Referaatin ja esseen kirjoittamisesta

Transkriptio

1 T-6.3 DSP kesa S [ 2 / 2 ] տ nido paperit lopuksi yhteen vasemmasta yläkulmasta 8365S T-6.3 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus Kesätentti Op.nro/Student ID: Nimi/Name: Sposti/ Allekirj/Signature: Itse ilmoittamani pistemäärä: WWW: Yleisohjeet 8365S Kesa29/8365S_kesa29.pdf tulosta tämä kansilehti erillisenä ja A4-kokoisena käytä A4-ruutupaperia (jos konsepti, niin leikkaa irti erillisiksi A4:iksi); kirjoita käsin käyttäen selkeää ja tarpeeksi isoa käsialaa; aloita jokainen uusi tehtävä uudelta sivulta; vähintään opiskelijanumero jokaisen paperin oikeaan ylälaitaan; jätä ulkomarginaaliin tilaa täytä tämä A4-kokoinen kansilehti ja nido paperit lopuksi tehtäväjärjestykseen palauta kaikki paperit yhdellä kertaa viimeistään kolme päivää ennen suullista tenttiä joko T-talon 3. kerroksen kurssin metalliseen palautuslaatikkoon tai (sisä)postilla Jukka Parviainen, PL 54, 25 TKK tai PDF:ksi skannattuna sähköpostilla parvi@tkk.fi palautus henkilökohtainen, mutta tehtäviä suositellaan tehtäväksi niin ryhmässä kuin yksinkin; suora kopiointi ja tehtävien jättäminen julkisesti muiden nähtäviksi toki kielletty, kts. esim. vinkkiä luentokalvoista, jaetusta esimerkkimateriaalista ja kirjasta. Materiaalia löytyy Nopasta Muu materiaali. Voit kysyä mahdollista vinkkiä mm. laskuharjoituksissa tai nyysseissä, sposti parvi@tkk.fi ja nyyssit opinnot.tik.t63 Yleistä Kurssin sisällöstä ja yleisesittelystä lisää vanhalla kurssiesitesivulla Opinnot/T-6.3/kurssiesite.shtml Merkintä [Pxx] viittaa kevään 29 laskarimateriaalin tehtävään xx. Se on toimitettu Editan kautta ja saatavilla myös kurssin WWW-sivuilta kohdasta Materiaalia sekä Nopasta Muu materiaali. Voit edetä myös kevään 29 laskuharjoitusohjelman mukaisesti http: // jolloin saat myös assarin kirjoittamia laskarikommentteja osoitteesta Tulosta myös saman tien kurssin taulukkomoniste Nopasta tai suoraan fi/opinnot/t-6.3/laskarit/taulukko_tiiviskooste.pdf. Tutustu DSP-kirjallisuuteen. Tällä kurssilla on jaossa Nopassa kurssien luentokalvot, jotka pohjautuvat Sanjit K. Mitran DSP-kirjaan. Netissä on paljon DSP-kirjoja ja -sivustoja, mukaanlukien Heikki Huttusen mainiot suomenkieliset DSP-kirjat. Katso Opinnot/T-6.3/materiaalia.shtml. Tehtävistä Tehtävänannon jälkeen on vinkkilaatikko. Tehtävät on jaettu kolmeen kategoriaan opiskelijan suunnitteleman arvosanan mukaisesti. Ratkaise pelkät perustehtävät, jos tähtäät arvosanoihin -2. Tämän lisäksi tee jatkotehtävät, jos tähtäät arvosanoihin 2-4. Tee myös vaativammat tehtävät, jos tähtäät arvosanoihin 3-5. Voit tehdä myös tehtäviä eri kategorioista, mutta ainakin kaikki perustehtävät. Palauta tehtävät paperilla Jukalle vähintään kolme päivää ennen suullista kuulustelua. Varmista vielä samalla, mihin arvosanaan tähtäät. Tehtävät tarkistetaan ja niistä saa palautetta joko ennen kuulustelua tai viimeistään kuulustelussa. Suullisen tentin tarkoituksena on auttaa korjaamaan havaittuja teknisiä tai loogisia virheitä. Lisäksi se mahdollistaa vapaan keskustelun aiheesta tai vierestä. Kuulustelussa varmistetaan, että opiskelija on itse tehnyt tehtävänsä. Kuulustelussa päästään yksimielisyyteen kurssin arvosanasta. Mahdolliset tarvittavat lisätehtävät opiskelijan toivomaan arvosanaan nähden jaetaan tilaisuuden päätteeksi. Aluksi selaa kaikki nämä tehtävät, hae materiaalia opiskelua varten, pohdi mihin arvosanaan tähtäät omalla aikataulullasi (vähän/paljon aikaa, vähän/paljon orastavaa mielenkiintoa,..). Mieti, haluatko kokeilla portfoliotyöskentelyä. ilmoittaudu WebOodissa suulliseen tenttiin pe mennessä. Jos päivämäärä / kellonaika ei käy, niin ota yhteyttä sähköpostilla parvi@tkk.fi kurssiin kuuluu pakollinen harjoitustyö, jossa sovelletaan perusmenetelmiä jossakin softa / rautaympäristössä. Voit tehdä Matlab-työn kevään 29 ohjein, jolloin Matlabharjoituksista löytyy apua. Taipunee osin Octave-ympäristössä. Olen kiinnostunut kuulemaan DSP-toteutuksista muissa ympäristöissä, mm. Python yms, jos tällainen kiinnostaa. Ota yhteyttä, jos tarvitset tehdä puuttuvan harjoitustyön.

