SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU

ENSO IKONEN PYOSYS 1 SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU Enso Ikonen professori säätö- ja systeemitekniikka http://cc.oulu.fi/~iko Oulun yliopisto Älykkäät koneet ja järjestelmät / systeemitekniikka Jan 019

ENSO IKONEN PYOSYS Oppimistavoitteet Opiskelija... näkee kuinka siirtofunktiot voi aina esittää reaalisten tai imaginääristen napojen, nollien ja vahvistuksen avulla. huomaa yhteyden aikatason käyttäytymisen/ suorituskyvyn ja napojen sijainnin välillä. ymmärtää vahvistusten ja nollien merkityksen napaanalyysissä. osaa lukea siirtofunktioiden kuvaamien järjestelmien perusominaisuuksia suoraan siirtofunktiosta (vahvistus, aikavakio, ominaistaajuus/ vaimennus). osaa laskea approksimatiivisesti haluttua käyttäytymistä vastaavat napojen paikat. perehtyy Simulinkin käyttöön, ja kykenee tarkistamaan järjestelmän vasteen Matlab-simuloinnein.

ENSO IKONEN PYOSYS 3 Säätöjärjestelmien suunnittelu SäSu 019. Siirtofunktiot (h).3 Siirtofunktiot prosessien malleina (1h).4 Matlab ltijärjestelmien analyysissä.5 Matlab Simulink (harjoituksissa). Siirtofunktiot standardivasteet 1. ja. kertaluvun systeemeille toisen kertaluvun systeemin vaste vs. navat esimerkkejä harjoituksia

. Siirtofunktiot ENSO IKONEN PYOSYS 4

ENSO IKONEN PYOSYS 5 Navat, nollat ja vahvistus Muistetaan, että G s k s num s den m b0s a s s z 1 s z s zm s p s p s p 1 missä p i ovat systeemin navat sisäiset kytkennät z i ovat systeemin nollat kytkennät ympäristöön k on systeemin vahvistus 0 n b 1 n m Napoihin perustuva luokittelu ensimmäisen kertaluvun: Ys k U s s 1 toisen kertaluvun systeemit: korkeamman kertaluvun systeemit

..1 Standardivasteita impulssi, askel, tp-vahvistus

Ensimmäisen kertaluvun systeemi

ENSO IKONEN PYOSYS 8 Ensimmäisen kertaluvun systeemi impulssi- ja askelvasteet first order system responses 1.8 step reseponse 1.6 63% 1.4 1. 1 0.8 Y U s k s s 1 k=, =5 gain kτ 0.6 0.4 0. 0 ττtime constant impulse reseponse 0 5 10 15 0 5 30

ENSO IKONEN PYOSYS 9 Toisen kertaluvun systeemit vakioreferenssi Toisen kertaluvun systeemillä voi olla kaksi reaalista napaa Ys k U s s s 1 1 1 kompleksinen napapari Y U s s n vaimennussuhde n s k s n luonnollinen taajuus n s s s 1, 1, s n n n n n 0 n 1 kompleksinen jos <1 4 n

ENSO IKONEN PYOSYS 10 Navat vs aikatason vasteet nollaton toisen kertaluvun systeemi ja sen impulssivaste navat : s i 1, negatiivinen reaaliosa stabiili systeemi imaginääriosa värähtelevä systeemi täysin vaimennettu systeemi imaginäärinavat ovat kompleksikonjugaatteja (symmetria reaaliakselin suhteen) positiivinen reaaliosa epästabiili systeemi systeemin vasteen voi suunnitella asettelemalla sen napoja käyttäen säätimiä myös nollat muokkaavat systeemin dynaamista käyttäytymistä

Toisen kertaluvun systeemit

Polaari- vs karteesinen esitys ENSO IKONEN PYOSYS 13

ENSO IKONEN PYOSYS 14 Harjoitus polaari vs karteesinen esitys Osoita, että muunnoskaavat pätevät. d n n d d 1 1 : n potenssien kertoimet samoiksi : merkitään ja Kirjoitetaan karteesinen muoto auki s s s s n n d ' : Merkitään siirtofunktiot samoiksi s s k s k. 1 n n n n d n

ENSO IKONEN PYOSYS 15 Navat vs aikatason vasteet nollaton toisen kertaluvun systeemi ja sen askelvaste imaginääriosa värähtelevä systeemi täysin vaimennettu systeemi systeemin vasteen voi suunnitella asettelemalla sen napoja käyttäen säätimiä

ENSO IKONEN PYOSYS 16 Napa-nolla-kuvaaja Matlab: pzmap, sgrid navat : Y U 1, i s k' s s i s i s k' d s s k d s vaimennussuhde d n n luonnollinen taajuus (vaimentamaton) n d Imaginary Axis (seconds -1 ) Pole-Zero Map 1.5 0.91 0.84 0.74 0.6 0.4 0. 1 0.96 0.5 0.99 0 3.5 1.5 1 0.5-0.5 0.99 0.96-1 0.91 0.84 0.74 0.6 0.4 0. -1.5-3 -.5 - -1.5-1 -0.5 0 0.8, n 1.5, k Real Axis (seconds -1 ) Y s k U s s s s.4s.5 s n.4s.5 n s 1. 0.9is 1. 0.9i

