6 Funktioita ja yhtälöitä

6 Funktioita ja yhtälöitä 6. Rationaali- ja juurifunktio LUVUN 6. YDINTEHTÄVÄT 60. a) Määritelty, kun a 0. ( a ) ( a ) a a y y ( a a )( a ( a )) a a a a y y a 6 a ( y) ( y) Toinen tapa: ( a ) ( a ) a a a a ( ) ( a a ( ) ) a a a a 66 b) Määritelty, kun a 0. a ( a) a a a a a a a a a a a c) Määritelty, kun a > 0, eli a <. a ) a a ( a) a a a a ( a) a ( a) a a

60. a) Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain kun 0. ) ) 0 9 0 9 0 Osamäärä on nolla vain, kun osoittaja on nolla ja osamäärä on määritelty. On siis oltava 9 = 0 = 9 = tai =. Molemmat näistä täyttävät ehdon 0. Yhtälön ratkaisu on siis = tai =. Toinen tapa: Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain, kun 0. 0 kerrotaan ristiin, 0 9 tai Molemmat näistä täyttävät ehdon 0. Yhtälön ratkaisu on siis = tai =.

b) Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain, kun 0 eli kun. ) 0 ( ) 0 0 0 Ratkaistaan, milloin osoittaja on nolla. = 0 ( ) = 0 = 0 tai = 0 = Molemmat näistä toteuttavat ehdon. Yhtälön ratkaisu on siis = 0 tai =. Toinen tapa: Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain, kun 0 eli kun. ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0 tai 0 Molemmat näistä toteuttavat ehdon. Yhtälön ratkaisu on siis = 0 tai =.

c) Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain, kun 0 ja kun + 0. Näistä saadaan ehdot ja. Koska 0, yhtälön ratkaisujen riittää siis toteuttaa ehto. ( ) ( ) ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0 0 ( )( ) Ratkaistaan, milloin osoittaja on nolla. 0 ( ) 0 0 tai 0 0 Molemmat näistä toteuttavat ehdon. Yhtälön ratkaisu on siis = tai = 0.

Toinen tapa: Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain, kun 0 ja kun + 0. Näistä saadaan ehdot ja. Koska 0, yhtälön ratkaisujen riittää siis toteuttaa ehto. ( )( ) 0 ( )( ) ( )( ) 0 ( ) 0 0 tai 0 0 Molemmat näistä toteuttavat ehdon. Yhtälön ratkaisu on siis = tai = 0.

60. a) Osoittaja 4 on aina positiivinen, joten osamäärä on negatiivinen täsmälleen silloin, kun nimittäjä on negativiinen. 0 :( ) b) Epäyhtälöllä on ratkaisuja vain, kun 0 eli kun. ) 0 ( ) 0 ( ) 0 4 0 Ratkaistaan osoittajan nollakohdat. + 4 = 0 = 4 Tehdään merkkikaavio 4 + 4 + + + + 4 + Epäyhtälön 4 0 siis < 4. ja samalla epäyhtälön ratkaisu on

c) Epäyhtälöllä on ratkaisuja vain, kun 0 eli kun. 7 ) 7 0 7 0 7 0 65 0 Ratkaistaan osoittajan nollakohdat. 650 6 6 45 6 6 64 tai 5 Tehdään merkkikaavio 5 + 6 + 5 + + + + 4 + + Epäyhtälön 65 0 ja samalla epäyhtälön ratkaisu on siis 5 < < tai >. 7 604. a) Neliöjuuren arvo on täsmälleen silloin, kun juurettavana on 9 eli kun + 5 = 9, mistä saadaan = 4. b) Yhtälöstä 4 0 saadaan 4. Koska juuren arvo on aina ei-negatiivinen, yhtälöllä ei ole ratkaisua c) Kuutiojuuren arvo on täsmälleen silloin, kun juurrettavana on eli kun 4 =. Tästä saadaan =, mistä edelleen tai.

605. a) Neliöjuuri on määritelty, kun 0 eli kun. Juuren arvo on ei-negatiivinen, kun + 0, eli kun. Molemmat ehdot toteutuvat, kun. Korotetaan yhtälö puolittain neliöön. ( ) 69 760 7 7 46 7 5 75 tai 6 Näistä vain = toteuttaa ehdon. Yhtälön ratkaisu on siis =. Toinen tapa: ( ) 69 760 7 7 46 7 5 75 tai 6 Tarkistetaan, toteuttavatko ratkaisuehdokkaan alkuperäisen yhtälön. + ( ) 4 + = toteuttaa 6 ( 6) 9 6 + = ei toteuta Yhtälön ratkaisu on siis =.

b) Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain, kun juuret ja osamäärä ovat määriteltyjä, eli kun > 0, eli kun >. 0 ( ) 4 Koska juuren arvo on aina ei-negatiivinen, on oltava 4 0, eli 4. Tällöin myös juuri on määritelty ja yhtälö voidaan siis korottaa puolittain neliöön. 4 ( 4) 86 980 9 ( 9) 48 9 9 9 6 tai Näistä vain = 6, toteuttaa ehdon 4. Yhtälön ratkaisu on siis = 6.

Toinen tapa: 0 ( ) 4 ( 4) 86 980 6 tai 9 ( 9) 4 8 9 9 9 Tarkistetaan, toteuttavatko ratkaisuehdokkaan alkuperäisen yhtälön. 6 6 4 6 ei toteuta toteuttaa Yhtälön ratkaisu on siis = 6.

606. a) Yhtälö = voidaan kirjoittaa myös muodossa = 0. Siis esimerkiksi funktio f() = saa arvon nolla kohdassa =. Kyseessä on rationaalifuntkio, joten f on eräs tehtävänannon ehdot täyttävä funktio. b) Rationaalifunktio ei ole määritelty nimittäjän nollakohdissa, eli kohdat = ja = on oltava nimittäjän ainoat nollakohdat. Nimittäjällä on siis oltava tekijät + ja. Eräs tällainen lauseke on ( + )( ). Kysytyksi funktioksi kelpaa nyt esimerkiksi f ( ), ( )( ) sillä se on määritelty kaikissa muissa kohdissa, paitsi = ja =. c) Koska halutaan funktio, jota ei ole määritelty kohdassa = 0, nimittäjällä tulee olla tekijä. Osoittajan etsiminen on helpompaa jos nimittäjän merkki ei vaihdu. Valitaan osamäärän nimittäjäksi näin ollen =. Tällöin osamäärän merkki riippuu vain osoittajasta. Etsitään siis osoittajaan funktio, joka saa negatiivisia arvoja vain kun >. Eräs tällainen funktio on laskeva suora. Näin ollen funktio f ( ) on eräs tehtävänannon ehdot toteuttava funktio.

607. Hahmotetaan tilannetta kuvan avulla. Merkitään lattiaa pitkin kulkevan osan pituutta kirjaimella, ja ilmassa kulkevan osan pituutta kirjaimella y, jolloin virtajohdon pituus on + y. Ratkaistaan y kuvan suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseella. y = (,0 ) +,0, josta saadaan y 6 (tai y 6 ). Virtajohdon pituutta kuvaa siis lauseke 6. Ratkaistaan ohjelman avulla millä muuttujan arvolla virtajohdon pituus on 4,5 m. 6 4,5,466 Lattiaa pitkin kulkevan osan pituus on siis,4 m.

6. Eksponentti- ja logaritmifunktio LUVUN 6. YDINTEHTÄVÄT 608. a) f( ) a a Koska f( ) = 4, saadaan yhtälö a 4 a 0 a 4a :4 a 4 a a 4 4. Ratkaistaan tästä a. Koska eksponenttifunktion kantaluku a on positiivinen, on oltava a. Nyt 8 8 f (8) ( ). 56 Kuvista I, II ja III vain kuvassa III on eksponenttifunktio. Kuvaajalla on piste (, 4) joten se on funktion f kuvaaja.

