811120P 3. 5 op Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1
ja laskenta tarkastelemme terveeseen järkeen perustuvaa päättelyä formaalina järjestelmänä logiikkaa sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim. digitaalipiirien suunnittelussa; kontrollirakenteiden ehtoina ohjelmoinnissa; tietokantakyselyissä; tietoturvassa, esim. pääsynvalvonnan mallit asiantuntijajärjestelmissä: esim.tietämyspohjaiset ohjelmistot; ja formaalissa spesifioinnissa ja verifioinnissa 2
Propositiot propositiot ovat logiikan keskeisiä rakenneosia propositio on väittämä, joka on joko tosi (totuusarvo 1 tai T) tai epätosi (totuusarvo 0 tai F) esimerkkejä propositioista: 'Canberra on Australian pääkaupunki.' 'Maa kiertää aurinkoa.' 'Isaac Newton syntyi vuonna 1642.' '5 on suurempi kuin 7.' 'Jokainen kakkosta suurempi parillinen kokonaisluku voidaan ilmaista kahden alkuluvun summana' 3
Mitkä seuraavista ilmaisuista ovat propositioita? I. Jää kelluu vedessä. II. Kiina on Euroopassa III. 2 + 2 = 4 IV. 2 + 2 = 5 V. Hyvää päivää! VI. Tee kotitehtäväsi! 4
Propositiot (2) ilmaisuja, jotka eivät ole propositioita 'Minne menet?' 'Tule tänne!' 'Tämä lause on epätosi.' yllä 1. ilmaisu on kysymys, 2. käsky. Kolmas viittaa itseensä ja johtaa ristiriitaan tai paradoksiin. jos ilmaisu on tosi, sen sisältämä väittämä johtaa ristiriitaan ilmaisun väitteen kanssa; jos ilmaisu taas on epätosi, päättelemme, että se on tosi ja olemme jälleen ristiriidassa ilmaisun väitteen kanssa tarkastellaan vielä ilmaisuja: 'Eläirasvojen syönti ei vaikuta kolesteroliin.' 'Olut on terveellistä.' 'x<8' 5
Predikaatit predikaatti on ilmaisu, joka sisältää yhden tai useampia muuttujia; ei ole propositio mutta siitä tulee propositio, kun siinä esiintyvien muuttujien arvot sopivasti sidotaan Huom. Tietokoneohjelma (tai algoritmi) voi sisältää predikaattityyppiä (esim. 'x < 8') olevan lausekkeen mm. kontrollirakenteissa. Tällöin sen totuusarvo voidaan määrittää syötteen ja ohjelman sen hetkisen tilan perusteella, joten sitä voidaan kohdella propositiona. 6
Logiikan propositiot aikaisemmin esitetyt propositiot ('Canberra on Australian pääkaupunki.') eivät muodollisessa logiikassa kiinnosta; tarvitaan yleisempi näkökulma tarkastellaan propositiota 'Jos Anna ja Pekko eivät molemmat ole onnellisia, niin joko Anna ei ole onnellinen tai Pekko ei ole onnelllinen.' yo. propositio on tosi loogisen rakenteensa perusteella; mikä tahansa ilmaisu, jolla on sama looginen rakenne on tosi; esimerkiksi 'Jos luvut a ja ja b eivät molemmat ole rationaalilukuja, niin joko a ei ole rationaaliluku tai b ei ole rationaaliluku.' 7
Propositioiden rakenne propositiolaskenta tutkii propositioiden rakennetta edell. kalvon propositiot ovat yhdistettyjä propositioita; ne muodostuvat atomisista propositioista loogisia operaatioita eli konnektiiveja soveltamalla konnektiivit vastaavat algebran laskutoimituksia (atomisia) propositioita kuvataan propositiomuuttujilla propositiomuuttujia merkitään pienillä kirjaimia p,q ja r, joskus alaindeksillä varustettuna 8
Loogiset operaatiot konnektiivi symboli ja (konjunktio) tai (disjunktio) ei (negaatio) jos niin (implikaatio) jos ja vain jos (ekvivalenssi) 9
