Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa eli. Lasketaan A() kolmion pinta-alana. A ( ) Vastaus: A ( ) c) Derivoidaan b-kohdassa saatu pinta-alafunktio. A( ) Pinta-alafunktion A derivaatta kohdassa on sama kuin alkuperäinen funktio f(). Vastaus: A( ), mikä on sama kuin pinta-alaa rajaava funktio f.
. a) A() =,7 Vastaus:,7 b) Luetaan kuvaajasta erikseen kaksi pinta-alaa ja vähennetään ne toisistaan. A(5) A() = 9,5 7,97 =,8 Vastaus:,8 c) Voidaan ajatella, että pinta-ala kasvaa sitä enemmän, mitä korkeammalla funktion f kuvaaja on. Pinta-alafunktio A kasvaa siis nopeimmin, kun funktio f saa suurimman arvonsa eli kohdassa =. Vastaus: Kohdassa = d) Pinta-ala ei kasva, jos funktion f kuvaaja on -akselilla. Pintaalafunktion A muutosnopeus on hetkellisesti nolla kohdassa = 7. Vastaus: Kohdassa = 7 e) Pinta-ala kasvaa vakionopeudella, kun funktion f kuvaaja on vaakasuora. Näin ollen pinta-alafunktion A muutosnopeus on vakio, kun 9. Muuttujan kasvaessa yhdellä yksiköllä, kasvaa pinta-ala tällöin kolmella yksiköllä. Pinta-alafunktion muutosnopeus on siis. Vastaus: Pinta-alafunktion A muutosnopeus on vakio välillä 9. Muutosnopeuden suuruus on tällöin.
. Pinta-alafunktio YDINTEHTÄVÄT. Funktion f kuvaajan ja -akselin välillä [, 7] rajoittaman alueen pinta-ala on kuvaan merkittyjen alueiden erotus 6,7 6,6 =,.. a) Alueen pinta-ala on =.
b) A( ) Kysytty pinta-ala on A() A(). A() A() ( ) 79 () c) Funktio A on funktion f eräs integraalifunktio, joten f on funktion A derivaattafunktio. f ( ) A( ).. a) Alue on kolmio, jonka kannan pituus on ja korkeus on. A( ) b) Osoitettava, että A () = f(). A f ( ) c) A 9 8 () A() 9 4
4. Piirretään kuva. f() = + a) Alue on puolisuunnikas, jonka yhdensuuntaiset sivut ovat f() = + = ja f() = + ja korkeus, eli yhdensuuntaisten sivujen välinen kohtisuora etäisyys on. Pinta-alafunktio on ( ) A ( ) ( ). b) Pinta-alafunktio on jokin funktion f integraalifunktio. f ( )d ( )d C. Kun =, on pinta-ala, josta ratkaistaan vakio C. + + C = C C = Pinta-alafunktio on A ( ). c) Välillä [, ] alueen pinta-ala on A() A() ( ) ( ) 4.
5. a) Piirretään kuva. f() = + Pinta-alafunktio on jokin funktion f integraalifunktio. ( )d C Pinta-ala on nolla, kun =. Ratkaistaan vakio C. C C C Pinta-alafunktio on A ( ). b) Välillä [, ] pinta-ala on A() A() ( ) ( ) 9.
VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 6. a) Piirretään kuva. f() = Funktio A() on jokin funktion f integraalifunktio. ( )d C Kohdassa = pinta-ala on nolla. C C C Pinta-alafunktio on. A ( ) b) Välillä [, 5] pinta-ala on A(5) A() ( 5 5) ( ) 5 5 9 6.
