1.1 Lukujoukot. Luvut ja niillä laskeminen. 1. a) 0 b) 25 ja 0. ja 35,111. c) 25, 0, 7 9. d) kaikki

Transkriptio

1 Luvut ja niillä laskeminen. Lukujoukot. a) 0 ja 0 c), 0, 7 9 ja, d) kaikki. a) Merkitään alkuperäistä lukua 0, kirjaimella. 0,... Kerrotaan luku sellaisella luvulla, jolla saadaan yksi toistuva jakso () siirtymään pilkun vasemmalle puolelle. 00,... Vähennetään yhtälöiden molemmat puolet toisistaan. 00,... 0, : Luvun, jakso on.,... Yksi jakso saadaan pilkun vasemmalle puolelle kertomalla luvulla ,...

2 Luvut ja niillä laskeminen Vähennetään yhtälöiden oikeat ja vasemmat puolet toisistaan. 000,, c),... 00,..., : Vastaus: a) c)

3 Luvut ja niillä laskeminen. Luku Vastaluku Itseisarvo Käänteisluku ± ±. a) vastaluku, itseisarvo 9 9 ja käänteisluku 9 vastaluku ( 8) 8, itseisarvo 8 ja käänteisluku 8 π 0 π 0 π π c) vastaluku Koska π 0 < 0, itseisarvo on π 0 π 0 π 0 π π käänteisluku 0 π 8. a) (, 6) 0 + ovat 9 +, 0 eivät ole c) π + π π + π 0 ovat 6

4 Luvut ja niillä laskeminen 6. a) 7, eivät ole 9, ovat 6 c) ovat 7. a) Luvun 7 käänteisluku on 7, jonka vastaluku on 7. Käänteisluku luvulle on, jolle vastaluku on. c) 8 8. a) π π Luku +,7... on positiivinen, joten itseisarvo on luku itse eli + +. c) 0,... on negatiivinen, joten sen itseisarvo on sen vastaluku ( ) ( ) + 7

5 Luvut ja niillä laskeminen 9. a) Itseisarvomerkkien sisällä oleva lauseke 0,76... on negatiivinen, joten sen itseisarvo on sen vastaluku ,9... on positiivinen, joten itseisarvo on luku itse. 7 7 c) 0, joten 0. a) :6 0 6 : a),... c). a) 9 d) 9 e),77..., 6 6, 6 00 c) Luvun,... jakso on. Kerrotaan ensin luku luvulla 000, jotta saadaan jakso pilkun vasemmalle puolelle. 000,... 8

6 Luvut ja niillä laskeminen Kerrotaan luku luvulla 0, jotta saadaan toinen sellainen luku, jossa pilkun jälkeen toistuu sama jakso. 0,... Vähennetään yhtälöiden molemmat puolet toisistaan. 000,... 0, : ( a) vastaluku, käänteisluku vastaluku b, käänteisluku, b 0 b c) vastaluku ( b a) b+ a a b, käänteisluku, a b b a. a), on negatiivinen, joten itseisarvo on luvun vastaluku. ( ) π 0,... on positiivinen, joten itseisarvo on luku itse. π π c), kun 0eli kun 0, kun < 0 9

7 Luvut ja niillä laskeminen. a) < 0 < 0 π π π ( π π ) ( π ) ( π + π) ( π + ) π + 8π + π 7π < : 6. Jos lausekkeen arvo on positiivinen tai nolla, sen itseisarvo on lauseke itse. Jos lausekkeen arvo on negatiivinen, itseisarvo on sen vastaluku. a) + 0 eli +, kun + ( + ), kun < 0 : eli, kun ( ) +, kun < 0

8 7. OLETUS Luku a on rationaaliluku. Luvut ja niillä laskeminen VÄITE Luku a + on rationaaliluku. a +. TODISTUS Rationaaliluku a voidaan esittää kahden kokonaisluvun osamääränä. Olkoot nämä luvut ja y. a y y + y Tällöin a y y y y Kahden kokonaisluvun summa on kokonaisluku eli + y. + y Tällöin a + y. Reaaliluvuilla laskeminen 8. a) ( a ab 7 a+ b 7a+ 7b c) d) ( + ) e) a b a b a+ b 9 + y 9 9y 9 9y f) a b ab ab 9. a) 0 6 a+ 6a 6 6a c) b 8 b 8 b+ 6

9 Luvut ja niillä laskeminen 0. a) c) ) ) ) ) ) ) a) ( c). a) ) ) ) ) ) ) 0) ) ( ) 6) ) c) ) 0) )

10 Luvut ja niillä laskeminen. a) c). a) c) a) c)

11 Luvut ja niillä laskeminen 6. a) : : c) : : a) 0 0 : : 0 0 : : 0 c) 6 6 : : : : a) : : c) : : : 6

12 Luvut ja niillä laskeminen 9. a) : + : ) ) ) 6 6 :6 : : : a) : : : + 7 : : : c) : : :

13 . VÄITE. a) Luvut ja niillä laskeminen Luvut 7 9 ja 7 ovat toistensa käänteislukuja. TODISTUS Luvut ovat käänteislukuja, jos niiden tulo on Siis luvut ovat toistensa käänteislukuja. a a a+ a 6 a b b b b b c) a a a : a a a a b. a) ) ) ) ) ) c) ) 7) 7) (

14 Luvut ja niillä laskeminen. a) c). a) : : ) ) )

15 Luvut ja niillä laskeminen c) 8 : ( 6 ) 6. a) 8 8 a a 9 9 c) 7. a) Luvun käänteisluku on. + 8 Luvun käänteisluku on 8. 9) ) Vastalukujen tulo

16 Luvut ja niillä laskeminen Vastalukujen osamäärä Vastalukujen tulon ja osamäärän erotus 7) ) a) a b + + a b c) ) + + a b a 9. a)

17 Luvut ja niillä laskeminen c) Palkkioraha yhteensä 80, jolloin Jaakon osuus oli 80 6, Hanna sai neljäsosan jäljelle jääneestä osasta: ( 80 6, ),... 0

18 Luvut ja niillä laskeminen Loppu jaettiin kahtia Kaisan ja Nikon kesken: 80 6, , Vastaus: Jaakko 7, Hanna, Niko 0 ja Kaisa 0. a) ) c) ) ) 0 0 ) ) a) a 7 6a 8 : y c) : y 0 y y 8 a b. VÄITE: b a TODISTUS a b a b a b b a b a b a a b a a b a a a

19 Luvut ja niillä laskeminen. a) Merkitään 0,99, jolloin 00 99, ,99 0,99 Tapa: Merkitään 0,, jolloin 0,+ 0, + 0, + 0, + 0, + 0, , ,88 + 0, , murtolukumuodossa: 00, 0,

20 Luvut ja niillä laskeminen Tapa : Ryhmitellään summa 0,+ 0,88 + 0, + 0, , + 0, , + 0, + 0,99 0,99 + 0,99 + 0,99 + 0,99 + 0,99 0,99 a-kohdan perusteella 0,99, joten 0,99. a) c) + 6 ( + 6) ( )

21 Yhtälöt. Ensimmäisen asteen yhtälö 6. a) 7. a) : ( ) ( ) : ( ) : 0 0

22 Yhtälöt ( ) ( ) : 0 8. a) 9. a) ( ) 0,8 +,,6 0, 0,8 +,,6,6 + 0,,,8, 6 + 0,, 0,, 6 +,8, 8n n n+ 6 8n n+ 9 n 8n n+ n 9 n : n 7 ( ) Epätosi, ei ratkaisua

23 Yhtälöt ( ) Tosi. Ratkaisuina kaikki reaaliluvut. 0. a) :7 ( ( ) 8 ( ) : 6

24 Yhtälöt. a) ( ) ( 8) :. Sievennetään ensin yhtälöä. k k k + + k + k + k 0 k Jotta ratkaisuna ovat kaikki reaaliluvut, yhtälön pitää olla identtisesti tosi. k 0 k : k 7

25 Yhtälöt. Sievennetään ensin yhtälön molempia puolia poistamalla sulut. ( c) c ( c) c c 6+ c c+ c+ c 0 c + Yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua, kun se on identtisesti epätosi eli kun c + saa jonkin muun arvon kuin nolla. c + 0 c : c Eli yhtälöllä ei ole ratkaisuja, kun. Merkitään lausekkeet yhtä suuriksi : c. 8

26 Yhtälöt. a a a a 0a 0a a+ a+ a 60 9a 60 :9 60 a a) a 6 a ( a ) Yhtälö voidaan jakaa puolittain lausekkeella a + vain, jos a + 0 eli a. Saadaan kaksi tapausta. Yhtälö voidaan jakaa puolittain, kun a. a+ 9 : a+ 0 9 a + Kun :n kerroin a + on nolla eli kun a, yhtälöä ei voida jakaa puolittain tällä lausekkeella. Tutkitaan sijoittamalla toteutuuko yhtälö: ( a+ ) 9 a Väite on epätosi eli yhtälöllä ei ole ratkaisua, kun a 9

