ATM-VERKON KUTSUTASON ESTO
|
|
- Esko Tikkanen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 1 ATM-VERKON KUTSUTASON ESTO Kutsutasolla tehtävän resurssivarauksen kannalta vaihtuvanopeuksinenkin lähde näyttää vakionopeuslähteeltä. Sen nopeus = efektiivinen kaista. Kutsutasolla ATM-verkkoa voidaan käsitellä monibittinopeusverkkona. Tehtävänä on selvittää, millaisen eston (kutsueston) verkossa eri palvelut kokevat. Alussa rajoitutaan tarkastelemaan eston muodostumista yhdessä linkissä. Yhteyden muodostamisvaiheessa linkillä (verkon tapauksessa kaikilla reitin linkeillä) pitää olla vapaata kaistaa vähintään kyseisen lähteen efektiivisen kaistan verran, ellei ole, yhteydenmuodostus estyy. Estotodennäköisyyden laskenta monibittinopeusverkossa muodostaa monidimensioisen yleistyksen Erlangin kaavalle.
2 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 2 Merkitään Linkin kapasiteetti on C Tarjottu liikenne muodostuu K:sta eri liikenneluokasta k = 1,..., K. Luokan k liikennettä karakterisoivat seuraavat suureet kaistanleveys b k kutsujen saapumisnopeus λ k (oletetaan Poisson-prosessi) kutsujen päättymisnopeus µ k (oletetaan eksponentiaalinen pitoaika) liikenneintensiteetti a k = λ k /µ k Merkitään käynnissä olevien luokkaan k kuuluvien yhteyksien lukumäärää N k :lla, N k = 0, 1,.... Tilavektori N = (N 1, N 2,..., N K ) määrittelee käynnissä olevien yhteyksien joukon. Yksittäistä (kiinteätä) tilaa eli tila-avaruuden pistettä merkitään n = (n 1,..., n K ):llä.
3 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 3 Tila-avaruus Linkin, jonka kapasiteetti on C, mahdollisia tilapisteitä rajoittaa ehto K k=1 n k b k C eli n b C missä on merkitty b = (b 1,..., b K ) n b = K k=1 n k b k Linkin tila-avaruus Ω muodostuu sallituista tiloista n 2 C Ω Ω = {n : n b C} n 1
4 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 4 Estotilat Liikenneluokan k estotilojen joukko B k muodostuu niistä sallituista tiloista, joissa ei enää ole tilaa uuden luokan k yhteyden muodostamiseen B k = {n : C b k < n b C} Mitä suurempi b k on, sitä suurempi on estotilojen joukko. Merkitään e k :lla vektoria, jonka muut komponentit ovat nollia mutta k:s komponentti on ykkönen. Tämän avulla estotilojen joukko voidaan kirjoittaa B k = {n : n Ω, n + e k / Ω} Uusi luokan k yhteys veisi systeemin sallitun alueen ulkopuolelle.
5 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 5 Estotilat (jatkoa) n 2 Kuvaan on merkitty luokkien 1 ja 2 estotilat. Estotilojen joukko B k voidaan kuvata seuravasti: Viimeiset tilat k-suuntaisten sarakkeiden päissä 1 C C-b 2 Tilat, jotka jäävät kapasiteetteja C ja C b k vastaavien suorien (hypertasojen) väliin jälkimmäinen saadaan siirtämällä C-hypertasoa yksi askel k-suunnassa origoa kohti. n 2 luokan 2 estotilat C C-b 1 n 1 n 1 1 luokan 1 estotilat
6 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 6 Tilatodennäköisyydet n+ e 2 Tehdyillä oletuksilla järjestelmä muodostaa Markovprosessin - monidimensioinen syntymä-kuolema-prosessi - tilasiirtymät tyypillisestä sallitun alueen tilasta on esitetty kuvassa λ 2 (n 2+1) µ 2 λ 1 n λ 1 n-e 1 n e n 1 µ 1 (n 1+1) µ 1 µ n-e 2 Tasapainoyhtälöillä on tulomuotoinen ratkaisu tilatodennäköisyyksille π(n) = P{N = n}, π(n) = G(Ω) 1 an 1 1 n 1! ank K n K! = G(Ω) 1 K missä G(Ω) on normitusvakio k=1 G(Ω) = a n 1 Jatkossa merkitään G(S):llä vastaavaa normittamattomien 1 n Ω n 1! ank K tilatodennäköisyyksien summaa (ns. tilasumma) minkä n K! tahansa tilajoukon S yli. Tulomuotoinen ratkaisu pätee, koska se toteuttaa jopa detaljibalanssiehdon, ts. todennäköisyysvirrat minkä tahansa kahden naapuritilan n e k ja n välillä ovat tasapainossa a n k k n k! λ k π(n e k ) = n k µ k π(n) sillä π(n) = a k n k π(n e k ) λ 2 n
