(mod 71), 2 1(mod 71) (3 ) 3 (2 ) 2

Transkriptio

1 46. Väite: Luku on jaollinen luvulla 71. Todistus: (mod 71), 1(mod 71) (3 ) 3 ( ) (mod 71) Luku ei ole jaollinen luvulla (3 ) 6 36(mod 71) ( ) 37 40(mod 71) Laudatur 11 MAA11 ratkaisut kertausharjoituksiin 1. Peruskäsitteitä 47. a) Kissa a on harmaa on avoin lause, koska sen totuusarvo riippuu muuttujan a valinnasta. b) Lotta-kissa on musta on suljettu lause, koska sillä on tietty totuusarvo. c) = 9 on suljettu lause, koska sillä on tietty totuusarvo (epätosi). 5 d) x x 5 on avoin lause, koska sen totuusarvo riippuu muuttujan x valinnasta. V astaus: a) Avoin lause b) Suljettu lause c) Suljettu lause d) Avoin lause 48. p = Olen opiskelija., q = Olen töissä. a) p = En ole opiskelija. b) q = En ole töissä. c) p q = En ole opiskelija, ja olen töissä. d) p q = Jos olen opiskelija, niin en ole töissä. e) p q = En ole opiskelija ainoastaan jos olen töissä. Vastaus: a) En ole opiskelija. b) En ole töissä. c) En ole opiskelija, ja olen töissä. d) Jos olen opiskelija, niin en ole töissä. e) En ole opiskelija ainoastaan jos olen töissä. 49. a) Lauseen p q pääkonnektiivi on implikaatio ( ). p q q p q

2 b) Lauseen ( p q) p ääkonnektiivi on negaatio ( ), joka on sulkeiden edessä. p q q p q ( p q ) c) Lauseen p q rp ääkonnektiivi on disjunktio ( ). p q r p q p q r a) Lauseen p q r pääkonnektiivi on implikaatio ( ). p q r p q p q r b) Lauseen p q rpääkonnektiivi on ekvivalenssi ( ). p q r q r p q r

3 c) Lauseen ( p q) p qp ääkonnektiivi on (viimeinen) konjunktio ( ). p q q p p q ( p q) p ( p q) p q a) p ( q r) p q r q r p ( q r) b) p ( q r) p q r q r p ( q r) p = x = 3 ja q = 6x = 18 Lau se q p = Jos 6x = 18, niin x = Lause on tosi, sillä jos 6x = 18 x = x = 3. 6 Vastaus: Jos 6x = 18, niin x = 3., lause on tosi. 53. Merkitään p = Ranta on lähellä., q = Oikealle menevä tie vie rantaan. Herra 1: Ranta on lähellä tai oikealle menevä tie vie rantaan. = p q Herra : Ranta on lähellä ja oikealle menevä tie vie rantaan. = p q Herra : Jos ranta on lähellä, oikealle menevä tie johtaa rantaan. = p q 99

4 Laaditaan totuustaulu. p q 1: p q : p q : p q b) Koska herra ei voi puhua sekä totta että valetta, tulevat vain rivit 1 ja kysymykseen. Kummaltakin riviltä nähdään, että herra 1 puhuu totta, joten herra valehtelee. c) Ri vi on totu uden mukain en rivi, joten Liisan on valittava vasemmalle vievä tie. Vast aus : b) Herra 1 puhuu totta ja herra valehtelee. c) Liisan on valittava vasemmalle menevä tie.. Tautologia 54. a) Väite: Lause ( p q) ( p q) on tautologia. Todistus: ( p q) De Morganin laki ( p) ( q) kaksoisnegaation laki p q Koska la useet ( p q) ja p q ovat ekvivalentit, niin lause ( p q) (p q) on tautologia. b) Väite: Lau se [ p ( q r)] ( q r) pon tautologia. Todistu s: p ( q r) kontrapositiolaki [ ( q r) ( p)] De morganin laki {[ ( q) ( r)] ( p)} kaksoisnegaation laki [( q r) p] Koska l auseet p ( q r) ja ( q r) p ovat ekvivalentit, niin lause [ p ( q r )] ( q r) pon tautologia. 55. [( p q) p] p Laaditaa n totuustaulu. p q p p q ( p q) p [( p q) p] p

5 Koska lauseen [( p q) p] p totuus ei ole riippumaton atomilauseiden totuusarvoista, lause ei ole tautologia. Vastaus: Lause ei ole tautolo gia. 56. [( p q) ( q r)] ( p r) Laaditaan totuustaulu. p q r p q q r ( p q) ( q r) p r [( p q) ( q r)] ( p r) Koska lauseen [( p q) ( q r)] ( p r) totuusarvo on riippumaton atomilauseiden totu usarvoista, lause on tautologia. Vast aus : Lause on tautologia. 57. Osoitetaan, että [( p r) q] [ q ( p r)] ( p r) q kontrapositiolaki [ ( q) ( p r)] De Morganin laki { ( q) [( p ( r)]} kaksoisnegaation laki [ q ( p r)] q ( p r) ovat ekvivalentit. ja 58. Muodostetaan sellainen lause r lauseiden p ja q avulla, joka on tosi vain silloin, kun lause p on tosi ja lause q on epätosi, ja muulloin lause on epätosi. Totuustaulu p q r Lause p q on epätosi, kun lause p on tosi ja lause q on epätosi, muulloin lause on tosi. Kysytty lause on tämän lauseen negaatio, siis lause r voi olla r ( p q) 101

6 3. Predikaattilogiikka 59. Lause px ( ): x + 1= Yhtälön ratkaisu (jos määrittelyjoukko on reaalilukujen joukko) x + 1= x = 1 x =±1 a ) Määrittelyjoukko on A = Z. Koska yhtälön molemmat ratkaisut kuuluvat määrittelyjoukkoon, ne kelpaavat. Ratkaisujoukko on { 1, 1} A =, 1, 0. Ratkaisuista vain x = 1 kuuluu b) Määrittelyjoukko on { } määrittelyjoukkoon, joten ratkaisujoukko on { 1}. Vastaus: a) { 1, 1} b) { 1} 60. Lause px ( ): x> 1 x 4 Lauseen ratkaisu (jos määrittelyjoukko on reaalilukujen joukko) x > 1 ja x 4 x > 1 ja x x > 1 ja x Lukusuora x > 1 1 x 4 x > 1 x 4 a) Kun määrittelyjoukko on A = Z, ratkaisuksi kelpaa vain luku. b ) Kun määrittelyjoukko on A = R, niin ratkaisuksi kelpaa puoliavoin väli ]1,]. Vastaus: a) { } b) ]1,] a) Lause x R:( x Z ) on epätosi, sillä esimerkiksi, Z. b) Lause x R:( x Z) on tosi, sillä esimerkiksi 1 ja 1 Z. c) Lause x Z:( x R) on tosi, sillä kokonaislukujen joukko sisältyy reaalilukujen joukkoon. d) Lause x Z:( x R) on tosi, sillä kokonaislukujen joukko sisältyy reaalilukujen joukkoon. Vastaus: a) Epätosi b) Tosi c) Tosi d) Tosi 10

