava) x 5 5 x 5 0 a 1, b 0 ja c 5 x 0 ± 0 1 ( 5) 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 116
± 0 x 0 tai x 0 TAPA x 5 x ± 5 x 5 tai x 5 Vastaus: x 0 5 tai x 0 5 b) TAPA 1 (ratkaisukaava) y + y y + y + 6 y y 6 y 6 0 a 1, b 0 ja c 6 0 ± y 0 1 ( 6) 1 ± y tai y TAPA y 6 0 y 6 y ± 6 y 6 tai y 6 Vastaus: y 6 tai y 6 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 117
0. a) x + x 1 0 a 1, b jac 1 x ± 1 ( 1) 1 ± 8 Vastaus: + 8 x tai x 8 b) s 6s + 6s + s + 6s + 0 a, b 6 ja c s 6 ± 6 6 ± 0 Vastaus: s 6 + 0 tai s 6 0 1. a) s s + 1 0 a, b ja c 1 s ( ) ± ( ) ( ) 1 ( ) ± 8 Vastaus: s + 8 tai s 8 b) x x 0 x 0 + x x 0 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a, b 0 ja c 0 0 ± x 0 ( 0) ± 66 6 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 118
66 x tai x 6 66 6 TAPA x 0 0 + 0 x 0 : x 101 x ± 101 x 101 tai x 101 Vastaus: x 66 66 101 tai x 6 6 101. Vuonna 1980 syntynyt henkilö on x vuotta vanha vuonna 1980 + x. x x 1980+ x x 1980 0 1980 x a 1, b 1 ja c 1980 ( 1) ± x 1± 791 1± 89 ( 1) 1 ( 1980) 1 1+ 89 1 89 x 5 tai x ei käy 1980 + 5 05 Vastaus: vuonna 05, jolloin hän on 5-vuotias. x (500 0x) 1 000 1 000 0x + 500x 1 000 0 a 0, b 500 ja c 1000 500 ± x 500 ( 0) ( 1000) ( 0) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 119
500 ± 170 000 0 500 + 1,1 500 1,1 x,195 tai x,80775 ei käy 0 0 Vastaus: Makkaran hinnaksi on pantava,0.. Nopeus (km/h) Nopeus Jarrutusmatka 50 50 8 x x 80 50 x 8 80 8x 50 80 8x 00 000 : 8 x 71,857... Ratkaistaan neliöjuurella. x 71,857... 8,51... 85 tai x 71,857... 8,51... 85 ei käy Yhtälön voi ratkaista myös ratkaisukaavalla. Vastaus: Auton voi arvioida liikkuneen vähintään nopeudella 85 km/h. 5. Merkitään x:llä korkokerrointa, joka esim. %:n korolle olisi 1,0. Talletusten arvot vuoden 009 alussa: 007: x x 1 000 1 000x ( ) 008: x 000 000x ( ) 1 000x + 000x 0,50 0,50 1 000x + 000x 0,50 0 a 1 000, b 000 ja c 0,50 x 000 ± 000 1000 ( 0,50) 1000 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 10
000 ± 16810 000 000 ± 100 x 000 000 000 + 100 000 100 x 1,05 tai x,05 ei käy 000 000 Korkokerroin on 1,05. Korko on 105 % 100 % 5 %. Vastaus: 5 %:n korko 6. x x + x(x + 1) x + x + x 7x + x 0 a 7, b ja c ± x 7 ( ) 7 ± 11 1 + 11 8 11 x tai x 1 ei käy 1 1 7 1 Vastaus: x 7 7. Merkitään ensimmäistä lukua x:llä. Sitä seuraava luku on x + 1. x(x + 1) 1 1 x + x 1 0 a 1, b 1 ja c 1 1 ± x 1 1 ( 1) 1 1± 59 1+ 1 x 11tai x 1 Yhtä suuremmat kokonaisluvut ovat 1 ja 11. Vastaus: 11 ja 1 tai 1 ja 11 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 11
