Kiihtyvyys a on paikan x toinen aikaderivaatta 2

. HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE 9. HARMONISEN LIIKKEEN TEORIAA Jos kappaleeseen (massapisteeseen m) vaikuttava voima (F ) on suoraan verrannollinen kappaleen poikkeamaan (x) tasapainoasemasta ( x 0), voima on ns. harmoninen voima. Matemaattisesti F - kx, missä k on ns. voimavakio (tai jousivakio jousen tapauksessa). Voimavakion mittayksikkö on N/m. Miinus-merkki kertoo, että voima vaikuttaa aina kohti tasapainoasemaa. Newtonin toisen lain mukaan F ma, missä F on kappaleeseen vaikuttavien voimien summa ja a kappaleen saama kiihtyvyys. Kun voima on harmoninen, kappaleen liikeyhtälöksi tulee F ma - kx. Kiihtyvyys a on paikan x toinen aikaderivaatta dv d x a, dt dt joten liikeyhtälö saa muodon d x m + kx 0. dt

Käyttäen merkintää w k/ m liikeyhtälöksi tulee d x w x 0 +, dt joka on toisen kertaluvun vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö. Karakteristisella yhtälöllä r + w 0 on kompleksiset juuret r ± iw ja yleiseksi ratkaisuksi saadaan (katso Fysiikan matematiikkaa moniste) x( t) C coswt+ C sinwt, missä C ja C ovat vakioita. Kun kirjoitetaan ìc Asinf í îc Acosf ja käytetään trigonometristä identiteettiä sin( a + b) sinacosb + cosasin b, saadaan ratkaisu muotoon x( t) Asin( wt+ f). Tässä A on liikkeen amplitudi eli suurin poikkeama tasapainosta, w on ns. kulmataajuus ja f ns. vaihekulma, jonka avulla kappaleen paikka ajanhetkellä t 0 voidaan asettaa. Kappaleen liike on harmonista (sin ja cos ovat harmonisia funktioita). Sin-funktion jakso on p, joten ( wt+ f) ( wt+ f+ p) sin [ w( t+ p / w) + f] sin sin 0

josta jaksonajalle (periodille) T saamme p m T p w k ja edelleen taajuudelle k f T w p p m. Taajuuden mittayksikkö on /s Hz. Harmonisen värähtelijän nopeus v ja kiihtyvyys a saadaan derivoimalla paikkaa x ajan suhteen: dx v( t) wacos( wt+ f) dt dv a( t) - w Asin( wt+ f) dt Kuvassa alla värähtelijän paikka (musta), nopeus (violetti) ja kiihtyvyys (punainen) on piirretty arvoilla A, w ja f p /.

Värähtelijän nopeus on suurin tasapainoasemissa ja nolla ääriasemissa. Kiihtyvyys taas on suurin ääriasemissa ja nolla tasapainoasemissa.. JOUSIVAKION MITTAAMINEN Kun jousen päähän asetetaan punnus (massa m), jousi asettuu tasapainotilaan (venymä x), jossa jousen punnukseen kohdistama voima (kx) on yhtä suuri kuin maan vetovoima (mg ). Kuvassa alla jousen venymä on esitetty ilman punnusta ja punnuksen kanssa. Tässä g on kappaleiden putoamiskiihtyvyys maan vetovoiman alaisuudessa (ns. maan vetovoiman kiihtyvyys).

Venymäksi x saadaan mg g x m k k. Jousivakio (k ) voidaan siis määrittää mittaamalla jousen venymää punnuksen massan funktiona. Kun mittauspisteisiin ( mi, x i) sovitetaan suora, jonka kulmakerroin olkoon b, jousivakio voidaan laskea suoran kulmakertoimesta g b. k Jousivakio voidaan määrittää toisinkin. Saatetaan punnus värähtelemään uuden tasapainoaseman x 0 mg/ k suhteen. Jos nyt x kuvaa punnuksen poikkeamaa tästä tasapainoasemasta, punnukseen kohdistuvalle nettovoimalle saadaan lauseke F mg -k( x - x ) mg -kx - mg - kx. 0 Voima on harmoninen ja jousivakio saadaan yhtälöstä m T p, k kun jaksonaika T mitataan. Tässä oletetaan, että jousi olisi massaton. Voidaan osoittaa, että jousen kokonaismassasta m j värähtelyyn osallistuu efektiivisesti kolmasosa, joten jaksonajaksi tulee 3

m+ m /3 T p j. k Koska 4p 4p m T m+ j, k 3k jousivakio ja jousen massa voidaan määrittää mittaamalla jaksonaika T massan m funktiona ja sovittamalla pisteisiin ( mi, T i ) suora. Suoran kulmakertoimen b ja vakiotermin a avulla saadaan 4p 3ka 3a k ja mj b 4p b. 4.3 MATEMAATTINEN HEILURI Matemaattinen heiluri on ideaalinen heiluri, jossa pistemäinen kappale on kiinnitetty kiinteään pisteeseen massattomalla ja venymättömällä langalla, eikä kitka (esimerkiksi ilmanvastus) vaikuta systeemiin. Kuva vieressä. Olkoon heilurin langan pituus l ja kappaleen massa m. kappaleeseen

