Symmetrisointi ja Pólya-Szegő-epäyhtälö

Symmetrisointi ja Pólya-Szegő-epäyhtälö Arttu Yli-Sorvari Pro gradu -tutkielma 218 matematiikan ja tilastotieteen laitos

Tiivistelmä Yli-Sorvari, Arttu Symmetrisointi ja Pólya-Szegő-epäyhtälö Matematiikan pro gradu -tutkielma Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Jyväskylän yliopisto, kesäkuu 218, 63 sivua Todistetaan variaatio-ongelmissa hyödyllinen ja hyvin tunnettu Pólyan ja Szegőn epäyhtälö, jonka mukaan Dirichlet n p-energia pienenee Sobolevfunktioiden Schwarzin symmetrisoinnissa. Tämä voidaan muotoilla siten, että jos u W 1,p (R n ), 1 p < ja u on funktion u vähenevä pallosymmetrinen uudelleenjärjestys, niin pätee u p dm n u p dm n. R n R n Schwarzin symmetrisoinnissa funktiota u kohti muodostetaan siis pallosymmetrinen ja vähenevä funktio u muuttamatta sen distribuutiofunktiota. Näistä ominaisuuksista seuraa, että alkukuvajoukot {u > t} ovat joukkojen {u > t} kanssa samanmittaisia palloja. Tämä taas liittää symmetrisoinnin luontevasti isoperimetriseen epäyhtälöön, jonka mukaan avaruuden R n samanmittaisista (ja äärellismittaisista) osajoukoista palloilla on pienin reunan pintamitta. Tämä on myös perimmäinen syy sille, miksi Pólyan ja Szegőn epäyhtälö on tosi. Avainsanat: uudelleenjärjestys, Schwarzin symmetrisointi, Pólyan ja Szegőn epäyhtälö, isoperimetrinen epäyhtälö i

And if you are inclined to be a pedant and must rely upon some rule, learn this one: Always use your own brains first. George Pólya ii

Sisältö 1 Johdanto 1 2 Taustatietoja 4 2.1 Tuloksia reaalianalyysistä.................... 4 2.2 Sobolev-avaruudet........................ 8 2.2.1 Perusominaisuuksia.................... 8 2.2.2 Heikko suppeneminen................... 1 2.3 Rajoitetusti heilahtelevat funktiot................ 12 3 Funktioiden symmetrisointi 15 3.1 Vähenevä uudelleenjärjestys................... 15 3.2 Schwarzin symmetrisointi..................... 26 4 Koarea-kaava 3 5 Isoperimetrinen epäyhtälö 39 5.1 Minkowskin sisältö........................ 39 5.2 Sobolevin epäyhtälö tapauksessa p = 1............. 44 6 Pólya-Szegő-periaate 47 6.1 Pólyan ja Szegőn epäyhtälö................... 47 6.2 Esimerkkejä............................ 59 6.2.1 Kapasitanssi........................ 59 6.2.2 Lämmönjohtuminen................... 62 iii

1 Johdanto Erilaiset symmetrisointioperaatiot tarjoavat usein hyödyllisiä lähestysmistapoja variaatiolaskennan ongelmiin. Tässä työssä symmetrisoinnilla viitataan funktioiden symmetrisointiin (uudelleenjärjestämiseen), jossa ajatuksena on korvata funktio parempien symmetriaominaisuuksien funktiolla säilyttäen kuitenkin riittävästi informaatiota alkuperäisestä funktiosta. Valaistaan symmetrisoinnin ideaa ja sen hyödyllisyyttä esimerkillä. Viritetään tason rajoitetun alueen yli elastinen kalvo kiinnittäen se reunaltaan. Kalvon värähtelyä kuvataan aaltoyhtälöllä, johon voidaan hakea ratkaisuehdokkaita separoituvassa muodossa. Tällöin avaruusosan suhteen päädytään Laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmaan { u(x) = λu(x), x u(x) =, x, missä λ >. Kalvon värähtelyn ominaistaajuuksia vastaavat ne luvut λ, joille kyseiseen ongelmaan löytyy epätriviaaleja ratkaisuja. Osoittautuu, että pienin näistä, siis perustaajuus, löydetään minimoimalla niin sanottua Rayleighin osamäärää. Tämä tarkoittaa, että etsitään luku λ 1 () = inf { u 2 dx u2 dx : u W 1,2 (), u }. Kiinnitetään alueen pinta-ala. Tällöin perustaajuus on pienimmillään joukon ollessa ympyrä. Vastaavaa ominaisarvo-ongelmaa voidaan toki tarkastella korkeammissakin ulottuvuuksissa, ja tällöin edelleen pätee, että alin ominaisarvo minimoituu joukon R n ollessa pallo. Tätä tulosta kutsutaan Faber-Krahn-epäyhtälöksi. Faber-Krahn-epäyhtälö on suora seuraus työssä todistettavasta Pólyan ja Szegőn epäyhtälöstä. Funktioille u W 1,p (), 1 p <, muodostetaan vähenevä pallosymmetrinen uudelleenjärjestys u joukkoon, joka on joukon kanssa samanmittainen origokeskinen avoin pallo. Tällöin Pólyan ja Szegőn epäyhtälön mukaan u W 1,p ( ) ja u p dm n u p dm n. 1

Toisaalta uudelleenjärjestys tehdään muuttamatta funktion integraalinormeja, joten tästä seuraa välittömästi λ 1 ( ) λ 1 (). Esimerkki kuvaa hyvin sitä perusajatusta, jolla Pólya-Szegő-epäyhtälöä voidaan hyödyntää isoperimetrisissä ongelmissa. 1 Löytyy esimerkiksi monia muitakin matemaattisen fysiikan isoperimetrisiä epäyhtälöitä, jotka perustuvat sopiviin symmetrisointitekniikoihin. Faber-Krahn-epäyhtälön lisäksi klassisina esimerkkeinä mainittakoon aikanaan Saint-Venantin sekä Poincarén otaksumat teoreemat. Näistä ensimmäinen sanoo, että kun poikkileikkauksen ala on kinnitetty, on sylinterimäisistä tangoista suurin kiertojäykkyys sillä, jonka poikkileikkaus on ympyrä. Jälkimmäisen mukaan johtavista kappaleista pallolla on pienin sähköstaattinen kapasiteetti, 2 kun kappaleen tilavuus on kiinnitetty. Esimerkkejä löytyy lisää esimerkiksi artikkelista [Tal93] sekä tietenkin Pólyan ja Szegőn klassikkoteoksesta [PS51]. Yleensä tällaisiin matemaattisen fysiikan isoperimetrisiin epäyhtälöihin päästään käsiksi siten, että kiinnostuksen kohteena oleva fysikaalinen suure liittyy sopivan reuna-arvo-ongelman ratkaisuun ja erityisesti johonkin sen energialuonteiseen integraaliin. Kunhan tämä reuna-arvo-ongelma saadaan muotoiltua variaatio-ongelmana, voi symmetrisointiargumenttien mahdollisuus olla ilmeinen. Tiivistäen voidaan todeta, että symmetrisointitekniikoiden luonnollinen hyödyllisyys variointiongelmissa tekee niistä käyttökelpoisen työkalun yleisemminkin elliptisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden käsittelyssä. Hieman erilainen variointiongelma on optimaalisen vakion etsintä niin sanottuun Sobolevin epäyhtälöön u p C(p, n) u p funktioille u W 1,p (R n ). Tässä 1 p < n ja p =. Jälleen Pólyan ja n p Szegőn periaatteen nojalla voidaan rajoittua tarkastelemaan pallosymmetrisiä ja väheneviä funktioita, mikä palauttaa ongelman yksiulotteiseksi. Tähän menettelyyn nojautuen on artikkelissa [Tal76] löydetty optimaalinen, luvuista p ja n riippuva vakio sekä yhtäsuuruuden tavoittavat funktiot. Näin on esitelty mahdollisia käyttökohteita Pólyan ja Szegőn epäyhtälölle, jonka todistaminen on tämän työn päätavoite. Pólyan ja Szegőn epäyhtälö 1 Isoperimetrisillä ongelmilla tarkoitetaan yleisesti variaatio-ongelmia kiinnitetyillä sidosehdoilla. Nimityksensä nämä ovat saaneet alkuperäisestä isoperimetrisestä epäyhtälöstä, jonka mukaan tason osajoukoista ympyrällä on pienin ympärysmitan ja pinta-alan suhde. 2 Tämä voidaan tulkita varauksena, joka tasapainoasemassa nostaa kappaleen pinnan potentiaalia yhdellä yksiköllä suhteessa äärettömyyteen. 2 np

on sukua isoperimetriselle epäyhtälölle, johon sen todistus viime kädessä perustuu. Isoperimetrinen epäyhtälö todistetaan ilman yhtäsuuruuden karakterisointia, ja tässä yhteydessä tulee käsitellyksi myös Sobolevin epäyhtälö tapauksessa p = 1. Tämän lisäksi oleellisen tärkeä työkalu on niin sanottu koarea-kaava, joka käydään läpi siinä muodossa kuin se työn kannalta on tarpeen. 3

