Sinin muotoinen signaali Pekka Rantala.. Sini syntyy tasaisesta pyörimisestä Sini-signaali syntyy vakio-nopeudella pyörivän osoittimen y-suuntaisesta projektiosta. y u û α positiivinen pyörimissuunta x û (u hattu) = osoittimen pituus = huippuarvo u (pieni u) = hetkellisarvo = u(t) = ajan funktio α (alfa) = kulma hetkellä t Täysi ympyrä = 6 = π radiaania = π rad
Sinin muotoinen signaali Sini-signaalin muotoinen signaali syntyy myös vakionopeudella pyörivän osoittimen x-suuntaisesta projektiosta. Tällöin saadaan cosini-signaali. Sini ja cosini ovat samanmuotoiset, mutta niillä on keskenään 9 vaihe-ero. Kun α =, niin sin = cos = sin y α cos x Sini-signaali û 9 8 7 6 6 7 - α[astetta] - - - - T Jaksonpituus eli jaksonaika T vastaa aikaa, jossa pyörivä osoitin tekee yhden täyden kierroksen eli 6 (astetta) = π radiaania Jaksonpituus T on aika, jonka jälkeen kuvio alkaa toistamaan itseään uudestaan, alkaa uusi kierros. f(t) = f(t±t) Jaksonpituutta määritettäessä alkupisteen voi valita mihin hyvänsä signaalin kohtaan. Milloin tulee seuraavan kerran sama kohta?
Taajuus f ja jaksonpituus T Yhden jakson pituus on T sekuntia Yhteen sekuntiin mahtuu s kpl jaksoja T = signaalin taajuus f Taajuus vastaa sitä, kuinka monta jaksoa eli osoittimen täyttä kierrosta yhdessä sekunnissa on f = T ja T = f f on taajuus [Hz] = [ s] T on jaksonpituus [s] Taajuus f ja kulmataajuus ω (omega) Taajuus f ilmaisee, kuinka monta kierrosta eli jaksoa osoitin pyörii yhdessä sekunnissa. Yksikkö on jaksoa = = hertsi = Hz s s Kulmataajuus ω ilmaisee, kuinka monta radiaania osoitin etenee yhdessä sekunnissa. Yksikkö on rad (= ) s s Ajan hetkeä t vastaava kulma α radiaaneina α = ωt Jos taajuus f = Hz, niin yhdessä sekunnissa osoitin pyörii yhden kierroksen eli π rad ω = π rad = π = π s s s Jos taajuus f = Hz, niin yhdessä sekunnissa osoitin pyörii kierrosta eli π rad ω = π rad = π = π s s s ω = πf
Sinin muotoinen jännite Jännitteen hetkellisarvo u(t) = û sinα u(t) = û sin (ωt) eli u(t) = û sin (πft) û = huippuarvo [V] ω = kulmataajuus [ rad s ] f = taajuus [Hz] t = aika [s] Hz:n AC-jännite Jaksonpituus T = ms ( = 6 = π rad) u(t) = û sin (πt) Ajan hetki Asteita Radiaania Sinin arvo Hetkellisarvo u(t) ms V ms 9 ½π û V ms 8 π V ms 7 ½π - -û V ms 6 π V
Vaihesiirto eteen- ja taaksepäin kaavana Jännitteen hetkellisarvo u(t) u(t) = û sin (ωt +φ) ϕ = vaihesiirtokulma (phi = fii) jos ϕ on positiivinen signaali on edellä -kohtaan verrattuna jos ϕ on negatiivinen signaali on jäljessä -kohtaan verrattuna Vaihesiirto eteen- ja taaksepäin kuvana 9 8 7 6 6 7 - u(t) u(t) u(t) - - - - u(t) = sin (α) u(t) = sin (α 6 ) u(t) = sin (α +9 ) on kohdallaan 6 jäljessä u:stä 9 edellä u:stä
Eri tavat ilmoittaa jännitteen amplitudi Suure Symboli määritelmä Lukuarvo Hetkellisarvo u(t) û sin (πft) vaihtelee Huippuarvo û U V Huipusta huippuun arvo U pp û 6 V Keskiarvo U av T T u t dt V Tehollisarvo U rms = U û/ V Tasasuuntauskeskiarvo U r π û 7 V sinisignaali - 9 8 7 6 6 7 - - - tasasuunnattu sini - 9 8 7 6 6 7 - - - Pyörivä ja paikallaan oleva osoitin Pyörivän osoittimen avulla ymmärtää (toivottavasti) sini-signaalin syntymisen. Pyörivän osoittimen pituus on signaalin huippuarvo. Usean sinisignaalin keskinäisiä vaihe-eroja ja suuruuksia (= tehollisarvoja) esitetään paikallaan olevien osoittimien avulla. Paikallaan oleva osoitin on yhdellä hetkellä otettu valokuva. 6
Osoitinpiirros (paikallaan olevat osoittimet) Osoitinpiirroksen avulla voi esittää eri signaalien väliset vaihe-erot ja amplitudierot. Yhdessä osoitinpiirroksessa olevilla signaaleilla pitää olla sama taajuus. Osoitinpiirroksessa ei ole x- ja y-koordinaatteja. Osoitinpiirroksessa on vaihekulma (napakulma) ja osoittimen pituus (tehollisarvo) = napakoordinaatisto = polaarikoordinaatisto Signaalit aikatasossa ja osoitinkuvassa U 9 8 7 6 6 7 - u(t) u(t) u(t) +9 U - -6 - - U - Valitaan jännite u(t):n vaihekulmaksi Jännite u(t) on 6 jäljessä u(t):tä Jännite u(t) on 9 edellä u(t):tä U = jännitteen U tehollisarvo ( ) U = jännitteen U tehollisarvo (-6 ) U = jännitteen U tehollisarvo (+9 ) 7
Osoitinkuvassa asento vapaa U +9-6 U U U U Yllä olevat osoitinkuvat esittävät täysin samaa tilannetta Perusosoittimeksi x-akselin + suuntaan valitaan tilanteen mukaan sopivin suure Aika-akseli rullataan kelalle huippujen vaihe-ero - 9 8 7 6 6 7 - - - - aika u(t) u(t) Osoitinpiirros Aikataso - Sininen ehtinyt pidemmälle = edellä - Sininen ajassa aikaisemmassa hetkessä = edellä - Pituudet edustavat tehollisarvoja - Huiput edustavat huippuarvoja 8