763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 2012
|
|
- Elisabet Tikkanen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 01 1 Sisältö: 1 Differentiaalilaskentaa Integraalilaskentaa 3 Vektorit 4 Potenssisarjoja 5 Kompleksiluvut 6 Differentiaaliyhtälöistä 7 Vektorit ja differentiaalilaskenta 8 Vektori-integrointi Perustuu: Robert A. Adams, Calculus - A Complete Course P. Pietilä, palsta.pdf - moniste, 003
2 1 DIFFERENTIAALILASKENTAA 1.1 RAJA-ARVOT Differentiaalilaskenta (derivointi) perustuu raja-arvojen laskentaan. Funktion f( x ) raja-arvo L pisteessä x x0 on se arvo, jota funktio lähestyy, kun x x0. Sitä merkitään L lim f( x). xx Jos raja-arvo on olemassa, sen täytyy olla yksikäsitteinen eli L lim f ( x ) lim f ( x ) xx x x Funktio on jatkuva pisteessä x 0, jos lim f( x) f( x ) xx 0 eli funktion arvo on sama kuin raja-arvo ko. pisteessä. Esim. 0
3 3 Esim. On huomattava, että jälkimmäisessä esimerkissä rajaarvo on kyllä olemassa ja yksikäsitteinen lim f( x) lim f( x), x1 x1 mutta itse funktiota ei ole määritelty pisteessä x 1, joten se ei voi olla myöskään jatkuva kyseisessä pisteessä. Ole tarkkana: Raja-arvo tarkoittaa funktion arvoa hyvin lähellä tarkastelupistettä, ei funktion arvoa ko. pisteessä. Esimerkiksi kuvassa alla lim gx ( ), mutta g() 1 x
4 4 Laskusääntöjä: Merkitään L lim f( x) ja M lim gx ( ). xa xa Pätee: lim[ f ( x ) g ( x )] L M xa lim[ f ( x ) g ( x )] LM xa lim[ kf ( x)] kl, missä k on vakio xa lim[ f ( x )/ g ( x )] L / M, kun M 0 xa 1. DERIVAATAN MÄÄRITELMÄ Funktion f ( x ) derivaatalla f '( x 0) pisteessä x 0 tarkoitetaan raja-arvoa f( x) f( x0) f '( x0) lim, (1.1) x x 0 xx missä f( x) f( x0) xx0 on funktion erotusosamäärä pisteen x 0 ympäristössä. 0 Geometrisesti derivaatta on funktion kuvaajan tangentin kulmakerroin derivointipisteessä. Derivaatta kertoo siis kuinka voimakkaasti funktio kasvaa tai vähenee tarkastelupisteessä.
5 Esimerkki: Erotusosamäärä. Määritä funktion y f( x) x pisteiden (1,1) ja (,4) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. Ratkaisu: Kysytty kulmakerroin on y f() f(1) 3 3 x 1 1 Yleisemmin: Funktion arvon muutos kohdasta x 0 kohtaan x on f( x) f( x ) ja erotusosamäärä f( x) f( x0) xx 0 0 ilmoittaa funktion arvon keskimääräisen muutosnopeuden välillä x x x0. Erotusosamäärästä päädytään derivaattaan, kun otetaan raja-arvo x x0, jolloin suora "kääntyy" kuvaajan tangentiksi tarkastelupisteessä x 0. 5
