Monitaajuusimpedanssitomografia raudoitteita sisältävän rakenteen kuvantamisessa. Niko Hänninen

Transkriptio

1 Monitaajuusimpedanssitomografia raudoitteita sisältävän rakenteen kuvantamisessa Niko Hänninen Z Y X 0 Pro gradu -tutkielma 18. toukokuuta 2017 Itä-Suomen yliopisto Sovelletun fysiikan laitos

2 ITÄ-SUOMEN YLIOPISTO, Luonnontieteiden ja metsätieteiden tiedekunta Sovelletun fysiikan koulutusohjelma, laskennallinen fysiikka Niko Hänninen: Monitaajuusimpedanssitomografia raudoitteita sisältävän rakenteen kuvantamisessa Pro Gradu -tutkielma, 51 sivua Tutkielman ohjaajat: FT Aku Seppänen (pääohjaaja) ja FM Antti Voss Toukokuu 2017 Avainsanat: monitaajuusimpedanssitomografia, raudoite, korroosio, mf-eit Tiivistelmä Impedanssitomografia (EIT) on sähköinen kuvantamismenetelmä, jossa tavoitteena on estimoida mitattavan kohteen kompleksista admittiivisuusjakaumaa kohteen pinnalta tehtyjen potentiaalimittausten avulla. Menetelmää voidaan soveltaa esimerkiksi teollisuuden ja lääketieteen kuvantamisessa, ja laboratoriotutkimuksissa sen on havaittu olevan potentiaalinen menetelmä betonin ainetta rikkomattomaan kuvantamiseen. Yleensä impedanssitomografian mittauksissa käytetään yhtä vaihtovirran taajuutta, mutta mittaukset voidaan suorittaa käyttämällä useampaa taajuutta jolloin käytetään termiä monitaajuusimpedanssitomografia (mf-eit). Tässä Pro Gradu -tutkielmassa tutustuttiin monitaajuusimpedanssitomografian teoriaan ja sovelluksiin. Tavoitteena oli tutkia menetelmän soveltumista raudoitteita sisältävän rakenteen (kuten betonin) kuvantamiseen, ja erityisesti raudoitteiden korroosion havaitsemista menetelmän avulla. Työssä suoritettiin kokeellinen osio, jossa tutustuttiin EIT:n mittausperiaatteeseen ja laboratoriomittausten avulla määritettiin elektrodien kontaktiimpedanssit. Raudoitteiden korroosion havaitsemista mf-eit:llä tutkittiin numeeristen simulaatioiden avulla MATLAB-ohjelmalla. Kompleksisten admittiivisuusjakaumien rekonstruktiot laskettiin simuloidusta impedanssitomografiadatasta Bayesilaisten inversiomenetelmien avulla. Laboratoriomittauksissa elektrodien kontakti-impedanssit määritettiin yksinkertaisten impedanssimittausten avulla vesisäiliössä. Mittauksissa havaittiin mittauslaitteiston sisäisillä impedansseilla olevan merkittävä vaikutus mittaustuloksiin, ja niiden huomioimisella tulosten laatua saatiin merkittävästi parannettua. Määritetyt kontakti-impedanssit vastasivat kvalitatiivisesti muissa tutkimuksissa saatuja tuloksia. Simulaatioissa rakenteen sisältämän raudoitteen korroosiota simuloitiin mittausasetelmassa jossa kuvannettava kohde sisälsi metallirakenteen. Metallirakenteen ja ympäröivän materiaalin välistä kontakti-impedanssia muuttamalla simuloitiin korroosion muodostumista metallikohteen pinnalle. Mittauksia usealla eri taajuudella simuloitiin muuttamalla sekä mittauselektrodien että metallirakenteen kontakti-impedansseja. Korroosion muodostuminen metallikappaleen pintaan oli havaittavissa simulaatioista lasketuissa rekonstruktioissa. Korroosio oli havaittavissa admittiivisuuden reaali- ja/tai imaginääriosassa, ja mittauksissa käytetty vaihtovirran taajuus vaikutti korroosion havaitsemiseen rekonstruktioissa. Erityisesti korkeilla taajuuksilla korroosion muodostuminen oli havaittavissa admittiivisuuden imaginääriosassa ja matalilla taajuuksilla admittiivisuuden reaaliosassa. Raudoitteita sisältävän materiaalin kuvantaminen on näiden simulaatioiden perusteella mahdollista impedanssitomografian avulla, ja monitaajuusimpedanssitomografian avulla rakenteesta voidaan saada enemmän tietoa kuin yhdellä taajuudella mitattaessa.

3 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Impedanssitomografia Suora ongelma Variationaalimuoto ja FEM-approksimaatio Käänteisongelma Monitaajuusimpedanssitomografia Sovellukset Prosessitomografia Lääketieteen sovellukset Ainetta rikkomaton testaus Elektrodien kontakti-impedanssien kokeellinen määrittäminen Mittausasetelma Tulokset Simulaatiot Simulaatiot jatkuvan admittiivisuusjakauman tilanteessa Datan simulointi ja rekonstruktion laskenta Tulokset ja pohdinta Simulaatiot sisäelektrodihilalla Datan simulointi ja rekonstruktion laskenta Tulokset ja pohdinta Raudoitteen korroosion havaitseminen monitaajuusimpedanssitomografian avulla Datan simulointi ja rekonstruktion laskenta Tulokset ja pohdinta Johtopäätökset 41

4 1 Johdanto Impedanssitomografia (Electrical Impedance Tomography, EIT) on sähköinen ainetta rikkomaton kuvantamismenetelmä, jossa estimoidaan mitattavan kohteen admittiivisuusjakaumaa. Impedanssitomografiamittauksissa kohteen pinnalle asetetaan elektrodit, joiden kautta kappaleeseen johdetaan heikkoa vaihtovirtaa ja mitataan siihen syntyvät potentiaalierot [1, 2]. Pinnalta tehdyistä potentiaalimittauksista voidaan estimoida kohteen kompleksista admittiivisuusjakaumaa ja muodostaa kaksitai kolmiulotteinen rekonstruktio. Monissa tilanteissa admittiivisuusjakaumasta saadaan tietoa kappaleen sisäisestä rakenteesta. Esimerkiksi keuhkojen sisältämän ilman sähkönjohtavuus on huomattavasti ympäröivää kudosta matalampi, jolloin keuhkojen sisältämän ilman määrää voidaan tarkkailla johtavuusjakauman avulla. Impedanssitomografiaa voidaan soveltaa useilla eri aloilla, esimerkiksi lääketieteellisessä kuvantamisessa ja teollisessa prosessitomografiassa. Lääketieteellisessä kuvantamisessa menetelmää voidaan käyttää esimerkiksi keuhkojen ja pään kuvantamiseen [3,4]. Teollisuudessa impedanssitomografia soveltuu hyvin esimerkiksi sekoitusprosessien kuvantamiseen [5 8]. Lääketieteellisen ja teollisen kuvantamisen lisäksi impedanssitomografia on potentiaalinen kuvantamismenetelmä betonin kuvantamiseen. Betoni on tällä hetkellä maailman käytetyin rakennusmateriaali [9]. Betonin raudoitteiden korroosio, halkeamat ja sen sisältämä kosteus vaikuttavat betonirakenteen kestävyyteen merkittävästi. Näiden havaitseminen pinnalta käsin on usein mahdotonta, joten mittausmenetelmät näiden ominaisuuksien selvittämiseksi ovat tärkeitä. Impedanssitomografialla on aiemmin monitoroitu kosteuden etenemistä [10] sekä paikannettu halkeamia ja raudoitteita [9, 11] sementtipohjaisissa materiaaleissa. Myös betoniraudoitteiden korroosion havaitseminen EIT:llä voisi olla mahdollista, koska korroosion on havaittu vaikuttavan impedanssimittauksiin impedanssispektroskopiassa [12 15]. Yleensä impedanssitomografiassa mittaukset suoritetaan käyttämällä yhtä vaihtovirran taajuutta. Mittauksia voidaan tehdä myös usealla eri taajuudella, jolloin menetelmää kutsutaan nimellä monitaaajuusimpedanssitomografia (Multi-Frequency Electrical Impedance Tomography, mf-eit). Monien materiaalien admittiivisuus riippuu vaihtovirran taajuudesta, jolloin usealla taajuudella mitattaessa kohteesta saadaan enemmän tietoa kuin yhdellä taajuudella. Impedanssitomografian käänteisongelman 1

5 huonokuntoisuutta voidaan myös parantaa käyttämällä useampaa taajuutta, jos kohteen materiaalin ominaisuuksien taajuusriippuvuudesta tiedetään tarpeeksi [16]. Tässä tutkielmassa tutustutaan monitaajuusimpedanssitomografian laskennallisiin menetelmiin. Tavoitteena on erityisesti tutkia monitaajuusimpedanssitomografian soveltuvuutta raudoitteita sisältävän rakenteen (kuten betonirakenteen) kuvantamiseen. Tässä työssä raudoitteiden vaikutusta mf-eit mittauksiin ja rekonstruktioihin testataan yksinkertaisten laboratoriokokeiden ja numeeristen simulaatioiden avulla. Simulaatioissa admittiivisuusjakaumien rekonstruktiot lasketaan Bayesilaisten menetelmien avulla. Luvussa 2 tutustutaan impedanssitomografian mittausperiaatteeseen, teoriaan ja sovelluksiin. Luvussa 3 esitellään yksinkertainen mittausasetelma kontaktiimpedanssien kokeelliseen määrittämiseen ja laboratoriokokeiden tulokset. Luvussa 4 tutkitaan impedanssitomografian soveltuvuutta raudoitteita sisältävän materiaalin kuvantamiseen numeeristen simulaatioiden avulla, ja Luvussa 5 on esitelty tämän tutkielman johtopäätökset. 2

