HUOKOISUUS JA DIMENSIOT TUOMAS SAHLSTEN

HUOKOISUUS JA DIMENSIOT TUOMAS SAHLSTEN Pro Gradu -tutkielma Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto 1. helmikuuta 2009

Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Tekijä Författare Author Laitos Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tuomas Sahlsten Työn nimi Arbetets titel Title Huokoisuus ja dimensiot Oppiaine Läroämne Subject Matematiikka Työn laji Arbetets art Level Pro Gradu -tutkielma Tiivistelmä Referat Abstract Aika Datum Month and year helmikuu 2009 Sivumäärä Sidoantal Number of pages 47 Tutkielmassa käsitellään johdantoluontoisesti kahta joukkojen hienorakennetta kuvaavaa käsitettä huokoisuus ja dimensio sekä niiden välisiä yhteyksiä. Tutkielman aihe on pääsääntöisesti analyysin piirissä ja käytämme erityisesti mittateorian, metrisen topologian ja lineaarialgebran perustietoja. Huokoisuuden käsittely tapahtuu esittelemällä euklidisen avaruuden huokoisten- ja tasaisesti huokoisten joukkojen perusominaisuuksia. Dimensioita käsittelemme taasen määrittelemällä Hausdorffin dimension, pakkausdimension ja Minkowskin dimensioiden euklidisessa avaruudessa ja esittelemällä yhteyksiä näiden dimensioiden välille. Emme tutki kaikkia näiden käsitteiden perusominaisuuksia vaan esittelemme lähinnä ne ominaisuudet, joita tarvitsemme tutkittaessa huokoisuuden ja dimensioiden välisiä yhteyksiä. Huokoisuuden ja dimensioiden yhteyksien käsittely tapahtuu esittelemällä muutamia viime vuosien tutkimustuloksia aiheesta. Pääosa näistä tutkimustuloksista ovat huokoisten joukkojen dimensioiden suuruuden analysoimista. Olemme valinneet tässä osiossa tarkemmin käsiteltäväksi tulokseksi asymptoottisen tarkan ylärajan löytämisen tasaisesti huokoisten joukkojen Minkowskin dimensiolle. Käsittely pohjautuu paljolti artikkelin Asymptotically sharp dimension estimates for k-porous sets (Esa Järvenpää, Maarit Järvenpää, Antti Käenmäki, Ville Suomala; Math. Scand. 97, sivut 309 318, 2005) vastaavaan yleisempään tulokseen sovellettuna tilanteeseemme. Tutkielman lopuksi määrittelemme vielä viime aikoina vahvasti tutkitut yleisemmät käsitteet k-huokoisuus, suunnattu huokoisuus sekä huokoisuuden ja dimensiot yleisissä metrisissä avaruuksissa. Analysoimme miten edellä esitetyt perusominaisuudet mahdollisesti yleistyvät näille määritelmille ja esittelemme muutamia yleistettyjä tuloksia. Avainsanat Nyckelord Keywords Huokoisuus, Hausdorffin dimensio, pakkausdimensio, Minkowskin dimensio Säilytyspaikka Förvaringställe Where deposited Kumpulan tiedekirjasto Muita tietoja Övriga uppgifter Additional information

Sisällysluettelo Johdanto... 5 Merkinnöistä... 6 1. Huokoisuus... 7 1.1 Huokoinen joukko.................................................. 7 1.2 Ominaisuuksia..................................................... 11 2. Dimensiot... 16 2.1 Hausdor n dimensio.............................................. 17 2.2 Pakkausdimensio.................................................. 18 2.3 Minkowskin dimensio.............................................. 20 2.4 Dimensioiden välisiä epäyhtälöitä.................................. 21 3. Huokoisuuden vaikutus dimensioon... 27 3.1 Yleinen tapaus.................................................... 27 3.2 Vahva huokoisuus.................................................. 30 4. Yleistämisestä... 42 4.1 k-huokoisuus...................................................... 42 4.2 Suunnattu huokoisuus............................................. 42 4.3 Metrinen huokoisuus............................................... 43 Viitteet... 47

Johdanto Matematiikassa tulee usein vastaan joukkoja, joilla on hyvin hienovarainen rakenne. Näistä tunnettuja esimerkkejä ovat monet itsesimilaarit fraktaalit. Usein näiden rakennelmien geometriaa tutkittaessa esimerkiksi topologian, di erentioituvuuden ja Lebesguen mitan peruskäsitteiden avulla ei päästä aluksi kovinkaan pitkälle. Esimerkiksi itsesimilaareja fraktaaleja on hyvin monenlaisia, mutta usein nämä perinteiset käsitteet antavat jokaisen kohdalla samankaltaisia vastauksia eivätkä nämä vastaukset kerro paljoakaan joukkojen hienorakenteesta. Jos haluamme löytää jotain tietoa myös joukon hienorakenteesta, niin tarvitsemme uusia työkaluja. Tässä tutkielmassa käsittelemme kahta joukkojen hienorakennetta kuvaavaa käsitettä huokoisuus ja dimensiot. Huokoisuus on suure, joka kuvaa joukon reikien suhteellista kokoa kaikilla tarpeeksi pienillä skaaloilla. Dimensiot taasen kuvaavat kuinka paljon joukko täyttää avaruutta. Nämä käsitteet ovat konstruktioiltaan hyvin erilaisia, mutta niiden välillä vallitsee yhteyksiäkin, joita myös esittelemme. Paneudumme pääosin euklidisen avaruuden R n huokoisuuteen, dimensioihin sekä niiden välisiin yhteyksiin, mutta käsittelemme lisäksi näiden käsitteiden yleistyksiä. Tutkielman tavoitteena on, että sen luettuaan lukijalla on selkeä intuitio siitä miten myös joukkojen hienorakenteeseen päästään käsiksi. Tutkielmassa oletetaan lukijalta kohtuullista metrisen topologian ja mittateorian peruskäsitteiden hallintaa. 5

6 Merkinnöistä Tutkielman teksti noudattaa pääosin yleisessä käytössä olevia merkintätapoja. Seuraavassa muutama yleinen tutkielmassa käytetty merkintä. N luonnollisten lukujen joukko {1, 2, 3,...} Q rationaaliluvut R n n-ulotteinen euklidinen avaruus normitopologialla P(A) joukon A kaikkien osajoukkojen kokoelma x pisteen x œ R n euklidinen normi x y vektoreiden x, y œ R n välinen pistetulo B(x, r) x-keskinen ja r-säteinen avoin pallo {y œ R n : y x <r} B(x, r) x-keskinen ja r-säteinen suljettu pallo {y œ R n : y x Æ r} S n 1 n-ulotteinen yksikköpallokuori {x œ R n : x =1} (a, b) avoin väli, missä Œ Æ a<bæ +Œ [a, b] suljettu väli, missä Œ Æ a<bæ +Œ Ā joukon A µ R n sulkeuma ˆA joukon A µ R n reuna A + a siirtojoukko {x + a : x œ A}, missä a œ R n A venytysjoukko { x : x œ A}, missä œ R d(a) joukon A µ R n läpimitta d(x, A) pisteen x œ R n etäisyys joukosta A µ R n d(a, B) joukkojen A ja B välinen etäisyys r r 0 luku r lähestyy lukua r 0 oikealta r ø r 0 luku r lähestyy lukua r 0 vasemmalta log luonnollinen logaritmi log e : (0, +Œ) æ R m ú n n-ulotteinen Lebesguen ulkomitta m n n-ulotteinen Lebesguen mitta A(Á) joukon A µ R n suljettu Á-laajentuma {x œ R n : d(x, A) Æ Á} H(x, ) puoliavaruus {y œ R n :(y x) > 0}, missä œ S n 1 G(m, n) avaruuden R n m-ulotteisten aliavaruuksien kokoelma V aliavaruuden V œ G(m, n) ortokomplementti x vektorin x œ R n virittämän aliavaruuden (suoran) ortokomplementti X(x, V, ) kartio {y œ R n : d(y x, V ) Æ y x }, missä 0 < < 1, x œ R n ja V œ G(m, n). Tutkielmassa mainitaan lisäksi usein termi skaala. Esimerkiksi voidaan mainita, että huokoinen joukko on reikäinen jokaisella tarpeeksi pienellä skaalalla. Tällä tarkoitetaan sitä, että valittuna jokin piste x joukosta, niin tarpeeksi pienillä säteillä eli skaaloilla r>0 ympäristössä B(x, r) esiintyy joukon reikiä.