2 T-6.3 DSP kesa S [ 3 / 2 ] T-6.3 DSP kesa S [ 4 / 2 ] Referaatin ja esseen kirjoittamisesta Avoimen tenttiesseen pisteytys on aina subjektiivista, mutta pohjautuu yleisiin arviointikriteereihin. Hyvän esseen tunnusmerkkejä ovat mm. esseen jämäkkä rakenne (alku, asia, loppu), havainnollisuus (esimerkit, selitetyt kuvaajat) ja luotettavuus. Lukija otetaan huomioon selittämällä riittävästi käytettävä terminologia. Kieliasu tulee olla huoliteltu eli kirjoitetaan kokonaisia lauseita ja virkkeitä. Omat väitteet perustellaan tai nille osoitetaan lähde (tenttivastauksessa tarkkaa lähdeluetteloa ei tarvitse muistaa). Esseen positiivinen omaperäisyys lisää pisteitä. On ansiokasta etsiä sopivia esimerkkejä tai taustatietoa useasta eri lähteestä. Hyvässä esseessä pohditaan aiheen vaikutusta omiin ajatuksiin ja toimintaan. Tentti- tai harjoitustyövastaus on itsenäinen kokonaisuus. Lukijan on saatava ymmärtää, mitä työssä esitetään ilman että tietää tehtävänannon. Sen voi toki jollain tavalla tekstin alussa tuoda julki. Tyypillisiä pisteitä vähentäviä seikkoja ovat väärät tai puutteelliset tiedot tai ajatusketjut, sutaistut kuvaajat ilman selityksiä, jaarittelu, annetun aineiston turha kopiointi (esim. välikokeessa annettavan kaavakokoelma uudelleenkirjoittaminen vastaukseksi). Omaan käsialaan ei näin lyhyellä varoitusajalla voi vaikuttaa, mutta vastauksen luettavuutta parantaa reilun marginaalin jättäminen ja konseptipaperin viivoituksen hyväksikäyttäminen. Suosittelen myös omaa raikasta näkökulmaa, jotta se erottuisi massasta. Mieti, kuorrutatko tarvittavan teorian jollain sovelluksella, softa/rautatoteutuksella, yhteydellä kaupallisiin tuotteisiin, innovoimalla uutta... Toistan omia perusesimerkkejäni lähes joka laskarissa, toisin sanoen, kymmeniä kertoja tämän alkukevään aikana kenties olisin iloinen lukiessani jostain muusta esimerkistä?! Tietokoneohjelma käsitekarttojen piirtämiseen FreeMind, kts. sourceforge.net/ Perustehtäviä Joitakin vastauksia on tämän materiaalin sivulla 2.. Kirjoita referaatti jostain DSP-kurssin alueen sovelluksesta. Liitä mukaan lähdeluettelo ja mahdollisuuksien mukaan myös itse lähdeteksti. Lähteet voivat olla tässä kirjoja tai asiallisia lehtijuttuja (tieteellisten julkaisujen kautta popularistisiin tiede/tekniikkalehtiin kuten Tiede tai Tekniikan maailma). DSP-kirjoissa, esim. Mitra, on sovelluksia ja esimerkkejä mm. johdantoluvussa ja erillisessä sovellusten luvussa. Valitse sopivan kokoinen aihe. Referoi, älä kirjoita omia tulkintojasi. Tehtävässä 2 on omien ajatusten vuoro. Voit kirjoittaa tämän referaatin koneella. 2. Tee ajankäytön suunnitelma ja kirjaa ylös toteutuma. 3. Express each of the following sinusoidals using two exponential functions (e j... ) a) 3. cos(2π 9 t + (.7)), b).7 sin(2π. t 2.). Katso esim. [P2, P, P3]. Muista, että = e jπ. Muoto on siis A e j(bω+c) + D e j(eω+f), jossa A,...,F ovat vakioita. 4. Consider the following three sequences x i [n] with three different expressions using () δ-notation k c k δ[n k], (2) sequence {...}, where underlined number is at origo n =, and (3) a graph with stems : Referaateista, esseistä ja tenttivastauksista löytyy tietoa esim. http: // Näkökulmia esseen arviointiin löytyy mm. hoito/wwwoppimateriaali/luku4a.html ja arviointimateriaali/esseet.html. a) Compute x [n] = δ[n] + δ[n ] + δ[n 2] 2δ[n 4] x 2 [n] = {,, 2, 2, } x 3 [n] as shown in Figure x 4 [n] = x [n] + x 2 [n] + x 3 [n] x 5 [n] = 4 x [n 3] 2 x 2 [n] + 3 x 3 [n + ] x 6 [n] = x 2 [ n + 3] + x 3 [n]µ[ n + 2] Write down the solutions with all three representations. b) All sequences x i [n] are here of finite length. Let L{.} count the length of the sequence, e.g., v[n] = δ[n+2]+δ[n] δ[n ], L{v[n]} = 4. Let A{.} find the index number n of the first non-zero element from left, e.g. A{v[n]} = 2. Find the values L{x i [n]} and A{x i [n]} for all i =...6. Katso esim. [P9]. 5. Problems related to Paper # session (R2) in Spring 29.

