1 Voima ja energia sähköstatiikassa

1 Voima ja energia sähköstatiikassa ähköstatiikassa tarkastellaan levossa olevia sähkövarauksia. 1.6 ähkövaraus Ranskalainen fyysikko Charles Coulomb osoitti kokeillaan v. 1785, että sähköllä varattujen kappaleiden välillä vallitsee samanlainen etäisyyden neliöön kääntäen verrannollinen voima kuin massojen välinen gravitaatiovoima. Kahden sähkövarauksen välisellä voimalla on seuraavat ominaisuudet: 1. amanmerkkisten varausten välillä on poistovoima, erimerkkisten välillä vetovoima. 2. Voiman suunta on varauksia yhdistävän suoran suuntainen. 3. Voiman suuruus on verrannollinen kummankin varauksen suuruuteen. 4. Voiman suuruus on kääntäen verrannollinen varausten välisen etäisyyden neliöön. Matemaattisesti nämä ominaisuudet voidaan yhdistää kaavaan F 21 2 1 r 2 21 r o 21 = 2 1 r 3 21 r 21 r o 21 = 2 1 r r21 3 21, (1.1) 1 F 21 2 r21 Kuva 1.1 missä r o 21 on r 21 :n suuntainen yksikkövektori. Tämä on voima, jolla varaus 2 vaikuttaa varaukseen 1. Vastaavasti varaus 1 vaikuttaa varaukseen 2 voimalla F 12 = F 21. I-yksiköissä verrannollisuuskerroin on 1/( ), joten F 21 = 1 2 1 r 21, (1.2) 15 r 3 21

16 missä ε 0 = 1 C2 8.854 10 12 µ 0 c2 Nm 2 on tyhjiön permittiivisyys. Tässä µ 0 = 4π 10 7 Vs/(Am) ja valon nopeus c = 299792458 m/s. Nämä molemmat tunnetaan tarkasti, joten myös ε 0 tunnetaan tarkasti. I-yksiköissä sähkövarauksen yksikkö on coulombi ja sen lyhenne on C. ähköopin perussuure on sähkövirta, jonka yksikkö on ampeeri ja lyhenne A. Ampeeri määritellään myöhemmin sähkövirran voimavaikutuksen avulla. Ampeerin ja coulombin välinen riiippuvuus on 1C=1As. Kuten mekaniikan mukaan voimat yleensä, myös Coulombin voimat noudatavat superpositioperiaatetta: Usean varauksen systeemissä yhteen varaukseen vaikuttava kokonaisvoima on kaikkien muiden varausten aiheuttamien voimien vektorisumma. Kahden varauksen välinen voima ei riipu muiden varausten läsnäolosta. Jos systeemi esimerkiksi muodostuu kolmesta varauksesta, on varaukseen 1 kohdistuva kokonaisvoima r 3 O r 2 3 r 31 r 1 2 r 21 F 1 = F 21 + F 31 = 2 1 r r21 3 21 + 3 1 r r31 3 31. 1 F 21 F 31 F 1 Yleisesti j:nteen hiukkaseen kohdistuva voima on F j = i j F ij = 1 i j i j r 3 ij r ij Jos i:nnen varauksen paikkavektori origon O suhteen on r i,on r ij = r j r i, Kuva 1.2 ja ilmeisesti F j = 1 i j i j r j r i 3 (r j r i ) (1.3) Toisin kuin mekaniikan yhtälöt, sähköopin yhtälöt eivät ole yksikköjärjestelmästä riippumattomia. Esim. (1.2) ei päde cgs-järjestelmässä. Tämä johtuu siitä, että sähkövaraus (tai virta) määritellään eri järjestelmissä eri tavoilla. On myös olemassa useita erilaisia cgs-järjestelmiä. ähkövaraus on kvantittunut: Kaikki vapaat varaukset ovat alkeisvarauksen e monikertoja. yytä tähän ei tiedetä. Alkeisvarauksen suuruus on e =(1, 60217733 ± 0, 00000049) 10 19 C Protonin varaus on +e ja elektronin varaus e. Baryonit (esim. protonit ja neutronit) koostuvat kvarkeista. Kvarkkien varaukset ovat alkeisvarauksen murto-osia