609. a) log 8 on se eksponentti, johon luku pitää korottaa, jotta saadaan 8. 8 = 9 9 = = 4, joten log 8 = 4. b) log 5 5 on se eksponentti, johon luku 5 pitää korottaa, jotta saadaan 5. Siis log 5 5 =. c) log7 7 on se eksponentti, johon luku 7 pitää korottaa, jotta saadaan 7 7. Siis log 7 7. d) log 6 5 on se eksponentti, johon luku 6 pitää korottaa, jotta saadaan 5. log6 5 Kun luku 6 nyt sitten korotetaan tähän potenssiin, saadaan 6 5. e) log on se eksponentti, johon luku pitää korottaa, jotta saadaan. Siis log =. f) log k on se eksponentti, johon luku k pitää korottaa, jotta saadaan luku. Siis log k = 0.

60. a) ln e 7 = log e e 7 = 7 b) lg00 lg, lg 00,,0000 lg, lg0000 4 log00 4 c) ln e + ln ln e = log e e + 0 (ln + ln e ) = ln log e e = ln = ln d) ln5 ln5 loge 5 e e e 5 e) log 6 + log 6 = log 6 ( ) = log 6 6 = lg log on se eksponentti, johon luku 0 pitää 0000 0000 4 korottaa, jotta saadaan 0. 4 4 0000 0 0 f) 0 Siis lg 4. 0000

6. a) 7 = 49 7 = (7 ) 7 = 7 6 = 6 b) 4 + = 0,5 ( ) : c) 5 0, 5 (5 ) 5 0 5 5 5 5 5 : d) = 8 : = 9 = =

e) = : = 7 = log 7 Toinen tapa: = : = 7 ln = ln 7 ln = ln 7 :ln = ln 7 ln f) e = 6 loge 6 : loge 6 ln 6 Tätä lauseketta voi halutessaan sieventää: ln 6 ln 6 ln 6 ln 6 ln 6 tai ln 6 ln 6 ln 6 ln 6 Toinen tapa: e 6 ( e ) 6 e 6 log 6 ln 6 e

6. a) ln5 ln5 log 5 (ln5) e 5 f e e e b) Selvitetään ensin, mitä on e. e 9 ( e ) e Nyt saadaan e e e ( e ). 7 7 Toinen tapa: Selvitetään ensin, mitä on. e 9 loge 9 : ln 9 ln 9 ln 9 ln 9 ln tai ln 9 ln ln ln Nyt saadaan ln ln ln e e e e e. 7 7

6. Vuotuinen korko,5 % tarkoittaa korkokerrointa,05. Nyt vuoden kulutta rahaa on kertynyt,05 50 000 euroa. Ratkaistaan, milloin rahaa on kertynyt 00 000.,05 50 000 = 00 000 : 50 000 Tapa,05 00000 0 4 50000 5 log 4,05 ln 4 9,... ln,05 Tapa,05 00000 0 4 50000 5 ln,05 ln 4 4 ln, 05 ln ln, 05 ln 4 9,... ln, 05 Aikaa on siis 0 vuotta 64. Vuonna 970 aikaa on kulunut 0 vuotta, eli f(0) = A a 0 = A = 56 (miljoonaa). vuonna 00 aikaa on kulunut 40 vuotta, eli f(40) = 56 a 40 = 59. Yhtälön 56 a 40 = 59 ratkaisu on a 40 59. Koska kantaluku a 56 on positiivinen saadaan a 40 59. 56 Vuonna 00 aikaa on kulunut 60 vuotta. 60 f (60) 56 40 59 67,9... 56 Väkiluku on siis noin 68 miljoonaa. Ratkaistaan milloin väkiluku on 00 miljoonaa. Yhtälön 56 40 59 00 ratkaisu on = 64, 56 Väkiluku ylittää siis 00 miljoonan rajan kun vuodesta 970 on kulunut vähän reilu 64 vuotta, eli vuonna 04.

6. Trigonometriset funktiot LUVUN 6. YDINTEHTÄVÄT 65. a) 7 kulma on siis yli = 80 mutta alle,5 = 70. Siis 5 5 kulma A on kuvassa IV. 8 9 on hieman alle = 80, eli B on kuvassa I Kulma C 70 on negatiivinen ja ainoa myötäpäivään kulkeva kulma on kuvassa II. D 90 on kuvassa III b) 80 6, siis A = I 5 5 80 45 5, siis B = IV 4 4 80 90, siis C = III 5 580 560 00, siis D = VI

66. a) Sinin arvo saadaan suoraan taulukoiduista arvoista. sin( ) b) c) d) e) f) g) tan( 7 ) tan( ) tan( ) tan( ) cos( ) cos(4 ) cos( 4) cos( ) tan( ) tan( ) 6 6 sin( 5 ) sin( 5 ) ( ) 4 4 cos( n ) cos( ) cos( ) 0 tan( 0) tan( ) 6 6 h) tan(405 ) tan(580 ) tan(5 )

67. a) sin(α 00) = sin(α 50 ) = sin a = 0, b) sin( α) = sin α = 0, c) sin ( α) = sin α = 0, d) cos (β + 8) = cos β = 0,4 e) cos( β) = cos β = 0,4 f) cos( β) = cos β = 0,4 g) h) sin cos 0, cos 0,04 cos cos 0,96 cos 0,96 cos 0,98 sin cos sin 0,4 sin 0,6 sin 0,84 sin 0,84 sin 0,9

68. Ratkaistaan sin yhtälön sin + cos = avulla. sin ( ) 5 sin 5 sin 4 5 sin 4 5 sin 5 Koska, sin < 0. Siis sin 5 tan sin 5 5 cos 5 5 sinsincos ( ) ( ) 4 5 5 5 5 5 5 cos cos ( )

69. a) b) sin : Arvo löytyy taulukosta. n tai n 4 4 n, n 4 cos : Arvo löytyy taulukosta. n tai n, n c) tan : Arvo löytyy taulukosta. 5 n, n d) e) sin : Arvo löytyy taulukosta. n tai n n 6 n n6, n cos( ) cos 7 n 7 6 n : 7 n 7 tai n 7 8 n : 7 4 n, n 7

f) tan 00 : Arvoa ei löydy taulukosta. Etsitään siis yksi ratkaisu laskimen avulla.,56... n : 0,50... n 0,5 n, n 60. Kaikkien merkittyjen leikkauspisteiden y-koordinaatti on. Pisteiden - koordinaatit ovat yhtälön cos( ) ratkaisuja; kaksi suurinta negatiivista ratkaisua ja kolmanneksi pienin positiivinen ratkaisu. cos( ) cos( ) n tai n n n 6 6 6 6 5 n n 6 6 Taulukoidaan arvoja. n 5 n 6 0 5 6 5 7 6 6 5 7 6 6 n 6 6 6 6 6 6 Pisteiden koordinaatit ovat C (, ). 6 A (, ), 6 B ( 7, ) ja 6

Luvun 6 vahvistavat ja syventävät tehtävät VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 6. a) ln = log e = = e e b) log = täsmälleen silloin, kun 8 c) d) 0,0974 lg0,0974 lg0,00000974 lg 0,00000974 lg0000 4 log00 4 ln a log e a e a e a a a a

6. a) f () sin 0 cos ( ) sin 9 sin( 4) sin f ( 9 ) cos 9 cos( 4) cos 0 b) Koska kyseessä on kolmion kulmat, niiden summa on 80. + + = 80 6 = 80 : 6 = 0 Kulmat ovat siis 0, 60 ja 90. Lasketaan pyydetty sinien summan neliö. (sin 0 + sin 60 + sin 90 ) ( ) ( ) ( ) 96 4 6 4 6