3 T-6.3 DSP kesa S [ 5 / 2 ] T-6.3 DSP kesa S [ 6 / 2 ] Sekvenssi / sequence x 3 [n] n π/ N = 6 N 2 = 7 3 N 4 3 = Figure 2: Problem 5: (a) unit circle, angle of each sector is π/, (b) example sequences in Problem 5(c). Figure : Problem 4: Sequence x 3 [n]. [Series 2] a) Compute and draw some values of x[n] = e j(.3πn+π) = e j.3πn e jπ Make sure that you understand how to deal with exponential functions A e jω+θ. Remember to set RAD (instead of DEG ) in your calculator if needed. You can use Figure 2(a). n x[n] e j(.3π +π) e j(.3π +π) 2 e j(.3π 2+π) 3 e j(.3π 3+π) b) What is the fundamental period N of x[n] = e j(.3πn+π)? You can start by substituting n by n + N and keeping in mind that both n, N Z. You can also use Figure 2(a). x[n] = e j(.3πn+π) x[n + N] = e j(.3π(n+n)+π)... = e j(.3πn+π+ ) c) Consider periodic sequences x [n], x 2 [n], and x 3 [n], which have fundamental periods N = 6 (stars), N 2 = 7 (circles), and N 3 = 9 (crosses), respectively. See an example in Figure 2(b). What is the fundamental period N of the sum sequence x[n] = x [n] + x 2 [n] + x 3 [n]? 6. Sketch the flow (block) diagram for each of the following LTI systems in standard direct form I format. a) y[n] =.x[n].7x[n ] +.68x[n 2].7x[n 3].x[n 4] b) h[n] =.54 (.5) n µ[n].47 (.5) n 2 µ[n 2] Katso esim. [P23, P24, P2, P22, P27, P63]. Suora muoto I: Viiverekisterit alaspäin; ensin eteenpäin laskeva FIR-osa ja sitten takaisinkytketty IIR-osa. Suoran muodon esityksistä on enemmän tehtävän [P63] selitysosassa. Suoran muodon piirroksissa kertoimet ja siirtofunktion H(z):n kertoimet ovat lähes yksi yhteen. 7. Problems related to Paper #2 session (R4) in Spring 29. a) Determine convolution for two sequences found in Figure 3. b) Compute convolution of the input sequence x[n] = 2δ[n 2] + 3δ[n 3] and the impulse response h[n] = 4δ[n ] + δ[n 2]. c) Compute the product of polynomials (3x 3 + 2x 2 ) (x 2 4x). d) Can you see the connection between (b) and (c)? Kompleksinen eksponentiaalifunktio. Katso esim. [P2, P5]. Jaksollisuus. Katso [P2d]. In the end of this session you should know: (a) δ and µ notations, (b) how to compute signal period, [(c) what moving average filter does,] (d) how to read and recognize LTI systems in time-domain, and (e) to distinguish FIR and IIR filters and their properties. Figure 3: Problem 7: two sequences to be convolved in Problem 7(a).

4 T-6.3 DSP kesa S [ 7 / 2 ] T-6.3 DSP kesa S [ 8 / 2 ] Konvoluutio: esim. [P3, P3, P32]. Sinisignaalin näytteistys: esim. [P47]. In the end of this session you should know: (a) what convolution (filtering) operation is, (b) how to compute discrete-time (de)convolution, (c) that we can observe frequency components in digital signals up to half of the sampling frequency (sampling theorem). 8. (Mitra 2Ed Prob. -, p. - / 3Ed Prob. 2.65, p. 2) Determine the overall impulse response of the system of Figure 4, where the impulse responses of the component systems are: h [n] = 2δ[n] + δ[n ] δ[n 2], h 2 [n] = δ[n] δ[n 2], and h 3 [n] = δ[n + 3] + 2δ[n + 2] 2δ[n + ] δ[n]. All systems are supposed to be LTI. x[n] h h 2 h 3 y[n] Figure 4: LTI system for Problem 8. f) Derive the partial fraction expansion (if needed) and determine the impulse response h[n]. Katso esim. [P55, P53, P42]. Suotimen analysointi eteen- ja taaksepäin on välikokeiden perustehtäviä. Ensimmäisen tai toiseen asteen suotimen on laskettavissa taskulaskimella tai käsinkin (VK), etenkin kun polynomissa on helpot kertoimet. Toisen asteen ratkaisukaava annetaan kaavakokoelmassa. Suora muoto I:n piirrostapa on näkyvissä mm. Figure 32(a),(b) ja [P63].. Normalize the maximum magnitude response of the digital highpass filter (Chebyshev II) below (see also Figure 5) into unity ( db) without help of Matlab. (K.3 is the wrong answer.) H(z) = K +.597z +.452z z 3 + z z +.876z z z 4 Magnitude repsonse of 4th order Cheb II IIR 2 Katso esim. [P3-P34]. Välikokeissa ja tentissä kysytään perinteisesti dekonvoluutiota, jonka ratkaisemisessa tarvitaan konvoluutiota. Matlab #3 -harjoituksissa esimerkki konvoluution laskemisesta conv-komennolla. Signaalin suodatus on siis suotimen impulssivasteen ja sisääntulosignaalin konvoluutiota. Sovitettu suodin: [P34], alijärjestelmät: [P33], dekonvoluutio: [P32]. 9. The spectrum X(jΩ) of a real-valued analog signal x(t) contains four peaks in positive frequencies: 2 khz, 3 khz, 35 khz, and 5 khz, with values of 2, 3, 5, 7, respectively. The signal is sampled with a sampling frequency of 44 khz. Sketch the spectrum X(e jω ) of the sequence x[n] in range [...π]. Katso esim. [P43, 46, 47, 48].. Consider a second-order IIR type LTI system with the difference equation y[n] y[n ] +.6y[n 2] = x[n].8x[n 2] a) Draw the flow diagram in a standard Direct Form I format. b) Determine the transfer function H(z). c) Compute poles and zeros, and sketch a pole-zero plot. d) Sketch the magnitude response H(e jω ) using information from the pole-zero plot. e) Describe your filter: FIR/IIR, order, stable/astable, causal/non-causal, lowpass / highpass / bandpass / bandstop / allpass. db ω ( π) Figure 5: Problem : Magnitude response. Liittyen R9-laskareihin. Katso esim. [P57]. Huomaa normalisoidun kulmataajuuden ω ja z:n yhteys: z = e jω. Tällöin esimerkiksi taajuusvasteen H(e jω ) arvo taajuudella ω = on sama kuin siirtofunktio H(z) arvolla z = e j =. 2. Design a FIR filter with window method, when the cut-off frequency of the lowpass filter is at f c = 3 Hz and the sampling frequency is f T = 2 Hz. Window functions are represented in Table. a) Sketch the frequency response of the ideal H ideal (f). b) Compute the impulse response h ideal [n]. of the corresponding ideal filter. Give the values, when n = c) Compute the coefficients of the FIR filter h FIR [n] using window method and Hann window w H [n], whose length is 7 (M = 3).