2 Taustatietoja Tähän lukuun kootaan hyödyllisiä tuloksia ja esitietoja ilman todistuksia. Mitta- ja integraaliteorian perusasiat oletetaan työssä tunnetuiksi. Käydään lyhyesti läpi käytettyjä merkintöjä siltä osin kuin ne eivät tekstissä erikseen tule määritellyksi. Kun X on topologinen avaruus, niin jatkuvien funktioiden X R joukkoa merkitään C(X). Joukolla tarkoitetaan lähtökohtaisesti avaruuden R n avointa osajoukkoa. Tällöin C k () koostuu funktioista f : R, joiden osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia kertalukuun k saakka. Edelleen C () = k N Ck (), ja funktioita f C () sanotaan sileiksi. Funktion f : X R kantaja spt f on joukon {x X : f(x) } sulkeuma. Funktion f sanotaan olevan kompaktikantajainen, jos spt f on joukon X kompakti osajoukko. Edelleen C (X) on jatkuvien ja kompaktikantajaisten funktioiden luokka. Vastaavasti määritellään C () = C () C (). Merkitään N = N {}. Olkoon α N n (multi-indeksi). Jos u C k () ja α := n j=1 α j k, niin merkinnällä α u tarkoitetaan α u = α x α 1 1... x αn n Avaruus R n varustetaan euklidisella normilla ( n x = j=1 Tällöin avoin x-keskinen, r-säteinen pallo on B(x, r). Vastaavaa suljettua palloa merkitään B(x, r), ja yleisesti joukon A sulkeuma on Ā. Lebesguen mittaa (ulkomittaa) avaruudessa R n merkitään m n. Yksikköpallon mitasta käytetään lyhennettä ω n = m n (B(, 1)). Tällöin yksikköpallon (n 1)- ulotteinen pintamitta on yhtä kuin nω n. Merkinnällä χ A tarkoitetaan joukon A karakteristista funktiota, joka saa arvon 1 joukossa A ja arvon muualla. x 2 i ) 1 2. 2.1 Tuloksia reaalianalyysistä Kappaleeseen liittyen todistuksia ja lisätietoja löytyy lukuisista reaalianalyysin oppikirjoista. u. 4

Kerrataan Hausdorffin mittojen määritelmä. Olkoon s <. Merkitään π s/2 α(s) = 2 s Γ(s/2 + 1), missä Γ on tavanomainen gammafunktio Huomaa, että kun n N, niin Γ(s) = e x x s 1 dx. π n/2 Γ(n/2 + 1) = ω n on n-ulotteisen yksikköpallon Lebesguen mitta. Määritelmä 2.1. Olkoon s, δ > ja A R n. Määritellään joukolle A s-ulotteinen Hausdorffin δ-sisältö Hδ(A) s = inf {α(s) diam(e j ) s : A E j, diam(e j ) δ}. j=1 j=1 Tällöin joukon A s-ulotteinen Hausdorffin mitta on H s (A) = sup Hδ(A) s = lim H s δ> δ δ(a). Huomautus 2.2. Sovitaan tässä =. Tällöin -ulotteiseksi Hausdorffin mitaksi saadaan lukumäärämitta. Hausdorffin mitta voidaan määritellä samaan tapaan yleisiin metrisiin avaruuksiin. Annettu määritelmä voidaan nähdä erikoistapauksena niin sanotusta Carathéodoryn konstruktiosta, jolla saadaan konstruoitua Borelin mittoja. Itse asiassa konstruktion nojalla H s on Borel-säännöllinen, sillä peittävien joukkojen E j voidaan yhtä hyvin olettaa olevan suljettuja. Tämä siksi että sulkeuman ottaminen ei muuta joukon halkaisijaa. Kertoimen α(s) hyödyllisyyden voi aavistaa havaitsemalla, että jos n N ja B R n on pallo, niin α(n)diam(b) n on pallon B n-ulotteinen Lebesguen mitta. Osoittautuukin, että n-ulotteinen Hausdorffin mitta ja n-ulotteinen Lebesguen mitta ovat tällöin samat avaruudessa R n (ja H k on k-ulotteinen pintamitta, kun 1 k < n). Lause 2.3. Avaruudessa R n pätee H n = m n. 5

Todistus. Katso [EG92]. Minkä tahansa joukon Hausdorffin mitta voi olla positiivinen ja äärellinen ainoastaan yhdellä ulottuvuudella s. Tämä johtaa joukon Hausdorffin dimension käsitteeseen. Lause 2.4. Olkoot s < t < ja A R n. (i) Jos H s (A) <, niin H t (A) =. (ii) Jos H t (A) >, niin H s (A) =. Määritelmä 2.5. Joukon A X Hausdorffin dimensio on luku dim H (A) = inf {s : H s (A) = }. Seuraava lause yleistää Lebesguen mitalle tuttuja ominaisuuksia Borelin mitoille. Lause 2.6. Olkoon X metrinen avaruus, µ Borel-mitta joukossa X ja B X Borel-joukko. (i) Jos µ(b) <, niin kaikilla ε > on olemassa suljettu F B, jolla µ(b \ F ) < ε. (ii) Oletetaan, että löytyy avoimet joukot {G i } i N niin, että µ(g i ) < kaikilla i N, ja B i N G i. Jos ε >, niin B sisältyy johonkin avoimeen joukkoon G, jolla µ(g \ B) < ε. Palautellaan sitten mieleen funktioiden silotus. Olkoon vakio C siten, että Ce 1 1 x 2 dm n (x) = 1. Määritellään B(,1) ϕ(x) = {Ce 1 1 x 2, kun x < 1, kun x 1, ja kaikille ε > asetetaan ϕ ε (x) = ε n ϕ( x). Tällöin pätee ϕ ε ε C (R n ), spt ϕ ε B(, ε) ja ϕ R n ε dm n = 1. Funktiota ϕ ε kutsutaan silottajaytimeksi. Jos sitten u L 1 loc (Rn ), niin funktion u silotukseksi sanotaan konvoluutiota u ε (x) := (ϕ ε u)(x) = ϕ ε (x y)u(y) dy. R n 6

Lause 2.7. Olkoon α N n ja 1 p <. (i) Jos u L 1 loc (Rn ), niin u ε C (R n ) ja α u ε = α ϕ ε u. (ii) Jos u L p (R n ), niin u ε L p (R n ), u ε p u p ja u ε u p, kun ε. (iii) Jos u on jatkuva, niin u ε u lokaalisti tasaisesti, kun ε. Lauseen 2.7 mukaan sileät funktiot ovat tiheässä avaruudessa L p (R n ). Tätä tulosta voidaan vielä kuitenkin parantaa. Lause 2.8. Olkoon 1 p < ja R n avoin. Tällöin C () on tiheässä avaruudessa L p (). Seuraavaa lausetta kutsutaan Lebesguen derivointilauseeksi. Lause 2.9. Olkoon µ Radonin mitta ja f L 1 loc (Rn, µ). Tällöin on voimassa 1 lim f dµ = f(x) r µ(b(x, r)) µ-m.k. x R n. B(x,r) Huomautus 2.1. Radonin mitalla tarkoitetaan tässä avaruuden R n Borelsäännöllistä ulkomittaa, jolle kompaktit joukot ovat äärellismittaisia. Jos µ = m n, niin pallojen ei tarvitse olla x-keskisiä, vaan raja-arvo voidaan ottaa yli pisteen x sisältävien suljettujen pallojen säteen mennessä kohti nollaa. Yksi klassisista reaalianalyysin tuloksista kertoo kasvavan funktion olevan melkein kaikkialla derivoituva. Lause 2.11. Olkoon f : R R kasvava. Tällöin f on melkein kaikkialla derivoituva ja b kaikilla a < b. a f dm 1 f(b) f(a) Määritelmä 2.12. Funktio f : [a, b] R on absoluuttisesti jatkuva, jos jokaiselle ε > löytyy δ > niin, että k f(b j ) f(a j ) < ε j=1 aina, kun (a 1, b 1 ),..., (a k, b k ) [a, b] ovat erillisiä ja k j=1 (b j a j ) < δ. 7

