8. vastinkulmat korvataan vastinsivujen pituuksien suhteet

Vastaukset. kyllä. 3. a) F b) D c) AB d) EF e) HF 4. Pintaalasta tulee nelinkertainen alkuperäiseen verrattuna. 5. Yhdenmuotoisten kuvioiden vastinsivujen pituuksien suhde säilyy samana, jolloin voidaan muodostaa verranto tuntemattoman sivun pituuden ratkaisemiseksi. 6. 5 7. ei 8. vastinkulmat korvataan vastinsivujen pituuksien suhteet 9. x, m, y,4 m, z,0 m 0. ympyrät ja neliöt.. a) kyllä b) kyllä c) kyllä 00

3. x 3,3m, y 3,0 m, z,3m 4. yksi 5. Jos kolmioiden kulmat ovat yhtä suuret, ovat ne väistämättä myös yhteneviä toistensa kanssa. 6. 7. a) eivät b) ovat c) ovat d) eivät 8. 9. a) voi olla totta b) voi olla totta c) voi olla totta d) epätosi e) voi olla totta f) epätosi 0. Lyhemmälle sivulle mahtuu kanta ylöspäin olevia kolmioita 700 mm 3,33 eli kokonaisia kolmioita 3 kpl 30 mm ja kanta alaspäin olevia 700 mm 5mm,83 eli kokonaisia kolmioita kpl. 30 mm Pystysuunnassa saadaan kolmiorivejä 850 mm 8,3 eli 8 täyttä rivillistä kolmioita. 30 mm 0

Yhteensä kolmioita saadaan 8 (3 ) 60. Vastaus: 60 kpl. a) edessä b) jäljessä. a) : 0 000 b) : 50 c) 500 : d) 0 : 3. a) 5 : b) : 000 4. 5. 6. Kaikki on oikein. 7. 40 m 8., km 9. cm 30. 5 000 : 3. 50 000 : 0

3. a) : 50 b) : 50 33. a) 000 : b) 5000 : c) 9000 : 34. 35. 48 cm 36. 300 m 37. a) 60,9 cm b) 43,5 cm c) 8, cm 38. a) 93 km b) 388 km c) 837 km d) 9 km 39. 54 m 40. 30 cm 4. 0 cm by 0 cm 4. 50 cm 43. 360 m, 0,5 mm 44. a) kyllä b) ei c) kyllä 03

45. 46. Ei 47.,9 m 48. Ei ole mahdollista. Tarkastellaan vasemmanpuoleista kuvaa, tummennettujen kolmioiden pitäisi olla yhdenmuotoiset. Muodostamalla verranto, havaitaan ettei näin kuitenkaan ole. 49. ADF ja DBE sekä CFD ja CDE 50. 3,8 m 5. Yhdenmuotoisten kolmioiden avulla saadaan yhtälö neliön sivun pituuden ratkaisemiseksi. 3,0 s 3,0 s 4,0 (3,0 s) 4,0 3,0s 4,0s 3,0s 4,0s 3,0s s,748... 7 Neliön pintaala on s,9 m. 5. 04

Alueen A pintaala: A 0 cm cm 40 cm Yhdenmuotoisten kolmioiden avulla saadaan x 3 cm, josta edelleen ristiin kertomalla saadaan cm 35 cm x 35 cm cm 3 cm x cm 3 cm/35 cm x 7,8 cm Alueen A pintaala: Kokonaispintaala on tällöin 53. a) ei b) on c) on d) ei 54. a) on b) ei c) on d) ei 55. a),97 cm b) 9,7 cm c) 8,9 cm d) 63,04 cm 56. a) 6,5 cm b),65 cm c) 35, cm d) 39,5 cm 57. A ja D 58. A cm 7,8 cm 93,6 cm A A 40 cm 93,6 cm 333,6 cm 330 cm. 05