5 T-6.3 DSP kesa S [ 9 / 2 ] T-6.3 DSP kesa S [ / 2 ] d) Examine the usefulness of this FIR filter, when in stopband 43,9 decibel minimum attenuation is required. Relative Mininum Length of Length of side stopband transition Window w[n], M n M main lobe lobe attenu- band ML A sl ation ω Rectangular 4π/(2M+) 3.3 db 2.9 db.92π/m Hann Hamming Blackman cos( 2πn ) 2M 8π/(2M+) 3.5 db 43.9 db 3.π/M cos( 2πn ) 2M 8π/(2M+) 42.7 db 54.5 db 3.32π/M cos( 2πn 2M ) +.8 cos(4πn 2M ) 2π/(2M+) 58. db 75.3 db 5.56π/M Table : Problem 2: Properties of window functions. Katso esim. [P7, P85a-c] sekä demo T-6.3/Laskarit/demoFIRwindowDB.m Ikkunamenetelmässä suodin h FIR [n] on aina äärettömän pitkän ideaalisen impulssivasteen h ideal [n] ja ikkunafunktion w[n] tulo. Se ei ole ikkunafunktio itsessään. 3. Consider a sequence x[n] = δ[n] 2δ[n ] + 5δ[n 2] + 3δ[n 3] + δ[n 4] + 5δ[n 5] 2δ[n 6]+δ[n 7] δ[n 8] with sampling period T s =.5 s. Sketch the upsampled sequence x L [n] with L = 3 and the downsampled sequence x M [n] with M = 4. What is the sampling frequency f T (Hz) after upsampling / downsampling? What is the length (seconds) before and after upsampling / downsampling? Katso esim. [P8] ja Matlab #6. Eräs tehtävä UP3 - DOWN5 - UP5 : Suljetun muodon ratkaisu voi olla kimurantti. Kokeile syöttää sisään tuo annettu lukujono ja katso, miten lukuja poimitaan ja miten sinne lisätään nollia. Jatkotehtävät 2. Täydennä tehtävässä kirjoittamaasi referaattia omalla pohdinnalla (essee). Omassa osuudessasi voit esimerkiksi yhdistellä muita tietämiäsi aiheita uudeksi synteesiksi tai luodata referaatin tuloksia omien kokemustesi valossa. Voit kirjoittaa tämän pohdinnan koneella. Voit halutessasi palauttaa esseen yhtenä tekstinä edellisen kohdan referaatin kanssa. Tällöin erota selkeästi oma osuutesi muiden ajatuksista (referaatti). 22. Problems related to Paper #3 session (R6) in Spring 29. a) Consider an impulse response h[n] = δ[n 4] + 2δ[n 5] 2δ[n 6] δ[n 7] It is symmetric and therefore the filter has linear phase response. Write down the frequency response in the format H(e jω ) = e jsω (A sin(v ω) + A 2 sin(v 2 ω) ) and determine coefficients S, A, V, A 2, and V 2. b) Consider a filter H(z) = +.2z.35z 2.8z.9z 2, z >.9 Sketch the pole-zero diagram, write down the difference equation, draw the flow (block) diagram, and compute three first values of h[n]. Is this filter stable / causal? (a) Note that the phase response is H(e jω ) = Sω and the group response τ(ω) = S. Hint: find the symmetry point of h[n] which is then S. Apply Euler s formula e jω e jω = 2j sin(ω). (b) Hint: After having difference equation or flow diagram just insert δ[n] = {,, } in and read what comes as output. In the end of this session you should know: (a) basics of filter analysis for FIR and IIR filters, (b) recognize linear-phase FIR filters, (c) connection between pole-zero plot and magnitude response. 23. Write down the transfer function H(z) ( siirtofunktio ), sketch the pole-zero plot and the amplitude response from that for the following filters having poles p i and zeros z i : a) p,2 =.3 ±.9j, z =, b) p,2 =.9e ±j.25π, p 3 =.9, z,2 = e ±j.25π, z 3 =. Katso mm. lineaarivaiheinen suodin: [P42], H(z):n suppenemisalue (ROC): [P56], H(z) napojen ja nollien avulla: [P54d], alijärjestelmien yhdistäminen: [P33], jaksollisuus [P2], järjestelmien ominaisuudet [P25], diskreetti Fouriermuunnos DFT [P5, P5], ympyräkonvoluutio: [P5, P52].