6. a) Rationaalifunktion nollakohdat ovat ne osoittajan nollakohdat, joilla funktio on määritelty. Koska osoittaja on nyt aina positiivinen, sillä ei ole nollakohtia. Väite on siis tosi. b) Väïte on epätosi. Esimerkiksi f( ) täyttää annetut ehdot, mutta funktion lauseke ei sievene ensimmäisen asteen polynomiksi. c) Osamäärän arvo on positiivinen täsmälleen silloin, kun osoittaja ja nimittäjä ovat samanmerkkiset. Väite on siis tosi. d) Jos P(a) = 0, niin myös Q(a) = 0, jolloin funktiota f ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa = a. Koska a ei siis voi olla funktion nollakohta. Väite on siis tosi. 64. Suplementtikulmien sinit ovat yhtä suuret. Siis A III Suplementtikulmien kosinit ovat toistensa vastaluvut. Siis B I Aina sin α + cos α =. Siis C I log a = täsmälleen silloin, kun = a. Siis D III Koska a 0 =, aina kun a 0, pätee log a = 0. Siis E I Merkitään log = a. Nyt log = log + log = + log. Siis F I.

65. a) Epäyhtälöllä voi olla ratkaisuja vain kun 0 eli kun. 4 4( ) 0 4( ) 0 5 0 Ratkaistaan osoittajan nollakohdat. + 5 = 0, josta = 5. Tehdään merkkikaavio 5 + 5 + + - + + 4 + Epäyhtälön 5 0 siis < 5. ja samalla epäyhtälön 4 ratkaisu on b) Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain, kun 0. ( )( ) 4 a b a b ( ) ( ) 4 44 4 0 ( ) 0 0 tai 0 = Näistä vain = 0 toteuttaa ehdon 0. Yhtälön ratkaisu on siis = 0.

Toinen tapa: Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain, kun 0. ( )( ) 4 4 4 4 4 0 ( ) 0 0 tai 0 Näistä vain = 0 toteuttaa ehdon 0. Yhtälön ratkaisu on siis = 0. =

66. a) Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain kun > 0 ja kun + > 0, eli kun >. Molemmat ehdot toteutuvat kun > 0. ln ln( ) ln ln( ( )) ln 0 tai 4 ( ) 9 Näistä vain = toteuttaa ehdon > 0. Yhtälön ratkaisu on siis =. b) Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain, kun + 0 > 0 eli kun > 0 mistä edelleen > 5, ja kun > 0. Molemmat ehdot toteutuvat, kun > 0. lg(0) lg lg 0 000 98 0 :98 0 98 5 49 0 0 0 Ratkaisu täyttää ehdon > 0. Yhtälön ratkaisu on siis 5. 49

Toinen tapa: lg(0) lg log 0 0 0 log 0 log00 0 0 0 000 98 0 :98 0 98 5 49 Ratkaisu täyttää ehdon > 0. Yhtälön ratkaisu on siis 5. 49

67. a) Yhtälö voidaan ratkaista tulon nollasäännön avulla. (e )(e ) = 0 e = 0 tai e = 0 e = e = e = e 0 = log e = 0 = ln b) (e )(e ) = (e ) e e + = (e ) e = 0 e (e ) = 0 e = 0 tai e = 0 ei ratkaisua e = = log e = ln c) Parillinen juuri voidaan laskea vain positiivisesta luvusta, joten yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain, kun e 0. Ratkaistaan, milloin näin on. e 0 e : e e on kasvava log e ln ( 0,69) e 4 4 e 4 4 e ( e ) ( ) e e e : e log e ln (,)

Ratkaisu täyttää ehdon ln. Yhtälön ratkaisu on siis ln. Toinen tapa: e 4 4 e 4 4 e ( e ) ( ) e e e : e log e ln Tarkistetaan toteuttaako ratkaisuehdokas alkuperäisen yhtälön. 4 ln ln log e 4 4 4 4 4 e ( e ) ( e ) ( ) ln e 4 4 Yhtälön ratkaisu on siis ln.

68. a) tan on kulman tangenttipisteen y-koordinaatti. Siis tan =. b) tan ( ) = tan = c) tan ( + 0) = tan = d) Ratkaistaan kuvan kolmiosta hypotenuusan pituus c. c c 5 c 5 (tai c 5) Koska kuva perusteella sin. 5 0, saadaan e) Edellisen kohdan laskujen perusteella saadaan cos. 5 e) sin( ) sin. 5

69. a) Pisteen A y-koordinaati saadaan suoraan annetun tiedon perusteella. A (, ). Koska ainoa sallittu keino etsiä pisteen -koordinaatti on trigonometristen kaavojen käyttäminen, hyödynnetään sitä tietoa, että kehäpisteen -koordinaatti on kulman kosini, ja että sin α + cos α =. sin cos cos cos 4 cos 4 cos 4 cos Koska kulma on. neljänneksessä cos. Näin ollen A (, ). Pisteen B y-koordinaatti on sama kuin pisteellä A, joten niiden sinit ovat samat. Suplementtikulmilla on sama sini, joten piste B on kulman suplementtikulman kehäpiste. Koska suplementtikulmien kosinit ovat toistensa vastaluvut, pisteen B -koordinaatti on pisteen A - koordinaatin vastaluku. Siis B (, ). Pisteen D -koordinaatti on sama kuin pisteellä A, joten niiden kosinit ovat samat. Vastakulmilla on sama kosini, joten piste D on kulman vastakulman kehäpiste. Koska vastakulmien sinit ovat toistensa vastaluvut, pisteen D y-koordinaatti on pisteen A y-koordinaatin vastaluku.

Siis D (, ). Pisteen C -koordinaatti on sama kuin pisteellä B, joten niiden kosinit ovat samat. Vastakulmilla on sama kosini, joten piste C on pistettä B vastaavan kulman vastakulman kehäpiste. Koska vastakulmien sinit ovat toistensa vastaluvut, pisteen C y-koordinaatti on pisteen B y- koordinaatin vastaluku. Siis D (, ). Tehtävänannon mukaan pistettä A vastaa kulma. Pistettä B vastaa kulman A suplementtikulma. Pistettä C vastaa pisteen B vastakulma. Tämä ei ole pyydetyllä välillä. Samaa pistettä vastaa pyydetyn välin kulma 4. Pistettä D vastaa pisteen A vastakulma. Tämä ei ole pyydetyllä välillä. Samaa pistettä vastaa pyydetyn välin kulma 5. b) P (,sin ) (, ) Q (,sin ) (, ) R ( 4,sin 4 ) ( 4, ) Q ( 5,sin 5 ) ( 5, )

60. a) Merkitään vektorin päätepistettä kirjaimella B, jolloin saadaan OB i j i sin( ) j 4i j j 4i j Vektorin päätepiste on siis (4, ) b) Merkitään vektorin päätepistettä kirjaimella B, jolloin saadaan OB i j i sin j 4i j j 4 i ( ) j Vektorin päätepiste on siis (4, ). c) Merkitään vektorin päätepistettä kirjaimella B, jolloin saadaan OB i j i sint j 4 i ( sin t) j Päätepisteen -koordinaatti on siis koko ajan 4. Koska 0 t, sin t käy läpi kaikki arvo väliltä [, ]. Tämän arvon muuttuminen vaikuttaa vain pisteen B y-koordinaattiin, joka on siis välillä [, + ] = [, ]. Vektorin päätepiste on siis pisteiden (4, ) ja (4, ) välisellä janalla.