27 ( a ) a( ) a+ a a a a a a a Yhtälöt Yhtälö voidaan jakaa puolittain lausekkeella a vain, jos a 0 eli a. Saadaan kaksi tapausta. Yhtälö voidaan jakaa puolittain, kun a. ( ) :( ) a a a a a Kun :n kerroin a on nolla eli kun a, yhtälöä ei voida jakaa puolittain tällä lausekkeella. Tutkitaan sijoittamalla toteutuuko yhtälö: ( a) a a 0 0 Väite on epätosi eli yhtälöllä ei ole ratkaisua, kun a Vastaus: a) 9 a +, kun a. Ei ratkaisua, kun a a, kun a a. Ei ratkaisua, kun a 0

28 Yhtälöt 7. Merkitään ensimmäistä lukua kirjaimella n. Tällöin toinen luku on n + ja kolmas n +. n+ n+ + n+ 86 n + 86 n 8 : n 6 Kun n 60, n ja n Vastaus: 6, 6, 6 8. Merkitään suorakulmion korkeutta kirjaimella h. Tällöin kannan pituus on 8 h +. Piirisuorakulmio 76 (cm) kanta + korkeus 76 ( h+ 8) + h 76 h+ 6+ h 76 h 0 : h 8 (cm) Kannan pituus h + 8cm 8cm + 8cm 0cm Vastaus: 8 cm 0 cm

29 Yhtälöt 9. Merkitään euron kolikoiden määrää kirjaimella. euron kolikoita on määrä 0 sentin kolikoita + 0 sentin kolikoita sentin kolikoita Yhteensä rahaa on 0 euroa. Saadaan yhtälö: + + 0,0 ( + ) + 0,0 ( + 9) + 0,0 ( ) , 0+ 0,80 + 0,0+,0 + 0,0 0,0 0 Euroja on siis 6 kpl, jolloin euron kolikoita: sentin kolikoita: sentin kolikoita: sentin kolikoita: 6 Yhteensä kolikoita on Vastaus: 8,8,8 :, Merkitään hämähäkkien määrää kirjaimella. Hyönteisiä on yhteensä 9, joten hepokattien määrä on 9. Jalkoja on yhteensä 8, joten saadaan yhtälö 8+ 6 ( 9 ) : 7 Hämähäkkejä on 7, joten hepokatteja on Vastaus: 7 hämähäkkiä ja hepokattia

30 Yhtälöt 6. Merkitään ensimmäisen vuoden opiskelijoiden määrää kirjaimella. Englanti 8, ranska, ruotsi 6, saksa ) ) 0) Vastaus: 0 opiskelijaa 6. a) s v t t s vt Aph V V A h : A p p h V A p c) E mc : c E m c d) pv n RT RT nrt pv : p nrt V p

31 Yhtälöt 6. a) a+ b a+ b A h : a+ b h A: A h A a + b a + b a+ b A h A a+ b h A ah+ bh bh A ah : h A ah b h A ah A b a h h h 6. ( ) ( + ) 8 8 ( + ) :0 6 0

32 Yhtälöt 6. a) y y y y 6y y y+ y 6y y+ y 6y + y 6y Kun + y 0 eli kun y, yhtälö voidaan jakaa puolittain lausekkeella + y : ( + ) 6 :( + ) y y y 6y + y 6 y y + y + y Kun + y 0 eli kun y yhtälöä ei voida jakaa puolittain tällä lausekkeella. Tutkitaan ratkaisu sijoittamalla: + y 6y y ( + ) 6 ( ) 0 6 Väite on epätosi eli yhtälöllä ei ole ratkaisua, kun y. y y y y 6y y 6y y+ y y 6 + y 6

33 Yhtälöt Kun 6 0 eli kun, yhtälö voidaan jakaa puolittain lausekkeella 6 : y 6 : 6 y 6 y Kun 6 0 eli kun yhtälöä ei voida jakaa puolittain tällä lausekkeella. Tutkitaan ratkaisu sijoittamalla: y( 6 ) y ( 6 ) 6 0 Väite on epätosi eli yhtälöllä ei ole ratkaisua, kun. Vastaus: a) y, kun y. Ei ratkaisua, kun y + y y, kun. Ei ratkaisua, kun. 6

34 Yhtälöt 66. Koska on yhtälön ratkaisu, voidaan se sijoittaa yhtälöön (yhtälön molempien puolien pysyessä yhtä suurina). k + k ( ) k + k 6 6 ( k ) ( k ) 6 + k + k k + + k k : k 67. OLETUS: ab,, VÄITE: Yhtälöllä b arvoilla. a b on ratkaisu kaikilla vakioiden a ja TODISTUS: a b a+ b + ( + ) + :( + ) a b a b a + + Koska a + 0 kaikilla a:n arvoilla, yhtälöllä on ratkaisu kaikilla vakioiden a ja b arvoilla. 7

35 Yhtälöt 68. Merkitään painavamman pussin painoa kirjaimella a ja kevyemmän kirjaimella b. Kun pussista a siirretään 00 g pussiin b, pussit painavat saman verran. a 00 b+ 00 a b+ 00 Yhteensä pussit painavat 00 g. a+ b 00 sij. a b+ 00 b b 00 b 900 : b 0 (g) a b (g) 69. Merkitään lopullista matkan hintaa/henkilö kirjaimella. ( + 0) : 0 Vastaus: Kun luvun loppuun merkitään kymmenjärjestelmässä luku 9, lukua kasvatetaan kymmenkertaiseksi ja lisätään tulokseen yhdeksän : 8

36 Yhtälöt 7. Keskivauhti aamulla v ( km h), aika aamulla t (h) Keskivauhti iltapäivällä km h Määritetään työmatkan pituus (matka 0 v t ( v+ ) t vt vt v+ t v t v 00t 0 :0 v 0t. Verrannollisuus 0 v +, aika iltapäivällä t (h) 60 keskivauhti aika ) 7. a) :9 ( 9 c) 8 8 : 8 8 8, 7 8,7 7 : 9

37 Yhtälöt 7. a) : + ( ) ( + ) : 0 7. a) ( ) ( ) ( ) 0 0 : 0 8 ( ) ( ) : 0

38 Yhtälöt 7. a) Suoraan verrannolliset eli osamäärä y vakio. y 6 y y y 6 y 0 Kääntäen verrannolliset eli tulo y vakio. y y y y 6 y 76. a) G mg 76 N 7 kg g kg m 76 7kg g : 7kg s kg m 76 s 76 kg m g 9,8 m s 7 kg 7 kg s

39 Yhtälöt 77. Määritetään verrannollisuuskerroin k. d k t : t d 9 9 k t vuorokauden ikäisenä varren paksuus on d k t 00 0 (mm) 78. Nopeuden. potenssi (km h ) Jarrutusmatka (m) :00 60,6 (m) 00 Vastaus: m

40 Yhtälöt 79. Merkitään a yhden pumpun pumppaamaa vesimäärää/aikayksikkö ja a sitä vesimäärää/aikayksikkö, joka tulee suuremmasta reiästä. Suoraan verrannollisuus: (, 9 cm ) (, cm ) a a (, 9 cm ) (, cm ) a a 6,a Vastaus: 7 pumppua 80. Nestepinnan korkeus (cm) Mehun määrä (cl) 6, 6, 6, : 6, 9, 7 (cl) 8. a) Kootaan tiedot taulukkoon. Merkitään kysyttyä syvyyttä kirjaimella. Paine (MPa) Syvyys (km), Koska paine ja syvyys ovat suoraan verrannolliset, niiden suhde on vakio. Muodostetaan verranto ja ratkaistaan se kertomalla ristiin.

