1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija. Mittaustuloksista laskettavat suureet eivät siten koskaan ole absoluuttisen tarkkoja, vaan ne sisältävät aina epätarkkuutta. Siksi mittauksiin kuuluu olennaisena osana tuloksen tarkkuuden määrittäminen. Tätä tarkkuuden arviointia matemaattisilla menetelmillä kutsutaan virheen arvioinniksi. Virheen arvioinnilla saat sekä arvion tuloksen tarkkuudesta, että tietoa siitä, mitkä tekijät vaikuttavat eniten mittaustulosten luotettavuuteen. Millä tavoin mittaustuloksen tarkkuus ilmoitetaan? Olkoon havaitsemasi suureen arvo x. Sen tarkkuus voidaan ilmoittaa absoluuttisen virheen x avulla muodossa x. Tämä kertoo, mille välille suureen oikea arvo mittauksesi perusteella sattuu. Erityisesti, kun vertaillaan saman suureen erilaisia mittausmenetelmiä tai erisuuruisista suureista tehtyjä mittauksia keskenään, absoluuttisen virheen sijaan käytetään usein suhteellista virhettä. Suhteellinen virhe ilmoitetaan x x tavallisesti prosentteina eli muodossa 100 % ja se kertoo siis, miten suuri osuus epätarkkuutta tulokseen x sisältyy. Esimerkki 1 Mitattaessa pöydän pituutta l metrimitalla tulokseksi saatiin l = 9,5. Metrimitan lukematarkkuus oli l = 0,1. Tulos kertoo, että pöydän oikea pituus on tämän mittauksen perusteella välillä 9,4 9,6. Mittauksen suhteellinen virhe oli 0,1 /9,5 100 % eli n. 1,1 %. (Huomaa, että laskemme suurinta mahdollista virhettä, jolloin virheet pyöristetään aina ylöspäin.) Esimerkki Verrataan edelliseen pituuden mittaukseen lasermenetelmällä tehtyä mittausta, jossa yhden kilometrin matka mitattiin 1 :n tarkkuudella. Vaikka absoluuttinen virhe on kymmenkertainen edelliseen mittaukseen verrattuna, tämän mittauksen suhteellinen virhe on selvästi pienempi kuin edellisen, sillä se on (0,01/1000) 100 % eli vain 0,001 %.
LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Miten saat selville mittaustuloksesi virheen? Suoraan mitattavissa olevan suureen virheenä käytät mittalaitteen tarkkuutta, jos mittaat suureen vain kerran. Jos mittaat suureen useampaan kertaan ja lasket sen arvon mittaustulostesi keskiarvona, voit käyttää virheenä suurimman ja pienimmän havaintoarvon erotuksen puolikasta, suurinta poikkeamaa keskiarvosta, keskihajontaa tai keskiarvon keskivirhettä. Tärkeää: Huomioi aina mittalaitteen tarkkuus. Jos valitsemasi virheraja on sitä pienempi, käytä virheenä laitteen lukematarkkuutta. Miten saat yksinkertaisella laskulla selville mittaustulostesi perusteella lasketun suureen virheen? Esimerkki 3 Oletetaan, että määrität pöydän pinta-alan A mittaamalla suorakulmion pituuden l ja leveyden w. Saat mittaustuloksiksi l 9,5 ja w 38,0, niin että sekä pituuden että leveyden mittaustarkkuus on 0,1. Mikä on tämän mittauksen perusteella pöydän pinta-ala? Ratkaisu: Pöydän pinta-alaksi saadaan nyt 9,5 38,0 3515,0 0,35150 m. Mittaustarkkuudesta johtuen tiedämme, että todellinen pinta-ala on välillä 9,4 37,9 3501,96 A 9,6 38,1 358,06. Voit pitää pinta-alan absoluuttisen virheen ylärajana näiden kahden tuloksen erotuksen puolikasta eli A Suhteellinen virhe olisi siten (358,06 3501,96) / 13,05 A 13,05 100 % 100 % 0,37 %. A 3515,0 Millaista matemaattista menetelmää voit käyttää lasketun suureen virheen arviointiin? Mitatuista suureista lasketun suureen virhe voidaan määrittää kokonaisdifferentiaalimenetelmällä. Käytämme merkintöjä: f on laskettava suure, joka riippuu mitattavista toisistaan riippumattomista suureista x, yhtälön f f ( x, ) mukaisesti, on suureen f absoluuttinen virhe,.
