KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy, kpl 7.4.2) Laskemista yksinkertaistavat periaatteet: St Venant n periaate ja superpositioperiaate Tasapainoyhtälön yleinen ratkaisu Esimerkkejä 1
Jännitys-venymäyhteys Aiemmin johdetut siirtymä-venymäyhteydet ja tasapainoyhtälöt ovat aina voimassa riippumatta tarkasteltavan kontinuumin materiaaliominaisuuksista. Muodostetaan seuraavaksi jännitys-venymäyhteys, joka ottaa huomioon materiaaliominaisuudet. Homogeenisen materiaalin ominaisuudet ovat samat kontinuumin jokaisessa pisteessä. Isotrooppisen materiaalin ominaisuudet ovat samat jokaiseen suuntaan tietystä pisteestä. Esim. Teräs ja alumiini ovat käytännössä isotrooppisia homogeenisia materiaaleja. Lineaariselastinen materiaalimalli Elastisiin materiaaleihin ei jää kuormituksen jälkeen pysyviä muodonmuutoksia. Kun venymät ja siirtymät ovat pieniä, olemme tyypillisesti kiinnostuneita lineaariselastisesti käyttäytyvistä homogeenisisotrooppisista materiaaleista. Jännitys-venymäyhteys on siis lineaarinen. 2
Hooken laki F x Robert Hooken kokeellinen havainto (1676): ut tensio sic vis eli muodonmuutos on verrannollinen voimaan. Jouselle F = kx, eli siirtymä x on verrannollinen voimaan F. Käsiteltäessä materiaaleja 1D-sauvalle pätee vastaavasti σ = Eε, missä E on kimmomoduuli. Esim. teräs E = 210 GPa, Alumiini 70 GPa. GPa = Gigapascal = 10 9 N/m 2 Vrt. perusteräksen murtolujuus < 1 GPa. Leikkaukselle τ = Gγ, missä G on liukumoduuli. 3D-tapaus Yleistetty Hooken laki 3D-tapauksessa yhden suunnan venytys aiheuttaa kahden muun suunnan puristumisen. Venytys-puristussuhdetta kuvataan Poissonin luvulla ν. Teräkselle ν = 0.3. Kimmomoduulin ja liukumoduulin välillä on yhteys G = E 2(1+ν) ε x = σ x E Tästä johtuen ε y = ε z = ν σ x E Käsitellen kaikki suunnat tästä seuraa lopulta esim. ε x = σ x E ν σ y E ν σ z E 3
Yleistetty Hooken laki τ xy = Gγ xy Tai τ yz = Gγ yz τ zx = Gγ zx Muista elastisista materiaaleista Sen sijaan, että lineaariselastinen materiaali olisi homogeenistä ja isotrooppista, se voi myös olla vahvasti heterogeenistä ja anisotrooppista (tai hom./anisot.; het./isot). Heterogeenisen materiaalin ominaisuudet ovat paikan funktioita, esim. E E z. Anisotrooppinen materiaalin ominaisuudet ovat suuntariippuvaisia. Esim. jäykempi suunnassa x kuin y. Puu on osittain anisotrooppinen (tarkemmin ortotrooppinen) materiaali. Vahva syiden suuntaan vedettäessä. Lisäksi täysin yleisen anisotrooppisen materiaalin muodonmuutos on myös isotrooppista monipuolisempi materiaalin sisäisten kytkentöjen vuoksi, esim. sauvassa veto ja leikkaus kytkeytyvät toisiinsa. 4
ε x = 1 E σ x νσ y ε y = 1 E σ y νσ x σ x = E 1 ν 2 ε x + νε y σ y = E 1 ν 2 ε y + νε x Lujuusoppi (Elastisuusteoria) Siirtymä-venymäyhteyden, jännitys-venymäyhteyden ja jännitystasapainoyhtälöiden myötä voimme siirtyä käytännön insinööritehtäviin ja tarkastella mm. sauvojen, palkkien ja laattojen siirtymiä, venymiä ja jännityksiä mitoittaaksemme rakenteita. Aloitamme käsittelemällä homogeenista isotrooppista sauvaa, jossa siirtymä u riippuu ainoastaan x-koordinaatista (1D). Huomenna käsittelemme tasovenymätilaa sekä tasojännitystilaa (2D). Ylihuomenna käsittelemme laatan tasapainoa (3D) Lujuuslaskuissa hyödynnetään tyypillisesti periaatteita, jotka helpottavat laskentaa merkittävästi. Näistä käsittelemme sauvan yhteydessä Saint Venant n periaatteen ja superpositioperiaatteen. 5