1. Huokoisuus Huokoisuus on alun perin fysiikassa esiintyvä suure, joka kuvaa tutkittavan kiinteän materiaalin reikien suhteellista kokoa. Matematiikassa tämä idea voidaan yleistää joukoille ajattelemalla, että joukko on huokoinen, jos siinä esiintyy jokaisella skaalalla tietyn kokoisia reikiä. Tällöin näiden reikien koko, niin sanottu huokoisuus (eng. porosity), kertoo joukon reikien suhteellisen koon. Tässä näkyy miten huokoisuus kuvaa joukon hienorakennetta. Hienorakenteisissa joukoissa, kuten monissa itsesimilaareissa fraktaaleissa, voi esiintyä hyvinkin pienillä skaaloilla reikiä, joiden suhteellinen koko säilyy skaalattuna. 1.1. Huokoinen joukko. Huokoisuus määritellään perinteisimmin avaruuden R n joukoille, mutta se voidaan myös määritellä avaruuden R n Radon-mitoille [BJKR] ja jopa funktioille [Za]. Tällöin intuitiivinen tulkinta on hieman epäselvempi, mutta ideana on pääosin ajatella reikien käsitettä toistuvan tarpeeksi pienillä skaaloilla. Huokoisuuden idean esitti ensimmäistä kertaa Denjoy artikkelissa [De], mutta laajempaa tutkimusta huokoisista joukoista esitti Dolûenko artikkelissa [Do]. Huokoisuutta käytettiin erityisesti yhteyksissä di erentiaalilaskentaan, kuten esimerkiksi ei missään derivoituvan mutta jatkuvan funktion konstruoimisessa ja funktioiden reuna-arvoja tutkittaessa. Tässä tutkielmassa keskitymme vain joukkojen huokoisuuteen. Määritelmä 1.1. Joukon A µ R n huokoisuus on luku por(a) := inf por(a, x), xœa missä por(a, x) := lim inf por(a, x, r) r 0 ja por(a, x, r) := sup{í > 0:B(y, Ír) µ B(x, r) \ A jollain y œ R n } kaikilla x œ R n ja r>0. Joukko A µ R n on huokoinen tai Í-huokoinen, jos por(a) > Í jollain Í > 0. Määritelmä 1.1 voi vaikuttaa ensisilmäykseltä hieman monimutkaiselta. Katsotaan seuraavassa hieman miten asiaa voisi valaista. Huokoisen joukon määritelmä annetaan joskus, kuten esimerkiksi artikkelissa [Sa], myös seuraavassa määritelmän 1.1 kanssa yhtäpitävässä muodossa. Määritelmä 1.2. Joukko A µ R n on huokoinen, jos on olemassa Í > 0 siten, että kaikilla x œ A on olemassa r x > 0, jolla kaikilla r œ (0,r x ) on olemassa y œ R n, joka toteuttaa ehdon B(y, Ír) µ B(x, r) \ A. Tämä määritelmä kuvaa ehkä selvemmin huokoisen joukojen geometrista rakennetta. Jos valitsemme jonkin pisteen x huokoisesta joukosta A, niin tämän pisteen jokaisesta tarpeeksi pienestä ympäristöstä B(x, r) löydämme joukon A reiän B(y, Ír) eli Ír-säteisen avoimen pallon, joka ei kohtaa joukkoa A. Jos olisi olemassa teoreettinen mikroskooppi, jolla voisi tutkia mielivaltaista Í-huokoista 7

8 joukkoa yhä lähempää ja lähempää, niin tutkija voisi huomata tietyn kokoisia reikiä kohdistetun pisteen ympärillä kaikilla skaaloilla. Esimerkiksi oheisessa kuvassa näkyy miten Í-huokoisessa joukossa A esiintyy jokaisella skaalalla r i pisteen x ympäristössä B(x, r i ) reikä B(y i, Ír i ) µ B(x i,r i ) \ A missä i œ {1, 2, 3}. Kuva 1. Reikäisyys toistuu jokaisella skaalalla r 1, r 2 ja r 3. Jos A µ R n on epätyhjä, x œ A ja r > 0, niin teoriassa suurin mahdollinen avoin pallo, joka ei kohtaa joukkoa A mutta vielä sisältyy palloon B(x, r), on r/2-säteinen pallo, sillä näitä suuremmilla säteillä pallo sisältäisi keskipisteen x œ A. Näin ollen 0 Æ por(a, x, r) Æ 1/2. Siispä jokaisella x œ A on myös 0 Æ por(a, x) Æ 1/2, joten erityisesti joukon A huokoisuus 0 Æ por(a) Æ 1/2. Jos por(a) =1/2, niin joukkoa A kutsutaan äärimmäisen huokoiseksi. Erityisesti määritellään, että por(ÿ) =1/2. Useimmilla tutkittavilla joukoilla huokoisuus on nolla, sillä jos yhdenkin joukon A pisteen x hyvin pienissä ympäristöissä ei löydykään enää sopivan kokoisia joukon reikiä, niin por(a, x) =0, jolloin myös por(a) =0. Huokoisen joukon määritelmässä esiintyy eräs vapausaste. Jos joukko on huokoinen, niin se kuinka pienillä skaaloilla voimme löytää sopivan kokoisia reikiä riippuu täysin annetusta joukon pisteestä. Tämän näkee selvimmin määritelmästä 1.2, missä säde r x riippuu valitusta pisteestä x. Näin ollen huokoisella joukolla ei välttämättä ole olemassa mitään yhtenäistä rajaa, joita pienemmillä

säteillä löydämme sopivan kokoisia reikiä kunkin pisteen ympäriltä. Määritelläänkin siis seuraavassa erikseen joukkotyyppi, joilla tämmöinen raja löytyy. Tämä määrittely on hyödyllistä tehdä, sillä muutaman tuloksen todistaminen helpottuu sen avulla. Määritelmä 1.3. Joukko A on tasaisesti huokoinen, jos on olemassa vakiot Í > 0 ja r 0 > 0, joilla por(a, x, r) Ø Í kaikilla x œ A ja r œ (0,r 0 ) Jos tiedämme vakiot Í ja r 0, joilla joukko on tasaisesti huokoinen, niin kutsumme sitä myös (Í,r 0 )-huokoiseksi tai tasaisesti Í-huokoiseksi jos r 0 on asiayhteydestä selvä. Erona huokoiseen joukkoon on siis se, että säde r 0 ei enää riipu tutkittavasta pisteestä. Triviaalisti siis jokainen tasaisesti Í-huokoinen joukko on myös Í- huokoinen, sillä voimme jokaiselle x œ R n valita säteeksi r x = r 0. Määrittelemme, että tyhjä joukko on (Í,r 0 )-huokoinen kaikilla r 0 > 0 ja Í œ (0, 1/2]. Kuten huokoisten joukkojen tapauksessa, voimme tasaisesti huokoisesti joukot karakterisoida hieman intuitiivisesti selvemmällä määritelmällä, katso esimerkiksi [Sa]. Määritelmä 1.4. Joukko A µ R n on tasaisesti huokoinen, jos on olemassa vakiot Í > 0 ja r 0 > 0, joilla kaikilla r œ (0,r 0 ) ja x œ A on olemassa y œ R n, joka toteuttaa ehdon B(y, Ír) µ B(x, r) \ A. Katsotaan hieman esimerkin valossa huokoisuutta. Esimerkki 1.5. Tutkitaan Cantorin joukkoa. Cantorin joukko on avaruuden R fraktaalimainen osajoukko, joka saadaan lisäämällä väliin [0, 1] tietyn kokoisia reikiä jokaisella skaalalla. Esitetään seuraavassa tarkemmin konstruktion vaiheet. Olkoon 0 < < 1/2. Poistetaan ensin välin I 0,1 := [0, 1] keskeltä 1 2 mittainen avoin väli ], 1 [, jolloin jäljelle jää -mittaiset palaset I 1,1 := [0, ] ja I 1,2 := [1, 1]. Tämä sama tehdään sitten näille palasille poistamalla niiden keskeltä (1 2 )-mittainen avoin väli, jolloin jäljelle jää neljä 2 -mittaista suljettua väliä I 2,1,I 2,2,I 2,3,I 2,4. Iteroimalla tätä k kertaa jäljelle jää 2 k kappaletta k -mittaista suljettua väliä I k,i, missä i œ {1, 2,..., 2 k }. Vaiheesta k pääsemme siis vaiheeseen k +1 poistamalla jokaisesta vaiheen k välin keskeltä k (1 2 )-mittainen väli. Cantorin -joukko saadaan leikkauksesta C( ) := Œ 2 k k=1 Konstruktiosta nähdään, että kiinnitetty kerroin kertoo poistettavan osan koon jokaisella skaalalla. Tämä kerroin siis sisältää informaation reikien suhteellisesta koosta Cantorin joukossa. Intuitiivisesti mitä suurempi se on sitä pienempiä reikiä poistamme jokaisella vaiheella. Totteleeko teoriamme huokoisuudesta intuitiota tämän esimerkin tilanteessa? Merkitään Í = 1 2 2 2. I k,i. 9