59. 60. ovat 6. d) 05,7 cm korkeudella e) 6. Suhde on sama kuin kultaisessa leikkauksessa. 63. Mitä suurempien peräkkäisten Fibonaccin lukujen suhteita lasketaan, sitä tarkemmin saadaan kultaisen leikkauksen suhdeluku. 64. 65. kyllä 66. 06

67. 68. 69. a) (3, ) b) (3, ) 70. 7. 07

7. a) (4,) b) (4,) 73. 74. a) b) 0 c) d) 0 75. f) 76. A, B, C, D, E, H, I, K, M, O, S, T, U, V, X, Y, Å, Ä, Ö 77. samanlainen suorakulmio 78. esimerkiksi MIMMI, SATU, AKI, MIKA 79. 80. a) A = (,3), B = (4,0), C = (6,4) b) A = (,3), B = (4,0), C = (6,4) 8. 08

8. 83. a) (,) b) (0, 3) 84. 85. 86. 09

87. 88. 89. H, I, N, O, S, X, Z 90. b, c, f 9. suunnikas kuvautuu itselleen 9. 93. kiertokulmalla 90 94. a) Pisteen suhteen symmetrisen kuvion peilauspistettä sanotaan symmetriakeskukseksi. Symmetriakeskus sijaitsee kuvion keskipisteessä. b) Kun yhtenevyyskuvaus tehdään kiertämällä kuvio jonkin pisteen, sanotaan kyseistä pistettä kiertokeskukseksi. 95. 0

96. (3, 3) 97. kierto 80 antaa saman tuloksen kuin pisteen suhteen peilaus 98. a) b) c) d) 4 99. 4kertainen 00. Peilaus pisteen suhteen tarkoittaa samaa kuin 80 asteen kierto pisteen suhteen. 0. kyllä 0. A = (, 5) B = (, 8) 03. a) b) 4 c) d) 04.

05. a) b) 06. a) M, Y b) N c) O, X 07. 08. B = (3, ) ja C = (, 5) 09. 0. a) ja b) g) c) peilaus suoran y = x suhteen.. a) peilaus suoran y = x suhteen b) siirto 4 yksikköä alas ja 7 yksikköä vasemmalle c) kierto pisteen (,0) suhteen 90 vastapäivään..

3. a) 4 b) 8 c) d) 5 4. a) 5 b) 0 c) 603 5. 4 6. a) 3 b) 6 c) 7 7. a) ei b) ei c) on d) ei 8. a) b) 0 c) 7 d) 6 e) 0 f) 8 g) 9 h) 9. a) 9 cm b) 5 cm c) 5 cm 0. 57 m. a) 5 b) 7 c) 9 3

. a) 0, b) 0,07 c), 3. a) 6 b) 49 c) 3 d) 36 e) 0,056 4. a) on b) ei c) ei d) ei 5. a),73 b) 5,48 c) 7,3 d) 54,77 e) 73, f) kerrotaan kymmenellä 6. a) 0 tai b) 4 c) /9 7. 4 km 8. a) 7,8 m/s b) 0 m/s c) 4 m/s 9. Sijoitetaan t = 36 ja d = 9 yhtälöön: k 36 9 6k 9 k,5 Kun d = 00, saadaan d,5 00 5 Vastaus: 5 mm 30. 4

Valitaan mittakaava siten, että cm (= ruutu) kuvassa vastaa 6 m luonnossa. Tällöin mittakaava on : 600. Tontin sivut ovat ja 38 (6,3 cm). 6 Talon sivun pituus on 0 m 0,95 0,95 m, kuvassa,8 (cm). 6 Tontin pintaala on 38 m Vastaus: Neliömetrihinta on 67 mk. 3. 3 a) 5 b) 9 c) 4 d) 6 e) 0 7 86000 mk 9 m mk 67. m 34 m 9 m ja hinta f) 3. a) 3 4 b) 5 c) d) 6 5 33. a) 7 b) 5 5

c) d) 6 34. a) 9 b) 3 35. a) 8 b) 8 c) 3 d) 3 e) 9 f) 9 36. a) 4 b) 3 c) 4 d) 3 37. a),45 b) 3,74 c) 3,6 d) 5,0 38. a) 4,73 b) 5, c) 0,8 d),46 39. a) 4 b) 4 c) 3 d) 5 40. a) 0 b) 4 c) 3 d) 7 6