1 8. Merkitään pellon pituutta x:llä. Leveys on tällöin x. 1 x 1 x x 7 500 x 500 x ± x ±150 500 1 leveys: 150 50 (m) x Ratkaistaan neliöjuurella. Negatiivinen vastaus ei käy Yhtälön voi ratkaista myös ratkaisukaavalla. Vastaus: Pellon leveys on 50 m. 9. Paino (N) Jään paksuus (cm) Paksuus 9 00 15 15 550 x x 9 00 15 550 x 9 00x 550 15 9 00x 1 750 : 9 00 x 1,06... x 1,06...,67...,6 tai x 1,06...,67...,6 Ratkaistaan neliöjuurella. Negatiivinen vastaus ei käy. Vastaus: Jään on oltava vähintään,6 cm paksu. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
0. Paino (N) Etäisyys (km) Etäisyys 85 6 70 6 70 8 x x Etäisyydet mitataan Maan keskipisteestä. 85 x 8 670 8x 85 6 70 : 8 x 0 7 10,9 Ratkaistaan neliöjuurella. x 0 7 10,9 681,7... 681,7 tai x 0 7 10,9 681,7... 681,7 Negatiivinen vastaus ei käy. Korkeus Maan pinnasta: 6 81,7 6 70 11,7 11 (km) Vastaus: Mittaus tehtiin 11 km:n korkeudella. 1. Vajan alkuperäinen pinta-ala on,5 m,0 m 10 m. Uusi pinta-ala on 0 m. Merkitään sivun pituuden lisäystä x:llä. x x,5 m (,5 + x)( + x) 0,0 m 10 +,5x + x + x 0 0 x + 6,5x 10 0 a 1, b 6,5 ja c 10 6,5 ± x 6,5 1 1 ( 10) 6,5 ± 8,5 6,5 ± 9,069 x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
x x 6,5 + 9,069 1,85 tai 6,5 9,069 7,785 Negatiivinen vastaus ei käy.,5 + 1,85,785,8 + 1,85 5,85 5, Vastaus: Pituus 5, m ja leveys,8 m.. Merkitään lämmittelyalueen leveyttä x:llä. Pelikentän pinta-ala on 16 m 0 m 60 m. x x x Pelikentän ja lämmittelyalueen yhteenlaskettu 16 m pinta-ala on 60 m 180 m. 0 m (0 + x)(16 + x) 180 x 60 + 80x + x + x 180 x + 11x 60 0 a, b 11 ja c 60 11 ± x 11 ( 60) 11 ± 78 11 ± 150,9 8 8 x 11 +150,9 8,8675 tai x 11 150,9,8675 8 Negatiivinen vastaus ei käy Vastaus: Lämmittelyalueen leveys on,9 m.. a) y 1y + 15 0 a, b 1 ja c 15 y ( 1) ± 1 + y ( 1) 15 1 tai y 1 ± Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
b) x 70 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a, b 0 ja c 70 x 0 ± 0 ( 70) ± 560 x 560 tai x 560 TAPA x 70 0 + 70 x 70 : x 5 x ± 5 x 5 tai x 5 1 + Vastaus: a) y 1 tai y 560 560 b) x 5 tai x 5. a) 5x 1x + 5x 1x + 0 a 5, b 1 ja c x ( 1) ± ( 1) 5 5 1± 81 10 x 1+ 81 10 tai x 1 81 10 b) x x (5 x) x x 10 x 10 + x x 10 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b 0 ja c 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 15
x 0 ± x ± 0 x 0 TAPA 0 1 ( 10) 1 tai x 0 x 10 0 + 10 x 10 x ± 10 x 10 tai x 10 Vastaus: a) x 1+ 81 10 tai x 1 81 10 0 0,b) x 10 tai x 10 5. a) y 5y 1 + 1 y 5y + 1 0 a, b 5 ja c 1 y ( 5) ± 5 ± 7 6 y 5 + 7 6 ( 5) ( ) 1 ( ) tai y 5 7 6 b) x 5 x + 5 0 a 1, b 5 ja c 5 x ( 5) ± ( 5) 1 5 1 5 ± 0 0 5 5 Vastaus: a) y 5 + 7 6 tai y 5 7 6, b) x 5 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 16