3 f on suureen f suhteellinen virhe,, ovat mitattujen suureiden x, absoluuttiset virheet, jotka on saatu selville esimerkiksi mittojen lukematarkkuuksista tai suurimpina poikkeamina keskiarvoista, x, y z ovat mitattujen suureiden suhteelliset virheet, jotka on saatu selville jakamalla em. suureen absoluuttinen virhe suureen havaintoarvolla, a, b, c, ovat vakioita, jotka voidaan tässä tarkastelussa olettaa virheettömiksi. Suureen f f ( x, ) absoluuttisen virheen ylärajan määrittäminen perustuu funktion f kokonaisdifferentiaalin df laskemiseen. Kokonaisdifferentiaali df tarkoittaa suuretta df dx dy dz. (L1.1) y z Virheen arvioinnissa on tärkeää kokonaisdifferentiaalin sovellutuksena saatava tulos, jonka mukaan suureen f absoluuttisen virheen f suurin mahdollinen arvo saadaan yhtälöstä y z. (L1.) y z Kannattaa huomata, että yhtälössä (L1.) tarkastelemme pahinta mahdollista tilannetta. Ottamalla yhteenlaskussa käyttöön itseisarvot ajattelemme, että kaikki virheet vaikuttavat samaan suuntaan. Tällä menetelmällä saamme siis selville suureen f absoluuttisen virheen ylärajan. Esimerkki 4 Edellisessä pinta-alamittauksessa laskettu suure oli A lw. Sen absoluuttisen virheen ylärajan laskemiseksi on laskettava funktion A osittaisderivaatat muuttujien l ja w suhteen eli suureet A l ja A w. Osittaisderivaatoiksi saadaan A l da dl w A da ja l, w dw jolloin absoluuttisen virheen ylärajalle saadaan lauseke A A A l w wl lw. l w Sijoittamalla numeroarvot saamme ylärajaksi
4 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA A 38,0 0,1 9,5 0,1 13,05, joka on aivan sama kuin edellä yksinkertaisella päättelyllä saamamme tulos. Virheen lausekkeessa esiintyvien tekijöiden merkitystä havainnollistaa alla oleva kuva, josta myös huomataan, että virheen lauseke ei ole aivan tarkka. Suorakaiteen yhteen kulmaan jää nimittäin katkoviivoin merkitty pieni suorakaide lw, jota ei yllä olevassa laskussa oteta huomioon. Tämä toisen kertaluvun termi on kuitenkin pieni (esimerkissä 0,01 ), joten sen vaikutus peittyy suurempien termien alle. Aw= lw w A = lw w Al=wl l l Miten lopputulokset ilmoitetaan virherajojen avulla? Laskiessasi suureen arvoa mittaustulostesi avulla tee kaikki pyöristykset vasta lopputuloksiin, koska et vielä tiedä, mikä on tuloksesi lopullinen tarkkuus. Kun olet laskenut suureen absoluuttisen virheen ylärajan, voit ilmoittaa sen muodossa f. Oikean ilmoitustarkkuuden saat selville seuraavasti: 1) Muuta ensin lopputulos f ja virhe samanmuotoisiksi. Jos toinen on esitetty kymmenen potenssin tai etuliitteen avulla ja toinen esimerkiksi desimaalilukuna tai erilaisen etuliitteen avulla, mieti kumpi esitystapa sopii tähän tilanteeseen paremmin ja ilmoita kummatkin samalla tavoin. Ilmoita aina lopputulos ja virhe käyttäen samaa desimaalista tarkkuutta. Esimerkki 6 Punnittaessa kappale sen massaksi saatiin m = 7,5 g ja massan virherajaksi määritettiin m = 0 mg. Tässä tilanteessa massan yksikkönä voidaan hyvin käyttää grammaa (g), joten ilmoitetaan virhe muodossa m = 0,00 g. Lopputulos voitaisiin siten ilmoittaa muodossa m = (7,5 ± 0,00) g. Tämän lisäksi on vielä tutkittava, toteutuuko seuraavassa käsiteltävä ns. 15 yksikön sääntö. ) Kun olet saanut lopputuloksen ja virheen ilmoitetuksi samalla desimaalisella tarkkuudella, käytä 15 yksikön sääntöä määrittäessäsi, kuinka monta numeroa otat mukaan lopputulokseen ja virheeseen. Lopputulos on esitettävä siten, että mukaan otetaan vain merkitsevät numerot. 15 yksikön säännön mukaan merkitsevinä numeroina pidetään niitä, joiden epätarkkuus on korkeintaan 15 yksikköä. Muista,
5 että virhe pyöristetään ylöspäin ja lopputulos tavallisten pyöristyssääntöjen mukaan. 15 yksikön säännön mukaan virhe voi siis olla enintään 0,015, 0,15, 1,5 jne. Heti, jos virheeksi saadaan esimerkiksi 0,16 täytyy sekä lopputuloksesta että virheestä pudottaa yksi numero pois, jolloin virhe tulisi olemaan 0,. Esimerkki 7 Tutkitaan, miten edellä tarkasteltu suorakaiteen pinta-ala ilmoitetaan oikein. Pinta-alaksi saatiin A 0,35150 m ja sen absoluuttisen virheen ylärajaksi määritettiin A 13,05. Tuloksen yksikkönä käytetty m on tässä sopiva, joten ilmoitetaan ensin sekä pinta-ala että sen virhe käyttäen samaa desimaalista tarkkuutta näissä yksiköissä, jolloin saadaan A ( 0,35150 0,00131) m. Määritetään vielä oikea ilmoitustapa 15 yksikön säännön avulla. Edellä annetussa tuloksessa viimeisessä mukana olevassa lopputuloksen numerossa 0 olisi virhettä 131 yksikköä. Jos pudotamme yhden numeron pois sekä tuloksesta että virheestä, saamme A ( 0,3515 0,0014) m. Huomaa, että virhettä on nyt pyöristetty ylöspäin. Tämä ehdotuksemme toteuttaa 15 yksikön säännön ja on siten tässä oikea ilmoitustapa. 3) Tarkastele suhteelliseen virheeseen mukaan otettavien numeroiden määrä aina erikseen saman 15 yksikön säännön mukaan. Myös suhteellisen virheen tapauksessa on muistettava, että se voi olla enintään 0,15 %, 1,5 %, 15 % jne. Jos suhteelliseksi virheeksi saadaan esimerkiksi 1,6 %, se pyöristyy muotoon %. Esimerkiksi pintaalan tapauksessa suhteelliseksi virheeksi saatiin 0,37 %, joka pyöristyy muotoon 0,4 %. Suorakulmion pinta-ala A on siten A (0,3515 0,0014) m 0,3515 m 0,4 %.