7 x 6. x Z+ : y Z+ : = 1 y Lause on tosi, jos löytyy sellainen positiivinen kokonaisluku, joka jaettaessa millä tahansa positiivisella kokonaisluvulla antaa osamääräksi 1. Tämä on mahdotonta, koska kahden positiivisen kokonaisluvun osamäärä on yksi vain jos luvut ovat yhtä suuret. Lause on epätosi. Vastaus: Lause on epätosi. 63. Lause x R :[ x = x 4x+ 4 = 0] Yhtälö x = ( x = x= ) Tarkastellaan lauseen x R :[ x = x 4x+ 4 = 0] totuusarvoa, kun x. Epätodeksi todistamiseen riittää vain yksi esimerkki. Lasku totuusarvo lasku totuusarvo x x = x = x 4x+ 4= 0 x 4x+ 4= 0 x = x 4x+ 4= 0 x ± 1 0 ( 1) 4 ( 1) x = = 1 ( ) 4 ( ) x = 1 = 4 + 4= Lauseen totuusarvo ei ole riippumaton muuttujan x valinnasta, joten lause ei ole tautologia. V astaus: Ei ole 64. a) Lause x R: y R: x y = 0 on tosi, jos jokaiselle reaaliluvulle x löytyy ainakin yksi reaaliluku y siten, että voidaan valita, että x = y. x y = 0 x = y. Lause on tosi, sillä esimerkiksi b) Lause y R: x R: x y = 0 on epätosi, koska x y = 0 x = y ja vain samojen lukujen tai vastalukujen neliöt ovat yhtä suuret. Ei ole olemassa sellaista reaalilukua, jonka neliö olisi yhtä suuri kuin minkä tahansa muun reaaliluvun neliö. Vastaus: a) Tosi b) Epätosi 65. Lause x : qx ( ) on tosi. a) x : qx ( ) Jos lause q(x) kaikilla reaaliluvuilla, niin ei voi olla yhtään sellaista reaalilukua, jolle lause q(x) ei olisi tosi. Näin ollen lauseen q(x) negaatio ei olla tosi millään reaaliluvulla. Voidaan siis päätellä totuusarvo. 103

8 b) x : qx ( ) Jos lause q(x) kaikilla reaaliluvuilla, niin ei voi olla yhtään sellaista reaalilukua, jolle lause q(x) ei olisi tos i. Näin ollen lause x : qx ( ) on aina tosi. Voidaan siis päätellä totuusarvo. V astaus: a) Voidaan b) Voidaan 4. Todistusmenetelmiä 66. Merkitään p = Olio on hyönteinen, q = Oliolla on 3 jalkaparia Päättelyn formalisointi Hyönteisillä on 3 jalkaparia. Hämähäkillä on 4 jalkaparia. Tästä seuraa, että hämähäkki ei ole hyönteinen. [( p q) q] p Laaditaan totuustaulu lauseelle p q p [( p q) q] p q p q [( p q) q] [( p q) q] p Koska lause on tautologia, päättely on oikea. Vastaus: Päättely on oikea x 53x 1 = 0 ( x = x = 7) 8 Todistetaan ensin implikaatio vasemmalta oikealle ( ) 8x 53x 1 = 0 ( 53) ( 53) 4 8 ( 1) ± x = 8 3 x1 = 8 x = 7 Todistetaan implikaatio oikealta vasemmalle ( ) 3 Sijoitetaan x = = + 1= Sijoitetaan x = = 0 Koska implikaatiot ovat kumpaankin suuntaan tosia, on ekvivalenssi tosi. 104

9 68. a) Oletus: n on pariton Väite: n 1 on pariton Todistus: Merkitään n = k + 1 n 1 = (k + 1) 1 = 4k + 3 = 4k = (k + 1) + 1, joka on pariton. b) Oletus: n on pariton Väite: n 1 on pariton Todistus: Vastaväite: n 1 on parillinen Merkitään n 1 = p, p n 1 = p n = p +1 Päädyttiin ristiriitaan, koska yhtälön vasemmalla puolella on parillinen luku ja oikealla puolella pariton, joten väite on oikea. 69. Oletus: x < y ja a < b Väite: x + a < y + b Todistus: x < y +a x +a < y + a < y + b On osoitettu, että jos x < y ja a < b, niin x + a < y + b. 70. Oletus: Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset. Väite: Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret Todistus: α β α β β α β α Kun kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa kaksi muuta keskenään yhdensuuntaista suoraa, muodostuu yhtä suuret samankohtaiset kulmat, jotka ovat suunnikkaan vastakkaiset kulmat. 71. x + x+ 3x+ 3 0 Vastaesimerkki 7 Sijoitetaan x = , = < 4 Joten epäyhtälö ei ole tosi kaikilla reaaliluvuilla x. Vastaus: Epäyhtälö ei ole tosi kaikilla reaaliluvuilla x. 105

10 7. a > b a > b Vastaesimerkki Sijoitetaan a = ja b = 1 > 1 mutta < 1 Vastaus: Lause on epätosi. 73. x > 3 x+ 1, 9 x 9 > Vastaesimerkki Sijoitetaan x = , = 1, < Vastaus: Lause on epätosi. 74. a) x :x > x Vastaesimerkki Sijoit et aan x = 0 0 = 0> 0 b) x : x + x 9 0 Tutkitaan funktiota f( x) = x + x 9 Nollakohdat D = 1 4 ( 1) ( 9) = 35< 0 ei nollakohtia Kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten funktio saa vain negatiivisia arvoja. 5. Alkuluvut 75. a) 7 = 3 3 b) 198 = 3 11 c) 448 = a) 117 = 3 13 b) 638 = 11 9 c) 75 = d) 1 15 = 3 5 e) 1 45 = f) 110 = 5 11 g) 436 = h) 7 05 = Poistetaan luvusta viimeinen numero 5 ja jäljelle jäävästä luvusta 950 vähennetään alkuperäinen viimeinen numero 5 kerrottuna kahdella eli = 940 Toistetaan menettely luvulle = 94 Toistetaan menettely luvulle = 1 106