6 T-6.3 DSP kesa S [ / 2 ] T-6.3 DSP kesa S [ 2 / 2 ] x[n] z.5 z.5 y[n] Figure 6: Problem 24: The flow diagram of the filter. 24. Consider the flow (block) diagram in Figure 6. a) Determine transfer function H(z) (with aid of temporary variables). b) Compute the poles p i and zeros z i. Draw the pole-zero-diagram. Express H(z) in a format of H(z) = ( z z ) ( z 2 z ) ( p z ) ( p 2 z ) Simplify H(z). c) Draw a flow diagram of the simplified H(z). State if the structure is canonic with respect to delays or not. (It depends on how you draw the diagram!) d) Compute the step response s[n], that is, the response when the input is step function µ[n] (µ[n] h[n] s[n]). What is s[]? Which value s[n] converges, as n? Yet another formula: s[n] = n k= h[k]. And µ[n] /( z ). Liittyen R7-laskareihin. Katso esim. [P64] apumuuttujien käytöstä. Apusekvenssi w i [n] kannattaa sijoittaa summanoodin jälkeen. Huomaa, että IIR-suotimen siirtofunktio voidaan esittää sen napojen p n ja nollien d m avulla muodossa H(z) = G ( d z )... ( d M z ) ( p z )... ( p N z ) Jos joku d i = p j (kuten tässä tehtävässä!), niin H(z):n lauseketta voidaan luonnollisesti supistaa yksinkertaisempaan muotoon supistamalla pois sekä ylä- että alakerrasta sama termi. Liittyen R7-laskareihin. Katso esim. [P63]. Suora muoto I on esitystapa, jota käytettiin varsin säännöllisesti. välikokeen FIR- ja IIR-suotimien osalta. Suora muoto II on kanoninen viiveiden suhteen (canonical with respect to delays) eli suodinrakenteen viiverekistereiden lukumäärä on sama kuin suotimen asteluku. Matlabin filter-komento laskee suodatusta transponoitu suora muoto II -rakenteesta, kts. doc filter. Suotimen rakenteen transponoinnin vaiheet: nuolien suunnat vastakkaisiksi, summaimet haarojen solmuiksi, solmut summaimiksi, x ja y:n vaihtaminen, mahdollinen uudelleenpiirros (vasemmalta oikealle). Katso tarkemmin [P63]. Rakenteen transponoinnilla saadaan aina ekvivalentti suodin. Kaikissa suoran muodon eri esityksissä suotimen siirtofunktion kertoimet näkyvät sellaisenaan lohkokaaviossa ( IIR-puolella vastakkaismerkkisinä). 26. Consider a system depicted in Figure 7. a) What is the transfer function of the filter H(z)? b) Is the system in the figure canonic with respect to delays? c) Let there be an input x[n] =.2 n µ[n]. What is the output y[n]? x[n] z.5.4 z.6 Figure 7: Problem 26: Filter. y[n] Lisää suodinrakenteita, vaihtoehtoisia tehtäviä. Mm. toisen asteen lohkojen kaskadikytkentä (SOS, Matlab #6, luentokalvot luku 8), monivaiherakenne (polyphase, [P65]), sinigeneraattori (luentokalvot luku 8). 25. Sketch the block (flow) diagram in Direct Form I, Direct Form II, and Direct Form II t (transposed) for the causal and stable filter of order 3 H(z) =.2.z +.z 2.2z 3 +.3z +.2z 2 +.3z Sketch roughly (without Matlab) the magnitude responses of digital Butterworth, Chebyshev I and elliptic filters in range ω [...π] given the specifications below. Concentrate to show how the three types of approximations differ from each other. Filters have been designed first in continuous s-plane and then converted to z-plane via bilinear transformation. a) 5th order lowpass filter with passband [...π/3] and stopband [2π/3...π]. Maximum passband ripple 2 decibels and minimum stopband attenuation 3 db. b) 4th order bandpass filter with first stopband [...π/4], passband [3π/8...π/2], and second stopband [5π/8...π]. Maximum passband ripple 2 decibels and minimum stopband attenuation 2 db.

7 T-6.3 DSP kesa S [ 3 / 2 ] T-6.3 DSP kesa S [ 4 / 2 ] Katso esim. [P67, 68] ja Matlab #4. Digitaalisten IIR-suotimen suunnittelu perustuu vastaavien analogisten IIRsuotimen approksimaatioihin, joita ovat mm. Butterworth ja Chebychev. Ensin z-tason digitaaliset speksit (vaatimukset) muutetaan analogisiksi, joissa voidaan ottaa huomioon tulevan bilineaarimuunnoksen taajuusvääristymä (prewarping). Suodin suunnitellaan s-tasossa ja muutetaan bilineaarimuunnoksella z-tasoon. Analogiset approksimaatiot poikkeavat toisistaan erityisesti siinä, ovatko ne monotonisia vai onko niissä vaihtelua (ripple) sekä päästö- että estokaistoilla. Näin ollen samoihin vaatimuksiin ylletään eri asteluvuilla eri tapauksissa. 