Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista laskettavat suureet eivät koskaan ole absoluuttisen tarkkoja, vaan ne sisältävät aina epätarkkuutta Tämän epätarkkuuden arviointia esimerkiksi matemaattisilla menetelmillä kutsutaan virheen arvioinniksi Virheen arvioinnilla saat sekä arvion tulosten tarkkuudesta että tietoa siitä, mitkä tekijät vaikuttavat eniten mittaustulosten luotettavuuteen Millä tavoin mittaustuloksen epätarkkuus ilmoitetaan? Olkoon havaitsemasi suureen arvo x Sen epätarkkuus voidaan ilmoittaa absoluuttisen virheen x avulla muodossa x x Tämä kertoo, mille välille suureen oikea arvo mittauksesi perusteella sattuu Erityisesti, kun vertaillaan saman suureen erilaisia mittausmenetelmiä tai erisuuruisista suureista tehtyjä mittauksia keskenään, absoluuttisen x virheen sijaan käytetään usein suhteellista virhettä Suhteellinen virhe ilmoitetaan x tavallisesti prosentteina ja se kertoo, miten suuri osuus epätarkkuutta tulokseen sisältyy Esimerkki 1 Mitattaessa pöydän pituutta l metrimitalla tulokseksi saatiin l = 10,8 Metrimitan lukematarkkuus oli l = 0,1 Tulos kertoo, että pöydän oikea pituus on tämän mittauksen perusteella välillä 10,7 10,9 Mittauksen suhteellinen virhe oli 0,1 /10,8 eli n 0,9 % (Huomaa, että laskemme suurinta mahdollista virhettä, jolloin virheet pyöristetään aina ylöspäin) Esimerkki Verrataan edelliseen pituuden mittaukseen lasermenetelmällä tehtyä mittausta, jossa yhden kilometrin matka mitattiin 1 :n tarkkuudella Vaikka absoluuttinen virhe on kymmenkertainen edelliseen mittaukseen verrattuna, tämän mittauksen suhteellinen virhe on selvästi pienempi kuin edellisen, sillä se on 0,01/1000 eli vain 0,0010 %
LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Miten saat selville mittaustuloksesi virheen? Suoraan mitattavissa olevan suureen virheenä käytät mittalaitteen tarkkuutta, jos mittaat suureen vain kerran Jos mittaat suureen useampaan kertaan ja lasket sen arvon mittaustulostesi keskiarvona, voit käyttää virheenä suurimman ja pienimmän havaintoarvon erotuksen puolikasta, suurinta poikkeamaa keskiarvosta, keskihajontaa tai keskiarvon keskivirhettä Tärkeää: Huomioi aina mittalaitteen tarkkuus Jos valitsemasi virheraja on sitä pienempi, käytä virheenä laitteen lukematarkkuutta Miten saat yksinkertaisella laskulla selville mittaustulostesi perusteella lasketun suureen virheen? Esimerkki 3 Oletetaan, että määrität suorakulmion pinta-alan mittaamalla suorakulmion pituuden l ja leveyden w Saat mittaustuloksiksi l 9,5 ja w 38,0, niin että sekä pituuden että leveyden mittaustarkkuus on 0,5 Suorakulmion pinta-ala on nyt 9,5 38,0 3515,0 0,35150 tiedämme, että todellinen suorakulmion pinta-ala on välillä 9,0 37,5 3450,0 m Mittaustarkkuudesta johtuen 93,0 38,5 3580,5 Voit pitää pinta-alan absoluuttisen virheen ylärajana näiden kahden tuloksen erotusta tai sen puolikasta eli Suhteellinen virhe olisi siten (3580,5 3450,0) 65,5 3515,0 / 65,5 0,018564 % Tällaisella yksinkertaisella tavalla voidaan arvioida virhettä, jos käytettävissä ei ole matemaattisia menetelmiä Millaista matemaattista menetelmää voit käyttää lasketun suureen virheen arviointiin? Mitatuista suureista lasketun suureen virhe voidaan määrittää kokonaisdifferentiaalimenetelmällä Käytämme merkintöjä: f on laskettava suure, joka riippuu mitattavista toisistaan riippumattomista suureista x, yhtälön f f ( x, ) mukaisesti, f on suureen f absoluuttinen virhe,
