Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi termistä säteilyä (lämpösäteilyä), jonka spektri riippuu ainoastaan kappaleen lämpötilasta. Säteilyyn ei vaikuta lainkaan kappaleen materiaali ja muoto. Mustan kappaleen lähettämä lämpösäteily on jatkuvaspektristä sähkömagneettista säteilyä. Vaikka musta kappale on ideaalinen säteilijän malli, käytännössä monet kappaleet säteilevät lähes kuten musta kappale. Esimerkiksi uuni, jossa on pieni reikä, keittolevy, Aurinko ja muut tähdet säteilevät mustan kappaleen tavoin. Myös avaruudesta tuleva ja maailmankaikkeuden varhaisajoilta peräisin oleva ns. kolmen kelvinin (2,73 K) terminen taustasäteily noudattaa varsin tarkoin mustan kappaleen säteilyspektriä. Mustan kappaleen säteily syntyy (reiällisessä) ontelossa, jonka seinämät absorboivat kaiken niihin osuvan säteilyn. Säiliön sisällä oleva säteily ja seinämät ovat termodynaamisessa tasapainotilassa. Lämpötila pysyy vakona ja ympäristön lämpötilassa oleva musta kappale säteilee yhtä paljon kuin se absorboi energiaa. Koska säteilyenergia muuttuu koko ajan seinämien atomien lämpöliikkeeksi ja tämä takaisin säteilyksi, käytetään säteilystä Kuva 1. Musta kappale nimitystä terminen säteily. Säteilystä käytetään muulloinkin nimitystä terminen säteily, jos se noudattaa likimain Planckin säteilylakia. Musta kappale nimitys ei siis tarkoita väriltään mustaa kappaletta, vaan se on ainoastaan nimitys. Tiettyä lämpötilaa vastaa aina tietty säteilyn jakauma, joka noudattaa Planckin säteilylakia. Planckin laki voidaan johtaa kvanttistatistiikasta: Max Planck johti tämän lain vuonna 1900 olettamalla atomaariset kiinteän aineen lämpövärähtelyt kvantittuneiksi. Kvanttifysiikan perusprinsiippi on, että säteilijän, atomin, energia on kvantittunut. Säteilykvantin eli fotonin energia saadaan Planckin vakion h ja taajuuden f tulona E = hf (Planckin laki). Planckin säteilylain mukaan lämpötilassa T oleva kappale säteilee taajuudella ν intensiteetillä

I f (T) = 2hf3 c 2 1 e hf/kt 1 (1) missä If = säteilyn intensiteetti (energiatiheys, /m 2 ), f = säteilyn taajuus (Hz), f = c (λ = aallonpituus, c = valon nopeus), λ T = mustan kappaleen absoluuttinen lämpötila (K), h = Planckin vakio = 6,6260693 10-34 Js, c = valon nopeus = 2,99792458 10 8 m/s, k = Boltzmannin vakio = 1,3806505 10-23 J/K, e = Neperin luku = 2,718281828 Planckin säteilylaki voidaan kirjoittaa myös aallonpituuden funktiona, kun asetetaan: I f df = I λ dλ (2) Miinusmerkki johtuu siitä, että aallonpituus λ pienenee, kun taajuus f kasvaa aaltoliikeopin yhtälön f = c/ λ mukaisesti. df = c dλ λ 2, joten yhtälöstä (1) saadaan: I df λ = I f = I dλ f Planckin säteilylaki (1) saadaan näin muotoon c λ 2. I λ (T) = 2hf3 c 2 c λ 2 1 e /λkt 1 I λ (T) = 2h(c λ )3 c 2 c λ 2 1 e /λkt 1 I λ (T) = 23 λ 3 c 1 c 2 λ 2 e /λkt 1 I λ (T) = 22 λ 5 1 e /λkt 1 (3) Kuva 2. Mustan kappaleen säteilyspektri eri lämpötiloissa. Planckin lain (3) keksiminen ja säteilyn kvantittumisen periaate ratkaisi klassista fysiikkaa vaivaan ns. ultraviolettikatastrofiongelman, jonka mukaan lyhyillä aallonpituuksilla lämpösäteilyn intensiteetti olisi noussut äärettömän suureksi ns. Rayleigh n Jeansin lain mukaan:

