HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä ovat diskreetin jakauman kertymäfunktioita ja mitkä jatkuvan jakauman kertymäfunktioita? Laske diskreeteille jakaumille niiden pistetodennäköisyysfunktio ja jatkuville jakaumille niiden tiheysfunktio. 0 kun x < 0, 0 kun x < 0, / kun 0 x < /4, F (x) = x 4 / kun 0 x <, F (x) = 7/ kun /4 x < 6/7, kun x, kun x 6/7, 0 kun x < 0, 0 kun x < 0, F (x) = 4 sin(7x) kun 0 x <, F 4 (x) = x 5 kun 0 x <, kun x, kun x. Ratkaisu: Funktio F on selvästi kasvava ja lisäksi kaikilla x R, F (x+) = F (x) eli F on oikealta jatkuva. Selvästi myös F ( ) = 0 ja F ( ) =, joten lauseen. nojalla F on kertymäfunktio. Täten on olemassa satunnaismuuttuja X, jolle F on X :n kf. Koska F ( ) = F (+) =, niin F ei ole jatkuva pisteessä, jolloin se ei voi olla jatkuvan jakauman kertymäfunktio, koska tällöin sen tulisi olla jatkuva koko R:ssä. Kun x =, pistetodennäköisyys P(X = x) = P(X = ) = P(X ) P(X < ) = F () F ( ) = = ja kaikilla x R\{}, P (X = x) = 0. Ainoa nollasta poikkeava pistetodennäköisyys saadaan siten pisteessa x =. Funktio, kun x =, f (x) = 0, muualla ei kuitenkaan voi olla pistetodennäköisyysfunktio (esim. Lause.4), joten satunnaismuuttuja X ei voi olla myöskään diskreetti eikä F siten voi olla diskreetin jakauman kf. Funktio F on myös kasvava ja oikealta jatkuva kaikilla x R ja lisäksi F ( ) = 0 ja F ( ) =, joten lauseen. nojalla F on kertymäfunktio. Täten on olemassa satunnaismuuttuja X, jolle F on X :n kf. Huomataan, että F ei ole jatkuva pisteissä 0,, 6 ja, joten se ei voi olla jatkuvan jakauman kf. Kun x {0,, 6}, 4 7 4 7 niin 0 =, kun x = 0, 7 P(X = x) = F (x) F (x ) = = 0, kun x =, 4 7 = 4, kun x = 6. 7
Muualla pistetodennäköisyys P(X = x) = 0. Merkitään Koska f on kaikkialla ei-negatiivinen ja, kun x = 0, 0 f (x) = P (X = x) =, kun x =, 4 4, kun x = 6. 7 0, muualla. f (x) =, x niin f on diskreetin satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio ja siten myös F on diskreetin jakauman kf. Huomataan, että F ( ) = 4 sin ( ) 7 < 0 = F (0), joten F ei ole kasvava funktio, jolloin se ei voi olla kertymäfunktio. Funktio F 4 on selvästi kasvava, oikealta jatkuva ja lisäksi F 4 ( ) = 0 ja F 4 ( ) =, joten lauseen. nojalla F 4 on kertymäfunktio. Koska lim F 4(x) = 0 = lim F 4(x) ja x 0 x 0+ lim F 4(x) = = lim F 4(x) x x + ja muualla F 4 on polynomifunktiona tai vakiofunktiona selvästi jatkuva, niin F 4 on jatkuva koko R:ssä. Kun x < 0 tai kun x >, niin derivaatta F 4(x) = 0. Kun x (0, ), F 4(x) = 5x 4. Merkitään F 4 (x):llä funktion F 4 vasemmanpuoleista derivaattaa pisteessä x ja F 4 + (x):llä funktion F 4 oikeanpuoleista derivaattaa pisteessä x. Koska F 4 (0) = 0 = 5 0 4 = F 4 + (0), niin F 4 on derivoituva pisteessä 0. Koska F 4 () = 5 4 = 5 0 = F 4 + (), niin F 4 ei ole derivoituva pisteessä. Koska muualla F 4 on polynomi- tai vakiofunktiona derivoituva (derivaatta itse asiassa johdettiin jo näissä alueissa), niin F 4 on derivoituva kaikkialla paitsi yhdessä pisteessä ja derivaatta F 4 on jatkuva kaikkialla