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 3 f f on suureen f suhteellinen virhe, x, ovat mitattujen suureiden x, absoluuttiset virheet, jotka on saatu selville esimerkiksi mittojen lukematarkkuuksista tai suurimpina poikkeamina keskiarvoista, x x, y z ovat mitattujen suureiden suhteelliset virheet, jotka on saatu selville jakamalla em suureen absoluuttinen virhe suureen havaintoarvolla, a, b, c, ovat vakioita, jotka voidaan tässä tarkastelussa olettaa virheettömiksi Suureen f f ( x, ) absoluuttisen virheen ylärajan määrittäminen perustuu funktion f kokonaisdifferentiaalin df laskemiseen Kokonaisdifferentiaali df tarkoittaa suuretta f f f df dx dy dz (L11) x y z Virheen arvioinnissa on tärkeää kokonaisdifferentiaalin sovellutuksena saatava tulos, jonka mukaan suureen f absoluuttisen virheen f suurin mahdollinen arvo saadaan yhtälöstä f f f f x y z (L1) x y z Kannattaa huomata, että yhtälössä (L1) tarkastelemme pahinta mahdollista tilannetta Ottamalla yhteenlaskussa käyttöön itseisarvot ajattelemme, että kaikki virheet vaikuttavat samaan suuntaan Tällä menetelmällä saamme siis selville suureen f absoluuttisen virheen ylärajan Esimerkki 4 Edellisessä pinta-alamittauksessa laskettu suure oli lw Sen absoluuttisen virheen ylärajan laskemiseksi on laskettava funktion osittaisderivaatat muuttujien l ja w suhteen eli suureet l ja w Osittaisderivaatoiksi saadaan l d dl w d ja l, w dw jolloin absoluuttisen virheen ylärajalle saadaan lauseke l w wl lw l w Sijoittamalla numeroarvot saamme ylärajaksi
4 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST 38,0 0,5 9,5 0,5 65,5, joka on aivan sama kuin edellä yksinkertaisella päättelyllä saamamme tulos Virheen lausekkeessa esiintyvien tekijöiden merkitystä havainnollistaa alla oleva kuva, josta myös huomataan, että virheen lauseke ei ole aivan tarkka Suorakaiteen yhteen kulmaan jää nimittäin katkoviivoin merkitty pieni suorakaide lw, jota ei yllä olevassa laskussa oteta huomioon Tämä toisen kertaluvun termi on kuitenkin pieni (esimerkissä 0,5 ), joten sen vaikutus peittyy suurempien termien alle w= lw w = lw w l=wl l l Millaista matemaattista menetelmää voit käyttää lasketun suureen suhteellisen virheen arviointiin? Lasketun suureen f f ( x, ) suhteellisen virheen f f yläraja saadaan selville jakamalla absoluuttisen virheen f yläraja suureen arvolla f Esimerkiksi edellisen esimerkin tilanteessa suhteellisen virheen ylärajaksi saataisiin siis 65,5 3515,0 0,018564 % Tilanteissa, joissa suure f riippuu mitattavista suureista siten, että sen yhtälössä esiintyy vain tuloja, osamääriä ja/tai potenssiin korotuksia, voidaan suhteellisen virheen yläraja määrittää myös ns logaritmista kokonaisdifferentiaalia käyttäen Tässä menetelmässä lasketaan ensin suureen f luonnollinen logaritmi ln f ja muodostetaan tämän kokonaisdifferentiaali Kokonaisdifferentiaalin määritelmästä saadaan (ln f ) (ln f ) (ln f ) d(ln f ) dx dy dz (L13) x y z Koska tiedämme, että d(ln f ) df f, saamme suhteellisen virheen ylärajaksi f (ln f ) (ln f ) (ln f ) x y z f x y z (L14)
