Eksponenttiyhtälö ja logaritmi 225. Valitse yhtälölle oikea ratkaisu. a) 3 = 9 b) 7 = 7 c) 2 = 16 = 1 = 2 = 3 = 4 a) = 2 b) = 1 c) = 4 226. Päättele yhtälön ratkaisu. a) 10 = 100 b) 10 = 1 000 000 c) 10 = 1 a) = 2, koska 10 2 = 100 b) = 6, koska 10 6 = 1 000 000 c) = 0, koska 10 0 = 1 227. Ratkaise yhtälö 2 = 5 funktion f() = 2 kuvaajan avulla. Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 1
Funktio saa arvon 5, kun 2,3. 228. Tutki kokeilemalla, onko luku = 1,86 yhtälön likimääräinen ratkaisu. a) 5 = 9 b) 5 = 20 b) 6 = 28 a) 5 1,86 = 19,95 eli ei ole b) 5 1,86 = 19,95 20 eli on c) 6 1,86 = 28,013 28 eli on Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 2
229. Ratkaise yhtälöt. a) 4 = 16 b) 7 = 1 c) 10 = 0,1 d) 2 + 1 = 4 a) 4 = 16 4 4 2 2 b) 7 = 1 7 0 7 0 c) 10 = 0,1 10 1 10 1 d) 2 + 1 = 4 2 2 1 2 1 2 1 230. Ratkaise yhtälöt funktion f() = 3 kuvaajan avulla. Anna vastaukset yhden desimaalin tarkkuudella. a) 3 = 5 b) 3 = 2 c) 3 = 1 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 3
a) 3 = 5 1,5 b) 3 = 2 0,6 c) 3 = 1 Kuvaaja on kaikilla :n arvoilla akselin yläpuolella. Yhtälöllä ei ole ratkaisua. 231. Määritä. a) log39 b) log1010 000 c) log55 a) log39 on yhtälön 3 = 9 ratkaisu. Koska 3 2 = 9, log39 = 2. b) log1010 000 on yhtälön 10 = 10 000 ratkaisu. Koska 10 4 = 10 000, log1010 000 = 4. c) log55 on yhtälön 5 = 5 ratkaisu. Koska 5 1 = 5, log55 = 1. 232. Ratkaise yhtälöt kahden desimaalin tarkkuudella. a) 9 = 40 b) 2 = 85 c) 0,7 = 0,05 a) = log940 = 1,678 1,68 b) = log285 = 6,409 6,41 c) = log0,70,05 = 8,399 8,40 233. Ratkaise yhtälöt kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. a) 6 = 2 b) 5 4 = 50 c) 3 7 = 45 a) = log62 = 0,3868 0,387 b) = log410 = 1,660 1,66 c) = log3(45:7) = 1,693 1,69 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 4
234. Suomen väkiluku oli vuoden 2015 alussa 5,47 miljoonaa ja väestönkasvu 0,38 % vuodessa. Väestönkasvun oletetaan jatkuvan samanlaisena. a) Laske arvio Suomen väkiluvulle vuonna 2020. b) Muodosta funktio f(), joka antaa arvion Suomen väkiluvulle, kun vuoden 2015 alusta on kulunut vuotta. c) Minä vuonna Suomen väkiluku ylittää arvion mukaan 6 miljoonaa? a) 1,0038 5 5,47 milj = 5,574 milj 5,57 milj b) f() = 1,0038 5 470 000 c) Lasketaan kuinka monta vuotta kestää, että väkiluku on kasvanut 6 miljoonaan: 1,0038 5 470 000 = 6 000 000 1,0038 = 6 000 000 : 5 470 000 = log1,0038(6 000 000 : 5 470 000) = 24,383 eli 6 miljoonaa saavutetaan vuonna 2015 + 24 = 2039 Vastaus: a) Suomen väkiluku on noin 5,57 miljoonaa. b) f() = 1,0038 5 470 000 c) Väkiluku ylittää 6 miljoonaa vuonna 2039. 