vaikuttaa maan vetovoima G mg suoraan alaspäin ja langan tukivoima langan suuntaisesti. Kun lanka poikkeaa kulman q pystysuunnasta, kappaleen radan suuntainen G:n komponentti pyrkii palauttamaan kappaleen tasapainoasemaan. palauttavan voiman suuruus on F - mg sinq. Liikeyhtälöksi tulee ds F ma m - mg sinq, dt missä s lq (q radiaaneina) on kappaleen ja tasapainoaseman välisen l-säteisen ympyräkaaren pituus. Kun kulma q on pieni, sinq» q ja liikeyhtälöksi tulee d q g + q 0. dt l Tämä on samaa muotoa kuin teoriaosassa esitetty liikeyhtälö. Muuttujana nyt on (x:n tilalla) q ja parametri w g/ l. Pienen kulman approksimaation puitteissa matemaattinen heiluri on siis myös harmoninen värähtelijä. Värähdysaika (heilahdusaika) on nyt T p l p. w g Tätä jaksonajan lauseketta käytetään laboratoriotyössä nro maan vetovoiman kiihtyvyyden g määrittämi- 5

seen. Mitattuun g :n arvoon aiheuttavat systemaattista virhettä pääasiassa seuraavat tekijät: - Approksimaation sinq» q epätarkkuus. Voidaan osoittaa, että tarkka liikeyhtälö johtaa heilahdusaikaan g é æö q æ3 ö 0 4q ù T p ê + ç sin + ç sin 0 +... ú l êë èø è 4ø úû missä q 0 on heilahtelun amplitudi (q :n maksimiarvo). Amplitudeilla q 0 30 ja 90 heilahdusajat ovat,7 % ja 6 % suuremmat kuin harmonisen mallin heilahdusajat. - Ilmanvastuksen vaikutus. Hitaassa liikkeessä ilmanvastus on suoraan verrannollinen kappaleen nopeuteen. Voidaan osoittaa, että harmonisen värähtelijän approksimaatiossa heilahdusajaksi tulee p T. g C - l 4m missä C on ilmanvastuksen verrannollisuuskerroin. 6

Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt HARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ. Työn tavoitteet. Mittausten tarkoitus Tässä työssä tutustut jaksolliseen, määrätyin aikavälein toistuvaan liikkeeseen, jota voidaan matemaattisesti kuvata sini- ja kosinifunktioiden avulla. Koska näitä funktioita sisältäviä lausekkeita kutsutaan harmonisiksi, jaksollista liikettä nimitetään usein harmoniseksi liikkeeksi ja jaksollisessa liikkeessä olevaa esinettä kutsutaan harmoniseksi värähtelijäksi. Työssä määrität jousen jousivakion kahdella eri menetelmällä. Ensinnäkin mittaat jousen venymää sen päähän ripustetun punnuksen massan funktiona ja toiseksi saatat jousen punnuksineen harmoniseen värähdysliikkeeseen ja mittaat tämän liikkeen jaksonaikaa massan funktiona. Lisäksi määrität maan vetovoiman kiihtyvyyden matemaattisen heilurin avulla mittaamalla heilurin heilahdusliikkeen jaksonajan sekä langan pituuden.. Oppimistavoitteet Työn tarkoituksena on opettaa sinua käyttämään metrimittaa ja sekuntikelloa, jotka yksinkertaisuudestaan huolimatta kuuluvat edelleen tärkeimpiin perusmittausvälineisiin. Opit määrittämään metrimitan ja kellon lukematarkkuudet ja tarkastelemaan muita mittaustulostesi tarkkuuteen vaikuttavia tekijöitä. Maan vetovoiman kiihtyvyyden luotettavuuden arvioinnin yhteydessä pääset soveltamaan oppimiasi virheen arviointimenetelmiä tärkeän fysiikan perussuureen määrittämisessä. Tässä työssä keskeisenä tavoitteena on myös opetella mittaustulosten käsittelyä taulukkomuodossa ja esittämistä graafisesti. Kolmas tärkeä oppimistavoite on tutustua kahteen menetelmään, joita käyttäen ilmiöitä kuvaavia teoreettisia malleja voidaan sovittaa mittaustuloksiin. Nämä menetelmät ovat graafinen sovitus ja pienimmän neliösumman menetelmä. Niitä käytetään erityisesti silloin, kun mitattavat suureet riippuvat lineaarisesti mittauksissa muunneltavissa olevista suureista, jotka usein voidaan olettaa tarkoiksi. Tässä työssä määrität jousivakion venymämittauksista graafista sovitusta käyttäen. Jousen heilahdusaikamittauksista lasket suoran kulmakertoimen ja vakiotermin arvot luennoilla esitetyistä yhtälöistä taulukkomenetelmän avulla käyttäen apuna Excel-taulukkolaskentaohjelmaa. Kulmakertoimen ja vakiotermin perusteella saat selville tutkimasi jousen jousivakion ja massan. Lisäksi tutustut siihen, miten heilahdusaikamittausten pienimmän neliösumman sovitus voidaan tehdä suoraan Excelin avulla, jolloin saat selville kulmakertoimen ja vakiotermin virherajoineen.

HARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ. Työssä käytettävät laitteet. Metrimitta ja sekuntikello Metrimitalla, jonka lukematarkkuus on 0,5 mm, voidaan sen pituudesta riippuen mitata pituuksia 0, m 30 m. Mittaat sekä jousen venymää että matemaattisen heilurin langan pituutta metrimitalla. Kuvassa. a) on esimerkki työssä käytettävästä metrimitasta. Fysiikan töissä käytettävien sekuntikellojen lukematarkkuudet vaihtelevat yleensä välillä 0,0 0, s. Tässä työssä mitataan kuvassa. b) esitetyllä sekuntikellolla sekä jousen heilahdusaikoja että matemaattisen heilurin jaksonaikoja. Nollaus Käynnistys / Pysäytys Tarkkuus a) b) Kuva.. Tyypillinen fysiikan töissä käytettävä a) metrimitta ja b) sekuntikello.. Jousi.. Venymä Periaatekuva työssä käytettävästä kierrejousesta ja punnuksesta on esitetty kuvassa.. Luentojen luvussa 9 tarkastellaan tarkemmin tilannetta, jossa jouseen ripustetaan m-massainen punnus. Tällöin punnus venyttää jousta voimalla, jonka suuruus on F ja joka on suoraan verrannollinen jousen venymään y. Tasapainotilanteessa, kun jousi ja punnus ovat paikallaan, jousi kohdistaa punnukseen voiman, joka on yhtä suuri, mutta vastakkaissuuntainen kuin punnuksen paino, ts. y ky F ky mg, (.) missä k on jousen jousivakio ja g on maan vetovoiman kiihtyvyys, jolle Oulun korkeudella voidaan käyttää li- mg Kuva.. Jousen venymä ilman punnusta ja punnuksen kanssa.

Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 3 kiarvoa 9,8 m/s. Yhtälön (.) perustella tiedetään, että jousen venymän y ja punnuksen massan m välinen riippuvuus on muotoa g y m eli y bm, (.) k joka on suoran yhtälö, jossa kulmakerroin b antaa suureen g k arvon... Heilahdusaika Tarkastellaan nyt tilannetta, jossa jouseen on ripustettu m-massainen punnus ja jousen venymä on aluksi systeemin ollessa levossa y 0. Yhtälöstä (.) saamme venymälle y 0 ( g k)m. Pannaan jousi punnuksineen sitten värähtelemään tasapainoaseman y0 ympärillä. Tarkastellaan hetkeä t, jolloin punnuksen poikkeama tasapainoasemasta on y. Punnuksen liikkuessa siihen kohdistuu nettovoima, jolle saadaan g F mg - k ( y + y0 ) mg - ky - ky0 mg - ky - k m -ky k. Punnukseen vaikuttavan voiman suuruus on siten suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta ja voiman suunta on sellainen, että se pyrkii palauttamaan punnuksen tasapainoasemaan. Punnuksen liikeyhtälöksi saadaan nyt dv d y d y k F ma m m -ky Þ + y 0. (.3) dt dt dt m Yhtälön (.3) yleinen ratkaisu on muotoa y t) Asin( w t +f) amplitudi eli punnuksen suurin poikkeama tasapainoasemasta, kulmataajuus, (, missä A on liikkeen w pf p T on f on taajuus, T on jaksonaika ja f on vaihekulma. Mittaustilanteessamme punnus lähtee liikkeelle levosta siten, että punnusta on poikkeutettu tasapainoasemasta etäisyydelle A. Alkuehto on siten y ( t 0 ) A, jolloin vaihekulmaksi tulee f p. Tällöin saadaan punnuksen paikaksi ajan funktiona ( wt + p ) Acos( wt ) y( t) Asin. (.4) Kuva.3 esittää punnuksen paikkaa ajan funktiona kahdella eri amplitudin ja vaihekulman arvolla. Sijoittamalla yhtälön (.4) mukainen ratkaisu yhtälöön (.3) kulmataajuuden, jousivakion ja massan väliseksi yhteydeksi saadaan k w. m

4 HARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ Punnus on nyt jaksollisessa liikkeessä tasapainoasemansa molemmin puolin niin, että edestakaiseen heilahdukseen eli yhteen jaksoon kuluva aika, jota kutsutaan jaksonajaksi, värähdysajaksi tai heilahdusajaksi, on T p m p. (.5) w k Tässä työssä käytämme sellaisia jousia ja punnuksia, että emme voi olettaa jousen massaa merkityksettömän pieneksi punnuksen massaan verrattuna. Luennoissa perus- m + 3 m, tellaan, että tällöin yhtälössä (.5) on itse asiassa käytettävää massaa ( ) j missä m j on jousen massa. Näin ollen jaksonajaksi saadaan ( 3) m + m j T p. (.6) k Yhtälöstä (.6) saadaan punnuksineen värähtelevän jousen heilahdusajan neliön punnuksen massan m ja jousen massan m väliseksi yhteydeksi T 4p m 3k j 4p + k m j eli T a T, + b m. (.7) y (cm) 4,5 3,5,5,5 0,5-0,5 -,5 -,5-3,5-4,5 0 0, 0,4 0,6 0,8,,4,6,8 A 4 cm, f 0 A cm, f p/ t (s) Kuva.3. Punnuksen paikka ajan funktiona, kun f Hz, tapauksissa A 4 cm ja f 0 sekä A cm ja f p/.

Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 5.3 Matemaattinen heiluri Tarkastellaan kuvassa.4 esitettyä matemaattista heiluria, jossa pieni m - massainen pallo on kiinnitetty l -pituisella massattomalla ja venymättömällä langalla kiinteään pisteeseen ja saatettu heilahtelemaan niin, että heilahduskulma q on pieni. Jos oletetaan, että erilaiset kitkavoimat, kuten esimerkiksi ilman vastus, voidaan jättää huomiotta, palloon vaikuttavat ainoastaan maan vetovoima ja langan tukivoima. Maan vetovoiman komponentti pallon radan suunnassa on - mgsinq. Pallon liikeyhtälöksi saadaan käyttäen tietoa, että pallon etäisyys tasapainoasemastaan on yhtä kuin l - säteisen ympyrän kaaren pituus s lq q l mgsinq q mg Kuva.4. Matemaattinen heiluri. ( lq ) d s d F ma m m -mg sin q. (.8) dt dt q, jolloin liikeyh- Koska kulma q on pieni, voidaan käyttää approksimaatiota tälöksi saadaan sin q» d q g + q 0, (.9) dt l joka on samaa muotoa kuin edellä saatu yhtälö (.3). Yhtälön (.5) mukaisesti matemaattisen heilurin jaksonaika on T p l p. (.0) w g 3. Ennakkotehtävät Ratkaise seuraavat tehtävät ennen saapumistasi työvuorolle. Palauta ratkaisusi työn ohjaajalle:. Johda yhtälön (.7) perusteella lausekkeet, joista voit laskea jousivakion k ja jousen massan m j pienimmän neliösumman suoran vakiotermin a ja kulmakertoimen b avulla.

6 HARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ. Ratkaise yhtälöstä (.0) maan vetovoiman kiihtyvyys g. Osoita sitten logaritmista kokonaisdifferentiaalimenetelmää käyttäen, että maan vetovoiman kiihtyvyyden suhteellisen virheen D g g yläraja on muotoa Dg g (ln g) Dl l + (ln g) DT T Dl l DT + T. (.) 4. Mittaukset 4. Jousen venymän ja heilahdusajan mittaukset Valitse, minkä jousen osan paikkaa luet mittauksissa asteikolta ja kirjaa varsinaisen venymän määrittämiseksi ylös lukema ilman punnusta. Ripusta sitten ensimmäinen punnus jouseen, kirjaa mittauspöytäkirjaan punnuksen massa ja sitä vastaava jousen uusi paikka asteikolla. Saata sitten jousi punnuksineen heilahtelemaan ja mittaa 0 peräkkäisen heilahduksen aika kolme kertaa. Ripusta tämän jälkeen seuraava punnus edellisen lisäksi jouseen ja toista edellä kuvatut venymä- ja heilahdusaikamittaukset. Toista tätä, kunnes olet tehnyt kummatkin mittaukset kymmenellä eri massalla. 4. Maan vetovoiman kiihtyvyyden mittaaminen Mittaa ensin käytössäsi olevan matemaattisen heilurin langan pituus metrimitalla, kirjaa virheen arviointia varten mittauspöytäkirjaan myös mittauksesi tarkkuus. Pane sitten matemaattinen heiluri heilahtelemaan. Pohdi, mikä approksimaatio sinun tulee ottaa huomioon mittauksissasi. Mittaa 0 peräkkäisen heilahduksen aika kolme kertaa. Mitkä seikat sinun on otettava huomioon määrittäessäsi heilahdusajan virhettä? 5. Mittaustulosten käsittely ja tulosten luotettavuuden arviointi 5. Jousen venymä ja heilahdusaika 5.. Jousivakion määrittäminen venymämittauksista Laske ensin jousen todelliset venymät vähentämällä kutakin massaa vastaavasta jousen paikasta ilman punnusta havaittu paikkalukema. Kirjaa laskujesi tulokset sopivaan taulukkoon. Piirrä sitten Liitteen ohjeiden mukaisesti ( m, y)- koordinaatistoon kuvaaja, joka esittää venymää massan funktiona ja sovita havaintopisteisiin Liitteestä löytyvän mallikuvaajan mukaisesti suora ja määritä sen kulmakerroin. Laske kulma-

Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 7 kertoimen ja maan vetovoiman kiihtyvyyden likiarvon 9,8 m/s avulla jousen jousivakio. 5.. Jousivakion ja jousen massan määrittäminen heilahdusaikamittauksista Yhtälöstä (.7) huomataan, että kun värähtelevän jousen jaksonaika on mitattu punnuksen massan funktiona, kannattaa mittaustulokset esittää ( m, T ) -koordinaatistossa. Jos kaikki on kunnossa, tulisi piirtämäsi pisteiden muodostaa suora. Sovita yhtälön (.7) mukainen suora havaintopisteisiin pienimmän neliösumman menetelmällä käyttäen Liitteen ohjeita, jolloin saat lasketuksi suoran vakiotermin a ja kulmakertoimen b arvot. Laske sitten näiden avulla arvot jousen jousivakiolle ja massalle ennakkotehtävässä johtamistasi lausekkeista. Tutustu vielä ohjaajan avustuksella siihen, miten voit piirtää pienimmän neliösumman suoran Excelin avulla ja määritä jousen massa myös piirtämästäsi suorasta. Määritä suoran kulmakerroin b ja vakiotermi a myös suoraan Excelin avulla hyödyntäen ohjelmasta löytyvää pienimmän neliösumman sovitusta. Tutustu lisäksi siihen, miten voit määrittää Exceliä käyttäen suoran kulmakertoimen ja vakiotermin virheet. 5. Maan vetovoiman kiihtyvyyden määrittäminen Laske matemaattisen heilurin jaksonaika kolmen heilahdusaikamittauksesi keskiarvona ja määritä jaksonajan virhe vertaamalla kellon lukematarkkuutta, reaktioajan aiheuttamaa virhettä ja suurinta poikkeamaa heilahdusajan keskiarvosta. Laske sitten maan vetovoiman kiihtyvyys ennakkotehtävässä johtamastasi yhtälöstä ja yhtälöstä (.0) maan vetovoiman kiihtyvyyden suhteellisen virheen yläraja. Määritä lopuksi myös maan vetovoiman kiihtyvyyden absoluuttinen virhe 6. Lopputulokset ja pohdintaa Ilmoita lopputuloksina sekä venymä- että heilahdusaikamittausten perusteella laskemasi jousivakion arvot sekä heilahdusaikamittausten avulla laskemalla ja kuvaajasta määritetyt jousen massan arvot. Pohdi lopputulosten esitystapaa vertaamalla kahdella eri tavalla saatua jousivakion ja jousen massan arvoa. Ilmoita maan vetovoiman kiihtyvyys virherajoineen ja vertaa saamaasi tulosta taulukkoarvoon.