6 2 Impedanssitomografia Kuva 1: Esimerkki impedanssitomografian mittausasetelmasta. Kuvassa 1 on esitetty tyypillinen EIT:n mittausasetelma. Kappaleen pinnalle asetetaan elektrodit, ja heikkoa vaihtovirtaa syötetään kerrallaan kahden elektrodin avulla kappaleeseen ja mitataan elektrodeille syntyvät potentiaalit. Potentiaalimittauksista voidaan estimoida kappaleen kompleksista admittiivisuusjakaumaa. Usein sovelluksissa admittiivisuusjakauman sijaan estimoidaan pelkästään sen reaaliosaa eli johtavuusjakaumaa. Tätä menetelmää kutsutaan sähköiseksi resistanssitomografiaksi (ERT, Electrical Resistance Tomography), vaikkakin joissakin yhteyksissä siitä käytetään myös nimitystä impedanssitomografia. Etenkin matalilla taajuuksilla monien materiaalien kapasitiiviset efektit ovat hyvin pieniä, jolloin admittiivisuus- ja johtavuusjakauma ovat hyvin lähellä toisiaan. Admittiivisuusjakauman lisäksi usein estimoidaan mittauksessa käytettävien elektrodien kontakti-impedansseja. Kontakti-impedanssilla tarkoitetaan elektrodin ja mitattavan kohteen pinnan välistä impedanssia, joka syntyy materiaalien rajapinnan sähköisestä kytkennästä. Kontakti-impedanssin suuruus riippuu elektrodien ja kohteen materiaaleista ja niiden välisestä kytkennästä, ja sen huomioiminen inversioongelman laskennassa parantaa rekonstruktion tarkkuutta. Admittiivisuus- tai johtavuusjakauman estimoiminen mitatuista potentiaaleista on yleensä epälineaarinen huonosti asetettu käänteisongelma, mikä tarkoittaa sitä, että ongelmalla ei ole välttämättä yksikäsitteistä ratkaisua ja ratkaisu on herkkä pienil- 3

7 le mittausdatan muutoksille sekä mallinnusvirheille. Tällaisten ongelmien ratkaisemisessa käytetään usein regularisointia. Käänteisongelman ratkaisemiseksi on myös ratkaistava suora ongelma, missä ongelmana on ratkaista elektrodien jännitteet kun syötetyt virrat ja kappaleen admittiivisuusjakauma tunnetaan. Tällä hetkellä tarkin käytössä oleva malli on niin sanottu täydellinen elektrodimalli (Complete Electrode Model). Suora ongelma koostuu osittaisdifferentiaaliyhtälöstä ja sen reunaehdoista, ja sen ratkaiseminen analyyttisesti on mahdollista yksinkertaisissa tapauksissa, mutta yleensä ongelma ratkaistaan numeerisesti. Eräs yleisesti käytetty numeerinen ratkaisumenetelmä on äärellisten elementtien menetelmä (Finite Element Method, FEM ), missä laskenta-alue diskretisoidaan äärelliseen määrään elementtejä joissa ongelma ratkaistaan. Virtaa voidaan syöttää kappaleeseen usealla eri tavalla, mikä vaikuttaa siihen miten paljon lineaarisesti riippumattomia mittauksia kappaleesta voidaan mitata [17]. Usein virtaa syötetään kahden elektrodin välillä kerrallaan, ja elektrodien potentiaalit mitataan muiden elektrodiparien välillä. Virta syötetään yleensä joko kahden vastakkaisen tai vierekkäisen elektrodin välillä. Virtaa voidaan syöttää myös useasta elektrodista samanaikaisesti, ja potentiaalit voidaan mitata kaikkien elektrodien välillä suhteessa yhteen referenssielektrodiin. 2.1 Suora ongelma Impedanssitomografian matemaattinen malli pohjautuu Maxwellin yhtälöihin [18]. Maxwellin yhtälöt epähomogeenisessä materiaalissa voidaan kirjoittaa muodossa D = ρ c (2.1) B = 0 (2.2) E = B t (2.3) H = J + D t, (2.4) missä E on sähkökenttä, D sähkövuon tiheys, B magneettivuon tiheys, H magneettikentän voimakkuus, ρ c varaustiheys ja J sähkövirran tiheys. Jos oletetaan että syötetyt virrat ovat ajan suhteen harmonisia, sähkökentälle ja magneettikentälle voi- 4

8 daan kirjoittaa kompleksiset faasoriesitykset E = Ee jωt (2.5) B = Be jω(t+φ), (2.6) missä ω on sähkövirran taajuus, t aika, φ vaihe-ero ja j imaginääriyksikkö. Jos väliaine on lineaarista ja isotrooppista, sähkövuon tiheys ja magneettivuon tiheys voidaan kirjoittaa muodossa D = ɛ o ɛ r E (2.7) B = µh, (2.8) missä µ = µ(x) on väliaineen magneettinen permeabiliteetti, ɛ r = ɛ r (x) suhteellinen permittiivisyys, ɛ 0 tyhjiön permittiivisyys ja x spatiaalinen koordinaatti. Yhtälöiden (2.7) - (2.8) ja (2.5) - (2.6) avulla Maxwellin yhtälöt (2.3) ja (2.4) voidaan kirjoittaa muodossa E = jωµh (2.9) H = J + jωɛ 0 ɛ r E. (2.10) Virrantiheys J voidaan kirjoittaa muodossa J = J s + J o, missä J s on kohteen sisällä olevien virranlähteiden muodostama virrantiheys, J o = σe ohminen virta ja σ = σ(x) sähkönjohtavuus. Tällöin Maxwellin yhtälöt (2.9) - (2.10) kappaleen sisällä voidaan kirjoittaa muodossa E = jωµh (2.11) H = (σ + jωɛ 0 ɛ r )E + J s. (2.12) Yleensä kappaleen sisällä ei ole sähkövirran lähteitä, jolloin J s = 0. Sähkökenttä kappaleen sisällä voidaan kirjoittaa muodossa E = u + A t (2.13) missä u = u(x) on sähköinen potentiaali ja A magneettinen vektoripotentiaali. Vaikka impedanssitomografiassa käytetään vaihtovirtaa, usein virran aikariippuvuutta ei oteta huomioon vaan sähkökenttä approksimoidaan vakioksi ajan suhteen jolloin A t 0. 5

9 Tätä kutsutaan niin sanotuksi kvasistaattiseksi approksimaatioksi, ja se pätee varsin hyvin kun vaihtovirran taajuus on pieni. Tällöin sähkökenttä E kappaleen sisällä voidaan esittää muodossa E = u. (2.14) Ottamalla yhtälöstä (2.12) divergenssi puolittain ja sijoittamalla siihen yhtälö (2.14) ja olettamalla J s = 0 saadaan kirjoitettua malli kappaleen sisällä (σ + jωɛ 0 ɛ r ) u = 0 x Ω, (2.15) missä Ω on tarkasteltava alue. Jos oletetaan alueeseen syötetyt virrat I l tunnetuiksi, voidaan reunaehdot kirjoittaa muodossa e l (σ + jωɛ 0 ɛ r ) u n ds = I l x e l, l = 1, 2,..., L (2.16) (σ + jωɛ 0 ɛ r ) u n = 0 L x Ω \ e l, (2.17) missä e l on l:nen elektrodin pinta, I l syötetty virta, L elektrodien määrä, Ω alueen Ω reuna ja n pinnan yksikkönormaali joka suuntautuu ulos pinnasta. Reunaehdoissa toisin sanottuna virta jokaisen elektrodin läpi on tunnettu, ja muualla kuin elektrodeilla virta reunan läpi on nolla. Täydellinen elektrodimalli ottaa huomioon myös elektrodien ja kohteen välisen kontakti-impedanssin. Kontakti-impedanssi syntyy elektrodien ja kohteen välisistä sähkökemiallisista reaktioista joissa syötetty sähkövirta muuttuu kappaleessa ioniseksi virtaukseksi. Koko elektrodin voidaan olettaa olevan tasapotentiaalissa, ja kun otetaan huomioon kontakti-impedanssi voidaan potentiaali elektrodilla kirjoittaa muodossa u + z l (σ + jωɛ 0 ɛ r ) u n = U l x e l, l = 1, 2,..., L, (2.18) missä U l on potentiaali elektrodilla l ja z l on elektrodin l kontakti-impedanssi. l=1 6

