Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan A ja piste B asemaan B. Siirtmät voivat aiheutua jäkän kappaleen liikkeestä (translaatio ja rotaatio) ja/tai kappaleen muodon muuttumisesta. Jäkän kappaleen liikkeessä kappaleen pisteiden asemat toisiinsa nähden eivät muutu. Kappaleen muodon muuttuessa sen pisteet siirtvät toisiinsa nähden. Seuraavassa tutkitaan vain muodon muuttumisesta aiheutuvia siirtmiä. Kuva 1. Siirtmävektori Kuvan 1 pisteen A koordinaatit ovat alkutilassa ( A, A,z A ) ja lopputilassa ( A', A',z A' ). Pisteen A siirtmävektori on u A = ( - ) i + ( - ) j +( z - z ) k A' A A' A A' A (1) Pisteen A siirtmäkomponentit koordinaattiakseleiden suunnissa ovat u A = A' - A v A = A' - A w A = za' - za (2) Kappaleen kaikkien pisteiden siirtmävektorit muodostavat sen siirtmäkentän
u ( z) (,, ) ( ) (,, ) u z,, = v,, z w z (3) jossa siirtmäkentän komponentit u(,,z), v(,,z) ja w(,,z) sisältävät kappaleen kaikkien pisteiden koordinaattiakseleiden suuntaiset siirtmät. Tavanomaisen lineaarisen lujuusopin tehtävissä tarkastellaan vain pieniä siirtmiä. Kuvassa 1 on siirtmiä havainnollisuussistä suuresti liioiteltu. Muodonmuutostilan käsite ja komponentit Kuten edellä mainittiin, kappaleen muodon muuttuessa sen pisteiden keskinäiset asemat muuttuvat. Tällöin kappaleen pisteiden väliset etäisdet ja sen pisteitä hdistävien janojen väliset kulmat muuttuvat muodonmuutosten seurauksena. Muodonmuutosten tarkastelemiseksi määritellään kappaleen pisteen P muodonmuutostila niin, että se sisältää kaikkien pisteestä P sen lähinaapuripisteisiin (A,B) piirrettjen viivaelementtien (dl 1,dL 2 ) venmät ja kaikkien pisteestä P alkavien kohtisuorien viivaelementtiparien (dl 1 ja dl 2 ) välisten suorien kulmien liukumat. Näitä venmiä ja liukumia on ääretön määrä. Kuten möhemmin osoitetaan, riittää pisteen muodonmuutostilan hallitsemiseen kuitenkin koordinaattiakseleiden suuntaisten viivaelementtiparien venmien ja niiden välisten liukumien tunteminen. Kappaleen kaikkien pisteiden muodonmuutostilat muodostavat sen muodonmuutostilakentän. Kuva 2. Muodonmuutostila Aksiaalinen muodonmuutostila Tutkitaan aluksi kuvan 3 ksiulotteista tapausta, jossa pisteestä P alkavan viivaelementin PA pituus ennen muodonmuutosta on Δ.
