Luennot 22.09.-27.09.2017 1 / 54
Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 2 / 54
Välin mitta Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Käytämme n-ulotteisiksi välejä (tai laatikoita) I = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ] = {(x 1, x 2,..., x n ) R n a i x i b i kaikille i} missä a i b i. Välin I mitta on m(i) = n (b i a i ). i=1 Jos n = 1, niin m([a, b]) = b a on pituus. Jos n = 2 on kyseessä suorakaiteen pinta-ala. Jos n = 3 on kyseessä suorakulmaisen särmiön tilavuus. Kutsutaan lukua d(i) = ni=1 (b i a i ) 2 I halkaisijaksi. 3 / 54
Alasumma 1 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Olkoon I R n väli, ja f : I R rajoitettu funktio. Valitsemalla kutakin koordinaattia x i, i = 1, 2,..., n, kohti [a i, b i ] jaon D i (eli jakopisteitä x i0 = a i < x i1 < x i2 <... < x iki = b i ) saamme osavälien karteesisten tulojen I 1, I 2,..., I m kokoelman (m = i k i). I on osavälien I i unioni. Osavälien sisäosat eivät leikkaa toisiaan, eli leikkauksiin kuuluvat pisteet ovat välien reunoilla. Kutsutaan myös kokoelmaa P = {I i i = 1, 2,..., m} I jaoksi. Kullakin osavälillä I i funktiolla f on infimum m i := inf{f(x) x I i }. Voidaan muodostaa funktion f alasumma jaon P suhteen: s P (f) = m m i m(i i ). i=1 4 / 54
Alasumma 2 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Vasemmanpuoleisen kuvan funktion eräs alasumma saadaan oikeanpuoleisen kuvan pylväiden yhteenlaskettuna mittana. 5 / 54
Yläsumma 1 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Vastaavasti koska funktiolla f on jokaisella jaon P osavälillä I i myös supremum M i := sup{f(x) x I i } saamme yläsumman m S P (f) = M i m(i i ). Selvästi aina i=1 S P (f) s P (f), ja erotus S P (f) s P (f) voidaan visualisoida (tapauksessa n = 2) kuvaajan alle jäävien, ja sen nipin napin ylittävien pylväiden "erotuslaatikoiden"mittojen m(i i )[M i m i ] summana. 6 / 54
Yläsumma 2 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 7 / 54
Tihennys 1 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Voimme Analyysi II:n tapaan tihentää jakoja (joidenkin tai kaikkien koordinaattien suhteen) lisäämällä jakoihin D i lisää jakopisteitä. Kutsumme myös tälla tavalla saatua I jakoa P jaon P tihennykseksi. Kuten yhden muuttujan tapauksessakin tihennyksessä yläsumma pienenee ja alasumma kasvaa: s P (f) s P (f) S P (f) S P (f). Ylä- ja alasumman erotus siis pienee tihennykseen siirryttäessä S P (f) s P (f) S P (f) s P (f). 8 / 54
Tihennys 2 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 9 / 54
Integroituvuus Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Kuten yhden muuttujan funktionkin tapauksessa: Kun jakoa tihennetään, yläsumma pienenee ja alasumma kasvaa (ei välttämättä aidosti). Kahdella eri jaolla on yhteinen tihennys. Mikä tahansa yläsumma mikä tahansa alasumma. Voidaan määritellä ylä- ja alaintegraalit (yläsummien infimum, alasummien supremum). Integroituvuus ylä- ja alaintegraalit yhtyvät. Eli kutakin ε > 0 kohti löytyy sellainen jako P = P(ε), että S P (f) s P (f) < ε. Eli on olemassa jono jakoja P 1, P 2,..., joille lim k S Pk (f) s Pk (f) = 0. Integraalista käytetään merkintöjä f ja f(x 1, x 2,..., x n ) dx 1 dx 2 dx n. I I 10 / 54
Jatkuva 1 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Luonnollinen ensimmäinen tavoite on perustella, miksi jatkuva funktio on integroituva yli kompaktin myös useamman muuttujan funktion tapauksessa. Kerrataanpa Analyysi II:sta tältä osin. 11 / 54
