Yleistä. Näillä tehtävillä ja toukokuisella ryhmäosuudella voi korvata toukokuussa järjestettävän perinteisen. Arvosana

Transkriptio

1 T-6.35 DSP R [ 2 / 34 ] տ nido paperit lopuksi yhteen vasemmasta yläkulmasta Yleistä palautus: , 8.4.2,.5.2, 5377R T-6.35 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus Näillä tehtävillä voi korvata kurssin tenttisuorituksen. Ympyröi palautuspäivämäärä yllä. Hyväksyttyyn suoritukseen vaaditaan vielä myös harjoitustyö. IF you are NON-FINNISH ignore this paper and contact the course assistant by . Opiskelijanumero: Nimi: Sähköposti: Allekirjoitus: Itse ilmoittamani pistemäärä tässä palautuksessa : Tämänhetkinen arvosanatoive : Mahd. yhteistyö: WWW-sivu: Ohjeet 5377R tulosta tämä kansilehti erillisenä ja A4-kokoisena Tentti_K2/5377R_gN49BqA.shtml käytä A4-ruutupaperia (jos konsepti, niin leikkaa irti erillisiksi A4:iksi) käsin käyttäen selkeää ja tarpeeksi isoa käsialaa; aloita jokainen uusi tehtävä uudelta sivulta; vähintään opiskelijanumero jokaisen paperin oikeaan ylälaitaan; jätä ulkomarginaaliin tilaa täytä tämä A4-kokoinen kansilehti ja nido paperit lopuksi tehtäväjärjestykseen Kirjoita mukaan selkeät välivaiheet kuten tenttivastauksessa: pelkkä lopputulos ei riitä. palauta kaikki paperit yhdellä kertaa kutakin palautuspäivämäärää kohti T-talon 3. kerroksen kurssin metalliseen palautuslaatikkoon palautus henkilökohtainen, mutta tehtäviä suositellaan tehtäväksi niin ryhmässä kuin yksinkin; suora kopiointi ja tehtävien jättäminen julkisesti muiden nähtäviksi toki kielletty, kts. esim. vilppitapausohjeet/ vinkkiä luentokalvoista, jaetusta esimerkkimateriaalista ja kirjasta. Voit kysyä mahdollista vinkkiä mm. laskuharjoituksissa kurssin sähköpostiosoite on t635@ics.tkk.fi Kurssin Noppa-sivut ovat Kurssi suoritetaan tentillä ja harjoitustyöllä. Tenttisuorituksen voi halutessaan korvata näillä tehtävillä, joihin kuuluu myös pieni suullinen ryhmäosuus toukokuussa 2. Tehtävät on jaettu kolmeen eri luokkaan -, 2- ja 3-tehtäviin. Lisäksi osilla tehtävistä on tietty palautuspäivämäärä. Arvosanan määräytyminen Näillä tehtävillä ja toukokuisella ryhmäosuudella voi korvata toukokuussa järjestettävän perinteisen tentin. Hyväksyttyyn suoritukseen pitää tehdä kaikki -sarjan tehtävät. Arvosana määräytyy laskettujen ja tehtyjen tehtävien määrän ja laadun mukaan. Ei-laadukasta työtä on mm. virheelliset tai vaillinaiset tehtävien vastaukset, määräajoista myöhästyminen tai liiallinen ohjaukseen turvautuminen. Kurssin alussa tulee itse määritellä oma arvosanatoive. Tätä voi muuttaa kurssin mukana. Toukokuun ryhmätilaisuudessa arvioidaan toiveen ja toteutuneen työn suhde. Seuraavassa taulukossa on suunnittaiset kuvaukset arvosanoista ja alustavat pisterajat arvosanoihin. Tehtävät-sarake on kumuloituva. Arvosana Kuvaus Tehtävät Alustava pisteraja ei saavuteta vähimmäisvaatimuksia ei kaikkia -sarjan tehtäviä vaaditulla tavalla korjaus- vähimmäisvaatimukset kierroksella täydentävät tehtävät palautettu kahden viikon kuluessa ryh- mäosuudesta kaikki -sarjan tehtävät kurssin vähimmäisvaatimukset: LTI-järjestelmän ja digitaalisten signaalien aika-taajuusanalyysi, Matlabin peruskäyttö DSPtehtävissä 2 vähimmäisvaatimukset laadukkaastsesti laadukas -sarja, mahdolli- 8 p myös 2-sarjan tehtäviä 3 perustaso: kurssin osaamistavoitteet laadukas 2-sarja 22 p hyvällä tasolla 4 omaa panosta mukana myös 3-sarjan tehtäviä 38 p 5 erinomainen suoritus laadukkaita 3-sarjan tehtävien 54 p suorituksia Tehtävät on jaettu kolmeen kategoriaan opiskelijan suunnitteleman arvosanan mukaisesti. Ratkaise pelkät perustehtävät, jos tähtäät arvosanoihin 2. Tämän lisäksi tee jatkotehtävät, jos tähtäät arvosanoihin 2 3. Tee myös vaativammat tehtävät, jos tähtäät arvosanoihin 3 5. Voit tehdä myös tehtäviä eri kategorioista, mutta ainakin kaikki perustehtävät.

2 T-6.35 DSP R [ 3 / 34 ] T-6.35 DSP R [ 4 / 34 ] Tehtävien palauttaminen Tulosta ja täytä kansilehti jokaisen palautuksen alkuun. Kansilehden saat samalta WWWsivulta kuin nämä tehtävät. Merkintä [Txx] tai [Pxx] viittaa kevään 2 esimerkkitehtävämateriaalin tehtävään xx. Se on saatavilla Nopasta kohdasta Muu materiaali. Tehtävänannon jälkeen on vinkkilaatikko. Joihinkin tehtävistä on lopputulos tämän nipun lopussa. Voit kysyä tehtävistä (pää)assarilta laskuharjoitusten jälkeen tai vastaanottotilaisuuksissa ( DSP for dummies ). Joitain vinkkejä voi saada myös kevään 29 tehtävistä ja niiden ratkaisuista Palautuspäivämääriä on kolme: Palautus I: ma klo 2.. Tehtävät merkitty: (DL ) Mitoitus Kontaktiopetus: luennot ja paperiharjoitukset, noin <2 op. Näitä tukevat oma valmistautuminen, laskuharjoitukset, noin 2 op. Harjoitustyö ja sitä tukevat Matlab-harjoitukset noin op. Portfoliotyöskentely Voit kerätä kurssin tuotoksista myös portfolion osoittamaan asiantuntijuuttasi. Portfoliotyöskentelyyn liittyy olennaisesti materiaalin valitseminen ja reflektointi. Muutama linkki portfoliotyöskentelyyn fi/portfoliotyoskentely/ ja portfolioy/. Oppijana ja opiskelijana kehittymiseen keskittyy myös yleisemmin Teekkarin ohjauspakki osoitteessa Palautus II: ma klo 2.. Tehtävät merkitty: (DL 8.4.2) Palautus III: ryhmäosuuteen toukokuussa. Loput tehtävät merkitty: (DL 5.2) Voit palauttaa tehtäviä jo aiemmissa palautuksissa kuin mikä niiden lopullinen palautuspäivä on. Tehtäviä on paljon tee tehtäviä jo hyvissä ajoin ennen palautuspäivämäärää, etenkin jos tähtäät korkeampiin arvosanoihin. Jos ryhmäosuudessa havaitaan olevan rakoa arvosanatoiveeseen, niin opiskelijalla on kaksi viikkoa aikaa täydentää tehtäviään. Palautteen saaminen lasketuista tehtävistä Kaikkia tehtäviä ei tulla tarkastamaan. Siten myöskään yksityiskohtaista palautetta ei voida antaa. Jos pohdit, onko tehtävä laskettu oikein, niin kysy vieruskaverilta tai yritä kokeilla Matlabilla tai Octavella (jos selkeä laskutehtävä). Kysy tehtävistä assistentilta laskareissa tai isommissa vastaanottotilaisuuksissa. Suullinen ryhmäosuus toukokuussa 2 Suullisen ryhmäosuuden (n. 8 opiskelijaa) tarkoituksena on auttaa korjaamaan havaittuja teknisiä tai loogisia virheitä. Lisäksi se mahdollistaa vapaan keskustelun ja palautteen antamisen. Kuulustelussa varmistetaan, että opiskelija on itse tehnyt tehtävänsä. Kuulustelussa päästään yksimielisyyteen kurssin arvosanasta. Mahdolliset tarvittavat lisätehtävät opiskelijan toivomaan arvosanaan nähden jaetaan tilaisuuden päätteeksi. Aluksi selaa kaikki nämä tehtävät, hae materiaalia (kirja / luentokalvot, Internetin DSP-kirjat, laskuharjoitukset ja niiden vastaukset) opiskelua varten, pohdi mihin arvosanaan tähtäät omalla aikataulullasi (vähän/paljon aikaa, vähän/paljon orastavaa mielenkiintoa, esitietosi,..). Aloita tehtävästä. Tee suunnitelma! muista, että kurssiin kuuluu pakollinen harjoitustyö. Jos sinulla ei ole Matlabia, niin lataa Octave ja sen lisäpaketit, joiden avulla voit ajaa vastaavat Matlabin koodit (luultavasti lähes kaikki kurssin materiaali menee läpi). Ne voi ladata ilmaiseksi (Windows) ja löytynevät suoraan Linuxeista. Asennuksessa (Windows) ota myös Octave-Forge-paketit (tai ainakin signal ja image). Voit tarkistaa monia laskuja näppärästi Matlabilla/Octavella, esim. conv([ 2 3],[ 3 2]), freqz([ ],), ja fft([3 5]. lisäksi erityisesti harjoitustyön äänenkäsittelyä varten voi ladata joko Audacityn audacity.sourceforge.net/ tai/ja WaveSurferin tulosta myös saman tien kurssin taulukkomoniste Nopasta tai suoraan hut.fi/opinnot/t-6.35/laskarit/taulukko_tiiviskooste.pdf. Tutustu DSP-kirjallisuuteen. Tällä kurssilla on jaossa Nopassa kurssien luentokalvot, jotka pohjautuvat Sanjit K. Mitran DSP-kirjaan. Netissä on paljon DSP-kirjoja ja -sivustoja, mukaanlukien Heikki Huttusen mainiot suomenkieliset DSP-kirjat. Katso linkkejä Nopan kurssiesitteestä. Tilaisuudet järjestetään toukokuussa. Ilmoittautuminen WebOodissa. Kesto on 2 tuntia.