1.7. ÄHKÖKENTTÄ 17 ±e/3 tai ±2e/3. Baryonit koostuvat aina kolmesta kvarkista siten, että kokonaisvaraus on 0, e tai e. Kvarkkeja ei ole havaittu vapaina. Toinen sähkövarauksen ominaisuus on säilymislaki: Eristetyn systeemin kokonaisvaraus on vakio. Tämä on yksi tärkeistä säilymislaeista, jotka muodostavat fysiikan ytimen. Muita fysiikan säilymislakeja ovat esimerkiksi energian ja liikemäärän säilymislait. Coulombi on hyvin suuri sähkövaraus. Hankaamalla kappaleeseen voidaan saada suuruusluokaa = 10 8 C = 10 nc oleva varaus. Voimakkaasti varatun kappaleen pinnalla vain noin yksi 10 5 atomista menettää elektronin tai saa ylimääräisen elektronin. Toisaalta kappaleet sisältävät runsaasti sähkövarauksia: 250 g:ssa vettä on negatiivista varausta 6 10 23 mol 1 ( 1, 6 10 19 )C 10 250 g/18 (g mol 1 )= 1, 3 10 7 C. Vaikka gravitaatiovoima ja Coulombin voima ovat samantyyppisiä, niiden välillä on merkittäviä eroja: 1. Gravitaatiovoima esiintyy vain vetovoimana 2. Gravitaatiovoima on paljon heikompi kuin Coulombin voima. Esimerkiksi kahden elektronin välillä vaikuttavien voimien suhde on F el F grav 10 41 3. ähköinen voima voidaan eliminoida jossakin avaruuden osassa (Faradayn häkki). 4. Varausten väliin asetettu materia polarisoituu ja heikentää Coulombin voimaa. Gravitaatiovoimalla ei vastaavaa ilmiötä ole olemassa. Vaikka atomit ja molekyylit koostuvat varatuista hiukkasista, ja niiden välillä vaikuttaa siten Coulombin voima, se yksin ei selitä aineen rakennetta. Lisäksi tarvitaan mikroskooppisen maailman perusteoriaa eli kvanttimekaniikkaa. 1.7 ähkökenttä Varaussysteemin aiheuttama voima pisteessä r olevaan varaukseen on (1.3):n mukaan F = 1 i i r r i 3 (r r i)= 1 i i r r i 3 (r r i). Määritellään sähkökenttä pisteessä r kyseiseen pisteeseen asetettuun testivaraukseen vaikuttavana voimana varausyksikköä kohti. Jotta testivaraus ei vaikuttaisi muiden varausten sijaintiin, on muiden varausten oltava kiinteästi sidottuina paikalleen tai testivarauksen on oltava hyvin pieni. ähkökenttä pisteessä r on siis F E(r) = lim 0 = 1 i i r r i 3 (r r i). (1.4)

18 E(r) voidaan määrittää kaikkialla muiden varausten välissä; se muodostaa siis vektorikentän. ähkökentän yksiköksi saataisiin yhtälöstä (1.4) N/C. Voidaan osoitaa, että tämä on sama kuin V/m (voltti per metri), mikä on tavallisesti käytetty yksikkö. Esim: Pistemäisen varauksen kenttä (varaus origossa, r i = 0). Tällöin (1.4):n perusteella E(r) = r r = 3 r 2 r0, missä r 0 = r/ r = r/r on r:n suuntainen yksikkövektori. Kenttäviivat: Faraday otti käyttöön noin v. 1840 kenttäviivat, joiden avulla sähkökenttää (ja muita kenttiä) voidaan visualisoida. Kenttäviivat ovat kaikkialla E:n suuntaisia (siis kenttäviivan tangentti antaa E:n suunnan). Kenttäviivojen tiheys on verrannollinen E :hen. Kenttäviivat alkavat positiivisesta varauksesta ja päättyvät negatiiviseen. Kenttäviivat ovat jatkuvia varausten välisessä avaruudessa. Kenttäviivat eivät leikkaa toisiaan. > 0 < 0 Kuva 1.4. Positiivisen ja negatiivisen varauksen kenttäviivat. Kuva 1.5. Dipolikentän kenttäviivat.

1.8. ÄHKÖKENTÄT AINEEA 19 1.8 ähkökentät aineessa 1.8.1 Atomin varaustiheys Aine koostuu sähköisesti varatuista osasista, ytimistä ja elektroneista, joista varsinkin elektronit ovat jatkuvassa liikkeessä. Pistevarauksen sijasta on realistisempaa kuvata elektronia varauspilvenä (jatkuvasti jakautuneena varauksena), jonka varaustiheys ρ el (r) on paikan funktio. Tällöin paikassa r oleva pieni tilavuusalkio dτ sisältää varauksen ρ el (r)dτ ja ρ el (r)dτ = ρ el (r) dx dy dz = e. Atomissa, jossa on useampia elektroneja, näiden varauspilvet ovat osittain päällekkäin. Lisäksi ytimellä on oma varaustiheytensä, vaikka ydin onkin kooltaan pieni. Atomin kokonaisvaraustiheys on kaikkien e.m. varaustiheysfunktioiden summa. Atomaarinen varaustiheys väliaineessa (ρ at (r)) määritellään kaikkien varattujen osasten (ja samalla kaikkien atomien) varaustiheysfunktioiden summana. Neutraalissa aineessa on ilmeisesti voimassa V ρ at (r)dτ =0. 1.8.2 Atomin sähkökenttä Pistevarauksille on (1.4):n mukaan voimassa E(r) = 1 i (r r i ) i r r i 3 r P r - r Kun tätä sovelletaan jatkuvasti jakautuneeseen varaukseen, saadaan r E at (r) = 1 (r r )ρ at (r ) all space r r 3 dτ, (1.7) O Kuva 1.6 sillä ρ at (r )dτ on paikassa r olevan tilavuusalkion dτ sisältämä varaus. dτ Yhtälö (1.7) ei ole kuitenkaan kovin käyttökelpoinen, sillä ρ at (r) onkäytännössä tuntematon monimutkainen funktio, joka lisäksi atomien lämpöliikkeen vuoksi riippuu ajasta.