Totuustaulut loogisten operaatioiden toiminta määritellään totuustaulujen avulla negaatio operaatiota lukuunottamatta (joka on yksipaikkainen) konnektiivit ovat kaksipaikkaisia loogiset operaatiot määritellään totuustauluilla antamalla konnektiivissa esiintyville propositiomuuttujille kaikki mahdolliset arvot 10
Konjunktio (p q) p q p q T T T T F F F T F F F F 11
Tarkastellaan seuraavien ilmaisujen totuusarvoja I. Jää kelluu vedessä ja 2 + 2 =4. II. Jää kelluu vedessä ja 2 + 2 =5. III. Kiina on Euroopassa ja 2 + 2 =4. IV. Kiina on Euroopassa ja 2 + 2 =5. I. tosi II. epätosi III. epätosi IV. epätosi 12
Disjunktio (p q) p q p q T T T T F T F T T F F F 13
Tarkastele seuraavien ilmaisujen totuusarvoja I. Jää kelluu vedessä tai 2 + 2 =4. II. Jää kelluu vedessä tai 2 + 2 =5. III. Kiina on Euroopassa tai 2 + 2 =4. IV. Kiina on Euroopassa tai 2 + 2 =5. I. tosi II. tosi III. tosi IV. epätosi 14
Disjunktiosta suomen kielessä sanaa tai käytetään kahdessa merkityksessä jos tarjolla on teetä tai kahvia on tarkoitus (tavallisesti) ottaa joko teetä tai kahvia, mutta ei molempia; kysessä on eksklusiivinen eli poissulkeva tai jos taas alennus on voimassa, jos henkilö on opiskelija tai työtön, lienee se voimassa myös jokaiselle joka on sekä opiskelija että työtön; kyseessä on inklusiivinen eli sisältävä tai määritelmän mukaisesti disjunktio on inklusiivinen 15
XOR operaatio (eksklusiivinen tai) p q p q T T F T F T F T T F F F 16
Negaatio ( p ) p p T F F T 17
Tarkastellaan seuraavia ilmaisuja I. Jää kelluu vedessä. II. Ei ole totta, että jää kelluu vedessä. III. Jää ei kellu vedessä. IV. 2 + 2 =5. V. Ei ole totta, että 2 + 2 = 5. VI. 2 + 2 5. 18
Vaihtoehtoisia merkintöjä loogisille operaatioille p & q, p q, pq ilmaisulle p q p + q ilmaisulle p q p, p ilmaisulle p 19
Implikaatio ( p q ) p q p q T T T T F F F T T F F T 20
Tarkastellaan seuraavaa ilmaisua Jos saat loppukokeesta vähintään 15 pistettä, läpäiset kurssin mikäli saat loppukokeesta vähintään 15 pistettä ja läpäiset kurssin, on ilmaisu tosi mikäli saat loppukokeesta alle 15 pistettä ja läpäiset kurssin, on ilmaisu niinikään tosi jos saat loppukokeesta alle 15 pistettä etkä läpäise kurssia, on ilmaisu edelleen tosi ilmaisu on epätosi ainoastaan silloin jos saat loppukokeesta ainakin 15 pistettä etkä läpäise kurssia 21
Ekvivalenssi (p q) p q p q T T T T F F F T F F F T 22
Yhdistetyt propositiot 'Joko tietokoneohjelmani toimii ja siinä ei ole virheitä tai tietokoneohjelmani sisältää virheitä' Formaalisti: p : 'tietokoneohjelmani toimii' q : 'tietokoneohjelmassani sisältää virheitä' Yo propositio symbolisessa muodossa loogisena ilmaisuna (p q) q Huom! Sulkeilla on väliä! (p q) q ei ole sama kuin p ( q q ) 23
Proposition (p q) q ilmaisupuu q p q 24
Konnektiivien vaikutusalueet kasvavassa järjestyksessä, sekä,, propositio p q r s p r tarkoittaa propositiota {[( p) q ] r } [(s p) ( r)] eli siis suoritusjärjestys: p, r, ( p) q, s p, [( p) q ] r, (s p) ( r), {[( p) q ] r } [(s p) ( r)] 25
Ilmaisun (p q) q totuustaulu p q q p q (p q) q T T F F T T F T T T F T F F T F F T F F 26
