Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t) = 0 Jos f t = 0 liike autonomista f t = f q = 0 systeemi konservatiivinen f (q) = kq lineaarinen oskillaattori Esimerkki: Ei-autonominen, ei-konservatiivinen värähtelijä: q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 2/17 Liike tasapainopisteen ympärillä Tarkastellaan vakiomassaista m pistehiukkasta potentiaalissa U(q). Systeemi on staattisessa tasapainossa, kun yleistetty voima Q ja nopeus q nollia: Q = du dq = 0 ; q = 0 U(q):lla on tasapainokohdassa aina ääriarvo. Kuva : Stabiili tasapaino värähdysliike Kuva : Epästabiili tasapaino ei värähdysliikettä Kuva : Yllä epästabiili, alla lokaalisti stabiili tasapaino
orstai 18.9.2014 3/17 Lagrangen funktio tasapainoaseman ympärillä Merkitään tasapainoaseman koordinaattia q 0 :lla ja poikkeamaa tasapainosta x = q q 0. Kehitetään potentiaali sarjaksi: U(q) = U(q 0 )+ du x+ 1 d 2 U q0 dq q0 2 dq 2 x 2 +... Valitaan U(q 0 ) = 0 ja tasapainossa du/dq = 0, jolloin q0 U(x) 1 2 kx2, k = d2 U dq 2 q0 Kineettinen termi Joten T = 1 2 m q2 = 1 ( ) d(x + 2 m q0 ) 2 = 1 dt 2 mẋ2 L = 1 2 mẋ2 1 2 kx2
orstai 18.9.2014 4/17 Lagrange liikeyhtälöt tasapainoaseman ystössä L = 1 2 mẋ2 1 2 kx2, L x = kx, L ẋ = mẋ 0 = d (mẋ) ( kx) = mẍ + kx dt Tämä on lineaarisen harmonisen oskillaattorin liikeyhtälö: { ẍ + ω0 2x = 0 ω0 2 = k m suureen ω 0 fysikaalinen dimensio on taajuus Huom! Tulos saavutettiin varsin yleisin oletuksin: konservatiivinen voima stabiili tasapainoasema pieni poikkeama tasapainopisteestä Lagrangen liikeyhtälöt
Torstai 18.9.2014 5/17 Harmonisen värähtelijän liikeyhtälön ratkaisu Lineaarinen 2.krtl tavallinen differentiaaliyhtälö: ẍ + ω 2 0 x = 0 Yhtälöllä on kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua x 1 (t) ja x 2 (t) joiden superpositio yleinen ratkaisu on. Ratkaisut löydetään yritteellä x = e rt, jolloin saadaan karakteristinen yhtälö: (r 2 + ω 2 0 )x = 0 r 2 = ω 2 0 r = ±iω 0 x = e ±iω 0t = cos(ω 0 t) ± i sin(ω 0 t) Yleinen ratkaisu x(t) = A 1 2 e iω 0t + A 2 2 e iω 0t, missä A 1, A 2 C. Koska x R, niin pitää valita A 2 = A 1 : { A 1 A 2 = a + ib = a ib a, b R x(t) = a cos ωt + b sin ωt
Torstai 18.9.2014 6/17 Harmonisen värähtelijän liikeyhtälön ratkaisu Yleisen ratkaisun x(t) = a cos ωt + b sin ωt vakiot a, b määrätään alkuehdoista. Valitsemalla x(0) = x 0 ja ẋ(0) = v 0 saadaan a = x 0, b = v 0 ω 0 Kirjoitetaan vakiot polaarimuodossa { a = A sin δ b = A cos δ x(t) = A (sin δ cos ω 0 t + cos δ sin ω 0 t) = A sin (ω 0 t + δ) missä A antaa oskillaation amplitudin ja δ oskillaation vaiheen.
Torstai 18.9.2014 7/17 Kytketyt värähtelijät: kaksoisheiluri Tarkastellaan seuraavaa esimerkkiä, jossa meillä on kaksoisheiluri tasossa. heiluri 1: (m 1, l 1 ) heiluri 2: (m 2, l 2 ) heilahduskulmat ϕ 1, ϕ 2 Koordinaatit ovat: { x 1 = l 1 cos ϕ 1 y 1 = l 1 sin ϕ 1 { x 2 = l 1 cos ϕ 1 + l 2 cos ϕ 2 y 2 = l 1 sin ϕ 2 + l 2 sin ϕ 2 Huom! epätavallinen tapa valita koordinaatit (x y); seurataan kirjan esimerkkiä!