3 T-6.35 DSP R [ 5 / 34 ] T-6.35 DSP R [ 6 / 34 ] Referaatin ja esseen kirjoittamisesta Avoimen tenttiesseen pisteytys on aina subjektiivista, mutta pohjautuu yleisiin arviointikriteereihin. Hyvän esseen tunnusmerkkejä ovat mm. esseen jämäkkä rakenne (alku, asia, loppu), havainnollisuus (esimerkit, selitetyt kuvaajat) ja luotettavuus. Lukija otetaan huomioon selittämällä riittävästi käytettävä terminologia. Kieliasu tulee olla huoliteltu eli kirjoitetaan kokonaisia lauseita ja virkkeitä. Omat väitteet perustellaan tai nille osoitetaan lähde (tenttivastauksessa tarkkaa lähdeluetteloa ei tarvitse muistaa). Esseen positiivinen omaperäisyys lisää pisteitä. On ansiokasta etsiä sopivia esimerkkejä tai taustatietoa useasta eri lähteestä. Hyvässä esseessä pohditaan aiheen vaikutusta omiin ajatuksiin ja toimintaan. Tentti- tai harjoitustyövastaus on itsenäinen kokonaisuus. Lukijan on saatava ymmärtää, mitä työssä esitetään ilman että tietää tehtävänannon. Sen voi toki jollain tavalla tekstin alussa tuoda julki. Tyypillisiä pisteitä vähentäviä seikkoja ovat väärät tai puutteelliset tiedot tai ajatusketjut, sutaistut kuvaajat ilman selityksiä, jaarittelu, annetun aineiston turha kopiointi (esim. välikokeessa annettavan kaavakokoelma uudelleenkirjoittaminen vastaukseksi). Omaan käsialaan ei näin lyhyellä varoitusajalla voi vaikuttaa, mutta vastauksen luettavuutta parantaa reilun marginaalin jättäminen ja konseptipaperin viivoituksen hyväksikäyttäminen. Suosittelen myös omaa raikasta näkökulmaa, jotta se erottuisi massasta. Mieti, kuorrutatko tarvittavan teorian jollain sovelluksella, softa/rautatoteutuksella, yhteydellä kaupallisiin tuotteisiin, innovoimalla uutta... Toistan omia perusesimerkkejäni lähes joka laskarissa, toisin sanoen, kymmeniä kertoja tämän alkukevään aikana kenties olisin iloinen lukiessani jostain muusta esimerkistä?! Tietokoneohjelma käsitekarttojen piirtämiseen FreeMind, kts. sourceforge.net/ Referaateista, esseistä ja tenttivastauksista löytyy tietoa esim. helsinki.fi/oppimateriaalit/kirjoita/opiskelija.htm. Näkökulmia esseen arviointiin löytyy mm. hoito/wwwoppimateriaali/luku4a.html ja arviointimateriaali/esseet.html. Tehtävät Perustehtävät, sarja S. (DL 5.2) Tee ajankäytön suunnitelma (alussa), varaa aikaa kalenteristasi kurssin tekemiseen ja kirjaa ylös toteutuma (ainakin palautusten yhteydessä). 2. (DL 3.2) Dosentti Mikko Kurimon tutkimusryhmä suunnittelee ja tutkii maailman parhaita suomen kielen puhetunnistimia. Osallistu Maarintalolla noin puolen tunnin tilaisuuteen maaliskuussa 2, jossa lausut noin 25 englanninkielistä lausetta. Istunnon lopuksi saat testilauseen visualisoinnin ja kohdistuksen, joka tulee liittää tämän kohdan vastaukseksi. Lisätietoja ja ilmoittautumisohjeet tulevat Noppaan. Mikko Kurimon luento puheentunnistuksesta on ma klo -2 salissa C. 3. ( 8 p, DL 5.2) Osallistu ryhmäosuuteen toukokuussa 2. Lisätietoja myöhemmin Nopassa. Maksimipistemäärä on merkitty mahdolliseen korotukseen (DL 8.4.2) Kirjoita referaatti jostain digitaalisen signaalinkäsittely sovelluksesta tai ilmiöstä. Referaatin pituus tulee olla 5 5 sanaa (noin puoli puolitoista sivua). Voit kirjoittaa tämän referaatin koneella. Liitä palautukseen mukaan lähdeluettelo ja mahdollisuuksien mukaan myös itse lähdeteksti. Lähteet voivat olla tässä kirjoja tai asiallisia lehtijuttuja (tieteellisten julkaisujen kautta popularistisiin jolloin kirjoittajana toimittaja tai harrastelija tiede/tekniikkalehtiin kuten Tiede tai Tekniikan maailma). DSP-kirjoissa, esim. Mitra tai Internetistä löytyvät DSP-kirjat, on sovelluksia ja esimerkkejä mm. johdantoluvussa ja erillisessä sovellusten luvussa. Valitse sopivan kokoinen aihe. Referoi eli älä kirjoita omia tulkintojasi. Tehtävässä 2 on omien ajatusten vuoro eli referaatin jatkaminen esseeksi. Esimerkkejä aiheista: (a) DTMF-signaalit ja niiden tunnistaminen; (b) Audacity-ohjelman audioefekti(t), yksi tai useampi efekti, sen teoreettinen tausta (Mitran kirjassa useita); (c) signaalin pakkaaminen, esim. kuva (JPG) tai ääni (MP3); (d) signaalinkäsittely lasten leikkikaluissa, esim. Legot http: //mindstorms.lego.com/ tai hamsterin anatomia com/index.php?/blog/post/robotic_pet_teardown/; YouTube kertoo, mikä on Zhu-Zhu-Pets, ellei sinulla ole omia lapsia; (e) helppo aihevalinta: puheentunnistus (luento ma ja luentokalvomateriaali; (f) DSP-prosessorit / ARM-prosessorit (Millenium 2 -palkintoehdokas) / mikrokontrollerit; (g) lääketieteelliset signaalit (ECG, EGG); (h) kaiunpoisto; (DL ) Express each of the following sinusoidals using two exponential functions (e j... ) a).4 cos(2π 35 t + (3.)), b) 5. sin(2π.4 t 2.). Katso esim. [P2, P, P3]. Muista, että = e jπ. Muoto on siis A e j(bω+c) + D e j(eω+f), jossa A,...,F ovat vakioita.