6 Esimerkki: Derivaatta. Määritä funktion y f( x) x pisteeseen (1,1) piirretyn tangentin kulmakerroin. Ratkaisu: Otetaan raja-arvo erotusosamäärästä: f( x) f( x0) f '( x0) lim x x 0 xx0 x x0 lim xx0 ( xx0)( xx0) lim xx0 xx0 lim( xx ) x. xx Tässä tarkastelupiste on x0 1, joten derivaatta ja siten myös tangentin kulmakerroin on. Derivaatta on differentiaalilaskennan peruskäsite. 6
7 Derivoituvuus Määritelmässä (1.1) molempien lähestymissuuntien ( x x0 tai x x0) täytyy johtaa samaan tulokseen. Jos raja-arvo (1.1) ei ole yksikäsitteinen tai sitä ei ole olemassa, derivaattaa ei ole määritelty. Jos raja-arvo on yksikäsitteisenä olemassa, sanotaan, että funktio on derivoituva. 7 Fakta: Derivoituva funktio on aina jatkuva. Todistus: Olkoon f derivoituva kohdassa x 0. Koska arvoilla x x0 on f( x) f( x) f( x0) f( x0) f x ( ) f( x0) ( x x0 ) f ( x0 ) xx0 saadaan raja-arvoksi lim f( x) f '( x ) lim( xx ) f( x ) f( x ), xx xx 0 0 mistä väitös seuraa. Jatkuva funktio ei kuitenkaan ole aina derivoituva (seuraava esimerkki):
8 Esimerkki: Tutki onko jatkuva funktio x, kun x 0 f( x) x x, kun x 0 derivoituva kohdassa x 0. 8 Ratkaisu: Erotusosamäärän raja-arvo (derivaatta) negatiiviselta puolelta on f( x) f(0) x0 lim lim lim( 1) 1. x 0 x0 x 0 x0 x 0 ja positiiviselta puolelta: f( x) f(0) x0 lim lim lim( 1) 1. x 0 x0 x 0 x0 x 0 Lähestyminen eri puolilta ei johda samaan tulokseen, joten funktio ei ole derivoituva kyseisessä pisteessä.
9 9 Merkintöjä Funktion y f ( x) derivaattaa f '( x ) merkitään usein myös d df( x) f '( x) y' f( x) Dy Df( x) dx dx. Kun halutaan korostaa, että derivaatta lasketaan nimenomaan pisteessä x 0 (eikä yleisessä pisteessä x) merkitään joskus df( x) f '( x0 ) dx Fysiikassa ajan suhteen derivointia merkitään monesti pisteellä d f () t f () t dt xx 0
10 DERIVAATTOJEN LASKU A) Derivaatta suoraan määritelmästä Määritelmän (1.1) f( x) f( x0) f '( x0) lim x x 0 xx mukaan f ( x ):n derivaatta yleisessä pisteessä x (siis x0 x) on f( x1) f( x) f '( x) lim, x 1 x x x missä x 1 symboli on otettu käyttöön sekaannuksen välttämiseksi. Kun vielä kirjoitetaan x 1 x x, saadaan käytännön laskemista varten helpompi työkalu: 1 0 f '( x) f( xx) f( x) lim. (1.) x x 0
11 Esimerkki: Laske funktion f( x) x derivaatta. Ratkaisu: f( xx) f( x) ( xx) x f '( x) lim lim x 0 x x 0 x x x( x) ( x) x lim lim[ x( x)] x 0 x x 0 x. Hyvä apuneuvo: binomikehitelmä n n n k nk n n! ( ab) ab k0 k, missä k. k!( nk)! Tässä! tarkoittaa kertomaa n! 1 ( n1) n ja on määritelty, että 0! 1. Lasketaan esimerkiksi ( a ) 3 b. Nyt 3 n, joten ( ab) ab ab ab ab b 3ab 3a b a. 11
12 3 Esimerkki: Laske funktion f( x) x derivaatta. Ratkaisu: f f( xx) f( x) ( xx) x '( x) lim lim x 0 x x 0 x Lasketaan ( x x) soveltamalla edellisen esimerkin binomikehitelmää. Tässä a x ja b x, joten ( xx) ( x) 3 x( x) 3x x x ja 3 3 ( xx) x ( x) 3 x( x) 3x x ja derivaatta saadaan raja-arvona x 0, ts. f '( x) 3x 1 Yleisesti: Dx n n 1 nx