7 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 7 Estotodennäköisyydet Liikenneluokan k estotodennäköisyys B k on todennäköisyys sille, että systeemi on jossakin luokan k estotiloista, eli tilajoukon B k todennäköisyys. B k = π(n) = G(B k) n B k G(Ω) Estotodennäköisyyksien resiprookkisuus Suoraan derivoimalla G(Ω):n lauseke, todetaan a k G(Ω) = a k n Ω a n 1 1 n 1! ank K n K! = n Ω a n 1 1 n 1! a nk 1 k (n k 1)! ank K n K! = a n Ω B k n 1 1 n 1! ank K n K! = G(Ω) G(B k) Laskemalla tästä G(B k ) ja sijoittamalla B k :n lausekkeeseen saadaan B k = 1 1 G(Ω) = 1 log G(Ω) G(Ω) a k a k Osittaisderivoimalla seuraa B j a i = a i log G(Ω) = a j a j a i log G(Ω) = B i a j B j a i = B i a j
8 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 8 Ajassakääntyvän systeemin tila-avaruuden katkaisu Olkoon Ω ajassakääntyvän systeemin tila-avaruus. Ajassakääntyvyys on ekvivalentti sille, että pätee detaljibalanssi π i q i,j = π j q j,i, i, j Ω Tarkastellaan modifioitua järjestelmää, jossa tila-avaruus on jaettu kahteen osaan Ω = S + S ja siirtymänopeudet ovat muuten samat kuin alkuperäisessä systeemissä paitsi, että siirtymän i j nopeus on c-kertainen silloin, kun i S ja j S: q i,j = c q i,j, i S, j S q i,j = q i,j, muulloin S S Lause: Modifioidun järjestelmän tasapainotilatodennäköisyydet ovat c q ij _ π i = 1 G π i, 1 G c π i, kun i S kun i S missä G on normitusvakio G = π i + i S π i i S
9 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 9 Tila-avaruuden katkaisu (jatkoa) toteuttavat modifioidun järjestelmän de- Todistus: Lauseen mukaiset tilatodennäköisyydet π i taljibalanssiehdot π i q i,j = π j q j,i, i, j Ω Koska detaljibalanssista seuraa globaalibalanssi, toteuttavat π i :t modifiodun järjestelmän tasapainoehdot ja ovat siten tasapainotilan tilatodennäköisyydet. Seuraus 1. Kun asetetaan c = 0 (tila-avaruuden katkaisu), nähdään että katkaistun järjestelmän (tila-avaruus S) tilatodennäköisyydet ovat normitekijää vaille samat kuin alkuperäisellä järjestelmällä π i = 1 G π i, G = π i i S Seuraus 2. Pätee seuraavat tilatodennäköisyyksien jakaumat: Erlangin menetysjärjestelmä: katkaistu Poisson-jakauma Engsetin järjestelmä: katkaistu binomijakauma M/M/1/m-jono: katkaistu geometrinen jakauma
10 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 10 Tila-avaruuden katkaisu (jatkoa) Seuraus 3. Monibittinopeusjärjestelmässä, jossa monta eri liikennevirtaa jakaa samaa kapasiteettia, tilatodennäköisyydet ovat tulomuotoiset (Poisson-jakaumien tulo). Tulomuotoisuus pätee triviaalisti äärettömän kapasiteetin systeemissä, missä liikennevirrat ovat riippumattomia. Tila-avaruuden katkaisuperiaateen mukaan sama jakauma pätee kapasiteettiehdon rajoitaamassa katkaistussa tilaavaruudessa. C S _ S Seuraus 4. Jos monta (m kpl) M/M/1-jonoa käyttää yhteistä odotustilaa (käytettävissä on yhteensä K systeemipaikkaa mukaanlukien yhteinen odostustila ja eri jonojen palvelimet), niin tilojen yhteisjakauma on P{N 1 = n 1,..., N m = n m } = 1 G ρn 1 1 ρ n m m, kun n n m K missä ρ i on jonon i kuorma. Tulos seuraa suoraan siitä, että äärettömän odotustilan tapauksessa (silloinkin kun se on yhteinen) jonot ovat riippumattomia ja yhteisjakauma on triviaalisti tekijöiden (1 ρ i )ρ n i i tulo.