20 Esim: Neutraalin HCl-molekyylin aiheuttama kenttä, joka muistuttaa sähköisen dipolin kenttää. - - + + + + + - H Cl - - - Kuva 1.7 On ilmeistä, että myös neutraalit molekyylit voivat aiheuttaa ympäristöönsä sähkökentän, mutta nämä kentät pienenevät etäisyyden funktiona paljon nopeammin kuin varattujen atomien ja molekyylien kentät. Atomin sisällä, varsinkin lähellä ydintä, voi atomaarinen sähkökenttä saada paikallisesti hyvin suuria arvoja. On syytä huomata, että klassinen sähköoppi ei riitä atomitason ilmiöiden kuvaamiseen, vaan lisäksi tarvitaan kvanttimekaniikkaa. 1.8.3Makroskooppinen sähkökenttä Huomattavasti atomin kokoa suuremmassa systeemissä ei voimakkaasti vaihtelevan atomaarisen kentän tunteminen ole tarpeellista. Riittää, kun tunnetaan makroskooppinen keskimääräinen kenttä, joka käyttäytyy pehmeämmin kuin atomin kenttä, eikä myöskään voi saada niin suuria arvoja. Väliaineet jaetaan eristeisiin ja johteisiin (ja puolijohteisiin, joita ei tässä kurssissa käsitellä): Eristeessä elektronit eivät pääse liikkumaan vapaasti, vaan ovat sidottuja atomeihin. Jos eriste asetetaan liian suureen sähkökenttään ( 10 9 V/m), tapahtuu kuitenkin läpilyönti. Johteessa osa elektroneista (johde-elektronit) voi liikkua vapaasti. Tästä seuraa, että johteet voivat kuljettaa sähkövirtaa ja staattisessa tilanteessa (sähköstatiikassa) sähkökenttä häviää johteen sisällä. - + E = 0 E = 0 E = 0 - + Kuva 1.8 Jos johde asetetaan kuvan 1.8 mukaisesti ulkoiseen kenttään, tämä alkaa liikuttaa johde-elektroneja, jotka kertyvät johteen pinnalle ja synnyttävät johteen sisälle vastakkaissuuntaisen kentän. Elektronien liike lakkaa vasta, kun tämä kenttä kompen-

1.9. GAUIN LAKI 21 soi ulkoisen kentän johteen sisällä. Johteen pinnalle syntynyttä varausta sanotaan indusoiduksi varaukseksi. Makroskooppinen kenttä E(r) voidaan tulkita makroskooppisen varaustiheyden ρ(r) aiheuttamaksi. Tämä määritellään atomien varaustiheyden keskiarvona paikassa r olevassa tilavuusalkiossa δv, joka on hyvin paljon pienempi kuin systeemin tilavuus, mutta sisältää kuitenkin hyvin suuren määrän atomeja tai molekyylejä: ρ(r) = 1 δv δv ρ at (r )dτ. (1.8) Koska varaus voi myös keräytyä ohueksi kerrokseksi aineen pinnalle, on järkevää määritellä makroskooppinen pintavarauksen tiheys eli varauskate σ(r) = 1 ρ at (r ) dτ, (1.9) δ δv missä δv on valittu siten, että se sulkee sisäänsä pinta-alkion δ. Pinnalla oleva kokonaisvaraus on tällöin Q s = σ(r)d. uperpositioperiaatteen mukaisesti saadaan nyt makroskooppiselle sähkökentälle analogisesti (1.7):n tavoin lauseke r O δ r - r Kuva 1.9 r E(r) = 1 V (r r )ρ(r )dτ r r 3 + 1 (r r )σ(r )d r r 3, (1.10) missä tilavuusintegraali on laskettava koko avaruuden yli ja pintaintegraali kaikkien aineiden rajapintojen yli. 1.9 Gaussin laki Gaussin laki on Coulombin lain toinen esitysmuoto, jolla on suuri teoreettinen merkitys ja jonka avulla voidaan helposti laskea sähkökenttä symmetrisen varausjakautuman tapauksessa. 1.9.1 Vektorikentän vuo Vektorikentän v vuo pinta-alkion δ läpi määritellään lausekkeella v δ = vδ cos ψ,

22 missä ψ on v:n ja δ:n välinen kulma. Vuo on siis skalaarisuure. Esim.: Neste virtaa nopeudella v putkessa, jonka poikkipinta-ala on δ. Aikayksikössä putken läpi virrannut nestemäärä on tiheys vδ. Jos tarkastellaan vinossa asennossa olevaa pintaa δ 1, sama nestemäärä virtaa sen läpi, sillä pinnan projektio nesteen kulkusuunnassa on sama, eli jolloin δ = δ 1 cos ψ, vδ = vδ 1 cos ψ = v δ 1. v δ v ψ δ 1 Nesteen nopeuskentän vuo pinnan läpi kertoo siis ko. pinnan läpi aikayksikössä virranneen ainemäärän riippumatta siitä, missä asennossa pinta on nopeuskentän suhteen. Kuva 1.10 amoin määritellään sähkökentän vuo pintaelementin δ läpi kaavalla δ E δ. Kun on kysymyksessä suuri pinta, se voidaan jakaa pintaelementteihin kuvan 1.11 osoittamalla tavalla. Vuo koko pinnan läpi on elementtien läpäisevien voiden summa, kun annetaan elementtien pinta-alan lähetä nollaa. Päädytään siis pintaintegraaliin E d = lim δ 0 E d. Kuva 1.11 E 1.9.2 ähkökentän vuo suljetun pinnan läpi Asetetaan origoon pistevaraus. Tutkitaan pintaelementtiä δ, jonka pallokoordinaatit ovat (r, θ, φ) ja jonka oletetaan aluksi olevan suuntautunut (ei välttämättä radiaalisesti) ulospäin. Tehtävänä on laskea E δ. Koska E on radiaalinen, pistetuloon jää vaikuttamaan vain δ:n projektio pallon pinnalle, eli pieni pallonpintaelementti