10 Täydellinen elektrodimalli koostuu yhtälöstä (2.15) sekä reunaehdoista (2.16) - (2.18) (σ + jωɛ 0 ɛ r ) u = 0 x Ω (2.19) u + z l (σ + jωɛ 0 ɛ r ) u n = U l x e l, l = 1, 2,..., L (2.20) e l (σ + jωɛ 0 ɛ r ) u n ds = I l x e l, l = 1, 2,..., L (2.21) (σ + jωɛ 0 ɛ r ) u n = 0 Näiden lisäksi varauksen säilymislain L x Ω \ e l. (2.22) l=1 L I l = 0 (2.23) l=1 on toteuduttava, eli kohteessa ei ole sisäisiä sähkövirran lähteitä. Lisäksi jotta suoran ongelman yksikäsitteinen ratkaisu olisi olemassa, täytyy määrätä sähköisen potentiaalin referenssitaso. Tämä voidaan tehdä esimerkiksi asettamalla L U l = 0, (2.24) l=1 jolloin ratkaisu on olemassa ja se on yksikäsitteinen [19] Variationaalimuoto ja FEM-approksimaatio Suoran ongelman (yhtälöt (2.19) - (2.22)) ratkaisemiseen numeerisesti käytetään usein FEM-menetelmää. FEM-menetelmässä alkuperäinen ongelma kirjoitetaan niin sanotussa variationaalimuodossa ja variationaaliongelman ratkaisemiseksi laskenta-alue jaetaan äärelliseen määrään elementtejä. Ongelman dimensiosta riippuen elementit voivat olla viivoja (1D), monikulmioita (2D) tai monitahokkaita (3D) ja ne koostuvat solmupisteistä ja sivuista. Variationaaliongelman ratkaisua approksimoidaan äärellisellä summalla K u(x) u i φ i (x), (2.25) i=1 missä φ i (x), i = 1, 2,..., K ovat kantafunktioita ja K solmupisteiden lukumäärä. Galerkinin FEM-approksimaatiossa testifunktiot v valitaan kantafunktioiksi φ i. Kantafunktiot voidaan valita vapaasti diskretoidusta ratkaisuavaruudesta, kunhan ne ovat lineaarisesti riippumattomia. Kantafunktiot φ i valitaan kuitenkin usein niin että ehto 7

11 1, i = j φ i (x j ) = 0, muulloin (2.26) täyttyy, missä x j ovat solmupisteitä. Kantafunktio φ i saa siis arvon 1 solmupisteessä i ja muissa solmupisteissä arvon 0. Tällä valinnalla parametri u i on siis reuna-arvoongelman (2.19) - (2.22) ratkaisun approksimaatio solmupisteessä i kohteen sisällä. Parametrisoidaan lisäksi potentiaaleja elektrodeilla summalla U h L 1 j=1 β j n j (2.27) missä kantafunktiot n j voidaan valita esimerkiksi siten että n 1 = (1, 1, 0, 0,..., 0) T R, n 2 = (1, 0, 1, 0,..., 0) T R ja niin edelleen jolloin ehto (2.24) täyttyy. Nyt siis kertoimien u i ja β i avulla voidaan laskea alkuperäisen ongelman potentiaalien suuruksia kappaleen sisällä ja elektrodeilla kaavan (2.27) avulla. Valitaan testifunktiot v kuulumaan Sobolevin avaruuteen v H 1 (Ω) ja V R L. Nyt täydellinen elektrodimalli (2.19) - (2.22) voidaan kirjoittaa variationaalimuodossa [2, 19] B((u, U), (v, V )) = missä H = H 1 (Ω) R L ja B on bilineaarimuoto B((u, U), (v, V )) = (σ + jωɛ o ɛ r ) u vdx + ω L I l V l, (v, V ) H (2.28) l=1 L 1 (u U l )(v V l )ds. (2.29) l=1 z l e l Sijoittamalla approksimaatiot (2.25) ja (2.27) variationaalimuotoon (2.28) ja valitsemalla v = φ i ja V = n j yhtälö voidaan kirjoittaa matriisimuodossa [2] Aθ = I, (2.30) missä θ = (u, β) T, u = (u 1, u 2,..., u N ) ja β = (β 1, β 2,..., β L 1 ). Potentiaalien arvot u h ja U h saadaan siis ratkaistua θ = A 1 I. (2.31) Matriisi A on muotoa A = B C C T D (2.32) 8

12 missä B(i, k) = (σ + jωɛ 0 ɛ r ) φ i φ k dx + Ω L 1 l=1 z l i, k = 1, 2,..., N ( 1 C(i, k) = φ 1 ds 1 ) φ i ds z l e 1 z k+1 e k+1 D(i, k) = i = 1, 2,..., N k = 1, 2,..., L 1 L 1 l=1 z l e 1 z = 1 e 1 z 1 e l φ i φ k ds (2.33) (2.34) e l (n i ) l (n k ) l ds (2.35) i k + e k+1 z k+1 i, k = 1, 2,..., L 1. (2.36) Myös admittiivisuusjakauma esitetään äärellisulotteisessa kannassa, ja myöhemmin tässä tutkielmassa γ tarkoittaa parametrivektoria joka sisältää admittiivisuuden arvoja hilan solmupisteissä. Potentiaalit U h elektrodeilla ovat nyt muotoa U h 1 = L 1 l=1 β l (2.37) U h 2 = β 1 (2.38) U h 3 = β 2 (2.39). U h L = β L 1, (2.40) joka voidaan esittää matriisimuodossa U h = Cβ T, (2.41) missä C = (2.42) 9

13 2.2 Käänteisongelma Käänteisongelmassa tavoitteena on estimoida kappaleen admittiivisuusjakauma γ sekä elektrodien kontakti-impedanssit z mitattujen potentiaalien avulla. Käänteisongelma on epälineaarinen huonosti asetettu käänteisongelma, eli ongelmalla ei ole välttämättä yksikäsitteistä ratkaisua ja pienet muutokset mitatuissa potentiaaleissa aiheuttavat suuria muutoksia ratkaisussa. Rekonstruktio voidaan laskea joko differenssikuvantamisena tai absoluuttisena kuvantamisena [18]. Tässä työssä admittiivisuuden rekonstruktiot lasketaan absoluuttikuvantamisella Bayesilaisten inversiomenetelmien avulla [20]. Havaintomalli on nyt muotoa U = R(γ, z, e), (2.43) missä U sisältää mitatut potentiaalit, R on havainto-operaattori (Kappaleesta 2.1), γ ja z estimoitavat parametrit ja e havaintokohina. Admittiivisuus γ ja kontaktiimpedanssi z ovat kompleksisia suureita, eli ne voidaan esittää muodossa γ = γ 1 + jγ 2 ja z = z 1 + jz 2. Estimoitavat admittiivisuuden parametrit ovat siis γ 1 = σ ja γ 2 = ωɛ r ɛ 0 edellä esitetyn teorian mukaisesti. Laskennassa vektorit γ ja z käsitellään reaalisina muodossa γ = [γ 1 γ 2 ] T ja z = [z 1 z 2 ] T, eli missä reaali- ja imaginääriosa on asetettu päällekkäin. Jos havaintokohinan oletetaan olevan additiivista, malli voidaan kirjoittaa muodossa U = R(γ, z) + e. (2.44) Bayesilaisessa inversiossa tarkastellaan posterioritiheyttä π(γ, z U) eli estimoitavien parametrien ehdollista todennäköisyystiheyttä ehdolla missä mittaukset U tunnetaan. Posterioritiheys voidaan kirjoittaa Bayesin kaavan avulla muodossa [20] π(γ, z U) = π(u γ, z)π(γ, z) π(u) π(u γ, z)π(γ, z), (2.45) missä π(u γ, z) on likelihood-funktio, π(γ, z) prioritiheys ja π(u) normalisointitermi joka ei riipu mittausdatasta U. Jos oletetaan että kohina e on normaalijakautunutta ja nollakeskiarvoista, voidaan likelihood-funktio kirjoittaa muodossa ( π(u σ, z) exp missä Γ e on kohinan kovarianssimatriisi. 1 2 (U R(γ, z))t Γ 1 e ) (U R(γ, z)) (2.46) 10

14 Prioritiheys π(γ, z) sisältää ennakkotiedon estimoitavista parametreista. Jos admittiivisuusjakauman oletetaan olevan riittävän sileä, voidaan parametrien γ 1 ja γ 2 prioritiheytenä käyttää esimerkiksi smoothness prior -tiheyttä [21]. Smoothness prior -tiheys voidaan esittää tässä tilanteessa muodossa ( π(γ i ) exp 1 ) 2 (γ i η γi ) T Γ 1 γ i (γ i η γi ) i = 1, 2 (2.47) missä η γ on odotusarvo ja Γ γ kovarianssimatriisi. Kontakti-impedanssien prioritiheytenä käytetään tässä työssä Gaussista prioritiheyttä ( π(z i ) exp 1 ) 2 (z i η zi ) T Γ 1 z i (z i η zi ) i = 1, 2 (2.48) missä kovarianssimatriisi Γ zi koostuu kahdesta komponentista Γ zi = ai + b1 (2.49) missä I on yksikkömatriisi ja 1 = (2.50) Kovarianssimatriisin ensimmäinen termi ai määrittää kontakti-impedanssien prioritiheyden täysin korreloimattoman osan, ja jälkimmäinen termi b1 täysin korreloituneen osan. Merkitään θ = [γ 1 γ 2 z 1 z 2 ] T vektoria joka sisältää kaikki estimoitavat parametrit ja η θ = [η γ1 η γ2 η z1 η z2 ] T niitä vastaavat odotusarvot. Kontakti-impedanssia mallinnetaan kytkentänä jossa on sekä resistiivinen että kapasitiivinen komponentti, jolloin sen imaginääriosa z 2 on negatiivinen. Myöhemmin esiteltävän positiivisuusrajoitteen yksinkertaistamiseksi estimoitavaksi parametriksi valitaan z 2, jolloin kaikki estimoitavat parametrit voidaan rajoittaa positiivisiksi. Jos lisäksi oletetaan että γ 1, γ 2, z 1 ja z 2 ovat keskenään riippumattomia, voidaan Γ θ kirjoittaa muodossa Γ γ Γ Γ θ = γ Γ z1 0. (2.51) Γ z2 11