7. a) Funktion A() arvot kasvavat nopeimmin, kun käyrän alla oleva pintaala kasvaa nopeimmin. Tämä tapahtuu kohdassa 6, missä alueen korkeus on suurin, eli funktio f saa suurimman arvonsa. b) Funktion A() arvot kasvavat hitaimmin, kun funktio f saa pienimmän arvonsa, eli kohdassa. c) Funktion A arvojen hetkellisen muutosnopeuden kertoo funktion derivaattafunktion arvo ko. kohdassa. Koska A on funktion f eräs integraalifunktio, niin A = f. Muutosnopeus kohdassa = 4 on f(4) =. 8. Pinta-alafunktio on eräs funktion f integraalifunktio. A ( ) d (4) d (4) d 4 s( ) u( s( )) ln 4 C ln(4) C,, kun Välillä [, 6] on f() >. Alueen pinta-ala välillä [, 6] on: A(6) A() ( ln( 6 4) C) ( ln( 4) C) ln6 C ln 4 C ln6 ln 4 ln 6 ln 4 ln 4 ln ln 4 ln. (Vakiota C ei tarvitse ratkaista, koska se kumoutuu laskussa.)
9. a) Käyrän y = + + ja -akselin leikkauspisteet saadaan ratkaistua yhtälöstä + + = 4 ( ) () = ja =. Leikkauspisteet ovat (, ) ja (, ). b) Pinta-alafunktio on eräs funktion f integraalifunktio. A( ) ( )d C Välillä [, ] funktio f >. Pinta-ala on A() A( ) ( 8 4 C) ( C) ( C) ( ( ) ( ) ( ) C) 4 Pinta-ala on 4.
. a) Pinta-ala kuvaa metrojunan kulkemaa matkaa asemien välillä. b) Tapa (pinta-alakaavoilla): Lasketaan kuvaajan ja -akselin väliin jäävän alueen pinta-ala kolmessa osassa geometrisesti pinta-alakaavoilla: Aikaväli 6 (s): 6 6,6 A,..., Aikaväli 6 6 (s): A 6,...,,6 Aikaväli 6 55 (s): 9 6,6 A 58,... 58, Pinta-ala yhteensä, +, +58, = 65 (m) 6 m Tapa (pinta-alafunktiolla): Aikaväli 6 (s): Muutetaan nopeus yksikköön m/s. 6 km/h = 6,6 m/s. Nopeuden kuvaaja on suora y = kt, joka kulkee pisteiden (, ) ja (6, 6 ) kautta. Kulmakerroin k =,6 6,6 vt () t 6 t 6 t. 6,6 6 57,6 6,6 6 joten nopeuden funktio on:
Kuljettua matkaa kuvaa integraalifunktio 6 6 s() t td t t C. 57,6 5, Nyt 6 6 s(6) s() ( 6 C) ( C),...,. 5, 5, Aikaväli 6 6 (s): Nopeuden kuvaaja on vaakasuora suora: vt () 6.,6 Kuljettua matkaa kuvaa integraalifunktio s() t 6 d 6 t t C.,6,6 Nyt s(6) s(6) ( 6 6 C) ( 6 6 C),...,.,6,6 Aikaväli 6 55 (s): Nopeutta kuvaa laskeva suora, joka kulkee pisteiden (6, 6,6 ) ja (55, ) kautta. 6 6,6,6 Suoran kulmakerroin k 6 6 55 9 9,6 9 68,4 Suoran yhtälö y = 6 (t 55), josta y 6 t. 68,4 68,4 68,4 vt () 6 t. 68,4 68,4 Kuljettua matkaa kuvaa integraalifunktio 6 6 s() t ( )d t t t t C. 68,4 68,4 6,8 68,4
Nyt s(55) s(6) 6 6 ( 55 55 C) ( 6 6 C) 6,8 68, 4 6,8 68, 4 58,... 58, Pinta-ala on yhteensä, +, +58, = 65 (m) 6 m. Metrojuna kulkee kahden aseman välissä noin 6m.. a) Pinta-ala on F() F() F() F() ( 4 C) ( 4 C) 7 CC 5 (mm) Ft () (t4)dt t 4tC b) Kolmen ensimmäisen tunnin sademäärä eli kolmen ensimmäisen tunnin kokonaismuutos saadaan erotuksesta F() F(). Kolmen ensimmäisen tunnin aikana vettä sataa 5,5 mm. c) Sademäärän muutosta kuvaa lauseke t + 4, jonka arvot kasvavat ajan t kasvaessa. Siis sademäärän muutos kasvaa koko ajan ja sademäärän muutos on tasaista (muutosnopeutta kuvaa suora). Oikea vaihtoehto on C.
SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT. Piirretään kuva. f() = 4 + Pinta-alafunktio on A C ( ) ( 4 )d. Käyrän y = 4 + sekä suorien y =, = ja = a rajaaman alueen pinta-ala saadaan erotuksesta A(a) A(), kun a >. A(a) A() = (a a + a + C) ( + + C) = a a + a + C C = a a + a. Pinta-alaehdon A = 4 nojalla kysytty a:n arvo ratkeaa yhtälöstä a a + a = 4 a a + a 4 = a (a ) + (a ) = (a + )(a ) = a + = tai a = a = a = ei ratkaisua Yhtälön ainoa ratkaisu on a =.
. a) Kun patoaltaasta juoksutetaan vettä, on virtaavan veden määrä sitä suurempi, mitä enemmän luukku on auki. Virtaama noudattaa funktiota f(t) = t, kun t, missä t on aika sekunteina luukun 6 aukaisemisesta. Kun on kulunut sekuntia, luukku on kokonaan auki. Tällöin virtaama on f () 5, eli 5 m /s. 6 Luukun ollessa täysin auki virtaama pysyy vakiona, 5 m /s, eli virtaaman funktio on f(t) = 5, kun t >. Luukun ollessa kokonaan auki, vettä virtaa 5 m yhdessä sekunnissa. Kymmenessä sekunnissa vettä virtaa s 5 m /s = 5 m. b) Virtaaman funktio voidaan esittää paloittain määriteltynä funktiona: t, kun t f() t 6. 5, kun t Piirretään funktion f kuvaaja. Virranneen veden määrä aikavälillä [, ] on kuvaajan alle jäävän alueen pinta-ala välillä [, ].
Tapa : Alueen pinta-ala voidaan laskea kolmion pinta-alana. Kolmion kanta on ja korkeus funktion f arvo, 5 kun =, eli f (). 6 5 Kolmion pinta-ala on 5 8 8,. Altaasta virtaa vettä aikavälillä [, ] noin 8, m. Tapa : Määritetään veden määrää kuvaava funktio integraalilaskennan avulla. Ft t C (), Alueen pinta-ala, eli virranneen veden määrä välillä [, ] on F() F() 5 8, (m ).
4. Funktion f lauseke saadaan integroimalla funktion f muutosnopeuden lauseke. f ( ) (4)d C Ratkaistaan vakio C ehdosta f() =. f() = + C = + C + C = C = f() = + Pinta-alafunktio A saadaan integroimalla funktion f lauseke: A( ) ( )d C. Välillä [, 4] on f() >. Alueen pinta-ala on A A C C 8 88C C 4. (4) () ( 4 4 4 ) ( )
5. a) Pinta-alan alaraja on yhden desimaalin tarkkuudella 6, ja yläraja 7,4. b) Appletissa suorakulmioiden suurin määrä on. Tällöin pinta-alan alaraja on yhden desimaalin tarkkuudella 6,6 ja yläraja 6,9. Mahdollisia arvoja pinta-alalle on 6,6; 6,7; 6,8 ja 6,9.
sin 6. a) Funktion f ( ) kuvaajan ja -akselin välillä [, 5 ] rajoittaman alueen pinta-alan likiarvo on ALAPUOLELLE piirrettyjen suorakulmioiden avulla laskettuna 6,97. GeoGebra: Alasumma[^sin(),pi/,5pi/,] YLÄPUOLELLE piirrettyjen suorakulmioiden avulla laskettuna 7,6. Geogebra: Yläsumma[^sin(),pi/,5pi/,] Pinta-alan mahdolliset yksidesimaaliset likiarvot ovat 7,, 7, ja 7,. b) Pinta-alan yksidesimaalinen likiarvo on 7,, kun suorakulmioita on 87 kappaletta. Tällöin sekä ala- ja yläsumman likiarvo on yhden desimaalin tarkkuudella 7,.