11 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 11 Esimerkki estojen laskennasta Tarkastellaan tapausta, jossa linkkiä jonka kapasiteetti on C, käyttää kahteen eri liikenneluokkaan kuuluvat yhteydet. Parametrit ovat seuraavat: C = 6 Mbps a 1 = 1 a 2 = 0.5 b 1 b 2 = 1 Mbps = 2 Mbps Tila-avaruus, sallittujen tilojen alue sekä liikenneluokkien estotilat näkyvät oheisesta kuvasta. Lasketaan ensin reunajakaumat a n k k /n k!, k = 1, 2. Vakiotekijä exp( a k ) voidaan jättää pois, koska katkaisun jälkeen joudutaan kuitenkin suorittamaan normitus. n a 2 2 / n 2! n n a 1 1 / n 1! Yksittäisen tilan normittamaton todennäköisyys on normittamattomien reunarvojen tulo. n 1 Normitekijä G(Ω) on normittamattomien tilatodennäköisyyksien summa, G(Ω) = Estotilajoukkojen yli lasketut normittamattomien todennäköisyyksien summat ovat G(B 1 ) = 0.11, G(B 2 ) = 0.32 joista seuraavat estotodennäköisyydet B 1 = G(B 1) G(Ω) = 2.4% B 2 = G(B 2) G(Ω) = 7.3%
12 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 12 Kaufmanin ja Robertsin rekursio Edellä esitetty estojen laskenta perustui siihen, että tilojen todennäköisyydet laskettiin käsin poimien yksitellen yhteen. Laskentaan on olemassa myös tehokkaampia menetelmiä. Kaufmanin ja Robertsin rekursio on yksi tällainen. Tässä tarkastellaan tilasummia tila-avaruuden tiettyjen osajoukkojen yli. Erityisesti määritellään joukko Ω(c) siten, että tähän kuuluvat täsmälleen ne tilat, joissa vaadittu kapasiteetti on c, n Ω(c) n b = c Nämä muodostavat tila-avaruuden osituksen, Ω = C c=0 Ω(c). Ω(C) Ω(3) Ω(2) Ω(1) Ω(0) n 2 b 1=1, b 2=2 Normittamattomien todennäköisyyksien summa tilajoukon Ω(c) yli on G(Ω(c)). Merkitään tätä lyhyemmin G(c):llä. n 1 G(c) = n b=c a n 1 1 n 1! ank K n K! Tälle pätee seuraava rekursiokaava (todistus jätetään harjoitustehtäväksi) c G(c) = K a k b k G(c b k ) Rekursion alku G(0) = 1, G(c) = 0, kun c < 0. k=1
13 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 13 Kaufmanin ja Robertsin rekursio (jatkoa) Koska Ω(c):t muodostavat Ω:n osituksen, normitusvakio on G = G(Ω) = C c=0 G(c) Siten kapasiteettimiehityksen jakauma on P{N Ω(c)} = P{N b = c} = G(c) G, Liikenneluokan k estotiloja ovat selvästi ne tilat, joissa kapasiteettia on vapaana vähemmän kuin b k eli joissa kapasiteettimiehitys on välillä (C b k + 1)..., C. B k = C c=c b k +1 Ω(c) ja vastavasti estotodennäköisyys on B k = G(B k) G(Ω) = C c=c b k +1 C c=0 G(c) G(c)
14 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 14 Kaufmanin ja Robertsin rekursio (jatkoa) Esimerkki. Sovelletaan KR-rekursiota edellisen esimerkin tehtävään. Otetaan kapasiteetin yksiköksi 1 Mbps. C = 6 a 1 = 1 a 2 = 0.5 Rekursio ja rekursion alku b 1 = 1 b 2 = 2 G(c) = 1 c (G(c 1) + G(c 2)) G(0) = 1 G(c) = 0, kun c < 0 G(1) = 1 1 (G(0) + G( 1)) = 1 G(4) = 1 4 (G(3) + G(2)) = 5 12 G(2) = 1 2 (G(1) + G(0)) = 1 G(5) = 1 5 G(3) = 1 3 (G(2) + G(1)) = 2 3 G(6) = 1 6 (G(4) + G(3)) = (G(5) + G(4)) = B 1 = G(6) G(0) + + G(6) = %, B 2 = G(5) + G(6) G(0) + + G(6) = %
15 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 15 Konvoluutiomenetelmä Kaufmanin ja Robertsin rekursion asemesta kapasiteetin miehitystodennäköisyydet voidaan laskea konvoluution avulla. Tätä varten lasketaan ensin kapasiteetin miehitysjakauma yksittäisille liikennevirroille. Todennäköisyyksien ei tarvitse olla normitettuja, koska lopussa joudutaan kuitenkin tekemään tila-avaruuden katkaisusta johtuva uudelleennormitus. Yksitttäisen liikennevirran yhteyksien lukumäärän jakauman (normittamattomat) pistetodennäköisyydet ovat a n k k /n k! Kyseinen pistetodennäköisyys a n k k /n k! on vastaavasti todennäköisyys sille, että kapasiteettimiehitys on n k b k. Kapasiteetin miehitystodennäköisyys on nollasta poikkeava vain sellaisille miehityksen arvoille, jotka ovat b k :n monikertoja, ja 0 muulloin. Edellisen esimerkin tapauksessa liikenneluokkien 1 ja 2 kapasiteettimiehityksen todennäköisyysvektorit miehityksen arvoon c = 6 asti ovat p 1 = ( ) p 2 = ( ) huom. 0:t välissä