41 Yhtälöt,, :, 0 kilometrin syvyydessä paine on siis 0 MPa. Olkoon kysytty syvyys y (km). Tällöin,0, y y, : y 0, Kysytty paine kohdistuu kappaleeseen 0, km eli 00 m syvyydessä. Vastaus: a) 0 MPa 0,km 00 m 8. a) Pistemäärä Arvosana 8,0 0 8,0 0 8, 0 0 :8, 0 0, 8, 0

42 Pistemäärä Arvosana 8,0 8,0 8,0 : 7 6, , Vastaus: a), p 6, Yhtälöt 8. Ala (cm ) Paine (bar),8 8,0 p Ala ja paine kääntäen verrannollisia: p 8, 0,8 8, 0 p,8 :8, 0,6 p,7 (bar) 8, 0 Vastaus:,7 bar

43 Yhtälöt 8. 0,l 0,dm 8. a) Kaasun tiheys (kg dm ) Astian tilavuus,8 V, V + 0, (dm ) Kaasun tiheys ja astian tilavuus kääntäen verrannollisia:,8 V + 0,, V,8V, ( V + 0,),8V, V +,,8V, V, 0,6V, :0,6 V, 8dm,8 l Vastaus:,8...,8 (dm ), 8 dm (l) 0 s (km) t (min) 6

44 Yhtälöt Suureet ovat suoraan verrannollisia. Muodostetaan verranto t 7, 0 7,t 0 :7, 0 t 0 (min) 7, c) Koska auto kulkee vakionopeudella, voidaan nopeus laskea yhdestä mittapisteestä. 0 0 min h 60 matka nopeus aika 0 km v 90km h 0 h P (Js - ) t (s) Kuvaaja on hyperbeli, joten kyseessä on kääntäen verrannollisuus. - Kun aika on 0 s, teho on noin 70 Js. Vastaus: - P0 70 Js 7

45 Yhtälöt 87. Pituuden neliö ( m ) Vyötärönympärys (cm), 7, Kääntäen verrannollisuus:,, 7,, 7 :,, 7, 96, (cm) Vastaus: 97 cm 88. Merkitään apurien määrää kirjaimella. Jakajien määrä Aika (minuuttia) Jakajien määrä ja kulunut aika kääntäen verrannollisia: ( + ) :7 Vastaus: 8

46 Yhtälöt 89. Etäisyyden neliö (m ) Valaistusvoimakkuus (luksia), 8,,8,,,8,76 68, 8 :,76 9, Vastaus: 9 luksia 90. a) E ~ E It, verrannollisuuskerroin U UIt E UIt : It E 790 U 0 (V) It, 0 9. a) v v a t at v v at + v v v v at t 9

47 Yhtälöt Tapa : F EΔl l A l F l EΔl : Δl A F l : Δ l E A F l Fl E A Δl AΔl c) Tapa : Kerrotaan ristiin F EΔl A l EΔ l A Fl : ΔlA Fl E Δ la Fd η A Av Fd Aη : η v Fd A : η v Fd Fd A v η ηv 0

48 Yhtälöt 9. I ~ eli intensiteetti I kääntäen verrannollinen etäisyyden neliön r kanssa. Etäisyyden neliö (m ) Intensiteetti 0 I Kääntäen verrannollisuus: 0 ki 0 I 0 k 0 Vastaus: -kertaiseksi 0 ki 9. Merkitään uuden veneen vauhtia kirjaimella, jolloin vanhan veneen vauhti on 0 solmua. Vauhti (solmua) Aika (minuuttia) Vauhti ja aika kääntäen verrannolliset: ( 0) :7 Vastaus: 9 solmua 00 8, r

49 Yhtälöt P 9. Valaistusvoimakkuus E k d P Valaistusvoimakkuus, m päässä E k, Valaistusvoimakkuus etäisyydellä d, kun teho on P P k d Valaistukset yhtä voimakkaat: P P k k : k, d P, P d, d d, d : P,,, (m) 9. g( ) kääntäen verrannollinen muuttujan neliöjuureen g g g g( ) : g ) g 7 7

50 Yhtälöt 96. Merkitään lämmityskustannuksia a, kun ulkolämpötila on,0 C ja sisälämpötila,0 C. Tällöin sisä- ja ulkolämpötilojen erotus on,0 C,0 C,0 C+,0 C C. Kun sisälämpötila pudotetaan,0 C:seen, lämpötilojen erotus on,0 C (,0 C),0 C+,0 C C. Merkitään lämmityskustannuksia tällöin kirjaimella b. Lämpötilojen erotus C Lämmityskustannukset a b Lämmityskustannukset suoraan verrannollisia: b a b 0, ,8... % a Lämpötilan pudottamisen jälkeen lämmityskustannukset ovat 9,8... % alkuperäisestä. Lämmityskustannukset pienenevät tällöin 00% 9,8... %,6... %,% Vastaus:, % 97. r ~ A r k A : A r, 0 k, A

51 Prosenttilaskenta. Prosenttilaskennan peruskäsitteitä 98. a) 0, , ,6 c) 0, % 99. a) 0, % 8 Luku 8 on 8 yksikköä suurempi kuin. 0, % c) Luku on 8 yksikköä pienempi kuin 8. 0,... % a) 0. a) 8 + 0, , ,08...,6% 0 + 6, + 0,0 0, 0 00 c), 0,6... eli 6 % suuremmat 6

52 Prosenttilaskenta 0. a) Osinko oli, % osakkeen kurssista eli 0,0,80 0,66 0,6 Osakkeen arvo alussa,80 Kurssi putosi 0,70 eli 0,70 0,07...,7 %,80 c) Uusi kurssi,80 0, 70,0 oli vanhasta kurssista,0 0, ,%,80 d) Vanha kurssi oli 0,70 suurempi eli 0,70 0,096...,0%,0 0. a) 0,8 min,6min min, %,6 min Vastaus: a),6 min % suurempi 0. Merkitään kinkkujen hintaa alussa kirjaimella h. Hinnan korotuksen jälkeen hinta on 00% + % % alkuperäisestä eli,h. Alennuksen jälkeen hinta on 00% 0% 60% sitä edeltävästä hinnasta eli,h 0,60 0,69h. Viimeisin hinta on siis 69 % alkuperäisestä eli 00% 69% % halvempi. 0. Merkitään koulutarvikkeiden alkuperäistä hintaa kirjaimella a. Elokuussa hinnat ovat tällöin 0,90a. Lokakuussa hinnat ovat 0,7 0,90a 0,67a eli ( 0, 67) 00%,% halvemmalla.

53 Prosenttilaskenta 06. Merkitään meriveden massaa kirjaimella a. Tällöin suolaa on 0,0a. Veden haihdutuksen jälkeen meriveden massa on 8 % pienempi eli 7% alkuperäisestä massasta 0,7a Suolan määrä säilyy, joten sen osuus haihduttamisen jälkeen on 0,0a 0,0...,6% 0,7a 07. Merkitään rypäleen massaa kirjaimella a, jolloin sokeria on 0,08a. Kun massasta poistuu nestettä 80 %, jäljelle jää alkuperäisestä massasta 0 % eli 0, 0a. Sokerin määrä säilyy, jolloin sen osuus on 0,08a 0,,% 0, 0a 08. Viikkomyynti 000 Raaka-ainekulut 000 0, 8 60 Jäljelle jäävä osa raaka-ainekulujen jälkeen , josta kiinteisiin kuluihin menee % eli 0, ,0 Loppuosasta ,0 7689,60 käytetään puolet palkkoihin eli 7 689,60 8,8 Kulut yhteensä , 0 + 8,80 8, 0 Leipomolle jää kulujen jälkeen 000 8, 0 8,80 6

54 Prosenttilaskenta 09. Merkitään opiskelijoiden määrää kirjaimella a. Pitkää matematiikkaa opiskelee 6 % eli 0,6a ja lyhyttä 00% 6% 7 % eli 0,7a. Pitkän matematiikan opiskelijoista 7 % opiskelee pitkää fysiikkaa eli 0,7 0,6a 0, 7a. Lyhyen matematiikan opiskelijoista fysiikan jatkokursseja on valinnut % eli 0, 0,7a 0,0a. Yhteensä fysiikan jatkokursseja on valinnut 0, 7a+ 0,0a 0,69a. Fysiikkaa valinneiden osuus kaikista ensimmäisen vuoden opiskelijoista on 0,69a 0,69 % a 0. Merkitään tuloja kirjaimella b. Vuokramenot alussa olivat 0, b, jolloin muihin menoihin jäi rahaa b 0, b 0,7b. Vuokran korotuksen jälkeen vuokra oli, 0, b 0, 87b, jolloin rahaa jäi b 0, 87b 0, 7b. Rahaa jäi siis 0, 7b 0, 7b 0, 07b vähemmän käyttöön korotuksen jälkeen. Verrattuna alkuperäiseen käyttörahaa jäi 0,07b 0, 0 % 0,7b vähemmän. Vastaus: % vähemmän 7

55 Prosenttilaskenta. a), a 0,8 b a b,0, eli kasvaa %, a 0,8b a b, a b 0,8 b a, 6 eli kasvaa 6 % Huom! Jos suhde lasketaan toisin päin niin: 0,8b, a b a 0,8 b a, a b 0,6 eli pienenee 9 %. Merkitään lipun hintaa kirjaimella h ja matkustajamäärää kirjaimella a. Tällöin lipunmyynnin tulot ovat a h. Hinnan noston jälkeen hinta on,8h ja matkustajamäärä 0,80a. Tällöin tulot ovat 0,80a,8h 0,9 a h. Muutos on ah 0,9ah 0,06ah eli,6 % laskua. Vastaus: Laskevat,6 %. Merkitään tuotteen verotonta hintaa kirjaimella a. % arvonlisäverolla kuluttajahinta on, a. Alennetulla verolla kuluttajahinta olisi,7a. Kuluttajahinnan muutos,a,7a 0,0a, joka on alkuperäisestä hinnasta 0,0 a 0, ,0 eli, %., a Vastaus:, % 8