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 5 Esimerkki 5 Suorakaiteen pinta-alan suhteellisen virheen ylärajan laskemiseksi muodostetaan ensin pinta-alan lw luonnollisen logaritmin lauseke ln ln lw ln l ln w ja derivoidaan sitä muuttujien l ja w suhteen, jolloin saadaan ( ln ) 1 ( ln ) 1 ja l l w w Suhteellisen virheen ylärajaksi tulee nyt (ln ) l l 0,5 9,5 0,5 38,0 (ln ) l w w l w w 0,018564 1,8564 % bsoluuttisen virheen ylärajaksi saadaan siten 0,018564 3515,0 65,5 Miten lopputulokset ilmoitetaan virherajojen avulla? Laskiessasi suureen arvoa mittaustulostesi avulla tee kaikki pyöristykset vasta lopputuloksiin, koska et vielä tiedä, mikä on tuloksesi lopullinen tarkkuus Kun olet laskenut suureen absoluuttisen virheen ylärajan, voit ilmoittaa sen muodossa f f Oikean ilmoitustarkkuuden saat selville seuraavasti: 1) Muuta ensin lopputulos f ja virhe f samanmuotoisiksi Jos toinen on esitetty kymmenen potenssin tai etuliitteen avulla ja toinen esimerkiksi desimaalilukuna tai erilaisen etuliitteen avulla, mieti kumpi esitystapa sopii tähän tilanteeseen paremmin ja ilmoita kummatkin samalla tavoin Ilmoita aina lopputulos ja virhe käyttäen samaa desimaalista tarkkuutta Esimerkki 6 Punnittaessa kappale sen massaksi saatiin m = 7,5 g ja massan virherajaksi määritettiin m = 0 mg Tässä tilanteessa massan yksikkönä voidaan hyvin käyttää grammaa (g), joten ilmoitetaan virhe muodossa m = 0,00 g Lopputulos voitaisiin siten ilmoittaa muodossa m = (7,5 ± 0,00) g Tämän lisäksi on vielä tutkittava, toteutuuko seuraavassa käsiteltävä ns 15 yksikön sääntö ) Kun olet saanut lopputuloksen ja virheen ilmoitetuksi samalla desimaalisella tarkkuudella, käytä 15 yksikön sääntöä määrittäessäsi, kuinka monta numeroa otat mukaan lopputulokseen ja virheeseen Lopputulos on esitettävä siten, että mukaan ote-
6 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST taan vain merkitsevät numerot 15 yksikön säännön mukaan merkitsevinä numeroina pidetään niitä, joiden epätarkkuus on korkeintaan 15 yksikköä Muista, että virhe pyöristetään ylöspäin ja lopputulos tavallisten pyöristyssääntöjen mukaan 15 yksikön säännön mukaan virhe voi siis olla enintään 0,015, 0,15, 1,5 jne Heti, jos virheeksi saadaan esimerkiksi 0,16 täytyy sekä lopputuloksesta että virheestä pudottaa yksi numero pois, jolloin virhe tulisi olemaan 0, Esimerkki 7 Tutkitaan, miten edellä tarkasteltu suorakaiteen pinta-ala ilmoitetaan oikein Pinta-alaksi saatiin 0,35150 m ja sen absoluuttisen virheen ylärajaksi määritettiin 65,5 Tuloksen yksikkönä käytetty m on tässä sopiva, joten ilmoitetaan ensin sekä pinta-ala että sen virhe käyttäen samaa desimaalista tarkkuutta näissä yksiköissä, jolloin saadaan ( 0,35150 0,00653) m Määritetään vielä oikea ilmoitustapa 15 yksikön säännön avulla Edellä annetussa tuloksessa viimeisessä mukana olevassa lopputuloksen numerossa 0 olisi virhettä peräti 653 yksikköä Jos pudotamme yhden numeron pois sekä tuloksesta että virheestä, saamme ( 0,3515 0,0066) m Tästäkin täytyy vielä pudottaa numeroita pois, koska viimeisessä tuloksen numerossa 5 on edelleen 66 yksikköä virhettä Seuraava ehdotuksemme ( 0,35 0,007) m toteuttaa 15 yksikön säännön ja on siten tässä oikea ilmoitustapa 3) Tarkastele suhteelliseen virheeseen mukaan otettavien numeroiden määrä aina erikseen saman 15 yksikön säännön mukaan Myös suhteellisen virheen tapauksessa on muistettava, että se voi olla enintään 0,15 %, 1,5 %, 15 % jne Jos suhteelliseksi virheeksi saadaan esimerkiksi 1,6 %, se pyöristyy muotoon % Esimerkiksi pintaalan tapauksessa suhteelliseksi virheeksi saatiin 1,856 %, joka pyöristyy muotoon % Suorakulmion pinta-ala on siten (0,35 0,007) m 0,35 m %