Absoluuttisesti jatkuvien funktioiden luokka on oikea analyysin peruslauseeseen. Lause 2.13. Olkoon f : [a, b] R. Tällöin f on absoluuttisesti jatkuva täsmälleen silloin, kun se on derivoituva melkein kaikkialla joukossa [a, b], f on integroituva ja d f dm 1 = f(d) f(c) kaikilla a c < d b. c 2.2 Sobolev-avaruudet Kootaan Sobolev-avaruuksista joitakin perusasioita. Laajemmin tietoa löytyy Sobolev-avaruuksia käsittelevistä kirjoista kuten [Zie89] tai [Leo9]. 2.2.1 Perusominaisuuksia Olkoon jatkossa aina R n avoin. Määritelmä 2.14. Olkoon u L 1 loc () ja α Nn. Oletetaan, että on olemassa funktio v L 1 loc () niin, että kaikilla ϕ C () pätee u α ϕ dm n = ( 1) α v ϕ dm n. (2.1) Tällöin sanotaan, että v on funktion u α:s heikko osittaisderivaatta. Merkitään lisäksi D α u = v. Huomautus 2.15. Jos u C k () ja α k, niin tavallinen derivaatta α u on myös α:s heikko derivaatta. Ollessaan olemassa heikko derivaatta on aina yksikäsitteinen (L p -mielessä). Yhtälöä (2.1) sanotaan osittaisintegrointikaavaksi. Usein käsitellään vain ensimmäisen kertaluvun derivaattoja, jolloin heikkoja derivaattoja tavataan merkitä muodossa D j u. Jos ensimmäisen kertaluvun heikot osittaisderivaatat ovat olemassa, tarkoitetaan u:n heikolla gradientilla vektorifunktiota u = (D 1 u,..., D n u). 8

Määritelmä 2.16. Olkoon 1 p ja k N. Sobolevin avaruus W k,p () koostuu kaikista niistä funktioista u L p (), joille on olemassa D α u L p () kaikilla α k. Määritellään avaruuteen normi asettamalla u k,p := D α u p. (Huom: Jos α =, niin D α u = u.) α k Sobolev-avaruus W k,p () on Banachin avaruus. Sen tärkeä ominaisuus on sileiden funktioiden tiheys. Lause 2.17. Olkoon 1 p < ja u W k,p (). Tällöin löytyy jono funktioita ϕ j C () W k,p () niin, että u ϕ j k,p, kun j. Vaatimalla sileiden ja kompaktikantajaisten funktioiden tiheys saadaan määritelmä avaruudelle W k,p (). Määritelmä 2.18. Avaruus W k,p () on joukon C () sulkeuma avaruudessa W k,p (). Avaruuden W k,p () suljettuna aliavaruutena myös W k,p () on Banachin avaruus. Mainittakoon, että on voimassa W k,p (R n ) = W k,p (R n ), kun 1 p <. Sobolev-funktioille saadaan hyödyllinen karakterisaatio suorilla absoluuttisen jatkuvuuden avulla. Määritelmä 2.19. Olkoon L koordinaattiakselin suuntainen suora. Sanotaan, että funktio u : R on absoluuttisesti jatkuva suoralla L, jos rajoittumafunktio u L on absoluuttisesti jatkuva kaikilla suljetuilla väleillä [a, b] L. Edelleen u on ACL (absolutely continuous on lines), jos u on absoluuttisesti jatkuva melkein kaikilla koordinaattiakselien suuntaisilla suorilla. Tällä ilmaisulla tarkoitetaan sitä, että kun kunkin akselin suuntaiset suorat vastaavat pistettä n 1-ulotteisessa aliavaruudessa, niin suorat joilla absoluuttinen jatkuvuus ei päde, muodostavat kussakin suunnassa m n 1 - nollamittaisen joukon. Lause 2.2. Olkoon 1 p < ja u L p (). Tällöin u W 1,p () jos ja vain jos funktiolle u löytyy ACL-edustaja, jonka osittaisderivaatat kuuluvat avaruuteen L p (). ACL-karakterisaatio mahdollistaa absoluuttisesti jatkuvien funktioiden ominaisuuksien käytön Sobolev-funktioiden käsittelyssä. Tämä helpottaa esimerkiksi erilaisten derivointisääntöjen todistamista. 9

Lause 2.21. Olkoot u, v W 1,p () L (). Tällöin uv W 1,p () ja (uv) = u v + v u. Lause 2.22. Olkoon u W 1,p (). Tällöin positiivi- ja negatiiviosille pätee u +, u W 1,p () sekä { u + u(x), u(x) > (x) =, u(x), ja u (x) = {, u(x) u(x), u(x) <. Huomautus 2.23. Erityisesti u = (m.k.) joukossa {x : u(x) = }. Lisäksi kun u, v W 1,p (), niin max {u, v} W 1,p () ja { u(x), u(x) v(x) max {u, v}(x) = v(x), u(x) < v(x). Myös seuraava ketjusääntö pätee. Lause 2.24. Olkoon f : R R Lipschitz ja u W 1,p (), p 1. Jos f u L p (), niin f u W 1,p () ja (f u) = (f u) u. 2.2.2 Heikko suppeneminen Kerrataan hieman funktionaalianalyysiä (ks. esim. [Bre1]). Määritelmä 2.25. Olkoon E (reaalikertoiminen) normiavaruus. Sen kaikkien lineaaristen funktionaalien, siis jatkuvien lineaarikuvausten f : E R joukkoa kutsutaan avaruuden E (topologiseksi) duaaliksi, jota merkitään muodossa E. Duaaliavaruus on vektoriavaruus luonnollisilla yhteenlaskulla ja skalaarilla kertomisella. Normiavaruus siitä saadaan asettamalla niin sanottu operaattorinormi f = sup{ f(x) : x 1}. Tällöin E on Banachin avaruus, vaikka E ei olisikaan. 1

Topologiasta muistetaan kuvausperheen indusoiman topologian käsite. Tämän ideana voidaan ajatella olevan se, että kokoelma joukon X funktioita f i : X Y i, i I, topologisille avaruuksille Y i määrää joukkoon X karkeimman mahdollisen topologian, jossa kaikki kuvaukset f i ovat jatkuvia. Eräs kanta tälle topologialle saadaan muodossa { j J f 1 j (U j ) : U j Y j avoin, J I äärellinen}. Tyypillinen esimerkki indusoidusta topologiasta on projektiokuvausten indusoima tulotopologia karteesiseen tuloavaruuteen. Toinen tärkeä esimerkki on heikko topologia: Määritelmä 2.26. Olkoon E normiavaruus. Kuvausten f E indusoima topologia on avaruuden E heikko topologia. Määritelmä 2.27. Kun normiavaruuden E jono (x j ) suppenee heikossa topologiassa alkioon x E, sanotaan, että jono suppenee heikosti alkioon x ja merkitään x j x. Huomautus 2.28. Heikolla topologialla varustettu E on Hausdorffin avaruus. Erityisesti heikko raja on yksikäsitteinen. Lause 2.29. Olkoon (x j ) jono Banachin avaruudessa (E, ) ja x E. (i) Pätee x j f E. x täsmälleen silloin, kun lim j f(x j ) = f(x) kaikilla (ii) Jos x n x normin suhteen, niin x j x. (iii) Jos x j x, niin jono (x j ) on rajoitettu, ja lisäksi on voimassa x lim inf j x j. Heikko topologia on karkeampi kuin normin määrittämä topologia, eli heikosti avoimet joukot ovat avoimia normin suhteen. (Ja siispä sama pätee suljetuille joukoille.) Äärellisulotteisessa tapauksessa mainitut topologiat ovat itse asiassa samat, mutta ääretönulotteisessa tilanteessa heikko topologia on aidosti karkeampi. Hahnin ja Banachin lauseen avulla voidaan kuitenkin todistaa seuraava tieto. Lause 2.3. Normiavaruuden E konveksit suljetut joukot ovat suljettuja myös heikossa topologiassa. 11