Kytketyt värähtelijät: kaksoisheiluri T 1 = 1 2 m 1(ẋ 2 1 + ẏ 2 1 ) = 1 2 m 1l 2 1 ϕ2 1 U 1 = m 1 gx 1 = m 1 gl 1 cos ϕ 1 T 2 = 1 2 m 2(ẋ 2 2 + ẏ 2 2 ) = 1 2 m ( 2 (l1 sin ϕ 1 ϕ 1 + l 2 sin ϕ 2 ϕ 2 ) 2 + (l 1 cos ϕ 1 ϕ 1 + l 2 cos ϕ 2 ϕ 2 ) 2) = 1 2 m ( 2 l 2 1 ϕ 2 1 + 2l 1l 2 ϕ 1 ϕ 2 (sin ϕ 1 sin ϕ 2 + cos ϕ 1 cos ϕ 2 ) + l2 2 ) ϕ2 2 = 1 2 m ( 2 l 2 1 ϕ 2 1 + 2l 1l 2 ϕ 1 ϕ 2 cos(ϕ 1 ϕ 2 ) + l2 2 ) ϕ2 2 U 2 = m 2 gx 2 = m 2 g(l 1 cos ϕ 1 + l 2 cos ϕ 2 ) L = T 1 + T 2 (U 1 + U 2 ) = 1 2 (m 1 + m 2 )l 2 1 ϕ2 1 + 1 2 m 2l 2 2 ϕ2 2 + m 2l 1 l 2 ϕ 1 ϕ 2 cos(ϕ 1 ϕ 2 ) + (m 1 + m 2 )gl 1 cos ϕ 1 + m 2 gl 2 cos ϕ 2 Lähes toivotonta jatkaa yleisessä tapauksessa, mutta jos kulmat ovat pieniä... Torstai 18.9.2014 8/17
Torstai 18.9.2014 9/17 Kytketyt värähtelijät: kaksoisheiluri Kehitetään kosini sarjaksi: cos x = n=0 ( 1)n x 2n /(2n)! 1 1 2 x2, jolloin L = 1 2 (m 1 + m 2 )l 2 1 ϕ2 1 + 1 2 m 2l 2 2 ϕ2 2 + m 2l 1 l 2 ϕ 1 ϕ 2 1 2 (m 1 + m 2 )gl 1 ϕ 2 1 1 2 m 2gl 2 ϕ 2 2 Tästä onkin liikeyhtälöiden johto jo tuttua kauraa, Lagrangen yhtälöt ovat: { (m 1 + m 2 )l 2 1 ϕ 1 + m 2 l 1 l 2 ϕ 2 + (m 1 + m 2 )gl 1 ϕ 1 = 0 m 2 l 2 2 ϕ 2 + m 2 l 1 l 2 ϕ 1 + m 2 gl 2 ϕ 2 = 0 Nämä ratkeavat suoraviivaisesti, mutta tällaisille differentiaaliyhtälöryhmille on yleinen ratkaisumenetelmä. Opiskellaan se seuraavaksi.
Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i = 1,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q 1, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0 1, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää q i = q 0 i + x i, missä x i :tä käsitellään pieninä. Taylorin sarja (n-ulotteinen): U(q 1, q 2,..., q n) = U(q 0 ) + i = 1 2 i,j U q0 x i + 1 2 U q0 x i x j +... q i 2 q i,j i q j 2 U q i q j q0 x i x j +... Oletetaan lineaariset oskillaattorit 1 3! Käytetään merkintää k ij = 2 U q i q j q0. 3 U q0 i,j,k x q i q j q i x j x k 0 k orstai 18.9.2014 10/17
q i = q 0 i + x i q i = ẋ i Torstai 18.9.2014 11/17 Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu U = 1 2 U q0 x i x j = 1 k ij x i x j = 1 2 q i,j i q j 2 2 xt K x i,j x 1 k 11 k 12 k 1n x 2 k 21 k 22 x =. xt = (x 1 x 2... x n) K =.... x n k n1 k nn Tarkastellaan seuraavaksi T :tä. Otetaan käyttöön ensin karteesiset koordinaatit {y k } ja oletetaan, että systeemi on skleronominen: y k = y k (q 1, q 2,..., q n) ẏ k = j ẏ 2 k = j ẏ 2 k = i,j y k y k q j q i q j q i i y k y k q i q j q i q j }{{} ẋ i ẋ j i,j y k q j q j y k q i y k q j q0 ẋ i ẋ j
Torstai 18.9.2014 12/17 Kineettiselle termille saadaan Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu T = 1 m k ẏk 2 2 = y k y k m k q i q j q k k i,j i q j ( ) 1 y k y k m k ẋ 2 q i,j k i q j i ẋ j ; M = (m ij ) q0 }{{} m ij Ja siis Lagrangen funktio on komponenttiesityksessä L = T U = 1 m ij ẋ i ẋ j 1 k ij x i x j 2 2 i,j i,j ja matriisiesityksessä x 1 L = 1 2 ẋt M ẋ 1 2 xt K x, x =. x n Lagrangen LY d dt L L = 0 antaa n:n kytketyn värähtelijän liikeyhtälöt: ẋ i x i j (m ij ẍ j + k ij x j ) = 0, i = 1,..., n
