Johdatus materiaalimalleihin 2 kotitehtäväsarja - kimmoisat materiaalimallit Tehtävä Erään epälineaarisen kimmoisen isotrooppisen aineen konstitutiivinen yhtälö on σ = f(i ε )I + Ge () jossa venymätensorin lineaarinen invariantti on I ε = trε ja deviatorinen venymätensori määritellään e = ε 3 Iε I Leikkausmoduuli G oletetaan vakioksi mutta käyttäytyminen on epälineaarista tilavuudenmuutoksen suhteen jossa K ja α ovat positiivisia materiaaliparametreja f(i ε ) = K α ln( + αiε ) (2) Muodosta joustavuusmuotoinen konstitutiivinen yhtälö joka on siis muotoa ε = g(i σ )I + G s jossa I σ = trσ deviatorinen jännitystensori s = σ 3 Iσ I ja g(iσ ) on joustavuuskerroin hydrostattisen paineen alaisuudessa (f on jäykkyyskerroin tilavuudenmuutoksessa) Toisin sanoa määritä g(i σ) 2 Oletetaan leikkausmoduulin G ja K :n relaatio G = ξk Määritä ξ jos suppeumaluku kuormittamattomassa tilassa on ν 3 Määritä näennäinen suppeumaluku ν jännityksen funktiona Oleta yksi ainoa nollasta eroava jännityskomponentti esimerkiksi σ x tällöin näennäinen suppeumaluku voidaan määritellä kaavalla ν = ε y /ε x joka siten riippuu jännitystilasta Piirrä tulokset eri α- parametrin arvoilla (valitse vaikka ν = 2) Onko α parametrilla jotain rajoitetta Perustelu 4 Piirrä veto-puristuskokeen jännitys-venymä kuvaaja Ratkaistaan ensin jännitystensorin jäljen ja muodonmuutostensorin jäljen riippu- Ratkaisu vuus josta saadaan trσ = 3K α ln( + αtrε) ( ) αtrσ exp = + αtrε trε = 3K α [ exp ( αtrσ 3K ) ] Sijoittamalla tämä konstitutiiviseen yhtälöön () saadaan järjestelyjen jälkeen ε = [ ( ) ] αtrσ exp I + 3α 3K G s Yksiakselisessa jännitystilassa esim σ x saadaan ε x = [ ( ) ] ασx exp 3α 3K ε y = [ ( ) ] ασx exp 3α 3K ε z = [ ( ) ] ασx exp 3α 3K + 2 3G σ x 3G σ x 3G σ x Johdatus materiaalimalleihin
Suppeumaluku eli Poisson'n vakioksi ν saadaan merkiten G = ξk σ x ν = ε [ ( ) ] ασx exp y ξk α 3K = ( ] ε x ασx 2σ x ξk + α [ exp 3K ) Tutkitaan 3 tilannett kuormittamatomassa alkutiassa ja linearisoidaan yllä oleva eksponenttilauseke jos ασ x /ξk saadaan 2 σ x σ x ξk ν = 3K ξ 3 2σ x + σ = x 2 ξk 3K ξ + = 3 ξ 6 + ξ 3 εx 4 josta saadaan - -2 ξ = 3 6ν + ν Jos ν -3 = /5 saadaan ξ = 3/2 Alla vasemmalla -4-2 olevassa kuvassa 2on näennäinen 4 Poissonin vakio parametrin α arvoilla 2 4 σ x /K 26 4 24 3 ν 22 2 8 6 εx 2 4-2 -2-4 -2 2 4-3 -4-2 2 4 σ x /K σ x /K 26 Yllä oikealla olevassa kuvassa on esitetty jännitys-venymäkuvaajat yksiakselisessa jännitystilassa parametrin α arvoilla 2 4 ja 8 Huomaa että venymän arvo 24 4 on jo pienten muodonmuutosten otaksuman pätevyysalueen ulkopuolella Parametrin α on tietenkin toteutettava + αi 22 ε > Pienten muodonmuutosten otaksumalla I ε joten α 2 ν 8 6 4 2-4 -2 σ x /K 2 4 Johdatus materiaalimalleihin 2