Lujuusoppi (Elastisuusteoria) Edellä määrittelimme jännitys-venymäyhteyden lineaarisesti käyttäytyvälle homogeenis-isotrooppiselle materiaalille Luennolla 5 määrittelimme siirtymä-venymäyhteyden pienten venymien tapauksessa ε xx = u x 2ε xy γ xy = u y + v x ε yy = v y 2ε xz γ xz = u z + w x ε zz = w z 2ε yz γ yz = v z + w y Luennoilla 8 ja 11 esittelimme jännitystasapainoyhtälöt τ xy = Gγ xy τ yz = Gγ yz τ zx = Gγ zx Näihin yhtälöihin perustuu lujuusoppi Sauva Saint Venant n periaate Aiemmin olemme johtaneet sauvan tasapainoyhtälön. Yhtälössä hyödynnetään todellisesta jännitysjakaumasta integroitua voimasuuretta N(x). Käsittelyssä siis oletetaan, että staattisesti ekvivalentit kuormitukset tuottavat saman jännitysjakauman riittävän kaukana sauvan päädyistä. Periaate on sama palkeille ja laatoille. Alla kuormitukset ovat erilaisia, mutta käsitellään staattisesti ekvivalentteina, kokonaisvoima on aina P σ = P/A Todellinen σ-jakauma yhdelle voimalle Tämä alue on sama tapauksille (1), (2), (3) eli σ = P/A Tämä tila oletetaan käytännössä koko sauvan alueelle, myös päätyihin 6
Sauva Saint Venant n periaate Mikäli käsittelemme sauvaa tai palkkia, jonka pituus on L ja korkeus h, niin nyrkkisääntönä Saint Venant n periaatteen mukainen käsittely alkaa tuottaa hyviä tuloksia jännityksille ja venymille etäisyydellä h sauvan/palkin päädystä isotrooppisissa tapauksissa (ei päde anisotrooppisissa). Sauvat, palkit ja laatat ovat tyypillisesti hoikkia, joten matka h on lyhyt. Saint Venant n periaate yksinkertaistaa matemaattista käsittelyä merkittävästi eliminoiden mm. monimutkaisia jännitysten vaimenemista kuvaavia eksponenttiratkaisuja sauvoista ja palkeista. Saint Venant n periaate on ~1850-luvulta ja sitä ei ole todistettu matemaattisesti oikeaksi, mutta koska seinät ja katto eivät kaadu päälle, voidaan todeta että se toimii eli kokeet ja käytäntö osoittavat. h L h Sauva - Superpositioperiaate Venymien ollessa pieniä kaksi eri siirtymäkenttää voidaan yhdistää suoralla superpositiolla (summata). Yhteenlaskun järjestyksellä ei ole väliä. Pätee myös 2D- ja 3D-tapauksissa. P 1 Vetosauvan pituus on L, tutkitaan kahta eri tapausta Voima P 1 aiheuttaa pituudenmuutoksen u 1 ja venymän ε 1 Jatketaan lisäämällä edelliseen tapaus, jossa vaikuttaa voima P 2 ε 1 = u 1 L ε 2 = u 2 L + u 1 u 1 u 2 u tot = u 1 + ε 2 (L + u 1 ) u tot = u 1 + ε 2 (L + ε 1 L) u tot = u 1 + ε 2 L + ε 1 ε 2 L u tot = u 1 + ε 2 L = u 1 + u 2 P 2 L + u 1 on jatkotapauksen alkupituus. Termi ε 1 ε 2 on häviävän pieni. Eri voimien aiheuttamat siirtymät voidaan laskea suoraan yhteen. 7
Sauvayhtälöt Aiemmasta tiedämme: Joista seuraa: määritellään Sauvan tasapainoyhtälö: Sijoittamalla N(x) saadaan lopulta: Sauvayhtälöt Yleinen ratkaisu Yleinen ratkaisu siirtymän u(x) avulla ilmaistuna voidaan integrointien jälkeen kirjoittaa muodossa Integrointivakiot C 1 ja C 2 saadaan määrittämällä reunaehdot sauvan molemmissa päissä eli kummassakin päässä määritellään joko Analyyttinen ratkaisu on olemassa vain jos ylläolevat integraalit voidaan laskea analyyttisesti. 8