6. y v 0 t 1 gt Sijoitetaan lausekkeeseen v 6 ja g 9,81. 0 y 1 6t 9,81 t Pallon korkeus on pompun alussa ja lopussa 0 m. 6t 1 9,81 t 0 6t,905t 0,905t + 6t 0 Voidaan ratkaista joko ratkaisukaavalla tai tulon nollasäännöllä. TAPA 1 (ratkaisukaava) a,905, b 6 ja c 0 t 6 ± 6 ( 905) 0 (,905) 6 ± 6 9,81 6 + 6 t 0 tai t 9,81 6 6 1, 1, 9,81 TAPA 6t,905t 0 t(6,905t) 0 t 0 tai 6,905t 0 6,905t 6 : (,905) t 1, 1, Vastaus: Pallo on ilmassa 1, sekuntia 7. Etäisyys (m) Etäisyys Valaistusvoimakkuus (lx),5,5 00 x x 100 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 17
,5 x 100 00 100x,5 00 100x 675 : 100 x 6,75 Ratkaistaan neliöjuurella. x 6,75 6,06... 6,1 tai x 6,75 6,06... 6,1 Negatiivinen vastaus ei käy. Yhtälön voi ratkaista myös ratkaisukaavalla. Vastaus: Etäisyys on 6,1 metriä 8. Merkitään x:llä korkokerrointa, joka esim. %:n korolle olisi 1,0. Talletusten arvot, kun Pyry täyttää 18 vuotta 16-vuotiaana saatu: x x 1 600 1 600x ( ) 17-vuotiaana saatu: x 1 700 1 700x ( ) 18-vuotiaana saatu: 1 800 ( ) 1 600x + 1 700x + 1800 5 5 5 5 1 600x + 1 700x 55 0 a 1 600, b 1 700 ja c 55 1700 ± x 1700 1600 ( 55) 1600 1 700 ± 550000 1700 ± 50,80 00 00 1700 ± 50,80 1700 50,80 x 1,055 tai x,10775 00 00 Negatiivinen vastaus ei käy. Korkokerroin on 1,05. Korko on 10,5 % 100 %,5 % Vastaus:,5 %:n korko Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 18
Kertaustehtäviä 9. a) f(5) 5 5 00 ei ole nollakohta b) f( 15) ( 15) 5 0 on nollakohta 50. x f(x) x ( ) 1 ( 1) 1 0 0 0 1 1 1 x g(x) 1 x 1 ( ) 1 1 ( 1) 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 x h(x) x ( ) 8 1 ( 1) 0 0 0 1 1 8 51. a) f(0) 0 f() 0 f() 5 b) Nollakohdat ovat x ja x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 19
5. a) 0 m 1 m, x b) x( x) c) x + x x x f(x) x + x 0 0 + 0 0 1 1 + 1 + 0 + 5 + 6 5 5 + 5 70 6 6 + 6 7 7 7 + 7 70 8 8 + 8 6 9 9 + 9 5 10 10 + 10 0 11 11 + 11 1 1 + 1 0 5. f( ) 8, f( 1), f(0) 0, f(1) 1, f() 0, f() ja f() 8 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 10
Nollakohdat ovat x 0 ja x. 5. a) 10x + 19x 0 a 10, b 19 ja c x 19 ± 19 10 ( ) 10 19 ± 1 0 19 ± 1 0 x 19 ± 1 1 0 10 19 1 tai x 0 b) x 8x 6x + 8 0x 1 + 0x + 1 x + 16x + 60 0 a 1, b 16 ja c 60 x 16 ± 16 1 60 1 16 ± 16 16 ± 16 + 16 x 6 tai x 10 c) z z z + 10z + 60 z 10z 60 z 11z 60 0 a 1, b 11 ja c 16 z ( 11) ± ( 11) 1 ( 60) 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 11