1.9. GAUIN LAKI 23 δ p = r 2 sin θδθδφ. Etäisyydellä r sähkökentän itseisarvo on joten E = E δ = Eδ p = r 2, r 2 r2 sin θδθδφ, x z φ θ δθ δφ r rsinθ Kuva 1.12 { { rδθ rsinθ δφ eli E δ = sin θδθδφ = δω, (1.11) missä δω on avaruuskulma, jossa δ näkyy origosta katsottuna. Jos sulkee sisäänsä varauksen, on siis sähkökentän vuo :n läpi eli E d = π 0 sinθdθ 2π 0 dφ = π / 0 ( cos θ) 2π / φ = 0 (1 + 1) 2π =, } {{ } ε 0 E d = ε 0 (1.12) On huomattava, että (1.12) on voimassa riippumatta :n muodosta, sillä (1.11):ssä δ on mielivaltaisen suuntainen. Edellä on tosin oletettu, että vuo δ:n läpi on aina positiivinen. ellaisissa :n alueissa, joissa vuo δ:n läpi on negatiivinen, on (1.11):n oikealle puolelle asetettava miinusmerkki. Yleisesti siis E δ = ± dω. (1.13) ulos sisään ulos Kuva 1.13 ulos sisään ulos sisään Kuva 1.14 2 Koska E δ on verrannollinen δω:aan, varauksesta piirretyn säteen ja pinnan peräkkäisistä leikkauskohdista löytyvät aina pintaelementit, jotka näkyvät varauksesta katsottuna samassa avaruuskulmassa δω ja joiden läpi kulkeneet vuot kumoavat toisensa. Jos varaus on pinnan sisällä, ulostuloja on yksi enemmän kuin sisäänmenoja ja nettovuo on positiivinen. Jos taas varaus on y

24 pinnan ulkopuolella, on ulostuloja yhtä monta kuin sisäänmenoja ja nettovuo on nolla. Jos pinnan sisällä on useita varauksia i, saadaan superpositioperiaatteen nojalla E δ = 1 i. (1.14a) ε 0 Jos taas pinnan sisältämässä tilavuudessa V on jatkuva varaustiheys ρ, on E δ = 1 ρdτ = Q. (1.14b) ε 0 ε 0 iis minkä tahansa suljetun pinnan läpi kulkeva sähkökentän vuo = pinnan sisäänsä sulkema varaus/ε 0.Yhtälöt (1.14) sisältävät Gaussin lain integraalimuodossa. Gaussin laki (vakioavaruuskulmaan osuvien pintojen läpi kulkee vakiovuo) on seurausta siitä, että pistemäisen varauksen kenttäviivojen tiheys pienenee kääntäen verrannollisena etäisyyden neliöön. Huomaa analogia sähkövuon ja esim. valovuon välillä. Myös pistemäinen valolähde säteilee vakioenergian yksikköavaruuskulmaan ja intensiteetti pienenee kääntäen verrannollisena etäisyyden neliöön. V i Tarkastellaan varauskatetta σ johteessa, joka on ulkoisessa sähkökentässä E. ovelletaan Gaussin lausetta pieneen sylinteriin, jonka päätyseinät ovat johteen pinnan suuntaiset, toinen sisä-toinen ulkopuolella. Johteen sisällä sähkökenttä E = 0. Ulkopuolella E on kohtisuorassa pintaa vastaan. Jos nimittäin näin ei olisi, sähkökentän tangenttikomponentti liikuttaisi johteen pinnalla olevia vapaita varauksia, kunnes ne asettuisivat siten, että tangenttikomponentti on nolla. iis E δ = Eδ. ivuseinämillä E δ = 0, joten Gaussin lause antaa + + + + + + + + δ Kuva 1.15 E Eδ = 1 ε 0 = 1 ε 0 σδ σ = ε 0 E. (1.16) uurimmat makroskooppiset sähkökentät ovat luokkaa 10 9 V/m, mikä vastaa pintavarausta ε 0 10 9 V/m 10 2 C/m 2. Arvioidaan pintamaterian atomien koon olevan luokkaa 2 10 10 m, eli vievän pinta-alaa 4 10 20 m 2. Näin ollen maksimaalisessa pintavarauksessa yhtä pinta-atomia kohden tulee korkeintaan pari promillea elektronin sähkövarauksesta. 1.9.3Gaussin lain differentiaalimuoto Jos δ on pinta, joka sulkee sisäänsä tilavuuselementin δτ, on (1.14b):n mukaan E d = 1 ρδτ. ε 0 δ