15 Posterioritiheys on nyt muotoa ( π(θ U) exp 1 2 (U R(θ))T Γ 1 e (U R(θ)) 1 2 (θ η θ) T Γ 1 ) θ (θ η θ). (2.52) Maximum a posteriori -estimaatti (MAP) on posteriorifunktion maksimipiste θ MAP = arg max{π(θ U)}. (2.53) θ Jos lisäksi huomioidaan suureiden γ 1, γ 2, z 1 ja z 2 positiivisuusrajoite, MAP -estimaatti saadaan minimointiongelman arg min {(U θ 0 R(θ))T Γ 1 e (U R(θ)) + (θ η θ ) T Γ 1 θ (θ η θ)} (2.54) = arg min θ 0 { L e(u R(θ)) 2 + L θ (θ η θ ) 2 }, (2.55) ratkaisuna, missä L T e L e = Γ 1 e ja L T θ L θ = Γ 1 θ. Minimointiongelma voidaan ratkaista iteratiivisesti Gauss-Newton-algoritmilla ˆθ k+1 = ˆθ k + α(j T k Γ 1 e J k + L T θ L θ ) 1 (J T k Γ 1 e (U R(ˆθ k )) Γ 1 θ (ˆθ k η θ )), (2.56) Γ 1 θ missä ˆθ k on ratkaisu pisteessä k, J k operaattoria R vastaava Jacobin matriisi pisteessä ˆθ k ja α askelparametri. Tässä työssä suunta (Jk T Γ 1 e J k +L T θ L θ ) 1 (Jk T Γ 1 e (U R(ˆθ k )) (ˆθ k η θ )) ratkaistaan ensin, jonka jälkeen askelparametri α valitaan linjahakualgoritmin avulla ja positiivisuusrajoite toteutetaan exterior point-menetelmän avulla. Menetelmä Jacobin matriisin J k määräämiseksi on esitetty viitteessä [22]. 2.3 Monitaajuusimpedanssitomografia Yleensä impedanssitomografian mittaukset suoritetaan käyttämällä yhtä vaihtovirran taajuutta väliltä khz [2]. Impedanssitomografiassa voidaan käyttää myös useampaa mittaustaajuutta, jolloin kohteesta saadaan enemmän tietoa ja/tai käänteisongelman huonokuntoisuutta voidaan parantaa [16, 23]. Yleensä materiaalin admittiivisuus riippuu vaihtovirran taajuudesta, joten käänteisongelman huonokuntoisuutta ei voi suoraan parantaa lisäämällä mittauksia eri taajuudella. Jos mitattavan kohteen sähköisten ominaisuuksien ja taajuuden riippuvuudesta tiedetään etukäteen, saadaan käänteisongelman huonokuntoisuutta parannettua suorittamalla mittauksia usealla eri taajuudella. Monitaajuusimpedanssitomografia ei ole vakiintu- 12

16 neessa käytössä sovelluksissa, mutta laboratoriokokeissa sen on havaittu olevan potentiaalinen kuvantamismenetelmä erityisesti lääketieteen kuvantamisessa [24 30]. 2.4 Sovellukset Prosessitomografia Teollisuudessa on monia prosesseja, joissa on oleellista tietää putkissa, säiliöissä tai sekoittimissa olevan seoksen koostumus [5,31]. Esimerkiksi paperiteollisuudessa paperin valmistuksessa käytettävien kemikaalien tehokas sekoittaminen vähentää raakaaineiden hukkaa sekä parantaa lopputuotteen laatua [32]. Tyypillisiä tarkkailtavia asioita prosessitomografiassa ovat sekoituksen tila, kaasujen määrän estimointi tai massan virtauksen estimointi [6]. Erityisesti sekoitusprosesseissa lopputuloksen laatu riippuu hyvin vahvasti sekoittamisen onnistumisesta, joten prosessin mallinnus ja tarkkailu on erittäin tärkeää. Kompleksisen admittiivisuusjakauman sijaan useimmissa prosessitomografian sovelluksissa tarkastellaan pelkästään johtavuusjakaumaa, ja tässä luvussa esitellyt prosessitomografian menetelmät perustuvat reaalisen johtavuusjakauman estimointiin eli resistanssitomografiaan. Impedanssitomografia soveltuu hyvin nesteiden ja kaasujen sekoituksen tarkasteluun, jos sekoitettavien aineiden johtavuudet poikkeavat riittävästi toisistaan jotta ne voidaan havaita admittiivisuusjakaumasta [5]. Esimerkiksi suolaveden ja vesijohtoveden sekoittumisen tilaa voidaan tarkkailla impedanssitomografian avulla [33]. Sekoitusprosessien lisäksi toinen merkittävä teollisuuden kuvantamiskohde on prosessiputkistot [8,34,35]. Mielenkiinnon kohteena on yleensä putkistoissa virtaavan fluidin koostumus, virtausnopeus tai mahdolliset epäpuhtaudet kuten ilmakuplat tai kiinteät materiaalit. Usein putkistoissa virtaavien aineiden admittiivisuudet poikkeavat toisistaan, jolloin niiden kuvantaminen on mahdollista impedanssitomografian avulla. Esimerkiksi multifaasivirtauksessa veden ja ilman jakaumaa on mahdollista kuvantaa impedanssitomografian avulla [35, 36]. Impedanssitomografian etuja prosessitomografian sovelluksissa ovat mittalaitteiston edullisuus, yksinkertaisuus, turvallisuus sekä nopea mittaustaajuus. Korkean mittaustaajuuden vuoksi impedanssitomografiaa voidaan käyttää kohteisiin joissa muutokset tapahtuvat nopeasti. Mittauslaitteisto on myös yleensä yksinkertainen ja kestää hyvin 13

17 teollisuuden prosessien haastavia olosuhteita, kuten suuria lämpötilavaihteluita [35] Lääketieteen sovellukset Impedanssitomografia ei ole vakiintuneessa käytössä lääketieteen kuvantamisessa, mutta sitä on tutkittu runsaasti ja sen on havaittu olevan potentiaalinen menetelmä useiden ihmiskehon toimintojen kuvantamiseen. Impedanssitomografiaa käyttäviä kaupallisia lääketieteellisiä sovelluksia on myös olemassa useita. [3] Biologiset kudokset sisältävät ioneja, joiden seurauksena kudokset johtavat sähköä. Sähkönjohtavuus vaihtelee eri kudosten välillä, ja esimerkiksi lihaskudos johtaa sähköä huomattavasti paremmin kuin luu [3, 37]. Sähkönjohtavuuden lisäksi kudoksissa on kapasitiivisia rakenteita, joten myös kudosten permittiivisyys eroaa myös toisistaan. Koska kehon eri kudosten admittiivisuus vaihtelee runsaasti, voidaan impedanssitomografian avulla kuvantaa kehon eri kohteita. Usein myös lääketieteen sovelluksissa tarkastellaan reaalista johtavuusjakaumaa admittiivisuusjakauman sijaan, jolloin impedanssitomografiaa voidaan käyttää lääketieteessä esimerkiksi vatsalaukun tyhjentymisen ja toiminnan tarkastelussa [38], rintasyövän kuvantamisessa [26, 39], keuhkojen toiminnan tarkastelussa [40, 41] ja pään alueen kuvantamisessa [4, 25, 42]. Myös esimerkiksi veren johtavuus on huomattavasti suurempi kuin monien kudosten, jolloin veren määrän lisääntyminen kudoksissa voidaan havaita kudoksen kasvaneena johtavuutena. Yhdellä vaihtovirran taajuudella tehtyjen mittausten lisäksi monitaajuusimpedanssitomografian on havaittu olevan potentiaalinen menetelmä biologisten kudosten kuvantamiseen laboratoriokokeissa [24 26, 43]. Admittiivisuusjakauman on havaittu myös tarjoavan enemmän tietoa kohteesta reaaliseen johtavuusjakaumaan verrattuna, mutta sen estimoiminen luotettavasti on laskennallisesti haastavaa [29,30]. Lääketieteellisessä kuvantamisessa impedanssitomografialla on useita etuja muihin tomografisiin kuvantamismenetelmiin, kuten magneetti- tai röntgenkuvantamiseen verrattuna [3,37]. Impedanssitomografia on suhteellisen edullinen menetelmä, mittauksia voidaan tehdä hyvin suurella taajuudella ja nykyisen tiedon mukaan mittaukset eivät ole terveydelle haitallisia. Lisäksi menetelmä soveltuu myös pidempiaikaiseen tarkkailuun, sekä spektrimittausten avulla kudoksia voidaan karakterisoida. Impedanssitomografian suurimpana heikkoutena voidaan pitää matalaa spatiaalista resoluutiota, joka on huomattavasti pienempi kuin magneetti- tai röntgenkuvantamisessa. Myös 14