10 Kiinnitetään piste x œ C( ) ja säde 0 <ræ 1 (1 ). Valitaan nyt k œ N, jolla k (1 ) Æ r Æ k 1 (1 ). Koska x œ C( ), niin määritelmän perusteella x œ I k,i, jollain i œ {1, 2,..., 2 k }. Tutkitaan nyt kuinka suuria joukon C( ) reikiä voimme löytää ympäristöstä B(x, r). Kuva 2. Reiän etsiminen ääritapauksessa vaiheen k +1välien avulla. Kuvassa 2 tarkastelemme erityistilannetta kun r = k (1 ) ja piste x sijaitsee janan I k,i paikassa, jossa se on seuraavan vaiheen k +1 jonkin välin I k+1,l, l œ {1, 2,..., 2 k+1 } oikeassa reunassa. Tämä välin I k+1,l valinta on mahdollista, sillä konstruktion perusteella jokainen edellisen vaiheen väli jakautuu kahteen seuraavan vaiheen väliin. Tässä tapauksessa reikä valitaan seuraavasti. Valitaan y janojen I k+1,l ja I k+1,l+1 välisen alueen keskeltä. Tällöin y keskinen ja Ír-säteinen pallo ei kohtaa kumpaakaan joukoista I k+1,l ja I k+1,l+1 sillä Ír = 1 2 2 2 k (1 ) = k (1 2 ), 2 joka on puolet välien I k+1,l ja I k+1,l+1 välisen alueen mitasta. Nyt konstruktion perusteella B(y, Ír) ei kohtaa mitään muitakaan janoista I k+1,l, l œ {1, 2,..., 2 k+1 }. Toisaalta leikkauksena Cantorin -joukko sisältyy näiden välien yhdisteeseen, joten pallo B(y, Ír) ei myöskään kohtaa joukkoa C( ). Lisäksi B(y, Ír) µ B(x, r), joten B(y, Ír) tosiaan on joukon C( ) reikä skaalalla r = k (1 ) pisteen x ympäristössä. Tässä on kuitenkin vasta yksi tapaus. Säteestä r tiedämme vain, että k (1 ) Æ r Æ k 1 (1 ) emmekä voi suoraan olettaa, että r = k (1 ). Lisäksi piste x voi sijaita missä vain janalla I k,i eikä välttämättä jonkin janan I k+1,l reunalla. Kuitenkin edellä tutkimme äärimmäistä tilannetta eli tapausta kun mahdollisen reiän koko on pienimmillään. Perustellaan tätä hieman kuvan 2 avulla. Jos ensinnäkin piste x siirtyy janalla I k+1,l vasemmalle pois reunasta, mutta säde r pysyy samana, niin valitsemme edelleen reiän edellä olevalla tavalla.

Kuvan perusteella jopa pisteen x ollessa vasemassa reunassa janaa I k+1,l voimme silti valita reiän B(y, Ír) samasta kohdasta. Sama pätee symmetrisesti jos x sijaitseekin janalla I k+1,l+1. Jos taas r on suurempaa kuin k k 1 = k (1 ), niin kuvan perusteella valitsemme tällöin reiän B(y, Ír) janan I k+1,l vasemmalta puolelta. Koska vapaata aluetta on jo pienimmillään k (1 2 ), niin säteen r kasvaessa valitsemme vain pisteen y hieman kauempaa janasta I k+1,l, jotta kuitenkin saamme mahdutettua pallon B(y, Ír) kuulaan B(x, r). Suurimmillaan säde r voi olla k 1 (1 2 ) ja tässä tapauksessa B(x, r) peittää jo koko janojen I k+1,l 1 ja I k+1,l välisen alueen. Nyt valitsemalla y janojen I k+1,l 1 ja I k+1,l välisen tilan keskeltä ja huomaamalla, että Ír = 1 2 2 2 k 1 (1 ) = k 1 (1 2 ), 2 joka puolet välien I k+1,l 1 ja I k+1,l välisen alueen mitasta, niin tässäkään tapauksessa B(y, Ír) ei kohtaa Cantorin joukkoa ja sisältyy edelleen kuulaan B(x, r). Jos taas samaan aikaan x on muualla kuin janan I k+1,l reunalla ja r on muuta kuin minimiarvonsa, niin vastaavilla päättelyillä voimme aina valita Cantorin joukon reiän B(y, Ír) pallosta B(x, r). Siispä kaikilla 0 <ræ 1 (1 ) ja x œ C( ) löydämme y œ R, jolla B(y, Ír) µ B(x, r) \ C( ). Näin ollen huokoisuus por(c( )) Ø Í. Koska säteellä r on pisteestä x œ C( ) riippumaton yläraja 1 (1 ), niin erityisesti C( ) on (Í, 1 (1 ))-huokoinen. Artikkelissa [Sa] Salli näyttää yksiulotteisten joukkojen dimensioylärajojen avulla, että tämä on paras mahdollinen arvo joukon C( ) huokoisuudelle. Toisin sanoen C( ) ei ole Í Õ -huokoinen millään Í Õ > Í. Saamme siis tarkasti kaavan por(c( )) = 1 2 2 2. Tämän kaavan avulla voimme hieman tarkemmin perustella intuitiota kertoimen roolista. Kun kerroin ø 1, niin huokoisuus por(c( )) 0 ja kun 0, niin 2 huokoisuus por(c( )) ø 1. Näin päättellimmekin jo konstruktion perusteella. 2 1.2. Ominaisuuksia. Ryhdytään nyt tutkimaan huokoisten joukkojen geometrisista rakennetta. Tutkimme mitä joukossa esiintyvästä toistuvasta reikäisyydestä seuraa erityisesti joukon koolle mittateoreettisessa ja topologisessa mielessä. Osoitetaan ensin muutama hyödyllinen perusominaisuus. Lemma 1.6. Tasaisesti huokoisen joukon (1) osajoukot ja (2) sulkeuma ovat tasaisesti huokoisia. Todistus. Olkoon siis A µ R n mielivaltainen (Í,r 0 )-huokoinen joukko. Käytämme todistuksissa määritelmää 1.4. (1) Olkoon B µ A mielivaltainen. Koska tyhjä joukko on (Í,r 0 )-huokoinen, niin voidaan olettaa, että B = ÿ. Olkoon nyt r œ (0,r 0 ). Kiinnitetään x œ B. 11

12 Tällöin x œ A. Koska A on (Í,r 0 )-huokoinen, niin nyt voidaan valita y œ R n, jolla B(y, Ír) µ B(x, r) \ A. Toisaalta B(x, r) \ A µ B(x, r) \ B, joten B(y, Ír) µ B(x, r) \ B. Koska r œ (0,r 0 ) ja x œ B ovat mielivaltaisia, niin B on (Í,r 0 )-huokoinen. (2) Osoitetaan, että sulkeuma Ā on (Í/2,r 0)-huokoinen. Olkoon siis r œ (0,r 0 ) ja x œ Ā. Etsittävä y œ Rn, jolla B(y, Ír/2) µ B(x, r) \ Ā. Koska x œ Ā, niin A fl B(x, r/2) = ÿ. Nyt voidaan valita z œ A fl B(x, r/2). Tällöin erityisesti z œ A. Koska r/2 <r<r 0, niin tasaisen huokoisuuden määritelmän nojalla on olemassa y œ R n, jolla B(y, Ír/2) µ B(z,r/2) \ A. Osoitetaan nyt, että B(z,r/2) µ B(x, r). Olkoon v œ B(z,r/2) mielivaltainen. Tällöin kolmioepäyhtälön nojalla v x Æ v z + z x <r/2+r/2 =r, joten v œ B(x, r). Siispä B(z,r/2) µ B(x, r). Tällöin edellisen nojalla myös B(y, Ír/2) µ B(x, r) \ A. Osoitetaan sitten lopuksi, että näin saatu y kelpaa myös sulkeuman Ā kohdalla eli pätee B(y, Ír/2) µ B(x, r) \ Ā. Todistetaan tämä epäsuorasti. Oletetaan, ettei tämä päde, jolloin voidaan valita w œ B(y, Ír/2) fl Ā. Merkitään Á = Ír/2 w y. Koska w œ B(y, Ír/2), niin Á > 0. Siispä B(w, Á) on hyvinmääritelty pisteen w epätyhjä ympäristö. Toisaalta w œ Ā, joten sulkeuman määritelmän nojalla B(w, Á)flA = ÿ. Voidaan siis valita w Õ œ A, jolla w Õ w < Á. Nyt kolmioepäyhtälön nojalla w Õ y Æ w Õ w + w y < Á + w y = Ír/2. Siispä w Õ œ B(y, Ír/2), joten pallo B(y, Ír/2) kohtaa joukon A sillä w Õ œ A. Tämä on ristiriidassa aiemmin osoitetun ominaisuuden B(y, Ír/2) µ B(x, r) \ A kanssa. Näin ollen B(y, Ír/2) µ B(x, r) \ Ā. Koska x œ Ā on mielivaltainen, niin Ā on (Í/2,r 0 )-huokoinen. Seuraava yksinkertainen lemma osoittautuu varsin hyödylliseksi tässä tutkielmassa. Erityisesti numeroituvuus osoittautuu käteväksi tiedoksi, sillä se on vahvasti sidoksissa mitan avulla saatuihin dimensioihin. Palaamme tähän asiaan myöhemmin. Lemma 1.7. Jokainen Í-huokoinen joukko voidaan lausua numeroituvana yhdisteenä tasaisesti Í-huokoisista joukoista. Todistus. Olkoon A µ R n Í-huokoinen. Merkitään jokaisella i œ N A i = {x œ A : kaikilla r œ (0, 2 i )por(a, x, r) Ø Í}. Jos x œ A i ja 0 <r<2 i, niin por(a, x, r) Ø Í. Siis A i on (Í, 2 i )-huokoinen eli tasaisesti Í-huokoinen. Osoitetaan sitten, että Œ A = A i. Koska A i µ A jokaisella i œ N, niin riittää osoittaa, että A µ t Œ A i. Valitaan siis x œ A. Koska A on Í-huokoinen, niin voidaan kiinnittää r x > 0, jolle jokaista r œ (0,r x ) voidaan löytää y œ R n, joka jolla B(y, Ír) µ B(x, r) \ A. Valitaan nyt i œ N, jolla 2 i <r x. Kiinnitetään r œ (0, 2 i ). Koska r<2 i <r x, niin