Tehtävä 2 Määritä lineaarisen poikittaisisotrooppisen aineen kimmokertoimen arvo kun kuormitus on suunnassa n joka muodostaa kulman α isotropiatason normaalin m eli pitkitäissuunnan kanssa Vihje Käytä hyväksesi harjoituksen 6 tehtäviä 2 ja 3 Tehtävä voidaan ajatella myös niin että kuormitus on esimerkiksi x-suunnassa ja m vektori muodostaa kulman α x-akselin kanssa eli m = (cos α sin α ) T Tällöin muodosta ε x = D(α)σ x josta E(α) = /D(α) Piirrä E(θ)/ kun α on välillä ja 9 Oleta kuvaajassa suppeumaluvuille ν L ja ν T jotkut termodynaamisesti soveliaat arvot ja piirrä kuvaajat useammalla G L / suhteella Poikittaisisotrooppisen aineen kimmovakioita koskevat termodynaamista luvallisuutta koskevat ehdot ovat > > G L > (3) < ν T < / < ν L < / (4) ( ν T ) ( ν T ) < ν L < (5) 2 2 Ratkaisu Vihjeen mukaisesti oletetaan että pitkittissuunta muodostaa kulman α x -akselin suhteen jolloin siis m = (cos α sin α ) T täten käyttäen lyhennysmerkintää c = cos α ja s = sin α saadaan c 2 sc 2c 2 σ x scσ x M = mm T = sc s 2 ja σm + M σ = scσ x ja I = trσ = σ x I 4 = tr(σm ) = c 2 σ x Venymätensorin lauseke on nyt ε = (b σ x + b 3 c 2 σ x )I + b 2 σ + (b 3 σ x + b 4 c 2 σ x )M + b 5 (σm + M σ) josta yksiakselisen jännitystilan tapauksessa saadaan joka jäykkyysmuodossa kirjoitettuna on ε x = (b + b 2 + 2(b 3 + b 5 )c 2 + b 4 c 4 )σ x σ x = Kimmokerroin suunnassa α on siten E(α) = b + b 2 + 2(b 3 + b 5 )c 2 + b 4 c 4 ε x b + b 2 + 2(b 3 + b 5 ) cos 2 α + b 4 cos 4 α Tätä ei varsinaisesti tehtävässä pyydetty mutta tutkitaan onko funktiolla f(x) = b + b 2 + 2(b 3 + b 5 )x + b 4 x 2 ääriarvoja kun x Funktiolla f on derivaatan nollakohta kohdassa x = c 2 = (b 3 + b 5 )/b 4 Jotta funktio f olisi monotoninen välillä x on lausekkeiden b 3 + b 5 ja b 4 oltava saman merkkisiä Tällöin kyseisillä x-arvoilla funktiolla f ei ole ääriarvoja välin sisäpisteissä Johdatus materiaalimalleihin 3
Harjoitusten 6 tehtävässä 3 on ratkaistu vakioiden b b 5 arvot käyttäen fysikaalisesti havainnollisempia vakioita b = ν T b 2 = + ν T b 3 = ν T ν L b 4 = + 2ν L + G L b 5 = ( ) 2 G L G T Oletetaan nyt että > Tarkastellaan nyt yhtälöä Jotta sillä ei olisi ratkaisua on oltava joko c 2 = b 3 + b 5 b 4 b 3 + b 5 b 4 > tai b 3 + b 5 b 4 < Tarkastellaan ensiksi ehtoa (b 3 + b 5 )/b 4 > josta saadaan mikäli b 4 > ehto (b 3 + b 5 ) > b 4 ν T + ν L + 2G T 2G L > + 2ν L + G L josta saadaan muutamien välivaiheiden jälkeen viimein ehto G L < Ehdosta b 3 + b 5 < saadaan vastaavasti ehto G L > 2( + ν L ) 2(ν L + / ) Mieti tapaus b 4 < ja b 5 > Tarkastellaan esimerkinomaisesti tapausta jossa / = 2/5 = 4 ja ν L = ν T = /4 = 25 Tällöin edellä mainitut ehdot tuottavat leikkausmoduulille G L seuraavat rajat G L < 2( + ν L ) = 2 5 = 4 ja G L > 2(ν L + / ) = 2 82 Alla olevassa kuvassa on esitetty tapaukset G L / = 5 (ylin käyrä) G L / = 3 (keskimmäinen) ja G L / = 5 (alin) Johdatus materiaalimalleihin 4
9 8 E/EL 7 6 5 4 3 π/8 π/4 α 3π/8 π/2 Johdatus materiaalimalleihin 5
