Polynomi ja yhtälö 103. Sievennä. a) 4a + 3a b) 11x x c) 9x + 6 3x a) 7a b) 12x c) 6x + 6 104. Ratkaise yhtälöt. a) 2x + 3 = 9 b) 8x + 2 = 5x + 17 a) 2x + 3 = 9 3 2x = 6 : 2 x = 3 b) 8x + 2 = 5x + 17 2 8x = 5x + 15 5x 3x = 15 : 3 x = 5 105. Ratkaise yhtälöt. a) 5x 2 = 8 b) 7x 13 = 3x + 3 a) 5x 2 = 8 + 2 5x = 10 : 5 x = 2 b) 7x 13 = 3x + 3 + 13 7x = 3x + 16 3x 4x = 16 : 4 x = 4 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 1
106. Tutki kokeilemalla, onko jokin arvoista 3, 4 tai 5 yhtälön 4x 1 = 2x + 7 ratkaisu. x = 3: 4 3 1 = 2 3 + 7 12 1 = 6 + 7 11 = 13 epätosi x = 4: 4 4 1 = 2 4 + 7 16 1 = 8 + 7 15 = 15 tosi eli x = 4 on yhtälön ratkaisu 107. Sievennä. a) 6x + ( 5x) b) 8a ( 6a) c) 3x ( 4x 2 ) d) 6a 4 e) 7y 3y f) 2x ( 3y) a) x b) 14a c) 3x + 4x 2 d) 24a e) 21y 2 f) 6xy 108. Ratkaise yhtälöt. a) 9x 5 = 13 b) 5x 23 = 2x 5 a) 9x 5 = 13 + 5 9x = 18 : 9 x = 2 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 2
b) 5x 23 = 2x 5 + 23 5x = 2x + 18 2x 3x = 18 : 3 x = 6 109. Muodosta ja sievennä suorakulmion a) piirin, b) pinta-alan lauseke. a) 2 3x 2 4x 6x 8x 14x b) 3x 4x 12x 2 110. Millä muuttujan x arvolla lauseke 4x 9 saa arvon 3? 4x 9 = 3 + 9 4x = 12 : 4 x = 3 111. Sievennä. a) ( 13y + 8) + (11y 12) b) (9x 6) ( 2x + 4) c) 5( 3x + 7) a) 13y 8 11y 12 2y 4 b) 9x 6 2x 4 11x 10 c) 5( 3x + 7) = 15x + 35 112. Ratkaise yhtälöt. a) 8x 110 = 5x + 190 b) 2(2 x) = 5(x + 3) + 1 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 3
a) 8x 110 = 5x + 190 + 110 8x = 5x + 300 5x 3x = 300 : 3 x = 100 b) 2(2 x) = 5(x + 3) + 1 113. Mistä luvusta a) 30 % on 15 b) 75 % on 360? 4 2x = 5x 15 + 1 4 2x = 5x 14 + 5x 4 + 3x = 14 4 3x = 18 : 3 x = 6 a) 0,30x = 15 : 0,30 x = 50 b) 0,75x = 360 : 0,75 x = 480 Vastaus: a) luvusta 50 b) luvusta 480 114. Lemmikkiliike myy hamsterin häkkejä 20 prosentin alennuksella hintaan 63,90. Mikä on häkkien alkuperäinen hinta? 63,90 on 100 % 20 % eli 80 % alkuperäisestä hinnasta 0,80x = 63,90 : 0,80 x = 79,875 ( 79,88) Vastaus: Alkuperäinen hinta on 79,88. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 4
115. Pizzeria myy pizzoja hintaan 6,50. Pizzerian omistajan kulut kuukaudessa ovat 4 200 ja lisäksi 2,50 yhtä pizzaa kohti. Kuinka monta pizzaa pitää kuukaudessa myydä, jotta tulot ja menot olisivat yhtä suuret? x = myydyt pizzat Tulot: 6,50x Menot: 2,50x + 4200 6,50x = 2,50x + 4200 2,50x 4x = 4200 : 4 x = 1050 Vastaus: Pizzoja pitää myydä 1050. 116. Ratkaise yhtälöt. a) 0,2x + 1,2 = 4,8 + 0,4x b) 3 x x 2 8 8 a) 0,2x + 1,2 = 4,8 + 0,4x 1,2 0,2x = 3,6 + 0,4x 0,4x 0,6x = 3,6 : ( 0,6) x = 6 b) 3 x 2 x 8 8 8 3x 16 = x + 16 3x = x + 16 x 2x = 16 : 2 x = 8 117. Ratkaise yhtälöt. x x a) 3 10 b) x 12 5 3 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 5