13 Esimerkki: Laske funktion f ( x) sin x derivaatta. Ratkaisu: f( xx) f( x) sin( xx) sin x f '( x) lim lim x 0 x x 0 x Yleisesti pätee (ks. vakio- ja kaavakokoelma) 1 1 sin sin cos ( ) sin ( ), joten 1 1 sin( xx) sin xcos ( xx) sin x. Edelleen sinin sarjakehitelmästä näemme (vakio- ja kaavakokoelma), että sin x x, kun x 0, 1 1 joten derivaataksi saamme 1 1 cos ( xx) x lim lim cos 1 ( x x) x 0 x x 0 cos x Siis Dsin x cos x Muutamien tavallisimpien funktioiden derivaattoja Esim. 1/ 1 1/ 1 D x Dx x x 13
14 14 B) Derivaatan laskusääntöjä Seuraavassa f ja g ovat derivoituvia funktioita ja a ja b vakioita. Lineaarisuus: d af ( x ) bg ( x ) af '( x ) bg '( x ) (1.3) dx Esim. 3 d 3 dx dsin x 5x 4sin x x 4cos x dx dx dx Tulon derivointi: d f ( xgx ) ( ) f '( xgx ) ( ) f ( xg ) '( x ) (1.4) dx Esim. 3 d 3 dx 3 dcos x 3 x cos x cos x x 3x cos x x sin x dx dx dx Osamäärän derivointi: d f( x) f'( xgx ) ( ) f( xg ) '( x) dxgx ( ) g ( x) Esim. dx d( x 1) ( x 1) x d x dx dx x( x 1) x dx x 1 ( x 1) ( x 1) 3 x ( x 1) (1.5)
15 Yhdistetyn funktion derivointi: (ketjusääntö) d f ( gx ( )) f '( gx ( )) g '( x ) (1.6) dx Esim. 1 d sin( x ) cos( x ) xxcos( x ) dx Tässä siis f sin( g), missä g x on ns. sisäfunktio. Esim. d 1 1 x. dx x x Tässä f g, missä g x 15 Käänteisfunktion derivointi: Oletetaan, että muuttuja z on ratkaistavissa yhtälöstä x f ( z), ts. 1 1 z f ( x), missä f on nyt funktion f ns. käänteisfunktio. Esimerkiksi, jos on xz 3, niin voidaan ratkaista z 1 ( x 3). Tässä siis f( z) z3 x ja f ( x) ( x3) z on käänteisfunktio. 1 1 Kun funktion derivaatta tunnetaan, niin käänteisfunktion derivaatta voidaan laskea kaavasta
16 Df ( x) f '( z) (1.7) Esimerkissä siis D ( x 3) D[z 3], mikä selvästikin pitää paikkansa. 1 1 Esim. z Jos x e, niin z ln x. Lasketaan käänteisfunktiotekniikalla D[ln x ], kun tiedetään, että D[ e ] e. z z Nyt 1 z z f ( x) ln x, f ( z) e ja f '( z) e, jolloin 1 1 (1.7):stä tulee D[ln x] z e x. Arkus-funktiot (syklometriset funktiot) - trigonometristen funktioiden käänteisfunktioita 16 x x x sin z ja z arcsin x, z cos z ja z arccos x, 0 z tan z ja z arctan x, z Huomaa arkus-funktioiden arvoalueiden rajaus, joka on seurausta käänteisfunktion yksikäsitteisyysvaatimuksesta.
17 17 Lasketaan esimerkiksi arccos x-funktion derivaatta. Käänteisfunktion kaavasta (1.7) saamme 1 1 Darccos x Dcos z sin z missä sinz 1 cos z 1 x, joten lopulta tulee Darccos x Voidaan laskea mm. tulokset: 1 Darcsin x 1x 1 Darccos x 1x 1 Darctan x 1 x 1 1x.