ENSO IKONEN PYOSYS 17 Toisen kertaluvun systeemin vaste Napojen sijaintialueet: TÄYSIN VAIMENNETTU KRIITTISESTI VAIMENNETTU ALIVAIMENNETTU VAIMENTAMATON EPÄSTABIILI Im (0,0) Re Esimerkkejä: täysin vaimennettu alivaimennettu ja vaimentamaton ω d kasvaa, vakio σ σ kasvaa, vakio ω d ω n kasvaa, vakio ζ ζ kasvaa, vakio ω n värähtelyn taajuus, vasteen nopeus, vaimennus aikatason speksit Lähde: http://www.egr.msu.edu/classes/ me451/jchoi/007/handouts/me4 51_S07_lecture17.pdf SKIP

ENSO IKONEN PYOSYS 41 Harjoitus (5min) Prosessia kuvaa: w G(s) = ------------- s(s+w n z) ( w n luonnollinen taajuus, z vaimennussuhde) Ohje: Muodosta suljetun piirin siirtofunktio. Näytä, että P-säädöllä takaisinkytketty suljettu järjestelmä on toisen kertaluvun prosessi.

P-säädöllä takaisinkytketty järjestelmä: Ratkaisu ENSO IKONEN PYOSYS 4

ENSO IKONEN PYOSYS 43 Harjoitus (N.18) (10+10min) Ratkaise f(t) differentiaaliyhtälöstä f (t)-5f (t)+6f = exp(t)1(t) kun alkuarvot ovat nollia; f (0)=f (0)=0. Ohje: Laplace-muunna, tee F(s):lle osamurtohajotelma ja muodosta aikatason vaste f(t). Tarkista tulos Matlabilla Ratkaise osamurron parametrit: inv-komennolla, ja simuloi: for.., y(t)=.., end Simuloi: impulsekomennolla ja vertaa edelliseen Tarkasta osamurto: residue

ENSO IKONEN PYOSYS 44 N.18 ratkaisu

N.18 yhtälöryhmän ratkaisu ENSO IKONEN PYOSYS 45

N.18 tuloksen tarkistus ENSO IKONEN PYOSYS 46

ENSO IKONEN PYOSYS 47 N.18 osamurto Matlabia käyttäen

ENSO IKONEN PYOSYS 48 Aikatason vasteet ylitys, nousuaika, asettumisaika SKIP

Harjoituksia 1 systeemin käyttäytyminen taajuustasossa vs. navat >> num=1 >> den = [1 0.46] >> G = tf(num,den) >> impulse(g)

Harjoituksia systeemin käyttäytyminen aikatasossa vs. navat

Harjoituksia 3 systeemin navat vs. käyttäytyminen >> num = 1 >> den=conv([1 0.5-i],[1 0.5+i]) >> G = tf(num,den); >> step(g) >> %on Fig., right-click Characteristics

Harjoitus (5min) ENSO IKONEN PYOSYS 53

ENSO IKONEN PYOSYS 54

ENSO IKONEN PYOSYS 55

Optimipolynomit

.3 Siirtofunktiot prosessimalleina viivetermi mukana

*Puolityssääntö matalan kertaluvun approksimaatit

*Puolitussääntö Taylorin approksimointi x x x dx df x f x f x x x x ) ( ) ( s s s ds df e s ds df s f e s f s s s s 0 ) ( ) ( 1 ) ( 0 0

*Puolitussääntö Tehollinen viive & aikavakio(t)

Harjoitus puolitussääntö 1. Kirjoitetaan siirtofunktio aikavakio - muotoon "Huomataan"että s -1on yksi napa (s 1) s s. Aikavakio 3 8s 17s 10 7s 10 s ja s 5 1 0. 5 s e Gs 1 1 5 suurin aikavakio 1. kertaluvun approksimaatio 0.95s 1 e Gs 1.5s 1. kertaluvun approksimaatio G s 1 s 1 s 1 puolet toiseksi suurimmasta, 0.5 loput viiveeseen 1 1 1.5 0.5 0.5 0. 0.95 s 1 e 0.6s s 1 0.6s 1

Harjoitus puolitussääntö - askelvaste G s 1 0. 5 s e 1 1 5 s 1 s 1 s 1 1. kertaluvun approksimaatio G s 1 1 e 1.5s 1 0.95s. kertaluvun approksimaatio G s e 0.6s s 1 0.6s 1

ENSO IKONEN PYOSYS 67 Oppimistavoitteet Opiskelija... näkee kuinka siirtofunktiot voi aina esittää reaalisten tai imaginääristen napojen, nollien ja vahvistuksen avulla. huomaa yhteyden aikatason käyttäytymisen/ suorituskyvyn ja napojen sijainnin välillä. ymmärtää vahvistusten ja nollien merkityksen napaanalyysissä. osaa lukea siirtofunktioiden kuvaamien järjestelmien perusominaisuuksia suoraan siirtofunktiosta (vahvistus, aikavakio, ominaistaajuus/ vaimennus). osaa laskea approksimatiivisesti haluttua käyttäytymistä vastaavat napojen paikat. perehtyy Simulinkin käyttöön, ja kykenee tarkistamaan järjestelmän vasteen Matlab-simuloinnein.