4 T-6.35 DSP R [ 7 / 34 ] T-6.35 DSP R [ 8 / 34 ] 6. (DL ) Consider the following three complex numbers z z 2 z 3 = + 2j = 2e j2.5π = 3e j.25π a) Draw the vectors z, z 2, and z 3 separately in complex plane. b) Draw and compute the sum z + z 2 + z 3. c) Draw and compute the weighted sum z 2z 2 + 3z 3. d) Draw and compute the product z z 2 z 3. e) Compute and reduce the division z /z 2 = a + bj, i.e., find a and b. π/ Erilaisia tehtäviä, pääosin [P-3]. Kompleksiarvoinen funktio H(ω): [P4]. Kompleksiluvut: [P3]. Juuret: esim. [P8, P55c]. Suotimen siirtofunktiosta H(z) = B(z)/A(z) saadaan siis selville nollat ja navat eli kyseisten polynomien juuret. Huomaa, että x = ±j ei ole oikea vastaus, koska esimerkiksi ((±j) 4 ) 52 =. Osamurtokehitelmä. Katso esim. [P, P53c, P55f, P56]. Eli toisen asteen IIR-suotimen H(z) pitää hajottaa kahdeksi ensimmäisen asteen H i (z):ksi, jotta päästään käänteismuuntamaan. 7. (DL ) a) Compute and draw some values of x[n] = e j(.3πn+π) = e j(.3πn π) = e j(.3πn) e j( π) Make sure that you understand how to deal with exponential functions A e jω+θ. Here A = (unit circle with radius r = ). Remember to set RAD (instead of DEG ) in your calculator if needed. Draw sample values also in Figure (no need to return this figure). So, sometimes it is more useful to use rectangular coordinates (x, y) and sometimes polar coordinates (r, θ). n x[n] e j(.3π +π) e j(.3π +π) 2 e j(.3π 2+π) 3 e j(.3π 3+π) b) What is the fundamental period N of x[n] = e j(.3πn+π)? You can start by substituting n by n + N and keeping in mind that both n, N Z. You can also use Figure. x[n] = e j(.3πn+π) x[n + N] = e j(.3π(n+n)+π)... = e j(.3πn+π+ ) Figure : Problem 7: (a) unit circle, angle of each sector is π/. 8. (DL ) Consider the following three sequences x i [n] with three different expressions using () δ-notation k c k δ[n k], (2) sequence {...}, where underlined number is at origo n =, and (3) a graph with stems : a) Compute x [n] = δ[n] 2δ[n ] δ[n 2] δ[n 3] δ[n 4] x 2 [n] = {,,, 4,, 2} x 3 [n] as shown in Figure 2 x 4 [n] = x [n] + x 2 [n] + x 3 [n] x 5 [n] = 4 x [n ] 2 x 2 [n] + 5 x 3 [n + 2] x 6 [n] = x 2 [ n + 3] + x 3 [n]µ[ n + 4] Write down the solutions by listing values (notation (2)). b) All sequences x i [n] are here of finite length. Let L{.} count the length of the sequence, e.g., v[n] = δ[n+2]+δ[n] δ[n ], L{v[n]} = 4. Let A{.} find the index number n of the first non-zero element from left, e.g. A{v[n]} = 2. Find the values L{x i [n]} and A{x i [n]} for all i =...6. Katso esim. [P9]. 9. (DL ) Sketch the flow (block) diagram for each of the following LTI systems in standard direct form I format. a) y[n] =.4x[n] +.92x[n ].4x[n 2] b) h[n] =.97.5 n µ[n] n µ[n ] n 2 µ[n 2] Kompleksinen eksponentiaalifunktio. Katso esim. [P2, P5]. Jaksollisuus. Katso [P2].

5 T-6.35 DSP R [ 9 / 34 ] T-6.35 DSP R [ / 34 ] Sekvenssi / sequence x 3 [n] n Figure 3: Problem (a): two sequences to be convolved. Figure 2: Problem 8: Sequence x 3 [n]. [Series 39] Katso esim. [P23, P24, P2, P22, P27, P63] tai esimerkki tämän tehtävänipun tehtävän 22 kuvasta. Suora muoto I: Viiverekisterit alaspäin; ensin eteenpäin laskeva FIR-osa ja sitten takaisinkytketty IIR-osa. Suoran muodon esityksistä on enemmän tehtävän [P63] selitysosassa. Suoran muodon piirroksissa kertoimet ja siirtofunktion H(z):n kertoimet ovat lähes yksi yhteen. Huomaa, että jos impulssivaste h[n] esitetään rekursiivisesti sen edellisten arvojen h[n k] avulla, niin kyseessä on takaisinkytkentä. Voit kokeilla vaihtaa suoraviivaisesti y h ja x δ.. (DL ) Convolution y[n] = h[n] x[n] = k= h[k]x[n k] a) Determine convolution for two sequences found in Figure 3. b) Compute convolution of the input sequence x[n] = 2δ[n 2] + 3δ[n 3] and the impulse response h[n] = 4δ[n ] + δ[n 2]. c) Compute the product of polynomials (3x 3 + 2x 2 ) (x 2 4x). d) Can you see the connection between (b) and (c)? Konvoluutio: esim. [P3, P3, P32].. (DL 8.4.2) (Mitra 2Ed Prob. -, p. - / 3Ed Prob. 2.65, p. 2) Determine the overall impulse response of the system of Figure 4, where the impulse responses of the component systems are: h [n] = 3δ[n+]+δ[n] 2δ[n 2], h 2 [n] = 2δ[n+2]+δ[n ], and h 3 [n] = 3δ[n + ] δ[n]5 + δ[n ] + 2δ[n 2] + 5δ[n 3]. All systems are supposed to be LTI. x[n] Katso esim. [P3-P34]. h h 2 h 3 y[n] Figure 4: LTI system for Problem. Välikokeissa ja tentissä kysytään perinteisesti dekonvoluutiota, jonka ratkaisemisessa tarvitaan konvoluutiota. Matlabissa komennot conv ja deconv. Signaalin suodatus on siis suotimen impulssivasteen ja sisääntulosignaalin konvoluutiota. Sovitettu suodin: [P34], alijärjestelmät: [P33], dekonvoluutio: [P32]. 2. (DL 8.4.2) Using a formula table (can be found in Noppa, Muu materiaali / Additional material, the link Kurssin taulukkomoniste, given also in the exam), see section Discrete-time Fourier-transform on page 2, solve the following: a) x[n] = sin(.22πn), what is X(e jω )? b) h[n] = δ[n] + δ[n 5], what is H(e jω )? (FIR filter with no feedback) c) h[n] = δ[n] + δ[n 5] +.5h[n ], what is H(e jω )? d) x[n] =.35 n µ[n], what is X(e jω )? Katso esim. [P38, P39, P4] ja kaavakokoelma. 3. (DL 8.4.2) Sampling. a) See the demo and / or using Matlab script Consider a sine signal at frequency 8 Hz with the sampling frequency f T = Hz. Because 8 > /2 the sequence is aliased into the baseband of...5

6 T-6.35 DSP R [ / 34 ] T-6.35 DSP R [ 2 / 34 ] Hz. Where does the 8 Hz component alias to? Check the result in Figure 5. x(t) = cos(2π 8 t) x[n] = x(nt) = x(n/f T ) = cos(2π (8/) n) = cos(2π (8/) n 2π (/) n) = = y[n] = x[n] +... LTI h[n] jω H(e ) H(z) b) What if the frequency of the analog signal is f = 3 Hz with the same f T = Hz. What does happen? (A) Signal vanishes totally, (B) Signal does not alias to baseband at all, (C) Signal aliases and can be found after ideal reconstruction at 7 Hz, (D) None of above. c) Sampling with too low sampling frequency can be utilized in some cases, see Sampling of Bandpass Signals (Mitra 2Ed Sec. 5.3, p. 3 / 3Ed Sec. 4.3, p. 84). Digital signals can also be resampled without any D/A-A/D conversions, see Multirate processing (Mitra 2Ed Sec. / 3Ed Sec. 3). Consider a sequence x[n] = cos(2π f T n), where f T >.. Hz. It is a sinusoidal that oscillates some 3 times a second. Which sinusoidal sequence (in baseband where ω (,..., π) do you get when f T is set to f T 5 Hz. H Figure 6: Problem 4: LTI system and its analysis. d) Sketch the phase response H(e jω ). e) Determine difference equation. f) Draw the flow (block) diagram. g) Determine impulse response both in recursive and non-recursive manner h) Is the filter IIR or FIR? i) What is the order of the filter? j) Is the filter causal? Show it. k) Is the filter stable? Show it. Some background: Figure 5: Problem 3: an example of demosampling4.m with f = 8 Hz and f T = Hz. Sinisignaalin naytteistys: esim. [P47]. 4. (DL 8.4.2) LTI systems can be examined from a several points of view. See Figure 6, where a digital linear and time-invariant (LTI) system can be expressed in several (pretty) equivalent forms. When you are given one form your task is to find others. Consider a digital LTI filter H(z) = +.6z.9z, z >.9 a) Compute poles and zeros, and sketch pole-zero plot. b) Determine frequency response H(e jω ). c) Sketch the magnitude response H(e jω ). The idea is that you can solve this kind of problem by hands in case of filter order or 2. See also homework problems 9 (flow diagrams), 6 (analysis), 7 (pole-zero plots), 24 (analysis with Matlab). The analysis of a digital linear and time-invariant (LTI) filter is a core topic in the first mid term exam area. You can have a look at [P55]. LTI system given by transfer function H(z) requires ROC ( region of convergence ), here z >.8. In our course it can be assumed that ROC is the area outside radius of the outmost pole. If you want to learn more about ROCs start with [P56]. (a) Poles are roots of +.8z and zeros are roots of.9z. The number of roots equals to the order of polynomial. This is a first order system and roots of polynomials are easy to compute by hands. Roots of second order polynomial can also be computed also easily, but after that a computer is needed. Note that poles (zeros) have ccmplex conjugate pairs. (b) Just z e jω. (c) See [P54]. It is enough to make a sketch of magnitude response using pole-zero plot, see [P54].