Jatkuva 2 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Jos f : [a, b] R on jatkuva, niin todistettiin, että kutakin lukua ε > 0 kohti löytyy sellainen väliin [a, b] jako, jonka kussakin osavälissä sup f inf f = G i g i < ε. Eli edellisen kalvon kuvassa kaikkien pinkkien laatikoiden korkeus < ε. Tällöin ylä- ja alasumman erotus on ε(b a), joten S P s P 0, kun ε 0. Integroituvuus seuraa tästä. Tässä b a = [a, b] mitta. Vaaditussa jaossa osaväli on sitä lyhyempi, mitä nopeammin funktion arvo siinä muuttuu. Vaaditun jaon olemassaolo ei ollut selvää. Harjulehdon kirja käyttää tasaista jatkuvuutta sen perustelemiseksi Lahtosen monisteessa se todistettiin erikseen. Se, että kyseessä on suljettu väli oli oleellista (kompaktisuus). 12 / 54
Jatkuva 3 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Tämä yleistyy vektorimuuttujan funktiolle seuraavalla tavalla. Lemma. Olkoon I R n kompakti väli, ja olkoon f : I R rajoitettu funktio, jolla on seuraava ominaisuus. Mielivaltaista lukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen I jako, että kullakin I i, i = 1,..., m, on voimassa inf{f( x) x I i } > sup{f( x) x I i } ε. Tällöin funktio f on Riemann-integroituva yli I. Huom. Siis M i m i > M i ε kaikille i = 1, 2,..., m. 13 / 54
Jatkuva 4 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Todistus. Kiinnitetään ε > 0. Määritellään ε = ε/m(i), jolloin ε > 0. Oletuksen perusteella on siis olemassa sellainen jako P = P(ε ), että jaon P kaikilla osaväleillä I i, i = 1,..., s, epäyhtälö m i > M i ε ( ) on voimassa. Kertomalla ( ) puolittain osa mitalla saadaan epäyhtälö m i m(i i ) M i m(i i ) ε m(i i ). 14 / 54
Jatkuva 5 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Laskemalla yhteen nämä eri osavälien kontribuutiot saadaan epäyhtälö s m i m(i i ) i=1 s M i m(i i ) ε i=1 s m(i i ). i=1 ( ) Sen vasemmalla puolella on alasumma s P (f). Oikean puolen ensimmäinen termi on yläsumma S P (f). Koska mitta on jaon osavälien mittojen summa, oikean puolen jälkimmäinen termi on ε m(i) = ε. Näin ollen epäyhtälöstä ( ) seuraa S P s P S P ε, mikä on juurikin integroituvuusehto. MOT 15 / 54
Jatkuva 6 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Seuraus. Kompaktissa välissä I R n jatkuva funktio f : I R on Riemann-integroituva yli tämän. Todistus. Kiinnitetään ε > 0. Monisteen Lause 1.25. kertoo, että on olemassa sellainen δ > 0, jolle f( x) f( y) < ε aina, kun pisteet x, y I toteuttavat epäyhtälön x y < δ. Valitaan sitten jokin sellainen I jako P, jolle jokaisen osa halkaisija on < δ (esim. n-kuutioita, joiden sivun pituus < δ/n). Tällöin nähdään, että Lemman oletukset toteutuvat, ja väite seuraa. MOT 16 / 54
integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 17 / 54
integraali 1 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 Jos funktio f(x, y) on jatkuva välillä I = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ], niin voimme muodostaa sen iteroidut integraalit b1 x=a 1 ( b2 y=a 2 f(x, y) dy ) dx. Tässä lasketaan ensin sisempi integraali (ks. kuva seur. kalvolla) A 1 (x) = b2 ja sen jälkeen ulompi integraali I = b1 y=a 2 f(x, y) dy x=a 1 A 1 (x) dx. 18 / 54
integraali 2 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 Sisäintegraalin arvo A 1 (x 0 ) on integraalin tilavuustulkinnassa kappaleen ja tason x = x 0 leikkauksen pinta-ala (oranssi) 19 / 54
integraali 3 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 Voimme muodostaa myös iteroidun integraalin b2 y=a 2 ( b1 x=a 1 f(x, y) dx Tässä lasketaan ensin sisempi integraali A 2 (y) = b1 ja sen jälkeen ulompi integraali I = b2 ) x=a 1 f(x, y) dx y=a 2 A 2 (y) dy. dy. 20 / 54