6. a) Funktio on määritelty, kun + 0, eli kun. 88 ( 44) ( ) ( ) 4 Funktio f ei ole määritelty, kun =, ja ( ) + 4 = 0, joten suoran piste (, 0) ei ole funktion f kuvaajalla. b) Funktio on määritelty, kun 0, eli kun ja kun 0 ja kun 0. Kaikki ehdot toteutuvat väleillä 0 < ja >. ) ( ) ( ) Funktio f on määritelty kun 0 < ja >, joten piste (, ) ei ole suoralla, eikä yksikään piste (, ), jossa 0.

6. Koska lausekkeen halutaan olevan määritelty täsmälleen silloin kun, on juurrettavan oltava ei-negatiivinen tällä välillä. Koska 0 tällä välillä, eräs tehtävänannon määrittelyehdon täyttävä funktio on f ( ) c. Etsitään sitten vakiolle c sellainen arvo, että funktio f täyttää myös ehdon f() =. c c Voidaan siis valita f( ). Toinen tapa: Merkitään f ( ) a b. Määritetään vakioiden a ja b arvot, siten, että funktio täyttää tehtävänannon ehdot. f() ab, joten on oltava a + b = 4, eli b = 4 a. Siis f ( ) a4 a. Funktio f on määritelty kun a + 4 a 0 eli kun a a 4. Tämän epäyhtälön ratkaisun halutaan olevan. On siis oltava a < 0. Nyt saadaan jakamalla luvulla a a a 4 : a 0 4. a Näin ollen saadaan yhtälö 4, jonka ratkaisu on a =. a Voidaan siis valita f( ) 6.

6. a) Rationaalifunktion nollakohdat on ne osoittajan nollakohdat, joissa lauske on määritelty. Määritetään + 7 5 nollakohdat. Yhtälön + 7 5 = 0 ratkaisu on 5 tai. 4 Funktiolla f on siis yksi nollakohta silloin, kun funktiota ei ole määritelty jommallakummalla näistä luvuista eli kun jompikumpi on nimittäjän g nollakohta. Eräs tämän ehdon täyttävä funktio on g ( ) 5. b) Jotta funktion f kuvaajan pisteet ovat suoralla, osoittaja ja nimittäjä pitää pystyä supistamaan samalla ensimmäisen asteen polynomilla. 7 5 7 5 ( 5)(4 ) ( ) f g ( ) g ( ) g ( ) Jos nimittäjäksi valitaan + 5, niin silloin lauseke sievennee muotoon 4, mutta tämän kulmakerroin on positiivinen. Valitaan siis g() = ( + 5), jolloin saadaan 7 5 ( 5)(4 ) ( ) f 4. (5) (5) Voidaan siis valita erimerkiksi g() = ( + 5) = 5 c) Osoittaja on aina määritelty, joten se ei vaikuta funktion f määrittelyjoukkoon. Etsitään siis nimittäjään lauseke, jolla saadaan haluttu ehto. Etsitään nimittäjä juurimuotoisesta lausekkeesta: g ( ) h ( ), jolle h() > 0 kun > ja kun <. Eräs tällainen funktio on ylöspäin aukeava paraabeli ( + )( ) = 9. Voidaan siis valita g( ) 9.

d) Etsitään nimittäjä juurimuotoisesta lausekkeesta: g ( ) h ( ), jolle h() > 0 kun >. Eräs tällainen funktio. Voidaan siis valita g ( ). 64. a) e sin = e e sin = e sin = sini on kehäpisteen y-koordinaatti n, n b) e sin = e sin = e 0 sin = 0 sini on kehäpisteen y-koordinaatti n, n Toinen tapa: e sin = e sin = e 0 sin = 0 sini on kehäpisteen y-koordinaatti 0n tai 0n n n, n c) cos 0,5 cos cos cos kosini on kehäpisteen -koordinaatti n, n d) cos = 4 cos = cos = Koska aina cos, yhtälöllä ei ole ratkaisua.

65. a) f() = log () = log + log = + log = + f() = f() + b) < f() < < + e < 0 < e < Eksponenttifunktiona aina e > 0. Riittää siis osoittaa, että e <, kun < <. e e Koska e =,7. ja < <, niin e > e tällä välillä. Näin ollen osoittaja ja nimittäjä ovat molemmat positiivisia, ja nimittäjä on osoittajaa suurempi. Siis. e

66. a) Epäyhtälöllä voi olla ratkaisuja vain kun 4 0, eli kun 4, josta edelleen. Tällöin epäyhtälön molemmat puolet ovat einegatiiviset ja puolittain neliöön korotetulla epäyhtälöllä on samat 4 ratkaisut kuin alkuperäisellä yhtälöllä. 4 4 9 4 0 :4 0 4 5 Kaikki nämä luvut toteuttavat ehdon on 5., joten epäyhtälön ratkaisu 4 b) Epäyhtälöllä voi olla ratkaisuja vain kun 0, eli kun, josta edelleen. Tällöin epäyhtälön molemmat puolet ovat einegatiiviset ja puolittain neliöön korotetulla epäyhtälöllä on samat ratkaisut kuin alkuperäisellä yhtälöllä. 4 :( ) Näistä luvuista kaikki eivät toteuta ehtoa. Tämä ehto huomioiden saadaan epäyhtälön ratkaisuksi. c) Neliöjuuren arvo on aina ei-negatiivinen, joten epäyhtälöllä 7 ei ole ratkaisua.

67. a) cos = kosini on kehäpisteen -koordinaatti n : n, n Näistä välillä [, ] ovat ja. b) tan( ) tan n, n 6 Tämä tarkoittaa kulmia...,,,,,... 6 6 6 6 6 6 6 Näistä välillä [, ] on 6 Toinen tapa tan( ) n 6 5 n, n 6..., 5, 5, 5, 5, 6 6 6 6 6 6 6 5,... 6 6 Näistä välillä [, ] on 6

c) Yhtälön korottaminen puolittain kolmanteen potenssiin ei vaikuta sen ratkaisuihin sin () sin 8 sin n : tai n 6 6 5 n : n 6 5 n, n Taulukoidaan kulmia, että löydetään välillä [, ] olevat ratkaisut. n n 5 n 0 5 5 5 5 5 5 5 Välillä [, ] ovat siis ratkaisut ja 5.

68. a) Neliöjuuri on määritelty, kun 0 eli kun. Juuren arvo on ei-negatiivinen, kun 0, eli kun. Molemmat ehdot toteutuvat vain, kun =. Kun =, saadaan 0 0 Yhtälön ratkaisu on siis =. Toinen tapa: Korotetaan yhtälön molemmat puolet neliöön. ( ) 0 ( ) 0 0 tai Tarkistetaan, toteuttavatko ratkaisuehdokkaan alkuperäisen yhtälön. 0 0 = 0 ei toteuta = 0 0 toteuttaa Yhtälön ratkaisu on siis =.

b) Neliöjuuri on määritelty, kun 0 eli kun. Juuren arvo on ei-negatiivinen, kun 0. Tämä toteutuu kaikilla muuttujan arvoilla. Molemmat ehdot toteutuvat, vain kun. Korotetaan yhtälö puolittain neliöön. ( ) 0 ( ) 0 0 tai 0 Molemmat luvut toteuttavat ehdon. Yhtälön ratkaisu on siis = 0 tai =. Toinen tapa: Korotetaan yhtälön molemmat puolet neliöön. ( ) 0 ( ) 0 0 tai 0 Tarkistetaan, toteuttavatko ratkaisuehdokkaan alkuperäisen yhtälön. 0 0 = 0 toteuttaa = 0 0 toteuttaa Yhtälön ratkaisu on siis = 0 tai =.

c) Neliöjuuri on määritelty, kun 0 eli kun. Yhtälöllä voi siis olla ratkaisuja vain, kun. ( ) 4 tai Yhtälössä molemmat puolet ovat ei-negatiiviset, joten se voidaan korottaa puolittain toiseen, kun. 0 Tämä toteuttaa ehdon, joten se on alkuperäisen yhtälön ratkaisu. Koska juuren arvo on aina ei-negatiivinen, yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Siis yhtälön ( ) 4 ratkaisu on = 0. Toinen tapa: ( ) 4 tai ei ratkaisua 0 Tarkistetaan toteuttaako ratkaisuehdokas = 0 alkuperäisen yhtälön. ( 0 ) ( ) 4 Siis yhtälön ratkaisu on = 0.