Ominaisarvoyhtälö Käytetään yritettä x j = Ca j e iωt, C C, a j R liikeyhtälöihin (m ij ẍ j + k ij x j ) = 0 j j ( m ij Ca j ( ω 2 )e iωt + k ij Ca j e iωt) = 0 j ( kij ω 2 m ij ) aj = 0 Tämä on ominaisarvoyhtälö. Matriisimuodossa sama: a 1 ( K ω 2 M ) a = 0, a =. a n Epätriviaalit ratkaisut: det(k ω 2 M) = 0 k 11 ω 2 m 11 k 12 ω 2 m 12 k 1n ω 2 m in k 21 ω 2 m 21 k 22 ω 2 m 22. = 0... k n1 ω 2 m n1 k nn ω 2 m nn Tämä on n:n asteen polynomiyhtälö ω 2 :lle n juurta. ω1 2, ω2 2,..., ω2 n reaalisia (HT). orstai 18.9.2014 13/17
orstai 18.9.2014 14/17 Ominaisvektorit Muistutus: (K ω 2 M)a = 0, käyttämällä det() = 0 ω 2 = ωi 2, i = 1,..., n. Tehtävänä on seuraavaksi määrittää kuhunkin ominaisarvoon ωi 2 ominaisvektori a i : a 1i (K ωi 2 M)a i = 0, a i =. a ni Saadaan siis 2n kpl ratkaisuja x i = Ca i e ±iω i t. liittyvä (ω 2 i ω 2 j )(at j M a i ) = a T j ω 2 i M a i (ω 2 j M a j ) T a i = a T j K a i (K a j ) T a j = 0 (K, M symmetrisiä) jos lisäksi i j ja ei-degeneroitunut ω 2 i ω 2 j, niin (at j M a i ) = 0, niin tästä seuraa, että a i, a j ovat ortogonaalisia M:n suhteen. Voidaan valita siis normitus: { (a T 1, i = j j M a j ) = δ ij, Kroneckerin delta δ ij = 0, i j Myös a j :t reaalisia (HT).
Torstai 18.9.2014 15/17 Normaalikoordinaatisto Alkuperäinen yrite oli muotoa x j = Ca j e iωt Systeemin värähtelyt x i superpositioita niistä muotoa e iω j t olevista värähtelyistä, joille a ij 0. On olemassa koordinaatisto, jossa ratkaisu on diagonaalinen eli jossa jokainen koordinaatti värähtelee vain yhdellä taajuudella: Normaalikoordinaatisto Määritellään matriisi A: a 11 a 1n A =....... a n1 a nn (A T M A) ij = a T i M a j = δ ij A T M A = I yksikkömatriisi Muita ominaisuuksia: (K A) ij = ωj 2 (M A) ij (K ωj 2 M)a j = 0 (A T K A) ij = ωj 2 (AT M A) ij = ωj 2 δ ij
Torstai 18.9.2014 16/17 Normaalikoordinaatisto (A T K A) ij = ω 2 j (AT M A) ij = ω 2 j δ ij A T K A = Ω 2 ω 2 1 0 ω 2 2... 0 ω 2 n Määritellään sitten normaalikoordinaatit {η i } s.e. x = A η η = A 1 x A T M A = I A 1 = A T M Lagrangen funktio voidaan viimein kirjoittaa muodossa L = 1 2 ẋt M ẋ 1 2 xt K x = 1 2 ηt A } T {{ M A } η 1 2 ηt A } T {{ K A } η I Ω 2 = 1 2 ηt η 1 2 ηt Ω 2 η = 1 2 i ( η 2 i ωi 2 ) η2 i
Torstai 18.9.2014 17/17 Liikeyhtälö ja sen ratkaisu L = 1 2 i ( η 2 i ωi 2 ) η2 i d L L = 0 η j + ωj 2 dt η j η η j = 0, j = 1,..., n j n kpl yksittäisiä harmonisia oskillaattoreita η j = C j cos(ω j t + δ j ) j = 1, 2,..., n ja alkuperäisissä (yleistetyissä) koordinaateissa x i = q i q 0 i = j a ij η j : x i = n C j a ij cos(ω j t + δ j ), C j :t vakioita (alkuarvot) j=1 taajuudet ω j ja vektorit a j = (a 1j, a 2j,..., a nj ) T ovat ratkaisut ominaisarvoyhtälölle (K ω 2 M) a = 0 ( ) (K) ij = k ij = 2 U y k y k, (M) q i q j ij = m ij = m k q q0 k i q j q 0