11 Koska luku 1 on jaollinen seitsemällä, on luku 94 jaollinen seitsemällä ja luku 940 sekä alkuperäinen luku jaollinen seitsemällä. Vastaus: On jaollinen luvulla Luku ei ole jaollinen yhdellätoista, koska sen numeroista vuorotellen yhteen ja vähennyslaskulla saatu luku = 6 ei ole jaollinen yhdellätoista. V astaus: Ei ole jaollinen yhdellätoista Koska luku ei ole jaollinen luvuilla, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31 ja 37, se on alkuluku. Vastaus: Luku on alkuluku. 80. a) 1 = 3 40 = 3 5 syt(1, 40) = = 4 p yj (1,4 0) = = 10 b) 8 = 3 90 = = 3 7 syt(8, 90, 16) = pyj (8, 90, 16) = = 50 Vastaus: a) 4 ja 10 b) ja a) 56 = = = 3 7 syt(56, 70, 84) = 7 = 14 pyj(56, 70, 84) = = 840 b) 54 = = = 3 19 syt(54, 153, 171) = 3 = 9 pyj(54, 153, 171) = = Vastaus: a) 14 ja 840 b) 9 ja

12 a) = = b) = = c) 996 = = 14 Vastaus: a) 4 9 b) c) Oletus: n Väite: 5n 3 + n on parillinen. Todistus: Jaetaan todistus kahteen osaan. 1) n on parillinen 5n 3 + n = n(5n + 1) tulo on parillinen, koska n on parillinen ) n on pariton 5n 3 + n on pariton, koska parittomien lukujen tulo on pariton ja parittomien lukujen summa on parillinen. 6. Jaollisuus ja lukujärjestelmät 84. a) = b) = V astaus: Jakojäännös on a) 3 b) a) 41 5 = = 111 b) = = 39 c) 56,3 8 = = 46,375 d) FF,A 16 = = 55,65 Vastaus: a) 111 b) 39 c) 46,375 d) 55, a) 91 = = 5 ( ) + 1 = = 5 ( 5 + 1) = = b) 91 = = ( 7 + 1) + 1 = = = = 5 ( 4 + 1) = = c) 91 = = 16( ) + 3 = =13 16 Vastaus: a) b) c)

13 87. a) = ( ) ( ) = = b) Jakolasku : : 543 = jää 7 Vastaus: a) b) jää a) = (7 1) 801 = b) = (11 + 1) 111 = = 3 37 c) = (3 9 1) ( ) = [(3 3 ) 3 1] [(3 3 ) 3 + 1] = (3 3 1) 757 ( ) 703 = = = Vastaus: a) b) 3 37 c) Tekijöihin jako 14 1 = ( 7 1) ( 7 + 1) = Luvun pienin tekijä on 3. Luvun suurin tekijä on = Vastaus: Luvun 14 1 suurin tekijä, joka on pienempi kuin luku itse on =... = Vastaus: Luku alkutekijöinä on Tekijöihin jako + 1 = ( 11 ) = ( ) 1 = ( ) ( ) = = Vastaus: Alkutekijät ovat 5, 397 ja Ykköset x Kymmenet y Sadat z Luku 100z + 10y + x 109

14 Yhtälöryhmä y = 3z x = y 1 100z + 10y + x = 100x + 10y + z 97 y = 3z x = y 1 99z 99x = 97 Ratkaisemalla yhtälöryhmä saadaan x = 5, y = 6 ja z =. Vastaus: Luku on Ykköset x Kymmenet y Sadat z Luku 100z + 10y + x, missä xyz,, Yhtälöryhmä x + y+ z = 10y+ x x + y + z = 118 z = 9y x + y + z = 118 Kun sijoitetaan ylempi yhtälö alempaan, saadaan x + 8y = 118. Koska ainoa ratkaisu on y = 1 ja x = 6, jolloin z = 9. xyz,,, niin Vastaus: Luku on Luku 1 on 10 x, missä x on oikean käden ojentamatta jätettyjen sormien lukumäärä. Luku on 10 y, missä y on vasemman käden ojentamatta jätettyjen sormien lukumäärä. Lukujen tulo (10 x)(10 y) = y 10x + xy = 10(10 x y) + xy Edellä olevassa lausekkeessa xy on ojentamatta jääneiden sormien tulo. Lisäksi ojennettujen sormien lukumäärä on 10 x y. 8. Eukleideen algoritmi 95. a) 36 = = = 4 syt(8, 36) = 4 b) 31 = = = 1 syt(63, 31) = 1 110

15 c) = = = = = = = = = 3 1 syt(735, 1 013) = 1 Vastaus: a) 4 b) 1 c) a) Lukujen 408 ja 45 suurin yhteinen tekijä 45 = = 17 4 Supistetaan luvulla ) = 45 5 b) Lukujen ja 856 suurin yhteinen tekijä 856 = = = 5 56 Supistetaan luvulla ) = c) Lukujen ja suurin yhteinen tekijä = = = = = = = = = = = = = 4 Supistetaan luvulla 4. 4) = Vastaus: a) 4 5 b) 6 51 c)

16 97. a) 98 = = = = 9 Syt(78, 98) = Lineaarikombinaatio = 0 18 = 0 (78 3 0) = = 4 (98 78) 78 = Vastaus: Suurin yhteinen tekijä ja lineaarikombinaatio on = = = = = = 8 8 syt(3 164, 3 89) = 8 Lineaarikombinaatio 8 = 5 4 = 5 (78 5) = = 3 ( ) 78 = = ( ) = Vastaus: Suurin yhteinen tekijä 8 ja lineaarikombinaatio on 8 = a) Diofantoksen yhtälö x 3y = 1 Haetaan lukujen 1 ja 3 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 3 = 3 1 Lineaarikombinaatio 1 = = 1 Yksityisratkaisu x 0 = 1 ja y 0 = 0 Yleinen ratkaisu b 3 x = x0 + n = 1+ n = 1 3n= 1+ 3n syt( ab, ) 1 a 1 y = y0 n = 0 n = n = n, n syt( ab, ) 1 b) Diofantoksen yhtälö 13x 5y = 18 Haetaan lukujen 13 ja 5 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 5 = = = 1 1 Syt(13, 5) = 1 = 13 1 = 13 (5 13) = = = 18 13x 5y = 18 ksityisratkaisu x = 36 ja y 0 = 18 Y 0 11

