LUU 5 Stokesin lause 5.1. Integrointi monistolla Olkoot W R k alue, W kompakti Jordan-joukko ja ω jatkuva k-muoto alueessa W, ω f dx 1 dx k. Asetetaan ω : f, t.s. f dx 1 dx k : f(x dx f(x 1,, x k dx 1 dx k. Väite 5.1. Olkoot G: W W diffeomorfismi, W kompakti Jordan-joukko, : G( W ja ω jatkuva k-muoto alueessa W. Oletetaan, että G on suunnistuksen säilyttävä tai suunnistuksen kääntävä. G ω, jos G on suunnistuksen säilyttävä, ja ω G ω, jos G on suunnistuksen kääntävä. Todistus. Olkoon ω f dx 1 dx k, missä f : W R on jatkuva. Lauseen 2.13 mukaan G (f dx 1 dx k (f G det(dg dx 1 dx k. Olkoon aluksi G suunnistuksen säilyttävä. det(dg >, joten muuttujanvaihtolauseen [15, lause 8.1] nojalla saadaan f dx 1 dx k f dx 1 dx k G( G( (f G det(dg dx 1 dx k G (f dx 1 dx k. Olkoot nyt R n suunnistettu k-ulotteinen monisto, ω jatkuva k-muoto monistolla, x ja f : W suunnistuksen säilyttävä lokaali parametriesitys pisteen x ympäristössä. Oletetaan aluksi, että ω on kompaktikantajainen ja supp ω f(w. (Huomaa: uoto f ω on k-muoto alueessa W, joten se voidaan esittää muodossa f ω g dx 1 dx k, missä g : W R on jatkuva funktio. Nyt supp ω : f(supp g. 1 Viimeksi muutettu 24.11.28. 31
Asetetaan 5.1. INTEGROINTI ONISTOLLA 32 ω : W f ω. Huomaa, että f ω on kompaktikantajainen k-muoto alueessa W, joten sen integraali on hyvinmääritelty. Väite 5.2. Edellä olevin merkinnöin integraali ω on riippumaton valitusta suunnistuksen säilyttävästä lokaalista parametriesityksestä f, kun supp ω f(w. Todistus. Olkoon f : W toinen moniston suunnistuksen säilyttävä lokaali parametriesitys pisteen x ympäristössä, jolle supp ω f( W. G : f 1 f on suunnistuksen säilyttävä diffeomorfismi W : f 1( f(w f( W f 1( f(w f( W : W. oska f ( f G G f, on edellisen väitteen nojalla f ω f ω G f ω f ω. W W W W Jos R n on suunnistettu k-ulotteinen reunallinen monisto ja ω vastaavalla tavalla kompaktikantajainen (supp ω f(w jatkuva k-muoto monistolla, määritellään muodon ω integraali yli moniston kuten edellä; jos piste x on moniston reunapiste, käytetään nyt suunnistuksen säilyttävää lokaalia parametriesitystä f : W, missä W on puoliavaruuden H k avoin osajoukko. Oletetaan nyt, että monisto (reunallinen tai reunaton on kompakti. Jokaiselle pisteelle x valitaan suunnistuksen säilyttävä lokaali parametriesitys f x : W x. Joukot f(w x, x, muodostavat kompaktille joukolle avoimen peitteen, joten sillä on äärellinen osapeite O. Olkoot vastaavat lokaalit parametriesitykset f i : W i, i I. Lauseen 4.7 avulla monistolle löydetään peitteelle O alistettu ykkösen ositus Φ {ϕ i i I}. Asetetaan ω : ϕ i ω. Väite 5.3. Edellä olevin merkinnöin integraali ω on riippumaton valituista suunnistuksen säilyttävistä lokaaleista parametriesityksistä ja valitusta ykkösen osituksesta. Todistus. Olkoon annettuna toinen äärellinen kokoelma lokaaleja parametriesityksiä f i : Wi, i Ĩ, ja peitteelle { f i ( W i i Ĩ} alistettu ykkösen ositus { ϕ i i Ĩ}. jokaiselle i I on voimassa ( ϕ i ω ϕ i ϕ i ω ϕ i ϕ i ω, joten ϕ i ω ϕ i ϕ i ω., Tässä jokaisessa yhteenlaskettavassa integraalissa muodon ω kantaja on joukon f i (W i kompakti osajoukko. Edellisen väitteen nojalla jokainen yhteenlaskettava integraali