edellisen nojalla on olemassa y œ R n, jolla B(y, Ír) µ B(x, r) \ A. Näin ollen por(a, x, r) Ø Í. Koska r<2 i on mielivaltainen, niin x œ A i µ t Œ A i. 13 Konstruoitu perhe {A i } Œ Í-huokoisia joukkoja. on siis etsitty numeroituva kokoelma tasaisesti Tutkitaan nyt ensiksi huokoisten joukkojen kokoa Lebesguen mitan mielessä. Annetaan ensin nimitys. Määritelmä 1.8. Piste x œ R n on Lebesgue-mitallisen joukon A µ R n tiheyspiste, jos on olemassa raja-arvo m n (A fl B(x, r)) lim r 0 m n (B(x, r)) =1. Käytämme seuraavassa lauseessa hyväksi tiheyspisteitä niin kutsutun Lebesguen tiheyspistelauseen avulla [Ma1, Corollary 2.4]. Sen nojalla m n -melkein jokainen Lebesgue-mitallisen joukon piste on tiheyspiste. Nimityksellä m n -melkein jokainen tarkoitamme, että niiden pisteiden joukko jossa ehto ei päde on nollamittainen Lebesguen mitan suhteen. Lause 1.9. Huokoiset joukot ovat nollamittaisia Lebesguen mitan suhteen. Todistus. Väite siis tarkoittaa, että jokaisen huokoisen joukon Lebesguen ulkomitta on nolla. Tällöin nimittäin huokoinen joukko on nollamittaisena joukkona erityisesti Lebesgue-mitallinen ja voidaan puhua mielivaltaisen huokoisen joukon Lebesguen mitasta. Edetään todistuksessa vaiheittain. Todistetaan väite ensin Lebesgue-mitallisille tasaisesti huokoisille joukoille, minkä jälkeen yleistetään sen tiedon avulla väite mielivaltaisille tasaisesti huokoisille joukoille ja lopulta yleisille huokoisille joukoille. Olkoon A µ R n (Í,r 0 )-huokoinen ja Lebesgue-mitallinen. Vastaoletus: m n (A) > 0. Nyt Lebesguen tiheyspistelauseen nojalla voidaan valita joukon A tiheyspiste x œ A. Näin ollen pisteelle x pätee (1.10) lim r 0 m n (B(x, r) fl A) m n (B(x, r)) =1. Kiinnitetään nyt r œ (0,r 0 ). Koska A on (Í,r 0 )-huokoinen, niin voidaan valita y œ R n, jolla B(y, Ír) µ B(x, r) \ A. Tällä y erityisesti pätee B(x, r) fl A µ B(x, r) \ B(y, Ír), joten Lebesguen mitan monotonisuuden ja siirtoinvarianssin

14 nojalla nojalla m n (B(x, r) fl A) m n (B(x, r)) Æ m n(b(x, r) \ B(y, Ír)) m n (B(x, r)) = m n(b(x, r)) m n (B(y, Ír)) m n (B(x, r)) = 1 m n(b(y, Ír)) m n (B(x, r)) =1 m n(b(0, Ír)+y) m n (B(0,r)+x) = 1 m n(b(0, Ír)) m n (B(0,r)) =1 m n((ír)b(0, 1)) m n (rb(0, 1)) = 1 (Ír)n m n (B(0, 1)) =1 Í n. r n m n (B(0, 1)) Antamalla r 0 saadaan tästä epäyhtälöstä ristiriita yhtälön (1.10) kanssa sillä Í > 0. Näin ollen m n (A) =0. Oletetaan nyt, että A on mielivaltainen tasaisesti huokoinen joukko. Koska lemman 1.6(2) nojalla joukon A sulkeuma Ā on tasaisesti huokoinen ja suljetut joukot ovat Borel-joukkoina Lebesgue-mitallisia, niin edellisen nojalla m n (Ā) =0. Toisaalta Lebesguen ulkomitan monotonisuuden nojalla m ú n(a) Æ m n (Ā), josta saadaan m ú n(a) =0. Siispä tasaisesti huokoiset joukot ovat nollamittaisia. Olkoon nyt A µ R n mielivaltainen huokoinen joukko. Lemman 1.7 nojalla voidaan kirjoittaa Œ A = A i, missä A i µ A ovat tasaisesti huokoisia. Toisaalta edellisen nojalla tasaisesti huokoiset joukot ovat nollamittaisia, joten Lebesguen ulkomitan subadditiivisuuden nojalla Œÿ Œÿ m ú n(a) Æ m ú n(a i )= 0=0. Siispä m ú n(a) =0. Huokoiset joukot ovat siis intuitiivisesti pieniä joukkoja Lebesguen mitan suhteen. Katsotaan seuraavassa mitä voimme sanoa huokoisten joukkojen topologisesta rakenteesta. Tulemme huomaamaan, että huokoiset joukot ovat topologisessakin mielessä pieniä joukkoja. Täsmällisesti joukon pienuudella tarkoitamme seuraavan määritelmän ominaisuuksia. Muistutamme, että piste on joukon sisäpiste, jos löydämme tämän pisteen ympäriltä avoimen pallon, joka sisältyy tutkittavaan joukkoon. Määritelmä 1.11. Joukko on harva, jos sen sulkeumalla ei ole sisäpisteitä. Joukko on laiha eli ensimmäisen kategorian joukko jos se on numeroituva yhdiste harvoista joukoista.

Intuitiivisesti huokoisten joukkojen jokaisen pisteen ympäristöissä esiintyy reikäisyyttä, jolloin voisi kuvitella, ettei huokoinen joukko voi olla kovinkaan tiheässä avaruudessa R n. Näin tapahtuukin täsmällisesti. Lause 1.12. Tasaisesti huokoiset joukot ovat harvoja. Todistus. Olkoon A µ R n (Í,r 0 )-huokoinen. Voimme olettaa, että A on epätyhjä, sillä tyhjän joukon sulkeuma on tyhjänä joukkona sisäpisteetön. Tehdään vastaoletus väitteelle. Oletetaan, että sulkeumalla Ā onkin sisäpisteitä. Voimme siis valita joukon Ā sisäpisteen x. Joukon Ā sisäpisteiden joukko määritellään suurimpana avoimena joukkona, joka sisältyy joukkoon Ā. Siis koska x on joukon Ā eräs sisäpiste, niin avoimen joukon määritelmän nojalla voidaan valita r > 0, jolla B(x, r) µ Ā. Tässä tulee ongelma. Merkitään nyt esimerkiksi Á = min{r 0,r}, jolloin myös B(x, Á) µ Ā. Erityisesti siis B(x, Á) \ Ā = ÿ. Koska A on tasaisesti huokoinen, niin sen sulkeuma Ā on lemman 1.6 kohdan (2) nojalla myös tasaisesti huokoinen (vakioilla Í/2 ja r 0 ). Koska x œ Ā ja Á Æ r 0, niin tasaisen huokoisen ehdon nojalla löydämme jonkin y œ R n, jolla B(y, ÍÁ/2) µ B(x, Á) \ Ā. Nyt edellisen nojalla B(y, ÍÁ/2) = ÿ, mikä on ristiriita. Siispä joukon A sulkeuman sisäpisteiden joukkon on tyhjä eli A on harva. Tästä saammekin helposti seuraavan tuloksen. Lause 1.13. Huokoiset joukot ovat laihoja. 15 Todistus. Lemman 1.7 nojalla jokainen huokoinen joukko voidaan lausua numeroituvana yhdisteenä tasaisesti huokoisista joukosta. Edellisen lauseen 1.12 nojalla tasaisesti huokoiset joukot ovat harvoja, joten huokoiset joukot ovat laihoja. Olemme nyt siis hieman raapaisseet huokoisten joukkojen geometrista rakennetta. Kuitenkin nollamittaisuus ja laihuus eivät kovinkaan paljon kiinnitä huomiota esimerkiksi joukon huokoisuuden tarkkaan arvoon. Jokainen joukko on nollamittainen ja ensimmäistä kategoriaa, jos sillä on positiivinen huokoisuus riippumatta siitä kuinka suuri se tarkalleen on. Tulkitsimme kappaleen alussa joukon huokoisuuden arvon reikien suhteellisena kokona. Tästä taasen voisi intuitiivisesti päätellä, että mitä suurempi joukon huokoisuus on sitä suurempia reikiä joukosta löytyy kaikilla skaaloilla. Jotta kuitenkin saisimme intuition sijaan jotain täsmällisempää tulkintaa, niin tarvitsemme joitain uusia työkaluja. Tässä esiin astuu toinen joukkojen hienorakenteita kuvaava käsite dimensio.

