3.5 Suhteellinen nopeus Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää P:n nopeus junassa istuvan toisen matkustajan suhteen on v P/B-x = 1.0 m/s Intuitio : P:n nopeus radan vieressä paikoillaan odottavan havaitsijan A suhteen on v P/A-x = v P/B-x + v B/A-x = 1.0 m/s + 3.0 m/s = 4.0 m/s muistisääntö indekseille: P A = P B B A Nopeuden suuruus riippuu siis havaintokoordinaatiston valinnasta! d x P/A = x P/B + x B/A (3.32) ) dx P/A = dx P/B + dx B/A, v P/A x = v P/B x + v B/A x (3.33) A:n mielestä P:n nopeus on v P/A-x = 4.0 m/s P:n mielestä A:n nopeus on v A/P-x = -v P/A-x = -4.0 m/s ESIM 1
Suhteellinen nopeus kahdessa tai kolmessa ulottuvuudessa? Esim. jos matkustaja P käveleekin kohtisuoraan suuntaan junan käytävän suhteen d r P/A = r P/B + r B/A (3.35) v P/A = v P/B + v B/A (3.36) (3.36) on nk. Galilein nopeusmuunnos. Suppeassa suhteellisuusteoriassa käytetään erilaista nopeuksien yhteenlaskukaavaa, joka seuraa nk. Lorentz-muunnoksesta. Esimerkissä ja φ = arctan(1.0 / 3.0) = 18 v P/A =3.0m/s î +1.0m/s ĵ ) v P/A = p (3.0m/s) 2 +(1.0m/s) 2 =3.2m/s Suhteellisille nopeuksille aina voimassa lisäksi v P/A = v A/P (3.37) ESIM 2
Kappaleen 3 yhteenveto: r = xî + yĵ + zˆk v x = dx v av = r 2 r 1 = r t 2 t 1 t r v =lim t!0 t = dr ; v y = dy ; v z = dz a x = dv x a av = v 2 v 1 = v t 2 t 1 t v av =lim t!0 t = dv ; a y = dv y ; a z = dv z x =(v 0 cos 0 ) t 1 y =(v 0 sin 0 ) t 2 gt2 v x = v 0 cos 0 v y = v 0 sin 0 gt a rad = v2 R a rad = 4 2 R T 2 3
3 NEWTONIN LIIKELAIT Dynamiikka: oppi liikkeen ja sen aiheuttajan eli voiman F suhteesta Isaac Newton (1642-1727) päätteli kolme fundamentaalista liikelakia, jotka ovat klassisen mekaniikan ja klassisen fysiikan maailmankuvan perusta Newtonin lait toimivat myös modernin fysiikan hyvinä approksimaatioina, jos tarkasteltavat kappaleet ovat riittävän isoja (jotta kvanttimekaniikkaa ei tarvita) ja niiden nopeudet eivät ole merkittävän valonnopeuden murto-osan suuruisia (jolloin suhteellisuusteoriaa ei tarvita) 4.1 Voima ja vuorovaikutukset Voima johtuu kahden kappaleen tai kappaleen ja sen ympäristön välisestä vuorovaikutuksesta Voima on vektorisuure, silä on suuruus ja suunta Voiman yksikkö on Newton [F] = N = kg m/s 2 4
Kontaktivoimat esiintyvät kappaleiden välisissä suorissa kosketustilanteissa, esim.! Normaalivoima n kohdistuu kappaleeseen pinnasta, jolla kappale sijaitsee. n suuntautuu kohtisuoraan kontaktipintaa vastaan! Kitkavoima f suuntautuu kontaktipinnan suuntaisesti ja pyrkii vastustamaan kappaleen liikettä pinnalla! Jännitysvoima T esiintyy esim. vedettäessä kappaletta narulla, jolloin sen suunta = narun suunta Pitkän kantaman voimat eivät vaadi vuorovaikuttavien kappaleiden välistä kosketusta, vaan ne ilmenevät avaruuden läpi (through space) Pitkän kantaman vuorovaikutusten voidaan ajatella muokkaavan avaruuden