5.1. INTEGROINTI ONISTOLLA 33 on riippumaton valituista parametriesityksistä. un edellä olevat laskut suoritetaan toisessa järjestyksessä, saadaan ϕ i ω ϕ i ϕ i ω., umpikin summa antaa siis saman arvon integraalille ω. Seuraavaan lauseeseen on koottu differentiaalimuotojen integrointiin liittyviä ominaisuuksia; lauseen todistus jätetään lukijan tehtäväksi (osa käsitteistä kaipaa miettimistä ja/tai täsmennystä. Lause 5.4. Olkoot ja N kompakteja k-ulotteisia suunnistettuja (reunallisia tai reunattomia monistoja sekä ω ja η jatkuvia k-muotoja monistolla. a un a, b R, on (aω + bη a ω + b η. b Jos on monisto varustettuna vastakkaisella suunnistuksella, on ω ω. c Jos ω on kaikkialla positiivinen, on ω >. d Jos F : N on suunnistuksen säilyttävä diffeomorfismi, on ω F ω. Ykkösen ositus differentiaalimuodon integraalin määrittelemisessä on puhtaasti teoreettinen apuväline. Laskennallisia tarpeita varten on seuraavan lauseen tulos käytännöllisempi: Lause 5.5. Olkoot kompakti k-ulotteinen suunnistettu (reunallinen tai reunaton monisto ja ω jatkuva k-muoto monistolla. Oletetaan, että i R k, i {1,, l}, ovat kompakteja joukkoja ja f i : W i suunnistuksen säilyttäviä lokaaleja parametriesityksiä siten, että i W i, ja että joukoille i : f i ( i on voimassa 1 l sekä leikkausjoukot i j, i j, ovat nollamittaisia. l ω fi ω. i N Todistus. atso [8, Prop. 14.7].
5.2. STOESIN LAUSE 34 5.2. Stokesin lause Lause 5.6. Olkoot kompakti k-ulotteinen suunnistettu reunallinen tai reunaton monisto ja ω jatkuvasti differentioituva (k 1-muoto monistolla. dω ω. Jos on reunaton, on. Todistuksesta käy ilmi, että tässä tapauksessa ω. Jos on reunallinen, on myös reuna suunnistuva. Sen suunnistuksena käytetään aiemmin määriteltyä reunasuunnistusta. Todistus. Tarkastellaan aluksi erikoistapausta H k. Oletetaan, että supp ω [, R] [, R] [, R]. Esitetään ω kanoonisten koordinaattikuvausten avulla muodossa ω ω i dx 1 dx i dx k. Siis dω j ω i dx j dx 1 dx i dx k i,j1 H k dω R ( 1 i 1 ( 1 i 1 i ω i dx 1 dx k. R R i ω i (x dx 1 dx k. Summan k 1 ensimmäistä termiä lasketaan Fubinin lauseen avulla samalla tavalla kuin ensimmäinenkin: R R R R R R ( R 1 ω 1 (x dx 1 dx k 1 ω 1 (x dx 1 dx 2 dx k R R R ( x 1 R x 1 ω 1 (x dx 2 dx k. Huomaa, että ω i (x, kun x i ±R ja i < k. Indeksiä i k vastaa termi lasketaan myös Fubinin lauseen avulla: R R R R R ( R k ω k (x dx 1 dx k k ω k (x dx k dx 1 dx k 1 R R R ( x k R x k R ω k (x dx 1 dx k 1 ω k (x 1,, x k 1, dx 1 dx k 1. Toisaalta, koska reunan H k tangenttivektoreiden k. komponentti, on dx k reunalla, joten myös dx 1 dx i dx k reunalla, kun i < k. Siis ω ω i dx 1 dx i dx k ω k (x 1,, x k 1, dx 1 dx k 1. H k H k H k
5.2. STOESIN LAUSE 35 Tässä on hyvä huomata, että jos supp ω int H k, niin ω. H k un muistetaan moniston reunamoniston suunnistusperiaate, saadaan ω ( 1 k ω k (x 1,, x k 1, dx 1 dx k 1. H k H k Olkoon seuraavaksi suunnistettu reunallinen monisto, f : W suunnistuksen säilyttävä lokaali parametriesitys ja ω jatkuvasti differentioituva (k 1-muoto monistolla siten, että supp ω f(w. Jos W H k, määrittelee parametriesitys f : W reunalle suunnistuksen säilyttävän parametriesityksen f W H k : W H k. Nyt dω f (dω d(f ω f ω ω. H k H k H k Olkoon nyt ω mielivaltainen jatkuvasti differentioituva (k 1-muoto monistolla. Valitaan lokaalit parametriesitykset f i : W i, i I (I äärellinen, siten, että joukot f i (W i peittävät moniston. Valitaan tälle peitteelle alistettu ykkösen ositus {ϕ i i I}. Edellistä voidaan nyt soveltaa muotoihin ϕ i ω. oska ϕ i 1, saadaan ω ϕ i ω d(ϕ i ω (dϕ i ω + ϕ i dω ( ( d ϕ i ω + ϕ i dω dω.