11± 61 11±19 11+ 19 11 19 z 15 tai z 1 Vastaus: a) x tai x, b) x 6 tai x 10, c) z 15 tai z 10 55. a) 1 x + x + 0 a 1, b 1 ja c x 1± 1 1 1 1± 5 1 ei ratkaisua b) x (x + 8) x x 56 + x + 56 x + x + 56 0 a 1, b ja c 56 x ± 1 56 1 ± 0 16 Vastaus: a) Yhtälöllä ei ole ratkaisua. b) x 16 56. a) TAPA 1 (ratkaisukaavalla) x 8 0 a, b 0 ja c 8 x 0 ± ± 6 0 ( 8) ±8 8 8 x tai x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
TAPA x 8 0 + 8 x 8 : x x ± x ± b) TAPA 1 (ratkaisukaavalla) 9x 1 1 9x 1 0 a 9, b 0 ja c 1 x 0 ± ± 6 18 0 9 ( 1) 9 ±6 18 6 1 6 1 x tai x 18 18 TAPA 9x 1 : 9 1 x 9 x ± 1 9 1 x ± Vastaus: a) x tai x, b) x 1 tai x 1 57. a) TAPA 1 (ratkaisukaava) 8x + 0 a 8, b 0 ja c x 0 ± 0 8 8 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
± 6 16 ei ratkaisua TAPA 8x + 0 8x : 8 1 x aina epätosi, ei ratkaisua b) y(y 1) (9 y) y y 18 y 18 + y y 18 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a, b 0 ja c 19 y 0 ± ± 6 0 1 ( 9) 1 ±6 6 6 y tai y TAPA y 18 0 + 18 y 18 : y 9 y ± 9 y ± Vastaus: a) Yhtälöllä ei ole ratkaisua. b) y tai y 58. a) TAPA 1 (ratkaisukaava) x + 5x 0 a 1, b 5 ja c 0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
x 5 ± 5 1 0 1 5 ± 5 5 ± 5 5 + 5 5 5 x 0 tai x 5 TAPA x + 5x 0 x(x + 5) 0 x 0 tai x + 5 0 5 b) TAPA 1 (ratkaisukaava) x 5 x x 0 a, b ja c 0 x ( ) ± ( ) 0 x ± 16 6 ± 6 + 1 x 1 tai x 0 6 6 TAPA x x 0 x(x ) 0 x 0 tai x 0 + c) z(z 8) + (z + ) x : x 1 1 z 8z + z + z z 10z 0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 15
TAPA 1 (ratkaisukaava) a, b 10 ja c 0 z ( 10) ± ( 10) 0 10 ± 100 10 ±10 10 + 10 10 10 z 5 tai z 0 TAPA z 10z 0 z(z 10) 0 z 0 tai z 10 0 + 10 z 10 : z 5 Vastaus: a) x 0 tai x 5, b) x 1 1 tai x 0, c) z 5 tai z 0 59. Paraabeli sivuaa x-akselia, kun yhtälöllä x 6x + a 0 on vain yksi ratkaisu. Sijoitetaan ratkaisukaavaan yhtälön kertoimet. ( 6) ± x ( 6) a 6 ± 6 1a 6 Ratkaisuja on vain yksi, kun neliöjuurimerkin sisällä olevan lausekkeen arvo on nolla. 6 1a 0 6 1a 6 : ( 1) a 60. Merkitään luonnollista lukua x:llä. Seuraava luonnollinen luku on x + 1. Näiden neliöt ovat x ja (x + 1). x + (x + 1) 1 x + (x + 1)(x + 1) 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 16
x + x + x + x + 1 1 1 x + x 0 0 a, b ja c 0 ± ( 0) ± 6 ± 58 x + 58 58 x 1 tai x 15 15 ei ole luonnollinen luku, se ei käy. Vastaus: Luku on 1 ja sitä seuraava luku 15. 61. Merkitään lattian pituutta x:llä. Leveys on 0,75x. 0,75x x 8 0,75x 8 : 0,75 x 10 Ratkaistaan neliöjuurella. 0,75x x x 10,659..., tai x 10,659..., Negatiivinen vastaus ei käy. x, (m) 0,75x 0,75,66,95, (m) Vastaus: Lattian mitat ovat pituus, m ja leveys, m. 6. s 0,5v + 0,0v a) s 0,5 70 + 0,0 70 115,5 116 (m) b) 0,5v + 0,0v 60 60 0,0v + 0,5v 60 0 v 0,5 ± 0,5 0,0 ( 60) 0,0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 17