OULUN YLIOPISTO Työn suorittaja: FYSIIKAN OPETUSLABORATORIO Mittauspäivä: / 0 klo - Fysiikan laboratoriotyöt Työn ohjaaja: HARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ MITTAUSPÖYTÄKIRJA. Jousivakion määrittäminen Massa (kg) Paikka (m) 0 T (s) 0 T (s) 0 T 3 ( ). Maan vetovoiman kiihtyvyyden mittaus 0 T (s) 0 T (s) 0 T 3 (s) 0 T ka (s) Langan pituus l m, l m Ohjaajan allekirjoitus

Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt LIITE SUORAN SOVITTAMINEN HAVAINTOPISTEISIIN Tarkastelemme fysiikan töissä usein eteen tulevaa tilannetta, jossa olemme mitanneet N kpl pistepareja ( X i, Y i ). Arvot X i voidaan olettaa tarkoiksi, mutta arvoihin vaikuttaa satunnaisia, normaalijakauman mukaisia virheitä ja jokaisen arvon epätarkkuus on sama. Lisäksi tiedämme, että tutkimaamme ilmiötä kuvaavan mallin mukaan muuttujien X ja Y välillä tulisi olla lineaarinen riippuvuus, ts. Y a + bx, (L.) missä a ja b ovat tuntemattoman suoran vakiotermi ja kulmakerroin. Tilanne on tällainen esimerkiksi tämän työn kohdalla, kun määritämme jousen jousivakiota mittaamalla jousen paikkaa asteikolla sekä värähtelevän jousi-punnussysteemin heilahdusaikaa massan funktiona. Molemmissa mittauksissa punnuksen massa voidaan olettaa tarkaksi, mutta sekä paikkaan että heilahdusaikaan vaikuttaa satunnaisia virheitä. Seuraavassa tutustumme kahteen erilaiseen menetelmään, joiden avulla voimme sovittaa yhtälön (L.) mukaisen suoran havaintopisteisiimme: Graafiseen sovitukseen, jossa piirrämme havaintopisteet ensin millimetripaperille, piirrämme sitten ns. graafista tasoitusta käyttäen mahdollisimman hyvin havaintopisteitä noudattavan suoran ja määritämme piirretyn suoran avulla kulmakertoimen b ja mahdollisesti myös vakiotermin a. Toiseksi tutustumme myös pienimmän neliösumman menetelmään, jossa ajatellaan, että parhaimmat arvot kulmakertoimelle ja vakiotermille saadaan, kun havaittujen ja teoreettisten Y-arvojen poikkeamien neliöiden summa saa pienimmän mahdollisimman arvon. Yi Yi. Kuvaajista Kuvaajien piirtämistä koskevat mm. seuraavat ohjeet:. Paperin valinta: Jos piirrät kuvaajan käsin, käytä millimetripaperia. Jos teet kuvaajan tietokoneella, tulosta se riittävän suuressa koossa. Usein erillinen liite, jossa kuvaaja täyttää koko sivun, on paras ratkaisu.. Asteikon valinta ja pisteiden merkitseminen: Valitse asteikko ja mittakaava siten, että pisteet on helppo merkitä koordinaatistoon ja pisteiden kautta kulkevan kuvaajan yksityiskohdat erottuvat. Merkitse pisteet selvästi näkyviin käyttäen symbolina esimerkiksi kolmiota, neliötä tai rastia. 3. Akselien jaotus ja katkaisu: Merkitse akselien jaotus ja numerot selvästi näkyviin. Jos piirrettävät arvot sijaitsevat kaukana origosta, akselin voi katkaista ja piirtää