16 2. Dimensiot Dimension käsite on alun perin kehitetty kuvaamaan vektoriavaruuden kannan mahtavuutta. Avaruudessa R n kannan pituus eli dimensio n kuvaa siis intuitiivisesti kuinka moneen suuntaan joukot voivat olla hajautuneet. Miten tämä sitten liittyy joukkojen hienorakenteisiin? Kun tutkimme esimerkiksi avaruuden R n osajoukkojen n-ulotteista Lebesguen mittaa, saamme jotain positiivista joukon mitaksi, jos joukko täyttää tarpeeksi avaruutta kaikkiin suuntiin. Esimerkiksi n-ulotteisten pallojen ja n-ulotteisten kuutioiden tapauksessa saamme positiivista mitaksi kun taas esimerkiksi m-ulotteisten aliavaruuksien V œ G(m, n) tapauksissa, kun m<n, saamme aina nollamittaisuuden n-ulotteisen Lebesguen mitan suhteen. Näissä esimerkeissä on jokseekin reilua, että n-ulotteinen pallo saa positiivisen mitan ja m-ulotteinen aliavaruus ei. Aliavaruuksista V œ G(m, n) uupuu yksi tai useampi suunta ja ne ovat intuitiivisesti mielivaltaisen kapeita levyjä avaruudessa R n. Kuitenkin on olemassa joukkoja, kuten monet itsesimilaarit fraktaalit, joilla ei ole lainkaan niin itsestäänselvää se, että täyttääkö joukko tarpeeksi avaruutta vai ei. Lebesguen mitta vastaa kuitenkin vain kyllä tai ei tähän kysymykseen, mikä ei ehkä ole kovinkaan reilua. Toiset joukot voivat olla geometrisesti selvästi lähempänä ulottovuutta n kuin toiset muttei siltikään tarpeeksi lähellä, jotta Lebesguen mitta reagoisi. Lisäksi itsesimilaareilla fraktaaleilla voi olla hyvinkin monimutkaisia rakenteita, joten hukkaamme oleellisia tietoja joukosta jos jaamme ne vain kylmästi nämä joukot kahteen luokkaan välittämättä mahdollisista eroista. Ideana onkin seuraavassa, että pyrimme tekemään dimensiosta jatkuvan suureen. Haluamme varmistaa, että jos joukko on esimerkiksi turhan vähän hajautunut johonkin kantavektorin suuntaan, niin sen dimensio on pienempi kuin avaruuden täysi dimensio n. Pyrimme löytämään joukolle jonkin optimin dimension, johon asti se täyttää parhaiten avaruutta. Tällöin saamme tiivistetyssä muodossa jotain informaatiota joukon hienorakenteesta - kuinka paljon se täyttää avaruutta. Jatkuvan dimension voi määritellä monella eri tavalla. Ensinnäkin koska olemme kiinnostuneita massan jakamisesta, niin mittateorian esiintuominen on luonnollinen askel. Näin määrittelemme seuraavassa niin sanotut Hausdor n dimension ja pakkausdimension. Toisaalta voimme pyrkiä määrittelemään puhtaasti geometrista intuitiota silmälläpitäen tämän käsitteen, kuten seuraavassa esiteltävä Minkowskin dimensio on määritelty. Pioneereja näiden käsitteiden konstruoimisessa olivat muun muassa Besicovitö ja Hausdor (Hausdor n dimensio), Minkowski (Minkowskin dimensio) ja Tricot Jr (pakkausdimensio). On olemassa toki monia muitakin dimensioiden määritelmiä. Tässä tutkielmassa olemme lähinnä valinneet nämä sen vuoksi, että erityisesti näiden dimensioiden yhteyksistä huokoisuuteen on esitetty tutkimusta.

17 2.1. Hausdor n dimensio. Hausdor n dimension konstruktio lähtee niin sanotusta Hausdor n ulkomitasta. Pyrimme Hausdor n ulkomitan konstruktiossa peittämään joukkoa ensin sopivan kokoisilla joukoilla. Tässä sopiva koko tarkoittaa, että kaikkien joukkojen halkaisija on rajoitettu ylhäältä jollain vakiolla. Laskemme näiden sopivan kokoisten joukkojen halkaisijat korotettuna johonkin lukuun s Ø 0 yhteen ja valitsemme näistä pienimmän. Lopuksi määrittelemme joukon mitaksi sen luvun, jonka saamme rajalla kun pienennämme peittävien joukkojen sopivan koon kohti nollaa. Tulemme huomaamaan seuraavassa, että riippuen luvun s valinnasta voimme saada hyvinkin erilaisia tuloksia joukosta. Määritelmä 2.1. Olkoon A µ R n ja > 0. Sanotaan, että numeroituva kokoelma F avaruuden R n osajoukkoja on joukon A -peite, jos jokaisen joukon E œ F läpimitta d(e) Æ ja A µ t F. Kiinnitetään luku s Ø 0 ja asetetaan kuvaus H s : P(R n ) æ [0, +Œ], I J ÿ H (A) s = inf d(e) s : F on joukon A -peite. EœF Kun luku pienenee, vähenee sopivien joukon A peitteiden F määrä, joten infimumin määritelmän nojalla H s (A) kasvaa. Näin ollen on olemassa rajafunktio H s : P(R n ) æ [0, +Œ], H s (A) = lim H s 0 (A) = sup H (A). s Tätä kuvausta kutsutaan s-ulotteiseksi Hausdor >0 n ulkomitaksi. Tässä määritelmässä annetut kuvaukset H s ja H s ovat ulkomittoja jokaisella > 0 [Ma1, Theorem 4.2], joten nimitys ulkomitta on järkevä. Olkoon edelleen A µ R n ja 0 Æ s<t<+œ. Kirjassa [Ma1] osoitetaan lisäksi, että jos H s (A) < +Œ, niin H t (A) =0ja jos H t (A) > 0, niin H s (A) =+Œ. Näin ollen jos löydämme jonkin luvun d Ø 0, jolla 0 < H d (A) < +Œ, niin se on yksikäsitteinen. Näin ollen luku d olisi siis luonnollista määritellä joukon A kokoa kuvaavaksi parametriksi. Määritelmä 2.2. Joukon A µ R n Hausdor n dimensio dim H (A) = inf{s Ø 0:H s (A) =0}. Joukon Hausdor n dimensio kertoo siis optimimman ulottovuuden mitata sitä. Tässä näemme myös miten dimensio esiintyy jatkuvana suureena. Riippuen annetusta joukosta Hausdor n dimensio voi olla mikä tahansa reaaliluku. Hausdor n dimensiolla on seuraava kätevä ominaisuus, joka auttaa erityisesti tässä tutkielmassa huokoisten joukkojen dimensioiden tutkimuksessa. Kuten mainitsimme lemman 1.7 yhteydessä, numeroituvuus esiintyy vahvasti mukana mitasta saatujen dimensioiden ominaisuuksissa.

