802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25

Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. LUKUTEORIA 2 / 25

Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. P = {2, 3, 5, 7, 11,...} = {alkuluvut}. LUKUTEORIA 2 / 25

Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. P = {2, 3, 5, 7, 11,...} = {alkuluvut}. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = {kokonaisluvut}. LUKUTEORIA 2 / 25

Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. P = {2, 3, 5, 7, 11,...} = {alkuluvut}. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = {kokonaisluvut}. Z + = {1, 2, 3,...} = N\{0} = {positiiviset kokonaisluvut}. LUKUTEORIA 2 / 25

Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. P = {2, 3, 5, 7, 11,...} = {alkuluvut}. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = {kokonaisluvut}. Z + = {1, 2, 3,...} = N\{0} = {positiiviset kokonaisluvut}. Z = { 1, 2, 3,...} = Z\N = {negatiiviset kokonaisluvut}. LUKUTEORIA 2 / 25

Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. P = {2, 3, 5, 7, 11,...} = {alkuluvut}. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = {kokonaisluvut}. Z + = {1, 2, 3,...} = N\{0} = {positiiviset kokonaisluvut}. Z = { 1, 2, 3,...} = Z\N = {negatiiviset kokonaisluvut}. Q = { m n m Z, n Z+ } = {rationaaliluvut}. LUKUTEORIA 2 / 25

Lukujoukkoja R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. LUKUTEORIA 3 / 25

Lukujoukkoja R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. C = R(i) = {a + ib a, b R, i 2 = 1} = { kompleksiluvut} LUKUTEORIA 3 / 25

Lukujoukkoja R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. C = R(i) = {a + ib a, b R, i 2 = 1} = { kompleksiluvut} C \ Q = { Irrationaaliluvut }. LUKUTEORIA 3 / 25

Lukujoukkoja R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. C = R(i) = {a + ib a, b R, i 2 = 1} = { kompleksiluvut} C \ Q = { Irrationaaliluvut }. Z m = {k Z k m}. LUKUTEORIA 3 / 25

Lukujoukkoja R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. C = R(i) = {a + ib a, b R, i 2 = 1} = { kompleksiluvut} C \ Q = { Irrationaaliluvut }. Z m = {k Z k m}. R 0 = {r R r 0},... LUKUTEORIA 3 / 25

Lukujoukkoja R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. C = R(i) = {a + ib a, b R, i 2 = 1} = { kompleksiluvut} C \ Q = { Irrationaaliluvut }. Z m = {k Z k m}. R 0 = {r R r 0},... Q = Q \ {0}, R = R \ {0}, C = C \ {0}, LUKUTEORIA 3 / 25

! täsmälleen yksi. Sekalaisia merkintöjä LUKUTEORIA 4 / 25

! täsmälleen yksi. Sekalaisia merkintöjä #A = A = Joukon A alkioiden lukumäärä. LUKUTEORIA 4 / 25

! täsmälleen yksi. Sekalaisia merkintöjä #A = A = Joukon A alkioiden lukumäärä. Olkoot a, b lukuja sekä A, J lukujoukkoja: aj + b = {aj + b j J} a J = {a j j J} A J = {a j a A, j J} LUKUTEORIA 4 / 25

! täsmälleen yksi. Sekalaisia merkintöjä #A = A = Joukon A alkioiden lukumäärä. Olkoot a, b lukuja sekä A, J lukujoukkoja: aj + b = {aj + b j J} a J = {a j j J} A J = {a j a A, j J} Esimerkki 1 J = Z, b Z, n Z +, tällöin merkitään b = nz + b, joka on jakojäännösluokka (mod n) ja Z/nZ = {b b {0, 1,..., n 1}}, LUKUTEORIA 4 / 25

Sekalaisia merkintöjä Olkoon A = {a 1,..., a m }, tällöin f (a) = f (a 1 ) +... + f (a m ), a A f (a) = f (a 1 ) f (a m ). a A Tyhjä summa ja tulo: Jos A =, niin f (a) = 0, f (a) = 1 a A a A LUKUTEORIA 5 / 25

Tulo n. alkutekijöiden yli LUKUTEORIA 5 / 25 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Sekalaisia merkintöjä Olkoon A = {a 1,..., a m }, tällöin f (a) = f (a 1 ) +... + f (a m ), a A f (a) = f (a 1 ) f (a m ). a A Tyhjä summa ja tulo: Jos A =, niin f (a) = 0, f (a) = 1 a A a A Edelleen Summaus n. tekijöiden yli f (d) = f (d 1 ) +... + f (d k ), d n missä d i Z + ovat n:n erilliset tekijät. Summaus n. alkutekijöiden yli f (p) = f (p). p n p n,p P