69. a) Kantaluvun k tulee toteuttaa ehto k > 0, k. log k = log k + log k log k = log k logk 4 4 k k 4 Tämä luku toteuttaa ehdon k > 0, k. Siis k = 4. Toinen tapa: Kantaluvun k tulee toteuttaa ehto k > 0, k. log k + = log k + log k k = log k k Siis log k = log k k = k : 4 = k Tämä luku toteuttaa ehdon k > 0, k. Siis k = 4. b) Kantaluvun k tulee toteuttaa ehto k > 0, k. log k 5 = 5 k 5 k 0 k 5 k 5 k 5 k 5 Kun otetaan huomioon ehto k > 0, k,saadaan vastaukseksi Toinen tapa: logk5 logk5 log k( ) 5 Koska log ( ) k, on oltava 5 k. 5 k. 5

640. a) e > 0 kaikilla muuttujan arvoilla, joten e + a > 0 aina kun a > 0. Koska positiivisten lukujen tulo on aina positiivinen, tulo (e + )(e + )(e + ) (e + 00) on arvoltaan positiivinen. b) e + on aina positiivinen, joten tulon merkki riippuu vain lausekkeen e e merkistä. Koska e on kasvava e < e kun <, ja niin tällöin e e < 0. Positiivisen ja negatiivisen luvun tulo on negatiivinen, joten tulo (e + )(e ) on negatiivinen, kun <.

64. a) e > e (e ) e > 0 e (e ) > 0 Koska e > 0 aina, tulo on positiivinen täsmälleen silloin, kun e > 0. e > 0 e > e on kasvava > ln Toinen tapa e > e : e > 0 e > e on kasvava > ln b) Muokataan alempaa yhtälöä. = 8 y = ( ) y = y = y Sijoitetaan tämä ylempään yhtälöön. + y = 4 y + y = 4 5y = 4 : 5 y 4 5 Nyt y 4. 5 5 Yhtälöryhmän ratkaisu on siis ja 5 y 4. 5

64. a) e e ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) e ( e ) 0 ( e ) e ( e ) ( e ) e e ( e ) ( e e ) e e e e, sillä e e 0 Toinen tapa: a b täsmälleen silloin, kun a 0 ja b 0 ja b = a. Koska e y > 0 kaikilla y, niin ( e e ) ( e ) e e ( e ) 0 e e e e e e e e e 0 ja e e 0. b) Jos a = 0, funktiota f ei ole määritelty, kun = 0. Siis on oltava 0. f( + ) = f() a + = a a a = a : a 0 a = Yhtälö toteutuu kaikilla muuttujan arvoilla, kun a =.

64. Matti vaihtoi ratkaistavan kulman kesken ratkaisun. sin n tai 5 n 6 6 Teppo unohti jakaa kaikki termit jakaessaan kolmella n tai 5 n 6 6 n tai 5 n 8 8 Oikea ratkaisu sin 0 sin n tai 5 n 6 6 n 5 n, n 8 8 644. ( )( ) ( ) ) ( ) )

645. a) Vakio A > 0 on ainoa joka vaikuttaa funktion f arvojoukkoon. Funktion f arvojoukko on [ A, A]. Vakio C on ainoa, joka vaikuttaa funktion f perusjaksoon. Funktion f perusjakso on. C Vakio A > 0 skaalaa kuvaajaa pystysuunnassa korkeammaksi tai matalammaksi. Se ei siirrä kuvaaja, ainoastaan venyttää tai kutistaa. Vakio C skaalaa kuvaavaa vaakasuunnassa, eli tihentää tai harventaa sinifunktion kuvaajan heilahtelua. Vakio D siirtää kuvaajaa vaakasuunnassa. b) Koska funktion f arvojoukko on [, ], voidaan valita A = Koska funktion f perusjakso on 4, saadaan 4, C minkä perusteella C. Siis tähän asti on saatu f ( ) sin( D). Valitaan sopiva D sen tiedon avulla, että f(0) =. f(0) sin( D) täsmälleen silloin, kun sin D =. Valitaan siis D. Tarkistetaan vielä piirtämällä, että näin muodostetun funktion f( ) sin( ) kuvaaja on sama kuin tehtävänannon kuvassa.

c) sin sin + sin + 4 Perusjakso saadaan kertomalla muuttuja kahdella. Voidaan siis valita f() = sin +. Tarkistetaan tämä vielä kuvan avulla. 646. a) Kerroin ei vaikuta kosinifunktion perusjaskoon, joten se on. cos cos Arvojoukko on [, ]. b) Kerroin puolittaa sinifunktion perusjakson, joten perusjakso on. sin + 0 + sin Arvojoukko on [0, ]. c) Kerroin lyhentää kosinifunktion perusjakson kolmasosaan joten perusjakso on. cos cos + 4 cos + 4 6 Arvojoukko on [, 6].

647. a) sin = sin sin cos + sin = 0 sin (cos + ) = 0 sin = 0 tai cos + = 0 = n cos = n tai n, n Taulukoidaan ratkaisuja n = + n n n 0 4 Välilllä ], [ on siis ratkaisu.

Toinen tapa sin = sin sin = sin( ) = + n tai = ( ) + n = n : = + n n, n Taulukoidaan ratkaisuja n = + n n 0 4 Välilllä ], [ on siis ratkaisu.

b) cos + cos = 0 cos +cos = 0 merkitään cos = t t + t = 0 t + t = 0 4 ( ) t 9 4 4 t tai t t = t = cos = cos = = + n, n n tai n, n Taulukoidaan ratkaisuja n = + n n n 0 4 Välilllä ], [ on siis ratkaisu.

Toinen tapa: cos + cos = 0 cos = cos cos = cos ( ) = + n tai = ( ) + n = + n : = + n n, n Taulukoidaan ratkaisuja n = + n n 0 4 5 6 7 Välilllä ], [ on siis ratkaisu.

c) cos + sin = 0 cos + sin cos = 0 cos ( + sin ) = 0 cos = 0 tai + sin = 0 n sin 7 n tai 7 n 6 6 n, n 6 Taulukoidaan ratkaisuja n n 7 n n 6 6 7 5 6 6 6 0 7 6 6 6 7 5 6 6 6 6 6 4 5 6 6 Välilllä ], [ on siis ratkaisut, ja 5. 6 6

648. a) tan tan( ) 0 tan tan( ( )) tan tan( ) n n, n b) cos sin 0 cos sin Sini ja kosini eivät saa arvoa nolla yhtä aikaa, joten yhtälö ei toteudu silloin, kun cos = 0. cos sin : cos 0 sin cos tan :( ) tan 5 n, n 6 c) sin cos( ) sin cos( ( )) sin sin( ) n tai ( ) n n : n :( ) n n, n (Ratkaisu n voidaan kirjoittaa myös muodossa n )

649. a) Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain kun > 0. ( + ln ) = + ln = tai + ln = ln = 0 ln = = e 0 = e = Molemmat luvut toteuttavat ehdon > 0. Yhtälön ratkaisu on siis = tai = e. b) Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain kun > 0 ja kun 5 > 0. Nämä ehdot toteutuvat täsmälleen silloin, kun > 0. ln ln 5 + = 0 ln 5 ln + = 0 ln = : ( ) ln e e Luku toteuttaa ehdon > 0. Yhtälön ratkaisu on siis e.