4. a) b) 5 c) 3 4. a) b) 30 c) 8 d) ei mikään 43. a) 3 b) 6 c) 6 d) 44. a) mahdoton b) 3, c) 3,3 d) mahdoton 45. a) x b) x 46. a) 3 b) 5 c) 5 x d) 3x e) 0 0 f) 9 a a 47. a) x b) x c) x d) kaikilla x:n arvoilla 48. 49. 8 3 00 9 0 3 3 3 7

3 a) b) 50. (laskettu 60 kg painavalle ihmiselle) a) massa ei muutu b) massa ei muutu c) 40 kg d) 830 kg e) 5000 kg f) 30000 kg 5. Merkitään kyseistä lukua x:llä. x ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) 5 5 5 5 4 5 4 5 4 9 4 5 0,0557 5. a) sivu y b) sivut x ja z 53. a) kateetit a ja c, hypotenuusa b b) kateetit f ja g, hypotenuusa h c) kateetit y ja z, hypotenuusa x 54. ei, koska hypotenuusa on aina suorakulmaisen kolmion pisin sivu 55. a) kateetit 3 cm ja 4 cm, hypotebuusa 7 cm b) kateetit,6 m ja,4 m, hypotebuusa,9 m c) kateetit 40 km ja 4 km, hypotebuusa 58 km 56. a) ei b) on c) on 57. Pythagoraan lausetta voidaan käyttää vain, jos kolmio on suorakulmainen. 58. a) 50 30 40 b) x y z c) r s t 8

59. a) x = 5 b) x = 8 c) x = 3 d) x = 60. Ei 6. 6. 4 m 63. 4 cm 64. 96 cm 65. a) kyllä b) ei c) kyllä 66. a) b) c) 67. a) kyllä b) kyllä c) ei d) kyllä 68. a) 6 3 b) 3 3 69. a) 0 b) 4,5 9

c) 6,3 70. a) 5 cm b) 9, m c) 4,6 cm 7. a) 8 b) 3,6 c) 7. a) 3 cm b) 7,5 cm c) cm 73. 74 mm 74. 40 m 75. 3,6 76. a) 4,5 b) 3, c) 3, 77. 8,6 km 78. 0,8 m 79. 6 cm 80. 3,6 m 8. 4,5 km 8. 8,0 m 83. 0

a) b) 7,7 cm c) 6 cm 84. a) b) 5,6 cm c) 8 cm 85. a),0 m b) 6,0 m c) 6,3 m 86. 8 ha 87. 40,5 m 88. a c b, b c a 89. Nelikulmio koostuu kahdesta yhtenevästä kolmiosta ABC ja ADC. Kolmiosta ABC saadaan BC 0,95 0,50 0,80777... Nelikulmion alaksi tulee tällöin 0,50 0,80777... 0,40388... Vastaus: noin 0,40 m 90. Oviaukon halkaisija on Pythagoraan lauseen mukaan 80 cm 00 cm 5,4 cm Koska d > 0 cm, mahtuu levy oviaukosta. 9. d.

Pythagoraan lauseen avulla saadaan AC (0 mm) (65 mm) 75 mm. Kolmioiden ABC ja AEB yhdenmuotoisuuden perusteella voidaan muodostaa verranto d 65 mm 0 mm 75 mm 0 mm 65 mm d 75 mm d 3 mm Vastaus: 3 mm 9. a) 3, cm b) 9,4 cm c) 6,0 cm d),0 cm 93. a),6 cm b) 5, cm c) 45, cm d) 9,4 cm 94. a) 38 cm b) 50 m c) 38 cm 95. a) 3 cm b) 0 m c) 3 cm 96. a) 3, cm b),6 cm c) 84,9 cm d) 54,7 cm 97. a) 7, cm b) 4,3 cm