Esim. yhdistetystä propositiosta 'Jos Anna ja Pekko eivät molemmat ole onnellisia, niin joko Anna ei ole onnellinen tai Pekko ei ole onnellinen' Formaalisti: p : 'Anna on onnellinen' q : 'Pekko on onnellinen' Yo propositio symbolisessa muodossa (p q) p q 27
Ilmaisun (p q) p q totuustaulu p q p q (p q) p q p q (p q) p q T T T F F F F T T F F T F T T T F T F T T F T T F F F T T T T T 28
Lauselogiikan ilmaisut Lauselogiikan ilmaisut voidaan induktiivisesti määritellä seuraavasti: 1. Jokainen propositiomuuttuja on lauselogiikan ilmaisu. 2. Jos p ja q ovat lauselogiikan ilmaisuja, niin ( p), (p q), (p q), (p q) ja (p q) ovat lauselogiikan ilmaisuja. 3. Ainoastaan sellaiset rakenteet, jotka saadaan sääntöjä 1 ja 2 äärellisen monta kertaa soveltamalla, ovat lauselogiikan ilmaisuja. Huom. Lauselogiikan ilmaisun totuustaulu määräytyy täysin siinä esiintyvien propositiomuuttujien ja loogisten operaatioiden perusteella. 29
Tautologiat ja ristiriidat lauselogiikan ilmaisu, joka on tosi kaikilla propositiomuuttujien arvoilla on tautologia merkitään mielivaltaista tautologiaa symbolilla T 0 esim. p p on tautologia lauselogiikan ilmaisu, joka on epätosi kaikilla propositio-muuttujien arvoilla on ristiriita merkitään mielivaltaista ristiriitaa symbolilla F 0 esim. p p on ristiriita 30
Tautologia ja ristiriita: totuustaulut p p p p p p p p T F T T F F F T T F T F 31
Looginen ekvivalenssi 'Ei ole totta, että syötetiedosto ja tulostetiedosto eivät kumpikaan ole tallennettu kovalevylle.' ekvivalentti muoto 'Joko syötetiedosto tai tulostetiedosto on tallennettuna kovalevylle.' Formaalisti p : 'syötetiedosto on tallennettuna kovalevylle' q : 'tulostetiedosto on tallennettuna kovalevylle' 1. propositio: ( p q ) 2. propostio: p q 32
Ilmaisujen ( p q ) ja p q yhteinen totuustaulu p q p q p q ( p q) p q T T F F F T T T F F T F T T F T T F F T T F F T T T F F 33
Looginen ekvivalenssi (2) kaksi samoista muuttujista koostuvaa lauselogiikan p ja q ovat loogisesti ekvivalentit (merk. p q ) jos ne saavat samat totuusarvot kaikilla propositiomuuttujien totuusarvojen valinnoilla siten p ja q ovat loogisesti ekvivalentit täsmälleen silloin, kun p q on tautologia (tai että ilmaisuilla p ja q on sama totuustaulu 34
Looginen seuraus olkoot p ja q kaksi samoista muuttujista koostuvaa loogista ilmaisua; tällöin ilmaisu q seuraa loogisesti ilmaisusta p (merk. p q) jos kaikilla propositiomuuttujien totuusarvojen valinnoilla siitä, että p on tosi seuraa, että q on tosi siten q on looginen seuraus p:stä täsmälleen silloin, kun siitä, että p:n totuustaulussa on jollakin rivillä arvo T, aina seuraa, että samalla rivillä on myös q:n totuustaulussa arvo T tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että p q on tautologia 35
Tulkinnoista huomaa 'ekvivalenssi' operaation (vast. implikaatio operaation ) ja käsitteen looginen ekvivalenssi (vast. looginen seuraus ) ero p q (vast. p q) on looginen ilmaisu, joka on muodostettu loogisista ilmaisuista p ja q p q (vast. p q) kertoo jotakin ilmaisujen p ja q suhteesta; tapauksessa p q ilmaisujen p ja q totuustaulut ovat samat, tapauksessa p q on voimassa se, että jos p on tosi, niin myös q on tosi 36