18 Lause 2.3. Olkoon A = t Œ k=1 A k. Tällöin dim H (A) = sup dim H (A k ). k Todistus. Olkoon s > dim H (A) mielivaltainen. Nyt H s (A) = 0. Kiinnitetään k œ N. Koska A k µ A, niin H s (A k )=0. Näin ollen dim H (A k ) Æ s. Koska k œ N on mielivaltainen, niin sup k dim H (A k ) Æ s. Koska s>dim H (A) on mielivaltainen, niin sup k dim H (A k ) Æ dim H (A). Olkoon nyt s > sup k dim H (A k ). Tällöin H s (A k ) = 0 kaikilla k œ N. Nyt subadditiivisuuden nojalla H s (A) Æ q Œ k=1 H s (A k ) = 0, joten dim H (A) Æ s. Koska s>sup k dim H (A k ) on mielivaltainen, niin dim H (A) Æ sup k dim H (A k ). Hausdor n dimensiolla on myös muutamia muitenkin perusominaisuuksia, joita löytyy esimerkiksi kirjasta [Ma1]. Kuitenkin sivuutamme ne, koska lähinnä tarvitsemme lauseen 2.3 ominaisuutta tutkielmassa vastaisuudessa emme muita. 2.2. Pakkausdimensio. Pakkausdimensio on konstruktioltaan hieman samankaltainen kuin Hausdor n dimensio. Aluksi määritellään niin sanottu pakkausmitta ja dimensio annetaan tämän mitan avulla vastaavasti. Hausdor n ulkomitan konstruktio perustui joukon peittämiseen ja sen avulla joukon mitan arvioimiseen. Pakkausmitassa on erona Hausdor n ulkomittaan on se, että -peitteiden sijaan arvioimme joukon mittaa niin sanotuilla -pakkauksilla, eli numeroituvalla määrällä erillisiä suljettuja palloja, joiden keskipiste on mitattavan joukon piste ja läpimitta pienempi kuin. Tällä ulkomitalla saadulla dimensiolla on vastaavia ominaisuuksia kuin Hausdor n dimensiolla, mutta dimensiot eivät täysin yhdy. Esimerkkejä näistä löytyy esimerkiksi kirjasta [Fa]. Määritelmä 2.4. Olkoon A µ R n ja > 0. Sanomme, että avaruuden R n kokoelma suljettuja palloja on joukon A -pakkaus, jos nämä pallot ovat erillisiä, niiden keskipiste on joukon A piste ja halkaisija korkeintaan. Kiinnitetään nyt luku s Ø 0 ja asetetaan kuvaus P s : P(R n ) æ [0, +Œ], I J ÿ P s (A) = sup d(b) s : B on joukon A -pakkaus. BœB Kun luku vähenee, niin joukon A -pakkauksissa on vähemmän alkioita, joten supremumin määritelmän nojalla luku P s (A) pienenee kun 0. Näin ollen voidaan määritellä rajafunktio P s 0 : P(R n ) æ [0, +Œ], P s 0(A) = lim 0 P s (A) = inf >0 Ps (A). Tätä kuvausta kutsutaan s-ulotteiseksi pakkausesimitaksi. Määritelmän voisi periaatteessa jättää tähän, mutta ongelmana tässä on vielä se, ettei pakkausesimitta ei ole ulkomitta sillä se ei ole subadditiivinen. Tämä voidaan nähdä esimerkiksi seuraavalla esimerkillä. Esimerkki 2.5. Tutkitaan joukkoa Q n = {x œ R n : x 1 œ Q,..., x n œ Q}.

Koska Q n on numeroituva ja tiheä avaruuden R n osajoukko, niin voidaan valita numeroituvasti äärettömän monta suljettua erillistä palloa B i, i œ N, joiden keskipiste on joukon Q n piste, joiden välinen etäisyys d(b i,b j ) > kun i = j ja läpimitta /2 <d(b i ) < kaikilla i œ N. Tällöin jokaisella > 0 ja s Ø 0 on P s (Q n ) Ø ÿ d(b i ) s Ø ÿ ( /2) s =+Œ, iœn iœn sillä ( /2) s > 0 on vakio. Näin ollen erityisesti (2.6) P s 0(Q n )=+Œ. Toisaalta koska Q n on numeroituva, niin voimme kirjoittaa Q n = {q i : i œ N}. Nyt saadaan numeroituva yhdiste Q n = t Œ {q i }. Koska jokaisella i œ N ja > 0 on P s ({q i }) Æ (2 ) s, niin antamalla 0 saadaan P0({q s i })=0kaikilla i œ N. Siispä jos P0 s olisi subadditiivinen, niin Œÿ P0(Q s n ) Æ P0({q s i })=0, mikä on mahdotonta kohdan (2.6) nojalla. Pakkausesimitan avulla saamme kuitenkin ulkomitan seuraavasti. Määritelmä 2.7. Kuvausta P s : P(R n ) æ [0, +Œ], Y Z ] P s ÿ Œ ^ (A) = inf P s [ 0(A i ):A µ A i \. iœn sanotaan s-ulotteiseksi pakkaus(ulko)mitaksi. Pakkausulkomitta on siis ulkomitta, katso esimerkiksi [Ma1]. Olkoon nyt A µ R n ja 0 Æ s < t < +Œ. Kuten Hausdor n ulkomitan tapauksessa voidaan osoittaa, että jos P s (A) < +Œ, niin P t (A) = 0 ja jos P t (A) > 0, niin P s (A) =+Œ, katso esimerkiksi [Ma1]. Näin ollen on luonnollista määritellä seuraavasti kuten Hausdor n dimension tapauksessa. Määritelmä 2.8. Joukon A µ R n pakkausdimensio on luku dim P (A) = inf{s Ø 0:P s (A) =0}. Pakkausdimensio toimii hyvin samalla tavalla kuin Hausdor n dimensio. Konstruktion nojalla esimerkiksi saamme seuraavan lauseen vastaavalla tavalla. Lause 2.9. Olkoon A = t Œ k=1 A k. Tällöin Todistus. Täysin sama kuin Hausdor dim P (A) = sup dim P (A k ). k n mitan vastaava lause 2.3. Pakkausdimensiollakin on muitakin perusominaisuuksia, mutta emme niitäkään tarvitse tutkielmassa myöhemmin. Kirjoista [Ma1] ja [Fa] löytyy enemmän analyysiä pakkausdimension ominaisuuksista ja sovelluksista. 19

20 2.3. Minkowskin dimensio. Minkowskin dimensio on ensisilmäykseltä hyvin erilainen verrattuna edelliseen kahteen dimensioon. Tärkein ero on ehkä se, ettei konstruktiossa tarvita lainkaan tietoa joukon mitasta. Dimension konstruktio perustuu kuitenkin myös paljolti joukkojen peittämiseen kuin on Hausdor n dimensionkin tapauksessa. Tässä tapauksessa kuitenkin peitämme joukkoa saman kokoisilla palloilla toisin kuin mielivaltaisilla sopivan kokoisilla joukoilla. Merkitään jokaisella rajoitetulla A µ R n ja > 0 kokonaislukua k N(A, ) = min{k œ N : A µ B(x i, ) joillain x i œ R n }. Tässä siis etsimme pienintä määrää tietyn kokoisia palloja, jotka vielä peittävät tutkittavan joukon. Määritelmä 2.10. Rajoitetun joukon A µ R n Minkowskin ylädimensio on luku dim M (A) = inf{s >0 : lim sup N(A, ) s =0} 0 ja Minkowskin aladimensio on luku dim M (A) = inf{s >0 : lim inf 0 N(A, ) s =0}. Määritelmässä olisimme voineet myös käyttää suljettuja palloja. Tässä tilanteessa vain valitsemme suljetun pallon ympäriltä avoimen pallon, jonka säde on esimerkiksi kaksinkertainen ja rajalla saamme samat dimensiot. Koska lim inf 0 N(A, ) s Æ lim sup 0 N(A, ) s kaikilla s>0, niin infimumin määritelmän avulla nähdään, että dim M (A) Æ dim M (A). Sanomme vielä vastaisuudessa, että joukolla A on Minkowskin dimensio dim M (A), jos dim M (A) = dim M (A) =dim M (A). Minkowskin dimensiolla on monia yhtäpitäviä määritelmiä. Esimerkiksi kirjoissa [Fa] ja [Ma1] on esitelty näistä muutamia. Tässä tutkielmassa käytämme määritelmän 2.10 lisäksi myös seuraavaa määritelmää, jotka on voidaan osoittaa yhtäpitäväksi aikaisemman kanssa. Määritelmä 2.11. Rajoitetun joukon A µ R n Minkowskin ylädimensio on luku dim M (A) = lim sup iæœ ja Minkowskin aladimensio on luku dim M (A) = lim inf iæœ log N(A, i ) log i log N(A, i ) log i. Tässä 0 < < 1 ja Minkowskin ylä- ja aladimension arvo ei riipu luvun valinnasta.