18 KORKEAMMAN KERTALUVUN DERIVAATAT Jos funktion f( x ) derivaatta f '( x ) on myöskin derivoituva, voidaan laskea ns. toinen derivaatta f '( xx) f '( x) Df '( x) lim x 0 x jne. kolmas, neljäs, n:s derivaatta. (1.8) Funktion n:ttä derivaattaa merkitään mm. n ( n) n d f( x) f ( x) D f( x) n dx Alhaisen kertaluvun derivaatoilla käytetään myös esimerkiksi f () ( x) f ''( x) DDf ( x) ja ajan suhteen derivoinnissa esimerkiksi d f() t f() t dt Esimerkki: Laske funktion f( x) ln x kolmas derivaatta. 1 Ratkaisu: f '( x) D(ln x) 1 1, f ''( x) D x x x 1 f '''( x) D 3 x x
19 SOVELLUTUKSIA - käsitellään vain fysiikan kannalta tärkeimpiä A) Suureiden muodostaminen (esimerkkinä nopeus) Nopeus kertoo aikayksikössä kuljetusta matkasta. Tarkastellaan esimerkkinä pitkin x-akselia etenevää kappaletta, jonka paikka xt () ajan t funktiona on esitetty alemmassa kuvassa. Kappaleen keskinopeus aikavälillä t määritellään suhteena x xt ( t) xt (), t t ts. jaetaan kuljettu matka siihen käytetyllä ajalla. Selvästi kysymyksessä on erotusosamäärä, josta kappaleen hetkellinen nopeus v () t ajan hetkellä t saadaan ottamalla raja-arvo t 0, ts laskemalla paikan xt () derivaatta xt ( t) xt () v ( t) lim, (1.9) t 0 t
20 eli siis dxt () v () t xt (). (1.10) dt Kiihtyvyys on nopeuden muutos aikayksikössä ja vastaavasti se saadaan nopeuden derivaattana () () dv t d xt at () v () t xt () (1.11) dt dx Esimerkki: Gepardi kiihdyttää pitkin x-akselia niin, että sen paikkakoordinaatti x ajanhetkellä t lähdöstä noudattaa yhtälöä t. x() t (5,0 m/s) a) Laske gepardin keskinopeus aikavälillä t 1 t, kun t1 1,0s ja t,0s. b) Laske gepardin hetkellinen nopeus ajanhetkellä t 1,0s 0 Ratkaisu: a) keskinopeus erotusosasmääränä x x(,0s) x(1,0s) 0m5,0m 15 t,0s 1,0s 1,0s m/s b) hetkellinen nopeus derivoimalla v () t x() t (10 m/s) t, josta hetkellä 1,0 s tulee v (1,0s) 10 m/s 1,0 s 10 m/s
21 1 B) Approksimaatiot Derivaatan määritelmästä (1.) f( xx) f( x) f '( x) lim x 0 x voidaan ratkaista likimääräisesti f( xx) f( x) f '( x) x. (1.1) Tässä siis uusi funktion arvo f( x x) lasketaan lisäämällä alkuperäiseen arvoon f( x ) muutos f f '( x) x. (1.13) Muutos f lasketaan käyttäen derivaatan (tangentin kulmakertoimen) arvoa pisteessä x viereisen kuvan mukaisesti. On selvää, että approksimaatio on sitä tarkempi mitä pienempi x on. Esimerkiksi sin( x) sin(0 x) sin(0) cos(0) x x, joka on sitä tarkempi mitä pienempi x on.
22 Esimerkki: Newton-Raphsonin menetelmä yhtälön f( x) 0 ratkaisemiseksi (funktion oltava derivoituva). Arvataan ratkaisulle likiarvo x 0 ja approksimoidaan funktiota x 0 :n läheisyydessä lineaarisella kuvaajalla (vrt. (1.1) ja katso kuva alla) f( x) f( x ) f '( x )( x x ) Tämä on suora, joka leikkaa x-akselin pisteessä f( x0) x 1 x 0 f '( x ). Piste x 1 on yleensä parempi likiarvo nollakohdalle kuin x 0. 0 Toistamalla menettely käyttäen seuraavaksi lähtöarvona x 1 :tä saadaan taas parempi likiarvo x jne... Jatkamalla samalla tavalla (iteroiden) saadaan f( xn ) xn 1 xn, f '( x ) jne..., kunnes f( x n) on halutulla tarkkuudella nolla. n
23 Esimerkki: Laske 6:n arvo vähintään kolmen desimaaliin tarkkuudella käyttäen Newton-Raphsonmenetelmää. Ratkaisu: On siis etsittävä funktion f x ( ) x 6 positiivinen nollakohta, ts. on ratkaistava yhtälö x 6 0. Koska f () ja f (3) 3 etsimämme ratkaisu on välillä x 3. Arvataan x0,5. Lisäksi joten x x x f x ja f '( x) x, ( ) x 6 f( x ) 0,5000,50000, x 0 f '( x0) 5,00000 f( x ) 0,0050,45000, x 1 f '( x1) 4,90000 f( x ) 0, ,44949, x f '( x) 4, Kolmella desimaalilla on siis 6,449 3
24 4 C) Ääriarvot Käsitteitä: - paikallinen eli lokaalinen maksimi /minimi - absoluuttinen eli globaali maksimi/minimi Derivoituvan funktion f( x ) ääriarvokohdissa (maksimeissa ja minimeissä), jotka sijaitsevat funktion määrittelyalueen sisällä, funktion tangentti on x-akselin suuntainen eli derivaatta on nolla f '( x) 0. Ääriarvokohdat voivat sijaita myös funktion määrittelyalueen reunapisteissä.