Toinen tapa: Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain kun > 0 ja kun 5 > 0. Nämä ehdot toteutuvat täsmälleen silloin kun > 0. 5 ln 0 ln 5 ln e kerrotaan ristiin, 0 e e Vai positiivinen vaihtoehto toteuttaa ehdon > 0. Yhtälön ratkaisu on siis e. c) 9tan :9 tan tan tai tan tan tan n 5 n, n 6 6 9tan 0 650. Kun ln a b 7, niin silloin a a b 7 e. Kun luku b nyt kasvaa yhdellä lukuun b +, niin luku luvuksi b 7 b 7 b 7 b 7 b 7. e e e e e e e e a b 7 e muuttuu Luku a muuttuu siis e -kertaiseksi.

65. a) sin + sin cos = 0 sin (sin + cos ) = 0 sin = 0 tai sin + cos = 0 = n sin = cos cos 0 sin cos tan n, n 4 b) sin + sin + = 0 merkitään sin = t t + t + = 0 t 4 4 4 t tai t t = sin = n t sin 7 n tai 7 n 6 6 n, n 6

65. a) Luvut ovat niin isoja, että niitä ei voida verrata ottamalla likiarvot laskimella. Koska logaritmifunktio ln on kasva, ln a < ln b täsmälleen silloin, kun a < b. Verrataan siis lukujen logaritmeja. ln e 000 = 000 ln 9876 = 9876 ln = 0849,8 Siis luku B on suurempi. Toinen tapa. Luvut ovat niin isoja, että niitä ei voida verrata ottamalla likiarvot laskimella. Lukuja voidaan nyt verrata kirjoittamlala ne saman kantalvuun avulla. Käyteään kantalukua e. A = e 000 9876 log 9876 ln 9876 9876 ln ( e B e ) ( e ) e Eksponentissa olevan luvun likiarvo voidaan nyt laskea laskimella. 9876 9876ln 0849,8... B e e Koska eksponenttifunktio e on kasvava, niin Siis luku B on suurempi. e 0849,8... e 0000. b) Luvut ovat niin isoja, että niitä ei voida verrata ottamalla likiarvot laskimella. Koska logaritmifunktio ln on kasva, ln a < ln b täsmälleen silloin kun a < b. Verrataan siis lukujen logaritmeja. ln 6 70000 70000 ln 6 499,0... ln 7 60000 60000 ln 7 507,... Siis luku B on suurempi.

65. Koska sin + cos =, saadaan cos = sin. f() = sin cos + = sin ( sin ) + = sin + sin 0 sin 0 sin + sin + Siis funktion f arvot eivät laita lukua tai ylitä lukua. f() = täsmälleen silloin, kun sin = 0, eli kun sin = 0. Näin käy kun n, n. 654. Integraalilla pinta-ala olisi (sin sin )d d. Tämä 0 0 sievennetty määrätty integraali kertoo välillä [0, ] positiivisia arvoja saavan funktion ja -akselin välillä [0, ] rajaaman alueen pinta-alan. Tämä alue on suorakulmainen kolmio, jonka kanta on ja korkeus. Joten sen pinta-ala on.

655. a) Koska f( + ) = f() kaikilla, kyseessä on jaksollinen funktio, jonka jakso on. Eräs tällainen funktio on sin () ja toinen tällainen funktio on cos (). sin ( 0) = sin 0 = 0, joten se ei kelpaa. cos ( 0) = cos 0 =, joten se kelpaa. Voidaan siis valita f() = cos (). Kaikki tehtävänannon ehdot täyttävät funktiot kelpaavat. b) Muistetaan, että logaritmille pätee log a y = log a + log a y. Lisäksi logaritmifunktio log a on määritelty, kun > 0. Funtioksi f voidaan siis valita mikä tahansa funktio f() = log a, a > 0, a. Valitaan vaikkapa f() = ln. Kaikki tehtävänannon ehdot täyttävät funktiot kelpaavat.

656. a) Vektorin OP cost i sin t j loppupisteen P koordinaatit on P = (cos t, sin t). Muistetaan, että yksikköympyrällä kehäpisteen -koordinaatti on kulman kosini ja kehäpisteen y-koordinaatti on kulman sini. Piste P on siis yksikköympyrällä. Kun kulma t käy läpi kaikki kulmat välillä [0, ], piste P käy läpi kaikki yksikköympyrän pisteet. Ne siis muodostavat yksikköympyrän, eli ympyrän jonka keskipiste on origossa ja säde on yksi, eli käyrän + y =. Tarkistetaan asia piirtämällä ohjelmalla liu un avulla pisteitä (cos t, sin t) kun 0 t. b) Jatkamalla a-kohdan päättelyä, kun kulma t käy läpi arvot [0, ], piste P käy läpi vain yksikköympyrän -akselin yläpuolisen osan, eli muodostuu käyrä + y = jossa y 0. Tämä voidaan kirjoittaa myös muodossa y josta saadaan y. Tarkistetaan asia piirtämällä ohjelmalla liu un avulla pisteitä (cos t, sin t) kun 0 t.

c) Jatkamalla a-kohdan päättelyä, kun kulma t käy läpi arvot [, ], piste P käy läpi vain yksikköympyrän -akselin alapuolisen osan, eli muodostuu käyrä + y = jossa y 0. Tämä voidaan kirjoittaa myös muodossa y josta saadaan y. Tarkistetaan asia piirtämällä ohjelmalla liu un avulla pisteitä (cos t, sin t) kun t.

657. Kolmion suurin kulma on aina pisintä sivua vastaan, joten tylpän kulman vastainen sivu on 9. Kulman α kosini saadaan kosinilauseella. 9 5656cos cos Ratkaistaan kulman sini. sin cos sin sin Koska kulma on tylppä, sen sini on positiivinen, siis sin. Kolmion pinta-ala on A 56sin 56 0.

658. Piirretään tilanteesta kuva. ja Eli f (). ja Eli f () 4. ) Tarkastellaan funktion f suurinta arvoa. Tarkastellaan ensin välin päätekohta =. Funktio f ei voi saada funktiota suurempia arvoja, joten sen suurin arvo on enintään 4. Pienimmillään kohdassa = funktio f saa arvon. Eli sen suurin arvo on vähintään. Välin alkukohdassa = ei saada tätä suurempia arvoja. Missään välin < < kohdassa ei voida saada arvoa 4 suurempia arvoja. Näin ollen funktion f suurin arvo on välillä [, 4]. ) Tarkastellaan funktion f pienintä arvoa. Tarkastellaan ensin välin alkukohta =. Funktio f ei voi saada funktiota pienempiä arvoja, joten sen pienin arvo on vähintään. Suurimmillaan kohdassa = funktio f saa arvon. Eli sen pienin suurin arvo on enintään Välin loppukohdassa = ei saada tätä pienempiä arvoja. Missään välin < < kohdassa ei voida saada arvoa pienempiä arvoja. Näin ollen funktion f pienin arvo on välillä [, ].