integraali 4 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 Sisäintegraalin arvo A 2 (y 0 ) on integraalin tilavuustulkinnassa kappaleen ja tason y = y 0 leikkauksen pinta-ala (violetti) 21 / 54
integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 Lause.(Fubini) Jos f(x, y) on jatkuva välissä I = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ], niin I f = = b1 x=a 1 b2 y=a 2 ( ) b2 f(x, y) dy dx y=a 2 ( ) b1 f(x, y) dx dy. x=a 1 Kumpi tahansa iteroiduista integraaleista antaa siis integraalin I f arvon. 22 / 54
Perustelu... integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 Integraali I f laskee xy-tason ja funktion f kuvaajapinnan välissä olevan kappaleen tilavuuden laskemalla yhteen pylväitä, joiden korkeus on h = f(x, y) ja pohjan ala A = dx dy, V = ah. integraali b 1 b2 x=a 1 y=a 2 f(x, y) dy dx laskee saman tilavuuden laskemalla yhteen siivuja, joiden poikkileikkausala on A 1 (x) ja paksuus dx (ks. seur. kalvo) Toinen iteroitu integraali laskee yhteen siivuja, joiden poikkileikkausala on A 2 (y) ja paksuus dy (ks. seur. kalvo) Hieman tarkempi perustelu saadaan toteamalla, että yhteen siivuun kuuluvien pylväiden alasumma on pienempi kuin poikkileikkausfunktion alasummaan ko. osa tuottama kontribuutio. Vastaavasti yläsummille. Koska I f on olemassa, niin Sandwich-periaate antaa tuloksen. 23 / 54
...kuvina integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 24 / 54
Huomautuksia integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 Sisempi ja ulompi integraali ovat molemmat tavallisia yhden muuttujan integraaleja, joten niiden laskemiseen on käytössä kaikki aiempien kurssien menetelmät. Sisäintegraalin arvo riippuu ulomman integraalin muuttujasta, mutta sisäintegraalia laskettaessa tätä muuttujaa pidetään vakiona (vrt. osittaisderivointi). esta on olemassa versiot integraalille yli korkeampiulotteisen. Muuttujat integroidaan jossakin valitussa järjestyksessä. Sisempiä integraaleja laskettaessa pidetään ulompia integroimismuuttujia vakioina. 25 / 54
Esimerkki 4.A1 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 Tehtävä: Olkoon I = [0, 1] [0, 1]. Osoita laskemalla, että kumpikin iteroitu integraali antaa saman arvon integraalille I = (xy + x 2 ) dx dy. I Ratkaisu: Integroimalle ensin y:n ja sitten x:n suhteen saadaan 1 ( 1 ) I = (x 2 + xy) dy dx = x=0 1 x=0 y=0 ( x 2 + x 2 = 1 3 + 1 4 = 7 12. ) dx = 1 x=0 ( x 3 3 + x2 4 ) 26 / 54
Esimerkki 4.A2 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 Jos taas integroidaan ensin x:n ja sitten y:n suhteen saadaan I = = = 1 y=0 1 ( 1 x=0 ( 1 y=0 3 + y ) dy 2 ( ) 1 y 3 + y2 4 y=0 = 1 3 + 1 4 = 7 12. ) (x 2 + xy) dx dy 27 / 54
Esimerkki 4.B1 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 Tehtävä: Laske funktion f(x, y) = e x2 sin y [0, 2π] [0, 2π]. Ratkaisu: Jos yritämme ensin integroida muuttujan x suhteen joudumme vaikeuksiin, sillä sisäintegraalissa joudumme laskemaan määrätyn integraalin 2π x=0 e x2 dx, eikä funktion e x2 määräämätöntä integraalia voida lausua alkeisfunktioiden avulla. 28 / 54
Esimerkki 4.B2 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 Sitä vastoin, jos integroimme ensin muuttujan y suhteen, ongelmamme ratkeaa! I = = = = 2π x=0 2π x=0 2π x=0 2π x=0 ( 2π y=0 e x2 ( 2π e x2 2π y=0 ) e x2 sin y dy y=0 ) sin y dy ( cos y) dx e x2 0 dx = 0. dx dx 29 / 54
Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina 30 / 54