25 Esimerkki: Olkoon funktio f( x ) määritelty siten, että f ( x) Etsi ääriarvopisteet. x, kun 1 x 1. Ratkaisu: Hahmotellaan kuvaaja. Derivaatta f '( x) x on nolla pisteessä x 0. Maksimit (arvoltaan 1) sijaitsevat reunapisteissä x 1 ja minimi (arvoltaan 0) pisteessä x 0 Pisteet, joissa derivaatta häviää, ovat ns. kriittisiä pisteitä. Derivaatan häviäminen on ääriarvon välttämätön ehto, mutta ei kuitenkaan riittävä. Katso esim. piste x 3 edellisellä sivulla. Kahdesti derivoituvalla funktiolla nähdään: - siirryttäessä maksimikohdan yli vasemmalta oikealle ensimmäinen derivaatta pienenee, ts. toinen derivaatta on negatiivinen, f ''( x) 0. 5
26 6 - siirryttäessä minimikohdan yli vasemmalta oikealle ensimmäinen derivaatta kasvaa, ts. toinen derivaatta on positiivinen, f ''( x) 0. - jos toinen derivaatta kriittisessä pisteessä on nolla, f ''( x) 0, kyseessä ei ole maksimi eikä minimi. 4 3 Esimerkki: Analysoi funktion f ( x) 3x 4x kriittiset pisteet. Ratkaisu: Hahmotellaan kuvaajaa: Kriittiset pisteet saadaan asettamalla Tästä 3 f '( x) 1x 1x 0. 1 x ( x1) 0, josta x 0 ja x 1. Toinen derivaatta on f ''( x) 36x 4x, joten f ''(0) 0 ja f ''(1) 1 0. Pisteessä x 0 ei ole minimiä eikä maksimia. Pisteessä x 1 funktiolla on minimi.
27 D) l'hospitalin sääntö - apuneuvo muotoa 0/0 tai / olevien raja-arvojen laskemiseksi: 7 Jos ja jos joko tai niin f '( x) lim xa g '( x ) f( x) 0 ja gx ( ) 0, kun x a f( x) ja gx ( ), kun x f( x) lim xa gx ( ) A A a sin x Esimerkki: lim x 0 x Tässä sekä osoittaja että nimittäjä lähestyvät nolla, joten voidaan soveltaa l'hospitalin sääntöä sin x cos x lim lim cos0 1 x0 x x0 1
28 sin x Esimerkki: lim x 0 x Taas l'hospitalin ehdot ovat voimassa ja sin x 4sin x cos x sin x lim lim lim x0 x x0 x x0 x ja edelleen l'hospitalin säännöllä sinx cosx lim lim4 4 x0 x x0 1 Esimerkki: lim xln x x0 Tässä nollaa lähestytään positiiviselta puolelta, jotta logaritmi-funktio olisi määritelty. Tässä raja-arvossa x 0 ja ln x. Kirjoitetaan raja-arvo muodossa lim ln x, x0 1/ x jolloin l'hospitalin ehdot ovat voimassa ja voidaan laskea 1 lim xln x lim x lim( ) 0 x 0 x 0 1 x. x0 x 8
29 9 1.6 USEAMMAN MUUTTUJAN FUNKTIOT A) Osittaisderivaatat Esimerkiksi sähkökentässä liikkuvan varatun hiukkasen potentiaalienergia w riippuu hiukkasen paikasta kolmiulotteisessa avaruudessa w wxyz (,, ). Tämä on esimerkki useamman (kolmen tässä tapauksessa) muuttujan funktiosta. Muuttujat x, y ja z. Ns. Osittaisderivaatta x-muuttujan suhteen on w wx ( xyz,, ) wxyz (,, ) lim (1.14) x x 0 x ja vastaavasti määritellään osittaisderivaatat myös y:n ja z:n suhteen, alla z:n suhteen: w wxyz (,, z) wxyz (,, ) lim. z z 0 z Mikäli osittaisderivaatat ovat edelleen derivoituvia, voidaan laskea korkeamman kertaluvun osittaisderivaattoja, esim: w tai w w yx yx, jne w x x x