18 kehon epäsäännöllinen ja vaihteleva muoto aiheuttaa merkittäviä haasteita laskennassa Ainetta rikkomaton testaus Ainetta rikkomattomalla testauksella tarkoitetaan materiaalien, rakenteiden ja komponenttien ominaisuuksien testaamista ja arvioimista ainetta rikkomatta. Usein tavoitteena on löytää materiaalista rakenteellisia vikoja tai heikkouksia, kuten halkeamia betonirakenteista. Ainetta rikkomattomaan testaukseen on kehitetty useita menetelmiä, kuten ultraääneen, sähkömagneettiseen säteilyyn sekä optisiin ilmiöihin perustuvia menetelmiä. Myös impedanssitomografiaa voidaan käyttää esimerkiksi betonin ainetta rikkomattomassa kuvantamisessa [10, 11, 44, 45]. Betonin sähköisiä ominaisuuksia on tutkittu runsaasti, ja betonin raudoitteiden korroosio, halkeamat ja sen sisältämä kosteus vaikuttavat betonin sähköisiin ominaisuuksiin [11, 46 48]. Korkeilla taajuuksilla betonilla on sekä resistiivisiä että kapasitiivisiä ominaisuuksia, mutta alle 1 khz taajuudella betoni käyttäytyy pelkästään resistiivisesti joten admittiivisuuden sijaan voidaan tarkastella pelkästään reaalista johtavuutta [9]. Resistanssitomografian avulla on mahdollista määrittää esimerkiksi betonin sisältämien raudoitteiden sijainti [11], halkeamia [44] ja kosteutta [10]. Impedanssispektroskopian avulla on pystytty mittamaan betonin raudoitteiden korroosiota laboratiotesteissä [12 15]. Impedanssispektroskopia on sähköisiin mittauksiin perustuva mittausmenetelmä, jossa kohteen pinnalta tehtyjen impedanssimittausten saadaan tietoa kohteen sisäisestä rakenteesta. Koska raudoitteiden korroosio vaikuttaa pinnalta tehtyihin impedanssimittauksiin, korroosion havaitseminen saattaa olla myös mahdollista monitaajuusimpedanssitomografian avulla. Luvussa 4 tutkitaan monitaajuusimpedanssitomografian soveltumista raudoitteita sisältävän rakenteen kuvantamiseen simulaatioiden avulla. 15

19 3 Elektrodien kontakti-impedanssien kokeellinen määrittäminen Tässä työn osassa tavoitteena oli määrittää metallisten elektrodien ja veden välisen kontakti-impedanssin suuruus taajuuden funktiona yksinkertaisten laboratoriotestien avulla. Kontakti-impedanssin suuruus riippuu elektrodien ja kohteen materiaalista, sähköisestä kontaktista sekä käytetystä vaihtovirran taajuudesta. Kontaktiimpedanssit voivat aiheuttaa merkittävää mallinnusvirhettä EIT:n mittauksiin jos niitä ei oteta mallissa huomioon. 3.1 Mittausasetelma Mittaukset suoritettiin suorakulmaisessa akryylista valmistetussa säiliössä, jonka molemmissa päissä oli koko päädyn peittävä metallinen levy. Säiliö täytettiin vesijohtovedellä, ja päätyjen metallilevyjä käytettiin elektrodeina joiden avulla säiliöön syötettiin matalatehoista vaihtovirtaa. Vesitankkiin syntynyttä potentiaalikenttää mitattiin kuuden veteen upotetun metallisen sauvaelektrodin avulla. Asetelmaa vastaava kaaviokuva on esitetty Kuvassa 2a ja sitä vastaava kytkentäkaavio Kuvassa 2b. (a) (b) Kuva 2: Kaaviokuva mittausasetelmasta (a) ja asetelman ensimmäistä mittausta vastaava kytkentäkaavio (b). Kytkentäkaaviossa Z 1 ja Z 2 ovat päätyelektrodien kontakti-impedanssit, Z e sau- 16

20 vaelektrodin kontakti-impedanssi, Z M mittalaitteen sisäinen impedanssi, R 1 veden aiheuttama resistanssi ensimmäisen päätyelektrodin ja ensimmäisen sauvaelektrodin välillä ja R n veden aiheuttama resistanssi ensimmäisen sauvaelektrodin jatoisen päätyelektrodin välillä. Impedanssit Z 1, Z 2, Z e ja Z M ovat kompleksisia, ja resistanssit R 1 ja R n ovat reaalisia. Mittalaitteena käytettiin Stanford Research Systems:in SR830 DSP Lock-in Amplifier -laitetta. Mittalaitteesta syötettiin tehollisarvoltaan vakiota vaihtojännitettä muuntimeen, joka muutti jännitteen tehollisarvoltaan vakioksi vaihtovirraksi. Muuntimesta virta johdettiin vesisäiliön päätyelektrodeihin, ja syntyneet potentiaalien amplitudit ja vaihe-erot mitattiin samalla mittalaitteella Kuvan 2a mukaisesti. Mittaukset suoritettiin käyttämällä useita vaihtovirran taajuuksia väliltä Hz. Kontakti-impedansseja määritettiin ensin yksinkertaisen mallin avulla, missä mitattuihin potentiaaleihin vaikuttaa ainoastaan päätyelektrodien kontakti-impedanssit sekä veden aiheuttama reaalinen resistanssi. Yksinkertaisessa mallissa ei siis huomioitu mittalaitteen sisäistä impedanssia Z M eikä sauvaelektrodien kontakti-impedansseja Z e. Tällöin päätyelektrodien kontakti-impedanssi aiheuttaisi potentiaalieron elektrodin ja veden rajapinnalla, minkä seurauksena potentiaaliero päädyn ja ensimmäisen sauvaelektrodin välillä olisi suurempi kuin pelkkä veden resistanssin aiheuttama potentiaaliero ja mitatut potentiaalit olisivat käyttäytyneet kuten Kuvassa 3a. Tällöin kontakti-impedanssit pystyttäisiin määrittämään ensimmäisen ja viimeisen potentiaalimittauksen erotuksesta sovitettuun suoraan nähden. 17

21 U [V] x [m] (a) U (V) 0.25 U (V) x (m) (b) x (m) (c) Kuva 3: Yksinkertaisen mallin avulla ennustetut mittaukset (a) ja mittauksissa havaitut eräät potentiaalimittaukset (b) ja (c). Mittauksissa kuitenkin havaittiin että mitatut potentiaalit eivät käyttäydy mallin mukaisesti, vaan sähköisesti positiivisen potentiaalin päätyelektrodin aiheuttama potentiaalin muutos suoraan nähden oli huomattavasti pienempi kuin negatiivisen päätyelektrodin. Kuvassa 3b on esitetty erään potentiaalimittauksen tulokset, ja havaitaan että ensimmäisen päätyelektrodin aiheuttama potentiaalin muutos on huomattavasti suurempi kuin toisen päätyelektrodin. Kun mittausasetelmaa vaihdettiin siten että päätyelektrodien paikkaa vaihdettiin keskenään, potentiaalin muutos on jälleen pienempi ensimmäisellä päätyelektrodilla (Kuvassa 3c). Huomattavasti toisistaan poikkeava potentiaalin muutos päätyelektrodeilla ei johdu siis päätyelektrodien ominaisuuksista. Yksinkertaisen mallin oletuksien lisäksi mittauksiin vaikuttaa merkittävästi myös sauvaelektrodien kontakti-impedanssit sekä mittalaitteen sisäinen impedanssi. Näiden estimoimiseksi johdettiin mittausasetelmaa paremmin vastaava malli, jossa huomioitiin myös mittalaitteen sisäinen impedanssi Z M ja sauvaelektrodien kontakti-impedanssit Z e. 18

22 Sauvaelektrodien ja päätyelektrodien avulla vesisäiliöstä saadaan mitattua seitsemän potentiaalimittausta V = [V 1 V 2... V 7 ] T Kuvan 2a mukaisesti. Kuvassa 2b on esitetty ensimmäisen mittauksen kytkentäkaavio, josta saadaan kirjoitettua yhtälöt I = I 1 + I 2 (3.1) V 1 = Z M I 2 (3.2) I 1 (R 1 + Z 1 ) = I 2 (Z e + Z M ), (3.3) missä V 1 on mittalaitteella mitattu jännite ja I, I 1 ja I 2 piirissä kulkevat virrat kytkentäkaavion mukaisesti, joista virta I tunnetaan. Yhtälöistä saadaan ratkaistua potentiaali V 1 (R 1 + Z 1 )Z M V 1 = I (R 1 + Z 1 + Z e + Z M ). (3.4) Veden johtavuus mitattiin johtavuusmittarilla, jolloin veden aiheuttama resistanssi R 1 saadaan laskettua kaavalla R = s Aσ w (3.5) missä A on vesisäiliön poikkipinta-ala, s etäisyys päätyelektrodista mittaavaan elektrodiin ja σ w veden johtavuus. Toisella sauvaelektrodilla mitattaessa kytkentä ja yhtälöt (3.1) - (3.3) ovat muuten samat, mutta veden aiheuttama resistanssi on nyt suurempi. Tällöin siis kaavassa (3.3) R 1 korvautuu resistanssilla R 2 ja vastaavasti voidaan ratkaista potentiaali V 2 (R 2 + Z 1 )Z M V 2 = I (R 2 + Z 1 + Z e + Z M ). (3.6) Samoin voidaan ratkaista muut sauvaelektrodeilla mitatut potentiaalit. Viimeisessä mittauksessa potentiaali V 7 mitataan päätyelektrodien välillä, jolloin veden aiheuttaman reaalisen resistanssin R 7 lisäksi yhtälöön (3.3) vaikuttaa päätyelektrodin kontakti-impedanssi Z 2, jolloin yhtälöksi saadaan I 1 (R 7 + Z 2 + Z 1 ) = I 2 (Z e + Z M ). (3.7) Potentiaali V 7 voidaan ratkaista samoin kuin edellä (R 7 + Z 2 + Z 1 )Z M V 7 = I (R 7 + Z 2 + Z 1 + Z e + Z M ). (3.8) 19