RENGAS/RING Olkoon R epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa R on määritelty laskutoimitus + eli kuvaus + : R R R, (a, b) a + b, missä a + b R, kun a R ja b R sekä LUKUTEORIA 6 / 25

RENGAS/RING Olkoon R epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa R on määritelty laskutoimitus + eli kuvaus + : R R R, (a, b) a + b, missä a + b R, kun a R ja b R sekä laskutoimitus eli kuvaus : R R R, (a, b) a b, missä a b R, kun a R ja b R. Tällä kurssilla rengas on (jos ei toisin mainita) kommutatiivinen ja ykkösellinen. LUKUTEORIA 6 / 25

RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas Määritelmä 1 Kolmikko (R, +, ) on kommutatiivinen, ykkösellinen rengas, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: LUKUTEORIA 7 / 25

RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas Määritelmä 1 Kolmikko (R, +, ) on kommutatiivinen, ykkösellinen rengas, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: LUKUTEORIA 7 / 25

RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas Määritelmä 1 Kolmikko (R, +, ) on kommutatiivinen, ykkösellinen rengas, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c R (liitännäisyys). LUKUTEORIA 7 / 25

RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas Määritelmä 1 Kolmikko (R, +, ) on kommutatiivinen, ykkösellinen rengas, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c R (liitännäisyys). (b) a + b = b + a kaikilla a, b R (vaihdannaisuus). LUKUTEORIA 7 / 25

RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas Määritelmä 1 Kolmikko (R, +, ) on kommutatiivinen, ykkösellinen rengas, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c R (liitännäisyys). (b) a + b = b + a kaikilla a, b R (vaihdannaisuus). (c) On olemassa nolla-alkio 0 R, jolle 0 + a = a kaikilla a R. LUKUTEORIA 7 / 25

RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas Määritelmä 1 Kolmikko (R, +, ) on kommutatiivinen, ykkösellinen rengas, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c R (liitännäisyys). (b) a + b = b + a kaikilla a, b R (vaihdannaisuus). (c) On olemassa nolla-alkio 0 R, jolle 0 + a = a kaikilla a R. (d) Kaikilla a R on olemassa vasta-alkio a R, jolle a + ( a) = 0. LUKUTEORIA 7 / 25

RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: LUKUTEORIA 8 / 25

RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R (liitännäisyys). LUKUTEORIA 8 / 25

RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R (liitännäisyys). (b) a b = b a kaikilla a, b R (vaihdannaisuus). LUKUTEORIA 8 / 25

RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R (liitännäisyys). (b) a b = b a kaikilla a, b R (vaihdannaisuus). (c) On olemassa ykkösalkio 1 R, jolle 1 a = a kaikilla a R. LUKUTEORIA 8 / 25

RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R (liitännäisyys). (b) a b = b a kaikilla a, b R (vaihdannaisuus). (c) On olemassa ykkösalkio 1 R, jolle 1 a = a kaikilla a R. 3. Osittelulaki: LUKUTEORIA 8 / 25

RENGAS/RING Kommutatiivinen, ykkösellinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R (liitännäisyys). (b) a b = b a kaikilla a, b R (vaihdannaisuus). (c) On olemassa ykkösalkio 1 R, jolle 1 a = a kaikilla a R. 3. Osittelulaki: (a) a (b + c) = a b + a c kaikilla a, b, c R. LUKUTEORIA 8 / 25

RENGAS/RING Määritelmän 1 mukaista joukkoa R kutsutaan (kommutatiiviseksi, ykköselliseksi) renkaaksi LUKUTEORIA 9 / 25

RENGAS/RING Määritelmän 1 mukaista joukkoa R kutsutaan (kommutatiiviseksi, ykköselliseksi) renkaaksi ja annettuja ehtoja sanotaan rengas-aksiomeiksi. LUKUTEORIA 9 / 25

RENGAS/RING Määritelmän 1 mukaista joukkoa R kutsutaan (kommutatiiviseksi, ykköselliseksi) renkaaksi ja annettuja ehtoja sanotaan rengas-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (R, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. LUKUTEORIA 9 / 25