56 Prosenttilaskenta. Merkitään vuoden 00 kokonaisvientiä kirjaimella a. Tällöin viennit toimialoittain vuosina 00 ja 00: 00 Puu- ja paperiteollisuus 0, a Kemianteollisuus 0,087a Kone- ja metalliteollisuus 0, a Sähkötekninen teollisuus 0, a Muut 0,6a 00 Puu- ja paperiteollisuus,6 0,a 0,88a Kemianteollisuus, 0 0, 087a 0, 09088a Kone- ja metalliteollisuus 0,96 0, a 0, 996a Sähkötekninen teollisuus,09 0,a 0,767a Muut,6 0,6a 0,8909a Vuoden 00 vienti yhteensä: 0, 88a+ 0, 09088a+ 0, 9996a+ 0, 767a+ 0,8909a, 06076a, 06a Eli kasvua,6 %. a) Vuodessa korkoa maksetaan, % eli 0, ,0 Pääomituksen jälkeen laina on ,0 607,0., % vuosikorolla laina kasvaa joka vuosi,0-kertaiseksi. Ensimmäisen vuoden jälkeen laina on, Toisen vuoden jälkeen,0,0 6000, Kolmannen jälkeen, ,9 c) 6, ,87 9

57 Prosenttilaskenta 6. Merkitään valmistettua metalliesinettä kokonaisuudessaan kirjaimella s. Tällöin siinä on seosta A 0, s ja seosta B s 0, s 0,7s. Seoksesta A on 0 % rautaa, joten esineessä olevasta A-seoksesta rautaa on 0,0 0, s 0, 07s. Seoksesta B on 70 % rautaa, joten sitä on esineessä 0, 70 0, 7s 0,s. Yhteensä esineessä on rautaa 0,07s + 0,s 0,60s. Sen osuus koko esineestä on 0,60 s 0,60 eli 60 %. s 7. Merkitään suureen b muutoskerrointa kirjaimella k. a) suoraan verrannollisia, a a k b b k, eli kasvaa % kääntäen verrannollisia, a b kerrotaan ristiin a k b, k :, k 0,8, eli pienenee 0 % 60

58 Prosenttilaskenta 8. Merkitään suureen c muutoskerrointa kirjaimella k. Suure c suoraan verrannollinen suureiden a ja b osamäärään:,a, 0b a b, ab, 0 ab k c c kc c k,09... eli kasvaa 9, % Huom! Jos osamäärässä b osoittajana ja a nimittäjänä, niin, 0b,a k c b c a, 0 ab kc, ab c k 0,9... eli pienenee 8,7 % 6

59 Prosenttilaskenta 9. Merkitään matkan pituutta alussa kirjaimella d ja nopeutta alussa kirjaimella v. Uudella reitillä pituus on 0,90d ja nopeus 0,9v. matka matka nopeus eli aika aika nopeus Aika vanhalla reitillä t vanha t uusi 0,90d d 0, ,9v v d ja aika uudella reitillä v d d d Ajan muutos on t vanha t uusi 0, ,06... v v v Prosentteina muutos, 6...%,%. Vastaus: Aika lyhenee, %. 0. Merkitään radan pituutta kirjaimella d ja vanhaa hitaampaa matkaaikaa t. v on alkuperäinen nopeus ja v on noussut nopeus. Koska aika on lyhentynyt 7 %, on nopeampi aika 0,7 0,6-kertainen vanhaan verrattuna. nopeus v matka aika d ja v t d 0,6t Nopeuden muutos on v 0,6) d d d 0, 6d 0,7d d v 0, ,6t t 0,6t 0,6t 0,6t t Eli prosentteina 9 %. Vastaus: noussut 9 % 6

60 Prosenttilaskenta. Merkitään alun nopeutta kirjaimella v ja koko matkan pituutta kirjaimella d. matka nopeus eli aika aika matka nopeus Alkuperäisellä nopeudella koko matkaan kuluva aika olisi d t. v Kun matkasta ensimmäiset 0,60d kuljetaan nopeudella v ja seuraavat 0, 0d nopeudella, 0v, matka-aika on 0,60d 0,0d d 0,0 d tyhteensä talku + tloppu + 0,60 + v, 0v v, 0 v 0, 0 d d 0,60 + 0,9..., 0 v v Ajan muutos on d d d 0,9... 0, eli aika lyhenee 6,7 % v v v. Merkitään kokonaiskulutusta kirjaimella a ja hintaa kirjaimella h. Laskun suuruus on tällöin a h. Aluksi saunan osuus on 0,0a ja muu kulutus 0,70a. Saunomisen vähennyttyä sen kulutus on ja muu kulutus 0,8 0, 70a 0,9a. 0,0a 0,a Uusi kokonaiskulutus 0,a+ 0,9a 0, 7a. Sähkön hinnan nousun jälkeen lasku on 0,7a,0h 0,778ah 0,77ah. Vastaus: Pienenee % 6

61 Prosenttilaskenta. Merkitään puun alkuperäistä halkaisijaa kirjaimella d ja alkuperäistä korkeutta kirjaimella h. Lasketaan tilavuus kartion tilavuuden kaavalla V Ap h πr h π d. Valkup. π d h π d h π dh Kasvun jälkeen puun 7 korkeus on h+ h h ja halkaisija 6 6 Uusi tilavuus on d + d d. 7 7 Vuusi π d h π d h π d h πd h Tilavuuden muutos on ) Vmuutos Vuusi Valkup. πd h πd h 68 8 π π π π dh dh dh dh Muutos prosentteina 8 π dh Vmuutos , ,% V alkup. π dh

62 Prosenttilaskenta. Merkitään bakteerien määrää alussa kirjaimella a.. :n tunnin jälkeen, 07 a Määrä kasvanut, 07 a a, 07 a Tämä on prosentteina (, 07 ) 00 % Vastaus: (, 07 ) 00%. Paine saadaan kaasujen yleisestä tilanyhtälöstä: pv nrt nrt p V Kun lämpötila kasvaa 8 % ja tilavuus pienenee %: nr, 08T p 0,88V Muutos: nr, 08T 0,88V nrt V nr, 08 T 0,88V V, 08,7..., nrt 0,88 Vastaus: kasvaa % 6

63 Prosenttilaskenta. Prosenttiyhtälöitä 6.,0 6 :,0 6 60, ,80 0, , 6 60 :0, , a) Paistin veroton hinta on,90,0...,7 Veron suuruus euroina,90,0...,87... Veron osuus myyntihinnasta, ,...,%,90 Lääkkeen veroton hinta,90,7..., 08 Veron suuruus euroina,90,7... 0,6... Veron osuus myyntihinnasta 0,6... 0, ,%,90 66

64 Prosenttilaskenta 9. Merkitään -prosenttisen liuoksen määrää, jolloin vaikuttavan aineen määrä on 0,0. Laimennetun liuoksen määrä on 00 ml, jolloin vaikuttavan aineen määrä on 0,00 00 ml,7ml. Vaikuttavan aineen määrä pysyy samana: 0,0,7 :0,0 87, (ml) Vastaus: 87, ml 0. Merkitään kunnan asukasmäärää kirjaimella a. Ruotsinkielisiä 0,0a Kaksikielisiä 80, joten saadaan yhtälö 0,0a 0, ,a 80 :0, 80 a 0, a 8,... 8 Vastaus: 8. Tulos ensimmäisen kasvun jälkeen k 000k k 00 00, k ,k. ja toisen kasvun jälkeen Saadaan yhtälö: ,k 66 7,k 86 k 0 Vastaus: k 0 67

65 Prosenttilaskenta. Merkitään sohvapöydän hintaa kirjaimella. Sohvan hinta on, 7. Yhteensä huonekalut maksavat 00. +, 7 00, 7 00 :, 7 00,7 76, ,6 ( ) Sohvan hinta, 7, 7 76, ,6... 6,6 ( ) Vastaus: Pöytä 76,6 ja sohva 6,6. Merkitään Leevin palkkaa kirjaimella a. Tällöin Lassen palkka on,a. Palkkaerosta saadaan yhtälö,a a 0 0,a 0 :0, a 6, ( ) Lassen palkka on, 6,... 9, Vastaus: Leevin palkka 6 ja Lassen 9 68