1.10. ÄHKÖTAATTINEN ENERGIA 25 Jos δτ:n annetaan lähestyä nollaa, saadaan E d δ lim = ρ(r). (1.17) δτ 0 δτ ε 0 Tämän yhtälön vasen puoli lähestyy integrointipinnasta riippumatonta skalaariarvoa, joka on E:n divergenssi E. Tarkastellaan tilannetta, jossa δτ on pieni y kuutio. Vuo x-akselia vastaan kohtisuorien sivujen läpi on z δy δz δx E x Kuva 1.16 E E x x + x δx x ( E x + E x x δx ) δyδz E x δyδz = E x x δxδyδz } {{ } δτ amoin voidaan vuo laskea muissa suunnissa. Kokonaisvuo δτ:n sivujen lävitse on siis δ E d = ( Ex x + E y y + E ) z δτ, z joten E d δ lim = E x δτ 0 δτ x + E y y + E z = E. (1.19) z Yhdistämällätämä (1.17):een saadaan Gaussin lain differentiaalimuoto E = ρ/ε 0. (1.20) Tästä nähdään, että kaikkialla, missä ρ(r) = 0, on E = 0, eli sähkökenttä on lähteetön. 1.10 ähköstaattinen energia Varauskonfiguraatioihin liittyy sähköstaattista energiaa, joka voi purkautua varausjakautumien muutoksissa. Esimerkkejä sähköstaattisen energian purkautumisesta ovat kemialliset reaktiot ja salamanisku. 1.10.1 ähköstaattinen potentiaali Koska sähkökenttä aiheuttaa varaukseen kohdistuvan voiman, on sillä myös kyky tehdä työtä, mikäli varauksen annetaan liikkua. Jos varaus liikkuu kentän E vaikutuksesta matkan dl kenttä tekee työn dl E. Jos liike tapahtuu pitkin jotakin käyrää pisteestä A pisteeseen B, onkentän tekemä työ B W AB = E dl, A

26 B B II I I A A Kuva 1.17 missä integraali on viivaintegraali pitkin ko. käyrää A:sta B:hen. Pisteestä A pisteeseen B on äärettömän monta tietä. Jos W AB ei riipu tiestä, ts. jos WAB I = WAB II valittiinpa tiet I ja II miten tahansa, ovat sekä voima että sähkökenttä konservatiivisia. Koska WAB I = WBA II (integrointisuunta muuttunut) on konservatiivisille kentille voimassa WAB I + WBA II = 0 eli E dl =0, (1.23) ts. E:n integraali pitkin suljettua tietä häviää. euraavassa osoitetaan, että staattinen sähkökenttä on todella konservatiivinen. Riittää, että osoitamme tämän pistevaraukselle; superpositioperiaatteesta nimittäin seuraa, että tällöin minkä tahansa varausjakautuman aiheuttama staattinen sähkökenttä on konservatiivinen. Lasketaan työ, jonka :n aiheuttama sähkökenttä E = E rˆr o tekee, kun se siirtää testivarauksen t A:sta B:hen. Koska θ on W AB = E dl = E r dl cos θ = E r dr, B A t E dl = r 2 r 1 t Edr = r 2 r 1 t r dr = t 2 r 2 r 1 Kuva 1.18 dr r = { t 1 2 r 1 1 r 2 }. iis W A B riippuu vain r 1 :stä jar 2 :sta, ei tiestä, joten staattinen sähkökenttä on todella konservatiivinen. Mekaniikassa on osoitettu, että konservatiiviseen voimakenttään liittyy potentiaalienergia. Kun kappale liikkuu konservatiivisen voiman vaikutuksesta, voiman tekemä työ on peräisin potentiaalienergiasta. Koska staattinen sähkökenttä on konservatiivinen, siihenkin littyy potentiaalienergia U. Voimassa on yhtälö W AB = t B A E dl = U A U B,

1.10. ÄHKÖTAATTINEN ENERGIA 27 missä U A on systeemin potentiaalienergia, kun t on pisteessä A ja vastaavasti U B on systeemin potentiaalienergia, kun t on pisteessä B. Potentiaalienergia on siis testivarauksen paikan funktio. Jos työ A:sta B:hen on positiivinen, on U A >U B, joten potentiaalienergia pienenee. Jos taas työ A:sta B:hen on negatiivinen, on U A <U B, joten potentiaalienergia kasvaa. Koska kahden pisteen välisen potentiaalienergian erotus on verrannollinen testivaraukseen t,onmyös potentiaalienergia verrannollinen siihen. Tällöin on mahdollista määritellä sähköstaattinen potentiaali φ(r) siten, että iis W AB = t B A E dl = t φ(r A ) t φ(r B ). B φ(r B ) φ(r A )= E dl = A A B E dl. (1.24) Tämän perusteella potentiaali φ(r) on (testivarauksesta riippumaton) paikan funktio, joten se on skalaarikenttä. Koska vain potetiaalien erotuksella on fysikaalista merkitystä, voidaan potentiaalin nollataso valita vapaasti. Esim.: Pistevarauksen potentiaali φ( ) φ(r) = r E dl = 1 r r 2 dr φ(r) φ( ) = 1 / r r = 1 r Jos pistevaraus i on paikassa r i ja valitaan φ( ) = 0, saadaan φ(r) = Jos pistevaraus sijaitsee origossa, r i =0ja φ(r) = i r r i. 1 r. (1.25) 1.10.2 ähkökenttä potentiaalin gradienttina Kahden lähellä toisiaan olevan pisteen r ja r + dr välinen potentiaaliero on dφ = φ(r + dr) φ(r) = r+dr r E dl = E dr. Koska E = E x i + E y j + E z k