17 Yleinen ratkaisu b 5 x = x0 + n = 36 + n = 36 5n= 11+ 5n syt( ab, ) 1 a 13 y = y0 n = 18 n = 18 13n= n, n syt( ab, ) 1 c) Diofantoksen yhtälö 14x 6y = 1 Haetaan lukujen 6 ja 14 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 14 = = 3 Syt(6, 14) = = = Koska yhtälön vasemmalle puolelle pitäsi saada pariton luku, joka on mahdotonta, niin yhtälöllä ei ole ratkaisua. Vastaus: a) x = 1+ 3n y = n, n b) x = 11+ 5n y = n, n c) Yhtälöllä ei ole ratkaisua Diofantoksen yhtälö 10x + 8y = 36 Haetaan lukujen 8 ja 10 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 10 = = 4 Syt(8, 10) = = ( 1) = ( 18) = 36 10x + 8y = 36 Yksityisratkaisu x 0 = 18 ja y 0 = 18 Yleinen ratkaisu b 8 x = x0 + n = 18 + n = n= + 4n syt( ab, ) a 10 y = y0 n = 18 n = 18 5n= + 5 n, n syt( ab, ) Vastaus: Kaikki ratkaisut ovat x = + 4n y = + 5 n, n Yhtälön x y = 15 kokonaislukuratkaisut Yhtälön vasemmalla puolen oleva luku 15 voidaan jakaa tekijöihin seuraavasti: 15 = 1 15 = 15 1 = 1 ( 15) = 15 ( 1) = 3 5 = 5 3 = 3 ( 5) = 5 ( 3) Täten yhtälön oikealla puolella olevan lausekkeen x y = (x y) (x + y) tekijöiden pitää olla samat kuin yhtälön oikealla puolen olevat tekijät. Saadaan kahdeksan yhtälöparia ja niille ratkaisut 113

18 x y = 1 x 8 x = + y = 15 y = 7 x y = 15 x = 8 x + y = 1 y = 7 x y = 1 x = 8 x + y = 15 y = 7 x y = 15 x = 8 x+ y = 1 y = 7 x y = 3 x = 4 x + y = 5 y = 1 x y = 5 x = 4 x + y = 3 y = 1 x y = 3 x = 4 x+ y = 5 y = 1 x y = 5 x = 4 x + y = 3 y = 1 Vastaus: Ratkaisuja ovat x = 4 tai y = 1 x = 4. y = 1 x = 8 x = 8 x = 8,,, y = 7 y = 7 y = 7 x = 8, y = 7 x = 4, y = 1 x = 4, y = Kolmen litran astioita x kpl Viiden litran astioita y kpl Marjoja oli 31 litraa Saadaan Diofantoksen yhtälö 3x + 5y = 31 Haetaan lukujen 3 ja 5 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 5 = = = 1 Syt(3, 5) = 1 = 3 1 = 3 1 (5 1 3) = ( 1) = ( 31) = 31 3x + 5y = 31 Yksityisratkaisu x 0 = 6 ja y 0 = 31 Yleinen ratkaisu b 5 x = x0 + n = 6 + n = 6 + 5n = + 5n syt( ab, ) 1 a 3 y = y0 n = 31 n = 5 3 n, n syt( ab, ) 1 Koska x 0, niin + 5n 0 eli n 0,4 114

19 Koska y 0, niin 5 3n 0 eli n 1,66 Kokonaisluvut, jotka toteuttavat ehdot ovat 0 ja 1. Sijoittamalla n = 0, saadaan x = ja y = 5. Sijoittamalla n = 1, saadaan x = 7 ja y =. Näistä pienempi pussien määrä saadaan kun n = 0. Vastaus: Anni tarvitsi vähintään kolmen litran ja 5 viiden litran astiaa. 9. Kokonaislukujen kongruenssi 303. a) 3 6(mod 5) on epätosi, sillä 3 6 = 6 = eli 5 (3 6) b) 5 11(mod 6) on tosi, sillä 5 11 = 36 = 6 6 eli 6 ( 5 11) c) 73 3(mod 7) on tosi, sillä 73 3 = 70 = 10 7 eli 7 (73 3) Vastaus: Lause on a) epätosi b) tosi c) tosi a) 157 = , joten jakojäännös on 1 a) 1 13 = , joten jakojäännös on 10 a) = , joten jakojäännös on 10 Vastaus: Jakojäännös on a) 1 b) 10 c) Vuonna 005 jouluaatto oli lauantai a) Päivästä päivään päiviä on = Lasketaan kongruenssi modulo (mod 7) oli tiistai. b) Päivästä päivään päiviä on = Lasketaan kongruenssi modulo (mod 7) oli maanantai. c) Päivästä päivään päiviä on = Lasketaan kongruenssi modulo (mod 7) oli sunnuntai. Vastaus: Viikonpäivä oli a) tiistai b) maanantai c) sunnuntai Vuonna 005 jouluaatto oli lauantai. a) Päivästä päivään päiviä on = Lasketaan kongruenssi modulo (mod 7) on keskiviikko. b) Päivästä päivään päiviä on = Lasketaan kongruenssi modulo (mod 7) on sunnuntai. 115