Kuva 3. Aksiaalinen venmä Kuormituksen seurauksena piste P siirt asemaan P ja A asemaan A siirtmäkomponenttien ollessa - suunnassa u ja u + Δu vastaavasti. Viivaelementin pituus on muuttunut määrän Δu ja sen suhteellinen pituuden muutos on Δu/ Δ. Tällöin -akselin suuntainen venmä pisteessä P on määritelmän mukaan lim u u, = = = 0 u, (4) jossa 0 siten, että piste P A. Kaava (4) on kinemaattinen htälö, joka antaa venmän ja siirtmän välisen hteden. Tasomuodonmuutostila Tarkastellaan seuraavaksi leisen muodonmuutostilan eritistapausta, jossa muodonmuutoksia on vain tasossa eli tasomuodonmuutostilaa. Huomattakoon, että kseessä ei ole tasojännitstila. Muodonmuutoskomponenttien lausekkeiden johtamiseksi tutkitaan kuvan 4 mukaisia tarkastelupisteestä P alkavia koordinaattiakseleiden suuntaisia viivaelementtejä Δ ja Δ. Kuva 4. Tasomuodonmuutostila Kun pisteen P siirtmäkomponentteja - ja -suunnissa merkitään u ja v, ovat pisteiden A ja B siirtmäkomponentit vastaavasti A: u + u ja v + v B : u + u ja v + v (5),,,,
jossa siirtmien muutoksia on approksimoitu differentiaaleilla. Siirtmistä aiheutuvat muodonmuutokset voidaan jakaa kahteen osaan kuvan 4 mukaisesti. Koska pisteet P ja A siirtvät -suunnassa erisuuret matkat, aiheutuu tästä viivaelementin Δ venmä -suunnassa. Samoin pisteet P ja B siirtvät -suunnassa erisuuret matkat, joten viivaelementtiin Δ snt venmä -suunnassa. Kuvassa 4 (a) on siirtmäeroista sntvät viivaelementtien venmät. Näin saadaan - ja -akseleiden suuntaisiksi venmäkomponenteiksi ja pisteessä P analogisesti kaavan (4) kanssa u u v v = = = u = = = v lim lim,,,, 0 0 (6) Pisteet P ja A siirtvät mös -suunnassa eri matkat, josta aiheutuu viivaelementin Δ kääntminen kuvan 4 (b) mukaisesti. Samoin pisteet P ja B siirtvät -suunnassa eri matkat ja tästä aiheutuu viivaelementin Δ kääntminen. Viivaelementtien Δ ja Δ kääntmisestä aiheutuu niiden välisen suoran kulman APB muutos, jota sanotaan - ja -akseleiden väliseksi liukumaksi γ. Koska kulma α kuvassa 4 (b) on todellisuudessa hvin pieni, voidaan kättää arviota α tan α. Mös venmä on hvin pieni, joten voidaan kättää mös arviota PA P'A'. Näistä oletuksista seuraa v α tanα = v,, (7) Vastaavalla tavalla saadaan tulos α u,. Voidaan näin ollen kirjoittaa tulos γ = α + α = u + v,, (8) Näin saadaan tasomuodonmuutostilalle kinemaattiset htälöt, jotka antavat muodonmuutos- ja siirtmäkomponenttien välisen hteden. = u = v γ = u + v (9),,,, Tasomuodonmuutostilassa pisteen muodonmuutoskomponentit ovat - ja -akselin suuntaisten viivaelementtien venmät ja sekä näiden viivaelementtien välisen suoran kulman liukuma γ. Möhemmin osoitetaan, että näiden avulla voidaan laskea kaikkien tarkastelupisteestä alkavien viivaelementtien venmät ja minkä tahansa siitä alkavan kohtisuoran viivaelementtiparin välisen suoran kulman liukuma. Komponentit, ja γ riittävät pisteen tasomuodonmuutostilan hallitsemiseen. Yleinen muodonmuutostila Yleisessä kolmiulotteisessa tapauksessa pisteen muodonmuutostilaa voidaan tarkastella kuvan 5 tarkastelupisteestä P alkavien koordinaattiakselien suuntaisten viivaelementtien Δ, Δ ja Δz avulla. Muodonmuutoksessa viivaelementit venvät venmien ollessa, ja z. Samalla viivaelementit kääntvät niin, että niiden väliset suorien kulmien liukumat ovat γ, γ z ja γ z, jossa alaindeksit ilmaisevat, minkä kahden viivaelementin välisen suoran kulman liukumasta on ksms. Yleisessä tapauksessa pisteen