Konversio ja kontrapositio ilmaisun p q konversio on q p ilmaisun p q kontrapositio on q p p q p q q p p q q p T T T T F F T T F F T F T F F T T F T F T F F T T T T T 37
Totuudenpuhuja/valehtelija ongelma Kaukaisella saarella asuu kahdentyyppisiä alkuasukkaita sellaisia, jotka aina puhuvat totta; ja sellaisia, jotka aina valehtelevat. On mahdollista, että saarelle on haudattu aarre; jokainen saaren asukas tietää onko näin vai ei. Tulet saarelle ja vastaasi kävelee alkuasukas. Sinun täytyy yhdellä kysymyksellä (johon vastaus on 'kyllä' tai 'ei') selvittää onko saarelle haudattu aarre. Miten asetat kysymyksen? 38
Logiikan lait usein p halutaan korvata sell. q, että p q loogisesti ekvivalentit ilmaisut ovat logiikan lakeja (kts. seur. kalvo) 1. laki: operaatio saadaan poistetuksi 2. laki: operaatio saadaan poistetuksi 3. laki: tuplanegaatio saadaan poistetuksi loput lait esitetään duaalilakinsa kanssa totea lain pätevyys totuustaulun avulla! huomaa analogia lukujen algebran kanssa (=, ), (, ), (+, ), (1, T), (0, F) 39
Logiikan lait 40
( p q) p q p q p q p q ( p q) p q T T F F T F F T F F T F T T F T T F F T T F F T T F T T 41
[(p q) q ] p on tautologia [(p q) q ] p [( p q) q ] p [ q ( p q)] p [( q p) ( q q)] p (1. distribut. laki) [( q p) F 0 ] p (1. inversiolaki) ( q p) p ( q p) p (q p) p q (p p) (2. assosiat. laki) q T 0 (2. inversiolaki) (implikaatiolaki 2. kertaa) (1. kommutat. laki) (2. identtisyyslaki) (1. de Morganin laki) (kaksoiskielt. laki kahdesti) T 0 (2. annihilaatiolaki) 42
Loogisia implikaatioita p q p (supistuslaki) p p q (laajennuslaki) myös loogisia implikaatioita voidaan käyttää lakeina Esim. Osoita ilman totuustaulua, että p q p q p q (p q) (q p) p q (ekvivalenssilaki) (supistuslaki) 43
Esimerkki todistamisesta onko seuraava päättely oikea? 'Tiedosto on binaaritiedosto tai tekstitiedosto. Jos se on binaaritiedosto, ohjelmani ei hyväksy sitä. Ohjelmani hyväksyy tiedoston. Siispä se on tekstitiedosto.' päättely koostuu oletuksista (kolme ensimm. lausetta) ja johtopäätöksestä johdumme tarkastelemaan tyyppiä P 1 P 2 P 3 Q olevaa lauseketta, jossa P 1, P 2 ja P 3 ovat oletuksia ja Q johtopäätös 44
Esimerkki todistamisesta (2) mikäli päättely on oikea, sen tulisi olla tautologia tautologisuus voidaan todeta kahdella tavalla laatimalla totuustaulu käyttämällä logiikan lakeja määritellään propositiot p : 'tiedosto on binaaritiedosto' q : 'tiedosto on tekstitiedosto' r : 'ohjelmani hyväksyy tiedoston' tällöin saamme loogiset ekvivalenssit P 1 p q, P 2 p r, P 3 r ja Q q 45
Esimerkki todistamisesta (3) päättely on oikea, jos [( p q ) ( p r ) r ] q on tautologia totuustaulu: 8 riviä (miksi) ja saman verran sarakkeita yksinkertaistus logiikan laeilla [( p q ) ( p r ) r ] q [( p q ) ( p r ) r ] q [( p q ) r ( p r )] q {( p q ) [( r p) (r r )]} q {( p q ) [( r p) F 0 ]} q [( p q ) r p] q 46
Esimerkki todistamisesta (4) [ p ( p q ) r ] q {[( p p) ( p q )] r } q {[F 0 ( p q )] r } q ( p q r ) q [q ( p r )] q q ( p r ) q q q ( p r ) T 0 ( p r ) T 0 kyseessä tautologia, siis päättely oikea 47