Integroimisalue Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Usean muuttujan funktion integraaleilla on useita sellaisia sovelluksia, joissa halutaan integroida yli sellaisen A R n, joka EI ole väli. Jos kuitenkin A I, I kompakti väli, niin määritellään seuraavasti. Määritellään funktio f A,I : I R f A,I ( x) = { f( x), jos x A, ja 0, jos x / A. Jos tällöiin funktio f A,I on integroituva yli I, niin sanotaan, että f on integroituva ylin A:n, ja määritellään f = f A,I. 31 / 54 A I
Geometrinen tulkinta Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina f aiemman esimerkin funktio. A neliön I = [0, 1] [0, 1] ja kiekon {(x, y) x 2 + y 2 1} leikkausjoukko. Funktion f A,I kuvaajapinta ohessa (mittakaavaa lytistetty z-suunnassa). 32 / 54
Olemassaolo Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Onko tällainen integraali olemassa? Kuvan perusteella näemme heti, että tyypillisesti funktio f A,I ei ole kaikkialla jatkuva, vaikka f olisikin. Tähän pulmaan paneudumme joksikin aikaa (vaikkemme aivan riittävällä tarkkuudella). Haluamme ehkä sallia f:lle epäjatkuvuuden jossakin. Analyysi II:ssa näimme, ettei yksittäinen epäjatkuvuuskohta haittaa. Ongelmia tulee ainakin alueen A reunalla = epäjatkuvuuskohtia voi nyt olla äärettömän monta. Epäjatkuvuus on kuitenkin rajattu pieneen osajoukkoon (tyypillisesti juuri reunalle). 33 / 54
Nollajoukko Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Sanotaan, että joukko N R n on (Jordanin) nollajoukko, jos jokaista lukua ε > 0 kohti löytyy sellainen luonnollinen luku p ja sellaiset avoimet välit I 0, I 1, I 2,..., I p, että i) N ii) 34 / 54 p i=0 I i, ja p m(i i ) < ε. i=0
Esimerkki 4.C1 Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Osoitetaan, että jana on nollajoukko. L = {(x, x) R 2 0 x 1} Ratkaisu: Valitaan ε > 0. Olkoon p > 0 kokonaisluku. Olkoot I i = ((i 1)/p, (i + 1)/p) ((i 1)/p, (i + 1)/p), i = 0, 1,..., p. Tällöin selvästi L p i=0 I i. Koska I i on avoin neliö, jonka sivun pituus on 2/p, niin m(i i ) = 4/p 2. Näin ollen p i=0 m(i i ) = (p + 1) 4 2 4(p + 1) = p2 p < 8p p 2 = 8 p. 35 / 54
Esimerkki 4.C2 Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Kunhan p valitaan siten, että p > 8/ε, niin vaatimus peittävien välien yhteenlasketusta mitasta toteutuu. 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 36 / 54
Yleistys 1 Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Lause. Oletetaan, että I R n on kompakti väli, ja f : I R on jatkuva funktio. Tällöin sen kuvaaja G f = {( x, f( x)) R n R = R n+1 x I} on avaruuden R n+1 nollajoukko (huom. dimensio kasvoi yhdellä). Todistus. Kiinnitetään ε > 0. Kuten aiemmin, nähdään että on olemassa I sellainen jako, että kullakin osavälillä I i funktion f arvot poikkeavat toisistaan < ε. Olkoot jälleen m i = inf{f( x) x I i } ja M i = sup{f( x) x I i }, jolloin siis M i m i < ε. 37 / 54
Yleistys 2 Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Tällöin kuvaaja G f i I i [m i, M i ], ja välien I i [m i, M i ] yhteenlaskettu mitta on ( ) m(i i )(M i m i ) ε m(i i ) = ε m(i). i Lihavoittamalla välejä I i [m i, M i ] voidaan ne korvata avoimilla väleillä joiden yhteenlaskettu mitta on < 2ε m(i). Tämä saadaan mielivaltaisen pieneksi ja väite seuraa. MOT Huomautus. Koska nolla osajoukko on aina nollajoukko, tässä voidaan väli I i korvata jollakin sen osajoukolla. i 38 / 54
Esimerkki 4.D Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Tehtävä: Osoita, että yksikköympyrä S = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1} on tason R 2 nollajoukko. Ratkaisu: Ylempi puoliympyrä on suljetulla välillä [ 1, 1] jatkuvan funktion y = 1 x 2 kuvaaja, joten se on Lauseemme nojalla nollajoukko. Alempi puoliympyrä on vastaavasti jatkuvan funktion y = 1 x 2 kuvaajana nollajoukko. Koko ympyrä on näiden unioni, joten se on Esimerkin C tuloksen nojalla nollajoukko. 39 / 54