23 Edellä esitettyjen yhtälöiden avulla potentiaaleille V i voidaan muodostaan havaintomallit V i = H i (Z 1, Z 2, Z e, Z M ) + e i (3.9) missä e i on mittauskohina. Havaintomallit voidaan kirjoittaa muodossa V = H(Z 1, Z 2, Z e, Z M ) + e, (3.10) missä H = (H 1 H 2... H 7 ) T ja e = (e 1 e 2... e 7 ) T. Koska potentiaalit V ovat kompleksisia, voidaan havaintomalli esittää muodossa V 1 + jv 2 = H 1 (Z 1, Z 2, Z e, Z M ) + jh 2 (Z 1, Z 2, Z e, Z M ) + e. (3.11) Tämä voidaan esittää reaaliarvoisena muodossa V 1 = H1 (Z 1, Z 2, Z e, Z M ) + e1 (3.12) V 2 H 2 (Z 1, Z 2, Z e, Z M ) e 2 missä e = e 1 + je 2. Estimoitavat impedanssit voidaan myös esittää muodossa Z i = Zi 1 + jzi 2. Olkoon κ = [Z1 1 Z2 1 Ze 1 ZM 1 Z1 2 Z2 2 Ze 2 ZM] 2 T vektori joka sisältää estimoitavat (reaaliset) parametrit. Näiden merkintöjen avulla havaintomalli (3.12) voidaan kirjoittaa muodossa Ṽ = H(κ) + e, (3.13) missä Ṽ = [V 1T V 2T ] T ja H = [H 1 (κ) T H 2 (κ) T ] T. Estimaatit voidaan laskea Gauss- Newton algoritmin avulla ˆκ i+1 = ˆκ i + α(j T i J i + λi) 1 J T i (Ṽ H( ˆκ i )), (3.14) missä Ṽ ja H ovat kuten yhtälössä (3.12), J i kuvauksen H Jacobin matriisi pisteessä κ i, α askelparametri ja λ regularisointiparametri. Parametrit κ estimoitiin jokaisella taajuudella erikseen edellä esitetyllä tavalla. 20

24 3.2 Tulokset Re(z 1 ) Im(z 1 ) z 1 20 z [Ω] f [Hz] (a) Re(z 2 ) Im(z 2 ) z 2 20 z [Ω] f [Hz] (b) Kuva 4: Päätyelektrodien estimoidut kontakti-impedanssit Z 1 (a) ja Z 2 (b) taajuuden f funktiona. Kuvissa 4a ja 4b on esitetty estimoidut päätyelektrodien kontakti-impedanssit Z 1 ja Z 2 taajuuden funktiona. Kontakti-impedanssin reaali- ja imaginääriosan itseisarvo laskee taajuuden kasvaessa, mikä vastaa muiden tutkimuksien tuloksia [49 51]. Päätyelektrodien kontakti-impedanssin estimaatit ovat myös lähellä toisiaan. Korkeil- 21

25 la taajuuksilla (noin 1000 Hz ja yli), kontakti-impedanssien reaali- ja imaginääriosan estimaatit eivät estimoidu enää oikein, vaan osa parametrien etumerkeistä estimoituu väärin. Syynä tähän voi olla mittausdatan pieni amplitudi ja mittauslaitteiston suurempi epätarkkuus korkeilla taajuuksilla. Myös mittausasetelman mallinnusvirheet voivat aiheuttaa merkittävää virhettä estimaatteihin korkeilla taajuuksilla, jos kaikkia kapasitiivisia kytkentöjä ei ole mallinnettu oikein z [Ω] 0 Re(z M ) Im(z M ) z M f [Hz] Kuva 5: Mittalaitteen estimoitu sisäinen impedanssi Z M taajuuden f funktiona. Kuvassa 5 on esitetty estimoitu mittalaitteen sisäinen impedanssi Z M taajuuden f funktiona. Valmistajan ilmoittama mittalaitteen sisäinen vastus on 10 kω, mikä on lähellä estimoitua impedanssia. Mittalaitteen sisäinen impedanssi on huomattavasti suurempi kuin muut mitatut impedanssit ja siten mittalaitteen läpi kulkeva virta on hyvin pieni. Sisäisen impedanssin estimoiminen tarkasti on haasteellista, koska estimaatista laskettu malli sovittuu hyvin mittausdataan kun sisäisen impedanssin estimaatti on riittävän suuri. 22

26 z [Ω] Re(z e ) Im(z e ) z e f [Hz] Kuva 6: Sauvaelektrodien estimoitu kontakti-impedanssi z e taajuuden f funktiona. Kuvassa 6 on esitetty estimoitu sauvaelektrodien kontakti-impedanssi Z e taajuuden f funktiona. Sauvaelektrodien kontakti-impedanssi on huomattavasti päätyelektrodien kontakti-impedanssia suurempi, koska niiden ja veden välinen pinta-ala oli huomattavasti pienempi. Sauvaelektrodien kautta kulkeva virta on hyvin pieni verrattuna päätyelektrodien kautta kulkevaan virtaan. Tämän vuoksi malli ei ole herkkä sauvaelektrodien impedanssin arvoille ja siksi myös sauvaelektrodien impedanssin tarkka estimoiminen on haasteellista. Tarkemman mallin avulla estimoidut parametrit käyttäytyvät loogisemmin kuin yksinkertaisemman mallin avulla lasketut parametrit. Vaikka mittalaitteen sisäinen impedanssi on suuri ja sen läpi kulkeva vuotovirta on pieni, se voi aiheuttaa merkittävää mallinnusvirhettä jos vuotovirtaa ei oteta huomioon. 23

27 4 Simulaatiot Tässä työn osassa tavoitteena oli tutkia simulaatioiden avulla voidaanko rakenteen sisältämän metallin korroosiota havaita monitaajuusimpedanssitomografian avulla. Mittausasetelmana simulaatioissa oli ympyräsylinterin muotoinen säiliö jonka sisällä oli ympyräsylinterin muotoinen tausta-admittiivisuudesta poikkeava inkluusio. Säiliön ulkopinnalla oli 16 elektrodia joiden avulla simuloidut mittaukset suoritettiin. Poikkileikkaus mittausasetelmasta on esitetty Kuvassa 7. Kuva 7: Poikkileikkaus EIT-simulaatioissa käytetystä mittausasetelmasta. Potentiaalimittauksia simuloitiin laskemalla elektrodeille muodostuvat potentiaalit Kappaleen 2.1 mukaisesti. Simuloiduista potentiaalimittauksista estimoitiin kohteen sisäistä admittiivisuusjakaumaa ja kontakti-impedansseja Luvussa 2 esitetyllä tavalla. Mittauksien simulointi ja rekonstruktioiden laskenta toteutettiin MATLABohjelmalla. Kaikki simulaatiot ja laskenta on suoritettu kolmiulotteisessa hilassa, ja kuvissa on esitetty kolmiulotteisen rekonstruktion poikkileikkaus. Simuloidusta datasta rekonstruoidut admittiivisuusjakaumat on esitetty reaali- ja imaginäärikomponentteina Re(γ) = σ ja Im(γ) = ωɛ r ɛ 0. Kuvissa reaaliosa on esitetty vasemmalla ja imaginääriosa oikealla. 24

28 4.1 Simulaatiot jatkuvan admittiivisuusjakauman tilanteessa Tässä kappaleessa esitettävien simulaatioiden tarkoituksena oli testata laskentamenetelmää tilanteessa, jossa simuloitu admittiivisuusjakauma on jatkuva. Mittauksia simuloitiin laskentahilassa jossa inkluusiota mallinnettiin muuttamalla admittiivisuusjakaumaa tietyllä alueella. Laskentahila on esitetty Kuvassa 8. Z Y X Kuva 8: Kappaleen 4.1 simulaatioissa käytetty laskentahila Datan simulointi ja rekonstruktion laskenta Data simuloitiin Kappaleen 2.1 reuna-arvo-ongelman (kaavat (2.19) - (2.22)) FEMapproksimaation avulla. Simuloituun dataan lisättiin kohinaa joka koostui kahdesta komponentista. Ensimmäisen kohinan komponentin keskihajonta oli 0.1 % kohinattoman havainnon itseisarvosta, ja toisen kohinan komponentin keskihajonta oli % suurimman mitatun potentiaalin itseisarvosta. Prioritiheyksien parametrien valitsemiseksi potentiaalimittausten reaaliosaan sovitettiin estimaatti, joka estimoi kohteelle homogeenisen admittiivisuusjakauman reaaliosan sekä kontakti-impedanssien reaaliosan arvon. Estimoidut arvot valittiin admittiivisuuden sekä kontakti-impedanssien reaaliosan odotusarvoiksi. Admittiivisuuden reaaliosan γ 1 keskihajonta valittiin siten, että kukin γ 1 :n alkio saa arvon väliltä [0 2η γ1 ] todennäköisyydellä 97,7 %. Kontakti-impedanssin reaaliosan prioritiheyden kovarianssimatriisin Γ z1 korreloimattoman komponentin ai parametri a valittiin siten että kukin z 1 :n alkion korreloitumaton osa saa arvon väliltä [0 2η z1 ] todennäköisyydellä 97,7 %. Myös täysin korreloituneen komponentin parametri b valittiin siten että kukin 25