paitsi tässä pisteessä. Nyt lauseen.7 nojalla F 4 on jatkuvan jakauman kertymäfunktio, eli on olemassa satunnaismuuttuja X 4, jolle F 4 on X 4 :n kf. X 4 :n tiheysfunktioksi (merk. f 4 ) voidaan saman lauseen nojalla valita F 4 :n derivaatta F 4. Derivaattaa ei ole määritelty pisteessä x =, mutta koska tiheysfunktion arvo voidaan valita vapaasti äärellisen monessa pisteessa, niin voidaan valita esimerkiksi f 4 () = 5, jolloin eräs X 4 :n tiheysfunktio on 5x 4, kun 0 < x, f 4 (x) = 0, muualla.. Olkoon α > 0. Määritellään jatkuva jakauma, jonka tf on f(x) = k h(x), jossa h on h(x) = (x ) α, kun < x <, ja h on nolla muualla. (a) Laske vakion k arvo, (b) johda jakauman kertymäfunktio, (c) johda jakauman kvantiilifunktio. Ratkaisu:
(a) Koska f on tiheysfunktio, niin = = k / f(x) dx = α (x )α = k α k(x ) α dx = k (x ) α dx [ ( ( ) α )α] = α k α. Tästä voidaan ratkaista, että k = α. α (b) Koska tiheysfunktio tunnetaan, voidaan kertymäfunktio ratkaista lauseen.6 avulla. Olkoon F tehtävän jakauman kertymäfunktio. Kun x (, ), niin F (x) = x f(u) du = x α α (u )α du = α α α x/ (u ) α = α (x )α. Lisäksi F (x) = 0, kun x ja F (x) =, kun x. (c) Koska F on kertymäfunktio, niin sille on olemassa kvantiilifunktio F : (0, ) (, ). Kvantiilifunktion lauseke voidaan selvittää ratkaisemalla x yhtälöstä F (x) = u (x α )α = u eli F (u) = α u+ kaikilla u (0, ). x = α α u x = α u +. Olkoon X > 0 jatkuvasti jakautunut sm, jonka tf f X (x) on jatkuva ja aidosti positiivinen, kun x > 0 (ja f X (x) = 0 muuten). Laske satunnaismuuttujien Y ja Z kertymäfunktiot, kun Y =, Z = X X X +. Tarkista, että sekä Y :n että Z :n jakauma on jatkuva (joko sovella lausetta.7 tai tarkista lauseen. oletukset). Laske lopuksi Y :n ja Z :n tiheysfunktiot. Ratkaisu: Koska X > 0, niin Y = X > 0. Nyt kaikilla y > 0 pätee ( ) ( ) F Y (y) = P(Y y) = P y = P X = P (X y ) X y (X < y ) ( ) y = F X Nyt siis F Y = P 0, kun y (, 0], F Y (y) = ( ) F X y, kun y (0, ) on jatkuva pisteessä 0, koska ( ) lim F Y (y) = lim F X y 0+ y 0+ y. = F X ( ) = = 0 = lim y 0 F Y (y).
Muualla F Y on jatkuva joko vakiofunktiona tai yhdistettynä funktiona jatkuvasta funktiosta F X. Siten F Y on jatkuva koko R:ssä. Lisäksi F Y on derivoituva kaikkialla, paitsi mahdollisesti pisteessä y = 0 ja sen derivaatta, kun y R \ {0}, on F Y 0, kun y < 0, (y) = ( ) ( ) y 4 fx y, kun y > 0. Derivaattafunktio on jatkuva kaikkialla paitsi mahdollisesti pisteessä y = 0. Näin ollen lauseen.7 nojalla F Y on jatkuvan jakauman kertymäfunktio ja sen erääksi tiheysfunktioksi voidaan valita 0, kun y 0, f Y (y) = ( ) ( ) y 4 fx y, kun y > 0. Koska X > 0, niin muunnoksen Z = X nimittäjä X + > 0. Tällöin Z > X+ ja Z < kaikilla X > 0, koska Z on aidosti kasvava, kun X > 0. Nyt ( ) X F Z (z) = P(Z z) = P X + z X+>0 = P (X( z) z + ) z>0 = P = P (X Xz + z)) = P (X Xz z + ) ( X z + ) ( ) z + = F X z z Siis 0, kun z, ( ) F Z (z) = F z+ X z, kun z (, ), kun z Nyt ( ) z + lim F Z(z) = lim F X = F X (0) = 0 = lim z + z + z F Z(z), z missä yhtäsuuruus F X (0) = 0 johtuu