Kun A R n on mitallinen ja 1 < p <, niin Rieszin esityslauseen mukaan avaruuden L p (A) duaali voidaan samaistaa avaruuteen L p p 1 (A). Jonon (f j ) heikko suppeneminen funktioon f avaruudessa L p (A) tarkoittaa siis sitä, että lim f j g dm n = fg dm n j A kaikilla g L p p 1 (A). Rieszin esityslausetta voidaan yleistää sopivasti myös avaruuteen W 1,p (), ja tällöin voidaan todeta, että u j u avaruudessa W 1,p () täsmälleen silloin, kun u j u avaruudessa L p () ja u j u avaruudessa L p (; R n ). Avaruuden L p (A) suljetut pallot ovat heikosti jonokompakteja, kun 1 < p < : Lause 2.31. Olkoon 1 < p <. Jos (f j ) on avaruuden L p (A) rajoitettu jono, niin on olemassa osajono (f jk ) ja f L p (A) niin, että f jk f. Tätä käyttämällä saadaan vastaava tulos Sobolev-avaruuksille. Lause 2.32. Olkoon 1 < p < ja (u j ) rajoitettu jono avaruudessa W 1,p (). Tällöin on olemassa osajono (u jk ) ja u W 1,p () niin, että u jk u avaruudessa W 1,p (). 2.3 Rajoitetusti heilahtelevat funktiot Lause 2.32 ei päde, kun p = 1. Tämä antaa syyn tarkastella avaruutta, joka on sopivasti laajempi kuin W 1,1 (). Tällöin päädytään puhumaan rajoitetusti heilahtelevista funktioista. Otetaan hyvin lyhyesti tarkasteluun tämä käsite. Työn kannalta oleellisinta on tältä osin näiden erikoistapauksena saatavat äärellisen perimetrin joukot. Lisätietoja ja todistuksia varten voi kääntää katseensa vaikkapa kirjoihin [EG92] tai [Zie89]. Määritelmä 2.33. Olkoon R n avoin ja u L 1 (). Sanotaan, että u on rajoitetusti heilahteleva joukossa, jos sup { u div ϕ dm n : ϕ C (; R n ), ϕ 1} <. Merkitään rajoitetusti heilahtelevien funktioiden avaruutta BV (). Usein rajoitetusti heilahtelevat funktiot luonnehditaan tai suorastaan määritellään funktioiksi, joiden distribuutioderivaatat ovat Radonin mittoja. Tälle ilmaisulle perustelun antaa seuraava lause, jonka todistus perustuu Rieszin esityslauseeseen avaruudessa C (; R n ). A 12

Lause 2.34. Olkoon u BV (). Tällöin on olemassa Radonin mitta µ joukossa ja µ-mitallinen funktio σ : R n siten, että σ(x) = 1 µ-m.k. x ja u div ϕ dm n = ϕ σ dµ kaikilla ϕ C 1 (; R n ). Lauseen 2.34 mittaa merkitään usein µ = Du. Tätä kutsutaan funktion u variaatiomitaksi ja sille on voimassa Du () = sup { u div ϕ dm n : ϕ C (; R n ), ϕ 1}. Avaruus BV () on Banachin avaruus normilla u BV () = u L 1 () + Du (). Esimerkiksi kaikki Sobolev-funktiot u W 1,1 () ovat rajoitetusti heilahtelevia funktioita. Näille pätee Du () = u dm n. Myös BV -funktioita voidaan tietyssä mielessä approksimoida sileillä funktioilla. Tämä ei kuitenkaan yleisesti ottaen onnistu BV -normissa; silloin kyseessä olisi Sobolev-funktio. Lause 2.35. Jos u BV (), niin on olemassa funktiot u j C (), j N, niin, että u j u avaruudessa L 1 () ja u j dm n Du (), BV () kun j. Huomautus 2.36. Jos = R n, niin edellinen approksimointi onnistuu funktioilla u j C (R n ). Ideana on se, että ensinnäkin kompaktikantajaisille funktioille u BV (R n ) tämä on totta. Yleistä u approksimoidaan sitten kompaktikantajaisella funktiolla uφ, missä φ on riittävän suuren pallon karakteristisen funktion silotus. 13

Määritelmä 2.37. Olkoon R n avoin ja E R n mitallinen. Joukolla E sanotaan olevan äärellinen perimetri joukossa, jos χ E BV (). Tällöin lukua P (E; ) := Dχ E () = sup { div ϕ dm n : ϕ C (; R n ), ϕ 1} E sanotaan joukon E perimetriksi joukon suhteen. Jos = R n, niin puhutaan vain joukon E perimetristä ja merkitään tätä lyhyemmin muodossa P (E). Huomautus 2.38. Jos E ei ole äärellisen perimetrin joukko, siis jos sup { div ϕ dm n : ϕ C (; R n ), ϕ 1} =, E niin on hyvin luonnollista määritellä tällöin P (E; ) =. Huomautus 2.39. Jos avoimen joukon G R n reuna on riittävän siisti, niin P (G) = H n 1 ( G), mikä seuraa Gaussin ja Greenin lauseesta. 14

3 Funktioiden symmetrisointi Tässä luvussa tarkastellaan funktioiden uudelleenjärjestelyä ja sen ominaisuuksia. Aloitetaan tarkastelu yksiulotteisella uudelleenjärjestyksellä, jonka pallosymmetrinen versio on Pólyan ja Szegőn epäyhtälössä käytettävä Schwarzin symmetrisaatio. Schwarzin symmetrisointia voidaan alkukevennyksenä havainnollistaa seuraavasti. Kuvitellaan, että jollekin tasaiselle alueelle on levittynyt lunta erilaisiin kasoihin. Oletetaan myös, että tiedämme, kuinka suuressa joukossa lumenkorkeus ylittää kunkin arvon. Rajataan ympyränmuotoinen alue, jonka pinta-ala on sama kuin alkuperäisen alueen. Ryhdytään sitten järjestämään lumimassa tähän ympyrään symmetriseen ja laskevaan muotoon siten, että lumenkorkeus ylittää kunkin lukeman aina yhtä suuressa joukossa kuin alkutilanteessa. Jos u on funktio, joka kertoo alkuperäisen lumenkorkeuden kussakin pisteessä, on tälle funktiolle tullut näin muodostettua vähenevä pallosymmetrinen uudelleenjärjestys u, jota myös Schwarzin symmetrisaatioksi kutsutaan. Luku pohjautuu erityisesti lähteisiin [Leo9] ja [Kes6]. 3.1 Vähenevä uudelleenjärjestys Määritelmä 3.1. Olkoon E R n mitallinen joukko ja u : E [, ] mitallinen funktio. Funktion u distribuutiofunktio on kuvaus µ u : R [, ], µ u (t) = m n ({x E : u(x) > t}). Distribuutiofunktio on vähenevä, mikä seuraa välittömästi määritelmästä. Lisäksi pätee µ u (t) = kaikilla t ess sup E u ja µ u (t) = m n (E) kaikilla t < ess inf E u. Propositio 3.2. Olkoon E R n mitallinen joukko ja u : E [, ] mitallinen funktio. Tällöin distribuutiofunktiolle µ u pätee: (i) Distribuutiofunktio on oikealta jatkuva. (ii) Jos µ u (s) < jollakin s < t, niin µ u on jatkuva pisteessä t täsmälleen silloin, kun m n ({x E : u(x) = t}) =. (iii) Jos nouseva jono (u j ) suppenee pisteittäin funktioon u, niin (µ uj ) on nouseva jono, joka suppenee funktioon µ u. 15

Todistus. (i) Olkoon (t j ) vähenevä jono siten, että t j t. Oikealta jatkuvuuden näyttämiseksi riittää todeta, että µ u (t j ) µ u (t). Koska joukot {x E : u(x) > t j } muodostavat kasvavan jonon mitallisia joukkoja, pätee lim µ u(t j ) = lim m n ({x E : u(x) > t j }) j j = m n ( j N{x E : u(x) > t j }) = m n ({x E : u(x) > t}) = µ u (t). (ii) Olkoon (t j ) kasvava jono siten, että s < t j < t kaikilla j N ja t j t. Nyt joukkojen {x E : u(x) > t j } jono on laskeva, ja koska m n ({x E : u(x) > t 1 }) <, saadaan lim µ u(t j ) = lim m n ({x E : u(x) > t j }) j j = m n ( j N{x E : u(x) > t j }) = m n ({x E : u(x) t}) = µ u (t) + m n ({x E : u(x) = t}). Näin ollen µ u on tässä tapauksessa myös vasemmalta jatkuva pisteessä t, jos ja vain jos m n ({x E : u(x) = t}) =. (iii) Selvästi {x E : u j (x) > t} {x E : u j+1 (x) > t}, joten µ uj (t) µ uj+1 (t). Loppu seuraa laskusta µ u (t) = m n ({x E : u(x) > t}) = m n ( j N{x E : u j (x) > t}) = lim j m n ({x E : u j (x) > t}) = lim j µ uj (t). Lemma 3.3. Olkoon u : E [, ] mitallinen funktio niin, että u(x) < m.k. x E. Jos µ u (t) < kaikilla t >, niin lim µ u(t) =. t Todistus. Joukot {x E : u(x) > k} muodostavat laskevan jonon äärellismittaisia mitallisia joukkoja. Siispä lim µ u(k) = lim m n ({x E : u(x) > k}) k k = m n ( k N{x E : u(x) > k}) = m n ({x E : u(x) = }) =. 16