Tehtävä 3 Tarkastellaan yhteen suuntaan kuituvahvistettua materiaalia Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi kuitujen olevan poikkileikkaukseltaan neliöitä joiden svumitta on 2b Kuidut ovat säännöllisessä neliöhilassa ja kuitujen välimatka (keskiömitta) on 2a Yhden kuidun pintaala on siten A f = 4b 2 ja edustavan pinta-alkion pinta-ala A r = 4a 2 Sekä kuitujen että matriisin materiaali otaksutaan isotrooppiseksi ja joiden kimmovakiot ovat E f ν f ja vastaavasti E m ν m Kuitujen tilavuusuhdetta merkitään f = (b/a) 2 (sama kuin pinta-alasuhde) Määritä arvio poikittaisisotrooppisen aineen ainevakioille G L ν L ja ν T lausuttuna kuitujen ja matriisin kimmovakioiden sekä tilavuusosuuden avulla Vihje Tarkastele kuutiomaista edustavaa tilavuusalkiota ja/tai sen neljäsosaa Aseta joko vakiojännitys tai vakiovenymätila vaikuttamaan tilavuusalkioon sopivissa suunnissa ja laske tästä keskimääräiset suureet Esimerkikisi asettamalla pitkittäissuunnassa vakiovenymä laske edustavaan pinta-alkioon kohdistuva voima Keskimääräinen jännitys saadaan siten jakamalla edustavan pinta-alkion pinta-alalla Ratkaisu Tarkastellan 2a 2a kokoista edustavaa pinta-ala alkiota isotropiatasossa Siinä on yksi kuitu jonka pinta-ala on 2b 2b Mikäli nyt oletetaan pitkittäissuunnassa venymä ε x joka on vakio edustavassa pinta-ala-alkiossa Jännitys kuidussa on siten σ f = E f ε x ja matriisissa σ m = E f ε x Edustavan pinta-alkion keskimäräinen jännitys on siten σ x = σ da A r = E m( f)a r + E f fa r A r ε x = [( f)e m + fe f ] ε x = ε x joten = ( f)e m + fe f Vastaavalla tavalla tarkastelemalla leikkausta γ xy saadaan G L = ( f)g m + fg f Tarkastellaan seuraavaksi leikkausta γ yz isotropiatasossa Nyt tarkasteltava pinta-ala on A r = 2aL Keskimääräinen leikkausjännitys τ yz on τ da τ yz = = G m(2a 2b)L + G f 2bL γ yz = [G m ( f) + ] fg f γ yz = G T γ yz A r 2aL joten G T = ( f)g m + fg f Vastaavalla tavalla menetellen voidaan tarkastella y tai z-suuntaista vetoa jolloin saadaan = ( f)e m + fe f Olettamalla venymätila ei ainoata jäljellä olevaa materiaaliparametria ν L voida ratkaista Johdatus materiaalimalleihin 6
Tehtävä 4 Ortotrooppisen aineen kimmovakioiden termodynaamisen luvallisuuden ehtoja on tarkasteltu luentomonisteen luvussa 523 Mikäli otaksutaan suppeumaluvuille eli Poissonin vakioille triviaali yhteys ν 2 = ν 23 = ν 3 = ν Muut suppeumaluvut saadaan kaavasta (575) Määritä missä rajoissa voi kimmokertoimien suhteet E 2 /E ja E 3 /E vaihdella Piirrä rajakäyrän kuvaaja eri termodynaamisesti luvallisilla ν:n arvoilla (E 2 /E E 3 /E )-koordinaatistoon Ratkaisu Rajoiteyhtälöt ovat siten kimmokertoimien positiivisuusvaatimusten lisäksi: Nyt on ν ij ν ji > ν 2 ν 2 ν 23 ν 32 ν 3 ν 3 ν 2 ν 23 ν 3 ν 32 ν 2 ν 3 > (6) ν 2 = E 2 E ν ν 32 = E 3 E 2 ν ν 3 = E E 3 ν Merkitään x = E 2 /E ja y = E 3 /E saadaan ehdoista ν 2 x > ν 2 y/x > ν 2 /y > ja 2ν 3 ν 2 (x + y/x + y) > Nämä voidaan kirjoittaa myös muodoissa x < ν 2 y < ν 2 x y > ν2 y < ( ) 2ν 3 x ν 2 x + x Nämä rajoitekäyrät on piirretty alla olevaan kuvaan kun ν = /3 Sallittu alue on siten sinisen ja vihreän katkoviivan välinen alue 8 E3/E 6 4 2 2 4 6 8 E 2 /E Johdatus materiaalimalleihin 7