16 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 16 Konvoluutiomenetelmä (jatkoa) Linkin kapasiteetin kokonaismiehitys on yksittäisten liikennevirtojen miehitysten summa. Äärettömän linkkikapasiteetin tapauksessa liikennevirrat ovat riippumattomia. Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma saadaan konvoluution avulla Linkin kapasiteetin C ääärellisyys aiheuttaa ainoastaan sen, että todennäköisyydet nollautuvat kapasiteettimiehityksille > C ja että alkupään todennäköisyydet on uudelleennormitettava. Merkitään G = (G(0) G(1) G(C)). Edellä sanotun mukaan G saadaan konvoluutiona, G = p 1 p 2 G(c) = p 1 (i)p 2 (j) = c p 1 (i)p 2 (c i) i+j=c i=0 Useamman liikenneluokan tapauksessa lisätään (konvoluoidaan) liikenneluokka kerrallaan: G 2 = p 2 p 1, G 3 = p 3 G 2,, G K 1 = p K 1 G K 2, G = G K = p K G K 1 Samoin kuin aikaisemmin lopuksi suoritetaan normitus P{N b = c} = G(c), c = 0,..., C G(i) C i=0
17 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 17 Konvoluutiomenetelmä (jatkoa) Konvoluution laskentaan voidaan käyttää myös generoivaa funktiota p k (n k ) = an k k n k! P k (z) = n k =0 p k (n k ) z n kb k = e a kz b k Kokonaismiehityksen generoiva funktio on (kapasiteettimiehityksen generoiva funktio; miehitys tilassa n k on n k b k ) G(c)z c = K P k (z) = exp( a k z b k) c=0 k=1 k Yksittäisten miehitystilojen (normittamattomat) todennäköisyydet G(c) voidaan identifioidaan z:n eri potenssien kertoimista. Käytännössä kustakin P k (z):sta otetaan vain tarvittava määrä termejä sarjan alusta (potenssiin C asti) ja kerrotaan nämä polynomit keskenään. Tulona saadun polynomin z:n eri potenssien kertoimet antavat normittamattomat todennäköisyydet. Polynomien kertominen konvoluutio: i p 1 (i)z i j p 2 (j)z j = k ( k i=0 p 1 (i)p 2 (k i) ) z k
18 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 18 Päästä-päähän esto monibittinopeusverkossa Edellä on tarkasteltu estoa yhdessä linkissä, jonka kapasiteetti on C. Nyt otetaan käsiteltäväksi päästä-päähän eston laskenta verkossa, jossa on useita linkkejä j = 1,..., J, kapasiteetit C j. Kuten tullaan näkemään, käsitteellisellä tasolla verkkotapaus saadaan vain vähäisellä laajennuksella aikaisemmista tarkasteluista. Toinen asia on sitten, että päästä-päähän eston (tarkka) laskenta todelliselle verkolle voi käytännössä olla huomattavan työlästä. Aikaisemmin on käsitelty (yksinopeusverkon) päästä-päähän eston likimääräistä laskentaa (yksinopeus)verkossa vähennetyn kuorman menetelmän avulla. Tämä likimääräismenetelmä on laajennettavissa myös monibittinopeustapaukseen, joskaan laajennusta ei tässä esitetä. Yksinopeusverkon päästä-päähän estojen tarkka laskenta on erikoistapaus seuraavassa esitettävästä monibittinopeusverkon käsittelystä.
19 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 19 Esto monibittinopeusverkossa (jatkoa) Linkit j = 1,..., J, kapasiteetit C j Liikenneluokat k = 1,..., K Liikenneluokan määräävät yhteyden reitti verkon läpi ja ja sen vaatima kapasiteetti. C j Luokka k tarvitsee b j,k kapasiteettiyksikköä (johtoa) linkillä j; efektiivinen kaista riippuu linkin kapasiteetista ja voi olla eri suuri eri linkeillä. Luokan k tarjottu liikenneintensiteetti on a k. Systeemin tilaa kuvaavat jälleen eri liikenneluokkiin kuuluvien yhteyksien lukumäärät (lukumäärämiehitys). Tila-avaruuden piste on vektori n = (n 1,..., n K ) Määritellään linkin j kapasiteettivektori, jonka komponentit kertovat eri liikenneluokkiin kuuluvien yhteyksien ko. linkillä tarvitsemat kapasiteetit ( = 0, jos yhteys ei kulje linkin kautta) b j = (b j,1,..., b j,k ) Tilassa n linkin j kapasiteetista on miehitetty määrä n b j.