Esimerkki Onko seuraava päättelyketju oikea? Jos Risto saa opinto-ohjaajan toimen ja työskentelee ahkerasti, hän saa palkankorotuksen. Jos Risto saa palkankorotuksen, hän ostaa uuden läppärin. Risto ei osta uutta läppäriä. Siispä joko Risto ei ole saanut opinto-ohjaajan toimea tai hän ei ole työskennellyt ahkerasti. 48
Ratkaisu Merkintöjä: p : Risto saa opinto-ohjaajan toimen q : Risto työskentelee ahkerasti r : Risto saa palkankorotuksen s : Risto ostaa uuden läppärin p q r r s s p q 49
Ratkaisu onko (p q r ) (r s ) s p q tautologia? ( p q r ) ( r s ) s p q ( p q r) ( r s ) s p q ( p q r) ( r s ) p q ( p q ) ( r s ) p q ( p q ) ( r s ) ( p q ) ( p q ) ( p q ) ( r s ) T 0 ( r s ) T 0 kyseessä tautologia, siis päättely oikea 50
Loogisesta päättelystä Päättely on rakenne (1) p 1, p 2,..., p n, Ⱶ q missä loogiset ilmaisut p 1, p 2,..., p n ovat oletuksia (eli premissejä) ja looginen ilmaisu q on johtopäätös. Päättely (1) johdonmukainen (eli (loogisesti) oikea eli validi), jos looginen ilmaisu p 1 p 2,... p n, q tautologia (eli q on looginen seuraus ilmaisusta p 1 p 2,... p n Tämä on tietysti yhtäpitävää sen kanssa, että q on tosi, jos ilmaisut p 1,p 2,..., p n ovat tosia. 51
Esimerkki Intuitiivisen logiikan perusteella seuraava järkeily on tosi: 'Jos p:stä seuraa q ja q:sta seuraa r, niin p:stä seuraa r Osoita päättely loogisesti oikeaksi. Ratkaisu. Meidän täytyy osoittaa, että päättely p q, q r Ⱶ p r on johdonmukainen. Edellä esitetyn nojalla riittää osoittaa, että (p q) (q r) (p r) on tautologia. 52
Predikaattilogiikka prop. laskenta ei tehoa sell. loogisiin rakenteisiin, jotka esiintyvät atomisten propositioiden sisällä erityisesti se ei riitä muuttujia sisältävien väitteiden käsittelyyn tarkastellaan väitteitä 1. 'Kaikki parilliset reaaliluvut ovat kokonaislukuja. Luku 8 on parillinen luku. Siispä 8 on kokonaisluku.'; ja 2. 'Ei ole totta, että kaikki alkuluvut ovat parittomia. Siksi täytyy olla olemassa ainakin yksi parillinen alkuluku.' 53
Predikaattilogiikka (2) olkoon p propositio 'kaikki parilliset reaaliluvut ovat kokonaislukuja', q propositio 'luku 8 on parillinen'; ja r propositio 'luku 8 on kokonaisluku' tällöin väite 1 saa muodon p q r, joka on epätosi, jos p ja q ovat tosia, mutta r epätosi olkoon p' propositio 'kaikki alkuluvut ovat parittomia', q' propositio 'on olemassa ainakin yksi parillinen alkuluku' väite 2 saa muodon p' q', joka on epätosi, jos sekä p' että q' ovat epätosia 54
Predikaatit ilmaisu on predikaatti, jos se sisältää yhden tai useampia muuttujia se ei ole propositio, mutta siitä tulee propositio, kun siinä esiintyvien muuttujien arvot sopivasti sidotaan predikaatti, jossa esiintyy täsmälleen n eri muuttujaa on n paikkainen predikaatti kukin predikatin muutuja saa arvoja omassa määrittelyjoukossaan esim. ' x < 5 ' on (yksipaikkainen) predikaatti; x on muuttuja, jonka määrittelyjoukko on reaalilukujen joukko 55
Predikaatit (2) jos korvaamme muuttujan x jollakin reaaliluvulla, saamme proposition, joka on joko toi tai epätosi 3 < 5 on tosi 7 < 5 on epätosi predikaatin muuttujia voidaan sitoa myös kvanttoreilla: universaalikvanttorilla (luetaan 'kaikilla') eksistenssikvanttorilla (luetaan 'on olemassa') tarkastellaan predikaattia 'x < 7 x > 5'; tällöin x [x < 7 x > 5] tulkitaan: 'kaikilla x:n reaalilukuarvoilla on x < 7 tai x >5' 56
