Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009
Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori.......... 3 2.2 Konjugointi ryhmässä....................... 4 3 Perustuloksia 6 4 Sovellus symmetriseen ryhmään S 4 8 Viitteet 10 1
1 Johdanto Tässä aineessa esitetään aliryhmän sentralisaattorin ja normalisaattorin käsitteet ja konjugointi ryhmässä, sekä muutamia näihin liittyviä perustuloksia. Lisäksi käsitteitä selvennetään lukijalle esimerkin avulla. Aineen luvut 23 perustuvat teokseen [1]. Luku 4 on kirjoittajan omaa tuotantoa. Lukijan oletetaan tuntevan kurssin Algebran peruskurssi I ryhmäteoriaa koskevat asiat. Intuitiivisesti normalisaattorin avulla voidaan mitata kuinka normaali annettu ryhmän aliryhmä on. Äärellisen ryhmän tapauksessa mitä suurempi aliryhmän normalisaattori on, sitä normaalimpi aliryhmä on. Sentralisaattori sen sijaan mittaa aliryhmän kommutatiivisuutta koko ryhmän kanssa. Jos tutkittava ryhmä on Abelin ryhmä, niin käsitteet normalisaattori ja sentralisaattori eivät ole kiinnostavia, koska Abelin ryhmä on kommutatiivinen ja sen kaikki aliryhmät ovat normaaleja. Luvussa 2.1 esitetään aliryhmän sentralisaattorin ja normalisaattorin käsitteet ja osoitetaan niille muutama perusominaisuus. Luvussa 2.2 palautetaan mieleen Algebran peruskurssi I -kurssilla lyhyesti esitelty alkion konjugointi ryhmässä. Lisäksi jo tuttua käsitteistöä laajennetaan hieman ja esitellään alkion konjugoinnin kanssa analoginen osajoukon konjugointi. Luvussa 3 edeltäviä tietoja käytetään, ja todistetaan muutamia perustuloksia sentralisaattoreista ja normalisaattoreista. Viimeisessä luvussa tutkitaan sovelluksena symmetrisen ryhmän S 4 erään aliryhmän sentralisaattoria ja normalisaattoria. 2
2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia Tämän aineen loppuun asti joukon G oletetaan olevan ryhmä. Ryhmäoperaatioista käytetään multiplikatiivista merkintätapaa ja ryhmän ykkösalkiota merkitään symbolilla 1. 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Määritelmä 2.1. Olkoon S ryhmän G epätyhjä osajoukko. Joukkoa N G (S) = {x G x 1 Sx = S} = {x G Sx = xs} kutsutaan osajoukon S normalisaattoriksi ryhmässä G. Joukkoa C G (S) = {x G x 1 sx = s s S} = {x G sx = xs s S} kutsutaan osajoukon S sentralisaattoriksi ryhmässä G. Selvästi C G (S) N G (S). Molemmat joukot ovat aina epätyhjiä, sillä 1 C G (S). Mikäli sekaannuksen vaaraa ei ole, niin voidaan merkitä lyhyesti N G (S) = N(S) ja C G (S) = C(S). Jos S koostuu vain yhdestä alkiosta s, niin N G (S) = C G (S). Tällöin voidaan käyttää merkintöjä N G (s) ja C G (s). Muutamaa yksinkertaista huomiota varten palautetaan mieleen aliryhmäkriteeri. Lause 2.2 (Aliryhmäkriteeri). Olkoon G ryhmä, H G ja H. Tällöin H G, jos ja vain jos ab 1 H kaikilla a, b H. Todistus. Katso [2], lause 2.2.6. Joukot N(S) ja C(S) ovat aina ryhmän G aliryhmiä. Osoitetaan tämä esimerkiksi joukolle N(S). Kuten edellä mainittiin, joukko N(S) on epätyhjä. Olkoon a, b N(S). Nyt ab 1 N(S), sillä ba 1 Sab 1 = bsb 1 = S, ja väite seuraa aliryhmäkriteeristä. Samoin voidaan osoittaa, että C(S) G. Koska joukot N(S) ja C(S) ovat ryhmän G aliryhmiä ja C(S) N(S), niin erityisesti on voimassa, että C(S) N(S). 3