20 c) Päivästä päivään päiviä on = Lasketaan kongruenssi modulo (mod 7) on keskiviikko. Vastaus: Viikonpäivä on a) keskiviikko b) perjantai c) keskiviikko a) x 1(mod7) x 1 = 7y x 7y = 1 Haetaan lukujen ja 7 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 7 = = 1 Syt(, 7) = 1 = 7 3 ( 3) 7 ( 1) = 1 x 7y = 1 Yksityisratkaisu x 0 = 3 ja y 0 = 1 Diofantoksen yhtälön yleisestä ratkaisusta tarvitaan vain muuttujan x ratkaisu b 7 x = x0 + n = 3+ n = 3 7n= 4+ 7 n, n syt( ab, ) 1 b) 15x 16(mod17) 15x 17y = 16 Haetaan lukujen 15 ja 17 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 17 = = = 1 Syt(15, 17) = 1 = 15 7 = 15 7 ( ) = = = 16 15x 17y = 16 Yksityisratkaisu x 0 = 18 ja y 0 = 11 Diofantoksen yhtälön yleisestä ratkaisusta tarvitaan vain muuttujan x ratkaisu b 17 x = x0 + n = 18 + n = 18 17n = n, n syt( ab, ) 1 Vastaus: a) x= 4+ 7 n, n a) x= n, n 308. a) 4x 3(mod 45) 4x 3 = 45y 4x 45y = 3 Haetaan lukujen 4 ja 45 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 45 = = = 7 3 Syt(4, 45) = 3 = 4 1 = 4 (45 4) = = 3 4x 45y = 3 Yksityisratkaisu x 0 = ja y 0 = 1 Diofantoksen yhtälön yleisestä ratkaisusta tarvitaan vain muuttujan x ratkaisu b 45 x = x0 + n = + n = 45n= + 45n, n syt( ab, ) 1 116

21 b) 17x 15(mod51) 17x 51y = 15 Haetaan lukujen 17 ja 51 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 51 = 3 17 Syt(17, 51) = 17 Koska syt(17, 51) ei ole luvun 15 moninkerta, niin Diofantoksen yhtälöllä ei ole ratkaisua. Täten myös korgruenssiyhtälöllä ei ole ratkaisua. Vastaus: a) x= + 45 n, n b) Ei ratkaisua a) 1x = 35y 1x + 4 3(mod 35) 1x 35y = 1 :( 1) 35y 1x = 1 Haetaan lukujen 1 ja 35 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 35 = = = 11 1 = Syt(1, 35) = 1 = 1 11 = 1 (35 1) 35 ( 1) 1 ( 3) = 1 1x 35y = 1 Yksityisratkaisu x 0 = 3 ja y 0 = 1 Diofantoksen yhtälön yleisestä ratkaisusta tarvitaan vain muuttujan x ratkaisu b 35 x = x0 + n = 3+ n = n, n syt( ab, ) 1 Pienin positiivinen ratkaisu on 3. b) 19x (mod 55) 19x = 55y 19x 55y = 5 Haetaan lukujen 19 ja 55 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 55 = = = = 1 Syt(19, 55) = 1 = 17 8 = 17 8 (19 17) = = 9 (55 19) 8 19 = ( 6) 55 9 = ( 130) = 5 4x 45y = 3 Yksityisratkaisu x 0 = 130 ja y 0 = 45 Diofantoksen yhtälön yleisestä ratkaisusta tarvitaan vain muuttujan x ratkaisu b 55 x = x0 + n = 130+ n = n= n, n syt( ab, ) 1 Pienin positiivinen ratkaisu on 35. Vastaus: Pienin positiivinen ratkaisu on a) 3 b)

22 (mod9) V astaus: Jakojäännös on (mod9) 14 + ( ) (mod9),3101 7(mod9) 311. Luvun kaksi viimeistä numeroa saadaan laskemalla kongruenssi modulo 100. a) Luvun kaksi viimeistä numeroa 3 3 (3 ) (mod100) (9 ) (mod100) (81 ) (mod100) (mod100) (mod100) Luvun kaksi viimeistä numeroa ovat = = (3 ) = (3, ) = 3, ,5 10 Luvun kaksi ensimmäistä numeroa ovat b) (mod100) 103 ( 1) 1(mod100) Luvun kaksi viimeistä numeroa ovat = 99 = (99 ) 99 = (6, ) 7, = 6, , = 4, , ,98 10 Luvun kaksi ensimmäistä numeroa ovat 31. V astaus: Luvun kaksi ensimmäistä ja viimeistä numeroa ovat a) 44 ja 87 b) 31 ja Jäännösluokat 31. a) = 151 = Kello näyttää 7. b) = = Kello näyttää 5. c) = = Kello näyttää 5. Vastaus: Kaappikello näyttää kellonaikaa a) 7 b) 5 c)

23 = = = 4 3 = = = = Vastaus: Samaan jäännösluokkaan kuuluvut 1 ja 18 tai 3 ja 16 tai 34, tai Lasketaan joukossa 13. a) [8] + [1] = [0] = [7] b) [9] [7] = [63] = [11] c) [5] ([] + [6]) + [8] [6] = [5] [8] + [48] = [40] + [48] = [88] = [10] Vastaus: a) [7] b) [11] c) [10] 315. Laaditaan yhteenlasku- ja ketolaskutaulukko jäännösluokassa Yhteenlaskutaulukko jäännösluokassa 7 + [0] [1] [] [3] [4] [5] [6] [0] [0] [1] [] [3] [4] [5] [6] [1] [1] [] [3] [4] [5] [6] [0] [] [] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [3] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [] [4] [4] [5] [6] [0] [1] [] [3] [5] [5] [6] [0] [1] [] [3] [4] [6] [6] [0] [1] [] [3] [4] [5] Kertolaskutaulukko jäännösluokassa 7 [0] [1] [] [3] [4] [5] [6] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [] [3] [4] [5] [6] [] [0] [] [4] [6] [1] [3] [5] [3] [0] [3] [6] [] [5] [1] [4] [4] [0] [4] [1] [5] [] [6] [3] [5] [0] [5] [3] [1] [6] [4] [] [6] [0] [6] [5] [4] [3] [] [1] Ratkaistaan yhtälö [][x] = [1]. Katsotaan kertolaskutaulukon riviä []. Haetaan [1]. Tällöin [x] = 4. Vastaus: [x] = Katsotaan vastaus edellisen tehtävän taulukoista. Alkion [4] vasta-alkio on [3], sillä [4] + [3] = 0. Alkion [4] käänteisalkio on [], sillä [4] [] = 1. Vastaus: Alkion [4] vasta-alkio on [3] ja käänteisalkio on [] riviltä alkio