Väite seuraa, sillä µ u on vähenevä. Huomautus 3.4. Toisinaan ei-negatiivisen funktion u sanotaan olevan äärettömyydessä häviävä, jos µ u (t) < kaikilla t >. Tämä nimitys ei ole välttämättä täysin osuva, sillä esimerkiksi funktio k=1 kχ [k,k+2 k ] olisi myös äärettömyydessä häviävä. Distribuutiofunktion ei tarvitse olla aidosti kasvava, joten sillä ei ole välttämättä käänteisfunktiota. On kuitenkin hyödyllistä muodostaa eräänlainen vasemmanpuolinen käänteisfunktio. Tämä tehdään seuraavassa määritelmässä. Rajoitetaan tarkastelu ei-negatiivisiin funktioihin. Merkitään jatkossa E = [, m n (E)). Määritelmä 3.5. Olkoon E R n mitallinen joukko ja u : E [, ] mitallinen funktio. Kuvaus u : E [, ], u (t) = inf {s : µ u (s) t}, on funktion u vähenevä uudelleenjärjestys. Propositio 3.6. Mitallisen funktion u : E [, ] vähenevälle uudelleenjärjestykselle u on voimassa seuraavat ominaisuudet: (i) Funktio u on vähenevä, u () = ess sup E u ja u (t) ess inf E u kaikilla t E. Jos lisäksi pätee µ u (t) < kaikilla t >, niin tällöin lim t m u (t) = ess inf u. n(e) E (ii) Olkoon t < m n (E) ja s. Tällöin u (t) > s täsmälleen silloin kun µ u (s) > t. (iii) Funktio u on oikealta jatkuva. (iv) Olkoon t niin, että µ u (t) < m n (E). Tällöin pätee u (µ u (t)) t. Aito epäyhtälö on voimassa jos ja vain jos µ u on vakio jollakin välillä [t, t], missä t < t. (v) Kaikilla s pätee m 1 ({t E : u (t) > s}) = m n ({x E : u(x) > s}). (vi) Jos (u j ) on nouseva jono ja u j (x) u(x) kaikilla x E, niin tällöin myös (u j ) on nouseva jono, joka suppenee pisteittäin funktioon u. 17

Todistus. (i) Jos t 1 t 2, niin {s : µ u (s) t 1 } {s : µ u (s) t 2 }, ja siten u (t 2 ) u (t 1 ). Oleellisen supremumin määritelmä antaa suoraan u () = inf{s : µ u (s) = } = ess sup u. E Koska µ u (s) = m n (E) kaikilla s < ess inf E u, pätee {s : µ u (s) < t} [ess inf E u, ) jokaisella t < m n (E). Siispä u ess inf E u. Koska u on vähenevä ja alhaalta rajoitettu, on olemassa lim t m u (t) ess inf u. n(e) E Yhtäsuuruden näyttämistä varten olkoot ε > ja t j t j m n (E). Nyt koska < m n (E) niin, että m n ({x E : u(x) ess inf E u + ε}) >, pätee lisäoletuksen nojalla µ u (ess inf E u + ε) < m n (E). Määritelmää käyttäen tästä nähdään, että isoilla j on voimassa u (t j ) ess inf E u + ε. Täten lim t mn(e) u (t) ess inf E u. (ii) Jos u (t) > s, niin µ u (s) > t suoraan määritelmän perusteella. Oletetaan sitten µ u (s) > t. Oikealta jatkuvuuden nojalla löytyy s > s niin, että µ u (s ) > t. Nyt s on eräs alaraja joukolle {s : µ u (s ) t}, joten u (t) s > s. (iii) Olkoon t < m n (E). Voidaan olettaa, että u (t) >. Kiinnitetään s < u (t). Tällöin µ u (s) > t, joten voidaan valita h > niin, että µ u (s) > t+h. Edellisen kohdan ja vähenevyyden nojalla u (t) u (t+h) > s. Koska s voidaan valita mielivaltaisen läheltä lukua u (t), ja u on vähenevä, seuraa tästä oikealta jatkuvuus. (iv) Huomio on triviaali. u (µ u (t)) = inf {s : µ u (s) µ u (t)} t 18

Jos sitten löytyy väli [t, t] [, ), jossa µ u on vakio, niin u (µ u (t)) t < t. Toisaalta jos oletetaan, että u (µ u (t)) < t, niin löytyy t < t, jolla µ u (t ) µ u (t). Koska µ u on vähenevä, niin se on tällöin vakio välillä [t, t]. joten (v) Kohdan (ii) nojalla {t E : u (t) > s} = [, µ u (s)), m 1 ({t E : u (t) > s}) = µ u (s) = m n ({x E : u(x) > s}). (vi) Koska u j u j+1, on µ uj µ uj+1. Siispä {s : µ uj+1 (s) t} {s : µ uj (s) t}, mistä edelleen seuraa u j (t) u j+1 (t). Riittää siis näyttää, että aina kun s < u (t), niin u j (t) > s jollakin j. Ehdosta u (t) > s siis seuraa µ u (s) > t. Proposition 3.2 kohdan (iii) nojalla löytyy k N, jolla µ uk (s) > t. Edelleen tästä seuraa u k (t) > s. Huomautus 3.7. Tarkastellaan vielä Proposition 3.6 kohtaa (iv). Olkoon t < ess sup E u siten, että µ u (t) < m n (E). Jos u (µ u (t)) < t, niin µ u on vakio jollakin välillä [t, t] [, ). Tällöin funktiolla u nähdään olevan epäjatkuvuuspiste kyseisen vakion kohdalla. Jos siis muutoin tiedetään funktion u olevan jatkuva, niin pätee u (µ u (t)) = t kaikilla niillä t < ess sup E u, joilla µ u (t) < m n (E). Vähenevä uudelleenjärjestys on siis nimensä mukaisesti vähenevä sekä oikealta jatkuva. Toisaalta vähenevä ja oikealta jatkuva funktio on (siirtoa vaille) itsensä vähenevä uudelleenjärjestys, minkä kertoo seuraava lemma. Lemma 3.8. Olkoon a (, ] ja u : [, a) [, ) vähenevä funktio. Tällöin u (t) = u(t) kaikissa pisteissä t, joissa u on oikealta jatkuva. Erityisesti u = u melkein kaikkialla joukossa [, a). Todistus. Koska u on vähenevä, pätee µ u (u(t)) t kaikilla t. Tästä määritelmä antaa suoraan u (t) u(t). Oletetaan sitten, että u on oikealta jatkuva pisteessä t. Olkoon ε >. Väitetään, että u(t) u (t) + ε. Valitaan s niin, että µ u (s) t ja 19

s u (t) + ε. Koska u on vähenevä, ehdosta u(t ) > s seuraa µ u (s) t. Tästä nähdään, että kaikilla h > on oltava voimassa u(t + h) s u (t) + ε. Väite seuraa oikealta jatkuvuuden perusteella. Proposition 3.6 kohta (v) kertoo funktioilla u ja u olevan sama distribuutiofunktio. Tällaisia funktioita kutsutaan keskenään yhtäjakautuneiksi tai toistensa uudelleenjärjestyksiksi. Cavalierin kaavaa 1 käyttämällä tästä nähdään välittömästi, että uudelleenjärjestys ei muuta funktion L p -normia. Tästä tuloksesta saadaan kuitenkin vahvempikin versio, kun huomataan, että funktioiden u ja u jakautuneisuudesta voidaan sanoa enemmänkin, kuin mitä yhtäjakautuneisuus ensisijaisesti tarkoittaa. Lemma 3.9. Olkoon u : E [, ) mitallinen funktio niin, että µ u (t) < kaikilla t >. Tällöin pätee m 1 ({t E : u (t) B}) = m n ({x E : u(x) B}) (3.1) kaikilla Borel-joukoilla B (, ). Todistus. Näytetään ensin, että väite pätee kaikilla välin (, ) avoimilla joukoilla. Koska jokainen avoin joukko voidaan esittää erillisten avoimien välien numeroituvana yhdisteenä, riittää todeta, että m 1 ({t E : u (t) (a, b)}) = m n ({x E : u(x) (a, b)}) aina, kun a < b <. Funktioiden u ja u yhtäjakautuneisuuden mukaan ja m 1 ({t E : u (t) > a}) = m n ({x E : u(x) > a}) m 1 ({t E : u (t) > b}) = m n ({x E : u(x) > b}). Tarkastelemalla laskevia joukkojonoja {t E : u (t) > b 1 } ja {x E : k u(x) > b 1 } saadaan rajalla k tulos k m 1 ({t E : u (t) b}) = m n ({x E : u(x) b}). 1 Olkoon u : A [, ] mitallinen ja p >. Tällöin A u p dm n = p t p 1 m n ({x A : u(x) > t}) dt. 2