66 Prosenttilaskenta. Merkitään populaatiota ensimmäisen vuoden alussa kirjaimella p ja toisen vuoden muutoskerrointa kirjaimella. Ensimmäisen vuoden jälkeen populaatio on,6 p. Lasketaan muutos toisen vuoden aikana.,6 p 0, 6 p :,6 0,6 p,6 p 0,60... Koska 0, %, kettupopulaatio pienenee 00% 6% %.. Merkitään alkuperäisen liuoksen määrää kirjaimella m ja alkoholin määrää kirjaimella a. Veden määrä on tällöin m a. Tislauksen jälkeen alkoholia on 0,7a. Tislatun liuoksen määrä on m a+ 0,7a m 0, a. Koska alkoholin määrä tislatussa liuoksessa on,0 %, saadaan yhtälö 0,7a m 0, a 0,0 0,7a 0,0 m 0,a 0,7a 0,0m 0,0a 0,76a 0,0m 0,0 a m 0,06... m 0,0m 0,76 Eli alkoholin määrä on, % alkuperäisen liuoksen määrästä. Vastaus:, % 69

67 Prosenttilaskenta 6. Merkitään alkuperäisen mehun määrää kirjaimella m, jolloin sokerin määrä on 0,09m ja veden määrä 0,9m. Merkitään veden määrän muutoskerrointa kirjaimella k. Tällöin veden uusi määrä on k 0,9m. Sokerin määrä pysyy samana, joten uuden mehun määrä on k 0,9m+ 0, 09m. Uusi sokeripitoisuus on 7, %, joten saadaan yhtälö: 0,09m 0,07 k 0,9m+ 0, 09m 0,09 m ( k 0,9+ 0, 09) m 0,07 ( k ) 0, 09 0, 07 0,9 + 0, 09 0, 09 0, 068k + 0, ,068k 0,08 k 0,08, 9..., 0, 068 Vastaus: % 7. Olkoon a antiloopin alkuperäinen paino. Kuivan kauden jälkeen sen 0,8 a 0,8a. paino on 8 % pienempi eli Sadekauden jälkeen antiloopin paino on 0,8a. Jotta paino olisi sama kuin alun perin: 0,8 a a :0,8a a, 9..., 0,8 a 0,8 Eli kasvu prosentteina %. 70

68 Prosenttilaskenta 8. Merkitään lipun hintaa edellisenä kesänä kirjaimella p ja nykyistä hintaa p sekä edellisen kesän väkimäärää kirjaimella n. Edellisen kesän myyntitulo: n p Nykyinen myyntitulo: 0,90n p Myyntitulot yhtä suuret: 0,90 n p n p : n 0 0,90 p p :0,90 p p,... p 0,90 Eli prosentteina % Vastaus: % 9. Merkitään parturimaksun verotonta hintaa kirjaimella p. Parturimaksu vanhalla verolla:, p Parturimaksu vanhalla verolla:,08p Parturimaksujen ero on, p, 08 p 0, p, joka on vanhasta parturimaksusta 0, p, p 0,7...,% 7

69 Prosenttilaskenta 0. Merkitään tuotteen hintaa alussa kirjaimella h ja rahamäärää kirjaimella m. Tällöin tuotetta saa määrän m h. Tuotteen uusi hinta on 00 + p h, jolloin samalla rahamäärällä saa 00 m tuotetta määrän p h 00 Uusi määrä on 9 % pienempi kuin vanha: m m h 0, p h h m ,9p 0,9p 9 Vastaus: p 9,9 9 p 9, ,9 0,9 ( p) 0, p 7

70 Prosenttilaskenta. Merkitään tuotteen alkuperäistä hintaa kirjaimella a ja alennusprosenttia. p Korotettu hinta: + a 00 Korotettua hintaa alennetaan prosenttia takaisin alkuperäiseksi: Vastaus: p + a a : a p p p p p p p 0 00 p p p % p p p+ 00 : p p p

71 . Alussa turve a kuiva aine a vesi Prosenttilaskenta Kuivatuksen jälkeen 0,0a turvelopussa 0,90a a kuiva aine 0,0a 0, 0 0,90a 0,0a 0, 0 0, 07a 0,7a 0, 0 :0,7 0,0 a 0, ,7 Vastaus:,6 %. Merkitään tuoreiden omenoiden massaa m, jolloin vettä on 0,80m, sokeria 0,0m ja muita aineita m 0,80m 0,0m 0,6m. Koska kuivumisen jälkeen omenoiden kosteusprosentti on 0 %, niin sokeria ja muita aineita on 80 % kuivattujen omenoiden massasta a. Niiden määrä on säilynyt samana. 0, 0m+ 0,6m 0,80a 0, 0m 0,80a 0, 0 a m 0, m 0,80 Sokeria: 0,0m 0,6 6% 0, m Vastaus: 6 % 7

72 Prosenttilaskenta. Merkitään sekamehun määrää kirjaimella a. Tällöin sen sokerin määrä on 0,a. Merkitään omenamehun määrää kirjaimella b ja päärynämehun b määrää kirjaimella c. Sekoitussuhde on tällöin b: c. c Omenamehun osuudessa on sokeria 0,07b ja päärynämehussa 0,c. Koska sekamehu sisältää vain kahta mehua, saadaan mehun määrälle yhtälö a b+ c ja mehussa olevalle sokerin määrälle yhtälö 0,07b+ 0,c 0,a. Sijoittamalla a b+ c yhtälöön 0,07b+ 0,c 0,a, saadaan 0, 07b+ 0,c 0,a a b+ c 0, 07b+ 0,c 0, b+ c 0, 07b+ 0,c 0,b+ 0,c 0, 0c 0, 0b 00 c b : c b : c b c Sekoitussuhde on siis : eli kolme osaa omenamehua ja neljä osaa päärynämehua. 7

73 Prosenttilaskenta. kuparin massa y hopean massa + y 0,0 (kg) y 0,0 V kappale 0,0 dm 0, V + V V Cu Ag kappale 0,0 0,0 + 9, 9, 0 0, 0, 06,0+ 90,9 0,0 9, 0,0, 0, :, 0,06... Cu-pitoisuus 0,06...,76... %,8% 0,0 0,0 Ag-pitoisuus y 0,0 0, ,... % 76,% 0,0 0,0 76

74 Prosenttilaskenta 6. Arvio Toteutunut Tarvike,9 Muut y, 8y Budjetti + y,9 +, 8 y Rakentaminen tuli % arviota kalliimmaksi eli, + y,9+, 8 y, +, y,9+, 8 y 0,0y 0,06 : 0,0 y Rakennustarvikkeiden arvioitu osuus kokonaiskustannuksista 0,... % + y + Rakennustarvikkeiden lopullinen eli toteutunut osuus kokonaiskustannuksista,9,9 0,7... %,9+, 8 y,9+, 8 7. Merkitään alkuperäisiä ylläpitokustannuksia kirjaimella a. Saadut vuokrat ovat tällöin 0,88a. Merkitään vuokrien korotuskerrointa kirjaimella k, jolloin korotettujen vuokrien suuruus on k 0,88a. % kasvaneet ylläpitokustannukset ovat, 0a ja 0 % niitä suuremmat ovat,0,0a. k 0,88a,0, 0 a : a 0,88k, :0,88 k, Eli korotettava 0 %. Vastaus: 0 % 77

75 Prosenttilaskenta 8. Merkitään kirjaimella a koko myynnin arvoa vuonna 000 ja kirjaimella b myyntiä kotimaahan vuonna 000. Vuosi 000: Koko myynti a Kotimaahan b Ulkomaille a b Vuosi 00: Koko myynti, 06a Kotimaahan 0,9b,0 a b Ulkomaille Vuoden 00 tiedoista saadaan yhtälö:, 06a 0,9b+,0( a, 06a 0,9b+,0a,0b 0, 0a 0, b :0, 0,0 b a 0, a 0, Tällöin myynti ulkomaille vuonna 000 oli a b a 0, a 0,7... a eli noin 7% vuoden 000 koko myynnistä. 78

76 Potenssit ja juuret. Potenssi 9. a) c) d) e) 6 6 f) ( ) a) c) 0 d). a) f f f 6 c) a a 6 9 a a

77 Potenssit ja juuret d) 9 6 e) f). a) a a a a a a k k k k c) 0 d) + 6 e) a a 7a f) k 6 k. a) a c) 6 6 a 6 6 a 6 6 a d) 6 6 a a a a a a 6 ( a ) 6 ( a ) ( ) 9 80

78 . a) Potenssit ja juuret ab a b 7 a b 7a b 7 a 7 6 a a a a a ( ) c) ( ) d) a) c) 0 a a a a d) 0 a a a a a) c) d) 8