RENGAS/RING Määritelmän 1 mukaista joukkoa R kutsutaan (kommutatiiviseksi, ykköselliseksi) renkaaksi ja annettuja ehtoja sanotaan rengas-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (R, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (R, +) on renkaan R yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio on nolla-alkio 0. LUKUTEORIA 9 / 25

RENGAS/RING Määritelmän 1 mukaista joukkoa R kutsutaan (kommutatiiviseksi, ykköselliseksi) renkaaksi ja annettuja ehtoja sanotaan rengas-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (R, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (R, +) on renkaan R yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio on nolla-alkio 0. Edelleen, aksiomit 2a c sanovat, että (R, ) on kommutatiivinen monoidi, jonka laskutoimitusta kutsutaan kertolaskuksi ja LUKUTEORIA 9 / 25

RENGAS/RING Määritelmän 1 mukaista joukkoa R kutsutaan (kommutatiiviseksi, ykköselliseksi) renkaaksi ja annettuja ehtoja sanotaan rengas-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (R, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (R, +) on renkaan R yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio on nolla-alkio 0. Edelleen, aksiomit 2a c sanovat, että (R, ) on kommutatiivinen monoidi, jonka laskutoimitusta kutsutaan kertolaskuksi ja jonka neutraalialkio on ykkös-alkio 1. LUKUTEORIA 9 / 25

RENGAS/RING Merkintä 1 Yleensä kertolasku jätetään merkitsemättä eli tehdään samaistus: a b = ab. LUKUTEORIA 10 / 25

KUNTA/FIELD Olkoon K joukko, jossa on ainakin kaksi alkiota. Oletetaan, että joukossa K on määritelty laskutoimitus + eli kuvaus + : K K K, (a, b) a + b, missä a + b K, kun a K ja b K sekä LUKUTEORIA 11 / 25

KUNTA/FIELD Olkoon K joukko, jossa on ainakin kaksi alkiota. Oletetaan, että joukossa K on määritelty laskutoimitus + eli kuvaus + : K K K, (a, b) a + b, missä a + b K, kun a K ja b K sekä laskutoimitus eli kuvaus : K K K, (a, b) a b, missä a b K, kun a K ja b K. LUKUTEORIA 11 / 25

KUNTA/FIELD Kunta Määritelmä 2 Kolmikk (K, +, ) on kunta, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: LUKUTEORIA 12 / 25

KUNTA/FIELD Kunta Määritelmä 2 Kolmikk (K, +, ) on kunta, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: LUKUTEORIA 12 / 25

KUNTA/FIELD Kunta Määritelmä 2 Kolmikk (K, +, ) on kunta, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c K (liitännäisyys). LUKUTEORIA 12 / 25

KUNTA/FIELD Kunta Määritelmä 2 Kolmikk (K, +, ) on kunta, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c K (liitännäisyys). (b) a + b = b + a kaikilla a, b K (vaihdannaisuus). LUKUTEORIA 12 / 25

KUNTA/FIELD Kunta Määritelmä 2 Kolmikk (K, +, ) on kunta, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c K (liitännäisyys). (b) a + b = b + a kaikilla a, b K (vaihdannaisuus). (c) On olemassa nolla-alkio 0 K, jolle 0 + a = a kaikilla a K. LUKUTEORIA 12 / 25

KUNTA/FIELD Kunta Määritelmä 2 Kolmikk (K, +, ) on kunta, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c K (liitännäisyys). (b) a + b = b + a kaikilla a, b K (vaihdannaisuus). (c) On olemassa nolla-alkio 0 K, jolle 0 + a = a kaikilla a K. (d) Kaikilla a K on olemassa vasta-alkio a K, jolle a + ( a) = 0. LUKUTEORIA 12 / 25

KUNTA/FIELD Kunta 2. Kertolaskun aksiomit: LUKUTEORIA 13 / 25

KUNTA/FIELD Kunta 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K (liitännäisyys). LUKUTEORIA 13 / 25

KUNTA/FIELD Kunta 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K (liitännäisyys). (b) a b = b a kaikilla a, b K (vaihdannaisuus). LUKUTEORIA 13 / 25

KUNTA/FIELD Kunta 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K (liitännäisyys). (b) a b = b a kaikilla a, b K (vaihdannaisuus). (c) On olemassa ykkösalkio 1 K, jolle 1 a = a kaikilla a K. LUKUTEORIA 13 / 25