LIITE SUORAN SOVITTAMINEN HAVAINTOPISTEISIIN näkyviin vain alueen, jossa sijaitsee mittauspisteitä. Katkaisu merkitään akselille esimerkiksi kahdella poikkiviivalla oheisen mallin tapaan. 4. Akselien nimeäminen: Nimeä akselit niin, että nimestä käyvät ilmi sekä suure että mittayksikkö. Käytä kuvaajassa samoja merkintöjä ja symboleita kuin muuallakin selostuksessasi. 5. Numeroi ja otsikoi kuvaaja seuraavasti: Kuva. Jousen venymä punnuksen massan funktiona. Kuvaajan otsikon voi sijoittaa kuvan ylä- tai alapuolelle. Yleensä kuvaajat numeroidaan, jolloin otsikkoon tulee piste numeron jälkeen. Jos otsikko on kokonainen lause, piste tarvitaan myös otsikon loppuun. Otsikon lopussa olevaa pistettä on usein tapana käyttää aina, jos kuvaajat on numeroitu. Alla olevaan mallikuvaan on vielä koottu tärkeimpiä kuvaajan piirtämistä koskevia sääntöjä. 0,4 0,3 y (m) Merkitse havaintopisteet selvästi näkyville. Käytä esimerkiksi kolmiota, neliötä tai rastia symbolina. Valitse mittakaava siten, että havaintopisteet ja suora täyttävät reilusti koko piirtoalueen. Nimeä akseli muodossa suure (yksikkö). Merkitse akseleille jaotus ja numerot selvästi näkyviin. 0, 0, Piirrä suora käyttäen viivoitinta. Jos suora ei kulje origon kautta, jatka suoraa tarvittaessa, niin että voit määrittää sen leikkauspisteet vaakaja/tai pystyakselin kanssa. 0 m (kg) 0,00 0,0 0,40 0,60 0,80,00,0 Numeroi ja otsikoi kuvaaja Kuva a). Jousen venymä massan funktiona.

Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 3. Suoran graafinen tasoitus ja sovitus Kun havaintopisteet on piirretty kuvaajaan, niihin voidaan sovittaa suora piirtämällä pisteiden kautta kulkeva suora ns. graafista tasoitusta käyttäen. Tällöin havaintopisteitä mukaileva noudattaa mahdollisimman tarkkaan havaintopisteitä, vaikka se ei kuljekaan kaikkien pisteiden kautta. Nyrkkisääntönä graafisessa tasoituksessa voit pitää sitä, että suoran ylä- ja alapuolelle jää yhtä monta pistettä. Jos tässä vaiheessa löytyy selvästi virheellisiä havaintoja, ne voi jättää huomiotta suoraa piirrettäessä, vaikka pisteet merkitäänkin graafiseen esitykseen. Tarkastellaan vielä lyhyesti esimerkkikuvaajan avulla sitä, miten kulmakertoimen voi määrittää graafisesti. Valitse kaksi suoran pistettä mittausalueen alku- ja loppupäästä niin, että käytät kulmakertoimen määrityksessä mittausaluetta mahdollisimman laajasti. (Huom.! Valitut pisteet ovat siis piirretyn suoran pisteitä, eivät mitattuja pisteitä.) Lue valitsemiesi pisteiden x-arvot (eli esimerkkikuvaajassa m-arvot) ja näitä vastaavat y:n arvot (esimerkissä y:n arvot). Määritä x-arvojen erotus Dx ja y-arvojen erotus Dy. Suoran kulmakerroin on nyt Dy/Dx eli esimerkissä Dy/Dm. 0,4 y (m) Dm (0,96-0,06) kg 0,3 0, Dy (0,35-0,05) m 0, b Dy/Dm 0,375 m/ 0,90 kg 0,3639 m/kg 0 m (kg) 0,00 0,0 0,40 0,60 0,80,00,0 Kuva b). Jousen venymä massan funktiona.

4 LIITE SUORAN SOVITTAMINEN HAVAINTOPISTEISIIN 3. Pienimmän neliösumman menetelmä 3. Pienimmän neliösumman sovitus taulukkomenetelmällä Kun mitataan värähtelevän jousi-punnussysteemin heilahdusaikaa massan funktiona, heilahdusajan neliön mukaan riippuvuus T ja punnuksen massan m välillä on työohjeen yhtälön (.7) T 4p m 3k j 4p + k m eli T a + b m, missä k on jousen jousivakio ja m j on jousen massa. Jos pystymme määrittämään mittaustulostemme avulla vakioiden a ja b arvot, saamme niiden avulla lasketuksi jousen jousivakion ja massan arvot, joista olemme kiinnostuneita. Kutakin mittauksissa käyttämäämme arvoa Y i ja yhtälöstä (L.) saatava teoreettinen arvo teor i X i vastaa nyt kaksi arvoa: Havaittu arvo i teor y i y a + bx. (L.) Muodostetaan nyt teoreettisten arvojen y teor i ja havaittujen arvojen Y i erotusten neliöiden summa Q. Yhtälön (L.) perusteella saamme N N teor å( yi -Yi ) ( a + bx i Yi i i Q å - ). (L.3) Pienimmän neliösumman menetelmässä ajatellaan, että vakioiden a ja b todennäköisimmät arvot, joiden epätarkkuus on pienin mahdollinen, löytyvät tilanteessa, jossa yhtälössä (L.3) esiintyvä neliöiden summa Q saa pienimmän mahdollisen arvon. Tästä johtuu nimi pienimmän neliösumman menetelmä. Haetaan summan Q pienin mahdollinen arvo laskemalla sen osittaisderivaatat vakioiden a ja b suhteen ja asettamalla ne nolliksi. Tällöin saamme seuraavat yhtälöparit ì Q N N N ì ï å ( a + bx i - Yi ) 0 ï Na + bå X i - åyi 0 a i i i í Þ í. (L.4) Q N N N N ï å ( a + bx - ï i Yi ) X i 0 aå X i + bå X i - å X iyi 0 î b i î i i i

Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 5 Esimerkiksi ratkaisemalla b ylemmästä yhtälöstä ja sijoittamalla saatu lauseke alempaan yhtälöön saadaan selville vakion a arvo. Sijoittamalla tämä tulos ylemmästä yhtälöstä saatuun b : n lausekkeeseen saadaan myös vakion b arvo. Näin saadaan vakiotermille a ja kulmakertoimelle b lausekkeet ì ï ïa ï ï í ï ï ï ï î N N åxi åyi - åxiåxiyi i i i i N N NåX - ( åx ) i i i N N Nå XiYi - åxiåyi i i i b N N Nå X - ( å X ) N i i i N i i N. (L.5) Esimerkki. Eräässä työssä haluttiin määrittää kierrejousen jousivakio ja massa. Tätä varten jouseen ripustettiin yksitellen lisäämällä 0 kpl punnuksia, joiden jokaisen massa oli 00 g, jousi punnuksineen pantiin heilahtelemaan ja mitattiin kymmeneen peräkkäiseen heilahdukseen kuluva aika kolme kertaa. Tällöin saatiin alla olevan Taulukon mukaiset tulokset. Sovita tuloksiin työohjeen yhtälön (.7) mukainen pienimmän neliösumman suora ja määritä sen avulla jousen jousivakio ja massa. Ratkaisu: Lasketaan ensin kutakin massaa vastaavat kymmeneen heilahdukseen kuluvat ajat kolmen havainnon keskiarvona ja kirjataan nämä taulukkoon. Jakamalla nämä ajat kymmenellä saadaan selville tutkitun harmonisen värähtelijän jaksonaika. Pienimmän neliösumman menetelmää varten tarvitsemme kuitenkin jaksonaikojen neliöt. Nämä on laskettu ja listattu Taulukkoon. Taulukko. Mitatut kymmenen heilahduksen ajat sekä niiden keskiarvot. m (kg) 0T (s) 0T (s) 0T 3 (s) 0T ka (s) 0, 5,48 5,50 5,45 5,476667 0, 7,9 7,4 7,6 7,63333 0,3 8,67 8,7 8,65 8,676667 0,4 9,9 9,85 9,89 9,886667 0,5 0,93 0,96 0,99 0,96000 0,6,9,98,95,94667 0,7,83,86,87,85333 0,8 3,7 3,69 3,74 3,7333 0,9 4,5 4,53 4,49 4,5000,0 5,7 5,6 5,8 5,7000

6 LIITE SUORAN SOVITTAMINEN HAVAINTOPISTEISIIN Jotta voisimme laskea vakiotermin a ja kulmakertoimen b yhtälöistä (L.5), meidän on laskettava seuraavat summat å m å m, åt, å m T, joissa kaikissa summaus i, i i i i kulkee i : n arvosta arvoon 0. Tässä tapauksessa X i ja T i vastaa merkintää mi vastaa yhtälön (L.5) merkintää Y i. Kootaan näiden laskemista varten Taulukko, jonka toinen sarake vasemmalla sisältää mittauksissa käytetyt massan arvot. Seuraavaan sarakkeeseen on laskettu massojen neliöt. Neljäs sarake vasemmalta lukien sisältää heilahdusaikojen neliöt ja sarake äärimmäisenä oikealla massan ja heilahdusajan neliön tulon kullakin käytetyllä massan arvolla. Taulukon alimmalla rivillä näkyvät tarvittavat summat. Taulukko. Pienimmän neliösumman suoran parametrien laskemisessa tarvittavat arvot. i m (kg) m (kg ) T ka (s ) mt ka (kgs ) 0, 0,0 0,99939 0,09994 0, 0,04 0,57560 0,055 3 0,3 0,09 0,75845 0,5854 4 0,4 0,6 0,97746 0,390985 5 0,5 0,5,06 0,600608 6 0,6 0,36,478 0,856337 7 0,7 0,49,6508,56457 8 0,8 0,64,880555,504444 9 0,9 0,8,0540,89486 0,0,00,3379,3379 Summat 5,5 3,85 3,5607 9,09678 Sijoitetaan nyt tarvittavat summat vakiotermin a ja kulmakertoimen b lausekkeisiin, jolloin saamme a ja åmi åti - åmiå i Nå mi - ( å mi) 50,650665 kg s 38,5 kg å å å mt i - 50,0396 kg - 30,5 kg 3,85 kg s 3,5607 s 0 3,85 kg 0,68370 kg 8,5 kg - 5,5 kg 9,09678 kgs - (5,5kg) s 0,074954 s» 0,0750 s N mt i i - mi Ti 0 9,09678kgs - 5,5 kg 3,5607 s b Nå mi - ( å mi) 0 3,85 kg - (5,5kg). 90,96780 kgs - 7,358094 kgs 8,60977 kgs s s,5573»,6 38,5 kg - 30,5 kg 8,5 kg kg kg

Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 7 Yllä olevan kulmakertoimen b arvon perusteella jousen jousivakioksi saadaan b s 4p,5573 kg k 4p Þ k b 4p,5573s kgm» 7,5 kg s m 7,5 N m. Vastaavasti käyttämällä kulmakertoimen b ja vakiotermin a arvoja yhdessä saamme jousen massaksi a 4p m 3k j 4p m j æ 4p ö 3ç è b ø bm 3 j Þ m j 3a b 3 0,074954 s,5573 s kg» 0,0997 kg 99,7 g. Lasketaan vielä pienimmän neliösumman piirtämistä varten teoreettiset heilahdusajan neliöt i (T ) teor, jotka vastaavat punnuksen massan arvoja m 0, kg, m 5 0,5 kg ja m,0 kg. Näille saadaan 0 teor ( Ti ) a + bmi ì0,074954 s ï í0,074954 s ï î 0,074954 s +,5573s +,5573s +,5573s kg 0,kg» 0,30 s kg 0,5 kg»,0 s kg,0 kg»,33 s. Havaintopisteet ja pienimmän neliösumman suora näkyvät alla olevassa kuvaajassa. Kuva. Heilahdusajan neliö massan funktiona. T 3 (s ),5,5 0,5 Merkitse havaintopisteet selvästi näkyville. Laske suoran piirtämistä varten muutama heilahdusajan neliön arvo yhtälöstä T a +b m. 0 m (kg) -0, 0 0, 0,4 0,6 0,8, -0,5 Piirrä suora käyttäen viivoitinta, jatka - suoraa tarvittaessa niin, että voit lukea leikkauspisteen m-akselin kanssa.

8 LIITE SUORAN SOVITTAMINEN HAVAINTOPISTEISIIN 3. Pienimmän neliösumman sovitus Excel-taulukkolaskentaohjelmalla Nykyisin pienimmän neliösumman sovitus tehdään yleensä sopivaa tietokoneohjelmaa käyttäen. Seuraavassa on koottu lyhyesti ohjeet siihen, miten sovitus tehdään Exceltaulukkolaskentaohjelmalla: ) Kirjaa mittaustuloksesi Excel-taulukkoon. Tee tarvittavat laskutoimitukset Excelillä, niin että sinulla on taulukossasi sarakkeet, josta löytyvät tarkoiksi oletetut arvot X ja niitä vastaavat satunnaisia virheitä sisältävät mitatut arvot Y i. Esimerkiksi edellä esitetyssä heilahdusaikamittauksessa voit lähteä liikkeelle Taulukossa olevista mittaustuloksista ja laskea Excelin avulla kunkin heilahdusajan neliön T i. ) Piirrä havaitut ( X i, Y i )- pisteparit (eli tässä ( mi, Ti )- pisteet) Excelillä kuvaajaan ja muokkaa kuvaajaa niin, että se on sopivan kokoinen ja sieltä löytyvät edellä Kuvassa vaaditut asiat eli esimerkiksi kuvaajan ja akseleiden otsikot. 3) Lisää kuvaajaan pienimmän neliösumman suora esimerkiksi osoittamalla oikealla hiirinäppäimellä jotakin suoran pistettä ja valitsemalla kohta insert trendline (suomenkielisessä versiossa lisää suuntaviiva ). Yleensä ohjelma ehdottaakin jo avautuvassa ikkunassa vaihtoehtoa linear. Jos vielä merkitset ikkunaan rastin ruutuun Display equation on chart, niin saat kuvaajaan halutessasi näkyviin suoran yhtälön. (Huom.! Jos käytät joskus vain kuvaajassa näkyvää yhtälöä, huolehdi siitä, että kulmakerroin ja vakiotermi näkyvät riittävällä numeerisella tarkkuudella.) 4) Tee sitten varsinainen pienimmän neliösumman sovitus vielä erikseen seuraavasti: - Maalaa esimerkiksi mittaustulostaulukkosi alapuolelle x-taulukko ja kirjoita taulukon vasempaan yläkulmaan LINEST( tai suomenkielinen käsky LINREGR(. Excel arvaa kyllä komennon jo muutamasta kirjaimesta, joten voit myös valita oikean vaihtoehdon listasta tuplaklikkauksella. - Kun pääset kohtaan, jossa sulku on auki, Excel alkaa kysellä sinulta tietoja. Koko komento on muotoa LINEST(y:n arvot; x:n arvot; tosi; tosi) eli sulkujen sisällä on neljä parametria, jotka erotetaan toisistaan puolipistein. - Muuttujien y ja x arvot voit maalata hiirellä tekemästäsi taulukosta. - Ensimmäinen parametreista, joiden arvo yllä on tosi, voi myös puuttua, jolloin kohtaan tulee vain kaksi puolipistettä peräkkäin. Tosi voidaan ilmoittaa myös käyttäen numeroa. Jos parametri saa arvon tosi, Excel laskee myös suoran vakiotermin. Sen sijaan antamalla tässä parametrille arvo epätosi, Excel pakottaa suoran kulkemaan origon kautta, jolloin pns-suoran vakiotermi on nolla. - Kun viimeinen sulkujen sisällä oleva parametri saa arvon tosi (tai ), Excel laskee myös virherajat kulmakertoimelle ja vakiotermille. - Paina lopuksi CTRL-SHIFT-ENTER. Tällöin maalaamaasi x-taulukkoon tulostuvat ensimmäiselle riville pienimmän neliösumman suoran kulmakerroin ja vakiotermi ja toiselle riville niiden virheet. i