(Oletuksen mukaan nämä joukot ovat äärellismittaisia ainakin riittävän suurilla k.) Näin ollen voidaan laskea m 1 ({t : a < u (t) < b}) = m 1 ({t : u (t) > a}) m 1 ({t : u (t) b}) = m n ({x : u(x) > a}) m n ({x : u(x) b}) = m n ({x : a < u(x) < b}). Olkoon sitten B (, ) Borel. Voidaan olettaa, että m n ({x E : u(x) B}) < ja m 1 ({t E : u (t) B}) <, sillä muussa tapauksessa tarkastellaan joukkoja B (1/k, ) ja tehdään rajankäynti k. Määritellään niin sanotut eteentyönnetyt mitat ja ν 1 (A) = m n ({x E : u(x) A}) ν 2 (A) = m 1 ({t E : u (t) A}), jotka voidaan suoraviivaisesti todeta Borelin mitoiksi. Nyt mittojen avoimissa joukoissa yhteneväisyyden ja Lauseen 2.6 avulla voidaan päätellä mikä haluttiinkin todistaa. ν 1 (B) = inf {ν 1 (U) : B U, U avoin} = inf {ν 2 (U) : B U, U avoin} = ν 2 (B), Lause 3.1. Olkoon u : E [, ) mitallinen, ja oletetaan, että µ u (t) < kaikilla t >. Olkoon lisäksi g : [, ) [, ] Borel-funktio. Tällöin on voimassa g u dm 1 g u dm n. Lisäksi kyseessä on yhtäsuuruus, jos g() =. E Todistus. Huomioidaan ensin, että u voi saada arvon ääretön vain pisteessä t =. Tämä pätee, koska jos u (t) = jollakin t >, niin tällöin µ u (s) > t kaikilla s. Tämä on nyt kuitenkin mahdotonta, sillä Lemman 3.3 mukaan µ u (s), kun s. Mitallinen funktio voidaan tunnetusti esittää rajana nousevasta jonosta yksinkertaisia funktioita. Jos funktio on Borel-mitallinen, jonon funktiot saadaan konstruoitua Borelin funktioiksi. Olkoot nyt g k : (, ) [, ], E 21

k N, nouseva jono yksinkertaisia Borel-funktioita siten, että g k (t) g(t) kaikilla t >. Lemmasta 3.9 seuraa välittömästi g k u dm 1 = g k u dm n {u >} {u>} kaikilla k N. Monotonisen konvergenssin lauseen avulla tästä saadaan g u dm 1 = g u dm n. {u >} {u>} Lauseen jälkimmäinen väite seuraa tästä. Yleisen tapauksen todistamiseksi riittää vielä todeta, että aina pätee m 1 ({t E : u (t) = }) m n ({x E : u(x) = }). Jos u (t) > kaikilla t, niin ilmiselvästi väite on tosi. Olkoon sitten s siten, että u (s) =. Funktion u vähenevyydestä johtuen joukko {t E : u (t) > } on rajoitettu. Näin ollen voidaan laskea m 1 ({t E : u (t) = }) = m 1 (E ) m 1 ({t E : u (t) > }) = m n (E) m n ({x E : u(x) > }) = m n ({x E : u(x) = }). Seuraus 3.11. Olkoon 1 p ja u L p (E), u. Tällöin u L p (E ) ja on voimassa u L p (E) = u L p (E ). Todistus. Kun 1 p <, väite seuraa Lauseesta 3.1 valitsemalla g(t) = t p. Tapaus p = on selvä, sillä u () = ess sup E u. Edellisessä seurauksessa yhtäsuuruuden ei tietenkään tarvitse olla enää voimassa, jos E korvataan mielivaltaisella osajoukollaan; saattaahan u olla esimerkiksi identtisesti nolla kyseisessä joukossa. Kuitenkin arvio ylöspäin pätee aina. Lause 3.12. Olkoon u : E [, ) mitallinen funktio ja F E mitallinen joukko. Tällöin on voimassa u dm n u dm 1. F F 22

Todistus. Merkitään v = u F. Triviaalisti µ v µ u, joten {s : µ u (s) t} {s : µ v (s) t} kaikilla t. Siispä v u. Seurausta 3.11 hyödyntäen saadaan u dm n = v dm n = v dm 1 u dm 1. F F F F Todistetaan vielä kappaleen lopuksi, että kuvaus u u on jatkuva L p - normin suhteen. On hyvä huomata, että kyseinen operaatio ei suinkaan ole lineaarinen. Otetaan ennen jatkuvuustodistusta kaksi aputulosta. Lemma 3.13. Olkoon u : E [, ) mitallinen niin, että µ u (t) < kaikilla t >. Jos ψ : [, ) [, ) on kasvava funktio, niin pätee melkein kaikkialla joukossa E. (ψ u) = ψ u Todistus. Olkoon t. Tällöin ψ 1 ((t, )) on Borel-joukko, joten Lemman 3.9 nojalla m n ({x E : ψ(u(x)) > t}) = m n ({x E : u(x) ψ 1 ((t, ))}) = m 1 ({s E : u (s) ψ 1 ((t, ))}) = m 1 ({s E : ψ(u (s)) > t}). Huomaa, että funktion ψ kasvavuudesta johtuen edellinen pätee myös siinä tapauksessa, että joukko ψ 1 ((t, )) sisältää nollan. Näin ollen funktioilla ψ u ja ψ u on sama distribuutiofunktio ja siten erityisesti sama vähenevä uudelleenjärjestys. Koska ψ u on vähenevä, on Lemman 3.8 nojalla voimassa melkein kaikkialla. (ψ u) = (ψ u ) = ψ u Lemma 3.14. Olkoot u, v : E [, ] mitallisia. Tällöin kaikilla t on voimassa u χ {v t} dm 1 u χ {v t} dm n. E E 23

Todistus. Oletetaan ensin, että u on integroituva (ja äärellisarvoinen). Kuten Propositiossa 3.6 huomattiin, kaikilla t on voimassa {s : v (s) > t} = [, µ v (t)) = {x E : v(x) > t}. Siten Lauseen 3.12 nojalla pätee u dm n {v>t} {v >t} u dm 1. Nyt u dm n + u dm n = u dm 1 + u dm 1 {v>t} {v t} {v >t} u dm n + {v t} u dm 1, {v>t} {v t} joten väite seuraa vähentämällä ensimmäiset termit puolittain. Yleistä tapausta varten määritellään funktiot u j : E [, ), j N, u j = χ B(,j) min {u, j}. Nämä funktiot muodostavat nousevan jonon, joka suppenee pisteittäin funktioon u. Koska u j dm n jm n (B(, j)) <, pätee todistuksen alkuosan mukaan u j dm 1 E {v t} {v t} u j dm n kaikilla j N. Proposition 3.6 nojalla myös (u j ) on nouseva jono, joka suppenee funktioon u. Näin ollen väite seuraa edellisestä epäyhtälöstä käyttämällä monotonisen konvergenssin lausetta. Lause 3.15. Olkoot u, v L p (E), 1 p <, ei-negatiivisia funktioita. Tällöin u v p dm 1 u v p dm n. E E 24

Todistus. Määritellään funktiot ja f 1 (t) = f 2 (t) = { t p, kun t, kun t < {, kun t t p, kun t <, jotka ovat jatkuvasti derivoituvia (paloittain jos p = 1). Nyt voidaan kirjoittaa f 1 (u(x) v(x)) = f 1(u(x) t) χ {v t} (x) dt. Fubinin lausetta käyttäen saadaan f 1 (u(x) v(x)) dx = f 1(u(x) t) χ {v t} (x) dx dt, (3.2) E E ja aivan vastaavasti pätee f 1 (u (s) v (s)) ds = E E f 1(u (s) t) χ {v t}(s) ds dt. (3.3) Koska f 1 on kasvava, kuvaukselle x f 1(u(x) t) kiinnitetyllä t pätee (f 1(u t)) (s) = f 1(u (s) t) melkein kaikilla s (Lemma 3.13). Tämä yhdessä Lemman 3.14 kanssa antaa f 1(u (s) t) χ {v t}(s) ds f 1(u(x) t) χ {v t} (x) dx. E E Nyt yhtälöiden (3.2) ja (3.3) perusteella päätellään f 1 (u (s) v (s)) ds f 1 (u(x) v(x)) dx. E E Samaan tapaan voidaan näyttää f 2 (u (s) v (s)) ds f 2 (u(x) v(x)) dx. E Lauseen väite seuraa summaamalla edelliset epäyhtälöt, sillä f 1 (t) + f 2 (t) = t p. E 25

