Aritmeettinen summa 403. Laske. a) 101 + 103 + 105 + 107 + 109 + 111 b) 3 + ( 4) + ( 5) + ( 6) + ( 7) + ( 8) a) 636 b) 153 404. ijoita ensimmäinen yhteenlaskettava a1, viimeinen yhteenlaskettava an sekä a1 an yhteenlaskettavien lukumäärä n aritmeettisen summan kaavaan n n ja laske summa. a) 56 50 44... 0 7 kpl b) 100 13 146... 698. 7 kpl 56 0 a) 7 7 66 100 698 b) 7 7 10 773 405. Aritmeettinen lukujono alkaa seuraavasti: 50, 300, 350, a) Mikä on jonon ensimmäinen jäsen a1? Entä mikä on peräkkäisten jäsenten erotus d? b) Laske jonon 17. jäsen a17 = a1 + (17 1) d. a1 a17 c) Laske jonon 17 ensimmäisen jäsenen summa 17 17. Aritmeettisen jonon alku on 50, 300, 350, a) a1 = 50, d = 300 50 = 50 b) a17 = 50 + (17 1) 50 = 1 050 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 1
c) 17 50 1050 17 11 050 406. Laske aritmeettinen summa. a) 1 3 5... 19 10 kpl b) 0 18 16... 178 100 kpl a) b) 119 10 100 0 178 100 7900 407. Aritmeettinen lukujono alkaa seuraavasti: 7, 15, 3 Laske neljänkymmenen ensimmäisen jäsenen summa. Aritmeettisen jonon alku on 7, 15, 3, a1 = 7, d = 15 7 = 8 a40 = 7 + (40 1) 8 = 319 7 319 40 40 650 408. Laske aritmeettisen lukujonon,3; 5,3; 1,9;... kolmenkymmenen ensimmäisen jäsenen summa. Aritmeettisen jonon alku on,3; 5,3; 1,9;... a1 =,3, d = 5,3 (,3) = 7,6 a30 =,3 + (30 1) 7,6 = 18,1 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t
,3 18,1 30 30 3 37 409. Laske aritmeettisen lukujonon sadan ensimmäisen jäsenen summa, kun yleinen jäsen on a) an = 15 + 4n b) bn = 4,5n 8,6. a) an = 15 + 4n a1 = 15 + 4 1 = 11 a100 = 15 + 4 100 = 385 11 385 100 100 18 700 b) bn = 4,5n 8,6 b1 = 4,5 1 8,6 = 4,1 b100 = 4,5 100 8,6 = 441,4 4,1 441,4 100 100 1865 410. Piia ja Pekka ovat lähdössä lomamatkalle 3 vuoden kuluttua ja he tarvitsevat matkaa varten 3 500. Pariskunta aikoo säästää joka kuukausi 5 enemmän kuin edellisessä kuussa. Onko matkakassa koossa suunnitelmien mukaan, kun ensimmäisen kuukauden talletus on 50? Kuvataan säästämistä aritmeettisella sarjalla, jossa a1 = 50 ja d = 5. arjan yleinen jäsen on an = 50 + (n 1) 5 = 50 + 5n 5 = 45 + 5n. äästöaika on kolme vuotta eli n = 3 1 = 36. a36 = 45 + 5 36 = 5 Kolmen vuoden kuluttua säästössä on Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 3
36 36 50 5 4 950. uunnitelman mukaan kolmessa vuodessa säästetään 4 950. Vastaus: Matkakassa on koossa suunnitelmien mukaan. 411. Mummon heilurikello lyö tasatunnein yhtä monta kertaa kuin kello on. Puolenpäivän jälkeen kello 13:00 se lyö taas kerran, kello 14:00 kaksi kertaa ja niin edelleen. Kuinka monta kertaa kello lyö vuorokauden aikana? 11 1 156 Vastaus: Kello lyö vuorokauden aikana 156 kertaa. 41. epon setä remontoi ullakolle uuden huoneen, jonka päätyseinä on tasakylkisen kolmion muotoinen. Päätyseinän leveys on 6,0 m ja korkeus harjan kohdalta,8 m. Kuinka monta metriä lautaa tarvitaan päätyseinän paneloimiseen pystysuuntaisesti 10 cm leveillä laudoilla? 6,8 Lautakerrokset muodostavat aritmeettisen sarjan. Jaetaan päätyseinä harjan kohdalta kahdeksi yhteneväksi kolmioksi. 3 Lautoja puolen seinän paneloimiseen tarvitaan 30 kappaletta. 0,1 Viimeisen laudan pituus on,8 m. Kahden vierekkäisen laudan pituuden ero on,8 0,09333... 30 (m). Pyöristetään tulos ylöspäin millimetrin tarkkuuteen 0,0933 m = 93,3 mm 94 mm. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 4