24 317. Luvun [15] ja sen vasta-alkion [x] summa on [0] lukujoukossa 37, joten se toteuttaa yhtälön [15] + [x] = 0. Käänteisalkio on [x] = [15] = []. Luvun [15] ja sen käänteisalkion [x] tulo on [1] lukujoukossa 37, joten se toteuttaa kongruenssin 15x 1(mod 37). 15x 37y = 1 Haetaan lukujen 15 ja 37 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 37 = = = 7 1 Syt(15, 37) = 1 = 15 7 = 15 (37 15) = Täten [5] [15] [] [37] = [1] [37] = [0] [5] [15] = 1 Luvun [15] käänteisalkio on [5]. Vastaus: Luvun [15] vasta-alkio on [] ja käänteisalkio on [5] Ratkaistaan yhtälö [15][x] = [4] lukujoukossa 3. [15][x] = [4] 15x 4(mod 3) 15x 3y = 4 Haetaan lukujen 15 ja 3 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 3 = = = = 7 1 Syt(15, 3) = 1 = 8 7 = 8 (15 8) = 8 15 = (3 15) 15 = ( 3) 3 ( ) = ( 1) 3 ( 8) = 4 15x 3y = 4 Yksityisratkaisu x 0 = 1 ja y 0 = 8 Diofantoksen yhtälön yleisestä ratkaisusta tarvitaan vain muuttujan x ratkaisu b x x0 n 1 n 1 syt( ab, ) = + 3 = + 1 = 3n= n, n Yhtälön ratkaisu [15][x] = [4] [x] = [11] Vastaus: [x] = [11] 10

25 319. Caesar in yhteenlaskumenetelmässä käytetään 9 kirjainta ja avaimena on k = 9. a) Viestin Kaunis iltapäivä salaus. Viesti Koodi Salauskoodi Salaus K T a u j a n 13 x i 8 17 r s 18 7 ö 8 8 i i 8 17 r l 11 0 u t 19 8 a 0 9 j p 15 4 z ä 6 6 g i 8 17 r v 1 1 b ä 6 6 g b) Salausavain k = 9 Purkuavain k = 9 Vies tin ru jzgrbgjaärxty p urku: Salaus Koodi Purkukoodi V iesti r 17 8 i u 0 11 l 8 19 t j 9 0 a z 4 15 p g 6 6 ä r 17 8 i b 1 1 v g 6 6 ä j 9 0 a a 0 0 u ä 6 17 r r 17 8 i x 13 n t k y 3 14 o Vastaus: a) Salattu viesti on Tjaxröiru jzgrbg. b) Purettu viesti on iltapäiväaurinko. 11

26 30. a) Viesti on salattu Caesar in kertolaskumenetelmällä käyttäen 9 merkkiä (aakkoset ja välilyönti), sekä avaimena k = 19. Salakirjoitetaan viesti Hyvää huomenta. Salaus Salauskoodi Koodi Viesti H 7 17 R y 3 c v 1 x ä 6 1 b ä 6 1 b 8 10 k h 7 17 r u o d f m e å s n p t n a 0 0 a b) Viesti on salattu Caesar in kertolaskumenetelmällä käyttäen 9 merkkiä (aakkoset ja välilyönti), sekä avaimena k = 19. Avaa viesti ru jzgrbgjaärxty. Viestin kirjain [x] Salattu viestin kirjain [y] Salaus [19] [x] = [y] [19] 1 [x] = [19] 1 [y] Määritetään alkion [19] käänteisalkio lukujoukossa 9 Luvun [19] ja sen käänteisalkion [x] tulo on [1] lukujoukossa 9, joten se toteuttaa kongruenssin 19x 1(mod 9). 19x 9y = 1 Haetaan lukujen 9 ja 9 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 9 = = = = 9 1 Syt(19, 9) = 1 = 10 9 = 10 (19 10) = = (9 19) 19 = Täten [] [9] [3] [19] = [1] [9] = [0] [3] [19] = 1 Luvun [19] käänteisalkio on [ 3] = [6] 1

27 Purkuavaain k 1 = 6 Salaus Salauskoodi Koodi Viesti y a g s a l a 0 0 a q k h 7 8 i e 4 17 r ä 6 9 j f 5 14 o h 7 8 i n t d 3 0 u y 3 18 s n t a 0 0 a k ä j a 0 0 a k 10 8 å 5 1 m a 0 0 a n t s å e m a 0 0 a n t h 7 8 i h 7 8 i q k q k a 0 0 a a 0 0 a Vastaus: a) Salattu viesti on Rcxbbkrdfåspna. b) Purettu viesti on salakirjoitusta ja matematiikkaa 11. Mielenkiint oisia lukuteorian ongelmia 31. Koska = , niin ei ole Mersennen alkuluku. Vastaus: Ei ole. 13

28 3. Luku 00 neljän neliön summana 00 = 10 0 = (1 + 9) (4 + 16) = (1 + 3 ) ( + 4 ) = = Vastaus: Luku on neljä n neliön summana Lasketaan 1 5 (mod 53) (1 ) 1 1 1( mod53) (mod53) Vastaus: Ei ole. 34. Tuhatta suurempia alkulukukaksosia ovat esimerkiksi ja 1 01, ja sekä ja jne Vastaus: ja Lasketaan modulo ( ) (mod 47) (30 ) (mod 47) Vastaus: Jakojäännös on (mod 47) 36. Lasketaan modulo ( ) ( ) (57 ) (mod107) ( ) (mod107) (mod107) 143 3(mod107) 68(mod107) Lasketaan luvun 57 käänteisalkio lukujoukossa 107. Luvun [57] ja sen käänteisalkion [x] tulo on [1] lukujoukossa 107, joten se toteuttaa kongruenssin 57x 1(mod 107). 57x 107y = 1 Haetaan lu kujen 57 ja 107 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 107 = = = = 7 1 Syt(57, 107) = 1 = = 50 7 (57 50) = = 8 (107 57) 7 57 = Täten [8] [107] [15] [57] = [1] [107] = [0] [ 15] [57] = 1 Luvun [57] käänteisalkio on [ 15] = [9]. 14

29 Jatketaan kongruenssin laskemista = (mod107) Vastaus: Jakojäännö s on 4. Harjoituskoe 1 1. a) Lause p p q p q p p q p p q Koska lauseen p p q totuusarvo ei ole riippumaton atomilauseiden totuusarvoista, lause ei ole tautologia. b) Merkitään p = Jukka menee Pori Jazziin., q = Jukka menee Ruisrockiin., r = Jukka menee Rauma Bluesiin. Jos h än menee P oriin, eikä m ene Raumalle, niin hän menee Ruisrockiin. = ( p r) q Hän menee Ruisrockiin jos ja vain jos hän menee Raumalle. = q r Jos Jukk a menee Raum alle, niin hän menee myös Poriin. = r p Laaditaan totuustaulu p q r r p r ( p r) q q r r p Koska vain rivillä 1 kaikki totuusarvot ovat samoja, Jukka menee kaikkiin (Pori Jazz, Ruisrock ja Rauma Blues). Vastaus: a) Lause ei ole tautologia. b) Jukka menee kaikkiin. 15