98. a) 7, m b) 0, m c) 506,7 m d) 34 636, m 99. a) 500 cm b),8 m 00. a) 0,95 cm b) 7,96 cm c) 56,0 cm 0. Ympyrän säteen pituus on tällöin a) 0,8 cm b),6 cm c),4 cm 0. 964 kertaa 03. a) 8,7" eli 07,5 cm b) 88,0" eli 3,4 cm 04. 305,9 m 05. a) 9,3 m b) 5, m 06., m 07. Säde on 0,47 cm ja pintaala on 0,69 cm. 08. säde [cm] halkaisija [cm] kehän pituus [cm] pintaala [cm ],0,0 69, 380 9,9 9,8 6, 308 0,4 40,7 8,0 300 7,9 5,8 49,6 98,9 43,8 37,6 500 3

09. noin 50 kierrosta. 0. Ympyrän säteen pituus on tällöin noin a),8 cm b),5 cm c) 4,0 cm. a),6 cm b) 3,8 cm. Säde on noin 4,0 m, halkaisija on noin 8,0 m ja kehän pituus on noin 5, m. 3. 0 cm 3,4 A r 6,36946...cm, jolloin r 6,36946...cm,5377...cm,5 cm 4. Pisteen A = (4,8) etäisyys origosta on 6 64 80 9, joten piste on ympyrän sisällä. 5. 3 m 6. Maapallo: r 3,4 6378 km 40053,84 km 40050 km Kuu: r 3,4 738 km 094,64 km 090 km Aurinko: r 3,4 6,96 0 7. 40053,84 km 6675,64 h 9 kk 8 d km 6 h 8. 5 km 4370880 km 4,37 0 9 Kierroksen pituus on 49,597 0 m 6378000 m 9,399857 0 m Kierrokseen kuluva aika pituus. 6 km. s 9,399857 0 m t 3564330 s 365,3 d eli meidän vuoden v m 9780 s 9. Merkitään ympyrärenkaan sisemmän ympyrän sädettä r:llä. Ympyrän kehän pituus on sama kuin vyötärön mitta 60 cm, josta saadaan ratkaistua r. 4

r 60 cm 60 cm r 9,55 cm Ulomman ympyrän säde on r 60 cm 69,55 cm. Ympyrärenkaan saa leikatuksi kankaasta, jonka leveys on vähintään sama kuin ulomman ympyrän halkaisija 69,55 cm 39, cm. Vastaus: Kankaan leveyden pitää olla vähintään 40 cm. 0. Neliön sisällä olevan ympyrän halkaisija on 5 cm. Samoin ympyrän sisällä olevan neliön hypotenuusa on 5 cm. Olkoon pienemmän neliön sivun pituus a, tällöin Pythagoraan lauseella saadaan: a a a a (5 cm) 5 cm,5 cm a 0,60660...cm Pienemmän neliön pintaala on tällöin a a 0,60660...cm 0,60660...cm,5 cm 0 cm.. c. a) säde b) sektorin kaari c) sektorin keskuskulma 3. a) 80 b) 90 c) 0 4. a) 75 cm b) 37,5 cm c) 50 cm 5. a) 45 b) 0,5 m 6. sektorin keskuskulma [ ] sektorin kaaren pituus [cm] 360 3 90 8 80 6 5

45 4,5 7. a) 9,4 m b),4 m c),6 m d),3 m 8. sektorin keskuskulma [ ] sektorin pintaala [cm ] 360 60 80 30 90 5 36 6 6 9. a) 7 m b) 3 m c) 4, m d),8 m 30. a) 8,7 cm b) 3,5 cm 3. a) 6,8 cm b) 34 cm 3. a) 3, m b) 4,7 m 33. 34. 90 km 35. a),9 cm b) 7, cm c) 0, cm 36. a) piiri: cm, pintaala: 00 cm b) piiri: 5 cm, pintaala: 60 cm 6