79 7. a) Potenssit ja juuret c) d) ( 0 7 ) n n n n+ n+ n n 8. a) n n+ n + n+ n+ a a a a + ( ) a a n n n a a a n+ c) d) 9. a) n+ ( ) 7 7 n+ n+ n+ ( ) n n 6n + + n ( n ) n n ( n+ ) ( n+ ) n c) a a + a a a a a a+ a a a a a a a d) 8

80 60. a) 7 Potenssit ja juuret , , 0, 0, c) a) , 0 0, 0, , 0, 0, 0, 0, a) , , , , 0 c) 0, ,0 0, ,0 0 8 d) 0, ,9 0, , a), 0, ,7 0, c) 7,0 0 7,0 0,000 0, d) 9,08 0 9,08 0, ,

81 Potenssit ja juuret 6. 80cm,80m,80 m, m 0 7 0, Vastaus: kertainen 6. Natriumin massa kilogrammoina: 7 7 9, kg +,676 0 kg +, kg , kg 8,988 0 kg, kg 7 00, , kg ,988 0 kg +, kg 7 ( 00, ,988+,77078) 0 kg 7 0, ,988+, kg 7 0, kg Atomimassayksiköinä: 0, , ,89687,9u, Käytetään yksikköinä kilometrejä ja vuosia. Valon nopeus on (kilometriä vuodessa) v km s valo km a 9,608 0 km a Komeetan nopeus on (kilometriä vuodessa) v k km h 8,0 0 km h 8,0 0 6km a kma 7, kma 7,0080 kma 8

82 Potenssit ja juuret matka Nopeus aika matka eli aika ja matka nopeus aika nopeus Komeetan kulkema matka on matka, jonka valonsäde kulkee vuodessa. s v a 9, km a a 97,8 0 km valo 7 9,78 0 km Aika, jossa meteoriitti kulkee matkan d: 7 7 s 9,78 0 km 9, t 8 8 a, 0 a v 7,008 0 km a 7,008 0 k a) massa tiheys eli massa tiheys tilavuus tilavuus m aurinko 09kg m, 0 m 7, 09 0 kg m, 0 m 7 + 7,09, 0 kg 0, kg 0,990 0 kg m aurinko m maa 0 0, kg,9900 0,97 0 kg,97 0 eli 000-kertainen 6 0,

83 + n+ n ( n ) 69. a) + a Potenssit ja juuret n+ n n+ n+ n n+ + n n ab ( n ) a c) b n+ n n ( n ) d) e) n+ n n+ n+ + + n a ( ) ( ) n+ n+ n+ a n n n b n+ n n+ + n n ab n f) n+ n+ ( n ) 70. a) 7. a) n+ n n+ n+ n+ 6 n n n n + n + n k k k k k k k k : 7 k k k k k k k k k + c) a b ab ab b Oletus: Väite: ( ) ab ab b ab b ab b a Todistus: m m a m a b b a m m m m m a a a m b b b m m m b b a a a m b m 86

84 Potenssit ja juuret 7. a) c) abc bc abc b abc a c d) : : : 6c a ac 9b abc 9b ac 7 ab c 7. 9 a b Tapa : Tutkitaan kertoimien erotusta Koska erotus on negatiivinen, niin b on suurempi. Tapa : Tutkitaan kertoimien suhdetta : Koska suhde <, niin b on suurempi. 87

85 7. Potenssit ja juuret a + a a + a a) e n n n e e + n n n n n e + + e e e e 0 n n n n n e + e e e e n n n n n n n+ n n+ n n 6 n n n n n n n n n 77. a) aa a a a a n n n n a + a a a n n n+ n n n n n na a a a a n + + n n n n n. Neliöjuuri 78. a) 6 8 0,0 0, c) ( 7 ) 7 d) ( ) 9 e) + 9 f) ei ole määritelty 79. a) 86,78 9, π, c) 7 +,97 88

86 Potenssit ja juuret 80. a) , 0,0 0, 0,0 0, 0, 0,0 c) a) c) a) ( ) ( ) 0 <, joten itseisarvo on luvun vastaluku c) 8. a) c) 7 d)

87 Potenssit ja juuret 8. a) c) d) e) π π π f) π π π + π π 8. a) ( ) ( ) a) ( 7) c) d)

88 Potenssit ja juuret 87. a) c) 88. a) ) 6 6 c) 6 d) a) Huom!. painoksen a-kohdan vastauksessa virhe c) d) ( 8) ( ) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) 8 ( 8 ) 6 9

89 Potenssit ja juuret 90. a) ( ) c) a) : : )

90 Potenssit ja juuret c) ( ) : ) ( ) 9. a) : : c) ( )

91 Potenssit ja juuret 9. a) c) ) 6 ) ) 9. : 9. Oletus: a 0, b 0 a a Väite: b b Todistus: a. Kun a 0 ja b 0, 0 b. a a a b b b Joten a b a b 9

92 Potenssit ja juuret 96. a) ( π ) ( π) π π π ( π) , sillä + > 0 c) ) a) 0 c) 0 a d) a 0 7a 7 a 7 a 7 a e) a a a 9a a a f) a 9 a 7 a 7 a a 7 a 9

93 Potenssit ja juuret 98. a) + 0 ( ) 0 c) 0 ja : 0 : Ehdot yhdistämällä saadaan: > 96

94 Potenssit ja juuret 99. a) Väite: 7 7 Todistus: Väite: Todistus: + ( + ) a) + + ) ) + ( + ) ( ) ( + )( ) ( + )( ) ( + ) ( ) a b a+ b a b

95 Potenssit ja juuret c) d) ( ) ( ) < 0.joten ( ) ( ) + ) ( )( + ) > 0, joten + + a b a+ b a b ) + ) ( )( + ) ( )( + ) ( )( + )

96 Potenssit ja juuret. Yleinen juuri ja murtopotenssi 0. a) c) d) 7 7 e) ( ) f) a),, 69,9 c) 00, d) 7 0,000 0,0 0. a) c) 8 d) e) 6 8 f)

97 Potenssit ja juuret 0. a) c) a) c) a) c) a) c)

98 Potenssit ja juuret d) e) f) a) c) d) π π π 09. a) 7 c) d)

99 Potenssit ja juuret 0. a) c) d) y y y y. a) Tapa : Tapa : c) d). a) c) 00 ( 00 ) ( 0 )

100 Potenssit ja juuret. a) Tapa : ( ) Tapa: ( ) 8 + c) a) a a a a 8 0 a a a a a 0

101 Potenssit ja juuret. a) c) a) c) 7. a) c) ( ) 8 0

102 Potenssit ja juuret 8. a) c) 8 6 ( ) ( ) a) 6, 6 6 0,8 6 c) p 0, p 0 0 p a a a 0. a) c) 7 + a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 0 9 0

103 Potenssit ja juuret. a) c). a) a a a a a a a a a 8 a a a a a a a a a a a a c) ( )

104 Potenssit ja juuret. a) c). a) a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 07

105 Potenssit ja juuret c) ( ) a) Koska a > 0, voidaan käyttää murtopotenssia. + 6 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 6 6. a) c) ( )

106 Potenssit ja juuret a b a+ b a b ( ) + ( ) , joten 09

107 Funktio. Funktion käsite 8. a) On. Esimerkiksi f M A f f {,0,} {6, 0, } Ei ole, sillä jotkin määrittelyjoukon alkiot liittyvät useaan arvojoukon alkioon. c) On. Esimerkiksi f M A f f {,,0,,} {0,,9} 9. a) Esim. f + 7 f () f f f Esim. f + f () + f + f + 7 f + 0. a) voi voi c) ei voi 0 0 0

108 Funktio. a) Esim. M A f f f : : Esim. f M A f f : :. a) c) > 0 d),. a) f f c) f 6. a) g 9 g

109 Funktio. a) f

110 Funktio f 8 ( ) 8 8 ( ) a) f ( ) f ( ), kun tai c) f ( ) 0, kun tai 0 7. a) 00 m s c) 00 m 00 m 00 m

111 Funktio 8. a) tai c) ei nollakohtia 9. a), 0 ja f 6 f ( 0) 0 c) f ( ), kun, d) f ( ), kun, 0. a) 0 + f + ( ) 0,87 + ( ) 0, , + 0, 6 +,

112 Funktio 0, f

113 Funktio. f ( ) 8 ( ) a) f 0 8 c) 6

114 Funktio. a) 0 0min h h 60 s (km) s() t 0 80t 0 :80 0 t,87 (h) 80 Tunteina ja minuutteina: h + 0,87 60min h,min h min. a) f, 0 + 0,06 8h min 8 60min+ min 8min f 8, , 06 0,0 ( ) c) 8,0 f,0 + 0,06 8,0 0, 06 8,0, 0 0,06 7,0 :0, min 0h 8min 7

115 Funktio. a, c ja d. a) f 0 f 0 c) f ( ) 6. a) + 0 : c) 8

116 Funktio 7. f 8, a) Funktio on nouseva suora, joten lasketaan funktion arvot määrittelyjoukon päätepisteissä. f f Arvojoukko siis f 6 c) f : 9

117 Funktio 8. f + a) f + 8 f ( 0) 0+ c) f ( ) ( ) + ei määritelty 9. a) ( 8) f f ( 8) 6+ ( 8) 6 c) f a) c) f ( ) 9 ( )

118 Funktio. Hinta Myynti 00 a) f Myynti 00 8 (kpl) Myyntitulot f ( ). a) Pulina Oy: f 0,7 Löpinä Oy: g 0 f g 0, 7 0 0, 0 :0, 80 Jos alkuperäinen hinta on suurempi kuin 80, on alennettu hinta halvempi Pulina Oy:ssä. Hinta alennuksen jälkeen on 0, (Tämä tehtävä merkitään. painoksesta alkaen jokeritehtäväksi.) f ) ) f f f Koska f ja f f, niin f f f 6. Tarkastellaan yhtälöä f f f, 0,.