30 Useimmissa fysiikan probleemoissa osittaisderivaatat ovat hyvin käyttäytyviä ja "pehmeitä", jolloin sekaderivaatoissa derivointijärjestyksellä ei ole merkitystä, esimerkiksi w w xy yx 3 3 Esimerkki: Laske funktion g( x, y) x 7x y y kaikki osittaisderivaatat toiseen kertalukuun saakka. Ratkaisu: Ensimmäisen kertaluvun derivaatat g 3x 14xy ja g 7x 3y x y ja toisen kertaluvun g (3x 14 xy) 6x14y x x g 3x 14xy14x yx y g 7x 3y 14x xy x g (7x 3 y ) 6y y y Joskus osittaisderivaattoja merkitään alaindekseillä. Esimerkiksi 30
31 31 g y g, y g xy g, xy B) Kokonaisdifferentiaali Tarkastellaan useamman muuttujan funktiota f( x, x,..., x ). 1 Muuttujien variaatioista xi aiheutuva funktion muutos f on approksimatiivisesti, katso (1.13) f f f f x x... xn. (1.15) x x x 1 1 Tämä saadaan tarkaksi infinitesimaalisella rajalla 0, jolloin kirjoitetaan x i f f f df dx dx... dxn x x x 1 1 n n n (1.16) Suure df on ns. kokonaisdifferentiaali. Esimerkki: Mittaustuloksen virheen arviointi. Määritetään sylinterin tilavuus mittaamalla sen korkeus h (arvioitu mittaustarkkuus olkoon h) ja halkaisija d (tarkkuus d ). Tilavuus saadaan laskettua kaavasta 1 V dh 4
32 Mittausten epätarkkuudesta aiheutuva tilavuuden virhe on approksimatiivisesti V V 1 1 V d h dhd d h. d h 4 Poikkeamat d ja h voivat olla positiivisia tai negatiivisia. Varmuuden vuoksi arvioinnissa kirjoitetaan 1 1 V dh d d h max 4 Mittausvirheet ovat monesti sitä suurempia mitä suurempia mitattavat suureet ovat, joten relevantimpi epätarkkuuden mitta on suhteellinen virhe V V d h max V d h d h 1 max 4 3 C) Kokonaisderivaatta Oletetaan, että hiukkasen energia w riippuu paikan (,, ) xyz lisäksi myös ajasta t, ts. w wxyzt (,,,), missä myös paikka riippuu ajasta, eli x xt (), y yt () ja z zt (). Kysymys: Miten lasketaan energian derivaatta ajan suhteen?
33 33 Vastaus: Ketjusäännön (1.6) mukaan x-koordinaattiin liittyvä muutos on approksimatiivisesti (ks ja 1.15) w x w t xt x t x ja muille koordinaateille vastaavasti. Kokonaismuutos on w w w w w x t y t z t t, x y z t joka muuttuu eksaktiksi, kun siirrytään rajalle t 0: josta w w w w dw x y z dt x y z t dw w w w w x y z. dt x y z t Tämä on kokonaisderivaatta, joka itse asiassa on ihan tavallinen derivaatta. Onhan w loppujen lopuksi vain ajasta riippuva funktio.