7 T-6.35 DSP R [ 3 / 34 ] T-6.35 DSP R [ 4 / 34 ] (d) This is not a FIR, so the phase response cannot be linear. It is enough to make a sketch of phase response response using pole-zero plot. If not succeeded, leave this open. (e) Back to time-domain. See [P53c] back and forth. Make sure that the constant.8 refers to y[n ], and.9 to x[n ]. Check minus/plus signs. (f) Contains a feedback structure. See a corresponding figure in Problem 24 in these homework problems. Check minus/plus signs of the feedback coefficient. (g) Recursive manner h[n] =... + a h[n ] using DTFT directly (a e jω H(e jω ) a h[n ]). Non-recursive h[n] =...+A n µ[n], i.e., you can compute h[m] without knowing h[m ]. In case of second order system and non-recursive form of h[n], you have to compute partial fraction decomposition, see [P] (h[n] =.4(.6.3 n µ[n] +.4 (.2) n µ[n]).2...) or [P55f]. (h) IIR: recursive computation; at least one feedback loop in the structure; y[n] depends on other y[n k] values; the system may be not stable. FIR: non-recurseive; no feedbacks; y[n] depends only on x[n k]s; Always stable ( i h[i] < because of finite number of finite-valued h[n]); may have a linear phase response. (i) Maximum of order of numerator polynomial and denominator polynomial. Or, maximum of numbers of poles and zeros outside origin. (j) Does it predict? Is there any output before putting in anything? Can it work in real-time? Is there only present and previous values in the difference equation? (No No Yes Yes: a causal system.) Using impulse response h[n] =, when n <. In z-domain ROC contains. System properties, see [P25]. An example of a non-causal system: computation of 7-day-average of daily temperatures y[n] = (/7) (x[n + 3] + x[n + 2] x[n 2] + x[n 3]) ( next three days + today + previous three days). (k) Does the bounded input result to bounded output? Is the impulse response absolutely summable, i h[i] <? In z-domain ROC contains the unit circle. System properties, see [P25]. 5. (DL 8.4.2) Consider a second-order IIR type LTI system with the difference equation y[n] y[n ] +.6y[n 2] = x[n].8x[n 2] a) Draw the flow diagram in a standard Direct Form I format. b) Determine the transfer function H(z). c) Compute poles and zeros, and sketch a pole-zero plot. d) Sketch the magnitude response H(e jω ) using information from the pole-zero plot. e) Describe your filter: FIR/IIR, order, stable/astable, causal/non-causal, lowpass / highpass / bandpass / bandstop / allpass. f) Derive the partial fraction expansion (if needed) and determine the impulse response h[n]. Katso esim. [P55, P53, P42]. Suotimen analysointi eteen- ja taaksepäin on välikokeiden perustehtäviä. Ensimmäisen tai toiseen asteen suotimen on laskettavissa taskulaskimella tai käsinkin (VK), etenkin kun polynomissa on helpot kertoimet. Toisen asteen ratkaisukaava annetaan kaavakokoelmassa. Suora muoto I:n piirrostapa on näkyvissä mm. Figure 32(a),(b) ja [P63]. 6. (DL 8.4.2) Determine which pole-zero plot corresponds which amplitude response in Figure 7. Explain shortly. What are the orders of the filters? Which of the filters are IIR? Which of the filters are stable (having normal ROC)? Figure 7: Problem 6: which pole-zero plot corresponds which amplitude response? Amplitude response: X-axis ω = [... π], Y-axis in decibels. Katso esim. [P54]. Huomaa, että napanollakuviosta eli napojen ja nollien sijainneista saadaan laskettua H(z) ilman vahvistuskerrointa. Esim. z = ja p =.5: H(z) = ( z z )/( p z ) = ( + z )/(.5z ). Normaali ROC viittaa alueeseen uloimman navan kehän ulkopuolella. 7. (DL 8.4.2) Compute by hands a 4-point discrete Fourier transform (DFT) for a sequence X[k] = 3 n= x[n]w nk 4, k =,...,3, W N = e j2π/n x[n] = 2δ[n] + δ[n 2] + δ[n 3] = {2,,, }

8 T-6.35 DSP R [ 5 / 34 ] T-6.35 DSP R [ 6 / 34 ] See, e.g., [P3,P5,P5]. If W 4 is tricky, just open it: W 4 = e j2π/4 = e jπ/2 = j (each W 4 9 degrees clockwise at the unit circle). If n is tricky, just open it one by one, e.g., k = : X[] = x[]w 4 + x[]w 4 + x[2]w x[3]w 3 4 =... You can check the result by typing xf = fft([2 ]). This gives you four values, X[], X[], X[2], and X[3]. For a real sequence x[n] always: X[] is real and it is the sum of all x[n]; X[i] = X[N i] are complex conjugates; X[N/2] is real. If you don t have access to Matlab, you can download Octave (and Octave Forge) from octave.sourceforge.net. 8. (DL 8.4.2) See the specifications of a highpass filter given in Figure 8 where x-axis is in range (, f T /2) Hz. In addition, the magnitude response of an IIR filter fulfilling specifications is plotted. Frequency values are often normalized according to the sampling frequency: ω = 2πf/f T, or in Matlab f Matlab = ω/π. In order words, half of the sampling frequency f T /2 corresponds to π or, respectively. Write down the values for the cut-off frequencies: < f s < f p < f T /2, < ω s < ω p < π, and < Ws < Wp <. f, [f] = Hz ω, [ω] = rad/sample W passband cut-off f p ω p Wp stoppass cut-off f s ω s Ws The corresponding Matlab command for plotting the magnitude and frequency specifications for IIR filters is speksit(wp, Ws, 3, 2, high, 6), where speksit.m is from course web site, not a command of standard Matlab. 9. (DL 5.2) Design a digital FIR filter with window method ( FIR filter design method based on windowed Fourier series ). It has to be lowpass which cut-off frequency f c = Hz and the sampling frequency f T = 8 Hz. Compute fourth order causal filter and use Hamming window w Hamming [n] = cos( 2πn 2M ) M n +M Write down clear steps and compute exact values for causal impulse response h[],...,h[4], when the maximum of the filter is scaled to one. Katso esim. [P7, P85a-c] sekä demo T-6.3/Laskarit/demoFIRwindowDB.m Ikkunamenetelmässä suodin h FIR [n] on aina äärettömän pitkän ideaalisen impulssivasteen h ideal [n] ja ikkunafunktion w[n] tulo. Se ei ole ikkunafunktio itsessään. 2. (DL 5.2) Lataa välikoepaperi VKA kurssin kotisivuilta (Vanhoja tenttejä) tai suoraan vk_a_2736.pdf. Perustele väittämistä.3,.4,.5,.3 miksi kukin väittämä on oikein. Voit myös miettiä, miksi vääriksi merkatut vaihtoehdot ovat väärin. Voit verrata omia vastauksia annettuihin oikeisiin (ja mahdollisiin selityksiin) katsomalla tenttisivun alaosan linkkejä Joitakin vastauksia. Jos olet eri mieltä joistain kohdista, kysy! Vanhat tentit Nopasta zip-pakettina tai vanhoilta sivuilta hut.fi/opinnot/t-6.3/vanhattentit/. Samasta hakemistosta vastauksia ratkaisuja part2.txt (26), ratkaisuja part3.txt (27), ratkaisuja part4.txt (28) ja ratkaisuja part5.txt (29). db 5 Stopband Passband frequency (Hz) Figure 8: Problem 8: Filter specifications and the magnitude response of a filter meeting them. Taajuusakselin normalisointi, kts esim. Matlab-tehtävät tai [P66]. (Hyvin lyhyt tehtävä.) 2. (DL 8.4.2) Puhelimessa ja kännykässä voi kuulla näppäinääniä painettaessa eri numeronäppäimiä. DTMF-signaalit (dual tone multi frequency) koostuvat kahden sinikomponentin summasta x[n] = cos(2π(f /f T )n) + cos(2π(f 2 /f T )n), jossa alataajuudet ovat {697, 77, 852, 94} ja ylätaajuudet {29, 336, 477}. 29 Hz 336 Hz 477 Hz 697 Hz Hz Hz Hz Toteuta funktio, jolle voi syöttää merkkijonona puhelinnumeron ja se palauttaa vektorin, jossa on DTMF-tyyppisiä ääniä: puhnumero = y = mygendtmf(puhnumero); soundsc(y, 8); plot(y);