0,5 ±,865 0,5 ±,051 0,0 0,0 0,5 +,051 0,5,051 v 8,8775 50 tai v 61,775 60 ei käy 0,0 0,0 Vastaus: a) 116 m b) 50 km/h 6. Merkitään jokea vastaan kohtisuorien sivujen pituutta x x x:llä. Joen suuntaisen sivun 0 x pituus on tällöin 0 x. x(0 x) 000 0x x 000 000 x + 0x 000 0 a, b 0 ja c 000 0 ± x 0 ( ) ( 000) ( ) 0 ± 8900 0 ± 170 0 + 170 x 15 tai x 0 170 100 Toinen sivu: x 15 0 x 0 15 00 x 100 0 100 0 Vastaus: Alueen mitat ovat 15 m ja 00 m tai 100 m ja 0 m jokea vastaan kohtisuoran sivun pituus ensin mainittuna. 6. a) x 1 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b 0 ja c 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 18
0 ± x 0 1 ( 1) 1 ± 56 x 56 tai x 56 TAPA x 1 x 1 tai x 1 b) x + x 0 a 1, b 1 ja c x 1± 1 1 ( ) 1 1± 17 56 56 Vastaus: a) x 1 tai x 1, b) x 1+ 17 tai x 1 17 65. T 1 R 1 T R R 1 19 600 000 (km) T 1 1 (a) a) R 5 91 000 000 (km) T x (a) 1 x 19 600 000 x 591 000 000 19 600 000 5 91 000 000 591 000 000 x ± 5 91 000 000 19 600 000 x ± 8,55 ± 9 Negatiivinen vastaus ei käy. T 9 (a) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 19
b) R 1 000 000 (km) T x 1 x 19 600 000 1 000 000 1 000 000 x 1 000 000 19 600 000 x ± 1 000 000 19 600 000 x ±,606... ±,6 Negatiivinen vastaus ei käy. T,6 (a) Vastaus: a) 9 vuotta, b),6 vuotta Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 10
Harjoituskokeet Koe 1 1. a) x (x + 1) x x 1 x 1 b) (x )(x + ) x + x x 1 x + x 1 c) f( 5) ( 5) ( 5) 5 + 0 5 Vastaus: a) x 1 b) x + x 1 c) f( 5) 5. a) (x + 1) 5x + 11 x + 5x + 11 5x x 8 : ( ) x b) 7x + 7x 6 : 7 6 x 7 c) (x + ) 8x + 7 8x + 6 8x + 7 0 1 epätosi ei ratkaisua 6 8x Vastaus: a) x b) 6 x c) Yhtälöllä ei ole ratkaisua. 7. a) TAPA 1 0,050 1 60 8 1 60 + 8 1 7 0,05 1 7 60,7 1 7 + 60,7 1 78,7 ( ) TAPA 1,05 1,050 1 60 1 78,7 ( ) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 11
b) Alennus oli 79 50 9 ( ). 9 0.670... 7 % 79 Vastaus: a) Korotusten jälkeinen palkka on 1 78,7. b) Hintaa oli alennettu 7 %.. a) x + 5x 6 0 a 1, b 5 ja c 6 5 ± x 5 1 ( 6) 1 5 ± 9 5 ± 7 5 + 7 x 1 tai x 5 7 6 b) 7x x x + x x x 0 a, b 1 ja c ( 1) ± ( 1) ( ) x 1+ 5 1 5 x 1 tai x 6 6 6 Vastaus: a) x 1 tai x 6 b) x 1 tai 5. a) f(x),7 +1,x b) f(1),7 + 1, 1 1,50 ( ) c) Merkitään matkan pituutta x:llä.,7 +1,x 50,7 1, x 5, : 1, x 7,75 (km) 1± ( x 5 6 1± 5 6 Vastaus: a) f(x),7 +1,x b) Matka maksaa 1,50. c) Matkan pituus on 7,75 km. 6. a) Pakkaajien määrä Työn kesto (h) 8 6 x Pakkaajien määrä ja työn kesto ovat kääntäen verrannollisia. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