37. 6 cm 38. 36 cm 39. a) 3,9 cm b) 5,7 cm 40. a) 9 b) 7 4. piiri: 80 cm, pintaala: 364 cm 4. 405 mm 43. 90 44. 0 45. a) Lasketaan aluksi montako astetta ympyrän sektori on, jonka laiva kulkee 00º 45º = 55º. 55 Tällöin sektorin pituus on 40000 km 6,... km 600 km. 360 40000 km b) Maapallon säde R 6366,9774 km. Maapallon ympärysmitaksi tulee lokin korkeudella silloin R 0 m 40000,0683 km. Lokki kulkee matkan 55 40000,0683 km 6,07km eli noin 0 metriä enemmän. 360 46. ainoastaan yksi aina 47. a) jänne b) kehä c) tangentti d) kaari e) segmentti f) sektori 48. 7

49. 50. 5. a) 8 b) 88 c) 6 5. a) 8 b) 5 c) 0 53. a) 4 b) 7 54. mahdoton 55. 56. 57. 30 58. 66 59. 8

9 85 360 9 : 360 85360 9 3 Jolloin 80 3 67. 60. 39 m 6. 3 6. 0 cm 63. 3 km 64. Henkilö voi nähdä sellaiseen pisteeseen saakka, jossa hänen silmistään lähtevä säde sivuaa maapallon pintaa. Merkitään kysyttyä etäisyyttä x:llä, maapallon sädettä R:llä ja silmien korkeutta d:llä. Pythagoraan lauseen avulla saadaan x R d R (6380 0,0070) 6380,, jolloin x 4,66 km. 69 65. Ympyrän säde saadaan ratkaistua kaaren pituuskaavasta. 5 5 r 65 m : 360 360 65 m 360 r 5 r 4,5 m Merkitään pisten P etäisyyttä ympyrän keskipisteestä y:llä, jolloin Pythagoraan avulla saadaan 74 m 4,5 m 78 m y. Kysytty etäisyys x y r 78 m 4,5 m 54 m. 66. Merkitään ympyröiden keskipisteiden kautta kulkevaa hypotenuusaa x:llä. Yhdenmuotoisuuden perusteella voidaan muodostaa verranto: 9

x,0,8 4,0,0,0 x 4,0,8 x, Keskimmäisen ympyrän halkaisijan pituus on 3,4 m, m 4,0 m,0 m,8 m 3,4 m, jolloin säde on,7 m. 67. a) ja 4. b) ja 5. c). 68. 69. ei 70. 65, 30 7. a) 4 b) 67 c) 34 d) 9 7. a) 60 b) 50 c) 40 d) 6x 73. 74. 75. a) 50 b) 45 76. a) 65 b) 4 30

77. kyllä 78. a) 05, 60 b) 65, 30 c) 8, 05 79. a) 35 b) 70 80. Vähennetään leveysasteen toisistaan 6º 6 60º 9 = º 7, muutetaan tämä asteiksi ympyrän kaaren pituus on,8333 40000 km 50 km 360 Vastaus: 50 km 7,8333. Tätä kulmaa vastaava 60 8. 8. a) b) ~ 83. a) yhtä suuret b) verrannollisia keskenään 84. Kyllä 85. ABCDE~FGHIJ, AB ja FG, BC ja GH, CD ja HI, DE ja IJ, AE ja FJ, ja 86. x 8 3 87. a) : 50 000 b) : 00 c) 400 : d) : 3

88. a) 00 : b) : 00 89. 90. etäisyys kartalla etäisyys luonnossa cm 400 m 5 cm km 9 cm,8 km 5 cm 3 km 0 cm 4 km 9. : 9. : 50 000 93. 3 cm 94. 0,34 km 95. 96. Muodostunut kolmio on yhdenmuotoinen alkuperäisen kolmion kanssa. 97. 98. Suoran suhteen symmetriseksi, symmetriaakseliksi 99. a) tasakylkinen kolmio b) suorakulmio 300. 30. 3