muodonmuutoskomponentit ovat venmät, ja z. sekä liukumat γ, γ z ja γ z. Möhemmin osoitetaan, että nämä kuusi komponenttia riittävät pisteen muodonmuutostilan hallitsemiseen. Siirtmäkomponenttien htes muodonmuutoskomponentteihin lödetään, kun suoritetaan tasomuodonmuutostilan htedessä esitett tarkastelu kaikissa kolmessa koordinaattitasossa. Tulokseksi saadaan htälöt = u = v = w,, z, z γ = u + v γ = v + w γ = u + w,, z, z, z, z, (10) Yhtälöitä (10) sanotaan kinemaattisiksi htälöiksi. Ne ilmaisevat näiden suureiden välisen geometrisen hteden, mutta eivät sisällä mitään tietoa siitä, mistä nämä suureet aiheutuvat. Kuva 5. Yleinen muodonmuutostila Liukumien γ, γ z ja γ z sijasta kätetään mös muodonmuutoskomponentteja, z ja z, jotka määritellään htälöillä = γ / 2 = γ / 2 = γ / 2 (11) z z z z Muodonmuutoskomponentit voidaan järjestää (smmetriseksi) muodonmuutosmatriisiksi, jonka kukin vaakarivi sisältää samaan viivaelementtiin liittvät komponentit eli z = z z z z (12) Muodonmuutoskomponenttien hteensopivuushtälöt
Tämän kohdan voinet hpätä ensimmäisellä lukemalla litse ja palata jos aihetta on. Jos sinulla on nimittäin kätössä siirtmäfunktio, niin hteensopivuushtälöt toteutuvat automaattisesti. Tasomuodonmuutostilan kolme muodonmuutoskomponenttia, ja γ saadaan kinemaattisten htälöiden (9) mukaan laskettua kahdesta siirtmäkomponentista u ja v. Näin ollen on ilmeistä, että muodonmuutoskomponentit eivät ole toisistaan riippumattomia, vaan niiden välille on johdettavissa htes. Kaavoista (9) seuraa = u = v γ = u + v (13),,,,,,, joten on oltava voimassa + = γ,,, (14) Yhtälö (14) on muodonmuutoskomponenttien hteensopivuushtälö tasomuodonmuutostilassa. Yhtälön (14) toteutuminen takaa, että kappale selvit ehjänä muodonmuutoksesta eli kuvan 4 mukaiset muotoansa muuttaneet suorakulmioelementit PACB muodostavat htenäisen kappaleen muodonmuutoksen jälkeenkin. Yleisessä kolmiulotteisessa tapauksessa kuusi muodonmuutoskomponenttia, ja z, γ, γ z ja γ z saadaan kinemaattisten htälöiden (10) mukaan kolmesta siirtmäkomponentista u, v, ja w. Taaskin on ilmeistä, että muodonmuutoskomponentit eivät ole toisistaan riippumattomia, vaan niiden välille voidaan johtaa kolme hteensopivuushtälöä. Nämä saadaan käsittelemällä kaavoja (10) samaan tapaan kuin edellä. Tulos voidaan esittää kahdessa vaihtoehtoisessa muodossa + = γ,,, ( ), ( ), ( ), z z, z,, z, zz z, z, z, z z, z,, z z,, zz z, z 2 = γ + γ + γ A: + = γ B : 2 = γ γ + γ + = γ 2 = γ + γ γ z, z, z,, z, z (15) Muodonmuutoskomponenttien transformointi Kohdassa 2 todettiin, että pisteen tasomuodonmuutostila hallitaan muodonmuutoskomponenttien, ja γ avulla. Seuraavassa esitetään, miten tämä tapahtuu. Tarkastellaan kuvan 2.6 mukaista viivaelementtiä PA, jonka pituus on ennen muodonmuutosta Δs ja koordinaattiakseleiden suuntaiset projektiot Δ ja Δ. Muodonmuutoksen seurauksena PA tulee asemaan P A, jossa sen pituus on Δs'. Pisteen P siirtmäkomponentit ovat u ja v sekä pisteen A siirtmäkomponentit u + Δu ja v + Δv. Lisäksille Δu ja Δv kätetään approksimaatioita u u + u v v + v (16),,,,