29 z 2 :n alkion korreloitunut osa saa arvon väliltä [0 2η z1 ] todennäköisyydellä 97,7 %. Admittiivisuuden imaginääriosan odotusarvo asetettiin nollaksi, ja keskihajonnaksi valittiin admittiivisuuden reaaliosan keskihajonta. Kontakti-impedanssien imaginääriosan odotusarvoksi ja prioritiheyden parametreiksi valittiin kontakti-impedanssin reaaliosan odotusarvo ja prioritiheyden parametrit. Tämän kappaleen simulaatioiden inversio-ongelman ratkaisussa käytettiin samaa hilaa kuin datan simuloinnissa. Tämän seurauksena rekonstruktiot voivat olla tarkempia kuin oikeissa mittauksissa, mutta simulaatioiden tarkoituksena oli vain testata laskentamallin toimivuutta. Laskentamenetelmän testaamiseksi simulaatioita suoritettiin viidellä eri admittiivisuusjakaumalla, joissa inkluusion admittiivisuusjakauman komponentit valittiin hyvin pieniksi tai suuriksi. Kaikissa simulaatioissa taustan admittiivisuus asetettiin täysin reaaliseksi, ja taustan johtavuudeksi valittiin S/cm. 26

30 4.1.2 Tulokset ja pohdinta (a) γ = j S/cm (b) (c) γ = j S/cm (d) (e) γ = j S/cm (f) (g) γ = j S/cm (h) Kuva 9: Jatkuvalla hilalla simuloituja admittiivisuusjakaumia ((a), (c), (e) ja (g)) eri inkluusion admittanssin γ arvoilla ja niistä muodostettuja rekonstruktioita ((b), (d), (f) ja (h)). Taustan admittanssi on S/cm ja mittaelektrodien kontaktiimpedanssit 2 3 Ωcm 2. Kuvassa 9 on esitetty jatkuvalla hilalla simuloituja admittiivisuusjakaumia ja niistä muodostettuja rekonstruktioita.inkluusion admittiivisuusjakaumat on valittu laskentamenetelmän testausta varten komponenteiltaan erittäin suuriksi tai pieniksi. Simulaatioissa joissa inkluusion reaaliosa on pieni, näyttäytyy raudoite eristävänä ja toisessa ääripäässä johtavana. Tilanteissa joissa imaginääriosa on pieni, simuloidun datan imaginääriosa määräytyy lähes kokonaan mittaelektrodien kontakti-impedanssin seu- 27

31 rauksena, jolloin inkluusiota ei näy koska taustan admittiivisuuden imaginääriosa on nolla. Kuvissa näkyvät artifaktat sijoittuvat mittauselektrodien läheisyyteen, joten ne johtuvat luultavasti kontakti-impedanssien virheellisistä estimaateista. Kuvassa 9f havaitaan että inkluusion suuri admittiivisuuden imaginääriosa vaikuttaa reaaliosan estimointiin, ja reaaliosan rekonstruktio ei ole yhtä selkeä. Rekonstruktiot on laskettu samassa hilassa missä potentiaalimittaukset on simuloitu eli rekonstruktiot voivat tämän seurauksena olla tarkempia kuin todellisista mittauksista lasketut rekonstruktiot. Näiden tulosten perusteella laskentamenetelmä toimii järkevästi. Kontaktiimpedanssien virheelliset estimaatit aiheuttavat artifakteja rekonstruktioon tilanteissa joissa simuloitu data on hyvin pientä, ja kohinan aiheuttama vaikutus nousee suuremmaksi. Menetelmä saattaa estimoida myös kontakti-impedanssit liian suuriksi, jolloin malliin sovittuakseen admittiivisuusjakauma estimoituu väärin elektrodien läheisyydessä. Vahvistamalla kontakti-impedanssien tai admittiivisuuden prioritiheyttä elektrodien läheisyyteen syntyviä artifakteja voitaisiin mahdollisesti vähentää. Kuvassa 10 on tarkasteltu tilannetta, jossa inkluusion admittiivisuusjakauman imaginääriosa on erittäin suuri verrattuna reaaliosaan. Havaitaan että rekonstruktiossa reaaliosa näkyy virheellisesti johtavana, mikä voi johtua siitä että imaginääriosan arvot ovat merkittävästi suurempia kuin prioritiheyden olettamat arvot. Tällöin malli ei voi selittää simuloitua dataa imaginääriosan arvoilla, ja sen seurauksena reaaliosan estimaatti vääristyy. Inkluusio kuitenkin näkyy rekonstruktiossa lähes oikein, mikä voidaan tulkita helposti väärin jos kohteen oikeasta rakenteesta ei ole tarkkaa tietoa. (a) γ = S/cm (b) Kuva 10: Jatkuvalla hilalla simuloitu admittiivisuusjakauma (a) ja siitä muodostettu rekonstruktio (b). Taustan admittiivisuus on S/cm ja mittaelektrodien kontakti-impedanssit 2 3 Ωcm 2. 28

32 4.2 Simulaatiot sisäelektrodihilalla Tilanteessa jossa kuvannettava rakenne sisältää raudoitteita, kohde ei muodostu jatkuvasta admittiivisuusjakaumasta vaan raudoite muodostaa kohteen sisälle elektrodin. Jotta raudan vaikutus impedanssitomografian mittauksiin voitaisiin huomioida tarkasti, pitäisi raudoite mallintaa täydellisessä elektrodimallissa elektrodina jonka kautta ei syötetä virtaa eikä sen potentiaalia mitata. Raudoitteen mallintaminen vaatii että sen paikka ja muoto tunnetaan, ja että se huomioidaan laskentahilassa elektrodina. Impedanssitomografian mittauksissa raudoitteen paikkaa tai muotoa ei yleensä kuitenkaan tunneta, ja tällöin koko kohdetta mallinnetaan jatkuvana admittiivisuusjakaumana. Tämän kappaleen simulaatioissa raudoitetta mallinnettiin sisäelektrodina, joka mallintaa raudoitetta jatkuvaa admittiivisuusjakaumaa paremmin. Simulaatioiden tarkoituksena oli tutkia miten jatkuvan admittiivisuusjakauman oletukseen perustuva EIT:n rekonstruktio toimii tilanteessa, jossa kohde sisältää raudoitteen. Erityisesti simulaatioilla testattiin sisäraudan kontakti-impedanssin vaikutusta EIT:n rekonstruktioihin Datan simulointi ja rekonstruktion laskenta Simulaatiot suoritettiin hilassa, jossa laskenta-alueeseen muodostettiin metallikappaleen muotoinen aukko jonka rajapintaan muodostettiin kontakti-impedanssi. Laskennallisesti aukko toimii kuten mittaukseen käytettävät elektrodit, mutta sitä ei käytetä mittaelektrodina mittauksia simuloitaessa eikä sen kautta syötetä virtaa. Raudoitetta mallintava elektrodi on metallia joten koko raudoite on tällöin tasapotentiaalissa. Elektrodilla on permittiivisiä ominaisuuksia ainoastaan rajapinnalla kohtaktiimpedanssin seurauksena, eli raudoitteen admittiivisuuden imaginääriosa on tällöin mitättömän pieni. Sisäelektrodihila on esitetty Kuvassa 11. Datan simulointi ja kohinan lisäys suoritettiin samoin kuin Kappaleessa 4.1. Myös rekonstruktiot laskettiin samalla tavalla kuin Kappaleessa 4.1, ja taustan admittiivisuudeksi asetettiin samaksi kuin Kappaleessa 4.1. Sisäelektrodihilalla muodostettu jakauma ei ole jatkuva, mutta impedanssitomogra- 29

33 Z Y X 0 Kuva 11: Kappaleen 4.2 simulaatioissa käytetty sisäelektrodihila. fiassa admittiivisuusjakaumaa mallinnetaan jatkuvalla jakaumalla mikä voi aiheuttaa merkittävää mallinnusvirhettä. Sisäelektrodina mallinnetun raudoitteen kontaktiimpedanssin muutos vaikuttaa kohteen potentiaalijakaumaan, joten sen pitäisi näkyä myös rekonstruktoidun admittiivisuusjakauman muutoksena. Ensimmäisessä vaiheessa laskentamenetelmän toimivuutta testattiin muuttamalla raudoitteen kontaktiimpedansseja komponentteja erittäin suuriksi ja pieniksi. Raudoitteen kontakti-impedanssin vaikutus jatkuvana mallinnettuun admittiivisuusjakaumaan on monimutkainen. Jos impedanssia merkitään Z = R + jx, missä R on reaalinen resistanssi ja X imaginäärinen reaktanssi, on admittanssi Y tällöin Y = 1 Z = R R 2 + X + j X 2 R 2 + X, (4.1) 2 eli kontakti-impedanssin reaalinen ja imaginäärinen komponentti vaikuttavat admittiivisuuden molempiin komponentteihin. Tällöin esimerkiksi kontakti-impedanssin imaginääriosassa tapahtuva muutos voi vaikuttaa merkittävästi myös rekonstruktion admittiivisuuden reaaliosaan, mikä ei välttämättä ole intuitiivisesti selvää ja voi aiheuttaa haasteita laskennassa ja tulosten tulkinnassa. Kuten Luvussa 3 havaittiin, metallin ja veden välisen kontakti-impedanssin suuruus riippuu käytetystä vaihtovirran taajuudesta. Simulaatioissa eri taajuuksilla mittaamista mallinnettiin muuttamalla sekä mittauselektrodien ja sisäraudan kontaktiimpedanssin arvoja. 30