20 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 20 Esto monibittinopeusverkossa (jatkoa) Jos linkkien kapasiteetit olisivat äärettömät, kaikki liikenneluokat olisivat toisistaan riippumattomia ja niiden lukumääräjakaumat noudattaisivat Poisson-jakaumaa p k (n k ) = P{N k = n k } = an k k n k! e a k Vastaavasti koko verkon yhteyksien miehitysjakauma olisi p(n) = P{N 1 = n 1,..., N 1 = n 1 } = K k=1 Eksponenttitekijä (vakio) ei ole tässä tärkeä ja voitaisiin jättää pois; todennäköisyydet joudutaan joka tapauksessa normittamaan lopussa. p k (n k ) Helposti nähdään, että tämä jakauma toteuttaa detaljibalanssin. Siten senkin jälkeen, kun tila-avaruus katkaistaan linkkien äärellisiä kapasiteettien mukaisesti, jakauma säilyy sallitussa tila-avaruuden osassa normitusta vaille samana. Linkkien äärelliset kapasiteetit rajoittavat mahdollisten miehitystilojen avaruutta Ω: n b j C j, j Ainoa ero yhden linkin tapaukseen on, että rajoitusehtoja on useita. Kukin yhteys kuluttaa useata resurssia. n 2 Ω luokan 1 estotilat n b =C l n 1 l
21 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 21 Esto monibittinopeusverkossa (jatkoa) Sallittujen tilojen joukossa Ω tilatodennäköisyydet ovat edelleen tulomuotoiset, π(n) = 1 G p(n), n Ω 0, n / Ω Liikennevirran k estotilojen joukko on B k = {n : n Ω, n + e k / Ω} ja liikenneluokan k estotodennäköisyys on B k = n B k π(n) = n B k p(n) n Ω p(n) = G(B k) G(Ω) missä G = G(Ω) = n Ω p(n) (estotilat ovat viimeisiä tiloja joukon Ω sisällä liikuttaessa k-akselin suuntaan) Muodollisesti ratkaisu on aivan sama kuin yhden linkin tapauksessa. Usean linkkirajoituksen vuoksi tilajoukot Ω ja B k ovat mutkikkaita eikä tilasummia ole yleensä helppo laskea. Tila-avaruuden koko realistisilla systeemeillä on tähtitieteellinen, eikä tilojen laskeminen yhteen yksitellen ole mitenkään mahdollista.
22 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 22 Esto monibittinopeusverkossa (jatkoa) On kuitenkin hyödyllistä todeta, että eston laskemiseksi riittää, jos osataan laskea tyyppiä G(Ω) oleva tilasumma, missä Ω on lineaaristen rajoitusehtojen määräämä tila-avaruus. Määritellään liikenneluokan k hyväksymistilojen joukko S k tilat n joissa voidaan vastaanottaa uusi luokan k kutsu S k = {n : n + e k Ω} = {n : n b j C j b j,k j} Havaitaan, että tämä on joukon B k komplementti Ω:n suhteen: Ω = B k + S k. Vastavasti pätee G(Ω) = G(B k ) + G(S k ) B k = G(B k) G(Ω) = 1 G(S k) G(Ω) Joukon S k määrittely on muodoltaan samanlainen kuin joukolla Ω, ainoastaan sillä erotuksella, että kunkin linkin j kapasiteettia on pienennetty määrällä b j,k. Määritellään vektorit C = (C 1,..., C J ) ja b (k) = (b 1,k,..., b J,k ). Vektori C määrää joukon Ω: Ω = Ω(C). Tätä merkintää käyttäen on S k = Ω(C b (k) ). Kun vielä merkitään lyhyemmin G(Ω(C)) = G(C), päädytään tulokseen B k = 1 G(C b(k) ) G(C)
23 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 23 Eston laskenta hierarkkisessa liityntäverkossa (access network) Päästä-päähän eston ilmoittavan tarkan kaavan evaluoiminen sellaisenaan ei tila-avaruuden suuren koon vuoksi ole yleensä mahdollista. Ei myöskään tunneta yleistä menetelmää laskujen tehostamiseksi siinä määrin, että tarkka tulos voitaisiin aina laskea. Likimääräismenetelmiä on. Aikaisemmin mainitun vähennetyn kuorman menetelmän lisäksi eräs keino on arvioida tilasummat Monte Carlo -simuloinnin avulla; tällöin arvioihin jää tietty tilastollinen virhe. Kuitenkin eräissä erikoistapauksissa laskut voidaan viedä läpi eksaktisti suhteellisen pienellä työllä. Tällainen tilanne esiintyy mm. silloin, kun verkko on topologialtaan puu, kuten se on viereisen kuvan esittämässä liityntäverkossa. stage 2 stage 3 stage 1
24 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 24 Esto liityntäverkossa (jatkoa) Ideana on edetä laskuissa vaiheittain: Ensin lasketaan kapasiteettimiehityksen jakauma asteen 1 linkeissä olettaen, että kaikkien ylempien asteiden linkkien kapasiteetit ovat äärettömiä. Tällöin asteen 1 linkit ovat riippumattomia. Kunkin linkin miehitysjakauma voidaan laskea niinkuin aikaisemmin on opittu konvoluoimalla linkkiin tarjottujen liikenneluokkien miehitysjakaumat. Jos hetkeksi ajatellaan myös asteen 1 linkin kapasitteetti äärettömäksi, niin jakauma on yksittäisten liikenneluokkien kapasiteettimiehitysjakauman konvoluutio. Yhteisprosessi toteuttaa detaljibalanssin, joten äärellisen kapasiteetin huomioonottaminen ainoastaan katkaisee konvoluution tuloksena saadun koko linkin kapasiteettimiehitysjakauman (uudelleennormitus jätetään tässä vaiheessa tekemättä). Myös katkaistun tila-avaruuden yhteisprosessi toteuttaa detaljibalanssin. Tarkastellaan nyt jotakin asteen 2 linkeistä. Koska sitä syöttävät asteen 1 linkit ovat riippumattomia, saadaan tarjottu kapasiteettimiehitys kovoluoimalla syöttävien linkkien katkaistut jakaumat keskenään. Yhteisprosessi on jälleen detaljibalanssin toteuttava, joten asteen 2 linkin äärellinen kapasiteetti otetaan huomioon katkaisemalla konvoluoitu jakauma (ylempien asteiden linkit oletetaan edelleen äärettömiksi).