30. Kuvio peilataan keskipisteessä sijaitsevan symmetriakeskuksen suhteen. 303. 304. ei 305. Peilaus suoran suhteen, peilaus pisteen suhteen, siirto ja kierto. 306. 307. a) b) 3 c) 5 d) 0 e) 00 f) ei ole määritelty g) 6 308. a),44 b),88 c) 8,303 d) 67,543 309. a) 4 b) 7 c) 44 d) 0,4 e) 0 000 30. Neliön sivun pituus on tällöin a) 3 ruudun sivua b) 5 ruudun sivua c) 3 cm 3. 33

89,4 m 3. a) 8 cm b) 76 cm c) 0,5 cm 33. c) x = d) x = 34. a) mm b) 43 mm c) 53 vuotta 35. a),0 s b) 4,5 s c) 6,3 s 36. 37. a) ei b) kyllä c) kyllä 38. a) 5 4 3 b) 5 5 m c) y x z 39. 3 cm 30. voi 3. a) 9,4 b) 7,6 c) 4,4 3. a) 5,7 cm b) 9, cm c) 30, cm 34

33. a) 4, cm b) 5 cm c) 7 cm 34. a) 3,7 b) 4,9 c) 5,3 35. a) 7,6 m b) 3,3 m 36. 6 cm 37. 8,8 m 38. a) 37,7 cm b) 3 cm 39. 0, cm 330. 3 000 km 33. noin 90 000 kertaa 33. a) 78 km c) 00 km 333. ei 334. Nosturin saavuttama ala koostuu suorakulmiosta, jonka ala on 30 m 40 m 00 m, sekä kahdesta puoliympyrästä, joiden säde on 0 m ja alojen summa 0 m 0 m 60 m. Alueen kokonaisala on 460 m. 335. 35

Pienemmän ympyrän sivuamispisteen kulkema matka saavuttaessa pisteeseen A on 3 r 3r 4 Pienemmän ympyrän kierrosten lukumäärä olkoon x, tällöin x r 3r 3r x,5 r Kun pienempi ympyrä on pyörähtänyt,5 kierrosta, osuu piste D pisteeseen A. 336. a) 36 cm b) 8 cm c) 4 cm 337. a) 9 cm b) 4,5 cm c) 6 cm 338. a) b r 360 b) A r 360 339. a) 5,9 cm b) 8,0 cm c) 0 cm 340. a) 7,4 cm b) 8,5 cm c) 46,9 cm 34. a) 3,5 cm b) cm 34. a) m b) 49 m 343. a) 80º b) 90º c) 30º 344. 36

400 mm 345. 346. a) 4 b) c) 46 347. a) 6 b) 60 c) 0 348. 349. 96 350. 97 35. km 35. a) 40 b) 6 c) 39 d) x 353. a) 50 b) 40 c) 00 d) 4x 354. 355. a) 5 b) 69 37

Taulukkoosio Reaalilukujen laskulait a b b a, ab ba vaihdantalaki a b c a b c, abc abc liitäntälaki a b c ab osittelulaki ac a ( a) 0 luvun a vastaluku a a a luvun a käänteisluku a ( a 0) a itseisarvo Graafinen tulkinta: a = luvun a vastinpisteiden etäisyys nollasta Murtolukujen laskutoimitukset a ka, missä k 0 b kb laventaminen ( ) ja supistaminen ( ) a c ad bc b d bd yhteenlasku (lavennus samannimisiksi) a c ad bc b d bd vähennyslasku (lavennus samannimisiksi) a c ac b d bd kertolasku a c ad : b d bc jakolasku Potenssi a n a a... a n tekijää, a = kantaluku, n = eksponentti a 0 a 0, 0 0 ei ole määritelty p a p a a 0 a b p b a p a 0 38