235. Yrityksen vuotuinen liikevaihto oli 1,85 miljoonaa euroa. Huonon taloudellisen tilanteen takia liikevaihto pieneni 10 % vuodessa. a) Laske yrityksen liikevaihto kolmen vuoden kuluttua. b) Muodosta funktio f(), joka ilmaisee yrityksen liikevaihdon euroina vuoden kuluttua, kun liikevaihdon lasku jatkuu samansuuruisena. c) Kuinka monessa vuodessa yrityksen liikevaihto on pudonnut alle miljoonan euron? a) 0,9 3 1 850 000 = 1 348 650 1,35 miljoonaa b) f() = 0,9 1 850 000 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 5
c) 0,9 1 850 000 = 1 000 000 0,9 = 1 000 000 : 1 850 000 = log0,9(1 000 000 : 1 850 000) = 5,838 eli kuudessa vuodessa Vastaus: a) Liikevaihto on 1,35 miljoonaa. b) f() = 0,9 1 850 000 c) Liikevaihto on pudonnut alle miljoonan kuudessa vuodessa. 236. Laurin palkkaa korotetaan joka vuosi 2 %. Kuinka monen vuoden kuluttua Laurin palkka on 50 % suurempi kuin ennen korotuksia? 1,02 = 1,5 = log1,021,5 = 20,475 eli 21 vuoden kuluttua Vastaus: Palkka on 50 % suurempi 21 vuoden kuluttua. 237. Ratkaise yhtälöt. a) 5 1 = 25 b) 2 2 = 32 a) 5 1 = 5 2 1 = 2 2 +1 = 1 : ( 1) = 1 b) 2 + 1 = 2 5 + 1 = 5 5 1 4 = 1 : ( 4) = 1 4 238. Minkä luvun a) 6-kantainen logaritmi on 3 b) 4-kantainen logaritmi on 1? a) 6 3 = 216 b) 4 1 = 1 4 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 6
239. Sievennä. a) log44 15 log5 2 13 b) 5 c) 13 log 7 a) = log44 15 4 = 4 15 samankantaisuus = 15 b) log52 on yhtälön 5 log5 2 = 2 ratkaisu, joten 5 = 2 log 7 1 log 7 log 7 1 1 1 13 13 13 c) 13 13 13 7 7 240. Piirrä laskentaohjelmalla funktioiden kuvaajat samaan koordinaatistoon. a) f() = 2 ja g() = log2 b) f() = 3 ja g() = log3 c) f() = 0,4 ja g() = log0,4 Minkä säännönmukaisuuden havaitset kuvaajissa? Kuvaajat ovat toistensa peilikuvia suoran y = suhteen. 241. Ratkaise yhtälöt. a) 10 = 1 000 b) 7 = 7 c) 3 + 5 = 1 a) 10 = 1 000 3 10 10 3 b) 7 = 7 1 7 7 1 c) 3 + 5 = 1 3 3 5 0 5 0 5 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 7
242. Ratkaise yhtälöt funktion f() = 0,6 kuvaajan avulla. Anna vastaukset yhden desimaalin tarkkuudella. a) 0,6 = 3 b) 0,6 = 1 c) 0,6 = 0,5 a) 2,2 b) Kuvaaja on kaikilla :n arvoilla -akselin yläpuolella. Yhtälöllä ei ole ratkaisua. c) 1,4 243. Määritä. a) log28 b) log416 c) log100,1 a) log28 on yhtälön 2 = 8 ratkaisu. Koska 2 3 = 8, log28 = 3. b) log416 on yhtälön 4 = 16 ratkaisu. Koska 4 2 = 16, log416 = 2. c) log100,1 on yhtälön 10 = 0,1 ratkaisu. Koska 10 1 = 0,1, log100,1 = 1. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 8