25 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 25 Esto liityntäverkossa (jatkoa) Samalla tavalla käsitellän kaikki asteen 2 linkit laskien niille kapasiteettirajoituksen mukaisesti katkaistut kapasiteettimiehitysjakaumat. Tämän jälkeen siirrytään seuraavaan asteeseen ja laskenta toistuu. Mielivaltaisen linkin käsittelyssä on kaksi operaatiota: 1. Konvoluoidaan linkkiä syöttävien alemman asteen linkkien katkaistut jakaumat 2. Katkaistaan konvoluution tuloksena saatu jakauma linkin kapasiteetin mukaisesti. Kuvattu konvoluutio-katkaisu-rekursio viedään läpi koko verkon edeten alemmista asteista ylintä kohti. Lopulta tullaan viimeiseen linkkiin, johon sovellettuna prosessi antaa kyseisen linkin katkaistun kapasiteettimiehitysjakauman eli arvot g(c) = P{linkin kap.miehitys = c}, c = 0,..., C, missä C on kyseisen linkin kapasiteetti. Jos g(c) olisi todellinen jakauma, olisi summa C c=0 g(c) = 1. Nyt on kuitenkin jätetty uudelleennormitukset tekemättä ja havaitaan, että kyseinen summa on itse asiassa kaikkien alkuperäisen äärettömän kapasiteetin systeemin tilatodennäköisyyksien summa kaikkien niiden tilojen yli, jotka kuuluvat sallittujen tilojen avaruuteen. Vaiheittain tehtyjen katkaisujen avulla on karsittu pois ne tilat, jotka ovat sallitun alueen ulkopuolella.
26 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 26 Esto liityntäverkossa (jatkoa) Näin päätellään, että pätee G(Ω) = G(C) = C c=0 g(c) G(C) on aikaisemmin mukaisesti lyhennysmerkintä G(Ω(C)):lle, missä on korostettu tilaavaruuden riippuvuutta verkon eri linkkien kapasiteeteista (eli vektorista C). Liityntäverkon tapauksessa osataan siis laskea tyyppiä G(C) oleva tilasumma. Aikaisemman mukaisesti tämä on kaikki, mitä tarvitaan annetun liikenneluokan päästä-päähän eston laskemiseksi, B k = 1 G(C b(k) ) G(C) Tilasumma lasketaan siis kahteen kertaan: ensin alkuperäisillä kapasiteeteilla, jolloin saadaan G(C), ja sitten verkolle, jossa kiinnostavan liikenneluokan k reitin varrella olevien linkkien j kapasiteetteja on pienennetty määrillä b j,k, jolloin saadaan G(C b (k) ).
27 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 27 Esto liityntäverkossa: esimerkki Tarkastellaan kuvan mukaista kaksiasteista liityntäverkkoa. Kumpaankin ensimmäisen asteen linkkiin (linkit 1 ja 2) tarjotaan kahden eri liikenneluokan liikennettä, kaistat b 1 = b 3 = 1 ja b 2 = b 4 = 2 liikenneintensiteeteillä (erl) a 1 = 1, a 2 = 0.5, a 3 = 0.9 ja a 4 = 0.6. Tehtävänä on laskea linkkiin 1 tarjotun liikenneluokan 2 yhteyksien kokema esto. On siis laskettava tilasummat alkuperäiselle systeemille sekä systeemille, jossa linkkien kapasiteetteja reitin varrella on vähennetty 2:lla (alempi kuva). Laskut tehdään kätevimmin generoivien funktioiden avulla. b =1, a =1 erl 1 1 b =2, a =.5 erl 2 2 b =1, a =.9 erl 3 3 b =2, a =.6 erl 4 4 b =1, a =1 erl 1 1 b =2, a =.5 erl 2 2 b =1, a =.9 erl 3 3 b =2, a =.6 erl 4 4 C =5 1 C =6 2 stage 1 C =5-2=3 1 C =6 2 stage 1 original system reduced system C =8 3 stage 2 C =8-2=6 3 stage 2 Merkitään T n :llä katkaisuoperaattoria, joka ottaa z:n polynomista (tai potenssisarjasta) termit mukaan termiä z n myöten. Esim. T 3 (1 + z + 0.3z z z z 5 ) = 1 + z + 0.3z z 3