Muistetaan, että aliryhmä S G on normaali, jos x 1 Sx = S kaikilla x G. Täten jos S G, niin S N(S). Erityisesti S G, jos ja vain jos N(S) = G. Edelleen aliryhmän S normalisaattori on suurin ryhmän G aliryhmä, jossa S on normaali. 2.2 Konjugointi ryhmässä Palautetaan mieleen alkion konjugointi ryhmässä kurssilta Algebran peruskurssi I. Määritelmä 2.3. Olkoon alkio x G ja joukko S G. Joukkoa x 1 Sx kutsutaan joukon S konjugaattijoukoksi alkion x suhteen. Yhden alkion s G tapauksessa alkiota x 1 sx kutsutaan alkion s konjugaattialkioksi alkion x suhteen. Mikäli ei ole sekaannuksen vaaraa, voidaan konjugaattialkiota tai -joukkoa kutsua pelkästään konjugaatiksi. Jos K G, niin konjugaattijoukkoja tai -alkioita aliryhmän K alkioiden suhteen kutsutaan K-konjugaateiksi. Määritelmä 2.4. Olkoon K ryhmän G aliryhmä. (i) Määritellään relaatio ryhmässä G asettamalla a b, jos alkio a on alkion b K-konjugaatti. (ii) Määritellään relaatio ryhmän G potenssijoukossa asettamalla A B, jos joukko A on joukon B K-konjugaatti. Lause 2.5. Määritelmän 2.4 kohtien (i) ja (ii) relaatiot ovat ekvivalenssirelaatioita. Todistus. Todistetaan, että kohdan (ii) relaatio on ekvivalenssirelaatio. Toinen väite todistettaisiin samaan tapaan. 1 Tiedetään, että 1 K. Koska 1 1 A 1 = A, niin A A. 2 Oletetaan, että A B, eli että k 1 Bk = A jollakin k K. Tästä seuraa, että kak 1 = B, eli että B A, sillä k 1 K. 4
3 Oletetaan, että A B ja B C. Siis A = k 1 Bk ja B = l 1 Cl joillakin k, l K. Tästä seuraa, että A = k 1 l 1 Clk = (lk) 1 Clk eli A C, sillä lk K. Määritelmä 2.6. Määritelmän 2.4 kohdan (i) relaation ekvivalenssiluokkia kutsutaan K-konjugaattien alkioiden luokiksi tai asiayhteyden ollessa selvä lyhyesti konjugaattiluokiksi. Kohdan (ii) relaation ekvivalenssiluokkia kutsutaan K-konjugaattien joukkojen luokiksi. 5
3 Perustuloksia Lause 3.1. Olkoon K ryhmän G aliryhmä ja S ryhmän G epätyhjä osajoukko. Tällöin ekvivalenssiluokassa, joka muodostuu osajoukon S K- konjugaateista, on [K : K N G (S)] alkiota. Todistus. Olkoon x, y K. Nyt x 1 Sx = y 1 Sy, jos ja vain jos Sxy 1 = xy 1 S. Jälkimmäinen yhtälö puolestaan on ekvivalentti sen kanssa, että xy 1 K N G (S). Tämä on taas ekvivalenttia sen kanssa, että x kuuluu oikeaan sivuluokkaan (K N G (S))y, mikä puolestaan on ekvivalenttia sen kanssa, että oikeat sivuluokat (K N G (S))x ja (K N G (S))y ovat samoja. Kaiken kaikkiaan siis x 1 Sx = y 1 Sy, jos ja vain jos (K N G (S))x = (K N G (S))y. Täten kuvaus x 1 Sx (K N G (S))x joukon S K-konjugaattien luokalta kaikille aliryhmän K N G (S) oikeille sivuluokille ryhmässä K on hyvinmääritelty ja bijektio. Oikeita sivuluokkia on [K : K N G (S)] kappaletta, josta väite seuraa. Seuraus 3.2. Jos S G on epätyhjä, niin erillisiä osajoukkoja, jotka ovat joukon S (G-)konjugaatteja, on [G : N(S)] kappaletta. Seuraus 3.3. Jos s G, niin alkion s (G-)konjugaattiluokassa on [G : N(s)] = [G : C(s)] alkiota. Seuraus 3.4. Jos G on äärellinen ja K G, niin minkä tahansa ryhmän G K-konjugaattien joukkojen luokan kardinaliteetti jakaa ryhmän G kertaluvun #G. Vastaavasti minkä tahansa ryhmän G alkion (K-)konjugaattiluokan kardinaliteetti jakaa ryhmän G kertaluvun. Todistus. Todistetaan ensimmäinen väite, jälkimmäinen todistettaisiin vastaavasti. Koska K N G (S) on ryhmän G aliryhmä, niin Lagrangen lauseen mukaan #(K N G (S)) #G. Määritelmä 3.5. Ryhmän G keskus Z(G) = {x G ax = xa a G} on kaikkien niiden ryhmän G alkoiden joukko, jotka kommutoivat jokaisen ryhmän G alkion kanssa. 6