7. Funktion f ( ) e kuvaajan ja -akselin välillä [, ] rajaama pintaala ala- ja yläsummien avulla on,49 ja se saavutetaan 99 suorakulmiolla. 8. a) f(),,98,4,9,6,8,8,6 Koska funktio f on vähenevä, f( ) > f( ), kun <. Tällöin laskettaessa pinta-alalle alarajaa, on alasumman pylväiden korkeus sama kuin funktion arvo välin oikeassa reunassa. Pylvään leveys on taulukoitujen muuttujan arvojen erotus,. A alaraja =, f(,) +, f(,4) +, f(,6) +, f(,8) +, f() =,(,98 +,9 +,8 +,6 + ) =,66. Vastaavasti ylärajaa laskettaessa yläsumman pylväät ovat korkeudeltaan funktion arvon korkuisia rajan vasemmanpuoleisessa reunassa: A yläraja =, f() +, f(,) +, f(,4) +, f(,6) +, f(,8) =,( +,98 +,9 +,8 +,6) =,86. b) Ei voida. Mahdollisia arvoja ovat,7;,8 ja,9.
. Määrätty integraali YDINTEHTÄVÄT 9. a) Aluetta rajoittaa funktion kuvaaja, joka on paraabeli. Mahdollisia kuvioita ovat A ja C. Määrätyssä integraalissa alarajana on = ja ylärajana =. Ainoastaan kuviossa C ovat nämä rajat. Integraaliin liittyy kuvaaja C. Funktion f() = eräs integraalifunktio on F() =. Nyt d F() F() 87. b) Aluetta rajoittaa funktion + kuvaaja, joka on paraabeli. Rajat ovat = ja =. Integraaliin liittyy kuvaaja A. Funktion f() = + eräs integraalifunktio on F( ). Nyt ( )d F() F() ( ) ( ) ) ) 5. 6 6 6 c) Aluetta rajoittaa funktion kuvaaja, joka on vaakasuora suora. Integraaliin liittyy kuvaaja B. Funktion f() = eräs integraalifunktio on F() =. Nyt 4 d F( 4 ) F( ) 4 8 6.
. Funktion f() = 6 eräs integraalifunktio on (6 )d F() F() F ( ). ( ) ( ) 8 5. a) Merkitään f() = e. Integroinnin alaraja on ja yläraja. Kysytty pinta-ala on e d/ e e e e. b) Merkitään f( ), >. Integroinnin alaraja on e ja yläraja e. Kysytty pinta-ala on e e d/ ln ln e ln lnelne ( ). e e e. a) b) e d e d / e ( e e ) ( e) e / sin d cos cos ( cos) ( ) c) / / d d ( )
. Alueen pinta-ala on 4 4 4 cos d cos d sin / (sin( ) sin()) 4 (sin sin) (). 4. a) 4 4 f( )d f( )d f( )d4 b) 4 f( )d f( )d4 4 c) 6 4 6 f( )d f ( )d f( )d4 4 5 4 d) 6 6 f( )d f( )d 4 4 4 4 e) f ( )d ( F() F()) f) F4 F f ( ) d 4 4
VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 5. ( )d ( )d ( ln / ) ln ln ln ( ln ) ( ln ) 6. Kun >, f() >. Kysytty pinta-ala on 8 8 8 8 d d d ln / (ln 8 ln ) ln8 ln ln ln 7. Puun paksuuden muutos aikavälillä [, ] saadaan määrättynä integraalina. 6 ( sin ( t))d t ( cos( )) 6 / t t 6 6 6 ( cos ( )) ( cos ( )) 6 6 6 6 (4 ) 4 Paksuus lisääntyy vuodessa 4 cm.
8. a) 8( ) d 4() d 4 () d b) s( ) u( s( )) 4 4 4 / () ( ) 4 / ( ) () ( ) 4 4 4 4 4 4 4 4 4 d d / / / 6 4 ( 4 4) ( ) 4 c) 9. a) 4 4 4 4 e d e d ( ) ( ) / e e e e u( s( )) e s ( ) ( )d ( )d ( )d 5 / 5 5 5 ( ) ( ) 5 5 ( ) 5 4 5
b) e e e d ( )d ( )d e / (ln ) (eln e) (ln ) e e c) d 4 ( ) d 4 ( ) d s ( ) u( s( )) / ( ) ( ) / / / ( ) ( )( ) /( ) (( ) ( ) ) ((8 ) 9 ) (9) (7 ) 6 5
. Ehto on ( e A)d. ( e A)d / ( e A ) ( e A ) ( e A ( ) ) A e A e A e A e. a) EPÄTOSI Esimerkiksi jos f() =,5 ja g() =,5 +,5, niin b) TOSI Nyt f ()d ja g( )d. f( )d f( )d 6. c) EPÄTOSI Esimerkiksi jos f() = 6, niin 6d / () (). Kuitenkin (6 ) d 6 d/ ( ) ( ).