Predikaatit (3) edelleen predikaatti x [x >5] tulkitaan 'on olemassa sellainen x:n reaalilukuarvo, että x > 5' yleisemmin: jos P(x) on yksipaikkainen predikaatti, jonka muuttujan x määrittelyjoukko on U, tulkitaan x P(x): 'kaikilla a U on P(a) tosi' ; ja x P(x): 'on olemassa sellainen a U, että P(a) on tosi' merkitsemme seuraavassa predikaatteja isoilla kirjaimilla P, Q ja R (tarvittaessa alaindekseillä varustettuna) 57
Predikaatit (4) predikaattia P, joka sisältää n muuttujaa x 1, x 2,..., x n merkitään P(x 1, x 2,..., x n ) oletamme, että muuttujien määrittelyjoukot ovat aina epätyhjiä kvanttorien sijoittaminen predikaattiin tapahtuu kirjoitusjärjestyksessä; oletetaan, että x:n määrittelyjoukko on U ja y:n määrittelyjoukko V x y P(x,y) tarkoittaa x( y P(x,y) ) eli 'jokaista (x:n arvoa) x 0 U kohti on olemassa sellainen (y:n arvo) y 0 V, että P(x 0, y 0 ) on tosi' 58
Universaali ja eksistenssikvanttorin yhteys tarkastellaan propositiota (1) 'Kaikki joutsenet ovat mustia' olkoon P(x) predikaatti: 'joutsen x on musta', voimme kirjoittaa (1):n muodossa: x P(x) sovelletaan negaatiota prop. (1) ja saadaan: (2) 'Kaikki joutsenet eivät ole mustia' formaalisti: [ x P(x)] prop. (2) void. yhtäpitävästi esittää muodossa (3) 'On olemassa ainakin yksi joutsen, joka ei ole musta' formaalisti: x [ P(x)] 59
Universaali ja eksistenssikvanttorin yhteys (2) olemme kehittäneet logiikan säännön [ x P(x)] x [ P(x)] joka sanoo seuraavan: 'muotoa x P(x) olevan proposition negaatio saadaan vaihtamalla universaalikvanttori eksistenssikvanttoriksi ja ottamalla predikaatin negaatio' vastaavasti [ x P(x)] x [ P(x)] eli 'muotoa x P(x) olevan proposition negaatio saadaan vaihtamalla eksistenssikvanttori universaalikvanttoriksi ja ottamalla predikaatin negaatio' 60
Kvanttorien ja järjestyksellä on väliä! esitä symbolisessa muodossa seur. propositiot 'Jokaista lukua x kohti on olemassa sellainen luku y, että y = x+1.' 'On olemassa sellainen luku y, että jokaisella luvulla x on y = x+1.' olkoon P(x,y) predikaatti: y = x+1 1. propositio on: x yp(x,y) 2. propositio on: y xp(x,y) havaitsemme, että 1. propositio on tosi: jokaista lukua kohti on olemassa sitä yhtä suurempi luku; 2. propositio on epätosi: ei taatusti ole olemassa yhtä ainoaa sellaista lukua, joka on yhtä suurempi kuin kaikki muut luvut 61
'Jokaista lukua x kohti on olemassa sellainen luku y, että y < x ' symbolisesti x y: y < x Teht. Kirjoita edellisen proposition negaatio ja yksinkertaista se. x y ( y < x ) x [ y ( y < x )] x [ y ( y < x )] x y ( y x ) sama suomeksi: 'On olemassa sellainen luku x, että jokaisella luvulla y on voimassa y x.' huom. alkuperäinen propositio on tosi, sen negaatio on epätosi 62
'Ei ole totta, että kaikki alkuluvut ovat parittomia. Siksipä on olemassa ainakin yksi parillinen alkuluku' olkoon P(x) predikaatti: 'luku x on alkuluku' ja Q(x) predikaatti: 'luku x on pariton' propostio: 'kaikki alkuluvut ovat parittomia' formaalisti: x [P(x) Q(x)] (varmistu asiasta) propositio 'ei ole totta, että kaikki alkuluvut ovat parittomia' formaalisti: x [P(x) Q(x)] x [P(x) Q(x)] x { [ P(x) Q(x)] } x { [ P(x) Q(x)] } x [ P(x) Q(x)] 63