Sentralisaattorin määritelmästä nähdään, että Z(G) = C G (G). Lisäksi määritelmistä havaitaan, että ryhmän G alkio s kuuluu keskukseen, jos ja vain jos C(s) = G. Näin ollen sentralisaattori intuitiivisesti mittaa alkion (tai osajoukon) kuulumista ryhmän keskukseen. Seuraus 3.6. Olkoon G äärellinen ja A ryhmän G kaikkien konjugaattiluokkien edustajisto. Tällöin #G = [G : C(a)] + #Z(G). a A\Z(G) Todistus. Konjugaattiluokat muodostavat ryhmän G partition. Olkoon a A \ Z(G). Seurauksen 3.3 mukaan jokaiseen konjugaattiluokkaan kuuluu [G : C(a)] alkiota. Toisaalta jos a Z(G), niin alkion a konjugaattiluokka koostuu vain yhdestä alkiosta. Keskuksen kertaluku #Z(G) erotettiin summalausekkeesta siksi, että ryhmäteoriassa on usein hyödyllistä tutkia ryhmän keskusta. 7
4 Sovellus symmetriseen ryhmään S 4 Laskutaakan vähentämiseksi todistetaan ensin seuraava lemma. Lemma 4.1. Olkoon n 4, S n symmetrinen ryhmä ja S = {s 1, s 2,..., s k } S n epätyhjä joukko, jonka jokaisella alkiolla on tarkalleen yksi yhteinen kiintopiste a. Tällöin sellaiset ryhmän S n alkiot, joiden kiintopiste a ei ole, eivät kuulu joukon S normalisaattoriin N Sn (S) tai sentralisaattoriin C Sn (S). Todistus. Olkoon x S n \S alkio, jonka kiintopiste a ei ole. Koska C Sn (S) N Sn (S), niin riittää osoittaa, että x N Sn (S) eli, että Sx xs. Jos Sx = xs, niin yhtälö s 1 x = xs t on voimassa jollakin indeksillä 1 t k. Merkitään p = x(a). Siis p a. Joukon S alkiot kuvaavat alkion p {1, 2,..., n} \ {a} joukkoon {1, 2,..., n} \ {a, p}. Nyt s 1 x(a) = s 1 (p) {1, 2,..., n} \ {a, p}. Tutkimalla alkion a kuvautumista yhtälön oikealla puolella, havaitaan kuitenkin, että xs t (a) = x(a) = p. Koska siis s 1 x(a) xs t (a) millä tahansa indeksillä t, ovat myös kuvaukset s 1 x ja xs t erisuuret kaikilla indekseillä t. Seuraa siis ristiriita, joten Sx xs. Esimerkki 4.2. Tarkastellaan symmetristä ryhmää S 4 = {id, (12), (13), (14), (23), (24), (34), (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432)}. Helposti nähdään, että joukko S = {id, (123), (132)} on ryhmän S 4 aliryhmä. Etsitään aliryhmän S normalisaattori ja sentralisaattori ryhmässä S 4. Soveltamalla lemmaa 4.1 nähdään, että normalisaattoriin eivät kuulu sellaiset alkiot, joiden kiintopiste 4 ei ole. Lemmaa voidaan soveltaa vaikka identiteettikuvauksella onkin enemmäin kuin yksi kiintopiste identiteettikuvauksen lisääminen joukkoon ei vaikuta sen normalisaattoriin. Tarkistettavaksi jää vielä, kuuluvatko alkiot (12), (13) tai (23) aliryhmän S normalisaattoriin. Laskemalla nähdään, että mainitut alkiot todella kuuluvat 8
normalisaattoriin, mutta sentralisaattoriin ne eivät kuulu. Siis N S4 (S) = {id, (12), (13), (23), (123), (132)} ja C S4 (S) = {id, (123), (132)}. Huomautus 4.3. Yllä ryhmän S 4 alkiot lueteltiin (S 4 -)konjugaattiluokittain, yksi luokka per rivi. Jokaisen konjugaattiluokan kardinaliteetti todellakin jakaa ryhmän kertaluvun 24, kuten seurauksen 3.4 mukaan pitääkin. 9
Viitteet [1] Goldhaber J., Ehrlich G.: Algebra, Collier-Macmillan Canada, Toronto, 1970. [2] Koppinen M.: Algebran peruskurssi I, luentomoniste, Turun yliopisto, 2005. 10