a) x 5 + 3 = 10 5 x + 15 = 50 15 b) x = 35 x 3 = x 12 3 x = 3x 36 3x 2x = 36 : ( 2) x = 18 118. Ratkaise yhtälöt. a) 4 + 7x = 2 (1 + x) b) x 1 (5x + 4) = 3 4(x + 2) a) 4 + 7x = 2 (1 + x) 4 + 7x = 2 1 x 4 + 7x = 1 x 4 7x = 3 x + x 8x = 3 : 8 3 x 8 b) x 1 (5x + 4) = 3 4(x + 2) x 1 5x 4 = 3 4x 8 4x 5 = 4x 5 aina tosi eli yhtälö toteutuu kaikilla x:n arvoilla 119. Palkasta peritään veroa 27 %. Kuinka suuri palkan pitää olla, jotta veron jälkeen käteen jäisi 1 600? Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 6
Merkitään palkan määrää x:llä. x 0,27x = 1 600 0,73x = 1 600 : 0,73 x = 2 191,78 ( ) Vastaus: Palkan pitää olla 2 191,78. 120. Ratkaise yhtälöt. a) 5(x + 1) 3x = 2x + 5 b) 9 x = x + 2(6 x) c) 3(x + 2) 2 = x + 4 a) 5(x + 1) 3x = 2x + 5 5x + 5 3x = 2x + 5 2x + 5 = 2x + 5 Aina tosi eli yhtälö toteutuu kaikilla x:n arvoilla b) 9 x = x + 2(6 x) 9 x = x + 12 2x x + 9 = x + 12 Aina epätosi eli yhtälö ei toteudu millään x:n arvolla c) 3(x + 2) 2 = x + 4 3x + 6 2 = x + 4 3x + 4 = x + 4 4 3x = x x 2x = 0 : 2 x = 0 121. Kuinka paljon vettä on sekoitettava kolmeen litraan 50-prosenttista alkoholia, jotta saadaan 40- prosenttista alkoholia? Kolmessa litrassa on alkoholia 0,5 3 = 1,5 (litraa). Lasketaan mistä määrästä 1,5 litraa on 40 prosenttia. 0,40x = 1,5 : 0,40 x = 3,75 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 7
Vettä pitää lisätä 3,75 l 3 l = 0,75 litraa. Vastaus: Vettä pitää lisätä 0,75 litraa. 122. Muodosta ja sievennä termien 5x ja 15x a) erotus b) osamäärä c) tulo. a) 5x ( 15x) 5x 15x 10x b) 5x 15x 1 3 c) 2 5x ( 15x) 75x 123. Sievennä. a) 4x ( 3x) b) 7y + ( 2y) c) 6x ( 5y) d) 9a 4a e) 8x ( 2) f) 3x ( y) a) 7x b) 5y c) 6x + 5y d) 36a 2 e) 16x f) 3xy 124. Ratkaise yhtälöt. a) 5x + 7 = 22 b) 3x 6 = 10 c) 8 2x = 10x a) 5x + 7 = 22 7 5x = 15 : 5 x = 3 b) 3x 6 = 10 + 6 3x = 16 : 3 1 5 x = 3 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 8
c) 8 2x = 10x 10x 8 12x = 0 8 12x = 8 : ( 12) 2 x = 3 125. Ratkaise yhtälöt. a) x + 8 = 3x 8 b) 19 9x = x + 29 a) x + 8 = 3x 8 8 x = 3x 16 3x 2x = 16 : ( 2) x = 8 b) 19 9x = x + 29 x 19 10x = 29 19 10x = 10 : ( 10) x = 1 126. Muodosta ja sievennä suorakulmion a) piirin, b) pinta-alan lauseke. a) 5a + 9b + 5a + 9b = 10a + 18b b) 5a 9b = 45ab 127. Millä muuttujan x arvoilla lausekkeet 13x + 10 ja 3x 10 saavat saman arvon? Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 9