I λ (T) = 2ckT λ 4 (4) Kuva 3. Mustan kappaleen säteilyspektri (Planck) ja ultraviolettikatastrofi klassisen mallin mukaan. T1 < T2 < T3. Rayleigh n Jeansin laki on approksimaatio eli likimääräistys Planckin säteilylaista (3), kun aallonpituus λ on suuri (λ >> λ max ). Suurilla aallonpituuksilla (λ >> λ max ) on /λkt << 1 ja sarjakehitelmällä saadaan e /λkt 1 /λkt + 1 1 = /λkt (MAOL s. 21), jolloin Planckin säteilylaki laki (3) tulee muotoon I λ (T) 22 λ 5 1 /λkt joka on Rayleigh n Jeansin laki. I λ (T) = 22 λkt λ 5 = 2ckT λ 4, Klassinen fysiikka antoi mustan kappaleen säteilylaiksi pelkästään Rayleig n Jeansin lain. Rayleigh n Jeansin laista (4) nähdään, että aallonpituuden pienentyessä säteilyn intensiteetti kasvaa rajatta (lähenee ääretöntä! ks. kuva 3). Havaintojen mukaan näin ei käynyt. Tämä ristiriita oli nimeltään ultraviolettikatastrofi, johon vasta Planckin kvanttihypoteesi E = hf ja kvanttimekaaninen Planckin säteilylaki (3) antoi ratkaisun.

Planckin säteilylaista voidaan johtaa myös ns. ienin siirtymälaki, joka ilmoittaa mustan kappaleen säteilyn intensiteetin maksimikohtaa vastaavan aallonpituuden λ max yhteyden annetussa lämpötilassa T. ienin siirtymälaki voidaan kirjoittaa muotoon: Tλ max = b (5) missä T = mustan kappaleen absoluuttinen lämpötila (K), λ max = säteilyn intensiteetin maksimikohtaa vastaava aallonpituus (m), c = λf (aaltoliikkeen perusyhtälö), b = ienin siirtymälain vakio, b = 2,897768 10-3 m K. (MAOL s.71) ienin siirtymälain avulla voidaan määrittää esim. tähtien pintalämpötiloja. Kuva 4. ienin siirtymälaki Tλ max = b ilmoittaa mustan kappaleen spektrin intensiteetin maksimikohtaa vastaavan aallonpituuden λmax ja absoluuttisen lämpötilan T yhteyden. ienin siirtymälaki (5) voidaan puolestaan johtaa Planckin säteilylaista (3) derivoimalla. Intensiteettijakauman I λ (T) = 22 λ 5 1 e /λkt 1 maksimikohta löydetään derivaatan nollakohdasta, joka saadaan riittävällä tarkkuudella käyttämällä likimääräistystä: e /λkt 1. Tällöin saadaan e /λkt 1 e /λkt, kun aallonpituus λ on sopivan pieni. Derivoidaan Planckin säteilylaki I λ (T) = 22 λ 5 1 e /λkt 1 aallonpituuden suhteen, jolloin saadaan

dλ = d dλ ( 2 2 λ 5 (e /λkt ) ) = d dλ [22 λ 5 (e 1 λkt 1) ] dλ = 22 [ 5λ 6 (e λkt 1) 1] + λ 5 [ (e 2 λkt 1) e dλ = 22 [ 5λ 6 (e λkt 1) 1] + λ 5 [ (e 2 λkt 1) e λkt ( λkt ( λ 2 kt )] λ 2 kt )] Derivoinnissa on käytetty derivoimissääntöjä: Dkf = kdf, Dfg = Df+Dg, Dx n = nx n-1, Dg(f(x)) = g (f(x))f (x), De f(x) = e f(x) f (x). (ks. MAOL s. 41). Sieventämällä (ottamalla yhteinen tekijä) edellä olevaa lauseketta saadaan edelleen dλ = 22 λ 5 (e 1 λkt 1) [ 5λ 1 + 1 λ 2 (eλkt 1) e λkt ] kt dλ = 22 λ 5 (e λkt 1) 1 [ 5λ 1 + kt λ 2 e e λkt λkt 1 ] dλ = 22 λ 5 (eλkt) 1 [ 5λ 1 + e /λkt 1 e /λkt (λ pieni) kt λ 2 e dλ = 22 λ 5 (eλkt) 1 [ 5λ 1 + kt λ 2 ] dλ = 22 e λkt λ 7 ( 5λ + kt ) λkt e λkt Derivaatan nollakohta: I λ = = 0 dλ Derivaatan yhtälössä sulkulausekkeen edessä olevat termit ovat kaikki positiivisia, joten derivaatan nollakohta I λ = 0 on likimain = dλ ]