KUNTA/FIELD Kunta 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K (liitännäisyys). (b) a b = b a kaikilla a, b K (vaihdannaisuus). (c) On olemassa ykkösalkio 1 K, jolle 1 a = a kaikilla a K. (d) Kaikilla a K = K \ {0} on olemassa käänteisalkio a 1 K, jolle a a 1 = 1. LUKUTEORIA 13 / 25

KUNTA/FIELD Kunta 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K (liitännäisyys). (b) a b = b a kaikilla a, b K (vaihdannaisuus). (c) On olemassa ykkösalkio 1 K, jolle 1 a = a kaikilla a K. (d) Kaikilla a K = K \ {0} on olemassa käänteisalkio a 1 K, jolle a a 1 = 1. 3. Osittelulaki: LUKUTEORIA 13 / 25

KUNTA/FIELD Kunta 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K (liitännäisyys). (b) a b = b a kaikilla a, b K (vaihdannaisuus). (c) On olemassa ykkösalkio 1 K, jolle 1 a = a kaikilla a K. (d) Kaikilla a K = K \ {0} on olemassa käänteisalkio a 1 K, jolle a a 1 = 1. 3. Osittelulaki: (a) a (b + c) = a b + a c kaikilla a, b, c K. LUKUTEORIA 13 / 25

KUNTA/FIELD Määritelmän 2 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi LUKUTEORIA 14 / 25

KUNTA/FIELD Määritelmän 2 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi ja annettuja ehtoja sanotaan kunta-aksiomeiksi. LUKUTEORIA 14 / 25

KUNTA/FIELD Määritelmän 2 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi ja annettuja ehtoja sanotaan kunta-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (K, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. LUKUTEORIA 14 / 25

KUNTA/FIELD Määritelmän 2 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi ja annettuja ehtoja sanotaan kunta-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (K, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (K, +) on kunnan K yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio on nolla-alkio 0. LUKUTEORIA 14 / 25

KUNTA/FIELD Määritelmän 2 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi ja annettuja ehtoja sanotaan kunta-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (K, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (K, +) on kunnan K yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio on nolla-alkio 0. Edelleen, aksiomit 2a d sanovat, että (K, ) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta kutsutaan kertolaskuksi. LUKUTEORIA 14 / 25

KUNTA/FIELD Määritelmän 2 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi ja annettuja ehtoja sanotaan kunta-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (K, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (K, +) on kunnan K yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio on nolla-alkio 0. Edelleen, aksiomit 2a d sanovat, että (K, ) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta kutsutaan kertolaskuksi. Sanotaan siis, että (K, ) on kunnan K kertolaskuryhmä, jonka neutraalialkio on ykkös-alkio 1. LUKUTEORIA 14 / 25

KUNTA/FIELD Merkintä 2 Yleensä kertolasku jätetään merkitsemättä eli tehdään samaistus: Erikoistapauksia: Esimerkki 2 Reaalilukujen kunta R. a b = ab. LUKUTEORIA 15 / 25

KUNTA/FIELD Esimerkki 3 Kompleksilukujen kunta C. Luvun z = a + ib kompleksikonjugaatti on luku z = a ib ja pituus z = a 2 + b 2. z = z, zw = z w, zz = z 2. (1) z = z z R. (2) a = z + z 2, b = z z. (3) 2i z + z 2 z, z z 2 z. (4) z + z 2 z. (5) LUKUTEORIA 16 / 25

KUNTA/FIELD Huomautus 1 Identiteetin a = b molemmille puolin saa lisätä saman alkion c, jolloin Huomautus 2 Identiteetin a + c = b + c. a = b molemmat puolet saa kertoa samalla alkiolla c, jolloin ca = cb. LUKUTEORIA 17 / 25

Funktioista Kurssilta Johdatus matemaattiseen päättelyyn löytyy peruskäsitteet, kuten injektio, surjektio ja bijektio. LUKUTEORIA 18 / 25

Funktioista Kurssilta Johdatus matemaattiseen päättelyyn löytyy peruskäsitteet, kuten injektio, surjektio ja bijektio. Kuvaus f : A B on LUKUTEORIA 18 / 25

Funktioista Kurssilta Johdatus matemaattiseen päättelyyn löytyy peruskäsitteet, kuten injektio, surjektio ja bijektio. Kuvaus f : A B on INJEKTIO: f (a 1 ) = f (a 2 ) a 1 = a 2 ; LUKUTEORIA 18 / 25