Näiden yhtäpitävyyksien osoitus perustuu paljolti infimumin määritelmään ja raja-arvojen yksikäsitteisyyteen. Esimerkiksi kirjassa [Fa] on annettu tarkat osoitukset näille yhtäpitävyyksille. Minkowskin dimensio on konstruktionsa yksinkertaisuuden perusteella yleensä helpompi laskea kuin Hausdor n dimensio ja pakkausdimensio. Erityisesti määritelmästä 2.11 huomataan, ettei meidän tarvitse kuin arvioida lukua N(A, i ) jokaisella tarpeeksi suurella i kun 0 < < 1 on kiinteä. Kuitenkin Hausdor n dimension ja pakkausdimension perusominaisuudet eivät päde enää Minkowskin dimension tapauksessa. Tässä tutkielmassa nämä ongelmat eivät kuitenkaan tule meille esiin missään vaiheessa. Tarkempia perusteluja, esimerkkejä ja sovelluksia Minkowskin dimensiosta löytyy erityisesti kirjasta [Fa]. 2.4. Dimensioiden välisiä epäyhtälöitä. Pyrimme edellisessä kolmessa osiossa esittelemään vain lyhyesti määritelmät kolmelle eri tutkielman dimensiolle. Lähinnä tämä johtuu siitä, että tulevassa kappaleessa 3 keskitymme vahvasti dimension ja huokoisuuden välisiin yhteyksiin ja emme oikeastaan tarvitse muita perusominaisuuksia määritelmän lisäksi. Tässä osiossa vielä helpotamme tätä tutkimusta etsimällä yhteyksiä dimensioiden välille. Tulemme huomaamaan, että määräämällä vain tiettyjä dimensioita voimme saada informaatiota myös muistakin dimensioista. Tutkitaan seuraavassa Hausdor n dimension ja Minkowskin dimension yhteyttä. Saamme seuraavan yhteyden suoraan määritelmistä. Lause 2.12. Kaikilla rajoitetuilla A µ R n pätee dim H (A) Æ dim M (A). Todistus. Kiinnitetään mielivaltainen s>dim M (A). Olkoon > 0. Koska A on rajoitettu, niin luku N(A, ) < Œ. Voidaan siis valita äärellisen monta avointa palloa B(x i, ), i œ {1,..., N(A, )}, joilla A µ t N(A, ) B(x i, ). Nyt {B(x i, )} N(A, ) on joukon A 2 -peite, joten H s 2 (A) Æ N(A, ) ÿ Koska s>dim M (A), niin d(b(x i, )) s = N(A, )(2 ) s =2 s N(A, ) s. lim inf 0 N(A, ) s =0, joten epäyhtälön (2.4) nojalla saadaan H s (A) = 0 antamalla 0. Siispä dim H (A) Æ s. Koska s>dim M (A) on mielivaltainen, niin dim H (A) Æ dim M (A). Tutkitaan sitten seuraavassa Hausdor n dimension ja pakkausdimension välistä epäyhtälöä. Osoitamme seuraavassa, että saamme rajoitettua Hausdor n dimensiota ylhäältä pakkausdimensiolla. Tämä todistus perustuu mittojen väliseen vastaavaan epäyhtälöön ja lopulta peiteominaisuuksiin. Näillä peiteominaisuuksilla tarkoitamme seuraavaa lemmaa. 21

22 Lemma 2.13. Olkoon B perhe suljettuja avaruuden R n palloja, joilla sup d(b) < Œ. BœB Tällöin on olemassa numeroituva osaperhe B 0 µ B, jonka kuulat ovat erillisiä ja BœB B µ BœB 0 5B. Todistus. Katso esimerkiksi [Ma1, Theorem 2.1]. Tämän ominaisuuden avulla saamme seuraavan lemman. Lemma 2.14. Kaikilla A µ R n ja s Ø 0 pätee H s (A) Æ P s (A). Todistus. Olkoon A µ R n ja s Ø 0. Osoitetaan ensin, että H s (A) Æ P s 0(A). Jos P s 0(A) = +Œ, niin tämä epäyhtälö pätee triviaalisti. Näin ollen voimme olettaa, että P s 0(A) < +Œ. Kiinnitetään Á > 0. Valitaan nyt > 0, jolla P s (A) < P s 0(A)+Á. Olkoon lisäksi {B i } Œ joukon A -pakkaus, jolla Œÿ Œÿ d(b i ) s Æ P s (A) Æ d(b i ) s + Á. Koska P0(A) s < +Œ, niin q Œ i=k d(b i ) s 0, kun k æœ. Näin ollen on olemassa k œ N, jolla Œÿ d(b i ) s < Á. i=k+1 Tutkitaan nyt kokoelmaa suljettuja palloja B(x, r), joilla r Æ /5, x œ A ja k B(x, r) µ R n \ B i. Nyt lemman 2.13 nojalla voidaan löytää tämän kokoelman numeroituva osakokoelma erillisiä palloja B Õ 1,B Õ 2,..., joilla k Œ A \ B i µ 5Bj, Õ j=1 ja lisäksi yhdistetyn kokoelman {B i } k fi {B Õ j} Œ j=1 pallot ovat keskenään erillisiä. Koska jokaisen joukon B Õ j keskipiste on joukon A piste ja jokaisen säde on

23 pienempää kuin /5, niin kÿ Œÿ d(b i ) s + d(bj) Õ s Æ P s (A) j=1 Æ Œÿ d(b i ) s + Á = kÿ d(b i ) s + Œÿ d(b i ) s + Á i=k+1 Æ kÿ d(b i ) s +2Á, joten erityisesti Œÿ d(bj) Õ s Æ 2Á. j=1 Toisaalta edellisen nojalla A \ t k B i µ t Œ j=1 5Bj. Õ Nyt kokoamalla yhteen saadut tulokset ja käyttämällä tietoa, että funktio H s on ulkomitta saadaan Q R k Œ H (A) s Æ H s a B i fi 5B Õ b j j=1 Æ kÿ Œÿ H (B s i )+ H (5B s j) Õ j=1 Æ kÿ Œÿ d(b i ) s + d(5bj) Õ s j=1 = kÿ d(b i ) s +5 s ÿ Œ d(bj) Õ s j=1 Æ P s (A)+5 s 2Á < P0(A)+Á s +5 s 2Á. Kun 0 ja Á 0, niin saadaan tästä epäyhtälöstä H (A) s Æ P0(A). s Olkoon nyt A µ t Œ A i. Tällöin Hausdor n mitan monotonisuuden, subadditiivisuuden ja edellisen nojalla Œÿ Œÿ H (A) s Æ H s (A i ) Æ P0(A s i ), joten ottamalla infimum yli kaikkien summien q Œ P0(A s i ) saadaan H (A) s Æ P s (A). Nyt voimme sanoa jotain dimensioista. Lause 2.15. Kaikilla A µ R n pätee dim H (A) Æ dim P (A).

24 Todistus. Olkoon A µ R n. Kiinnitetään mielivaltainen s > dim P (A). Tällöin P s (A) =0, joten lemman 2.14 nojalla H s (A) =0. Näin ollen dim H (A) Æ s. Koska s>dim P (A) on mielivaltainen, niin saadaan dim H (A) Æ dim P (A). Pakkausdimension ja Minkowskin dimensioiden välillä vallitsee myös yhteys. Lause 2.16. Kaikilla rajoitetuilla A µ R n pätee dim P (A) Æ dim M (A). Todistus. Olkoon A µ R n rajoitettu. Kiinnitetään t, s œ R, joilla 0 Æ t<s< dim P (A). Nyt määritelmän nojalla P s (A) =Œ, joten erityisesti P0(A) s =Œ. Kiinnitetään 0 < Æ 1. Koska P0(A) s =Œ, niin voidaan valita joukon A - pakkaus B, jolle ÿ d(b) s > 1. BœB Valitaan nyt jokaista k œ N kohti kaikki ne n k kappaletta näin valitun - pakkauksen palloa Bi k œ B, i œ {1,..., n k }, joilla 2 k 1 <d(b i ) Æ 2 k. Nyt Œÿ Œÿ (2.17) n k 2 ks ÿn k Œÿ = 2 ks ÿn k Ø d(b i ) s = ÿ d(b) s > 1. BœB k=1 k=1 Tällöin voidaan valita k 0 œ N, jolla n k0 > 2 k0t (1 2 t s ). Nimittäin jos emme voisi tehdä tätä valintaa, niin n k Æ 2 kt (1 2 t s ) kaikilla k œ N. Tällöin geometrisen sarjan summakaavan ja tiedon t<snojalla Œÿ Œÿ Œÿ n k 2 ks Æ 2 kt (1 2 t s )2 ks = (2 t s ) k (1 2 t s )=2 t s < 1, k=1 k=1 mikä on ristiriidassa epäyhtälön (2.17) kanssa. Merkitään tätä arvoa n k0 vastaavia palloja B(x i,r i ), missä i =1, 2,..., n k0 ja kuten oletimme r i Ø 2 k 0 1 /2=2 k 0 2. Olkoon sitten B(y j, 2 k 0 2 ), j =1, 2,..., m, mielivaltainen joukon A peite 2 k 0 2 - säteisiä palloja. Osoitetaan, että m Ø n k0. Koska B(x i,r i ) œ B jokaisella i œ N ja B on joukon A -pakkaus, niin x i œ A. Nyt erityisesti jokaisella i = 1, 2,..., n k0 x i œ B(y j, 2 k0 2 ) jollain j = 1, 2,..., m. Toisaalta kuulat B(x i,r i ) ovat -pakkauksen alkioina erillisiä ja r i Ø 2 k0 2, joten jokainen kuula B(y j, 2 k0 2 ) voi sisältää vain yhden pisteistä x i, i =1, 2,..., n k0. Kuulia B(y j, 2 k0 2 ) on m kappaletta, joten m Ø n k0. Koska kuulat B(y j, 2 k 0 2 ), j =1, 2,..., m, muodostavat mielivaltaisen joukon A peitteen 2 k 0 2 -säteisiä palloja, niin tästä saamme, että N(A, 2 k 0 2 ) Ø n k0. Nyt k=1 k=1 N(A, 2 k 0 2 ) (2 k 0 2 ) t Ø n k0 (2 k 0 2 ) t > 2 2t (1 2 t s ). Toisaalta 2 k 0 2 Æ, joten lim sup 0 N(A, ) t Ø 2 2t (1 2 t s ) > 0. Siispä määritelmän nojalla dim M (A) Ø t. Koska t<dim P (A) on mielivaltainen, niin saadaan haluttu arvio dim P (A) Æ dim M (A). Minkowskin aladimension yhteyksistä pakkausdimensioon emme voi sanoa mitään yleistä sillä on olemassa joukkoja, joilla dim P (A) < dim M (A) ja vastaavasti joilla dim P (A) > dim M (A). Katso esimerkiksi kirjan [Fa] esimerkit