. a) b). a) b) e e e e e d ( )d ( )d d / e ( )d ( )d ( )d /( ) ( ) ( ) 84 6 5 d (sama ala- ja yläraja) 5 sin d cos d ( sin cos )d ( (sin cos ))d d / / ( ( ) ) ( )
c) 9 8 ( )d ( )d ( )d... ( )d 9 8 (( ) ( ) ( )... ( ))d ( 9 ( )d / 9 8... )d kumoutuu termin kanssa kumoutuu 8 termin kanssa ( ) 9 ( ) ( )
4. a) Piirretään kuva. Kun <, niin lauseke 4 saa negatiivisia arvoja. Tällöin 4 = ( 4) = + 4. Kun, niin lauseke 4 saa positiivisia arvoja ja 4 = 4. (4) 4, kun 4 4, kun Integrointi pitää suorittaa osissa, välillä [, ] ja [, ]. / / 4 d ( 4)d (4)d ( 4 ) ( 4 ) b) Piirretään kuva. ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) 48948 5 Määritetään itseisarvomerkkien sisällä olevan lausekkeen 4 nollakohdat. Yhtälö 4 =, kun = ±. Funktion 4 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten 4 <, kun < <. Muualla 4, joten 4 4, kun 4, kun tai Integrointi välillä [, ] pitää suorittaa osissa, väleillä [, ], [, ] ja [, ].
4 d ( 4)d ( 4)d ( 4)d /( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) / / ( ( ) 4 ( )) ( ( ) 4 ( )) ( 4) ( ( ) 4 ( )) ( 4) ( 4) ( 8 8) ( 9) ( 8 8) ( 8 8) (9 ) ( 8 8) 8 89 8 8 8 89 8 8 5 5. a) Piirretään kuva. sin d sin d s ( ) u( s( )) / / ( cos ) cos (cos cos ) ( )
b) Piirretään kuva. Ratkaistaan itseisarvomerkkien sisällä olevan lausekkeen nollakohta. sin =, kun sin n tai n n n Kun, niin sin. Kun, niin sin <. sin, kun sin sin, kun sin d sin d ( sin )d sin d sin d cos ( cos ) / / (cos ( ) cos ()) (cos cos ( )) (cos cos ) (coscos ) ( ) ( ( ))
c) Piirretään kuva. ( sin )d ( sin d s ( ) u( s( )) / ( cos ) cos(4 ) ( cos ) 6. a) Hetkellinen kiihtyvyys a on nopeuden v muutosnopeus eli derivaatta, joten nopeus ajanhetkellä t saadaan kiihtyvyyden lausekkeen t integraalifunktiosta: vt () ( t)dt t t C. Koska ajanhetkellä t = nopeus on nolla, niin v() = : v() C C, josta C =. v () 5 5 Rajanopeus on 5 m/s.