28 ja dr = dxi + dyj + dzk, on dφ = E dr = E x dx E y dy E z dz. Toisaalta φ(r):n kokonaisdifferentiaali on dφ = φ φ φ dx + dy + x y z dz, joten eli E x = φ x, E y = φ y, E z = φ z E = φ = (i x + j y + k )φ. (1.26) z Esim: Pistevarauksen potentiaalin gradientti. Potentiaali on φ = r = iis sähkökentän komponentit ovat joten sähkökenttä on E x = φ x = 1 2 E y = φ y = E z = φ z = y r 3 z r, 3 E(r) =E x i + E y j + E z k = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2. 2x x = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 r 3 (xi + yj + zk) = r3 r 3 r. Varausjoukon potentiaali Jos varaus 1 aiheuttaa sähkökentän E 1 (r), jonka potentiaali on φ 1 (r) javaraus 2 kentän E 2 (r), jonka potentiaali on φ 2 (r), niin mikä on summakentän E(r) potentiaali? ähkökenttien superpositioperiaatteen nojalla on voimassa E(r) =E 1 (r)+e 2 (r) = φ 1 (r) φ 2 (r) = [φ 1 (r)+φ 2 (r)]. Toisaalta joten E(r) = φ(r), φ(r) =φ 1 (r) + φ 2 (r).

1.10. ÄHKÖTAATTINEN ENERGIA 29 iis superpositioperiaate on voimassa myös potentiaaleille. Näinollen varauksien i, i = 1, 2,..., n aiheuttama potentiaalikenttä on φ(r) = 1 n i=1 i r r i (1.27) amoin saadaan atomaarisen varaustiheyden aiheuttamaksi atomaariseksi potentiaaliksi φ at (r) = 1 ρ at (r )dτ (1.28) r r V ja makroskooppisen varaustiheyden sekä varauskatteen aiheuttamaksi potentiaaliksi φ(r) = 1 V ρ(r )dτ r r + 1 σ(r )d r r. (1.29) Ekvipotentiaalipinta on pinta, jolla potentiaali on vakio. Tämän pinnan yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon φ(r) = C. Jokainen vakion C arvo määrittelee yhden ekvipotentiaalipinnan. Osoitetaan, että sähkökenttä on aina ekvipotentiaalipinnan normaalin suuntainen. Koska E = φ, riittää osoittaa, että φ on kohtisuorassa ekvipotentiaalipintaa vastaan. Potentiaalin kokonaisdifferentiaali on dφ = φ φ φ dx + dy + dz = φ dr, x y z missä dr = idx + jdy + kdz. Tarkastellaan gradienttia φ(r) pinnalla φ(r) = C pisteessä r. Valitaan dr siten, että r + dr on myös pinnalla φ(r) = C; siis dr on pinnan tangentin suuntainen pisteessä r. Tällöin dφ = φ(r + dr) φ(r) =0. Toisaalta dφ = φ dr. iis φ dr = 0, joten φ dr. Tämä on voimassa kaikille pinnalle φ(r) = C pisteeseen r piirretyille tangenteille dr, joten φ on kohtisuorassa pintaa φ(r) = C vastaan. iis myös E on aina kohtisuorassa ekvipotentiaalipintaa vastaan. Huomaa, että skalaarikentän gradientti antaa suunnan jossa kenttäfunktio kasvaa nopeimmin. φ Kuva 1.20 Pistevarauksen kentän kenttävivat, potentiaalifunktio ja ekvipotentiaalit.

30 1.10.3Dipolipotentiaali ähköinen dipoli koostuu varauksista + ja, jotka ovat lähellä toisiaan (etäisyys a). Valitaan dipolin akseli z-akselin suuntaiseksi siten, että +:n z koordinaatti on a/2 ja :n a/2. Tehtävänä on laskea dipolin potentiaali paikassa r, kun r a, siis kaukana dipolista. Potentiaalin tarkka arvo on φ = ( 1 1 ) (1.30) r + r θ Kuva 1.21 Vektorit r ± voidaan esittää r:n avulla muodossa r ± = r a 2 k, joten Koska a 2 /4 r 2,on r 2 ± r 2 ak r = r 2 ( r 2 ± = r 2 + a2 4 1 ak r ) r 2 ak r. 1 = 1 ( 1 ak r ) 1/2. r ± r r 2 Tässä ak r/r 2 1, joten lauseketta voi approksimoida sarjakehitelmän (1 x) 1/2 = 1 x/2+3x 2 /8... avulla. iis 1 = 1 ( 1 ± 1 r ± r 2 ak r ) 1 1 = ak r. r 2 r + r r 3 ijoittamalla tämä (1.30):een saadaan φ = ak r r. 3 Määritellään sähköinen dipolimomentti p = ak. en avulla dipolin potentiaali voidaan kirjoittaa muotoon φ(r) = p r r = p cos θ 3 r. (1.31) 2 ijoittamalla r = xi + yj + zk (1.31) saadaan muotoon pz φ = (1.32) (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 ähkökentän komponentit voidaan laskea derivoimalla E x = φ x = E y = φ y = pz 3 p 2 2x (x 2 + y 2 + z 2 ) = p 3xz 5/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 3yz, (1.33) (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2