9 T-6.35 DSP R [ 7 / 34 ] T-6.35 DSP R [ 8 / 34 ] Katso tarkemmin kooditiedostoa mygendtmf.m (saatavilla Nopasta Viikkoharjoitukset - osasta harjoituskierroksen R3 / Matlab #2 kohdalta) ja kirjoita puuttuvat rivit switch-caserakenteeseen. Katso Matlab #2 -kierros (R3). Kaksi vaihtoehtoa: koodaat itse kaiken alusta, jolloin vaatimuksena on, että funktiokutsu y = mygendtmf( ); palauttaa jonon y, jonka voi kuunnella. Helpompi tapa on avata Matlabin editorissa mygendtmf.m, tutki koodia ja täydentää puuttuvat rivit case-kohtiin. Kaiken tarvitsemasi saat valmiina Matlab #2 -kierrokselta (R3). Matlabin rakenne switch-case-otherwise avautuu Matlabin dokumentaatiosta help switch tai doc switch tai kvg.fi: Matlab switch 22. (DL 8.4.2) A LTI system is given with its block diagram (direct form I type) in Figure 9. In order to analyze the system in Matlab, you have to find values for B, coefficients of numerator polynomial, and A, coefficients of denominator polynomial. In this problem you are allowed and you have to use Matlab. Attach all figures in (b)..(e) in returnings. a) Determine B and A for Matlab. Is the system FIR or IIR? b) Plot the amplitude response both in linear and logarithmic (decibel) scale (in y-axis). c) Plot the phase response. Is the phase response linear? d) Plot the pole-zero-plot. Is the filter stable? e) Plot the impulse response h[n]. Do you find here whether the filter is stable? See Matlab exercises. Coefficients of the filter are randomized. Some systems are FIRs and other IIRs. If the feedback coefficients are (-.) (FIR), feedback loops should not be drawn in a flow diagram at all.. x[n] z - z - z - z - z Figure 9: Problem 22: LTI system from which variables B and A are to be found. Jatkotehtävät, sarja S2 2. ( 3 p, DL 5.2) Täydennä tehtävässä 4 kirjoittamaasi referaattia omalla pohdinnalla (essee). Omassa osuudessasi voit esimerkiksi yhdistellä muita tietämiäsi aiheita uudeksi synteesiksi tai luodata referaatin tuloksia omien kokemustesi valossa. Voit kirjoittaa tämän pohdinnan koneella. Voit halutessasi palauttaa esseen yhtenä tekstinä edellisen kohdan referaatin kanssa. Tällöin erota selkeästi oma osuutesi muiden ajatuksista (referaatti). z - z - z - y[n]. 22. ( 2 p, DL 5.2) Collect your TOP DSP-terms, that is, the most profound terms in this course in your opinion. Define or explain each term shortly. 23. ( p, DL 8.4.2) Periods: T R : x(t) = x(t + T), t R N N : x[n] = x[n + N], n Z Consider periodic sequences x [n], x 2 [n], and x 3 [n], which have fundamental periods N = 6 (stars), N 2 = 7 (circles), and N 3 = 9 (crosses), respectively. See an example in Figure. What is the fundamental period N of the sum sequence x[n] = x [n] + x 2 [n] + x 3 [n]? Jaksollisuus. Katso [P2d]. 24. ( p, DL 8.4.2) Consider an analog signal x(t) with band-limited spectrum X(jΩ) shown in Figure (a). If the signal is sampled with f T = 8 khz without anti-aliasing, how does the spectrum X(e jω ) look like?

10 T-6.35 DSP R [ 9 / 34 ] T-6.35 DSP R [ 2 / 34 ] N = 6 N 2 = N = Figure : Problem 23: three sequences in Problem 23. Another sequence x 2 [n] = cos(ω 2 n) with ω 2 =.5π (three times higher frequency) is filtered. The output is y 2 [n] = A 2 cos(ω 2 n + θ 2 ), where A 2 is another constant and θ 2 = H(ω =.5π) = 8.5π =.2π (three times phase shift of y [n]). How much is this sequence delayed both in samples and seconds? What if the phase response had not been linear? Inputs and outputs using 6th order linear phase filter H = 8ω Phase shift =.4π Input ω =.5π Output ω 2 =.5π Input ω 2 =.5π Output ω 2 =.5π An example of sampling in frequency domain is given in Figure (c). Sampling can be also considered as flipping the spectrum around each f T /2-multiple (f T /2 = 6 khz) and summing the spectrum in the baseband (,..., f T /2). Phase shift =.2π Figure 2: Problem 25: Two inputs and corresponding outputs from 6th-order linear-phase filter with H(e jω ) = 8ω. Figure : Problem 24: (a) analog spectrum X(jΩ) of Problem with f T = 8 Hz, (b) your answer, (c) an example with f T = 2 khz. Katso esim. [P48]. 25. ( 2 p, DL 8.4.2) Consider the following cases of linear-phase FIR filters. a) Consider an impulse response h[n] = 2δ[n 4] + 3δ[n 5] 3δ[n 6] 2δ[n 7] Sketch the (anti)symmetric sequence h[n]. Show the symmetry point. Due to symmetry the filter has linear phase response. Write down the frequency response in the format H(e jω ) = e jsω (A sin(v ω) + A 2 sin(v 2 ω) ) and determine coefficients S, A, V, A 2, and V 2. b) Compute H(e jω ) and from that the group delay τ(ω) = d dω H(ejω ). c) Consider another 6-th order linear-phase filter with H(e jω ) = 8ω (and no zeros at the unit circle). See also Figure 2. A sequence x [n] = cos(ω n) with normalized angular frequency ω = 2π(f/f T ) =.5π is filtered giving an output sequence y [n] = A cos(ω n + θ ), where A is a constant from H(ω =.5π). Phase shift has been θ = H(ω =.5π) = 8.5π =.4π, that is, sequences has been delayed by 8 samples (8 (/f T ) in seconds). (a) Note that the phase response is H(e jω ) = Sω and the group response τ(ω) = S. Hint: find the symmetry point of h[n] which is then S. Apply Euler s formula e jω e jω = 2j sin(ω). 26. ( p, DL 8.4.2) Determine the transfer function H(z) of the system in Figure 3. Hint: use temporary variables w k [n] after each summing unit k, write down difference equations, apply z-transform, and reduce to H(z). x[n].4.2 z.5 z y[n].2 Figure 3: Problems 8, 9,, and : LTI system. Apumuuttujat w i [n] jokaisen summaimen jälkeen. Tässä riittää yksi w[n], koska toisen summaimen jälkeen on y[n]. Katso esim. [P64].

11 T-6.35 DSP R [ 2 / 34 ] T-6.35 DSP R [ 22 / 34 ] 27. ( p, DL 8.4.2) After determining H(z) of the system in Figure 3 draw the flow diagram in direct form I (DF I), DF II and transposed DF I t and DF II t. Suora muoto I: Viiverekisterit alaspäin; ensin eteenpäin laskeva FIR-osa ja sitten takaisinkytketty IIR-osa. Suora muoto II: ensin IIR, sitten FIR. Suoran muodon esityksistä on enemmän tehtävän [P63] selitysosassa. Suoran muodon piirroksissa kertoimet ja siirtofunktion H(z):n kertoimet ovat lähes yksi yhteen. Rakenteen transponoinnista myös tehtävässä [P63]. db 2 Magnitude repsonse of 8th order Cheb II IIR 28. ( p, DL 8.4.2) After determining H(z) of the IIR system in Figure 3 compute poles and zeros, express the order of the filter, sketch the pole-zero diagram, sketch the magnitude response, check if the filter is stable or not, causal or not. LTI-järjestelmän analysointi. Katso esim. [P55] tai VK-pistelaskarien tehtävä 3. Kurssin ydinainesta. Kertauksena vk-alueesta ω ( π) Figure 4: Problem 2: Magnitude response. 29. ( p, DL 8.4.2) After determining H(z) of the IIR system in Figure 3 compute the impulse response h[n] (in close form). Hint: z-transform formulas a n µ[n] /[ az ] and ax[n k] az k X(z), and H(z) = a + bz cz = a cz + (bz ) cz = a H (z) + (bz ) H (z) z a h [n] + b h [n ] H (z) = z cz c n µ[n] = h [n] h [n ] = c n µ[n ] check!!! Jatkoa tehtävään eli impulssivasteen ilmoittaminen suljetussa muodossa. Tyypillisin kauneusvirhe. välikokeessa oli muodon z (/[ cz ]) käänteismuunnos virheelliseen muotoon c n µ[n ], kun oikein olisi c n µ[n ] eli viive vaikuttaa molempiin n-indekseihin. 2. ( p, DL 8.4.2) Normalize the maximum magnitude response of the digital bandpass filter (Chebyshev II) below (see also Figure 4) into unity ( db) without help of Matlab. Maximum of the magnitude response is reached at ω = π/2. (K.2 is the wrong answer.) H(z) = K +.884z z z 6 + z z z z z 8 Katso esim. [P57]. Huomaa normalisoidun kulmataajuuden ω ja z:n yhteys: z = e jω. Tällöin esimerkiksi taajuusvasteen H(e jω ) arvo taajuudella ω = on sama kuin siirtofunktio H(z) arvolla z = e j =. 2. ( p, DL 8.4.2) Sketch roughly (without Matlab) the magnitude responses of digital Butterworth, Chebyshev I and elliptic filters in range ω [...π] given the specifications below. Concentrate to show how the three types of approximations differ from each other. Filters have been designed first in continuous s-plane and then converted to z-plane via bilinear transformation. a) 5th order lowpass filter with passband [...π/3] and stopband [2π/3...π]. Maximum passband ripple 2 decibels and minimum stopband attenuation 3 db. b) 4th order bandpass filter with first stopband [...π/4], passband [3π/8...π/2], and second stopband [5π/8...π]. Maximum passband ripple 2 decibels and minimum stopband attenuation 2 db. Katso esim. [P67, 66] ja Matlab #5. Digitaalisten IIR-suotimen suunnittelu perustuu vastaavien analogisten IIRsuotimen approksimaatioihin, joita ovat mm. Butterworth ja Chebychev. Ensin z-tason digitaaliset speksit (vaatimukset) muutetaan analogisiksi, joissa voidaan ottaa huomioon tulevan bilineaarimuunnoksen taajuusvääristymä (prewarping). Suodin suunnitellaan s-tasossa ja muutetaan bilineaarimuunnoksella z-tasoon. Analogiset approksimaatiot poikkeavat toisistaan erityisesti siinä, ovatko ne monotonisia vai onko niissä vaihtelua (ripple) sekä päästö- että estokaistoilla. Näin ollen samoihin vaatimuksiin ylletään eri asteluvuilla eri tapauksissa. 22. ( 2 p, DL 5.2) Consider an analog transfer function H a (s) = (s + a)/[(s + a) 2 + b 2 ], where coefficients a and b are real-valued. The pole-zero-plot of the filter (in s-plane) and amplitude response are as shown in Figure 5.