28 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 28 Esimerkki (jatkoa) Alkuperäinen systeemi Linkille 1 tarjottujen liikennevirtojen synnyttämien (normittamattomien) miehitysjakaumien katkaistut generoivat funktiot g 1,1 (z) = T 5 ( (1.0z) n ) = 1 + z + 0.5z z z z 5 n=0 n! g 1,2 (z) = T 5 ( (0.5z 2 ) n ) = z z 4 n! n=0 Linkin 1 kokonaismiehityksen katkaistun (normittamattoman) jakauman generoiva funktio g 1 (z) = T 5 (g 1,1 (z)g 1,2 (z)) = 1 + z + z z z z 5 Vastaavasti linkille 2 g 2,1 (z) = T 6 ( (0.9z) n ) = z z z z z z 6 n=0 n! g 2,2 (z) = T 6 ( (0.6z 2 ) n ) = z z z 6 n! n=0 g 2 (z) = T 6 (g 2,1 (z)g 2,2 (z)) = z z z z z z 6 Linkin 3 kokonaismiehityksen katkaistun (normittamattoman) jakauman generoiva funktio g 3 (z) = T 8 (g 1 (z)g 2 (z)) = z z z z z z z z 8
29 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 29 Esimerkki (jatkoa) Vähennetty systeemi (merkitään vastaavia generoivia funktioita h:lla) Linkin 1 kapasiteetti vähennetyssä systeemissä on 3. h 1,1 (z) = T 3 ( (1.0z) n ) = 1 + z + 0.5z z 3 n=0 n! h 1,2 (z) = T 3 ( (0.5z 2 ) n ) = z 2 n! n=0 h 1 (z) = T 3 (h 1,1 (z)h 1,2 (z)) = 1 + z + z z 3 Linkki 2 on vähennetyssä systeemissä sama kuin alkuperäisessä systeemissä: h 2 (z) = g 2 (z) = z z z z z z 6 Linkin 3 kapasiteetti vähennetyssä systeemissä on 6. h 3 (z) = T 6 (h 1 (z)h 2 (z)) = z z z z z z 6 Estotodennäköisyys (liikenneluokka k = 2: linkkiin 1 tarjotut kaistanleveyden 2 yhteydet) B 2 = 1 G(C b(2) ) G(C) = 1 h 3(1) g 3 (1) = 0.184
käännetty prosessi. Tarkastellaan pelkistymätöntä stationaarista stokastista prosessia X t.
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Ajan kääntö 1 AJAN KÄÄNTÖ JA KÄÄNTYVÄT PROSESSIT Käännetty prosessi Tarkastellaan pelkistymätöntä stationaarista stokastista prosessia X t. Tähän prosessiin voidaan liittää
LisätiedotDemonstraatiot Luento
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos S-8.45 Liikenneteorian perusteet, Kevät 8 Demonstraatiot Luento 8..8 D/ Tarkastellaan seuraavaa yksinkertaista piirikytkentäistä (runko)verkkoa.
LisätiedotLittlen tulos. Littlen lause sanoo. N = λ T. Lause on hyvin käyttökelpoinen yleisyytensä vuoksi
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Littlen tulos 1 Littlen tulos Littlen lause Littlen tuloksena tai Littlen lauseena tunnettu tulos on hyvin yksinkertainen relaatio järjestelmään tulevan asiakasvirran, keskimäärin
LisätiedotEstynyt puheluyritys menetetään ei johda uusintayritykseen alkaa uusi miettimisaika: aika seuraavaan yritykseen Exp(γ) pitoaika X Exp(µ)
J Virtamo 383143 Jonoteoria / Engsetin järjestelmä 1 Äärellinen lähdepopulaatio: M/M/s/s/n-järjestelmä Tarkastellaan estojärjestelmää (ei odotuspaikkoja) tapauksessa, jossa saapumiset tulevat äärellisestä
LisätiedotEstojärjestelmä (loss system, menetysjärjestelmä)
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Estojärjestelmä 1 Estojärjestelmä (loss system, menetysjärjestelmä) Tarkastellaan perinteistä puhdasta estojärjestelmää, jossa on annettu n = johtojen (varattavien elementtien)
LisätiedotDemonstraatiot Luento 7 D7/1 D7/2 D7/3
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos S-8.45 Liikenneteorian perusteet, Kevät 2008 Demonstraatiot Luento 7 7.2.2008 D7/ Tarkastellaan piirikytkentäisen järjestelmän n-kanavaista
LisätiedotESTON LASKENTA VERKOSSA
J. Virtamo 38.3141 Teleliikenneteoria / Esto verkossa 1 ESTON LASKENTA VERKOSSA Erlangin funktion E(C, a) avulla voidaan laskea esto yhdessä linkissä, jonka kapasiteetti on C (johtoa) ja johon tarjotun
LisätiedotReiluus. Maxmin-reiluus. Tärkeä näkökohta best effort -tyyppisissä palveluissa. Reiluuden maxmin-määritelmä
J. Virtamo 38.3141 Teleliikenneteoria / Reiluus 1 Reiluus Maxmin-reiluus Tärkeä näkökohta best effort -tyyppisissä palveluissa kenellekään ei anneta kvantitatiivisia QoS-takuita kaikkien pitää saada palvelua
Lisätiedot1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.
Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i
LisätiedotMarkov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Markov-prosessit 1 Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketut) Tarkastellaan (stationaarisia) Markov-prosessea, oiden parametriavaruus on atkuva (yleensä aika). Siirtymät
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat:
Lisätiedotl s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0
1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotNopea kertolasku, Karatsuban algoritmi
Nopea kertolasku, Karatsuban algoritmi Mikko Männikkö 16.8.2004 Lähde: ((Gathen and Gerhard 1999) luku II.8) Esityksen kulku Algoritmien analysointia (1), (2), (3), (4) Klassinen kertolasku Parempi tapa
Lisätiedot2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
LisätiedotMAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotYleiset lineaarimuunnokset
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Lisätiedot+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain
Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 5
Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa
LisätiedotDISKREETIT JAKAUMAT Generoiva funktio (z-muunnos)
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 1 DISKREETIT JAKAUMAT Generoiva funktio (z-muunnos) Määritelmä Olkoon X diskreetti sm, jonka arvot ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja, X {0, 1, 2,...}.
LisätiedotLiikenneteoriaa (vasta-alkajille)
Liikenneteoriaa (vasta-alkajille) samuli.aalto@hut.fi liikteor.ppt S-38.8 - Teletekniikan perusteet - Syksy 000 Sisältö Liikenneteorian tehtävä Verkot ja välitysperiaatteet Puhelinliikenteen mallinnus
Lisätiedotnyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.
Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotSyntymä-kuolema-prosessit
J. Virtamo 38.343 Jonoteoria / SK-prosessit Syntymä-kuolema-prosessit Yleistä Syntymä-kuolema-prosessiksi (SK-prosessi) kutsutaan Markov-prosessia, jonka - tila-avaruus on iskreetti - tilat voiaan järjestää
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotMustan kappaleen säteily
Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi
Lisätiedotf(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.
Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina
LisätiedotLuento 5: Peliteoriaa
Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotEllipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio
Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotStokesin lause LUKU 5
LUU 5 Stokesin lause 5.1. Integrointi monistolla Olkoot W R k alue, W kompakti Jordan-joukko ja ω jatkuva k-muoto alueessa W, ω f dx 1 dx k. Asetetaan ω : f, t.s. f dx 1 dx k : f(x dx f(x 1,, x k dx 1
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?
6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotPythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotA ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.
Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =
LisätiedotKohdassa on käytetty eksponentiaalijakauman kertymäfunktiota (P(t > T τ ) = 1 P(t T τ ). λe λτ e λ(t τ) e 3λT dτ.
25.2.215 1. Autossa on 4 rengasta ja 1 vararengas (T i Exp(λ), [λ] = 1/km, i=1,...,5). Kulkeakseen auto tarvitsee 4 ehjää rengasta. Aluksi auto käyttää neljää alkuperäistä rengasta. Kun yksi näistä vikaantuu,
LisätiedotSyntymä-kuolema-prosessit
J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / SK-prosessit Syntymä-kuolema-prosessit Yleistä Syntymä-kuolema-prosessiksi (SK-prosessi) kutsutaan Markov-prosessia, jonka - tila-avaruus on iskreetti
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotDerivaatan sovelluksia
Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä
Lisätiedot5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 2 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 2 Ke 11.1.2017 Timo Männikkö Luento 2 Algoritmin esitys Algoritmien analysointi Suoritusaika Asymptoottinen kertaluokka Peruskertaluokkia NP-täydelliset ongelmat Algoritmit 1 Kevät
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Lisätiedot3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa
LisätiedotSimilaarisuus. Määritelmä. Huom.
Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotSallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,
Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotKompleksiset sarjat ja potenssisarjat
MS-C1300 Kompleksianalyysi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto K Kytölä & A Gutiérrez Syksy 2018 Ratkaisut 3A 3A Kompleksiset sarjat ja potenssisarjat 3A1 Laske seuraavien sarjojen
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotJohdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012
Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
LisätiedotLuento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä
Luento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä Matriisit voivat olla kooltaan niin suuria, että LU-hajotelman laskeminen ei ole järkevä tapa ratkaista lineaarista
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
Lisätiedotr = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.
A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka >> Klassinen
LisätiedotA = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:
11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 9
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 14. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 14. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Otosavaruuden ositus Kokonaistodennäköisyyden
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotFunktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
LisätiedotGeneroivat funktiot, Poisson- ja eksponenttijakaumat
4A Generoivat funktiot, Poisson- ja eksponenttijakaumat Tämän harjoituksen tavoitteena on edelleen tutustua generoivien funktioiden sovelluksiin ja lisäksi harjoitella ratkaisemaan Poisson- ja eksponenttijakaumiin
LisätiedotLuku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti
Luku 6 Dynaaminen ohjelmointi Dynaamisessa ohjelmoinnissa on ideana jakaa ongelman ratkaisu pienempiin osaongelmiin, jotka voidaan ratkaista toisistaan riippumattomasti. Jokaisen osaongelman ratkaisu tallennetaan
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotMat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat
Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotReaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista
säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,
LisätiedotPERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
LisätiedotKopulafunktiot. Joonas Ollila 12. lokakuuta 2011
Kopulafunktiot Joonas Ollila 12. lokakuuta 2011 Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään. Kopula-sanan alkuperä Kopula tarkoittaa
LisätiedotJuuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774
Lisätiedot