1.10. ÄHKÖTAATTINEN ENERGIA 31 E z = φ z = p [ 1 (x 2 + y 2 + z 2 ) + 3z 2 ] 3/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 1.10.4 Varaussysteemin potentiaalienergia = p(3 cos2 θ 1) r 3. (1.34) Varaussysteemin potentiaalienergia on energia, joka tarvitaan kuljettamaan varaukset paikoilleen äärettömyydestä, missä potentiaali φ = 0. ille voidaan johtaa lauseke kuvittelemalla, että varaukset i (i =2, 3,...n) tuodaan yksi kerrallaan paikkoihin r i paikassa r 1 olevan varauksen 1 ympäristöön. Varauksen 1 aiheuttama potentiaali paikassa r 2 on 1 /( r 12 ), joten 2 :n tuominen lisää systeemin potentiaalienergiaa määrällä 1 2 /( r 12 ). uperpositioperiaatteen nojalla on potentiaali paikassa r 3 nyt 1 /( r 13 )+ 2 /( r 23 ), joten 3 :n tuominen paikoilleen lisää systeemin potentiaalienergiaa määrällä 3 1 /( r 13 )+ 3 2 /( r 23 ). Kun systeemin rakentamista jatketaan samalla periaatteella, havaitaan, että potentiaalienergia on U = ( ) 2 1 + ( 3 1 + ) 2 + ( 4 1 + 2 + ) 3 +... r 12 r 13 r 23 r 14 r 24 r 34 1 n j = i. (1.35) i=2 j<i r ji Tässä kaksinkertaisessa summassa esiintyy kukin varauspari ( i, j ) sekä näiden välinen etäisyys r ji vain yhdessä termissä. Jos rajoitus j < i poistetaan, tulee jokainen termi lasketuksi mukaan kaksi kertaa (huomaa, että r ji = r ij ), joten tulos on 2U. Näinollen U = 1 j i = 1 i φ i, (1.36) 8πε 0 i j i r ji 2 i missä φ i = 1 j j i r ji on systeemin varausten aiheuttama potentiaali pisteessä r i. On huomattava, että i φ i on työ, joka tarvitaan i :n tuomiseksi paikkaan r i, kun kaikki muut hiukkaset jo ovat paikoillaan. Tämän vuoksi systeemin potentiaalienergia ei ole Σ i φ i, eikä myöskään voida puhua yhden hiukkasen potentiaalienergioista, joiden summana koko potentiaalienergia voitaisiin lausua. Koska φ i määräytyy yksikäsitteisesti systeemin varausten paikoista ja suuruuksista, on (1.36):n mukaisesti myös U yksikäsitteinen; se ei riipu siitä, missä järjestyksessä varaukset tuodaan paikalleen. Jos systeemi koostuu avaruus-ja pintavarauksista, on potentiaalienergia U = 1 ρφ dτ + 1 σφ d. (1.37) 2 2 V Esim: Kun uraaniydin halkeaa kahdeksi samanlaiseksi osaksi, on kummankin varaus Ze = 46e ja säde 8 10 15 m. Ydinvoiman vaikutuksen lakatessa on siis hajoamistulosten keskipisteiden etäisyys d =1.6 10 14 m ja potentiaalienergia (Ze) 2 d =3 10 11 J.

32 Kun poistovoima työntää osaset erilleen, saavat ne yhteensä tämän suuruisen kineettisen energian. Tästä seuraa, että 1 mooli (238 g) uraania riittää käyttämään 5000 MW:n reaktoria noin tunnin ajan. 1.10.5 Kondensaattorit Johteen sisällä E = 0 ja ulkopuolella E on kohtisuorassa pintaa vastaan. Mikäli näin ei olisi, tapahtuisi johteessa varausten liikettä, kunnes tämä tilanne saavutettaisiin. ähkökentässä olevalla johteella on siis aina jokin pintavaraus. Koska E on kohtisuorassa ekvipotentiaalipintoja vastaan, on johteen pinta ekvipotentiaalipinta ja potentiaali johdekappaleessa on vakio. Kondensaattori muodostuu kahdesta johdekappaleesta, jotka on eristetty toisistaan ja joille annetaan varaukset Q ja Q. (yntyvät pintavaraukset σ + ja σ eivät välttämättä ole vakioita.) Tällöin sanotaan, että kondensaattorin varaus on Q. Kondensaattorin potentiaalienergia on (1.37):n mukaan σ + + σ- - + - - + -Q +Q + + + + + - - - - φ + φ - U = 1 2 φ + σ + d + 1 } {{ } 2 φ σ d } {{ } Q Q eli U = 1 2 Q(φ + φ )= 1 QV, (1.38) 2 missä V on johdekappaleiden välinen potentiaaliero eli kondensaattorin jännite. Kondensaattorin geometria määrää, miten pintavaraukset asettuvat, jotta kenttä johteiden sisällä asettuu nollaksi. Geometria myös määrää, miten kenttäviivat kulkevat johteiden välillä, sillä kenttäviivojen on aina saavuttava kohtisuoraan johteen pinnalle. Jos kondensaattorin varausta muutetaan, ainoastaan kenttäviivojen tiheys muuttuu, ei muoto. Jos esim. varaus muutetaan kaksinkertaiseksi, muuttuu varauskate kaikkialla kaksinkertaiseksi ja superpositioperiaatteen nojalla myös kenttä kaksinkertaistuu kaikkialla. Tällöin myös V = E dl (viivaintegraali ei riipu tiestä, mutta se voidaan laskea positiivisesti varatusta johteesta negatiivisesti varattuun johteeseen esimerkiksi pitkin kenttäviivaa) kasvaa kaksinkertaiseksi. Näin ollen kondensaattorin varaus on verrannollinen jännitteeseen: Q = CV, (1.39) ja verrannollisuuskerroin C, joka riippuu vain kondensaattorin geometriasta, on kondensaattorin kapasitanssi. Kondensaattorin energia voidaan nyt esittää muodossa U = 1 2 CV 2 = 1 2 Q2 C. (1.40)