Kuvassa 6 (b) viivaelementti PA on siirrett suuntansa säilttäen niin, että pisteet P ja P htvät eli PA on asemassa P A. Silloin Δu = A''C ja Δv = CA'. Tavoitteena on lötää kuvan 6 (b) -koordinaatiston muodonmuutoskomponentit ', ' ja γ ''. Kuva 6. Muodonmuutoskomponenttien transformointi Määritetään ensin venmäkomponentti '. Koska kulma α on hvin pieni, voidaan kättää arviota DA'cos α DA', jolloin saadaan DA' DA' cosα = u cosα + vsinα (17) Venmä ' on määritelmänsä ja kaavojen (16) ja (17) mukaan DA ' ' u, u, cosθ v, v = = + + +, sinθ s s s s s (18) Kun kaavaan (18) sijoitetaan Δ / Δs = cosθ ja Δ / Δs = sinθ sekä otetaan lisäksi huomioon htälö (9), saadaan tulos ' = cos + sin + sin cos θ θ γ θ θ (19) Venmä ' saadaan kaavasta (2.19) sijoittamalla kulman θ paikalle θ + π / 2. Lasketaan vielä liukuman γ '' lauseke. -akselin suuntaisen viivaelementin kääntmiskulma on α. Kuvan 6 (b) perusteella saadaan α A'' D tan α ja A'' D = v cos u sin DA'sin s θ θ α (20) jossa DA'sinα ' Δs α 0. Yhtälön (16) avulla saadaan tulokseksi ( ) sin cos v, cos u, sin α = θ θ + θ θ (21) -akselin suuntaisen viivaelementin kääntmiskulma β saadaan kulman α lausekkeesta sijoittamalla kulman θ paikalle θ + π / 2. Tällöin seuraa tulos
( ) sin cos v, sin u, cos β = θ θ + θ θ (22) Liukuma γ '' on α β, joten ( ) ( ) γ ' ' = 2 sinθ cosθ + γ cos θ sin θ (23) Kättämällä suuntakosineja ja liukuman puolikasta saadaan transformointikaavat muotoon ' l m 2lm ' = ' ' lm lm l m m l 2lm (24) Vertaamalla saatuja transformointihtälöitä tasojännitstilan jännitskomponenttien vastaaviin htälöihin havaitaan niiden olevan täsmälleen samaa muotoa. Yleinen muodonmuutostila Edellä saatu vastaavuus jännitstilan ja muodonmuutostilan välillä on voimassa mös leisessä kolmiulotteisessa tapauksessa. Tämä merkitsee sitä, että kappaleessa 1 jännitksille johdetuista tuloksista saadaan vastintulokset muodonmuutoksille korvaamalla kaavoissa jännitskomponentit vastaavilla muodonmuutoskomponenteilla. Esimerkiksi vektorin n suuntaisen viivaelementin venmäksi n saadaan kaavan (Jännitstila 30) perusteella n = n n (25) Vastaavasti z -koordinaatiston muodonmuutoskomponentit voidaan laskea z-koordinaatiston komponenteista kaavan (33) perusteella seuraavasti ' = L L T (26) jossa L on kiertomatriisi (Jännitstila ht. 32) ja muodonmuutosmatriisi (12). Päävenmät ja suunnat Jännitstilan ja muodonmuutostilan analogiasta seuraa, että muodonmuutostilalle voidaan esittää pääjännitksiä ja -suuntia vastaavat käsitteet. Tasomuodonmuutostila