b) Hetkellinen nopeus v on matkan s muutosnopeus eli derivaatta. Kuljettu matka ajanhetkellä t saadaan nopeuden lausekkeen t t integraalifunktiosta: s() t ( t )d t t t 5t D. 6 Koska s() =, niin D =. Rajanopeus saavutetaan sekunnin kuluessa, joten rajanopeuden saavuttamisen aikana pudotaan metreinä s() 5 5,... 6 6 Koska laskuvarjo on avattava viimeistään 8 metrin korkeudessa, on hyppy suoritettava laskennallisesti. m + 8 m = 4, m korkeudesta. Hyppy on suoritettava vähintään 4 metrin korkeudesta. 7. a) Kun muutosnopeus on positiivinen, populaation koko kasvaa. 8 t > t < 6 Populaation koko kasvaa aikavälillä t 6 ja populaation koko on suurimmillaan ajanhetkellä t = 6 eli 6 vuorokauden kuluttua tarkastelun alusta 4 b) Määrätty integraali (8 t)dt kuvaa populaation kokonaismuutosta aikavälillä t 4, eli 4 ensimmäisen vuorokauden aikana. 4 4 (8 t)d t / (8 t t ) (8 4 4 ) (8 ) 5 94 4 Populaation koko pienenee tarkasteluajankohtana 4 yksilöllä. c) Määrätyn integraalin avulla voidaan ainoastaan laskea populaation koon muutos, joka nyt on 4 yksilöä. Koska populaation kokoa tarkastelun alkuhetkellä ei tiedetä, populaation kokoa kahden viikon kuluttua tarkastelun alkamisen jälkeen ei voida tehtävänannon perusteella laskea.
8. Merkitään y-akselin suuntaista siirtoa kirjaimella k. Aluetta rajaava kuvaaja on muotoa y = e + k. A ( e k)d ( e k) ( e k) ( e ) ek / Koska alueen pinta-alan oltava e, niin saadaan yhtälö e + k = e, josta k =. Siirron on oltava yhden yksikön suuruinen, jotta alueen pinta-ala olisi täsmälleen e. 9. b b / ( )d ( ) ( b b) ( ( ) ( )) b b 4 4 4 b b b b b( b ) b b Luvun b tulee olla. tai (ei ratkaisua)
4. f ( )d Määrätty integraali kuvaa pinta-alaa. Kuvaajaksi käy esimerkiksi suora, jonka alapuolelle ja -akselin yläpuolelle välillä [, ] jäävä alue on kolmio, jonka kanta on ja korkeus 4 tai suorakulmio, jonka leveys on ja korkeus. Jos kuvio on kolmio, suoralla tulee olla pisteet (, ) ja (, 4). Suoran kulmakerroin on 4 4. Suoran yhtälö: y = 4( ), josta y = 4 4. Jos kuvio on suorakulmio, kuvaaja on akselin suuntainen suora y =. Esimerkiksi funktiot f() = 4 4 ja f() = täyttävät halutut ehdot.
s 4. a) sin cos d (sin ) cos d u( s( )) '( ) / sin (sin ) (sin ) b) 4 4 s sin cos d (sin ) cos d 6 6 4 / 6 u( s( )) sin '( ) (sin ) (sin ) 4 6 ( ) ( ) 8
c) cos sin d Ratkaistaan itseisarvolausekkeen merkki nollakohtien avulla. cos sin cos sin : cos tan n 4 Välillä [, ] on kaksi nollakohtaa = 4 ja = 5. 4 4 Väleillä [, 4 ] ja [ 5 4, ] cos sin on positiivinen ja välillä [ 4, 5 4 ] negatiivinen. Integrointi pitää suorittaa erikseen jokaisella välillä. cos sin d 5 4 4 (cos sin )d ( cos sin )d (cos sin )d 5 4 4 5 4 4 / / / (sin cos ) ( sin cos ) (sin cos ) 5 4 4 (sin cos ) (sin cos) ( sin 5 cos 5 ) ( sin cos ) 4 4 4 4 4 4 (sin cos ) (sin 5 cos 5 ) 4 4 4
SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT b 4. Väite: kf ( )d k f ( )d a Todistus: vasen puoli: b a b a kf ( )d kf( b) kf( a) k( F( b) F( a)) oikea puoli: b k f( )d k( F( b) F( a)) kf( )d a b a 4. a) a ln a d Kun a >, integraali ilmoittaa funktion ja -akselin väliin jäävän pinta-alan. Pinta-ala on positiivinen joten ln a >, jos a >. ln d Kun < a <, ln a d d. a Koska integraali a d on a positiivinen, on d negatiivinen. Tällöin ln a <, kun < a <. a