siitä, että X > 0. Lisäksi ( ) z + lim F Z (z) = lim F X = F X ( ) = = lim F Z (z). z z z z + Näin ollen F Z on jatkuva pisteissä ja. Koska muualla F Z on jatkuva joko vakiofunktiona tai yhdistettynä funktiona jatkuvasta funktiosta, niin F Z on jatkuva koko R:ssä. Lisäksi F Z on derivoituva kaikkialla, paitsi mahdollisesti pisteissä z = 0 ja z = ja sen derivaatta, kun z R \ {0, }, on ( ) 5 F Z(z) f z+ ( z) = X z, kun z (, ) 0, muualla Derivaattafunktio on jatkuva kaikkialla paitsi mahdollisesti pisteissä z = ja z =. Näin ollen lauseen.7 nojalla F Z on jatkuvan jakauman kertymäfunktio ja sen erääksi tiheysfunktioksi voidaan valita ( ) 5 f z+ ( z) f Z (z) = X z, kun z (, ) 0, muualla. 4. Olkoon U U(0, ) tasajakautunut sm. Etsi sellainen muunnos g : R R, että sm X = g(u) on
a) on jatkuvasti jakautunut ja tf on f X (x) = ({ 0 < x < } + { x }x ) (vihje. kvantiilifunktio) b) on diskreetti ja ptnf on f X on f X (x) = { x = 07 } + { x {, 8 } } 4 8 (vihje. g porrasfunktio, jonka voit etsiä suoraan tai määritelmän.9 ja lauseen. avulla) Ratkaisu: (a) Selvitetään ensin X :n kertymäfunktio F X Kun x < 0, F X (x) = 0. Kun x (0, ), ja sitä kautta kvantiilifunktio F X. F X (x) = x 0 f X (t) dt = x 0 dt = 0 x/ t = x. Kun x, on F X (x) = x + f X (t) dt = x + t dt = + = x + = x. x/ t Koska F X on jatkuvan jakauman kf, niin sille on olemassa kvantiilifunktio F X. Kvantiilifunktion lauseke voidaan selvittää ratkaisemalla x yhtälöstä F X (x) = u. Kun x (0, ), niin F X (x) = u (0, ) ja F X (x) = u x = u x = u. Kun x [, ), niin F X (x) = u [, ) ja Kvantiilifunktioksi F X F X (x) = u x = u x = u x = ( u). : (0, ) R saadaan siis F X (x) = u, kun u (0, ) ( u) kun u [, ) Nyt lauseen. nojalla satunnaismuuttujalla FX (U) on jakauma, jonka kertymäfunktio on F X ja siten myös tiheysfunktio f X. Muunnokseksi g : R R voidaan siten valita FX, kun vain valitaan, että g(u) = 0, kun u 0 tai u.
(b) Selvitetään jälleen aluksi X :n kertymäfunktio F X. Tälle diskreetille jakaumalle kertymäfunktio on porrasfunktio: 0, kun x < 07, kun x [ 07, ) 4 F X (x) = P(X x) = 5, kun x [, 8) 8, kun x 8. Kertymäfunktion F X yleistetty käänteisfunktio (määritelmä.9) F X (u) = inf{x : F (x) u} = 07, kun u (0, ] 4, kun u (, 5] 4 8 8, kun u ( 5, ) 8 Nyt kuten äsken lauseen. nojalla satunnaismuuttujalla FX (U) on jakauma, jonka kertymäfunktio on F X ja siten myös pistetodennäköisyysfunktio f X. Muunnokseksi g : R R voidaan siten valita FX, kun vain valitaan, että g(u) = 0, kun u 0 tai u. 5. Olkoon X jatkuvasti jakautunut sm, jonka tf on f X on jatkuva (mahdollisesti lukuunottamatta äärellisen monta poikkeuskohtaa). Olkoon g(x) = x { x < 0 } + (x + ){ x 0 }. Määrää sm:n Y = g(x) kf ja varmista, että Y on jatkuvasti jakautunut. Laske myös sen tiheysfunktio tapauksessa, kun X U(, ). Ratkaisu: Tarkastellaan aluksi muunnoksen g(x) kuvaajaa: Huomataan, että g(x) > 0 kaikilla x, joten P(g(X) y) = 0, kun y 0. Kun 0 < y <, niin P(Y y) = P(g(X) y) = P({X y} ({X < 0}) = P( y X < 0) = P(X < 0) P(X < y) = F X (0) F X ( y).