Funktioista Kurssilta Johdatus matemaattiseen päättelyyn löytyy peruskäsitteet, kuten injektio, surjektio ja bijektio. Kuvaus f : A B on INJEKTIO: f (a 1 ) = f (a 2 ) a 1 = a 2 ; SURJEKTIO: f (A) = B; LUKUTEORIA 18 / 25

Funktioista Kurssilta Johdatus matemaattiseen päättelyyn löytyy peruskäsitteet, kuten injektio, surjektio ja bijektio. Kuvaus f : A B on INJEKTIO: f (a 1 ) = f (a 2 ) a 1 = a 2 ; SURJEKTIO: f (A) = B; BIJEKTIO=INJEKTIO+SURJEKTIO. LUKUTEORIA 18 / 25

Funktioista Lemma 1 Olkoon ja injektio. #A = #B < f : A B LUKUTEORIA 19 / 25

Funktioista Lemma 1 Olkoon ja injektio. #A = #B < f : A B Tällöin f : A B on bijektio. LUKUTEORIA 19 / 25

Polynomialgebraa Polynomirengas Polynomijoukko Olkoon R ykkösellinen rengas. Tällöin R-kertoimisten polynomien joukolle käytetään merkintää Polynomia R[x] = {P(x) P(x) = n p k x k ; p k R, n N}. k=0 kutsutaan nollapolynomiksi ja polynomia 0(x) = 0 + 0 x + 0 x 2 +... (6) 1(x) = 1 + 0 x + 0 x 2 +... (7) ykköspolynomiksi. Ne ovat erikoistapauksia vakiopolynomista c(x) = c + 0 x + 0 x 2 +..., c R. (8) LUKUTEORIA 20 / 25

Polynomialgebraa Polynomirengas Laskutoimitukset Määritelmä 3 Olkoot P(x) = n k=0 p kx k, Q(x) = n k=0 q kx k R[x], jolloin asetetaan P(x) = Q(x) k(p k = q k ); P(x) + Q(x) = k + q k )x k 0(p k ; P(x) Q(x) = r k x k, k 0 joka on Cauchyn kertosääntö. k r k = p i q k i = p i q j, (9) i=0 i+j=k LUKUTEORIA 21 / 25

Polynomialgebraa Polynomirengas Polynomial ring/degree Lause 1 Tällöin (R[x], +, ) on rengas, missä 0(x) on yhteenlaskun nolla-alkio ja 1(x) on kertolaskun ykkösalkio. Määritelmä 4 Jos p n 0, niin polynomin P(x) = n k=0 p kx k aste on deg P(x) = n, (10) lisäksi asetetaan deg 0(x) =. (11) LUKUTEORIA 22 / 25

Polynomialgebraa Polynomirengas Jakoalgoritmi Lause 2 Olkoon K kunta ja P(x), Q(x) K[x]. Tällöin deg P(x)Q(x) = deg P(x) + deg Q(x). (12) Lause 3 Jakoalgoritmi. Olkoon a(x), b(x) K[x], a(x)b(x) 0(x) ja deg b(x) deg a(x). Tällöin q(x), r(x) K[x] s.e. [J.A.] a(x) = q(x)b(x) + r(x), deg r(x) < deg b(x). (13) LUKUTEORIA 23 / 25

Polynomialgebraa Polynomien nollakohdista Määritelmä 5 Jos α K ja (x α) m p(x), m Z +, niin m = m(α) on polynomin p(x) nollakohdan α kertaluku/order of the zero. Nollakohtien lukumäärä/number of zeros n p on summa kertaluvuista/is sum of orders eli n p = #{α p(α) = 0} := p(α i )=0 m(α i ). Lause 4 Olkoon K kunta ja p(x) K[x], p(x) 0(x). Tällöin n p deg p(x). LUKUTEORIA 24 / 25

Polynomialgebraa Polynomien nollakohdista Esimerkki 4 a) Olkoon p(x) = (x 1) 3 (x + 1/2) 5. Polynomin p(x) nollakohdat ovat α 1 = 1 ja α 2 = 1/2. Nollakohtien kertaluvut ovat m(α 1 ) = 3 ja m(α 2 ) = 5, ja nollakohtien lukumäärä n p = 3 + 5 = 8. b) Olkoon (x 2 + 1)(x 2 1) R[x]. Nyt nollakohtien lukumäärä n p = m( 1) + m(1) = 2 < 4 = deg(p(x)). LUKUTEORIA 25 / 25