30 . a) Lukujen ja suurin yhteinen tekijä Käytetään Eukleideen algoritmia = = = = = = = = = syt(1 134, ) = 1 b) syt( ab, ) pyj( a, b) = a b pyj(1 134, ) = = = syt(1 134, ) 1 Vastaus: a) syt(1 134, ) = 1 b) pyj(1 134, ) = a b a b : joko a mutta ei b, tai sitten, joko ei a tai b. a b [( a b) ( a b)] b a b a a b a b [( a b) ( a b)] Vastaus: a b [( a b) ( a b)], a bon epätosi vain jos molemmat ovat, muuten tosi. 4. a) 13 6(mod 7), 13 = 169 1(mod 7) (13 ) (mod7) Jakojäännös on siis 6 16

31 b) 7x+ 5y = 3 Haetaan s yt(7, 5) E ukleideen algoritmilla: 7 = = + 1 = 1 syt(7, 5) = 1 Lausutaan syt(7, 5) = 1 lukujen 7 ja 5 lineaarikombinaationa. Koska Eukleideen algoritmissa 5= + 1, niin 1= 5 7= = = 5 (7 14 5) 1= = Yhtälön 7x+ 5y = 1 eräs ratkaisu on x = ja y = 9 Yhtälön 7x+ 5y = 3 yksi ratkaisu 7x+ 5y = 1 3 7x 3 + 5y 3 = 1 3 x =, y = 9 7 ( ) = 3 7 ( 6) = 3 Yksi yhtälön 7x+ 5y = 3 ratkaisu on x = 6 ja y = 87. Vastaus: a) Jakojäännös 6 b) x = 6 ja y = a) x 5 (mod 5) x 5= 5y x 5y = 5 Ratkaistaan Diofantoksen yhtälön x 5y = 5 ratkaisu. Lukujen ja 5 suurin yhteinen tekijä 5= + 1 = 1 syt(5, )=1 Lineaarikombinaatio 1= 5 + 5(1) = 1, joten yhtälön x 5y = 1 eräs ratkaisu on x=, y = 1 x 5y = 1 5 x 5 5y 5= 1 5 x =, y = 1 ()5 + 5(1)5 = 5 ( 10) + 5 ( 5) = 5 17

32 Diofantoksen yhtälön ax + by = ckaikista ratkaisuista tarvitaan vain x ja x 0 = 10 x x b 5 0 n (, ) n = + = + = syt a b 1 n b) 9x (mod 7) 9x (mod 7) 9x = 7y 9x 7y = R atkaistaan Diofantoksen yhtälön 9x 7y = ratkaisu. Lukujen 7 ja 9 suurin yhteinen tekijä 9= = = 1 syt(9, 7 )=1 Lineaarikombinaatio 1= 7 3 = 7 3 ( 9 1 7) = = joten yhtälön 9x 7y = 1 eräs ratkaisu on x= 3, y = 4 Diofantoksen yhtälön 9x 7y = 1 9x 7y = 1 x = 3, y = 4 9(3) + 7(4) = 9(6) + 7(8) = b 7 x = x0 + n = 6+ n = 6 7n syt( a, b) 1 6. Z = {[0], [1]} Yhteenlasku [0] + [0] = [0 + 0] = [0] [0] + [1] = [0 + 1] = [1] [1] + [0] = [1 + 0] = [1] [1] + [1] = [1 + 1] = [] = [0] + [0] [1] [0] [0] [1] [1] [1] [0] ax + by = ckaikista ratkaisuista tarvitaan vain x ja x 0 = 6 18

33 Kertolasku [0] [0] = [0 0] = [0] [0] [1] = [0 1] = [0] [1] [0] = [1 0] = [0] [1] [1] = [1 1] = [1] [0] [1] [0] [0] [0] [1] [0] [1] 7. a) 1. kissaa menee. 1 kissa palaa 3. 1 koira menee 4. 1 kissa palaa 5. kissaa menee 6. 1 kissa palaa 7. 1 koira menee 8. 1 kissa palaa 9. kissaa menee Eli jokaista koiraa kohden tarvitaan kissaa, sitten vielä kissojen paluut: 4 + 1= 9. b) Jokaiselle koiralle tarvitaan 4 reissua ja kissaa kissaa 1 kissa 1 koira 1 kissa Jos koiria on n kappaletta reissuja tarvitaan 4n. Tämän jälkeen haetaan kissat. Rannalla kissaa, niin lisää tulee yksi matka (paluu) Rannalla 3 kissaa, niin 1 paluu ja sitten sekä meno että paluu Rannalla 4 kissa, niin 1 paluu ja sitten kertaa sekä meno että paluu Eli aina, kun kissojen määrä luvusta kaksi kasvaa yhdellä, matkojen määrä kasvaa kahdella. Kissojen määrä kasvaa kahdella matkojen määrä kasvaa = 4:llä. Näin ollen näyttää siltä, että jos rannalla on n koiraa ja n kissaa, matkoja on koirat 4n kissat 1+ (n ) yhteensä 4n+ 1+ ( n ) = 6n 3 Osoitetaan oikeakasi induktiolla. Väite: Matkoja 6n 3 kappaletta, kun kissoja ja koiria on n kappaletta ja Todistus: Alkuaskel: Osoitetaan, että väite on tosi, kun n =. n 19