28. There are several ways to make specifications for a digital filter (Mitra 2Ed Sec. 7.., p. 423 / 3Ed Sec. 9.., p. 489). Two typical cases are given in Figure 8 with corresponding decibel values and frequency normalizations α p = 2 log ( δ p ) db, peak passband ripple α s = 2 log (δ s ) db, minimum stopband attenuation α max = 2 log ( /( + ǫ2 ) ) db ( = 2 log ) + ǫ 2 db, maximum passband attenuation α max = 2 log ( 2δ p ) = 2α p, if δ p as typically ω p = 2π(f p /f T ) normalized angular cut-off frequency for passband ω s = 2π(f s /f T ) normalized angular cut-off frequency for stopband A digital lowpass filter is specified by saying that it may vary in passband at most 3 decibels and its stopband must attenuate at least 2 decibels. The cut-off frequencies are ω p =.2π and ω s =.8π as in Figure 8(b). Define values δ p and δ s as shown in Figure 8(a). Remark. In Matlab Wp ω p /π, Ws ω s /π, Rp α max, and Rs α s for digital IIR filter functions butter, cheby, cheby2, ellip as in Figure 8(b). Some FIR functions define ripples as in Figure 8(a). Katso esim. [P66] ja Matlab #4. Tehtävään liittyvässä kuvassa vasemmalla on tyypillinen FIR-suotimen vaatimusmäärittely ja oikeassa kuvassa IIR-suotimen. FIR-suotimet suunnitellaan usein lineaarisella y-akselilla, jossa δ p ja δ s, kun taas IIR-suotimet useimmiten desibeleissä α max ja α s. 29. Definition of N-point discrete Fourier transform (DFT) is N X[k] = x[n]wn kn, k =,...,N n= where W N = e j2π/n. Fast Fourier transforms (FFT) were (re)invented by Cooley and Tukey in mid 96 s. They are algorithms to compute DFT efficiently using divide and conquer principle, when N is power of two. a) Show that in DFT-N there are N 2 complex multiplications and N(N ) complex additions. X[] = x[] WN + x[] WN... X[N ] = x[] W N b) Simplify O(N 2 + N(N )) x[n ] W (N) N N + x[] WN x[n ] W (N) (N) N c) Radix-2 DIT FFT-N uses (N/2) log 2 N complex multiplications and N log 2 N complex additions. There is a flow graph of the algorithm in Figure 9 with N = 4. Compute, how many multiplications and additions there should be, and show them in the diagram. d) Compute the number of arithmetic operations (using O terms) for DFT using (i) definition and (ii) FFT, when N = 2 2 = 4 and N = 2 = 24. Ψ [] Ψ [] 2 Ψ [] 3 Ψ [] W 2 Ψ [] 2 Ψ [] 3 Ψ [2] Ψ [2] 2 W 4 Ψ [2] 3 Ψ [3] W 2 Ψ [3] 2 W 4 Ψ [3] 3 Figure 9: Problem 29: Flow-graph of the radix-2 DIT FFT algorithm with modified butterfly module. Figure 8: Problem 28: (a) Typical magnitude specifications for a digital FIR lowpass filter, and (b) normalized magnitude specifications for a digital IIR lowpass filter (Mitra 2Ed Fig. 7.,7.2, p. 424,425 / 3Ed Fig. 9., p. 49). In passband α max = 2 log (/ + ǫ 2 ) 2α p and maximum stopband magnitude is δ s = /A. Liittyen R-laskareihin. Katso esim. [P73,74]. Tässä ei tarvitse vielä paneutua tuohon radix-2 DIT FFT -algoritmiin. Sen laskennan voi siis pukea tuollaiseen graafiseen asuun.

8 T-6.3 DSP kesa S [ 5 / 2 ] T-6.3 DSP kesa S [ 6 / 2 ] Vaativammat tehtävät HUOM! Esseetehtävissä tehdään turhia viittauksia välikokeisiin 29. Jätä huomioimatta. 3. Yhdistettynä ajankäytön suunnitelmaan ja toteutumaan (tehtävä 2) kirjoita essee, jossa arvioit omaa suoritustasi ja oppimistasi sekä aiheen sitomista omiin opintoihisi tai työtehtäviisi. 32. Lataa välikoepaperi VKB.3.27 kurssin kotisivuilta (Vanhoja tenttejä) tai suoraan pdf. Perustele väittämistä.5,.8,.,.2 miksi kukin väittämä on oikein. Voit myös miettiä, miksi vääriksi merkatut vaihtoehdot ovat väärin. Voit verrata omia vastauksia annettuihin oikeisiin (ja mahdollisiin selityksiin) katsomalla tenttisivun alaosan linkkejä Joitakin vastauksia. Jos olet eri mieltä joistain kohdista, kysy! 33. Lataa välikoepaperi VKB.3.28 kurssin kotisivuilta (Vanhoja tenttejä) tai suoraan pdf. Perustele väittämistä.3,.5,.9,. miksi kukin väittämä on oikein. Voit myös miettiä, miksi vääriksi merkatut vaihtoehdot ovat väärin. Voit verrata omia vastauksia annettuihin oikeisiin (ja mahdollisiin selityksiin) katsomalla tenttisivun alaosan linkkejä Joitakin vastauksia. Jos olet eri mieltä joistain kohdista, kysy! 34. Tutustu toisen välikokeen alueen tyypillisiin monivalintatehtäviin. Toukokuussa 29 välikokeessa on 2 monivalintaa, joista saa 2 pistettä (+,,.5). Lisäksi välikokeessa on yksi essee, jonka arvo on 6 pistettä. Lataa välikoepaperi VK2A ma kurssin kotisivuilta (Vanhoja tenttejä) tai suoraan pdf. Valitse seuraavista väittämistä.,.3,.4,.5,.7 vähintään kolme ja perustele, miksi kukin väittämä on oikein tai väärin. Voit verrata omia vastauksia annettuihin oikeisiin (ja mahdollisiin selityksiin), katso tenttisivun ylälaita joitakin vastauksia tai suoraan http: // part4.txt. Kirjoita WWW-palautuslomakkeelle kysymykset, joiden annetuista oikeista vastauksista olet eri mieltä tai jotka jäivät muuten ratkaisematta. 