Sauvayhtälöt - Esimerkkejä Tarkastellaan ensin yksinkertaisinta tapausta, jossa sauvan poikkipinta-ala A on vakio, sauva on kiinnitetty toisesta päästään ja kuormitetaan pistekuormalla P toisesta päästään Reunaehdot du N L = EA = P u 0 = 0 dx x=l EA L x Tilavuusvoimaa ei ole f x = 0 Yleinen ratkaisu EA du dx = N(x) = f x dx + C 1 = C 1 P Joista saadaan vakiot C 1 = P C 2 = 0 Siten siirtymä, venymä ja jännitys sauvassa ovat u x = P EA x ε x = du dx = P EA u x = 1 EA f x dx + C 1 dx + C 2 = 1 EA xc 1 C 2 σ x = Eε = P A Pilarin poikkipinta-ala: Yläpinnan jakautunut voima voidaan esittää pistevoimana: 9
Betonin paino esitetään tilavuusvoimana pituusyksikköä kohti. Kokonaisvoima kohdassa x on yhtä suuri kuin sen kohdan yläpuolella olevan betonin paino. Paino saadaan kertomalla kohdan x yläpuolella oleva tilavuus betonin ominaispainolla ρg = γ. Tilavuusvoima pituusyksikköä kohti saadaan painosta Ongelmaa kuvaava differentiaaliyhtälö on siten Reunaehdot ovat N(x) x=0 = 1 du E(1 + x) = 5 10 3 4 dx x=0 10
Yleisestä ratkaisusta *) Yhdistetyn funktion derivoimissääntöön perustuu integrointisääntö + C *) f(ax + b) dx = 1 F ax + b + C a Esimerkin tapauksessa f x = x jolloin sen integraalifunktio F x = 1 2 x2. Vakiot a = 1 ja b = 1. Integroimisvakiot ovat ns. geneerisiä vakioita, jotka voivat eri yhteyksissä saada erilaisia arvoja. Esimerkin tapauksessa integroimisvakio C on yhdistetty vakioon C 1, joka ratkaistaan myöhemmin reunaehtojen avulla. Toinen vaihtoehto olisi ratkaista integraali f x dx tavallisesti polynomin integraalina, jolloin seuraava integraalilauseke tulee hieman hankalammaksi ja vakion C 1 arvo on erilainen. Loppuratkaisun pitäisi silti olla sama Reunaehdoista seuraa: Pilarin siirtymä, venymä ja jännitys ovat 11
Sauvayhtälöiden ratkaisut ovat Esimerkin tapauksessa tilavuusvoima f x = 0 Sauvayhtälöt kirjoitetaan erikseen sauvoille 1 ja 2, missä sauva 1 on terässauva ja sauva 2 on alumiinisauva. 12
Sauvojen rajapinnalla (x = a) siirtymien on oltava jatkuvia, joten: Lisäksi voimien tasapainosta rajapinnalla seuraa: Reunaehdoista seuraa: Ratkaistaan integrointivakiot C 1, C 2, C 3, C 4 käyttämällä reunaehtoja sauvan päissä sekä sauvojen 1 ja 2 rajapinnalla. Sauvan päissä on voimassa: u 1 0 = 0 C 1 = 2.88C 2 Siirtymien jatkuvuusehto sauvojen rajapinnalla (x = a) antaa tuloksen: Voimien tasapainoehdosta rajapinnalla seuraa: Integrointivakiot ovat siten: 13
Sauvojen siirtymät, venymät ja jännitykset voidaan ratkaista: Lisäksi voidaan tarkistaa, että voima kohdassa x = L on yhtä suuri kuin P 1 = 10 3 N ja voima kohdassa x = 0 on yhtä suuri kuin P 1 + P 2 = 3 10 3 N. Yhteenvetoa Yleistetty Hooken laki kuvaa jännitysten ja venymien välistä yhteyttä. Lineaariselastisessa lujuusopissa (elastisuusteoriassa) on käytössä: 6 kinemaattista yhtälöä (siirtymä-venymäyhteydet) 6 konstitutiivista yhtälöä (jännitys-venymäyhteydet) 3 tasapainoyhtälöä Teoriassa on siis 15 yhtälöä ja niin ikään 15 (tuntematonta) suuretta. Lisäksi hyödyllisiä periaatteita ovat mm. superpositio ja Saint Venant. Saint Venant n periaate on rakennettu huomaamattomasti sisään sauvoihin, palkkeihin ja laattoihin. Hyvä tietää, että reunajännitykset ovat siksi epätarkkoja. Superpositioperiaatteen avulla voidaan laskea yhteen erilaisia tapauksia. 1D-sauva havainnollistaa kuinka yhtälöiden muodostama kokonaisuus pelaa yhteen yksinkertaisessa tapauksessa. Palkkia ja laattaa voidaan käsitellä analogisesti. 14