13x + 10 = 3x 10 3x 10x + 10 = 10 10 10x = 20 : 10 x = 2 128. Sievennä. a) 6y (3y + 1) b) 2 5(y 1) c) (x 2 7x) + 9(x + 4) a) 6y 3y 1 = 3y 1 b) 2 5y + 5 = 5y + 7 c) x 2 7x + 9x + 36 = x 2 + 2x + 36 129. Jaa 800 kahteen osaan siten, että toinen osa on 60 % toisesta osasta. isompi osa = x pienempi osa = y = 0,60x x + y = 800 x + 0,60x = 800 1,60x = 800 : 1,60 x = 500 y = 0,6 500 = 300 Vastaus: 500 ja 300 130. Ratkaise yhtälöt. a) 4(2x 9) = 5(11 x) b) 17p (18p 4) = 3 2p a) 4(2x 9) = 5(11 x) 8x 36 = 55 5x + 36 8x = 91 5x + 5x 13x = 91 : 13 x = 7 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 10
b) 17p (18p 4) = 3 2p 17p 18p + 4 = 3 2p p + 4 = 3 2p 4 p = 1 2p + 2p p = 1 131. Kirjoita yhtälö ja ratkaise x. a) Lukujen x ja 4 summa on yhtä suuri kuin lukujen 6 ja x tulo. b) Lukujen x ja 2 erotus kerrottuna luvulla 5 on yhtä suuri kuin x. c) Kun luku x kerrotaan luvulla 7 ja tulosta vähennetään 4, tulos on yhtä suuri kuin x lisättynä luvulla 8. a) x + 4 = 6x 4 x = 6x 4 6x 5x = 4 : ( 5) x 4 5 0,8 b) (x 2) 5 = x 5x 10 = x + 10 5x = x + 10 x 4x = 10 x = 10 4 = 2,5 c) 7x 4 = x + 8 + 4 7x = x + 12 x 6x = 12 : 6 x = 2 132. Vuokraa nostettiin 8 %. Mikä oli vuokra ennen korotusta, kun se oli korotuksen jälkeen 621? Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 11
Merkitään x:llä vuokraa ennen korotusta. 1,08x = 621 : 1,08 x = 575 ( ) Vastaus: Vuokra oli ennen korotusta 575. 133. Silmälasiliikkeen tarjouskampanjan alennusprosentti määräytyy asiakkaan iän mukaan. Ellin isoäiti on 80-vuotias, ja hän maksoi silmälaseistaan alennuksen jälkeen 60. Kuinka paljon samat silmälasit olisivat maksaneet Ellille, joka on 18-vuotias? x = alkuperäinen hinta Isoäiti maksoi vain 100 % 80 % = 20 % alkuperäisestä hinnasta. 0,20x = 60 : 0,20 x = 300 Elli joutuisi maksamaan 100 % 18 % = 82 % alkuperäisestä hinnasta 300 0,82 = 246 Vastaus: Ellin silmälasit maksavat 246. 134. Muodosta ja sievennä kappaleen tilavuuden lauseke. x 2x (x + 3) = 2x 2 (x + 3) = 2x 3 + 6x 2 135. Sievennä. a) (x + 2)(x + 6) b) (x 5)(8x + 3) c) 2x 2 (x + 3)(2x 1) Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 12
a) (x + 2)(x + 6) = x x + 6x + 2x + 12 = x 2 + 8x + 12 b) (x 5)(8x + 3) = x 8x + 3x 40x 15 = 8x 2 37x 15 c) 2x 2 (x + 3)(2x 1) = 2x 2 (x 2x x + 6x 3) = 2x 2 2x 2 5x + 3 = 5x + 3 136. Millä vakion k arvolla yhtälön k(x + 2) = 1 ratkaisu on 3? sijoitetaan x = 3 k( 3 + 2) = 1 k ( 1) = 1 k 1 1 1 k = 1 137. Valmistetaan vedestä ja 10-prosenttisesta suolaliuoksesta 12 litraa 4-prosenttista suolaliuosta. Kuinka paljon vettä ja 10-prosenttista suolaliuosta tarvitaan liuoksen valmistamiseen? x = 10-prosenttista suolaliuosta y = vettä x + y = 12 Lopullisesta liuoksesta on suolaa 0,04 12 = 0,48. Tätä suolamäärää varten tarvitaan 10-prosenttista suolaliuosta: 0,10x = 0,48 : 0,10 x = 4,8 Vettä tarvitaan: x + y = 12 x y = 12 x y = 12 4,8 = 7,2 Vastaus: Liuoksen valmistamiseen tarvitaan 4,8 litraa suolaliuosta ja 7,2 litraa vettä. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 13