Laskusääntöjä m a a m a mn a samankantaisten potenssien osamäärä n a n n ab a b tulon potenssi n mn a samankantaisten potenssien tulo n a b n a b n n m n mn n a a a m osamäärän potenssi potenssin potenssi Polynomin jakaminen tekijöihin ab ac a( b c) yhteinen tekijä ac ad bc bd a( c d) b( c d) ( a b)( c d) ryhmittely a a a ab b ab b b ( a b) ( a b) ( a b)( a b) muistikaavat Neliöjuuri Jos a b, niin b a ja b 0 (pätee myös toisinpäin). Laskusääntöjä a a a a b ab a a b a b Lukujonot Aritmeettinen lukujono d = a a erotusluku a n a ( n ) d yleinen termi 39

Geometrinen lukujono a q suhdeluku a n a n aq yleinen termi Toisen asteen yhtälö Normaalimuoto ax bx c 0, a Ratkaisukaava: x b b 4ac a Paraabelin aukamissuunta ja muoto: Jos a > 0, paraabeli aukeaa ylöspäin. Jos a < 0, paraabeli aukeaa alaspäin. Jos a on pieni, paraabeli on leveä. Vaillinaiset toisen asteen yhtälöt Jos a on suuri, paraabeli on kapea. Yhtälön ax c 0 ratkaisujen määrä riippuu vakiosta c: c < 0: kaksi ratkaisua, ratkaisut toistensa vastalukuja c = 0: ainoa ratkaisu x = 0 c > 0: ei ratkaisua Yhtälön ax bx 0 ratkaisut: aina kaksi ratkaisua, toinen on aina x = 0 Suorakulmaisen kolmion trigonometria a b c (Pythagoraan lause) A ab Trigonometriset funktiot a b a sin, cos, tan c c b 40

Suora Pisteiden, y y y k tan x x x ja x, y kautta kulkevan suoran kulmakerroin: Suora on nouseva, jos k > 0 laskeva, jos k < 0 xakselin suuntainen, jos k = 0 yakselin suuntainen, jos k:ta ei voida määrittää. Tarkastellaan suoria s ja s, joiden kulmakertoimet ovat k ja k. Suorat ovat yhdensuuntaiset eli s s, jos k k tai suorat ovat yakselin suuntaiset. Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli s s, jos k k tai toinen suora on xakselin ja toinen yakselin suuntainen. Suoran yhtälön yleinen muoto: ax by c 0 Suoran yhtälön ratkaistu muoto: y kx b, missä k on kulmakerroin ja b vakiotermi (suoran ja yakselin leikkauspisteen y koordinaatti). x akselin suuntaisen suoran yhtälö: y t, missä t on suoran ja yakselin leikkauspisteen ykoordinaatti yakselin suuntaisen suoran yhtälö: x u, missä u on suoran ja xakselin leikkauspisteen xkoordinaatti Tasokuvioita Neliö A a d a 4

4 Suorakulmio b a d ab A Neljäkäs ah A Suunnikas absin ah A Puolisuunnikas sin ) ( s b a h b a A Kolmio sin ab ah A Ympyrä d r p d r A 4

43 Sektori b r 360 (kaaren pituus) 360 br r A Avaruuskappaleita Kuutio 3 6 3, s V s A s d s a Suorakulmainen särmiö abc V bc ac ab A c b a d Suora ympyräkartio h r V rs A v 3 Suora ympyrälieriö h r V h r r r A A rh A v kok v ) (