119 Funktio f f f () () 0 Kun < 0, yhtälön () vasen puoli on 0 ja oikea puoli < 0, joten yhtälö ei toteudu. Kun 0, yhtälön () vasen puoli on selvästi > 0, joten yhtälö ei toteudu. Yhtälö f f f ei siis toteudu millään reaaliluvulla, 0,.. Funktion p kuvaaja on funktion f kuvaajan kanssa yhdensuuntainen suora, joka leikkaa y-akselin kohdassa y a.

120 Funktio. Potenssifunktio ja yhtälö. A, B, C, D 6. a) g 0 tai c) kun > 7. a) 8 ± ± 8 c) ei ratkaisua 8. a) 00 :

121 Funktio c) 9. a) c) : y 6 ± ± : 8 00 ei ratkaisua 0, 9 :0, y p y 8 8,6 8 0, 0 0 p 8 0, 0 :0, p 8 p 0 0 t 0 0 0,9 8 ± ± 0 t 0 0 t 60 t 60, 0 ± ±

122 Funktio 60. a) ± 79 ± 6 96 : 6 6 : 6 ± ± ± Merkitään yhden sivun pituutta kirjaimella. Tällöin kuution tilavuus on.,7 l,7 dm 700cm Eli ruukun mitat ovat cm cm cm.

123 Funktio 6. Merkitään vuotuista muutoksen prosenttikerrointa kirjaimella k. Asunnon hinta. vuoden jälkeen: k. vuoden jälkeen: k k 86000k. vuoden jälkeen: 86000k : k k k ,00... Eli vuotuinen muutos oli, ,00...,0% Vastaus:,0 % 6. Merkitään vuotuista muutoskerrointa kirjaimella k :000 k k 0 k k ± 0 k > ,08... Vuotuinen kasvu, ,08...,8% Vastaus:,8 % 6

124 Funktio 6. Merkitään vuotuista korkokerrointa kirjaimella k. Talletuksen suuruus:. vuoden jälkeen: 0000 k. vuoden jälkeen: 0000k k 0000k. vuoden jälkeen: 0000k. vuoden jälkeen: 0000k k :0 000 k k k ± k > , Vuotuinen korko, , , % Vastaus: 6, % 0 7

125 Funktio 6. Etäisyyden neliö ( m ) Valaistusvoimakkuus (luksia), d Kääntäen verrannollisuus: d 800 d 800 : 800 d 800 d ± d > d,8 (m) Vastaus:,8 m 66. Moottorin tilavuus Moottorin teho (W) 0 0 V 800 Suoraan verrannollisuus: 0 0 V 0 V :0 V V ± : V > V 60 cm 0 8

126 Funktio 67. Käytetään etäisyyden yksikkönä milj. km. R 0 68 Kiertoaika (vrk) 6 t Suoraan verrannollisuus: 0 6 t 68 t :0 t Vastaus: 00 maan vuorokautta 9

127 Funktio , f 0 0, 0 0 0,, 0, 0,6 0, 0,7 0, 0 6, 0, 80 8,9 0, 0, f, f a) ei ole on 0

128 Funktio 69. a) : y + 0 y y y y y : y

129 Funktio 70. a) : ,7 7 :7 0,

130 Funktio 7. a) 0, 0 : 0, 0 0, 0 6 π π 0 π π π π,8 π 7. Tapa. Tapa. k k k k 8 k 8 k k 8k :8 k k k Sijoitetaan k k

131 Funktio 7. Merkitään alkaloidin määrää kirjaimella a ja yhden tunnin muutoskerrointa kirjaimella k. 8 a k a a k 8 k k ± 8 k > 8 8 : 0 0,97... Muutos prosentteina 0, , ,% Vastaus: 8, % 7. Merkitään aineen määrää a ja muutoskerrointa tunnissa k. Puoliintumisaika 0 tuntia eli 0 a k a : a 0 k k ± 0 k > k 0,9... Muutos prosentteina 0, , ,7% Vastaus: 6,7 %

132 Funktio 7. Merkitään yhden suodattimen poistaman määrän prosenttikerrointa kirjaimella k ja aineen määrää kirjaimella a. Yhdeksän suodatinta poistaa 98 prosenttia eli jäljelle jää 00% 98% % : 9 a k 0,0 a : a k 9 k 0,0 9 0,0 0,67... Yhden suodattimen poistama määrä prosentteina: 0, ,... % Vastaus: % 76. Merkitään yhden korotuksen prosenttikerrointa kirjaimella k ja p tuotteen hintaa h. Kun korotetaan p %, muutoskerroin on Tuotteen hintaa korotetaan kolmesti: p + h, h : h 00 p +, 00 p +,. 00 p, p 00, 6, ,88 Vastaus: p 6,88

133 Funktio. Eksponenttifunktio ja -yhtälö 77. A, B, C 78. a) Määrä vähenee 0 % tunnissa eli prosenttikerroin on 0,70. 0,70 0,70 (kg) f Muutos on % kasvua eli prosenttikerroin on,0., 0, 0 ( ) f 79. a) f ( ) 00,0 0 f ( 0) 00, 0 6 ( ) 80. a) f ( ) 800, 9 f ( 9) 800, 0 (kpl) 8. a) f ( ) 00,06 6 f ( 6) 00,06 68 ( ) 0 8. a) f ( 0) 8 f 8 8 c), f,

134 Funktio 8. a) f ( ) 0 0 7

135 Funktio 0 f 0 8

136 Funktio 8. f ( ) 0, 0, 0, 0, 0, 0, , 0,, 0, 0,,9 0,6 0,6,6 0,8 0,8,6 Vastaus: 0, 7 9

137 Funktio 8. Piirretään funktion 0, 6 kuvaaja. Ratkaisu on funktion nollakohta. 0 f ( ) 0, 6 0, 6 0 0, 6 0 0, 6 0, 6,7 0, 6,97 0, 6,98 0

138 Funktio f ( ) 0, 6,, 0, 6,, 0, 6 0,96,, 0, 6 0,06,, 0, 6 0,7 0, 6 Vastaus:, 86. a) f ( ) 0,0 0 f ( 0) 0,0 6, c) f 8 0,0 7,

139 87. a) c), koska 6 0 0, koska,koska d) Funktio,koska 88. a) c) ,6, 0 0 0,6, 0 0 0, 0, 0, 6 0,90, 0, 0, 0, 0, 0, 6 0,8, 0, 0, 6 0,6 0,6 0,6 0,7, 0, 6 0, 9 0,8 0,8 0,6 0,66, 0,8,

140 Funktio Piirretään molempien funktioiden kuvaajat koordinaatistoon. Ratkaisu on kuvaajien leikkauspisteessä. TAI muokataan yhtälöä 0, 6, 0, 6, 0 Ratkaisu on funktion 0,6, nollakohta. 0,6, 0 0 0,6, 0 0, 0, 0,6, 0, 0,60 0, 0, 0,6, 0, 0, 0,6 0,6 0,6, 0,6 0,6 0,8 0,8 0, 6, 0,8 0,

141 Funktio Vastaus: 0, 90. Ensimmäisen kierroksella (Nikon soitto) juorusta kuulee yksi henkilö. Tämän jälkeen jokaisella kierroksella kuulijoiden määrä kaksinkertaistuu edelliseen kierrokseen verrattuna.. kierroksella juorusta kuulee henkilöä.. kierroksella +. kierroksella +. kierroksella Huomataan, että kuulijoiden määrä n. kierroksella on 8 7 a) f f () f f n.