Kun y, niin P(Y y) = P(g(X) y) = P[{g(X) y} ({X < 0} {X 0})] = P[({g(X) y} {X < 0}) ({g(x) y} {X 0})] = P[{g(X) y} {X < 0}] + P[{g(X) y} {X 0}]. Merkitään A = P[{g(X) y} {X < 0}] ja B = P[{g(X) y} {X 0}], jolloin P(Y y) = A + B, kun y. Nyt ja A = P[{g(X) y} {X < 0}] = P[{X y} {X < 0}] = P[{ y X y} {X < 0}] = P[ y X < 0] = P[X < 0] P[X < y] = F X (0) F X ( y) B = P[{g(X) y} {X 0}] = P[{X + y} {X 0}] = P[{X y } {X 0}] = P [ 0 X y ] = P [ X y ] ( ) P [X < 0] = F X y FX (0). Näin ollen, kun y, saadaan P(Y y) = A + B = F X (0) F X ( ( ) y) + F X y FX (0) ( ) = F X y FX ( y). Satunnaismuuttujan Y = g(x) kertymäfunktioksi saadaan siten Koska 0, kun y 0 F Y (y) = P(Y y) = F X (0) F X ( y), kun 0 < y < F X ( y ) F X ( y), kun y. lim F Y (y) = F X (0) F X ( 0) = F X (0) F X (0) = 0 = lim F Y (y), y 0+ y 0 niin F Y on jatkuva pisteessä y = 0. Lisäksi koska ja lim F Y (y) = F X (0) F X ( ) = F X (0) F X ( ) y lim F ( ) Y (y) = F X FX ( ) = F X ( 0) F X ( ) = F X (0) F X ( ), y + niin F Y on jatkuva pisteessä y = ja siten koko R:ssä, koska muualla F Y on jatkuva joko vakiofunktiona tai yhdistettynä funktiona jatkuvasta funktiosta. Lisäksi F Y on derivoituva kaikkialla paitsi mahdollisesti pisteissä y = 0 ja y = ja sen derivaatta, kun y R \ {0, }, on 0, kun y < 0 F Y (y) = f y X( y), kun 0 < y < ( f y ) X ( y ) + f y X( y), kun y >.
Derivaattafunktio on jatkuva kaikkialla, paitsi mahdollisesti pisteissä y = 0 ja y =. Täten lauseen.7 nojalla F Y on jatkuvan jakauman kertymäfunktio, eli satunnaismuuttuja Y on jatkuvasti jakautunut. Y :n tiheysfunktioksi voidaan valita sen kertymäfunktion derivaatta ja tf:n arvot pisteissä 0 ja voidaan valita vapaasti. Näin ollen Y :n tiheysfunktioksi kelpaa 0, kun y 0 f Y (y) = f y X( y), kun 0 < y ( f y ) X ( y ) + f y X( y), kun y >. Tapauksessa X U(, ), on, kun x (, ) f X (x) = 0, muualla, jolloin 0 < Y = g(x) < 9 ja 0, kun y 0 f Y (y) =, kun 0 < y y (, kun < y < 9 y ) 0, kun y 9 6. Satunnaismuuttujalla Y = ln X on tasajakauma U(a, b) (jossa a < b). Laske tf f X käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa (monisteen Lause. tai muistisääntö (.)). Ratkaisu: Y :llä on tasajakauma U(a, b), joten Y :n tiheysfunktio on f Y (y) = {y (a, b)}. b a Merkitään Y = g(x), missä g(x) = ln X. Kun Y = ln X (a, b), niin X (e a, e b ). Merkitään A = (e a, e b ) ja B = (a, b), missä a < b. Logaritmifunktio on aidosti kasvava, joten myös g : A B on aidosti kasvava ja siten bijektio joukkojen A ja B välillä. Nyt g:llä on käänteiskuvaus g = h : B A. Ratkaistaan käänteiskuvauksen lauseke: g(x) = y ln x = y ln x = y x = e y. Saadaan siis h(y) = e y. Nyt sekä g että sen käänteiskuvaus h ovat jatkuvasti derivoituvia, joten g on diffeomorfismi (tai h on diffeomorfismi). Nyt koska Y :llä on jatkuva jakauma tf:llä f Y ja h : B A on diffeomorfismi ja P (Y B) =, niin lauseen. nojalla satunnaismuuttujalla X = h(y ) on jatkuva jakauma tiheysfunktiolla f X (x) = f Y (g(x)) g (y) {x A} = b a x {x (e a b, e )} = x(b a) {x (e a b, e )}.