) Tarkastellaan yhtälöitä f() = ja f() =,5. Funktion pienin arvo on välillä [, ] = [,4 ; ] ja suurin arvo välillä [,4]. Molemmat luvut ja,5 ovat tällä välillä. Eli yhtälöillä voisi olla ratkaisuja. Muta kuitenkin esimerkiksi funktio f() = täyttää tehtävänannon ehdot. Tällä valinnalla yhtälöillä f() = ja f() =,5 ei ole ratkaisuja. Ei siis voida sanoa, että yhtälöille löytyy ratkaisuja. 659. a) Logaritmi on määritelty silloin kun > 0. = 0 ( ) = 0 = 0 tai = Funktio on siis määritelty kun 0 < <. Luonnollinen logaritmi saa suuriman arvonsa, kun se lasketaan mahdollisimman suuresta luvusta. Alaspäin aukeava paraabeli saa suurimman arvonsa huipussa, joka on nollakohtien puolivälissä kohdassa. funktion suurin arvo on siis f ( ) ln( ( ) ) ln 9. 4 b) Neliöjuuri on määritelty silloin kun 7 0. 7 = 0 (7 ) = 0 = 0 tai = 7 Funktio on siis määritelty kun 0 7. Neliöjuuri saa suuriman arvonsa, kun se lasketaan mahdollisimman suuresta luvusta. Alaspäin aukeava paraabeli saa suurimman arvonsa huipussa, joka on nollakohtien puolivälissä kohdassa 7. funktion suurin arvo on siis f ( 7 ) 7 7 ( 7 ) 49 7. 4

660. Merkitään mopoilijan nopeutta km/h. Mopoilijalta kului 58 km matkaan 58 h. Nyt autoilijan nopeus on km/h. Autoilijalta kuluin 58 km matkaan 58 h 9 h. Koska 40 min 40 h h, 60 saadaan yhtälö 58 9. Tämän yhtälön ratkaisu on 4,5 (km/h). Mopon keskinopeus oli siis 4,5 km/h ja auton 87 km/h.

66. a) Merkitään alkuperäistä aineen määrää kirjaimella M ja vuotuisen muutoksen prosenttikerrointa kirjaimella k. Saadaan yhtälö 9 k M M. Tämän yhtälön ratkaisu on k 9 0,976... Aineesta siis häviää 0,9764 = 0,06,4 % vuodessa. Aine on vähentynyt kolmannekseen, kun M 9 M. Tämän yhtälön ratkaisu on t= 45,96 Aikaa kuluu siis noin 46 vuotta. b) Kohdan a perusteella aineenmäärä kuvaa funktio f() t M 9. Kirjoitetaan tämä lauseke pyydetyssä muodossa. 9 t ln 9 ln 9 t t f() t M M ( e ) M e Siis ln 9, mistä saadaan ln 9. Tätä lauseketta voi halutessaan myös sieventää. 9 9 ln ln ln( ) ln( ) ln( ) ln 9 9 9 9 t t

Toinen tapa: Kohdan a perusteella aineenmäärä kuvaa funktio f() t M 9. Kirjoitetaan tämä lauseke pyydetyssä muodossa. t f() t M 9 ln 9 t M ( e ) M e M e M e M e M e M e Siis ln. 9 ln 9 t ln( ) 9 t ln( ) t 9 ln() t 9 ln t 9 ln t 9 t

66. a) Merkitään valon intensiteettiä veden pinnanan tasolla kirjaimella M ja jokaisen metrin aiheuttaman muutoksen prosenttikerrointa kirjaimella 5 k. Saadaan yhtälö k M M. Tämän yhtälön ratkaisu on k 0,870... 5 Valon intensiteetti siis vähenee 0,870 = 0,9... % jokaista metriä kohden. b) 7,5 metrin syvyydessä valonintensiteetti on M M 0,78... Eli jäljellä on 8 % vedenpinnan intensiteetistä. 5 7,5

66. Piirretään tilanteesta kuva. Kuvan merkinnöillä tehtävässä kysytään lukua, kun a + b = 8. Kirjoitetaan luvut a ja b muuttujan avulla. Pythagoraan lauseella saadaan b 4,0 b b 6 (tai 6 ). a (4,0 ),0 a 8 7 (tai a 8 7 ). Saadaan siis yhtälö ab 87 6 8. Tämän yhtälön ratkaisu on = 0,9 tai 5,0. Näistä vaon 0,9 on mahdollinen arvo, sillä seinänkorkeus on 5 m. Kaapeli on siis nurkan kohdalla cm korkeudella maasta.

664. Logaritmi on määritelty kun sin > 0, eli täsmällen silloin kun sin 0, eli kun n, n. Yhtälö ln sin = 0 toteutuu kun sin = eli kun sin = tai kun sin =. Nämä yhtälöt toteutuvat, kun n, n. Kaikki nämä kulmat toteuttavat ehdon n, n. Yhtälön f() = 0 ratkaisu on siis n, n. 665. cos cos + 4 4 + cos 7 Lausekkeen 4 + cos arvo on siis välillä [, 7]. Näin ollen lauseke 5 saa suurimmillaan arvon 5 5 4 cos ja pienimillään arvon 5. 7 Arvo 5 saadaan, kun 4 + cos =, eli kun cos =. Näin käy kun n, n. Arvo 5 saadaan kun 4 + cos = 7, eli kun cos =. 7 Näin käy kun n, n.

666. Lauseke a on määritelty kun a + 0 eli kun a. Lähdetään ratkaisemaan yhtälöä. cos acos cos acos ( a)cos Yhtälö ei toteudu, jos a 0, eli jos a. Näin ei käy millään a:n arvolla, eli kerroin a 0. ( a) cos : ( a) cos a Koska cos, yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain kun. Tämän kaksoisepäyhtälön ratkaisu on a 0. a Kaikki nämä luvut toteuttavat ehdon a. Yhtälöllä on siis ratkaisuja kun a 0.

667. Sijoitetaan pisteet koordinaatistoon. Kuvan perusteella suora ei sovi malliksi. Kokeillaan.,., asteen polynomeja. Sekä toisen, että kolmannen asteenpolynomit näyttät kuvaavan tilannetta hyvin. Valitaan malliksi toisen asteen polynomifunktio. Kun nopeus on 90 km/h mallin mukainen kulutus on f(90) = 5,95 6,0 litraa.

Etsitään ohjelman toiminnolla pienin kulutus. Mallin mukaan kulutus on pienin kun nopeuden ollessa noin 68 km/h. Vastaukset riippuvat valitus polunomimallin asteesta.

668. Koska kehältä valitun pisteen korkeus nousee ja laskee säännöllisesti ympyrän kehällä, kuvataan sen korkeutta funktion f() = Asin(C + D) + B avulla. Määritetään vakiot A, B, C ja D. Kehän etäisyys pyörimisakselista, eli kehäympyrän säde on 5 m ja halkaisija 50 m. Kehän laki on 54 m korkeudessa. Näin ollen alin korkeus on 54 m 50 m = 4m. Siis 4 f() 54. Tämän tiedon avulla saadaan vakiot A ja B. sin(c + D) 5 (ympyrän säde) 5 5sin(C + D) 5 + 9 4 5sin(C + D) + 9 54 Maailmanpyörä pyörähtää täyden kierroksen 6 minuutissa, eli funktion f perusjakso 6, josta 6C C ja edelleen C. Määritetän vakio D sen tiedon avulla, että f(0) = 4. f (0) 5sin( 0 D) 9 5sin( D) 9 4 5sin D 5 : 5 sin D Eräs tämän ehdon täyttävä luku on. Siis f ( ) 5sin( ) 9.

Tarkistetaan piirtämällä, että kuva näyttää siltä miltä pitääkin. Määritetään, milloin tarkastelupiste on 0 m korkeudella, eli ratkaistaan yhtälö 5sin( ) 9 0. Kaksi ensimmäistä ratkaisua ovat ensimmäisen kierroksen aikana, joten etsitään yhtälön välillä 0 < < 6 olevat ratkaisut. Saadaan =,48 min min 9 s ja = 4,85 min 4 min 5 s.