12 T-6.35 DSP R [ 23 / 34 ] T-6.35 DSP R [ 24 / 34 ] NOTE! You do not have to compute any z-plane transfer functions, or corresponding. Only sketching of figures is enough. a) Sketch the amplitude response of a digital filter via impulse invariant method. b) Sketch the amplitude response of a digital filter via bilinear transform. c) Explain briefly, how the methods in a) and b) differ from each other. Vanhat tentit Nopasta zip-pakettina tai vanhoilta sivuilta hut.fi/opinnot/t-6.3/vanhattentit/. Samasta hakemistosta vastauksia ratkaisuja part2.txt (26), ratkaisuja part3.txt (27), ratkaisuja part4.txt (28) ja ratkaisuja part5.txt (29). 24. ( p, DL 8.4.2) This problem requires Matlab (or equivalent). See R3 Matlab #2. Create a sequence of random noise s[n] (e.g., randn) with length 24. Draw a spectrum S(e jω ) in range ω (,...,π). Create a moving average filter (MA-N) H(e jω ) and plot the magnitude response H(e jω ). Apply the filter to the noise s[n] in order to get filtered noise r[n]. Plot the spectrum R(e jω ). Repeat for a couple of different noise sequences and for a couple of different values of N. F Can you show that r[n] = h[n] s[n] R(e jω ) = H(e jω ) S(e jω )? Attach to your returnings one good example of three spectra. Valkoinen kohina: vierekkäiset näytteet toisista riippumattomia; spektri on tasainen. Kun Matlabilla (tietokoneella) luodaan satunnaislukuja äärellinen määrä (24), niin sen spektristä ei luonnollisesti tule aivan tasaista. Figure 5: Problem 22: analog s-plane pole-zero-plot in left, and the amplitude response H(jΩ) in right. Ω = 2πf (rad/s), ω = 2π(Ω/Ω T ) (rad), where Ω T angular sampling frequency. Erilaisia tehtäviä. Design a digital IIR..., Consider the following Butt..., Analog Butterworth highp... : [P68]. Consider an analog tr... : ei voi eikä kannata alkaa laskemaan mitään vaan hahmotella visuaalisesti. Taajuustasossa impulssi-invarianttimenetelmä kopioi analogista spektriä jokaisen näytteenottotaajuuden kohdalle, jolloin tapahtuu aina vierastumista. Bilineaarimenetelmä taasen on taajuuskuvaus, joka estää vierastumisen puristamalla äärettömän pitkän taajuusakselin äärelliseksi. Analogisen spektrin kuvautuu digitaalisen spektrin kohtaan π. See the filter in F... : [P8]. Consider a second-order IIR... : pyöristä kertoimet ja analysoi suodin uudestaan! A digital first-order B..., yksinkertainen sijoitus, jossa iso työ sieventämisessä. See the digital filter s... : [P72]. 23. ( p, DL 5.2) Lataa välikoepaperi VKA kurssin kotisivuilta (Vanhoja tenttejä) tai suoraan vk_a_283.pdf. Perustele väittämistä.,.4,.7,. miksi kukin väittämä on oikein. Voit myös miettiä, miksi vääriksi merkatut vaihtoehdot ovat väärin. Voit verrata omia vastauksia annettuihin oikeisiin (ja mahdollisiin selityksiin) katsomalla tenttisivun alaosan linkkejä Joitakin vastauksia. Jos olet eri mieltä joistain kohdista, kysy! 25. ( 3 p, DL 8.4.2) Learn the connection between the magnitude response H(e jω ) and positions of poles and zeros in z-plane by playing with sptool! Open the main window by typing sptool, see Figure 6(a). There are three frames: Signals, Filters, and Spectra. Click button New in Filters column to open Filter Design & Analysis tool window. Here you could give all filter specifications and design a filter (topic in March 2). However, now click on the icon Pole/Zero Editor from left-bottom corner, see Figure 6(b). This gives you an interactive tool, Figure 6(c), to see the connection between H(e jω ) and positions of poles and zeros. You can alter top figure by clicking icons in the top row, e.g., magnitude response, phase response, group delay, impulse response, filter coefficients. Choose Magnitude Response (db). In the interactive part (bottom figure and buttons and editing tools in left), first, clear all existing crosses and circles. This can be done by choosing an eraser icon and then clicking them one by one or by drawing a rectangle around them. Now you can add, change, and remove poles (crosses) and zeros (circles) in z-plane in bottom figure. Just click with mouse and drag. You can instantly see the shape of magnitude response in top figure. You probably want to have conjugate pairs in order to have a real-valued impulse response. A single real-valued pole or zero can be set exactly at x-axis by editing values in left. The order of the filter is the maximum of the number of poles and zeros. It can be seen in the status frame left. Using sptool s Pole/Zero Editor, that is, by setting a set of poles and zeros, a) create a lowpass filter with the sampling frequency f T = Hz. Let the cut-off frequency (passband/stopband) be f c = 2 Hz. Implement both FIR (only zeros) and IIR (both zeros and poles) filter.

13 T-6.35 DSP R [ 25 / 34 ] T-6.35 DSP R [ 26 / 34 ] b) create a bandstop filter with f T = 3 where stopband is Hz. Create a 8th order IIR. Return figures from the both cases (pole-zero plot and magnitude response). Write down the filter coefficients of your filter H(z) = B(z) =..., which you can get by clicking the A(z) icon [a,b] in the top row. If you want to filter a signal, return to sptool window, choose a signal in Signals column, choose a filter in Filters column and press button Apply in Filters column. The sampling frequency in Filter Designer should be chosen to be that of the signal. Vaativammat tehtävät, sarja S3 3. ( 2 p, DL 8.4.2) Examine the following LTI systems. LTI means that the system is both linear and time-invariant. Prove that the system is stable and/or causal? a) Difference equation: y[n] =.2y[n ].4y[n 2] + x[n + ] b) Impulse response: h[n] =.2 n µ[n ] c) Impulse response: h[n] = ( 2) n µ[ n ] Katso mm. lineaarivaiheinen suodin: [P42], H(z):n suppenemisalue (ROC): [P56], H(z) napojen ja nollien avulla: [P54d], alijärjestelmien yhdistäminen: [P33], jaksollisuus [P2], järjestelmien ominaisuudet [P25], diskreetti Fouriermuunnos DFT [P5, P5], ympyräkonvoluutio: [P5, P52]. Figure 6: Problem 25: (a) sptool main window, (b) Filter Designer & Analysis tool window, icon Pole/Zero editor highlighted, (c) interactive pole-zero editor in bottom; analysis part in top figure. Magnitude and angle of poles and zeros can be typed exactly. 32. ( 2 p, DL 8.4.2) Consider a flow diagram in Figure 7, which generates two sequences y [n] and y 2 [n] with given constant ω. Which functions (sequences) are generated, when the input is x[n] = Aδ[n]. Write down clear steps. Hint: See z-transform tables! y [n] x[n] 2 z sin( ω ) cos( ω ) z y [n] 2 Figure 7: Problem 32: Flow diagram of the filter. 33. ( 2 p, DL 8.4.2) Determine the transfer function and the difference equation of each filter in Figure 8. x[n] y[n] x[n] y[n].5 z 2.3 z.7 z.35 z.2 z.3.5 z.25 Figure 8: Filters in Problem 33: (a) 2nd order and (b) 4th order SOS.