34 4.2.2 Tulokset ja pohdinta (a) Oikea jakauma (b) z = j Ωcm 2 (c) z = j Ωcm 2 (d) z = j Ωcm 2 (e) z = j Ωcm 2 Kuva 12: Aukkohilalla simuloitu oikea jakauma (a) ja rekonstruktioita eri sisäraudan kontakti-impedanssin arvoilla (b) z = j Ωcm 2 (c) z = j Ωcm 2 (d) z = j Ωcm 2 (e) z = j Ωcm 2. Taustan admittiivisuus on S/cm ja mittaelektrodien kontakti-impedanssit 2 3 Ωcm 2. Kuvassa 12 on esitetty rekonstruktioita sisäelektrodihilalla simuloiduista mittauksista erittäin suurilla ja pienillä raudoitteen kontakti-impedanssin arvoilla. Pienillä kontakti-impedanssin arvoilla (Kuvassa 12b) raudoite näkyy rekonstruktion reaaliosassa johtavana. Raudoitetta simuloivalla elektrodilla on kapasitiivisia ominaisuuksia ainoastaan rajapinnalla kontakti-impedanssin seurauksena, joten pienillä kontaktiimpedanssin imaginääriosan arvoilla rekontruktion imaginääriosassa raudoitetta ei havaita. Jos kontakti-impedanssin reaaliosa on suuri, virta ei pääse kulkemaan raudoitteen kautta ja raudoite näkyy eristävänä rekonstruktioissa. Tilanteessa missä kontakti-impedanssin reaaliosa on pieni ja imaginääriosa suuri raudoite näkyy rekonstruktion reaaliosassa eristävänä (Kuva 12c). Tämä johtuu impedanssin ja admittanssin välisestä riippuvuudesta (yhtälö (4.1)), ja tässä tilanteessa kontakti-impedanssin suuri imaginääriosa laskee myös rekonstruktion admittiivisuuden reaaliosan hyvin pieneksi. Vastaavasti tilanteessa jossa kohteen kontakti-impedanssin molemmat kom- 31

35 ponentit ovat hyvin suuria (Kuva 12e), näkyy raudoite heikommin rekonstruktion imaginääriosassa kuin Kuvassa 12c koska suuri kontakti-impedanssin reaaliosa laskee myös admittiivisuuden imaginääriosaa. (a) Oikea jakauma (b) z = j Ωcm 2 (c) z = 2 3j Ωcm 2 (d) z = 20 30j Ωcm 2 (e) z = 50 75j Ωcm 2 (f) z = j Ωcm 2 Kuva 13: Aukkohilalla simuloitu oikea jakauma (a) ja rekonstruktioita tilanteissa joissa sisäraudan ja mittaelektrodien kontakti-impedanssit ovat keskenään samat. Kontakti-impedanssin arvot ovat (b) z = j Ωcm 2 (c) z = j Ωcm 2 (d) z = j Ωcm 2 (e) z = j Ωcm 2. Taustan admittiivisuus on S/cm. Kuvassa 13 on tarkasteltu tilannetta, jossa sekä raudoitteen että mittauselektrodien kontakti-impedanssit muuttuvat. Kontakti-impedanssit ovat kaikissa tilanteissa keskenään samat, eli simuloidaan tilannetta jossa raudoitteen ja elektrodien materiaali ovat sähköisiltä ominaisuuksiltaan lähellä toisiaan. Kuten Luvussa 3 havaittiin, kontakti-impedanssin suuruus riippuu käytetystä vaihtovirran taajuudesta, ja näissä 32

36 simulaatioissa kontakti-impedanssien muuttamisella simuloidaan mittauksia eri taajuuksilla. Erittäin matalilla kontakti-impedanssien arvoilla Kuvassa 13b raudoite näkyy vain reaalisesti johtavana samoin kuin testirekonstruktiossa Kuvassa 12b, mikä vastaa tilannetta mitattaessa korkeilla taajuuksilla. Kontakti-impedanssien arvojen kasvaessa raudoite alkaa näkyä myös rekonstruktion imaginääriosassa, reaalipuolen muuttuessa johtavasta eristeeksi, samoin kuin Kuvassa 12. Erittäin suurilla kontakti-impedanssin arvoilla raudoite ei näy enää niin selkeästi rekonstruktioissa. Tämä johtuu luultavasti mittaelektrodien suurista kontakti-impedansseista joiden seurauksena mittauselektrodeilla tapahtuva potentiaalin muutos on huomattavasti suurempi kuin mittauskohteen admittiivisuusjakauman aiheuttava potentiaalin muutos. Näissä simulaatioissa simuloituun dataan lisätty kohina on verrannollinen mittausdatan suurimman ja pienimmän arvon erotukseen, jolloin tässä tilanteessa mittauskohinan suuruus verrattuna admittiivisuusjakaumassa tapahtuvaan potentiaalin muutokseen kasvaa merkittäväksi ja raudoitteen havaitseminen vaikeutuu. 4.3 Raudoitteen korroosion havaitseminen monitaajuusimpedanssitomografian avulla Metallin pintaan muodostuva korroosio vaikuttaa metallin sähköisiin ominaisuuksiin, ja erityisesti metallin ja ympäröivän materiaalin kontakti-impedanssiin [12,15,52 56, 56]. Kuten edellisessä kappaleessa todettiin, raudoitteen kontakti-impedanssin muutoksen pitäisi näkyä rekonstruktoidussa admittiivisuusjakaumassa. Korroosion muodostuminen on monimutkainen prosessi, jonka tarkka mallintaminen on haastavaa [15]. Esimerkiksi betonin ja teräksen välistä sähköistä kytkentää voidaan mallintaa erilaisilla kapasitiivisia ja resistiivisiä kytkentöjä sisältävillä virtapiireillä, mutta ne eivät ota huomioon kaikkia prosessissa tapahtuvia ilmiöitä [12,13,15]. Tarkkaa tietoa siitä miten korroosio vaikuttaa kontakti-impedanssin suuruuteen ei löydetty kirjallisuudesta, mutta impedanssispektroskopiamittauksissa on havaittu erityisesti korroosioprosessin alkuvaiheessa impedanssin amplitudin laskevan koko taajuusalueella [15,52 55]. Näissä simulaatioissa korroosion muodostumista mallinnettiin laskemalla raudoitteen kontakti-impedanssi puoleen alkuperäisestä, mikä on havaittu esimerkiksi tutkimuksessa [55]. 33

37 Korroosio vaikuttaa kontakti-impedanssin suuruuteen eri tavoin eri taajuuksilla. Esimerkiksi korkeilla taajuuksilla mitattaessa virta pääsee kulkemaan helpommin kapasitiivisen kytkennän kautta, jolloin korroosion aiheuttama muutos mitatussa impedanssissa on huomattavasti pienempi kuin matalilla taajuuksilla [12]. Mittaustaajuus vaikuttaa siis merkittävästi korroosion havaitsemiseen impedanssimittausten avulla. Näissä simulaatioissa kuitenkin oletettiin korroosion vaikuttavan kontaktiimpedanssin molempiin komponentteihin samalla tavalla. Eri mittaustaajuudella mittaamista mallinnettiin simulaatioissa muuttamalla sekä mittauselektrodien ja kohteen kontakti-impedanssien suuruuksia Datan simulointi ja rekonstruktion laskenta Datan simulaatiot suoritettiin samassa sisäelektrodihilassa kuin Kappaleen 4.2. simulaatioissa, ja taustan admittiivisuudeksi asetettiin sama kuin Kappaleen 4.1 simulaatioissa. Kohinan lisäys ja rekonstruktioiden laskenta toteutettiin samalla tavalla kuin Kappaleessa 4.1. Simulaatioiden ensimmäisessä kuvassa mallinnetaan tilannetta jossa korroosioprosessi ei ole vielä alkanut, eli kohteen ja mittaelektrodien kontakti-impedanssit ovat samat. Korroosioprosessia mallinnettiin pienentämällä kohteen kontakti-impedanssia ensin 75 % alkuperäisestä ja lopulta 50 % alkuperäisestä. 34

38 4.3.2 Tulokset ja pohdinta (a) Oikea jakauma mittauselektrodien z = j Ωcm 2 (b) z = j Ωcm 2 (c) z = j Ωcm 2 (d) z = j Ωcm 2 Kuva 14: Aukkohilalla simuloitu oikea jakauma (a) ja rekonstruktioita tilanteissa joissa mallinnetaan sisäraudan korroosiota pienentämällä kohteen kohtakti-impedanssia. Sisäraudan kontakti-impedanssin arvot ovat (b) z = j Ωcm 2 (c) z = j Ωcm 2 ja (d) z = j Ωcm 2. Taustan admittiivisuus on S/cm ja mittauselektrodien kontakti-impedanssit j Ωcm 2. 35