1.10. ÄHKÖTAATTINEN ENERGIA 33 Kapasitanssin yksikkö on Esim: Levykondensaattorin kapasitanssi. Levyjen pinta-ala on A ja niiden välinen etäisyys d. Kun d on pieni, kenttä rajoittuu lähes täysin levyjen väliin. Yhtälön (1.16) mukaan [C] = [Q] [V ] = C V = F (faradi). σ + = ε 0 E E = σ + ε 0 = Q ε 0 A d Kuva 1.23 A V 0 Toisaalta V = φ + φ = E dl = Ed = Qd ε 0 A Q = ε A 0 d V, joten C = Q V = ε A 0 d. (1.41) Jos tämä sekä V = Ed sijoitetaan (1.40):een, saadaan U = 1 2 CV 2 = 1 2 ε A 0 d (Ed)2 = 1 2 ε 0E 2 (Ad). Tässä lausekkeessa Ad on kondensaattorilevyjen väliin jäävä tilavuus eli se tilavuus, missä kentällä on nollasta poikkeava arvo. Kerroin 1 ε 2 0E 2 voidaan siis tulkita sähkökentän energiatiheydeksi, ts. voidaan kuvitella, että systeemin potentiaalienergia on varastoituneena sähkökenttään. Jos näin on, voidaan potentiaalienergia laskea integroimalla energiatiheys 1 ε 2 0E 2 yli sen tilavuuden, missä kenttä vaikuttaa. Ilmassa suurin mahdollinen sähkökenttä on luokkaa 10 6 V/m. Tämä vastaa energiatiheyttä 1 ε 2 0 10 12 V 2 /m 2 = 4 J/m 3, mikä on varsin vähäinen määrä esim. kemiallisten reaktioiden tuottamaan energiatiheyteen verrattuna. Makroskooppiset kentät ovat myöskin paljon heikompia kuin atomitason kentät. Kondensaattorilevyjen vastakkaiset varaukset vetävät toisiaan puoleensa. Tämä vetovoima voidaan laskea potentiaalienergian avulla. Jos levyjä vedetään kauemmaksi toisistaan tällä voimalla F matkan dx, kasvaa potentiaalienergia määrällä du = F dx. Toisaalta kaavasta U = 1 2 ε 0E 2 Ax seuraa, että du = 1 2 ε 0E 2 Adx, joten F = du dx = 1 2 ε 0E 2 A. Jos esim. E =10 6 V/m, on F/A = 4 N/m 2 4 10 5 atm.

34 1.10.6 Varaussysteemin sähköstaattinen potentiaalienergia sähkökentän energiatiheyden avulla lausuttuna Oletetaan, että avaruudessa on n varattua johdekappaletta. Merkitään i:nnen kappaleen pintaa i :llä ja sisäänpäin suunnattua pintaelementtiä d i :llä. Asetetaan kappaleita ympäröimään pinta 0 (ulospäin suunnattu pintaelementti d 0 ) niin etäälle, että sähkökenttä 0 :lla on häviävän pieni. ysteemin potentiaalienergia on U = 1 2 n i=1 i d 2 d 3 d 1 Kuva 1.24 σ i φ i d i, d 0 missä σ i ja φ i ovat i:nnen johteen varauskate ja potentiaali. ähkökenttä on rajoittunut 0 :n sisäänsä sulkemaan tilavuuteen, johon johteet muodostavat kentättömiä onkaloita. Elementit d i,i=0,...,n, ovat siis tämän tilavuuden ulospäin suuntautuneita pintaelementtejä. Kun pintaelementtien suunta on määritelty johteen sisälle päin, on voimassa σ i d i = ε 0 E d i, joten U = 1 n ε 0 φ i E d i = 1 ε 0 φe d, 2 2 i=1 i missä pinta on pintojen i,i = 0,...,n yhdistys. saadaan U = 1 ε 0 (φe) dτ, 2 missä V on :n sisältämä tilavuus. Koska V Divergenssilauseen avulla (φe) =φ E + E φ ja E = φ sekä tyhjiössä E =0,on (φe) = E 2, ja U = 1 ε 0 E 2 dτ (1.42) 2 V Lauseke ε 0 E 2 /2 voidaan siis yleisessä tapauksessa tulkita sähkökentän energiatiheydeksi ja systeemin potentiaalienergia voidaan saada selville joko laskemalla, mikä työ on tehtävä, kun systeemin varaukset tuodaan yksi kerrallaan paikalleen, tai integroimalla täydellisen systeemin sähkökentän energiatiheys yli avaruuden.