3.2 Schwarzin symmetrisointi Kun E R n on mitallinen joukko, niin määritellään E origokeskiseksi avoimeksi palloksi, jolla on sama mitta kuin joukolla E. Toisin sanoen asetetaan E = {x R n : ω n x n < m n (E)}. Erityisesti näin määriteltynä on E = R n, jos m n (E) = sekä E =, jos m n (E) =. Aina siis pätee m n (E ) = m n (E), ja E on avoin. Schwarzin symmetrisoinnin sanallinen määritelmä on seuraavanlainen. Annetun funktion u Schwarzin symmetrisaatio on se pallosymmetrinen, säteen suhteen vähenevä ja alhaalta puolijatkuva funktio, joka on funktion u kanssa yhtäjakautunut. Määritelmä 3.16. Olkoon E R n mitallinen joukko ja u : E [, ] mitallinen funktio. Kuvausta u : E [, ], u (x) = u (ω n x n ) sanotaan funktion u väheneväksi pallosymmetriseksi uudelleenjärjestykseksi tai Schwarzin symmetrisaatioksi. Huomautus 3.17. Joskus Schwarzin symmetrisoinnilla tarkoitetaan juurikin joukon E symmetrisointia palloksi E. Nimitykset sopivat hyvin yhteen, sillä karkeasti ottaen voidaan ajatella, että funktion u tasa-arvojoukoille tehdään kyseinen symmetrisointi. Propositio 3.18. Mitallisen funktion u : E [, ] Schwarzin symmetrisaatiolle pätee seuraavat ominaisuudet: (i) Funktio u on säteen suhteen vähenevä, u () = ess sup E u ja u (t) ess inf E u kaikilla t. Jos lisäksi pätee µ u (t) < kaikilla t >, niin tällöin inf E u = ess inf u. E (ii) Kaikilla t pätee Erityisesti {x E : u (x) > t} = {x E : u(x) > t}. m n ({x E : u (x) > t}) = m n ({x E : u(x) > t}), eli u ja u ovat yhtäjakautuneita. 26

(iii) Funktio u on alhaalta puolijatkuva. (iv) Jos u j u, niin u j u. (v) Jos u(x) v(x) m.k. x E, niin u v. (vi) Kaikilla vakioilla c pätee (u + c) = u + c. Todistus. Kohdat (i) ja (iv) ovat selviä funktiolle u pätevien vastaavien ominaisuuksien perusteella. (ii) Pisteelle x E pätee u (x) > t täsmälleen silloin, kun u (ω n x n ) > t, mikä taas on yhtäpitävää ehdon µ u (t) > ω n x n kanssa. Väite havaitaan joukon {u > t} määritelmästä. (iii) Väite seuraa suoraan edellisestä kohdasta, nimittäin joukko on aina avoin. {x E : u (x) > t} (v) Distribuutiofunktio ja siten uudelleenjärjestys ei muutu, jos funktiota muutetaan nollamittaisessa joukossa. Täten voidaan olettaa, että u v kaikkialla. Tällöin väite on kohdan (iv) erikoistapaus. (vi) Merkitään v = u + c. Erityisesti pätee v c. Kaikilla t E on µ u (t) = m n ({x E : u(x) > t}) = µ v (t + c). Ehtojen v (t) > s ja µ v (s) > t yhtäpitävyyttä hyödyntämällä lasketaan Väite seuraa tästä. u (t) = inf {s : µ v (s + c) t} = inf {s : v (t) s + c} = v (t) c. Vähenevälle uudelleenjärjestykselle todistetut tulokset yleistyvät sopivasti myös Schwarzin symmetrisaatiolle. Muotoillaan erikseen näistä oleellisimmat. Lause 3.19. Olkoon u : E [, ) mitallinen siten, että µ u (t) < kaikilla t >. Jos g : [, ) [, ] on Borelin funktio, niin on voimassa g u dm n g u dm n. E Jos g() =, kyseessä on yhtäsuuruus. E 27

Todistus. Pallosymmetriaa ja sopivaa muuttujanvaihtoa hyödyntämällä lasketaan E E g u dm n = g u dm 1. Tällöin väite seuraa Lauseesta 3.1. Seuraus 3.2. Olkoon 1 p ja u L p (E), u. Tällöin u L p (E ) ja on voimassa u L p (E) = u L p (E ). Lause 3.21. Olkoot u, v L p (E), 1 p <, ei-negatiivisia funktioita. Tällöin u v p dm n u v p dm n. E Todistus. Jälleen huomataan u v p dm n = E joten Lause 3.15 antaa väitteen. E E u v p dm 1, Vastaava tulos pätee myös tapauksessa p =. Lause 3.22. Olkoot u, v L (E) ei-negatiivisia. Tällöin u v u v. Todistus. Melkein kaikilla x E pätee u(x) = v(x) + u(x) v(x) v(x) + u v. Nyt Proposition 3.18 kohtien (v) ja (vi) mukaan on voimassa u v + u v. Vastaava arvio pätee, kun vaihdetaan funktioiden u ja v roolit. Näin ollen kaikilla x E. u (x) v (x) u v Seuraus 3.23. Jos ei-negatiivisten funktioiden jono (u k ) suppenee funktioon u avaruudessa L p (E), 1 p, niin u k u avaruudessa L p (E ). 28

Todistetaan vielä lopuksi Hardyn ja Littlewoodin klassinen uudelleenjärjestysepäyhtälö. Lause 3.24. Olkoot u, v : E [, ) mitallisia. Tällöin uv dm n u v dm n. E E Todistus. Kun F E, niin Lauseen 3.12 nojalla u dm n u dm 1 = u dm n. (3.4) F F F Kirjoittamalla v(x) = χ (,v(x)) dt saadaan Fubinin lauseesta u(x)v(x) dx = u(x)χ (,v(x)) dt dx = u(x) dx dt. (3.5) E E {v>t} Soveltamalla epäyhtälöä (3.4) joukkoon {v > t} huomataan u(x) dx dt u (x) dx dt, {v>t} {v >t} sillä {v > t} = {v > t}. Näin ollen lauseen väite seuraa yhtälöstä (3.5) sekä vastaavasta yhtäsuuruudesta funktioille u ja v. 29

4 Koarea-kaava Pólyan ja Szegőn epäyhtälön todistuksessa tärkeässä osassa on niin kutsutun koarea-kaavan (coarea formula) käyttäminen. Tätä Fubinin lauseen käyräviivaiseksi yleistykseksi kutsuttua geometrisen mittateorian tulosta ei tässä työssä kuitenkaan tarvita koko yleisyydessään (Lipschitz-funktioille R n R m, m n). Tapausta p > 1 varten todistetaan versio sileille funktioille. Tämän lisäksi kaavasta käydään läpi niin sanottu BV -versio, joskin Sobolev-funktioille. Otetaan käyttöön Sardin lemma. Lause 4.1 (Sard). Jos u C (), ja merkitään A = {x : u(x) = }, niin pätee m 1 (u(a)) =. Todistus. Katso esim. [Leo9, Lause 13.42]. Huomautus 4.2. Sardin lemmasta seuraa erityisesti, että funktion u gradientti ei häviä tasa-arvojoukossa {x : u(x) = t} melkein kaikilla t. Tällöin kyseinen tasa-arvojoukko on sileä (n 1)-ulotteinen pinta. Lisäksi näillä t pätee {u > t} = {u = t}, ja pinnan {u = t} ulkoinen yksikkönormaali pisteessä x on ν(x) = u(x)/ u(x). Myös Gaussin ja Greenin kaavoille on aina käyttöä. Lause 4.3 (Gauss-Green). Olkoon R n avoin joukko, jonka reuna on C 1 -pinta. Kun φ C(R 1 n ; R n ), niin pätee div φ dm n = φ ν dh n 1, missä ν on joukon ulkoinen yksikkönormaali. Todistus. Todistus löytyy vaikkapa kirjasta [Mag12]. Huomautus 4.4. Gaussin ja Greenin kaavoista seuraavia integrointikaavoja kutsutaan usein vain osittaisintegroinniksi. Erityisesti jos on φ C(; 1 R n ), niin div φ dm n =. Lisäksi jos u C 1 (), niin pätee u φ dm n = u div φ dm n. Nämä toisaalta havaitaan jo käyttämällä Fubinin lausetta ja yksiulotteista osittaisintegrointia. 3

Seuraava viipalointikaava on myös varsin hyödyllinen. Lemma 4.5. Olkoon R n avoin, u L 1 loc () ja φ C1 (; R n ). Tällöin pätee u div φ dm n = div φ dm n dt. {u>t} Todistus. Olkoon ensin u. Koska u(x) = χ (,u(x)) (t) dt, ja χ (,u(x)) (t) = χ {u>t} (x) kun t, saadaan Fubinin lausetta käyttäen u(x) div φ(x) dx = χ (,u(x)) (t) div φ(x) dt dx = = χ {u>t} (x) div φ(x) dx dt div φ(x) dx dt. {u>t} Olkoon sitten u. Nyt u(x) = χ [u(x),] (t) dt, jolloin samaan tapaan laskemalla saadaan u(x) div φ(x) dx = χ [u(x),] (t) div φ(x) dt dx = χ {u t} div φ(x) dx dt = div φ(x) dx dt. {u t} 31