14 T-6.35 DSP R [ 27 / 34 ] T-6.35 DSP R [ 28 / 34 ] Lisää suodinrakenteita, vaihtoehtoisia tehtäviä. Mm. toisen asteen lohkojen kaskadikytkentä (SOS, Matlab #6, luentokalvot luku 8), monivaiherakenne (polyphase, [P65]), sinigeneraattori (luentokalvot luku 8). 34. ( 2 p, DL 5.2) Fixed window functions are used for cutting a sequence into length of N. This is a typical case when, for instance, plotting a spectrum of a small time frame of an audio signal. Some window functions (rectangular, Hamming, Blackman, etc) are discussed in (Mitra 2Ed Sec , p. 452 / 3Ed Sec..2.4, p. 532). An example of Blackman window w B [n] = cos( 2πn ) +.8 cos(4πn 2M 2M ) with M = 25 (N = 5) is given in Figure 9(a). In the magnitude response of a window function it can be seen a large main lobe around ω = and a series of sidelobes with decreasing amplitudes as seen in Figure 9(b). Window functions can therefore be characterized by main lobe width ML (rad), relative sidelobe level A sl (db), minimum stopband attenuation (db), and transition bandwidth ω (rad), see (Mitra 2Ed Table 7.2, p. 454 / 3Ed Table.2, p. 535). Signal x[n] is modified by the window w[n] x m [n] = x[n] w[n] wb2=blackman(n2); wh=hamming(n); wh2=hamming(n2); wr=rectwin(n); wr2=rectwin(n2); %% Time and frequency domain plots of window functions figure; stem(wb); title( Blackman-window, N=5 ); figure; freqz(wb,); title( Blackman-window, N=5 ); % and similarly for the rest five cases Figure 9: Problem 34: Blackman window, (a) w[n], (b) W(e jω ). db 5 Multiplication in time domain corresponds convolution in frequency domain X m (e jω ) = X(e jω ) W(e jω ) Consider a case, when x[n] consists of three cosine signals: two with equal amplitudes with similar frequencies and one with small amplitude with different frequency. See example in Explain why the statements are true or false: (A) Longer window length N enables more exact frequency resolution (B) Narrow main lobe width enables more exact frequency resolution (C) A FIR filter computed using window method has equal transition band length (band between passband and stopband) independent of the type of window function (rectangular, Hamming, etc) (D) Weak sinusoidals are observed better with Blackman than with rectangular window %% Additional code for plotting window functions % if not having Mitra s book available %% Window lengths N=5; N2=52; 35. ( 2 p, DL 5.2) There are several ways to make specifications for a digital filter (Mitra 2Ed Sec. 7.., p. 423 / 3Ed Sec. 9.., p. 489). Two typical cases are given in Figure 2 with corresponding decibel values and frequency normalizations α p = 2 log ( δ p ) db, peak passband ripple α s = 2 log (δ s ) db, minimum stopband attenuation α max = 2 log ( /( + ǫ2 ) ) db ( = 2 log ) + ǫ 2 db, maximum passband attenuation α max = 2 log ( 2δ p ) = 2α p, if δ p as typically ω p = 2π(f p /f T ) normalized angular cut-off frequency for passband ω s = 2π(f s /f T ) normalized angular cut-off frequency for stopband Let H(z) be the transfer function of a lowpass digital filter with a passband edge at ω p, stopband edge at ω s, passband ripple of α max, and stopband ripple of α s, as indicated in Figure 2(b). Consider a cascade of two identical filters with a transfer function H(z). What are the passband and stopband ripples of the cascade? Generalize the results for a cascade of M identical sections (Mitra 2Ed Prob. -, p. - / 3Ed Prob. 9.3, p. 56). Remark. In Matlab Wp ω p /π, Ws ω s /π, Rp α max, and Rs α s for digital IIR filter functions butter, cheby, cheby2, ellip as in Figure 2(b). Some FIR functions define ripples as in Figure 2(a). %% Window functions wb=blackman(n);

15 T-6.35 DSP R [ 29 / 34 ] T-6.35 DSP R [ 3 / 34 ] Katso esim. [P8] ja Matlab #6. Eräs tehtävä UP3 - DOWN5 - UP5 : Suljetun muodon ratkaisu voi olla kimurantti. Kokeile syöttää sisään tuo annettu lukujono ja katso, miten lukuja poimitaan ja miten sinne lisätään nollia. Figure 2: Problem 35: (a) Typical magnitude specifications for a digital FIR lowpass filter, and (b) normalized magnitude specifications for a digital IIR lowpass filter (Mitra 2Ed Fig. 7.,7.2, p. 424,425 / 3Ed Fig. 9., p. 49). In passband α max = 2 log (/ + ǫ 2 ) 2α p and maximum stopband magnitude is δ s = /A. Katso esim. [P66] ja Matlab #4 ja #5. Tehtävään liittyvässä kuvassa vasemmalla on tyypillinen FIR-suotimen vaatimusmäärittely ja oikeassa kuvassa IIR-suotimen. FIR-suotimet suunnitellaan usein lineaarisella y-akselilla, jossa δ p ja δ s, kun taas IIR-suotimet useimmiten desibeleissä α max ja α s. 36. ( 4 p, DL 8.4.2) Four first-order filters H (z) = /(.7z ), H 2 (z) = /( +.7z ), H 3 (z) = /(.8jz ), and H 4 (z) = /( +.8jz ) are in cascade and they form a filter H(z) = K H (z) H 2 (z) H 3 (z) H 4 (z) a) Draw the pole-zero-diagram of the filter H(z). b) Sketch the amplitude response H(e jω ) so that the maximum is one. c) Determine the coefficient K so that the maximum of the amplitude response is one. Hint: Find the angular frequency ω max and use z = e jωmax in equation H(z) =. d) What is the difference equation using input x[n] and output y[n] of the filter H(z). Katso mm. MA-N suotimen rekursiivinen toteutus: keksi itse tai katso linkki tehtävästä [P2]. Alijärjestelmien yhdistäminen, esim [P33, P6], suotimen skaalaus ykköseksi [P57], lineaarivaiheiset suotimet [P42]. Overlap-add method Mitran kirjasta ja/tai luentokalvoista tai netistä. Menetelmä vastaa käytännön ongelmaan, jossa (äärettömän) pitkää syötesekvenssiä konvoloidaan pienissä paloissa ( buffer ) kerrallaan. 37. ( p, DL 5.2) Consider a sequence x[n] = δ[n] 2δ[n ] + 5δ[n 2] + 3δ[n 3] + δ[n 4] + 5δ[n 5] 2δ[n 6] + δ[n 7] δ[n 8] with sampling period T s =.5 s. Sketch the upsampled sequence x L [n] with L = 3 and the downsampled sequence x M [n] with M = 4. What is the sampling frequency f T (Hz) after upsampling / downsampling? What is the length (seconds) before and after upsampling / downsampling? 38. ( p, DL 5.2) Consider a causal lowpass filter H(z), whose passband ends at 4 khz, stopband starts from 5 khz and the sampling frequency is 2 khz. The amplitude response is in Figure 2(a) and the start of the impulse response h[n] in Figure 2(b). Modify the filter so that it can handle DAT-recordings with the sampling frequency of 48 khz. amplitude H(z) frequency (Hz) amplitude h[n] samples (n) Figure 2: Problem 38: (a) H(e jω ), (b) h[n]. a) Increase the sampling frequency with the factor L = 4. Draw the amplitude spectrum of the upsampled filtern H(z 4 ) in range...24 khz and the first ten values of the impulse response h[n/4]. b) What has to be done so that the filter H(z 4 ) works as a lowpass filter with the original cut-off frequencies? Katso esim. [P8] ja Matlab #6. (a) Taajuusalueessa tulee siis L = 3 kappaletta imagea ja aikatasossa L = 3 kappaletta nollia. 39. ( 3 p, DL 8.4.2) Use radix-2 DIT FFT algorithm with modified butterfly computational module and sketch the flow-graph of the computation to show how discrete Fourier transform (N = 8) of the sequence x[n] = {2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3} is computed. Compute values X[], X[], X[4], X[7]. Katso esim. [P74, 73]. Tämä tietty FFT-algoritmi olkoon esimerkkinä diskreetin Fourier-muunnoksen symmetrian hyödyntämisestä. Huomaa siis, että kuvissa 39 ja 4 (esimerkkimateriaali) vasemmassa laidassa ovat syötteet bittikäänteisessä järjestyksessä. Koeta saada kiinni, miten rakenne kasvaa, kun N = 6, 32, 64,... Huomaa myös X[k] komponenttien kompleksikonjugaattisymmetrisyys X[k] = X [N k], k =,...,N/2, joka pätee reaalisille syötteille x[n] R. 3. ( p, DL 8.4.2)