669. a) Kuuloskynnyksellä 0 db saadaanyhtälö 0 0lg I I. Ratkaistaan tästä kipukynnystä vastaava intensiteetti I. 0 0lg I :0 I0 log I 0 I0 I 0 I0 I0 I 0 I 0 Kipukynnyksen desibelimäärän intensiteetti on siis 0 -kertainen. b) Intensiteetillä I pätee L 0lg I I. Kun intensiteetti 000-kertaistuu lukuun 000I saadaan desibelilukemaksi 0lg 000I 0lg(000 I ) I0 I0 0(log0000 lg I ) I0 0( lg I ) I0 0 0lg I I0 0 L Desibelilukema siis kasvaa 0:llä. 0 0

c) Arvolla 85 db saadaan yhtälö 85 85 0lg I ja 5 db:llä kasvanut 90 I 0 db:n arvolla saadaan yhtälö intensiteetit. I85 85 0lg :0 I0 I85 8,5 log0 I0 I85 8,5 0 I0 I0 8,5 I 0 I 85 0 I Ratkaistaan näistä 90 0lg 5 I. 0 9 90 0lg :0 I0 9 log I I I 9 0 9 0 I 0 9 9 0 I0 I I 9 0 I 0 Lasketaan sitten intensiteettien suhde. 9 I 9 9 0 I0 0 98,5 0,5 0 0,6... 6,...% 8,5 8,5 I 0 I 0 85 0 Intensiteetti on siis kasvanut noin 6 %.

SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 670. Hahmotellaan kulmia 5 asteen välein yksikköympyrään. (Käytetyt komennot syötekentässä ovat: ^+y^= A=(0,0) Jono((cos(n ),sin(n )),n,5,80,5) Jono(Jana(A,L(n)),n,,80/5,) Koska cos α on kehäpisteen -koordinaatti, huomataan, että yhteenlaskussa löytyy pareittain kulmat, joiden -koordinaatit ovat toistensa vastaluvut, eli niiden summa on nolla. Suplementtikulmien kosinit ovat toistensa vastaluvut, joiden summa on nolla. Näin saadaan cos + cos 79 = 0 cos + cos 78 = 0 cos + cos 77 = 0 cos 89 + cos 9 = 0 Ainoat kulmat, jotka eivät näin kumoudu ovat cos 90 = 0 ja cos 80 =. Siis cos + cos + cos + + cos 80 =.

67. f ab f ab e e e e ( ab ab ab ab e e e e ) ab ( ab) ab ( ab) ( ) ( ) ( ) ( ) Tarkistetaan sitten, mitä toinen lauseke antaa, jotta tiedetään, mihin tähdätään. a a ( ) ( ) ( ) b b f a f b e e ( e e ) ( a a )( b b e e e e ) ( a b a b a b a b e e e e e e e e ) ( ab ab ab ab e e e e ) Tämä on täsmälleen sama, kuin edellä, joten on osoitettu, että tällä funktiolla f(a + b) + f(a b) = f(a)f(b).

67. a) Logaritmi log y on määritelty kun > 0 kun y > 0, y. Logaritmi log y on määritelty, kun y > 0 kun > 0,. Kaikki ehdot ovat voimassa, eli yhtälö muodostaa käyrän, kun > 0, y > 0 ja 0 ja y 0. Koordinaatiston ensimmäisessä neljänneksessä on > 0 ja y < 0. Näin lausekkeiden määrittelyehdoista nähdään, että käyrä sijaitsee kokonaisuudessaan koordinaatiston ensimmäisessä neljänneksessä. b) Muokataan yhtälöä kirjoittamalla molemmat logaritmit saman kantaluvun avulla. Valitaan kantaluvuksi. log y log y log log y log y log y log y0 log y (log y) (log y) log y log y y y y y Käyrä siis koostuu kahdesta osasta, suorasta y = ja hyperbelistä y, kun > 0 ja, mikä kuvastakin näkyy.

Toinen tapa: Muokataan yhtälöä kirjoittamalla molemmat logaritmit saman kantaluvun avulla. Valitaan kantaluvuksi y. log y log y log y y log y log y log l y log y 0 log y (log y ) log y log y y y y y, 0, y 0 y y Käyrä siis koostuu kahdesta osasta, suorasta y = ja hyperbelistä y, kun > 0 ja, mikä kuvastakin näkyy. Kolmas tapa: Muokataan yhtälöä kirjoittamalla molemmat logartimit saman kantaluvun avulla. Koska ja y, kaikilla luvuilla k > 0 ja k pätee log k 0 ja log k y 0. Kantaluvuksi voidaan siis valita mikä luku k > 0, k tahansa. Valitaan kantaluvuksi e. log y log y ln ln y kerrotaan ristiin, ln 0,ln y ln y ln (ln ) (ln y) ln ln y ln ln y y ln ln y y y, 0, y 0 y y Käyrä siis koostuu kahdesta osasta, suorasta y = ja hyperbelistä y, kun > 0 ja, mikä kuvastakin näkyy.

67. a) Vektorin ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan täsmälleen silloin, kun niiden pistetulo on nolla. ab (cos sin )(cos sin ) (sin cos )(sin cos ) cos cossin sincos sin sin sincos cossin cos cos sin (cos sin ) 0 b) Kun 0 saadaan a (cos0 sin 0) i j (sin 0 cos0) k ( 0) i j (0 ) k i j k b (cos0 sin 0) i j (sin 0 cos0) k ( 0) i j (0 ) k i j k Nyt satb s( i j k) t( i j k) ( s ti ) ( st) j( st) k st Tästä saadaan yhtälöryhmä s t st 0. Kaksi ensimmäistä yhtälöä eivät voi toteutua samoilla vakioiden s ja t arvoilla, joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Ei siis ole kertoimia s ja t, joila i j sa tb.

674. Muokataan funktioin lauseketta taulukosta löytyviä kaavoja käyttäen. f() = sin + sin + sin = sin 4sin + sin cos + sin = 4sin 4sin + sin cos = sin (4 4sin + cos ) = 0 sin = 0 eli n, n tai 4 4sin + cos = 0 4 4( cos ) + cos = 0 4 4 + 4cos + cos = 0 cos (cos + ) = 0 cos = 0 tai cos + = 0 cos = 0 cos n, n n, tai n n Siis n tai n tai n n n tai

675. Taulukosta löytyvän kaavan avulla saadaan sin( ) sin cos cossin 6 6 6 sin cos Koska kaksinkertaisen kulman sinille on vain yksi kaava, muokataan lauseketta seuraavaksi sen avulla. sin cos sin cos cos sin cos cos Tästä päästään eteenpäin tiedon tan =, eli sin, avulla, sillä nyt cos sin = cos. sin cos cos cos cos cos cos cos Valitaan kaksinkertaisen kulman kosinin kaavoista se, jossa on vain cos. cos cos cos (cos ) cos cos ( )cos Koska nyt sin = cos ja aina sin + cos =, saadaan 4cos + cos =, mistä edelleen cos. 5 Siis ( )cos ( ) 4 5 4 5 5 0 0 0 Siis sin( ) 4. 6 0

676. tan tan sin cos cos cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos cos sin cos sin( ) sin

sin tan cos tan sin cos cos sin cos cos cos sin cos cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos( ) cos cos 677. cos t = cos(t + t) = cos t cos t sin t sin t = cos t(cos t ) sin t sin t cos t = cos t cos t sin t cos t = cos t cos t ( cos t)cos t = cos t cos t cos t + cos t = 4cos t cos t 8 6 = 0 8cos 6cos (4cos cos ) 9 9 9 9 (cos( )) 9 (cos( )) 0