142 Funktio 9. Merkitään vuosittaisen muutoksen prosenttikerrointa kirjaimella. Vuosien 007 ja 008 muutoksesta saadaan ratkaistua. 67, Tilannetta kuvaava funktio on f ( ) 000,0, kun on vuoden 007 alusta kulunut aika vuosina. Vuoden 007 alussa vuoden 000 alusta oli kulunut 7 vuotta eli 7 vuotta aiemmin luku oli 7 f ( 7) 000, ,0 Vastaus: 06 asukasta 9. a) + + c) ( ) ( ) 8 ( )

143 Kertausosa 6 Kertausosa. Luku Vastaluku Itseisarvo Käänteisluku , 0. a) + < 0 c) d) 6 6 > 0 > 0 < ( 0)

144 Kertausosa. a) Merkitään alkuperäistä lukua 0, kirjaimella. 0, , , , : Merkitään, , , :990 ( a) 8 0,8 0 Käänteisluku on 0, jonka vastaluku on b ja d <, joten käänteisluku on., jonka 6. a) ( + 7) + ( ) 7 0 ( y) y 8y 7

145 Kertausosa 7. Oletus: Valitaan kaksi lukua, jotka eivät ole samat. a b Väitös: a b b a Todistus: a b b a + a a b b + b a b : a b Oletus ja väitös ovat ristiriidassa. Siis yleisesti ei ole voimassa a b b a. Esim. valitaan a ja b ab, a b b a 8. a) Rationaaliluvut a ja b voidaan molemmat esittää kahden kokonaisluvun osamääränä. cde,,, f c e a ja b d f Tällöin c e ce ab d f df Kokonaislukujen tulo on myös kokonaisluku, joten ce ja df. ab, koska ab voidaan esittää kokonaislukujen osamääränä. c a c f cf d b e d e de f Kokonaislukujen tulo on kokonaisluku, joten cf ja de ja siten a cf. b de 8

146 Kertausosa 9. a) ) ) ) ) 0) c) a) ) c). a) c) : 7 ( : : : ) ( ) ) 6 6 : : : ) ) ( (6 7 d) + : + + 9

147 Kertausosa. a). a) a b 0 0 a+ b ( ) : epätosi ei ratkaisua 0

148 Kertausosa.. π + + π + + π π π π 6π π + + π + 6π ( π + ) π :( π + ) π π + a + a + + a + a a 6 + a a 6. a) ) + ( ) :

149 Kertausosa 7. ( ) :7 a a a 6 a a 6 a a 6 a 6 7. Kun a 0 eli a a 6 a : a 6 a a. Kun a 0 eli a, niin epätosi ei ratkaisua Vastaus: 6 a a, kun a Ei ratkaisua, kun a

150 Kertausosa 8. Merkitään Lassin ikää nyt kirjaimella. Tällöin Antin ikä nyt on +. Kolmen vuoden päästä Lassin ikä on + ja Antin ikä Antti on silloin kaksi kertaa Lassin ikäinen: + 7 ( + ) Lassi on siis -vuotias, jolloin Antin ikä on + +. Vastaus: Lassi vuotta, Antti vuotta 9. a) Kerrotaan ristiin ( ) : ( ) :

151 Kertausosa 0. Merkitään v vauhtia, jolla aikaa kuluu, tuntia. v + 0 km h. Tällöin suurempi nopeus on Vauhti ( km h ) Aika (h) v, v + 0 Vauhti ja aika kääntäen verrannollisia: v v + 0,, v v+ 0 0,v 0 :0, 0,v 60 Vastaus: 60 km h. Tapa. Jos Alku postittaa kirjettä minuutissa, niin 0 minuutissa hän postittaa 0 kirjettä (koko työmäärä). minuutissa Alku ehtii postittamaan 0 (kirjettä). 6 Kelpo ehtii siis postittamaan tässä ajassa 0 (kirjettä). Merkitään y kysytty aika Aika (min) Kirjeet y 0

152 Kertausosa Kelpon postittamien kirjeiden määrä ja kulunut aika ovat suoraan verrannolliset eli y 0 y 0 y 0 0 y 6(min) Tapa. Merkitään Kelpon yksin käyttämää aikaa kirjaimella t, Alkun postitusnopeutta ja Kelpon nopeutta y. Postitusnopeus Aika Alku yksin 0 Yhdessä + y Kelpo yksin y t Nopeus ja aika kääntäen verrannollisia: + y 0 ( + y) 0 + y 0 y : y Kelpon postitusnopeus on siis viisinkertainen Alkuun verrattuna.

153 Kertausosa Saadaan uusi verranto nopeudelle ja ajalle: t y y 0 t 0 t 0 t 0 : t 6 Vastaus: Kelpo postittaisi 0 kirjettä 6 minuutissa.. p~ T, verrannollisuuskerroin ρr p T M M Mp ρrt : p ρrt M p ρr M M g bar dm, 0 0,08 9,K dm mol K, 0bar 9,0...g mol 9g mol 6

154 Kertausosa. a) Pituus lisääntyi 6cm 8cm 8cm Prosentteina kasvu oli 8cm 0,06 6,% 8cm 8cm 0,088...,88% 6cm. Merkitään meduusan massaa kirjaimella m. Siten alun perin siitä oli vettä 0,90m ja muun osuuden massa oli 0,0m. Vedestä haihtui 0 % eli vettä jäi jäljelle( 0,0) 0,90m 0,60 0,90m 0,m. Veden osuus massasta lopussa: 0,m 0, m 0,m+ 0,0m 0,8 8% 0,6 m Vastaus: 8 %. Merkitään vuokraa alussa kirjaimella. Kolmen vuoden jälkeen vuokra on,0, Nousua oli siis, , , joka on prosentteina 0, , ,7% 7

155 6. Tuotteen hinta alussa h Myynti alussa m Myyntitulot alussa mh Kertausosa Tuotteen hinta lopussa,h Myynti lopussa ( 0,0) m 0,90m Myyntitulot lopussa 0,90m,h, 0mh Myyntitulot kasvoivat siis,0mh mh 0,0mh, joka on prosentteina 0,0 mh mh Vastaus: Nousivat, % 0, 0,%. 7. Merkitään lainan alkuperäistä suuruutta kirjaimella a. Vuoden jälkeen lainaa on jäljellä Kahden vuoden jälkeen 0, 8a 6 :0, 8 a 00 Vastaus: 00 0,0 a 0,70a 0,60 0,70a 0,0 0,70a 0,8a 8

156 Kertausosa 8. Merkitään alkuperäisen liuoksen määrää kirjaimella a ja uuden liuoksen määrää kirjaimella b. Saippuaa alkuperäisestä liuoksesta on 0, 0a ja uudesta liuoksesta 0,0b. Saippuan määrä säilyy samana, joten saadaan yhtälö 0, a 0,0 b :0,0 b,... a Liuoksen määrä kasvaa,... a a,... a, joka on kaikki vettä. Prosentteina kasvu on,... a,6... 0% 0,8 a Vastaus: 0% (tai %) 9. Merkitään rypäleiden painoa kirjaimella a ja rusinoiden painoa kirjaimella b. Rypäleissä on vettä 0,8a, jolloin muuta ainetta on 0,8 a 0,8a. Rusinoissa vettä on 0, b ja muuta ainetta 0, b 0,76b. Muun aineen määrä säilyy samana, joten saadaan yhtälö: 0,8a 0, 76 b :0, 76 b 0,6... a Muuttunut paino on kaikki vettä: a b a 0, 6... a 0,76... a, joka on prosentteina rypäleiden vesimäärästä: 0,76... a % 0,8 a Vastaus: 9 % 9

157 Kertausosa 0. Merkitään kansantuotetta a, josta teollisuustuotannon osuus on 0, 0a ja muu osuus 0,80a. Merkitään kirjaimella b kasvanutta teollisuustuotantoa. Kun muu osuus säilyy samana, kasvanut kansantuote on 0,80a+ b. Siitä 0 % on teollisuustuotantoa, joten saadaan yhtälö: b 0,0 ( 0,80a+ b 0, a+ 0,0b 0,70b 0, a :0,70 b 0,... a Teollisuustuotannon muutos on b 0, 0a 0,... a 0, 0a 0,... a, joka on prosentteina 0,... a 0,7... 0,7 7% 0, 0 a. a) s s s s s k k k k k c) d) e) 8 0 t f) a a 6 a 6a 60

158 . a) Kertausosa a b ab a b ab a b ab a b a b k k n n ( n) n + n k k k n n n+ a n+ n n n+ n a a n ( n ) n n + 0 a a a n n n a a a c). a) ( ) ( ) a) c) 000, 0 000, 0 0, ,9 0, , , , 0, , 0 9. a) c) 7, , 0 0, , ,099 0 kg 9, ,660 0 kg, ,8... 0,9 0 u 0 7 9,099 0, 660 6