rakennetta, luomalla voimakentän Painovoima, lyhyesti paino w on esimerkki pitkän kantaman voimasta Voimien superpositioperiaate: Kun R = F 1 + F 2 on resultantin R vaikutus kappaleeseen on täsmälleen sama kuin komponenttivoimien F 1 ja F 2 yhteisvaikutus Myös toisin päin: Voima F voidaan korvata samaan pisteeseen vaikuttavilla komponenttivoimillaan F x ja F y ilman, että systeemin käyttäytyminen muuttuu millään tavalla Voimavektorin F =(F x,f y,f z ) komponentit F x, F y, F z = sen x-, y- ja z-koordinaatit (huom! Siis eri asia kuin komponenttivoimat!) 5
Voimien yhteisvaikutusta tutkittaessa kappaleeseen vaikuttavat voimat piirretään näkyviin Laskujen kannalta oin joskus edullista korvata alkuperäinen voima komponenttivoimillaan, jolloin alkuperäisen voiman päälle laitetaan aaltoviiva (muistuttaa, ettei tätä voimaa lasketa kahteen kertaan) Kun voimia on useampia kuin kaksi, kappaleeseen vaikuttaa nettovoima NX R = F i = F 1 + F 2 + F 3 +...+ F N (4.1) i=1 R voidaan jakaa komponentteihinsa: Kokonaisvoiman suuruus: q R = Rx 2 + Ry 2 + Rz 2 NX R x = F ix ; R y =... i=1 ESIM 6
4.2 Newtonin I laki Kun kappaleeseen ei vaikuta nettovoimaa, se jatkaa liiketilaansa eli joko pysyy levossa tai jatkaa liikettään tasaisella nopeudella Voimaa siis ei tarvita ylläpitämään liikettä! Kappaleen taipumusta jatkaa liiketilaansa sanotaan inertiaksi Esim. Kuvan jääkiekko saa kiihtyvyyden a, kun siihen vaikuttaa yksi voima, F 1 mailasta 1. Kiekon liiketila muuttuu Jos kiekkoon vaikuttaa kaksi mailaa yhtäsuurilla, mutta vastakkaissuuntaisilla voimilla F 1 ja F 2 = -F 1, voimien resultantti R = F 1 + F 2 = F 1 + (-F 1 ) = 0 ja kiekko ei muuta liiketilaansa. Samanaikaisesti pystysuunnassa vaikuttavat kiekon paino w ja jääpinnan tukivoima n kumoavat myös toisensa Kun kappaleeseen ei vaikuta nettovoimaa ja se on siten joko levossa tai liikkuu tasaisella nopeudella, sen sanotaan olevan tasapainossa Inertiaalikoordinaatisto on havaintokoordinaatisto, jossa Newtonin I laki on voimassa Esim. Levosta kiihtyvään liikkeeseen lähtevä junanvaunu EI ole inertiaalikoordinaatisto: Siinä levossa oleva rullaluistelija tulkitsee virheellisesti, että häneen kohdistuu voima, joka pakottaa häntä kohti vaunun takaosaa Todellisuudessa häneen ei kohdistu nettovoimaa ja hän vain pyrkii jatkamaan liiketilaansa! 7
Maapalloa voidaan pitää likimain inertiaalikoordinaatistona, kun jätetään huomiotta sen kiertoliike sekä oman akselinsa että Auringon ympäri Toisiinsa nähden tasaisella suhteellisella nopeudella (joka voi olla nolla) liikkuvat koordinaatistot ovat inertiaalikoordinaatistoja Kaikki inertiaalikoordinaatistot ovat keskenään samanarvoisia, ei ole olemassa avaruuden suhteen levossa olevaa absoluuttista koordinaatistoa. Tämä suhteellisuusperiaate on tärkeä Albert Einsteinin suhteellisuusteorian lähtökohta. 8