b) ln d Arvioidaan pinta-alaa alapuolelle ja yläpuolelle asetettujen suorakulmioiden avulla. Suorakulmioiden leveys on =. Alapuolelle asetetun suorakulmion korkeus on f() = ja yläpuolelle asetetun suorakulmion korkeus on f() =. d ln
c) ln d Arvioidaan pinta-alaa ylä- ja alapuolelle asetettujen suorakulmioiden avulla, kuten b-kohdassa. Suorakulmioiden leveys on = ja korkeudet ja. d ln. Arviota voidaan tarkentaa lisäämällä suorakulmioiden määrää. Jos suorakulmioita olisikin kaksi: d 5 ln. 6
44. a) Funktion f() = tsin(t) kuvaajat ja nollakohdat, kun t =, ja : t = sin =, kun = + n = n tai = + n = + n yhdistettynä = n t = sin = : sin =, kun = + n tai = + n = n = + n : = n = + n yhdistettynä = n t = sin = : sin =, kun = + n tai = + n = n : = + n : = n = + n yhdistettynä = n
b) Funktion f() = tsin(t) kuvaajan ja -akselin rajaama pinta-ala: t = : A( ) sindcosc Alueen pinta-ala A() A() = cos + C ( cos + C) = cos + C + cos C = ( ) + C + C = + = t = : A( ) sind cosc Alueen pinta-ala A( ) A() = cos ( ) + C ( cos ( ) + C) = cos + C + cos C = ( ) + C + C = + = t = : A( ) sind cosc Alueen pinta-ala A( ) A() = cos ( ) + C ( cos ( ) + C) = cos + C + cos C = ( ) + C + C = + = Havainto: Pinta-ala on aina. Funktion f() = tsin(t) nollakohdat (t > ) saadaan a-kohdan mukaan = n t. Alueen pinta-ala A( t ) A() = cos ( t ) + C ( cos (t ) + C) t = cos + C + cos C = ( ) + C + C = + =.
45. a) 7 7 (t 7t6)d t / ( t t 6 t) 6 f D 7 ( ) ( 6 ) 7 6 Nollakohdat: 76 tai 6. b) Nyt ei pystytä integroimaan funktiota t e. Merkitään g ( ) t e. t e d t g( t)d t G( t) G() t g() t t e d t g( t)d t G( ) G( ) t f( ) D e dt D( G( ) G( )) g( ) g( ) ( ) e e e 9 e
Nollakohdat: 9 e e 8 e (e ) 8 e tai e 8 ei ratk. tai e e 8 ln 8 8 ln ln 8 ei ratkaisua Derivaattafunktiolla ei ole nollakohtia.
46. f ( ) t dt Merkitään gt () t. Määritetään lausekkeen t nollakohdat (HUOM! muuttujana on t). t =, kun t =. t, kun t gt () t t, kun t Väli [, ]:, joten kohta, jossa itseisarvolauseke muuttuu on integrointivälillä. f ( ) t dt t dt t dt ( t)d t ( t)dt ( ) ( / t t ) / t t ( ) ( ) ( ) Väli [, ]:, joten integrointivälillä t, t < ( ) ( )d / ( ) f t t t t
, kun f( ), kun Välillä [, ] kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jonka pienin ja suurin arvo saadaan välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa. Derivaatta =, kun = f() =, f( ) = 4 (pienin) ja f() = Välillä ], ] kuvaaja on nouseva suora, joten se saa suurimman arvonsa kohdassa =. f() = = Suurin arvo on ja pienin arvo on 4.
47. G ( ) ft ( )dt f ()d t t F( ) F() G( ) D( f( t)d t) D( ( F( ) F())) D( ) ( F( ) F()) D( F( ) F()) ( F( ) F()) f( ) f()d t t f( ) G ( ) f( ) ( f ( ) G ( )) Jos f on kasvava, f() > f(t) kaikilla t:n arvoilla. Tällöin / f ( t)d t f ( )d t f ( ) d t f ( ) t f ( )( ) f ( ). Koska f ()d t t f ( ), niin f ( ) f ( t)d t G( ), kun > ja f on kasvava. Koska f() G(), f() G(), joten G( ) ( f( ) G( )), eli funktio G on kasvava.