34 34 Esimerkki: Laske funktion f ( x, y) sin( xy ) derivaatta ajan suhteen, kun x() t t ja y( t) cost. Ratkaisu: Kokonaisderivaatta on df f f x y dt x y y cos( xy ) x xy cos( xy ) y cos tcos( tcos t) tcostcos( tcos t)( sin t) cos( tcos t)(cos ttsintcos t) Samaan päädytään, jos derivoidaan suoraan funktiota g( t) sin( xy ) sin( tcos t) D) Implisiittinen derivointi Tarkastellaan yhtälöä f( x, y) c, missä c on vakio. Esimerkiksi origokeskeinen yksikköympyrä on f ( x, y) x y 1. Miten tästä lasketaan y:n derivaatta x:n suhteen?
35 35 1. tapa: Ratkaistaan y, jos se ylipäätään on mahdollista ja derivoidaan.. tapa: implisiittisesti ratkaisematta yhtälöä: Yhtälön f( x, y) c kokonaisdifferentiaali on f f dx dy x y 0, josta suoraan ratkaisemalla saadaan dy dx f x f y. (1.17) Esimerkiksi yksikköympyrän tapauksessa dy x x dx y y Esimerkki: Muodosta implisiittisesti derivaatta dy / dx yhtälöstä sin( xy) y x. Ratkaisu: Kirjoitetaan f( x, y) sin( xy) yx 0, jolloin df dx f y cos( xy) 1 ja xcos( xy) 1, y
36 joten dy y cos( xy) 1 1 y cos( xy) dx xcos( xy) 1 1xcos( xy) 36
Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotMapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1
Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
Lisätiedot2.2 Jatkuva funktio Funktio f(x) jatkuva pisteessä x 0, jos f on määritelty. Esim. sin x. = lim. lim. (1 x 2 /6 + O(x 4 )) = 1.
2 Raja-arvo ja erivaatta 2 Raja-arvon määritelmä Funktiolla f() on raja-arvo f 0 pisteessä 0 jos f() lähestyy arvoa f 0 kun lähestyy arvoa 0 Merkitään f() f 0 kun 0 (2) tai Raja-arvo matemaattisemmin:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotBM20A0300, Matematiikka KoTiB1
BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotMatematiikka B1 - TUDI
Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin
LisätiedotAnalyysi I (sivuaineopiskelijoille)
Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2017 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 1 of 18 Kahden muuttujan funktioista
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta
Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
Lisätiedotf(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
Lisätiedot5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 13 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
LisätiedotMatematiikka B1 - avoin yliopisto
28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan
LisätiedotDifferentiaalilaskennan tehtäviä
Differentiaalilaskennan tehtäviä DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona 2. Derivoimiskaavat 2.1
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 3. luento 17.11.2017 Neuroverkon opettaminen (ohjattu oppiminen) Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavoite-pareilla
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
Lisätiedotb) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)
Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
LisätiedotSivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi
Sivu 1 / 8 A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste Olli Kauppi Monisteen ensimmäinen luku käsittelee derivointia hieman yleisemmästä näkökulmasta. Monisteen lopussa on kurssilla
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
Lisätiedotd Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali
6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla
Lisätiedotsin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,
LisätiedotKaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
Lisätiedot1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ
Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilij oille I
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x
LisätiedotLuento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotLuento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotMatematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to
Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
LisätiedotMAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotReaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011
Kuudennen eli viimeisen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuihin 2.3. ja 2.4. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Jatkuvuuden
LisätiedotKERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Harri Hakula Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2018 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
LisätiedotPisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta
Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i
Lisätiedotjakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotMuutoksen arviointi differentiaalin avulla
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 10
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen
LisätiedotBM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 2016
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 2016 1. (a) Anna likiarvo lineaarisen approksimaation avulla sille mitä on T (100.5), kun T (100) = 45 ja T (100) = 10. (b) Käyttäen lineaarista
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 3A (Vastaukset) Alkuviikolla
Lisätiedot