Ensimmäisen laudan pituus on 94 mm = 0,094 m. 0,094,8 Lautaa tarvitaan yhteensä 30 86,8 87 (m). Vastaus: Lautaa tarvitaan 87 m. 413. Kuinka monta kappaletta on parillisia kolminumeroisia luonnollisia lukuja? Mikä on niistä pienin ja mikä suurin? Mikä on kolminumeroisten parillisten luonnollisten lukujen summa? 999 99 450 Pienin on 100 ja suurin 998 Lukujen summa on 100 998 450 47050. 414. Laske. a) 8 (6i 5) i1 b) 50 (3i ) i11 a) 8 i 5) = 1(6 i (6 1 5) + (6 5) + (6 3 5) + (6 4 5) + (6 5 5) + (6 6 5) + (6 7 5) + (6 8 5) = 1 + 7 + 13 + 19 + 5 + 31 + 37 + 43 Yhteenlaskettavat muodostavat aritmeettisen jonon. Ensimmäinen yhteenlaskettava on 1 ja viimeinen 43. Yhteenlaskettavia on yhteensä kahdeksan. 1 43 8 176. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 5
b) 50 i ) 11(3 i Yhteenlaskettavat muodostavat aritmeettisen jonon. Ensimmäinen yhteenlaskettava on 3 11 + = 35 ja viimeinen 3 50 + = 15. Yhteenlaskettavia on yhteensä 50 10 = 40. 3515 40 3740 415. Aritmeettisen lukujonon kuudeskymmenes jäsen on 489 ja kuudenkymmenen ensimmäisen jäsenen summa 13 410. Mikä on lukujonon ensimmäinen jäsen? Aritmeettisen lukujonon kuudeskymmenes jäsen on 489 ja kuudenkymmenen ensimmäisen jäsenen summa 13 410. a1 489 60 13 410 30( a 489) 13 410 1 a 1 489 447 a 1 4 : 30 416. Kuinka monta aritmeettisen lukujonon an = n 1 alkupään jäsentä on laskettu yhteen, kun summa on 1 369? an = n 1 a1 = 1 1 = 1 1 (n n 1) 1 369 n = 1369 n = ± 1369 n = 37 tai n = 37 Negatiivinen arvo ei kelpaa, koska n on järjestysluku. Jäseniä on laskettava yhteen 37. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 6
417. Laske aritmeettinen summa. a) 17 0 3... 89 5 kpl b) 86 90 94... 54 43 kpl a) b) 17 89 5 135 86 ( 54) 43 7310 418. Aritmeettinen lukujono on 90, 6, 10,... a) Mikä on jonon 18. jäsen? b) Laske jonon 18 ensimmäisen jäsenen summa. a) a1 = 90, d = 96 a18 = 90 + (18 1) 96 = 1 54 b) 18 90 154 18 13068 419. Aritmeettinen lukujono on 14, 19, 4, Laske sen 96 ensimmäisen jäsenen summa. a1 = 14 d = 19 ( 14) = 5 a96 = 14 + (96 1) ( 5) = 489 14 ( 489) 96 96 4 144 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 7
40. Laske aritmeettisen lukujonon kahdenkymmenen ensimmäisen jäsenen summa, kun jonon yleinen jäsen on a) an = 156 7n b) bn 5 3 n. a) an = 156 7n a1 = 156 7 1 = 149 a0 = 156 7 0 = 16 149 16 0 0 b) bn =,5n 1,5 1 650 b1,5 11,5 1 b,5 0 1,5 0 1 48,5 0 0 48,5 495 41. Opiskelijalla on kymmenen viikkoa aikaa suorittaa matematiikan tehtäviä. Riittääkö aika 50 tehtävän tekemiseen, jos opiskelija tekee ensimmäisellä viikolla kahdeksan tehtävää ja lisää tehtävien määrää kolmella joka viikko? Opiskelija tekee ensimmäisellä viikolla kahdeksan tehtävää ja lisää määrää kolmella tehtävällä viikoittain. Kaikkiaan aikaa on kymmenen viikkoa. Tehtävien määrä viikoittain muodostaa aritmeettisen lukujonon. a1 = 8 d = 3 a10 = 8 + (10 1) 3 = 35 8 35 10 10 15 Tällä tavalla tehtäviä tulee tehdyksi 15. Aika ei siis riitä. Vastaus: Aika ei riitä tehtävien tekemiseen. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 8