244. Määritä a) luvun 64 kaksikantainen logaritmi b) luvun 1 9 kolmikantainen logaritmi. a) log264 on yhtälön 2 = 64 ratkaisu. Koska 2 6 = 64, log264 = 6. 1 b) log3 on yhtälön 3 1 9 9 ratkaisu. Koska 3 9, 1 log3 2. 9 2 1 245. Ratkaise yhtälöt kolmen desimaalin tarkkuudella. a) 2 = 14 b) 10 = 150 c) 0,95 = 0,4 a) log214 = 3,8073 3,807 b) log150 = 2,1760 2,176 c) log0,950,4 = 17,8638 17,864 246. Ratkaise yhtälöt kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. a) 3 6 = 24 b) 8 5 = 1 c) 0,7 180 = 90 a) 3 6 = 24 : 3 6 = 8 = log68 = 1,16 1,2 b) 8 5 = 1 : 8 5 = 1 : 8 = log5(1 : 8) = 1,29 1,3 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 9
c) 0,7 180 = 90 : 180 0,7 = 0,5 = log0,70,5 = 1,94 1,9 247. Intiassa arvioitiin olevan tiikereitä noin 1 700 vuonna 2010. Suojelutoimenpiteiden ansiosta tiikerikanta on sen jälkeen kasvanut 7 % vuodessa. a) Kuinka paljon tiikereitä oli Intiassa vuonna 2014? b) Minä vuonna tiikerien määrä Intiassa ylittää 5 000,jos kasvu jatkuu samanlaisena? a) 1,07 4 1 700 = 2 228 2 200 b) 1,07 1 700 = 5000 log1,07(5 000 : 1 700) = 15,94 eli 16 vuoden päästä, mikä tarkoittaa vuotta 2010 + 16 = 2026. Vastaus: a) Tiikereitä oli 2 200. b) Määrä ylittää 5 000 vuonna 2026. 248. Pienen kunnan asukasluku on 1 090, ja se on viime vuosina pienentynyt 1,4 % vuodessa. Asukasluvun pienenemisen oletetaan jatkuvan samanlaisena. a) Arvioi kunnan asukasluku viiden vuoden kuluttua. b) Kuinka monen vuoden kuluttua kunnan asukasluku alittaa arvion mukaan 800 asukasta? a) 0,986 5 1090 = 1015,8 1020 b) 0,986 1090 = 800 log0,986(800 : 1 090) = 21,93 eli 22 vuoden kuluttua Vastaus: a) Asukasluku on 1020. b) Asukasluku alittaa 800 22 vuoden kuluttua. 249. Paperitehtaassa asetetaan tavoitteeksi vähentää päästöjä 3 % vuodessa. Kuinka monen vuoden kuluttua päästöt ovat vähentyneet 30 %, jos tavoite toteutuu? 0,97 = 0,7 log0,970,7 = 11,709 eli 12 vuoden kuluttua Vastaus: Tavoite toteutuu 12 vuoden kuluttua. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 10
250. Ratkaise yhtälö. a) 6 4 1 = 36 b) 2 + 3 = 8 a) 6 4 1 = 6 2 samankantaisuus 4 1 = 2 + 1 4 = 3 : 4 = 3 4 b) 2 + 3 = 2 3 samankantaisuus + 3 = 3 3 3 2 = 3 : ( 2) = 1 1 2 251. Ratkaise yhtälö. a) log3 = 4 b) log5 = 3 a) = 3 4 = 81 b) = 5 3 1 1 = 3 5 125 252. Sievennä lauseke. a) 2 9 log4 3 log 2 b) 4 c) 10 2lg6 a) = log22 9 logaritmin perussääntö 2 = 2 9 samankantaisuus = 9 b) log43 on yhtälön 4 log4 3 = 3 ratkaisu, joten sijoittamalla se :n paikalle saadaan 4 3 2lg 6 lg 6 2 1 1 10 10 6 2 6 36 c) 2 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 11