35. Tämän kurssin alkupuoliskolla on tutkittu pääosin syötteitä x[n], niitä muokkaavia digitaalisia LTI-järjestelmiä h[n] ja vasteita y[n]. Näitä voidaan käsitellä sekä aika- että taajuustasossa. Skeema on piirretty kuvassa. Hahmottele esseen runko aiheesta signaalien suodattaminen digitaalisilla LTI-suotimilla. Katso ohjeet sivulta?? otsikon alta Välikoe VK Tämän kurssin alkupuoliskolla on analysoitu digitaalisia signaaleja ja lineaarisia ja aikainvariantteja (LTI) suotimia. Suodinanalyysissä LTI-suodinta on tarkasteltu niin aika- kuin taajuustasossa kuvan mukaisesti. Kurssin toisella puolella syntetisoidaan suotimia eli lasketaan H(z):n kertoimet, kun annettuna on vaatimukset esimerkiksi taajuuskaistojen vaimennusten suhteen. TIME DOMAIN FREQUENCY DOMAIN x[n] y[n] = h[n] * x[n] FOURIER FOURIER FOURIER X(z) h[n] H(z) Y(z) =. H(z) X(z) Figure : Tehtävä 35: Yleinen kuva suodattamisesta aika- ja taajuusalueessa. y[n] = x[n] +... H LTI h[n] jω H(e ) H(z) Figure : Tehtävä 36: Yleinen kuva LTI-suodinanalyysistä. Samaa LTI-suodinta voidaan tarkkailla ja analysoida aika- ja taajuustasossa monilla eri tavoilla. Hahmottele esseen runko aiheesta digitaalisen LTI-suotimen analysointi. Katso ohjeet sivulta?? otsikon alta Välikoe VK Tämän kurssin loppupuolella on esitetty menetelmiä suotimien suunnitteluun ja toteutuksen teoreettisiin kysymyksiin. Suotimelle annetaan vaatimukset ( specifications ), esimerkiksi vaimentaa 33 Hz:n alle jääviä signaalikomponentteja 4 desibelin verran, mistä tietokoneohjelma laskee suotimen H(z) kertoimet. IIR-suotimien osalta tarkasteltiin erityisesti tapaa, jossa speksit ensin muokataan vastaavalle analogiselle suotimelle H(s) ja tämä käsitellään bilineaarimuunnoksella H(z):ksi. FIR-suotimien osalta esiteltiin ikkunamenetelmä, jossa ideaalinen, äärettömän pitkä h[n] katkaistaan äärellisen pituiseksi. IIR- ja FIR-suotimia on laskettu Matlab-ohjelmistolla. Suodinsuunnittelun lisäksi tarkasteltiin laskentaan liittyviä algoritmeja sekä erilaisia suodinrakenteita, jotka ideaalissa tapauksessa toimivat yhtäläisesti, mutta kun esitystarkkuutta rajataan (reaalimaailma), syntyy eroavaisuuksia. Kurssin lopussa tutustuttiin monen

9 T-6.3 DSP kesa S [ 7 / 2 ] T-6.3 DSP kesa S [ 8 / 2 ] näytteenottotaajuuden järjestelmiin ( multirate ). Toiseen välikokeeseen tulee 2 monivalintatehtävän lisäksi kaksi esseeaihetta, joista toiseen vastataan. Aiheet ovat: Automaattinen puheentunnistus. Tehokkaat laskenta-algoritmit diskreetin Fourier-muunnoksen (DFT) laskemiseen. Laske jonon x[n] = {2,,, 9} DFT jollain FFT-algoritmilla. Varmista, että X[k] = X[k + N], X[k] = X[ k], X[k] = X[ k], ja tässä tapauksessa fft([2 9]) tuottama X[k]{,...}. Tällä kurssilla on ollut mahdollisuus antaa äänensä tieteelle puheentunnistusjärjestelmän kehitystä varten. Mikko Kurimo pitää maanantaina luennon automaattisesta puheentunnistuksesta. Esseetä voi luonnostella tämän luennon ja itse etsityn materiaalin pohjalta. Nopeat DFT-algoritmit (Fast Fourier Transform, FFT) löivät itsensä läpi 96-luvulla, mikä mahdollisti signaalinkäsittelyn tehokkaan laskennan. Esimerkkijono {2,,, 9} vaihtuu välikokeessa johonkin toiseen neljä merkkiä pitkään jonoon. Hahmottele esseen runko jommasta kummasta aiheesta. Katso ohjeet sivulta?? otsikon alta Välikoe VK Let us examine now the case in Figure 2. There is a pure cosine sequence x[n] with fundamental period N = 4 as input. It is filtered with an LTI filter, which is given by a pole-zero plot. Zeros are at d =.5 and d 2 = = 2, whereas all poles are in the.5 origin. Note that one cannot see amplification G in pole-zero plot. Output sequence is given in rightmost figure; the amplitude of the cosine has remained unchanged..5.5 Syote x[n] / Input x[n] aika/time (s) Imaginary Part.5.5 Napanollakuvio / Pole zero plot Real Part Vaste y[n] / Output y[n] aika/time (s) Figure 2: Problem 38: Part of sequence x[n], pole-zero plot of the filter, and part of output y[n] ( steady-state response ). Analyse and classify both signals and systems in time- and frequency domain using methods taught in this course. Show all necessary steps. Write down a few sentences where you describe what you have found out. Visualize with some figures. Katso mm. MA-N suotimen rekursiivinen toteutus: keksi itse tai katso linkki tehtävästä [P2]. Alijärjestelmien yhdistäminen, esim [P33, P6], suotimen skaalaus ykköseksi [P57], lineaarivaiheiset suotimet [P42]. Overlap-add method Mitran kirjasta ja/tai luentokalvoista tai netistä. Menetelmä vastaa käytännön ongelmaan, jossa (äärettömän) pitkää syötesekvenssiä konvoloidaan pienissä paloissa ( buffer ) kerrallaan. 39. Find at least five (N) receipts that contain at least items of every-day shopping. You can ask cash keeper for abandoned receipts for scientific purposes. N repetations simulate here a sample from a population. a) Sum the prices of first items of a receipt together. Repeat for each N receipt. You have now N values {S,...,S N } of accuracy cent. b) Round the prices of first items of a receipt to the nearest euro and then sum them up. Repeat for each N receipt. You have now another N values {R,...,R N } of accuracy euro. c) Sum the prices of first items of a receipt together and after that round it to the nearest euro. Repeat for each N receipt. You have now another N values {T,...,T N } of accuracy euro. d) Compute errors between accurate values against (b) and (c), that is, E roundfirst,i = R i S i and E roundintheend,i = T i S i. How do the errors E roundfirst and E