Pallo A V 4r 4 r 3 3 π:n likiarvo 500 ensimmäisen desimaalin tarkkuudella 3, 459 6535 89793 3846 6433 8379 5088 497 69399 3750 5809 74944 5930 7864 0686 0899 8680 3485 34 70679 848 0865 383 06647 09384 46095 5058 37 53594 088 48 7450 840 7093 85 05559 6446 9489 54930 3896 4488 0975 66593 3446 8475 6483 37867 8365 70 909 45648 5669 34603 4860 4543 6648 3393 6076 049 473 7456 70066 0635 5887 4885 090 968 9540 975 36436 7895 90360 033 05305 4880 4665 384 4695 945 6094 33057 7036 57595 9953 098 673 893 679 305 8548 07446 3799 6749 56735 88857 574 89 7938 830 949 Tilastomatematiikka Keskilukuja keskiarvo x x x x n 3... x n painotettu keskiarvo x, missä q,q,...,q n ovat painokertoimia q x q q q x... q... q n n x n Moodi eli tyyppiarvo tarkoittaa yleisintä, useimmin esiintyvää muuttujan arvoa. Mediaani tarkoittaa keskimmäistä arvoa (tai kahden keskimmäisen arvon keskiarvoa), kun aineisto on järjestetty suuruusjärjestykseen. Hajontalukuja Keskihajonta ilmoittaa, kuinka kaukana muuttujan arvot ovat keskimäärin keskiarvosta. Vaihteluväli kertoo millä välillä havainnot vaihtelevat. Vaihteluvälin pituus on muuttujan suurimman ja pienimmän arvon erotus. 44

Todennäköisyyslaskenta Klassinen todennäköisyys P ( A) suotuisten tapaustenlukumäärä kaikkien tapausten lukumäärä Vastatapahtuman todennäköisyys P( A) P( Aei tapahdu) P( A) Yhteenlaskusääntö Kun A ja B erillisiä tapauksia P( A tai B) P( A) P( B) Kun A ja B eivät ole erillisiä P( A tai B) P( A) P( B) P( A ja B) Kertolaskusääntö Kun A ja B ovat riippumattomia PA ja B P( A) P( B) Kun A ja B ovat riippuvia (yleinen kertosääntö) P(ensin A ja sitten B) P(A) P(B,kun A on tapahtunut) SIjärjestelmä Kerrannaisyksiköiden etuliitteet Nimi Tunnus Kerroin Nimi Tunnus Kerroin eksa E 0 8 desi d 0 peta P 0 5 sentti c 0 tera T 0 milli m 0 3 giga G 0 9 mikro μ 0 6 mega M 0 6 nano n 0 9 kilo k 0 3 piko p 0 hehto h 0 femto f 0 5 deka da 0 atto a 0 8 45

Lisäyksiköitä Suure Yksikkö Tunnus Vastaavuus aika minuutti min min = 60 s tunti h h = 60 min vuorokausi d d = 4 h vuosi a a 365 d tasokulma aste = 60 minuutti = 60 sekunti tilavuus litra l l = dm 3 massa tonni t t = 000 kg atomimassayksikkö u u =,660540 0 7 kg pituus tähtitieteellinen yksikkö AU AU = 0,495979 0 m parsek pc pc = 30,85678 0 5 m Muuntokertoimia Pituus = in = tuuma = 5,40 mm = ft = jalka = 0,3048 m yd = jaardi = 0,944 m mi = maili =,609344 km mpk = M = meripeninkulma = 85 m vv = valovuosi = 9,46055 0 5 m AU = tähtitieteellinen yksikkö = 49,5979 0 9 m Massa ka = karaatti = 0, g u =,660540 0 7 kg lb = naula = 0,4536 kg oz = unssi =8,35 g Tasokulma = π/360 rad Pintaala b = barn = 0 8 m acre = eekkeri = 4,0469 0 3 m Tilavuus l = dm 3 = 0,00 m 3 bbl = barreli = 0,589873 m 3 gal = gallona (UK) = 4,54609 l gal = gallona (US) = 3,7854 l Nopeus solmu = mpk/h =,85 km/h = 0,544 m/s Luonnonvakioita Nimi Tunnus Lukuarvo ja yksikkö putoamiskiihtyvyys g 9,80665 m/s valon nopeus c,9979458 0 8 m/s elektronin massa m e 9,093897 0 3 kg protonin massa m p,6763 0 7 kg neutronin massa m n,674986 0 7 kg 46