Integroituvuus 1 Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Motiivina nollajoukkojen tarkasteluun meillä on ollut seuraava tulos. Lause. Oletetaan, että kompaktissa välissä I määritellyn rajoitetun funktion f : I R epäjatkuvuuspisteet muodostavat nolla. Tällöin f on integroituva yli I. Idea tässä on sama kuin Analyysi II:ssa, jossa saatoimme sallia rajoitetulle funktiolle yhden (tai induktiolla äärelllisen monen) epäjatkuvuuskohdan välillä [a, b]. Siellä peitimme epäjatkuvuuskohdan lyhyellä välillä. 40 / 54
Integroituvuus 2 Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Suljetulla välillä [a, b] rajoitettu funktio, jolla on vain yksi epäjatkuvuuskohta c [a, b], on integroituva yli tämän. 41 / 54
Integroituvuus 3 Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Näin se meni: Kiinnitetään ε > 0 ja tuotetaan jako, jolla ylä- ja alasummien erotus < ε. Ylä- ja alasummien erotus (=pinkki alue) muodostuu kolmesta osasta, kukin < ε/3. Soiro (c δ, c + δ) [ M, M] pisteen c ympärillä: Korkeus 2M (M on f(x) :n yläraja), leveys 2δ < ε/6m. f jatkuva välillä [a, c δ], joten ko. välillä jako, jossa yläja alasummien erotus < ǫ/3. f jatkuva välillä [c + δ, b], joten ko. välillä jako, jossa yläja alasummien erotus < ǫ/3. "(< ε/3) + (< ε/3) + (< 2M (ε/6m)) < ε." MOT 42 / 54
Integroituvuus 4 Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Mitä muutoksia tähän todistukseen tarvitaan moniulotteisessa tilanteessamme? Tavoitteena on edelleen tuottaa jako, jolle ylä- ja alasummien erotus < ε, kun ε > 0 ensin kiinnitettiin. Olkoon N epäjatkuvuuspisteiden joukko, ja M jokin funktion f yläraja. Valitaan avoimet välit U 1, U 2,..., U p jotka peittävät nolla N, ja joiden yhteenlaskettu mitta on < ε/(4m). Joukko K = I \ p i=1 U i on suljettu ja rajoitettu ja siis kompakti. Koska f on jatkuva, Lauseen 1.25 nojalla on olemassa sellainen δ > 0, että M i m i < ε/(2 m(i)) kaikille sellaisille osaväleille I i, jotka K, ja joiden halkaisija on < δ. 43 / 54
Integroituvuus 5 Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Olkoon sitten P I jako, joka saadaan ottamalla mukaan välien U i, i = 1, 2,..., p, jakopisteet, ja tihentämällä tätä siten, että kunkin osa halkaisija < δ. Tämän jaon jokainen osaväli I i joko sisältyy kokonaisuudessaan joukkoon K tai kokonaisuudessaan johonkin avoimista väleistä U j. Jos I i U j, niin M i M, m i M, ja osa I i kontribuutio erotukseen S p s P on 2M m(i i ). Tällaisista väleistä siis yhteen saadaan kontribuutio 2M i,j,i i U j m(i i ) = 2M m(u j ) < 2M 44 / 54 j ε 4M = ε 2.
Integroituvuus 6 Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Jos I i K, niin M i m i ε/(2m(i)). Tällaisista väleistä siis yhteensä saadaan erotukseen S p s P kontribuutio i,i i K Siis S p s P ε 2 + ε 2 m(i i )(M i m i ) ε 2m(I) 45 / 54 = ε. MOT. i,i i K m(i i ) ε 2m(I) m(i) = ε 2.
Sama kuvina Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Neljännesympyrään A rajoitetun funktio f A,I kuvaajapinta vasemmalla. Oikealla ylä- ja alasummien erotus eräässä jaossa. Korkeat, yhteenlasketulta pohjaltaan pienet, kaarelle sijoittuneet oranssit pylväät = epäjatkuvuuspisteiden kontribuutio. Matalat vihreät laatikot = osa K kontribuutio. Molemmat ovat pieniä. 46 / 54
Pohdintaa Muotoilu 1 Muotoilu 2 Esimerkki 4.E1 Esimerkki 4.E2 Esimerkki 4.E3 Esimerkki 4.E4 47 / 54