sulkulausekkeen sisällä olevan yhtälön 5λ + kt = 0 ratkaisu. 5λ + kt = 0 5λ = kt λ = 5kT. Funktion f(λ) = 5λ + kt suoran kulmakerroin k = -5 < 0. Derivaatan I λ nollakohta λ = kuvaaja on laskeva suora, koska 5kT on maksimikohta, koska derivaatta muuttaa tässä kohdassa etumerkkinsä positiivisesta negatiiviseksi (ks. merkkikaavio). I λ MAX + - I λ λ Kuva 5. Kulkukaavio. 5kT ienin siirtymälaki saadaan tästä derivaatan nollakohdasta: λ max = 5kT T Sijoitetaan tarvittavat luonnonvakiot h, c ja k (MAOL s. 70-71) edellä olevaan yhtälöön, jolloin saadaan Tλ max = 5k 5kT = 6,6260693 m 10 34 Js 2,99792458 108 s 5 1,3806505 10 23 J K Tλ max 2,87755026 10 3 m K Tλ max 2,878 μm K. Tämä on ienin siirtymälaki, joka on muotoa Tλ max = b, missä b = ienin siirtymälain vakio, b = 2,897768 10-3 m K. (MAOL s. 71).

Mustan kappaleen säteilyn kokonaisintensiteetille pätee ns. Stefanin ja Boltzmannin laki I = σt 4 (6) missä I on mustan kappaleen säteilyn kokonaisintensiteetti (/m 2 ) T = mustan kappaleen termodynaaminen lämpötila (K) σ = Stefanin-Boltzmannin vakio; σ = 5,670400 10 8 m 2 K 4 (MAOL s. 71). Mustan kappaleen säteilyn kokonaisintensiteetti on siis suoraan verrannollinen absoluuttisen lämpötilan neljänteen potenssiin. Johdetaan Stefanin ja Boltzmannin laki Planckin säteilylaista. Kummankin funktion I f (T) ja I λ (T) avulla voidaan laskea mustan kappaleen säteilijän kokonaisintensiteetti integroimalla. I f df = I λ dλ 0 Kokonaisintensiteetti I on suoraan verrannollinen säteilyspektrin I = I(λ) pinta-alaan. Kuva 6. Mustan kappaleen säteilyspektri. Integroidaan Planckin laki (3) I f (T) = 2hf3 c 2 1 e hf/kt 1 kokonaisintensiteetin laskemiseksi. 0 I(T) = I f df = 0 2h f 3 df c 2 0 e hf/kt 1 (*) Otetaan uudeksi integroimismuuttajaksi x = hf/kt, jolloin dx = hdf df = kt h dx.taajuus f = ktx h. Näillä sijoituksilla integraali (*) tulee muotoon kt ja I(T) = 2h ( c 2 0 ktx h )3 kt h dx e x 1 = 2h ( c 2 0 ktx h )3 kt h dx e x 1 b I(T) = 2h c 2 0 k3t3x3 kt h 3 h dx e x 1 = 2h c 2 0 k4t4x3 h 4 dx e x 1