'Ei ole totta, että kaikki alkuluvut ovat parittomia. Siksipä on olemassa ainakin yksi parillinen alkuluku' (2) x [ P(x) Q(x)] x [ P(x) Q(x)] kehitelmän viimeinen rivi suomeksi: 'On olemassa ainakin yksi sellainen luku, joka on alkuluku ja ei ole pariton' eli yhtäpitävästi 'On olemassa ainakin yksi parillinen alkuluku' 64
Matemaattisesta todistamisesta todistamisella on keskeinen rooli matematiikassa matematiikan teoria perustuu aksiomeihin eli postulaatteihin, joita pidetään absoluuttisesti totta olevina väittäminä esim. teorioista: euklideen geometria, lukuteoria väittämistä voidaan johtaa uusia väittämiä loogisesti päättelemällä (modus ponens riittää pitkälle) teoreema on totta oleva väittämä, joka voidaan johtaa aksiomeista loogisesti päättelemällä 65
Matemaattisesta todistamisesta (2) teoreeman todistus on perustelu, joka osoittaa, että teoreema on tosi todistus etenee askelittain äärellisenä jonona väittämiä, joista jokainen on joko aksiomi, aikaisempi teoreema tai looginen seuraus todistuksen aikaisemmista askelista matem. todistus voidaan tehdä täysin muodollisesti propostio- ja predikaattiligiikkaa käyttäen; jokaisessa askelessa käytetään tällöin jotakin päättelysääntöä; näin. tapahtuu esim. mekaanisessa teoreemantodistamisessa tietokoneella 66
Matemaattisesta todistamisesta (3) todellisuudessa todistukset kuitenkin esitetään puhekielen lauseiden ja matemaattisten merkintöjen sekotuksena em. todistustapa tulee tarvittaessa voida palauttaa täysin tarkaksi esitykseksi todistusten konstruointi vaatii harjaannusta ja erilaisten tekniikoiden hallintaa; jokaiseen tapaukseen sopivaa tekniikkaa ei ole olemassa, vaan uusissa tilanteissa joudutaan kokeilemaan useita vaihtoehtoja ja kehittämään uusia menetelmiä 67
Todistustekniikoita muotoa P Q olevan teoreeman todistaminen jos voidaan osoittaa, että P on epätosi, on P Q tosi jos voidaan osoittaa, että Q on aina tosi, on P Q myös tosi (triviaali todistus) suora todistus: oletetaan, että jos P on tosi, niin siitä väistämättä seuraa, että Q on tosi epäsuora todistus: osoitetaan, että (P Q):n kontrapositio Q P on tosi; oletetaan, että Q on tosi ja että tästä väistämättä seuraa, että P on tosi todistus ristiriidan avulla: oletetaan, että P ja Q ovat molemmat tosia ja johdetaan ristiriita 68
Todistustekniikoita (2) kun halutaan todistaa, että jokin kaikkia alkioita koskeva yleinen väite ei ole tosi, tämä voidaan usein tehdä vastaesimerkin avulla etsimällä yksi sellainen alkio, jolle väite ei päde muodollisesti: halutaan osoittaa, että x P(x) koska x P(x) x P(x), riittää löytää sellainen x 0, että P(x 0 ) 69
Esimerkkejä todistamisesta Esim. 13. Osoita, että kahden parillisen kokonaisluvun summa on aina parillinen Esim 14. Osoita, että jos x on muotoa 3k+1 (missä k on kokonaisluku) oleva luku, niin x 2 on myös tätä muotoa. Esim 15. Olkoon x kokonaisluku. Osoita, että jos x 2 on parillinen, niin x on parillinen. Esim 16. Olkoot x, y ja z positiivisia kokonaislukuja. Osoita, että jos xy = z 2 ja x < z, niin y > z. Esim 17. Osoita vääräksi seuraava väite. Jokainen luonnollinen luku voidaan esittää muodossa x 2 + y 2, missä x ja y ovat luonnollisia lukuja. 70