8 x 6 x 8 6 x 8 : x 1 Pakkaajia tarvitaan lisää 1 8. b) Pysähtymismatka (m) Nopeus (km/h) Nopeus 15 50 50 x 80 80 15 50 x 80 50 x 15 80 500 x 96 000 : 500 x 8, 8 (m) Vastaus: a) Pakkaajia tarvitaan lisää. b) Pysähtymismatka on 8 m. 7. x f(x) x + x + 1 1 f( 1) ( 1) + ( 1) + 1 0 f(0) 0 + 0 + 1 1 1 f(1) 1 + 1 + 1 f() + + 1 f() + + 1 1 f() + + 1 Vastaus: Nollakohdat ovat x 0, ja x,. 8. Merkitään lisättävän suolan määrää x:llä. Suolaliuoksessa on ennestään suolaa 0,10 10 1 (g). Lisäyksen jälkeen suolan määrä grammoina on 1 + x ja koko liuoksen määrä 10 + x. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
Suolan määrän tulee olla 8 % koko liuoksen määrästä. 1 + x 0,8(10 + x) 1 + x,6 + 0,8x 1 0,8x 0,7x 1,6 : 0,7 x 0 Vastaus: Suolaa tulee lisätä 0 g. 9. Merkitään x:llä navetan seinää vastaan kohtisuorassa olevien sivujen pituutta. Navetan suuntaisen sivun pituus on tällöin 0 x. x 0 x x x(0 x) 150 0x x 150 150 x + 0x 150 0 a, b 0 ja c 150 0 ± 0 ( ) ( 150) 0 ± 00 x ( ) 0 + 0 0 0 x 5 tai x 15 Lasketaan toisen sivun pituus. x 5: 0 x 0 5 0. x 15: 0 x 0 15 10. 0 ± 0 Vastaus: Mitat ovat 0 m ja 5 m tai 10 m ja 15 m navetan suuntainen sivu ensin mainittuna. Koe 1. a) x 1 x + 0 + 1 x x 1 : x 7 b) ) x + 5 5) x x 5x + 10 10 7x 10 c) g( ) 1 + ( ) 1 7x Vastaus: a) x 7 b) c) g( ) 1 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
. a) Torjuttuja laukauksia oli 1. 1 0,910... 91% b) Merkitään alkuperäistä hintaa x:llä. 100 % 15 % 85 % 0,85x 50,15 : 0,85 x 59 ( ) Vastaus: a) Maalivahti torjui 91 % laukauksista. b) Alkuperäinen hinta oli 59.. x 1 x + 6 a) p (x 1) + (x + 6) x + x + 1 6x + 10 b) A (x 1)(x + 6) x + 1x x 6 x + 11x 6 Vastaus: Piirin lauseke on 6x + 10 ja pinta-alan lauseke x + 11x 6.. a) f(50) 5 0,07 50 7,5 (l) b) Täytyy olettaa, että auton bensatankki on aluksi täynnä. f(0) 5 0,07 0 5 (l) Tuloksen voi myös päätellä suoraan funktion f(x) lausekkeesta. c) Merkitään matkaa x:llä. 5 0,07x 0 5 0,07x 5 : ( 0,07) x 6,85 60 (km) Vastaus: a) Polttoainetta on 7,5 litraa. b) Bensatankin tilavuus on 5 litraa. c) Täydellä tankillisella voi ajaa 60 km. 5. a) x 8x + 16 0 a 1, b 8 ja c 16 ( 8) ± x ( 8) 1 1 16 8 ± 0 8 ± 0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 15
b) x + x 6 + 6 x + x + 6 0 a, b 1 ja c 6 1± 1 ( ) 6 1± x ( ) 1+ 7 1 7 x 1,5 tai x Vastaus: a) x b) x 1,5 tai x 9 1± 7 6. x y x 5 0 y 0 5 5 1 y 1 5 y 5 1 x y x + 8 0 y 0 + 8 8 1 y 1 + 8 y + 8 0 Vastaus: x 1,9 7. Merkitään Joelin kuukausipalkkaa x:llä. Annan kuukausipalkka on tällöin 1,10x ja Miikan 0,95x. x + 1,10x + 0,95x 880,05x 880 :,05 x 1 600 1,10 1 600 1 760 0,95 1 600 1 50 Vastaus: Joelin kuukausipalkka on 1 600, Annan 1 760 ja Miikan 1 50. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 16