34 Matkoja 6n 3= 6 3= 9kappaletta, mikä pitää tehtävän a-kohdan perusteella paikkansa. Induktioaskel Induktio-oletus: Väite on tosi, kun n = k, k >. Matkoja tarvitaan 6k 3kappaletta Induktio väite : Jos väite on tosi n:n arvolla k, niin se on tosi n:n arvolla k + 1 Matkoja tarvitaan 6( k + 1) 3 = 6k + 3 kappaletta Todistus: Induktio-oletuksen mukaan k koiraa ja k kissaa pääsee leirille tekemällä 6k 3matkaa. Tämän jälkeen vastarannalla on vielä yksi koira ja yksi kissa. Yksi kissa lähtee, koiraan menee saarelle ( matkaa) Yksi kissa lähtee, kissaa palaa ( matkaa) Yksi kissa lähtee kissaa palaa ( matkaa) Matkojen määrä: 6k = 6k +3. Joten induktio-oletuksesta seuraa induktio väite. Koska alkuaskel ja induktioaskel on todistettu, niin alkuperäinen väite pitää paikkansa. 8. Jokainen positiivinen kokonaisluku on muotoa 4 q,4q+ 1, 4q+ tai 4q+ 3, q + Olkoon s mielivaltainen kakkosta suurempi alkuluku. s 4q, sillä alkuluku ei ole jaollinen luvulla 4 = s q + 4, sillä s = q+ 4 = ( q+ ), eli jaollinen luvulla kaksi. Näin ollen s = 4q+ 1 tai s = 4q+ 3. Jos s = 4q +1, se yhtä suurempi kuin neljällä jaollinen luku 4q Jos s = 4q + 3, se on yhtä pienempi kuin neljällä jaollinen luku 4q + 4 = 4(q + 1) Harjoituskoe 1. a) 13 5 = = b) 101 = = Vastaus: a) b) p q q p q r (p q ) r

35 3. 6 a) 7 1 = ( )(7 3 1) = = = b) 1 = ( )( 18 1) = = = Vastaus: a) b) p q p q p q p q p q ( p q) ( p q) [0] [1] [] [0] [0] [1] [] [1] [1] [] [0] [] [] [0] [1] [0] [1] [] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [] [] [0] [] [1] [][x] = [1] jäännösluokassa Kertolaskutaulukosta nähdään,että yhtälön ratkaisu on [x] = [] Vastaus: [x] = [] 6. a) 5 (mod8) x x 5x (mod8) 0 50 = 0 (mod8) 1 51 = 5 (mod8) 5 = 10 (mod8) = 15 (mod 8) 4 54 = 0 (mod8) 5 55 = 5 (mod8) = 30 (mod 8) 7 57 = 35 (mod8) Taulukosta nähdään, että x = + 8n, n 3 131

36 b) x 1(mod9) x x 1(mod9) 0 0 = 0 1(mod9) 1 1 = 1 1(mod 9) = 4 1(mod9) 3 3 = 6 1(mod9) 4 4 = 8 1(mod 9) 5 5 = 10 1(mod9) 6 6 = 1 1(mod9) 7 7 = 14 1(mod9) 8 8 = 16 1(mod9) Tauluko sta nähdään, että x = 5 + 9n, n Vastaus: a) x = + 8n, n b) x = 5 + 9n, n 7. 1x + 7y = 0 syt(7, 1) = 1 1 = = 7 1 (4 1 (6 7) = = = = 0 x 0 = 880 y0 = x = n = n 1, n 1 y = 1540 n = n 1 Vastau s : x = n, n y = n 13

37 8. a) ( n ) + ( n 1) + n + ( n+ 1) + ( n+ ) = n 4n+ 4+ n n+ 1+ n + n + n+ 1+ n + 4n+ 4 = 5n + 10= 5( n + ) Joten viiden peräkkäisen luonnollisen luvun neliöiden summa on jaollinen luvulla 5. b) Oletus: Viiden peräkkäisen luonnollisen luvun neliöiden summa on 5(n + ). Väite: Viiden peräkkäisen luonnollisen luvun neliöiden summa ei voi olla minkään luonnollisen luvun neliö. Todistus: Jotta 5(n + ) olisi luonnollisen luvun neliö, olisi luvun n + tekijänä oltava luku 5. Tämä on mahdotonta, koska silloin luvun n viimeinen numero pitäisi olla 3, mutta mahdollisia numeroita ovat vain: 0 = 0 1 = 1 = 4 3 = 9 4 = 16 5 = 5 6 = 36 7 = 49 8 = 64 9 = 81 Joten viiden peräkkäisen luonnollisen luvun neliöiden summa ei voi olla minkään luonnollisen luvun ne liö. Harjoituskoe 3 1. Jaetaan tekijöihin. a) 10 = 10 1 = 5 3 = = 4 4 = 3 7 = = 4 66 = = = pyj(10, 168, 64) = 9 40 b) 97 = 9 33 = = 4 88 = 11 = 5 11 syt(97, 35) = 11 Vastaus: a) Suurin yhteinen tekijä on b) Pienin yhteinen jaettava on 11.. Taul ukoidaan lause L : ( A B C) [ A B C]. A B C B C A B C A B C A B A B C L Vastaus: Lause ei ole tautologia. 133

38 3. 35 k = 1647 k + 3k+ 5= k + 3k+ 5= 95 k + 3k 90= 0 Va staus: 6-järjestelmässä k = 6 tai k = 7,5 Ei käy, k > 0 4. Ensimmäinen alkuluku a = n + 1, missä n Toinen alkuluku b = m + 1, missä m Alkulukujen tulo ab =(n + 1) (m + 1) = 4mn + n + m + 1 = (mn + m + n) + 1 Tulo on pariton, koska mn + m + n, kun m ja n. Tällöin luku (mn + m + n) on parillinen ja siihen kun lisätään 1 saadaan pariton luku. 5. Määrätään Eukleideen algoritmilla syt(5 568, ) = = = = Jakoyhtälöiden viimeinen jakojäännös on syt(5 568, ) = 94. Kertoimien määritys 94 = = ( ) = = 8 ( ) = Vastaus: syt(5 568, ) = 94 sekä x = 8 ja y = x 3 (mod 16) 7x 16y = 3 Haetaan lukujen 16 ja 7 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. 7 = = = = 5 1 Syt(16, 7) = 1 = 11 5 = 11 (16 11) = = 3 (7 16) 16 = = = 3 7x 16y = 3 Yksityisratkaisu x 0 = 9 ja y 0 = 15 Diofantoksen yhtälön yleisestä ratkaisusta tarvitaan vain muuttujan x ratkaisu b 16 x = x0 + n = 9+ n = n, n syt( ab, ) 1 Vastaus: x= n, n ( ) = = Vastaus: Jakojäännös on

39 8. Suoritetaan jakolasku :4 jakokulmassa Koska jakojäännös on nolla, niin kello on Vastaus: Kello on