roundintheend vary? What can you say about mean and variance? e) Repeat the same (b)-(d), but now truncate the prices down to the nearest euro. Truncate and sum U i, sum and truncate V i, errors E chopfirst,i = U i S i, E chopintheend,i = V i S i. Compare to some theoretic results, see [Px]. In rounding the expectation of both cases (b) and (c) result to the same value. However, now when computing with a sample averages most probably differ a bit. In rounding the variance of (c) is larger than (b). With five samples it is likely that the variance is larger. If students are computing the same problem, there can be some students who don t agree this. Remember statistics! In chopping the expectation of (d) is biased each time. See, e.g., kvg.fi Vancouver Stock 982. It is very likely that the differ. In chopping the variance of (e) is again most probably larger than (d). Katso esim. [P78]. Huomaa siis yhteys tehtävään [P78]. Tässä tehtävässä voi siis ajatella desimaalilukuja. Huomaa, että bittitasolla esim. katkaisussa jäljelle jäävän virheen arvot riippuvat myös käytetystä numeroesityksestä ([P76]). kvg.fi Vancouver Stock Exchange A digital first-order Butterworth lowpass filter with cut-off frequency f c = Hz and the sampling frequency f T = Hz has been computed: H(z) = z.595z A lowpass filter H(z) can be transformed to a highpass filter H(ẑ) by a spectral transformation H(ẑ) = H(z) z =f(ẑ) where f(ẑ) is given below. Apply spectral transformation (LP to HP) and convert H(z) above to a highpass filter with cut-off frequency at ˆf c = 3 Hz using (Mitra 2Ed Sec. 7.5 / 3Ed Sec. 9.5) and

10 T-6.3 DSP kesa S [ 9 / 2 ] T-6.3 DSP kesa S [ 2 / 2 ] (Mitra 2Ed Table 7. / 3Ed Table 9.): z = f(ẑ) = (ẑ + α)/( + αẑ ), where α = cos(.5(ω c + ˆω c ))/ cos(.5(ω c ˆω c )) and ˆω c is desired cut-off Katso esim. [P68]. Impulssi-invarianttimuunnoksessa H(jΩ) kopioituu f T :n välein kun taas bilineaarimuunnoksessa H(jΩ) pakotetaan välille f T /2..f T /2. 3. Use radix-2 DIT FFT algorithm with modified butterfly computational module and sketch the flow-graph of the computation to show how discrete Fourier transform (N = 8) of the sequence x[n] = {, 2, 3,, 2,, 3, 2} is computed. Compute values X[], X[3], X[4], X[5]. Liittyen R-laskareihin. Katso esim. [P74, 73]. Tämä tietty FFT-algoritmi olkoon esimerkkinä diskreetin Fourier-muunnoksen symmetrian hyödyntämisestä. Huomaa siis, että kuvissa 39 ja 4 (esimerkkimateriaali) vasemmassa laidassa ovat syötteet bittikäänteisessä järjestyksessä. Koeta saada kiinni, miten rakenne kasvaa, kun N = 6, 32, 64, Consider a causal lowpass filter H(z), whose passband ends at 4 khz, stopband starts from 5 khz and the sampling frequency is 2 khz. The amplitude response is in Figure 3(a) and the start of the impulse response h[n] in Figure 3(b). Modify the filter so that it can handle DAT-recordings with the sampling frequency of 48 khz..4.2 H(z).6.4 h[n] Joitakin vastauksia tehtäviin / Some solutions 5) (a) Start from point (-,), because x[] = e j(+π) = e jπ =. Then x[] = e j(3π/+π), three π/ segments clockwise on unit circle. Then x[2] = e j(6π/+π), three more π/ segments clockwise, etc. Note that x[n] is always at the unit circle, e j(.3πn+π = cos(.3πn + π) + j sin(.3πn + π) = (cos(.3πn + π)) 2 + (sin(.3πn + π)) 2. (b) N = 2. (c) N = 26. 7) (a) See figure below. (b) y[n] = {,,, 8,, 3}. (c) 3x 5 x 4 8x 3. (d) Aδ[n k] Ax k Az k where x z in z-transform. (e) 2 Hz. ) Two variants of the problems: maximum either at ω = π or ω = π/2. Similarly, z = e jω : z = or z = j. Then compute maximum value H max (z = z max ) and finally the scaling factor K = / H max (z = z max ). 22) (a) S = 5.5, A = 2j, V =.5,... (b) Zeros (circles): +.2z.35z 2 =, multiply both sides by z 2, z 2 +.2z.35 =, z =.7, z 2 =. Poles (crosses): z 2.8z.9 =, p =.9, p 2 =. Difference equation y[n] =.8y[n ] x[n] +.2x[n ].35x[n 2], similarly, h[n] =.8h[n ] δ[n] +.2δ[n ].35δ[n 2]. Then, h[n] = {,,...} All poles inside the unit circle, or even more formally, unit circle and infinity belong to the region of convergence, stable and causal. amplitude frequency (Hz) amplitude samples (n) Figure 3: Problem 32: (a) H(e jω ), (b) h[n]. 24) Difference equations using temporary variables after each summing unit: v[n] = x[n] + w[n], w[n] =.5v[n ] +.5v[n 2], y[n] =... Compute z-transforms: V (z) = X(z).5z V (z) +.., Y (z) =... Get rid on V (z). There s a pole and a zero at z =, ( + z )/( + z ) =. Step response s[] =.5. 29) DFT: O(N 2 ) and FFT: O(N log 2 N). a) Increase the sampling frequency with the factor L = 4. Draw the amplitude spectrum of the upsampled filtern H(z 4 ) in range...24 khz and the first ten values of the impulse response h[n/4]. b) What has to be done so that the filter H(z 4 ) works as a lowpass filter with the original cut-off frequencies? Katso esim. [P8, 84, 85] ja Matlab #6.