16 T-6.35 DSP R [ 3 / 34 ] T-6.35 DSP R [ 32 / 34 ] Suodattajat Yhden tuttavani tilatoverit ovat oudossa työssä. He suodattavat signaalia Nokialla. Tämä on totta, enkä edes valehtele! Niillä on siellä Nokiallaan FIRsuodattimia ja mediaanisuodattimia ja ties mitä astraalikotkotuksia ja aamulla ne alkavat suodattaa sitä signaalia ja kaiketi pelata sököä, (tai rakentaa Taj Mahalia tulitikuista) odottaessaan, että suodattimeen kertyisi jotain, töhkää kaiketi. Välillä joku vihmerämpi veli käy ehkä kapistamassa suodattimesta lavuaariin kaiken roskan, mitä siihen on tarttunut, ja keittää kahvia ja sitten taas peli jatkuu (tai Taj Mahal rakentuu). Illalla signaali viedään haponkestävään holviin ja suodattimet pestään ja pannaan astiakaappiin. Suodattaminen jatkuu taas seuraavana päivänä, ellei ole viikonloppu tai pyhä. (Niiden työehtosopimuksen mukaan viikonloppuina ja pyhinä ei tarvitse suodattaa signaalia yhtään, mutta saa silti palkan aivan kuin suodattaisi.) Tyhmä luulisi, ettei työnantajaa voi kauan pettää ja suodattaa aina vaan samaa signaalia, mutta viisas arvaa, että kun näytteenottoa tarkennetaan, kohina jotenkin vaan lisääntyy ja voit suodattaa sitä samaa signaalia aina vaan, vaikka sata vuotta, eikä työnantaja älyä mitään filunkia! Markus Kajo. Kettusen kolmas. WSOY 997. Kirjoita käsityksesi viimeisen virkkeen päätelmästä liittyen näytteenottoon. 3. ( 3 p, DL 5.2) Get acquainted with a scientific journal Signal Processing: Image.Communication that you can find in URL by Elsevier and directly Answers to most of the following questions should be found by browsing the web site. Write a short summary (bullets are ok). First, find some basic information of the journal by clicking About this Journal below the shortcut URL to the page or just making observations while browsing: What is the scope of the journal? What kind of articles are published? What kind of special issues or sections have there been lately (see main page, left column)? How often is it published? What is the impact factor ( Thompson )? Browse the contents of Volume 22, Issue 4. Does the issue contain a special topic? How many pages are the articles normally? What kind of other information are there except articles? Browse one article in your issue. What is DOI ( digital object identifier) of your article (found bottom on first page)? What is the title and who are the authors? What else can you find about authors? How long does it take to get a scientific paper published in the journal? Describe shortly the structure of the article. Is there any formulas, tables, graphs, photos? Is the article understandable for you? Do you think that you could explain what authors are writing about? Note! You can use ScienceDirect in TKK campus. If working outside the campus, you can receive data from TKK proxy through a SSH tunnel. You have to set HTTP-proxy in your web browser to localhost in a port, say, 28. Then you have to assign an outgoing tunnel listening the same port (28) to destination wwwproxy.hut.fi in port 8 in your SSH client. 32. ( 3 p, DL 8.4.2) Dosentti Mikko Kurimo puhui ma luennolla automaattisesta puheentunnistuksesta (ASR). Nopassa on saatavilla luentokalvot sekä erillinen esitys aiheesta. Mikko Kurimon esityksessä kalvolla 29/5 käsitellään ASR:n tehtäviä ja ratkaisuja. Anna esimerkkejä tilanteista, joissa tunnistettavana on (a) yksittäisiä sanoja, (b) muutamia sanoja pienestä sanastosta, (c) tiettyjen sanojen löytämisestä jatkuvasta puheesta, (d) jatkuvaa puhetta suuresta (rajoittamattomasta) sanastosta, usein kieliopillisesti oikeaa ja puhdasta (e) spontaania puhetta. Mitä puheentunnistusjärjestelmiä tiedät käytettävän? Omia kokemuksia? Lämmittelytehtävä liittyen esseeaiheeseen C. 33. ( p, DL 5.2) Lataa välikoepaperi VK2B ti kurssin kotisivuilta (Vanhoja tenttejä) tai suoraan t63_v2_656.pdf. Valitse seuraavista väittämistä.2,.9,.,.4 vähintään kolme ja perustele, miksi kukin väittämä on oikein tai väärin. Voit verrata omia vastauksia annettuihin oikeisiin (ja mahdollisiin selityksiin), katso tenttisivun ylälaita joitakin vastauksia tai suoraan http: // part2.txt. Vanhat tentit Nopasta zip-pakettina tai vanhoilta sivuilta hut.fi/opinnot/t-6.3/vanhattentit/. Samasta hakemistosta vastauksia ratkaisuja part2.txt (26), ratkaisuja part3.txt (27), ratkaisuja part4.txt (28) ja ratkaisuja part5.txt (29). 34. ( 3 p, DL 5.2) Palindromi on sana tai lause, jonka kirjaimet ovat samassa järjestyksessä alusta loppuun tai lopusta alkuun luettaessa, kuten Alle sakka paksu, Ritu anoo. Nasu sanoo: Nauti Ruska pakkasella. (Alivaltiosihteeri, 4..2), jossa samalla siis mukana vielä peräti sananmuunnos. Hae Internetistä valmis palindromilause tai äänitä sellainen(esim. kvg.fi: Alivaltiosihteerin palindromeja), jolloin saat signaalin x[n]. Soita se takaperin x[n] käyttäen Matlabin funktiota flipud. Yritä löytää sellainen lause ja lausuntatapa, jolla x[n] ja x[ n] kuulostavat mahdollisimman samoilta. Lähetä äänitiedostosi t635@ics.tkk.fi. 35. ( p, DL 8.4.2) This problem requires Matlab (or equivalent). See R3 Matlab #2. Analyze small segments (2 5 ms) of a demo word kiisseli.wav. Find two segments, (a) a period part of the signal, e.g., /i/, and (b) an aperiodic part of the signal, e.g. /s/, and clip them into vectors (xpart, xpart2). Apply discrete Fourier transform and plot the amplitude spectrum both in linear scale (abs()) and in logarithmic scale, decibels (2*log(abs())). Reply also in (a) what is the fundamental period and frequency (quasi-periodic = almost periodic part of signal). In case of logarithmic spectrum determine (by looking) some 2 5 hills (formants) in the envelope (verhokäyrä). envelope f

17 T-6.35 DSP R [ 33 / 34 ] T-6.35 DSP R [ 34 / 34 ] Return four figures of spectra (e.g. /i/ and /s/ in two scales), values of T and f for the periodic signal part, and Matlab code. You can directly apply Matlab code in Problem 2 [M242] in Matlab round #2 (R3/2). In Matlab, when the sampling frequency of the signal is 2 Hz, xpart = x(5:5999); clips a part from.25 s to.3 s. If you want to plot four figures into the same window: clf; subplot(2, 2, ) % subplot(# cols, # rows, which subfigure) plot(w,...) sinulla ei ole sopivaa kirjaa, haku sanoilla suodatus taajuustasossa antaa esim. http: //cnx.org/content/m257/latest/ Rakenna Matlabissa esimerkki, jossa suodatat valitsemaasi testisignaalia tekemälläsi suotimella tällaisissa paloissa sekä aika- että taajuustasossa. Eri vaihtoehtoja: overlap-add ja overlap-save-menetelmät, Matlabin filter-komennon rekisterien käyttäminen (zf, zi), ja taajuustason suodatus (fft(x,n). Kirjoita pieni selvitys esimerkeistäsi ja havainnoistasi. Lisää mukaan Matlab-koodi. 38. ( p, DL 5.2) Lainaa pääassarilta Teemu Jaakkolan rakentama ultraäänitutka ja siihen liittyvä dokumentaatio. Tutka voidaan yhdistää USB:llä tietokoneeseen (testattu Win7), jossa tutkan lukemat arvot visualisoidaan pythonilla kirjoitetuilla ohjelmilla. Älykkäänä komponenttina mikrokontrolleri. Sovi tarkempi tehtävänanto assistentin kanssa. 36. ( 3 p, DL 8.4.2) Return back to Matlab #4 (R8 in spring 2), Problem 3, where the energy of the signal is computed, see also code M34.m. When the energy of a time frame is low, the signal part can be considered as silence. Remove silent parts of the signal in the beginning and end, but not remove them inside a word. In practice, find (by testing) a suitable threshold thr value for the energy, run the signal in a for loop and ignore those frame with E(ind) < thr. If you want to ensure that you are removing only long silent parts (more than.5 seconds), you probably want to have a variable that controls how many consecutive low-energy frames there are. An example of copying every other 64-length frame from vector x to vector y. y = zeros(size(x)); % init a vector y as zeros indy = ; % index value for y for indx = ( : 28 : length(x)-28) y(indy:indy+63) = x(indx:indx+63); % indx: -64, 29-92,... indy = indy+64; end; y = y(:indy); % cut all extra zeros away Energian laskemista voi hyödyntää myös harjoitustyön DTMF-osuudessa. Tässä pistetehtävässä ehdon kopioinnille asettaa energiakynnyksen ylittäminen. Kynnysarvo on Matlab #4:ssä piirretty skaalatusta muuttujasta ScE eikä varsinaisesta energiasta E. 37. ( 6 p, DL 5.2) Konvoluutiossa (suodatuksessa) ulostulevan signaalin pituus on konvoloitavien sekvenssien summa vähennettynä yhdellä. Yleisesti lausuttu totuus on myös se, että aikatason konvoluutiota (suodatusta) vastaa taajuustasossa spektrien kertolasku. Pohdi tilannetta, jossa halutaan suodattaa signaalia x[n] suotimella h[n] (tapaukset FIR ja IIR) reaaliaikaisesti puskureissa (buffer), siten että x[n]:stä luetaan vaikkapa 24 merkkiä muistipuskuriin ja sieltä saadaan suodatettuna osa y[n]:ää. Taajuustason suodatuksessa Y = H X ja käänteismuunnoksessa tulee ongelmia, koska jonot ovat kaikki yhtä pitkiä (vrt. lineaarisen konvoluution eripituiset sekvenssit). Jos Figure 22: Problem 38: Teemu Jaakkolan rakentama ultraäänitutka 39. ( p, DL 5.2) Tutustu python-kieleen ja testaa Klaus Venesmaan kirjoittamat DSP-kurssin Matlab-tehtävien porttaukset pythonille. Pyydä pääassarilta Venesmaan erikoistyön raportointi. 32. ( p, DL 8.4.2) Kevään mittaan tulevia lisätehtäviä tai Mitran kirjan tehtäviä tai muita tehtäviä (sovi etukäteen pääassistentin kanssa). 32. ( 4 p, DL 6.5.2) Kurssin pakollisen harjoitustyön oivallinen suoritus ja laadukas palautus mennessä. Hyvä pisteytys tässä kohdassa sisältää mm. dokumentin rakenteen, luettavuuden ja ulkoasun (kansilehti, sivunumeroinnit, kuva- ja taulukkonumeroinnit ja tekstit). Ennen palautuksia MUISTA TÄYTTÄÄ ERILLINEN A4-KANSILEHTI, jonka saat samalta WWW-sivulta kuin nämä tehtävät.