4. Kunto-ohjelmassa lisätään kävelylenkkien pituutta kohtuullisesti päivittäin. Ensimmäisen päivän lenkki on 1 00 m, toisen päivän 1 500 m ja seuraavan päivän lenkki on aina 300 m pitempi kuin edellinen lenkki. Joka viides päivä on lepopäivä. Kuinka monta kilometriä aloitteleva kuntoilija kävelee ensimmäisen kuukauden (30 vuorokautta) aikana? 4 Kuukaudessa on 30 4 kuntoilupäivää. 5 a1 = 1 00 d = 1 500 1 00 = 300 a4 = 1 00 + (4 1) 300 = 8 100 100 8100 4 111 600 (m) 111 600 m 11 km Vastaus: Kuntoilija kävelee ensimmäisen kuukauden aikana 11 km. 43. Tasaisesti viettävään rinteeseen rakennetaan aita siten, että sen yläreuna on vaakasuorassa. Aidan pituus on 150 m ja tolppia on 3 metrin välein. Pisin tolppa on,4 m ja seuraavat tolpat ovat aina cm edellistä lyhyempiä. Laske, kuinka monta metriä puuta tarvitaan aidan tolppiin. Aita rakennetaan tasaisesti viettävään rinteeseen siten, että aidan yläreuna on vaakasuorassa. Aidan pituus on 150 m ja tolppia on 3 m:n välein. Pisin tolppa on,4 m ja seuraavat tolpat ovat aina cm lyhyempiä kuin edellinen. 150 Tolppia on yhteensä 1 51. 3 Ensimmäinen tolppa on,4 m ja viimeinen,4 + (51 1) ( 0,0) = 1,4 (m).,4 1,4 51 96,9 (m) Vastaus: Puuta tarvitaan 96,9 m. 44. a) Kuinka monta kappaletta on nelinumeroisia luonnollisia lukuja? b) Mikä on nelinumeroisten luonnollisten lukujen summa? Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 9
a) Pienin nelinumeroinen luonnollinen luku on 1 000 ja suurin 9 999. Nelinumeroisia luonnollisia lukuja on 9 999 999 = 9 000. b) Luonnolliset luvut muodostavat aritmeettisen lukujonon. 1 000 9 999 9 000 49 495 500 45. Laske. a) 15 ( n 0) n1 b) 30 (17 3 i ) i3 a) Yhteenlaskettavat muodostavat aritmeettisen jonon. Ensimmäinen yhteenlaskettava on 1 + 0 = 00 ja viimeinen 15 + 0 = 17. Yhteenlaskettavia on yhteensä viisitoista. 00 17 15 790 b) Yhteenlaskettavat muodostavat aritmeettisen jonon. Ensimmäinen yhteenlaskettava on 17 + 3 3 = 6 ja viimeinen 17 + 3 30 = 107. Yhteenlaskettavia on yhteensä 8. 6 107 8 186 46. Aritmeettisen lukujonon kymmenes jäsen on 7 ja kymmenen ensimmäisen jäsenen summa 450. Mikä on lukujonon ensimmäinen jäsen? x 7 10 450 5x + 360 = 450 360 5x = 90 : 5 x = 18 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 10
47. Laske kahdeksalla jaollisten kolminumeroisten positiivisten kokonaislukujen summa. 8:lla jaolliset positiiviset kokonaisluvut ovat muotoa 8n. Kokeilemalla voidaan etsiä suurin ja pienin kolmenumeroinen 8:lla jaollinen luku. Pienin niistä on a1 = 13 8 = 104. uurin niistä on an = 14 8 = 99. Yhteenlaskettavien lukumäärä on n = 14 1 = 11. 104 99 11 61 376 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 11