Koska φ C(; 1 R n ), on div φ dm n =, mistä seuraa div φ dm n = div φ dm n {u t} {u>t} kaikilla t. Näin ollen u(x) div φ(x) dx = div φ(x) dx dt. {u>t} Lemman väite seuraa kirjoittamalla u = u + +( u ) ja huomaamalla, että {u + > t} = {u > t}, kun t > sekä { u > t} = {u > t}, kun t <. Seuraavan koarea-kaavan version todistus seurailee pitkälti osiota 1.2.4 kirjasta [Maz11]. Lause 4.6 (coarea formula). Olkoon R n avoin. Olkoon lisäksi g jatkuva ja ei-negatiivinen sekä u C (). Tällöin kuvaus t g dh n 1 on mitallinen, ja on voimassa {u=t} g u dm n = g dh n 1 dt. (4.1) {u=t} Todistus. Käytetään aluksi testifunktiota φ C (; R n ). Osittaisintegroimalla ja Lemmaa 4.5 käyttämällä saadaan φ u dm n = u div φ dm n = div φ dm n dt. {u>t} Pitäen mielessä Sardin lemma ja sitä seurannut huomautus saadaan yhtäsuuruus div φ dm n = φ ν dh n 1 u = φ u dhn 1 {u>t} {u=t} {u=t} 32

melkein kaikilla t. (Ei haittaa, vaikka olisi {u = t} =.) Näin ollen φ u dm n = {u=t} φ u u dhn 1 dt. Huomaa, että funktio t {u=t} φ u u dhn 1 on mitallinen, sillä t {u>t} div φ dm n on sitä selvästi. Jaetaan nyt varsinainen todistus osiin. Todistetaan lause ensin sileälle ja kompaktikantajaiselle g, sitten jatkuvalle ja kompaktikantajaiselle g, ja lopuksi vielä yleiselle jatkuvalle g. Funktiot g ovat lauseen väitteen mukaisesti koko ajan ei-negatiivisia. Olkoon g C () ja k N. Määritellään edellisen testifunktion paikalle jolloin pätee g φ = g u 2 u + 1/k dm n = u u + 1/k, {u=t} g u u + 1/k dhn 1 dt. (4.2) Monotonisen konvergenssin lauseen nojalla yhtälön vasen puoli suppenee rajalla k kohti integraalia g u dm n. Sardin lemman mukaan u joukossa {u = t} m.k. t R. Näille t saadaan monotonisen konvergenssin lauseesta lim k {u=t} g u u + 1/k dhn 1 = {u=t} g dh n 1. Funktion t g u {u=t} u +1/k dhn 1 arvoksi voidaan jäljelle jäävässä nollamittaisessa joukossa uudelleenmääritellä g {u=t} dhn 1 (yhtälön (4.2) oikean puolen arvoa muuttamatta). Näin ollen kyseisten funktioiden jono on nouseva ja se suppenee pisteittäin funktioon t g {u=t} dhn 1. Erityisesti tämä rajafunktio on mitallinen. Vielä kerran monotonista korvergenssia soveltamalla saadaan lim k {u=t} g u u + 1/k dhn 1 dt = 33 {u=t} g dh n 1 dt.

Yhtälö (4.1) pätee siis funktioille g C (). Olkoon sitten g C (). Löytyy vakio M niin, että g M. Pienillä ε > pätee tämän silotukselle g ε C (), ja siispä g ε u dm n = g ε dh n 1 dt. (4.3) {u=t} Pätee myös g ε M. Valitaan nollaan suppeneva jono (ε j ). Näytetään yhtälö (4.1) menemällä rajalle j yhtälössä (4.3). Koska nyt g ε j g tasaisesti (:n kompakteissa osajoukoissa), on selvästi lim g ε j u dm n = g u dm n. j Valitaan avoin joukko U siten, että spt g U. Silottamalla funktiota Mχ U löydetään funktio f C () siten, että g ε j f M (suurilla j). Todistuksen edellisen vaiheen mukaan f dh n 1 dt = f u dm n, {u=t} mistä nähdään, että kuvaus t f {u=t} dhn 1 on integroituva, ja siispä myös f {u=t} dhn 1 < m.k. t R. Näin ollen dominoidun konvergenssin lauseesta saadaan lim g ε j dh n 1 = g dh n 1 j {u=t} {u=t} melkein kaikille t R. Erityisesti t {u=t} g dhn 1 on mitallinen. Uudestaan dominoidun konvergenssin lausetta soveltamalla saadaan viimein lim j {u=t} g ε j dh n 1 dt = {u=t} g dh n 1 dt. Siispä (4.1) pätee funktioille g C (). 34

Olkoon sitten vielä g C(). Löytyy kasvava jono kompakteja joukkoja K j niin, että j N K j =, sekä kasvava jono ei-negatiivisia funktioita f j C () niin, että f Kj = 1. Tällöin f j g u dm n = f j g dh n 1 dt {u=t} kaikilla j N. Jälleen monotonisen konvergenssin lauseen avulla saadaan funktion t {u=t} g dhn 1 mitallisuus sekä yhtälö (4.1). Seuraus 4.7. Olkoon u C () ja 1 p <. Tällöin on voimassa u p dm n = u p 1 dh n 1 dt. {u=t} Pallokoordinaateissa integrointi on Lauseen 4.6 erikoistapaus. Seuraus 4.8. Olkoon g : B(, R) R jatkuva ja ei-negatiivinen. Tällöin on g dm n = R g dh n 1 dt. B(,R) B(,t) Todistus. Valitaan u(x) = x, jolloin u(x) = 1 kaikilla x. Siispä Lauseen 4.6 nojalla kaikilla ε > pätee g dm n = R g dh n 1 dt. B(,R)\ B(,ε) ε B(,t) Väite seuraa nyt monotonisen konvergenssin lauseen avulla, kun annetaan ε. Todistetaan vielä koarea-kaavasta versio avaruuden W 1,1 () funktioille. Seuraava lause olisi kenties luontevin rajoitetusti heilahtelevien funktioiden kontekstissa (ks. [EG92]). Annettava todistus lainaa kirjan [Mag12, Lause 13.1] vastaavaa todistusta Lipschitz-funktioille. 35

Lause 4.9. Jos u W 1,1 (), niin pätee u dm n = P ({u > t}; ) dt. Erityisesti joukolla {u > t} on äärellinen perimetri joukossa m.k. t R. Todistus. Olkoon Φ C (; R n ), Φ 1. Määritelmän mukaan div Φ dm n P ({u > t}; ) {u>t} kaikilla t R. Edelleen osittaisintegrointikaavaa ja Lemmaa 4.5 käyttämällä tästä seuraa u Φ dm n = u div Φ dm n = div Φ dm n dt P ({u > t}; ) dt. {u>t} Nyt tavoiteena on sopivan approksimaation avulla saada tästä arvio u dm n P ({u > t}; ) dt. (4.4) Tätä varten olkoon j N, K j = {x : d(x, ) 1/j}, ja määritellään v j : R n, { u(x) u(x) v j (x) =, kun x K j ja u(x) muutoin. Tämän silotukselle pätee (pienillä ε > ) vj ε C (; R n ) ja vj ε 1. Lisäksi jollekin jonolle ε k pätee v ε k j (x) v j(x), kun k m.k. x. Nyt dominoidun konvergenssin lauseen nojalla K j u dm n = lim k u v ε k j dm n P ({u > t}; ) dt. Vielä kun sovelletaan monotonisen konvergenssin lausetta rajankäyntiin j, saadaan epäyhtälö (4.4). 36

Lause on siis todistettu, kunhan näytetään vielä epäyhtälö u dm n P ({u > t}; ) dt. (4.5) Määritellään funktio f : R [, ), f(t) = u dm n. {u t} Kasvavana funktiona f on melkein kaikkialla derivoituva, ja kaikilla kompakteilla väleillä [a, b] R on voimassa b f dm 1 f(b) f(a) u dm n. Tällöin pätee myös a f dm 1 u dm n, ja näin ollen epäyhtälön (4.5) todistamiseksi riittää näyttää, että arvio f (t) P ({u > t}; ) pätee m.k. t R. Kiinnitetään t R niin, että f on derivoituva pisteessä t. Olkoon h >, ja määritellään apufunktio g : R R,, kun s t s t g(s) = h, kun t < s t + h 1, kun s > t + h. Tällöin g u W 1,1 () ja (g u) = (g u) u = 1 h (χ (t, t+h) u) u. Jos sitten on ϕ C (; R n ), ϕ 1, niin (g u) div ϕ dm n = (g u) ϕ dm n = 1 h u ϕ dm n. {t<u<t+h} 37