Tasomuodonmuutostilassa venmäkomponentilla ' on kaksi ääriarvoa 1 ja 2, jotka esiintvät toisiaan vastaan kohtisuorissa suunnissa θ 1 ja θ 2. Päävenmät 1 ja 2 ovat kaavan (Jännitstila 38) nojalla 1 1,2 = ( + ) ± + 2 2 2 2 (27) Vastaavat pääsuunnat ovat htälön (Jännitstila 36) perusteella 1 2 θ = arctan ja θ = θ + π / 2 1 2 1 2 (28) 1 on venmäkomponentin ' suurin arvo ja 2 sen pienin arvo. Pääsuuntien välinen liukuma on nolla. Pääsuuntien viivaelementit säilttävät muodonmuutoksessa suuntansa eli psvät kohtisuorassa toisiaan vastaan, ne ainoastaan venvät tai kutistuvat pituussuunnassa. Yleinen muodonmuutostila Yleisessä kolmiulotteisessa tapauksessa muodonmuutostilalla on kolme päävenmää toisiaan vastaan kohtisuorissa pääsuunnissa eli pääsuuntien väliset liukumat ovat nollia. Päävenmät saadaan kaavan (Jännitstila 50) perusteella htälöstä 3 2 p J1 p + J 2 p J3 = 0 (29) jossa kaavan (Jännitstila 51) mukaisesti J J ( ) ( ) 2 1 z 2 z z z z 3 = + + = Tr J = + + z = det = z z z z (30) Pääsuunnat saadaan kaavan (Jännitstila 48) mukaisesti ratkaisemalla kutakin päävenmää vastaava htälörhmä p z l 0 p z m 0 = z z z p n 0 (31) jossa lisäksi l 2 +m 2 +n 2 = 1. Päävenmät ovat muodonmuutosmatriisin ominaisarvot ja pääsuunnat sen ominaisvektorit. Koska on reaalinen ja smmetrinen matriisi, ovat päävenmät reaaliset. Yhtälön (29)
kertoimet J 1, J 2 ja J 3 ovat muodonmuutostilan pääinvariantit, jotka eivät riipu kätettävästä koordinaatistosta. Jos kaikki päävenmät ovat erisuuria, saadaan rhmästä (31) kutakin päävenmää vastaava ksikäsitteinen pääsuunta. Jos kaksi päävenmistä on htä suuria, saadaan kolmatta päävenmää vastaava pääsuunta ksikäsitteisesti määrätksi ja kaikki tätä vastaan kohtisuorat suunnat ovat mös pääsuuntia. Kseessä on slinterimäinen muodonmuutostilatila. Jos kaikki päävenmät ovat htä suuria, ovat kaikki suunnat pääsuuntia ja liukumaa ei esiinn minkään suuntien välillä. Tällaista tapausta sanotaan pallomaiseksi muodonmuutostilaksi. Siirtmäkomponenttien reunaehdot Jos kappaleen pinnan pisteessä tunnetaan pintavoimavektori t, on jännitskomponenttien reunaehtojen (Jännitstila 55) oltava voimassa. Toinen mahdollisuus on, että tunnetaan reunan pisteessä sen siirtmävektori. Tästä seuraa tarkastelupisteen P siirtmäkomponenteille reunaehdot u = u0 v = v0 w = w0 (32) jossa u 0, v 0 ja w 0 ovat tunnetut siirtmäkomponentit. Siirtmäkomponenttien reunaehdot liittvät tavallisesti kappaleen tuentaan ja usein annetut tukisiirtmät ovat u 0 =0, v 0 =0, w 0 =0. Kolmannen reunaehtotapauksen muodostavat sekareunaehdot, jolloin kappaleen pinnan pisteessä on kunkin koordinaattiakselin suunnassa annettu joko pintavoimakomponentti tai siirtmäkomponentti. Tarkastelupisteen reunaehtohtälöiksi tulee tällöin hdistelmä htälöistä (Jännitstila 55) ja (32). Tietn koordinaattiakselin suuntaan ei voida antaa sekä siirtmä- että pintavoimakomponenttia vaan jompikumpi niistä. Edellä oletettiin reunaehtojen liittvän z-koordinaatiston akseleiden suuntiin. Yleisessä tapauksessa reunaehdot liittvät kussakin reunan pisteessä z-koordinaatistoon nähden kiertneeseen z -koordinaatistoon. Tällaiset vinot reunaehdot voidaan muuntaa z-koordinaatistoon koordinaatiston kierrolla tai kättää erillistä reunaehtoelementtiä.