25 Minkowskin dimension määräämisestä. Koottuna yhteen edellisten lauseiden tiedot olemme saaneet siis seuraavan tuloksen. Lause 2.18. Kaikilla A µ R n pätee ja jos A on rajoitettu, niin dim H (A) Æ dim P (A) dim H (A) Æ dim M (A) Æ dim M (A) ja dim P (A) Æ dim M (A). Viittaamme jatkossa tähän lauseeseen nimellä dimensioepäyhtälöt. Tulemme viittaamaan tähän lauseeseen useasti kappaleessa 3, jossa etsimme huokoisuuden yhteyksiä dimensioon. Esimerkiksi pyrimme etsimään huokoisille joukoille dimensioylärajoja, jolloin meidän ei välttämättä tarvitse etsiä samaa ylärajaa kaikille dimensioille vaan pikemminkin löytää se jollekin muita majoroivalle dimensiolle. Katsotaan vielä lopuksi esimerkkiä dimensioiden laskemisesta tutun Cantorin joukon tapauksessa. Esimerkki 2.19. Esimerkissä 1.5 annettiin Cantorin -joukon määritelmä. Katsotaan ensin Cantorin joukon Minkowskin ylädimensiota. Tästä on järkevää puhua, sillä Cantorin joukko on välin [0, 1] osajoukkona rajoitettu. Etsitään ensin ylärajaa dimensiolle. Kiinnitetään k œ N. Nyt Cantorin joukon konstruktiossa saadut suljetut välit I k,i, i œ {1,..., 2 k } peittävät joukon C( ). Toisaalta jokaisen välin I k,i mitta on k, joten N(C( ), k ) Æ 2 k. Näin ollen käyttämällä Minkowskin ylädimension määritelmää 2.11 valittuna kerroin = saadaan dim M (C( )) = lim sup kæœ log N(A, k ) log k Æ lim sup kæœ log 2 k log 2 = log k log(1/ ) Arvioidaan sitten Minkowskin aladimensiota alhaalta. Osoittautuu, että voimme arvioida samalla vakiolla, joten tulemme laskeneeksi tarkan kaavan Cantorin - joukon Minkowskin dimensiolle. Olkoon taas k œ N kiinteä. Jos nyt valitsemme minkä tahansa k+1 -mittaisen suljetun välin, niin se leikkaa konstruktion perusteella korkeintaan yhtä väliä I k,i, i œ {1, 2,..., 2 k }. Toisaalta joukkoa C( ) esiintyy jokaisessa välissä I k,i, joten jotta siis saisimme peitettyä joukon C( ) k+1 - mittaisilla suljetuilla väleillä, tarvitsemme niitä vähintään yhtä monta kuin on välejä I k,i eli 2 k kappaletta. Siispä N(A, k+1 ) Ø 2 k. Tällöin vastaavasti dim M (C( )) = lim inf kæœ log N(A, k+1 ) log (k+1) Siispä joukolla C( ) on Minkowskin dimensio Ø lim inf kæœ dim M (C( )) = log 2 log(1/ ). log 2 k log 2 = log (k+1) log(1/ ) Tästä saamme dimensioepäyhtälöiden nojalla, että myös Cantorin -joukon Hausdor n dimensiota ja pakkausdimensiota voidaan rajoittaa ylhäältä vakiolla

26 log 2. Voimme jopa osoittaa tarkasti, että myös pätee log(1/ ) dim H (C( )) = log 2 log(1/ ) = dim P(C( )). Katso esimerkiksi kirjasta [Fa]. Nyt voimme hieman tulkita tätä tilannetta. Totteleeko Cantorin joukko myös intuitiivista tulkintaa dimensioista avaruutta täyttävinä suureina? Kun Cantorin joukon kerroin kasvaa kohti maksimiarvoaan 1/2, niin sen jokainen dimensio kasvaa kohti maksimiarvoaan 1 ja vastaavasti kun pienenee kohti miniarvoaan 0, niin jokainen dimensio pienenee kohti miniarvoaan 0. Toisin sanoen kun poistamme isompia palasia eli tyhjennämme avaruutta tehokkaammin, niin sitä pienempi on dimensio ja vastaavasti kääntäen. Kappaleet 1 ja 2 ovat toimineet oikeastaan vain pohjustuksena seuraavalle osiolle, joka on tutkielman pihvi. Olemme nyt tutkineet huokoisuutta ja dimensioita vain itsenäisinä suureina ja molemmissa tapauksissa olemme painottaneet käsitteiden merkitystä hienorakenteen ymmärtämisessä. Voisimmekin nyt kysyä, että vallitseeko näiden käsitteiden välillä minkäänlaisia yhteyksiä?

3. Huokoisuuden vaikutus dimensioon Intuitiivisesti huokoisuuden ja dimensioiden välillä näyttäisi olevan yhteys. Huokoisuus liittyy joukon hienorakenteessa esiintyvään reikäisyyteen ja dimensiot avaruuden täyttämiseen. Taasen mitä isompia reikiä joukossa on sitä vähemmän se täyttää avaruutta. Voimmeko sanoa mitään vastaavaa yleisesti huokoisilta joukoilta? Ainakin esimerkkien valossa vastaus on myönteinen. Esimerkeissä 1.5 ja 2.19 laskimme Cantorin -joukolle tarkat kaavat huokoisuudelle ja dimensiolle. Näistä näemme, että kun kerroin pienenee, niin huokoisuus kasvaa kohti arvoa 1 ja dimensio pienenee kohti arvoa 0. Kääntäen taasen jos suurenee, 2 niin huokoisuus pienenee kohti arvoa 0 ja dimensio suurenee kohti arvoa 1. Nyt ainakin tämän esimerkin tilanteessa huokoisuuden ja dimensioiden välillä näyttäisi olevan jokin yhteys. Huokoisuuden ja dimensioiden välisiä yhteyksiä yleisessä tilanteessa ei ole tutkittu kuin vasta viime vuosikymmeninä. Tässä tutkimuksessa on ollut erityisesti Suomessa merkittävää tutkimusta. Alullepanijoina tässä ovat olleet erityisesti Mattila [Ma2] ja Salli [Sa] ja tutkimusta jatkoivat viime vuosina esimerkiksi E. Järvenpää, Käenmäki, Rajala, Suomala ja M. Järvenpää lukuisissa artikkeleissa, joista muutama on viitteissä. Esittelemme seuraavassa muutamia päätuloksia huokoisuuden ja dimensioiden välillä. Löydetyt yhteydet ovat käytännössä kaikki dimensioylärajojen etsimistä huokoisille joukoille. Pyrimme ensin osoittamaan helppoja ylärajoja dimensioille, mistä voimme suoraan päätellä, että avaruuden R n huokoisen joukon dimensio on alle koko avaruuden dimension n riippumatta joukosta. Tämän jälkeen lähdemme tutkimaan vahvaa huokoisuutta eli tilannetta kun joukkojen huokoisuus on lähellä maksimiarvoaan. Pyrimme tämän avulla tutkimaan rajankäyntiä vastaavalla tavalla kuin Cantorin -joukon tapauksessa. 3.1. Yleinen tapaus. Tässä osiossa tutkimme huokoisten joukkojen dimensioita yleisessä tilanteessa. Emme kiinnitä huomiota lainkaan huokoisen joukon tarkkaan huokoisuuteen vaan lähinnä tietoon siitä, että joukko on huokoinen. Katsotaan ensin miten Hausdor joukko on huokoinen. 27 n dimensio suhtautuu tietoon siitä, että Lause 3.1. Jos A µ R n on huokoinen joukko, niin dim H (A) <n. Todistus. Oletetaan ensin, että A on rajoitettu (Í,r 0 )-huokoinen joukko. Merkitään = (4 Ô n/í +1, 4 Ô n/í +2]. Huomataan, että tältä väliltä voi löytyä täsmälleen yksi kokonaisluku. Merkitään tätä kokonaislukua symbolilla k. Valitaan nyt reaaliluku d = d(í), jolla k d = k n 1. Tällöin d < n. Pyritään seuraavassa löytämään joukolle A kuutioista koostuva peite ja päätyä sen kautta dimensioarvioon. Valitaan ensin jokin kuutio C µ R n, jonka läpimitta d(c) < r 0. Jaetaan C läpimitaltaan d(c)/k kokoisiin osakuutioihin C i, i œ {1, 2,..., 2 k }. Koska