Pohdintaa Pohdintaa Muotoilu 1 Muotoilu 2 Esimerkki 4.E1 Esimerkki 4.E2 Esimerkki 4.E3 Esimerkki 4.E4 Usein haluamma laskea integraalin yli rajoitetun alueen A, jonka reuna muodostuu palasista, joilla yksi koordinaatti on muiden jatkuva funktio. Tällaisen alueen reuna on yllä kerrotun perusteella nollajoukko, joten jos f : A R on jatkuva ja rajoitettu funktio, se on integroituva yli alueen A. Tällaisessa tilanteessa on edelleen voimassa (perustelu sivuutetaan). Voimme sisäintegraalia laskettaessa jättää pois osat joissa funktio f A,I häviää. Tällöin tyypillisesti päädymme tilanteeseen, jossa sisemmissä integraaleissa integroimisrajat riippuvat ulompien integraalien muuttujista (koska niiden arvo vaikuttaa siihen, milloin olemme alueen A reunalla). 48 / 54
Muotoilu 1 Pohdintaa Muotoilu 1 Muotoilu 2 Esimerkki 4.E1 Esimerkki 4.E2 Esimerkki 4.E3 Esimerkki 4.E4 (Fubini) Oletetaan, että funktio f(x, y) on jatkuva tason R 2 osa S jokaisessa pisteessä. Oletetaan, että alueen S määräävät epäyhtälöt S = {(x, y) R 2 a x b, c(x) y d(x)}, missä c(x) ja d(x) ovat välillä [a, b] jatkuvia funktioita, ja c(x) d(x) aina, kun x [a, b]. Tällöin integraali S f voidaan laskea iteroituna integraalina S f(x, y) dx dy = b x=a ( d(x) y=c(x) f(x, y) dy ) dx. 49 / 54
Muotoilu 2 Pohdintaa Muotoilu 1 Muotoilu 2 Esimerkki 4.E1 Esimerkki 4.E2 Esimerkki 4.E3 Esimerkki 4.E4 Jos taas alueen S määräävät epäyhtälöt S = {(x, y) R 2 c y d, a(y) x b(y)}, missä funktiot a(y) ja b(y) ovat välillä [c, d] jatkuvia funktiota, ja a(y) b(y) aina, kun y [c, d], niin tällöinkin f on integroituva yli S, ja S f(x, y) dx dy = d y=c ( b(y) x=a(y) f(x, y) dx ) dy. 50 / 54
Esimerkki 4.E1 Pohdintaa Muotoilu 1 Muotoilu 2 Esimerkki 4.E1 Esimerkki 4.E2 Esimerkki 4.E3 Esimerkki 4.E4 Tehtävä: Olkoon S xy-tason suljettu kolmio, jota rajaavat suorat x = 0, y = 1 ja x = y. Oletetaan, että funktio f on jatkuva S. Kirjoita integraali S f kahdella eri tavalla iteroituna integraalina. Ratkaisu: Joukko S sisältyy neliöön [0, 1] [0, 1], ja näemme, että kumpikin muuttujista x,y saa S kaikki arvot väliltä [0, 1]. Jos haluamme ensin integroida muuttujan x suhteen, kiinnitämme muuttujalle y jonkin arvon väliltä [0, 1]. Koska S on suorien x = 0 ja x = y välissä, piste (x, y) S sjvsk 0 x 1. Näin ollen sisäintegraalin integroimisrajoiksi tulee a(y) = 0 ja b(y) = y. 51 / 54
Esimerkki 4.E2 Pohdintaa Muotoilu 1 Muotoilu 2 Esimerkki 4.E1 Esimerkki 4.E2 Esimerkki 4.E3 Esimerkki 4.E4 Näin ollen S f = 1 y=0 ( y x=0 ) f(x, y) dx dy. Jos taas integroimme ensin muuttujan y suhteen, kiinnitämme x:n arvon välilltä [0, 1]. Piste (x, y) S sjvsk x y 1, joten sisäintegraalin integroimisrajoiksi tulee c(x) = x ja d(x) = 1. antaa siten tuloksen S f = 1 x=0 ( 1 y=x ) f(x, y) dy dx. 52 / 54
Esimerkki 4.E3 Pohdintaa Muotoilu 1 Muotoilu 2 Esimerkki 4.E1 Esimerkki 4.E2 Esimerkki 4.E3 Esimerkki 4.E4 Kun yllä ensin integroimme x:n yli sisäintegraali laskee erästä poikkileikkausta y = y 0 vastaavan kontribuution. Kuvassa pinkki alue on S, ja musta jana tällainen poikkileikkaus (kuvassa y 0 = 0,53) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 Y 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 X 53 / 54
Esimerkki 4.E4 Pohdintaa Muotoilu 1 Muotoilu 2 Esimerkki 4.E1 Esimerkki 4.E2 Esimerkki 4.E3 Esimerkki 4.E4 Kun yllä ensin integroimme y:n yli sisäintegraali laskee erästä poikkileikkausta x = x 0 vastaavan kontribuution. Kuvassa pinkki alue on S, ja musta jana tällainen poikkileikkaus (kuvassa x 0 = 0,47) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 Y 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 X 54 / 54