I(T) = 2hk4 c 2 h 4 T4 x3 dx 0 e x 1 (**) Yhtälön oikea puoli on standardi-integraali, jonka arvo on x3 dx = π4. Sijoittamalla tämä integraalin arvo edellä olevaan 0 e x 1 15 lausekkeeseen (**) saadaan mustan kappaleen kokonaisintensiteetille lauseke 2k 4 4 = 2k 4 π 4 15 I(T) = c 2 h 3 T4 π 15c 2 h 3 T4 Edellä olevassa kokonaisintensiteetin lausekkeessa esiintyy lukuun ottamatta tekijää T 4 pelkkiä vakioita, joten kokonaisintensiteetille pätee lauseke I(T) = A T 4, missä I(T) = mustan kappaleen säteilyn kokonaisintensiteetti (/m 2 ), A = 2k4 π 4 on vakio, 15c 2 h3 T = mustan kappaleen säteilijän absoluuttinen lämpötila (K). Mustan kappaleen säteilemän energiavuon tiheys on isotrooppiselle eli suunnasta riippumattomalle säteilylle on π I f (T), joten Stefanin Ja Boltzmannin laki voidaan nyt kirjoittaa muotoon I(T) = σ T 4 missä σ = πa = Stefanin-Boltzmannin vakio; σ = 5,670400 10 8 m 2 K 4. (MAOL s. 71). Mustan kappaleen säteilyn kokonaisintensiteetti on siis suoraan verrannollinen absoluuttisen lämpötilan neljänteen potenssiin. Lasketaan vakio A ja Stefanin Boltzmannin vakio σ = πa. A = 2k4 π 4 15c 2 h 3 = 2 (1,3806505 10 23 J/K) 4 π 4 15 (2,99792458 10 8 m/s) 2 (6,6260693 10 34 Js) 3 (liian pieniä lukuja laskimeen!) A = 1,804945297 10 8 m 2 K 4. σ = π A = π 1,804945297 10 8 5, 6704 10 8 m 2 K 4. m 2 (Vihje: laske luvut erikseen ja 10-potenssit erikseen). K4

Yksikkötarkastelu. A = A = 2[k]4 π 4 15[c] 2 [h] 3 = J K 4 m 2 s = J m 2 s K 4 = σ = 5,670400 10 8 m 2 K 4. Oikein. 4 J [k]4 [c] 2 [h] 3 = ( K ) ( m = s )2 (Js) 3 J 4 K 4 m 2 s 2 J3 s 3 m 2 K4. σ = πa = Stefanin-Boltzmannin vakio; ******************************************************************************** Esim. 1. 1) Mikä on Rigel-tähden lämpötila, kun sen säteilyn intensiteetillä on maksimi aallonpituudella 145 nm? Ratkaisu. Tähteä voidaan pitää ns. mustan kappaleen säteilijänä, jolla säteilyn intensiteetin maksimikohtaa vastaava aallonpituus λ max ja lämpötila T noudattavat ienin siirtymälakia: Tλ max = b. Tλ max = b T = b λ max = 2,897768 10 3 m K 145 10 9 m 19984,61 K T 20 000 K. Vastaus: Rigel-tähden lämpötila on 20 000 K.

Esim. 2. ienin siirtymälaki Tλ max = b ilmoittaa mustan kappaleen absoluuttisin lämpötilan T ja säteilyn intensiteettijakauman maksimikohtaa vastaavan aallonpituuden λmax välisen riippuvuuden. Millä aallonpituuden arvolla kosmisella taustasäteilyllä, joka vastaa lämpötilaa 2,73 K, on intensiteettimaksiminsa? (ienin siirtymislain vakio b = 2,897768 10 3 m K). Ratkaisu. Tλ max = b λ max = b T = 2,897768 10 3 m K 2,73 K 1,061 10 3 m λmax 1,1 mm. (Radioaallot, ks. MAOL s. 88). Vastaus: 1,1 mm. Esim. 3. Maanpinnan nopea jäähtyminen kirkkaina talviöinä johtuu siitä, että maanpinnasta säteilee energiaa avaruuteen. Jos taivas on pilvessä, suuri osa säteilystä heijastuu pilvistä, jolloin lämpöenergian menetys pienenee. Oletetaan, että maanpinnan lämpötila on 10 o C ja se säteilee kuin musta kappale. Mikä on maanpinnan lähettämän säteilyn kokonaisintensiteetti eli säteilyteho neliömetriä kohti? Ratkaisu. Stefanin ja Boltzmannin lain mukaan kokonaisintensiteetti on suoraan verrannollinen absoluuttisen lämpötilan neljänteen potenssiin: I(T) = σ T 4. Lämpötila T = (10 + 273,15) K = 283,15 K. I(T) = 5,670400 10 8 I(T) 364 /m 2. m 2 K 4 (283,15 K)4 364,49 m 2. Vastaus: Kokonaisintensiteetti eli säteilyteho neliömetriä kohti on noin 360 /m 2.