805305A JOHDATUS REGRESSIO- JA VARIANSSIANALYYSIIN, sl 2017
|
|
- Toivo Karjalainen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Oulun yliopiston matemaattisten tieteiden tutkimusyksikkö/tilastotiede A JOHDATUS REGRESSIO- JA VARIANSSIANALYYSIIN, sl 2017 (Esa Läärä & Jari Päkkilä) Harjoitus 5, viikko 40 ( ): mikroluokkatehtävät 1. Jatkoa harjoituksen 6 kotitehtävään 3. Analysoidaan Yhdysvaltain osavaltioiden muodostamassa aineistossa leveyspiirin ja ihosyöpäkuolleisuuden välistä yhteyttä R:n avulla. Aineisto on kurssihakemistossa tiedostossa skincancer.txt, ja sen muuttujat ovat State = osavaltion nimi ST = osavaltion kaksikirjaiminen lyhenne Lat = leveyspiiri (latitude, o N) Mort = kuolleisuustiheys (mortality, per 10 6 henkilövuotta) Ocean = sijainti valtameren rannalla: 1 = kyllä, 0 = ei Long = pituuspiiri (longitude, o W) (a) Lue aineisto R:n datakehikoksi ja tutki sen rakennetta. > skinca <- read.table("y:/yleiset/mikroluokat/matematiikka/jrva2017/skincancer.txt", + header=t) > str(skinca) > head(skinca) (b) Muunna kuolleisuuden mittayksiköksi per henkilövuotta. Kiinnitä datakehikko niin, että voit jatkossa kutsua muuttujia pelkillä etunimillään. > skinca$mort <- skinca$mort/10 > attach(skinca) > summary(skinca) (c) Laske ja tulosta ja talleta omiin skalaarimuuttujiinsa leveyspiirin ja kuolleisuuden reunajakaumien keskeiset tunnusluvut sekä niiden välinen korrelaatiokerroin. Huom. Kun sijoituskomennon ympärille pannaan sulkumerkit, niin sijoituksen lisäksi ohjelma tulostaa sijoituksen sisältämän laskutoimituksen tuloksen. > ( mean.x <- mean(lat) ) > ( sd.x <- sd(lat) ) > ( mean.y <- mean(mort) ) > ( sd.y <- sd(mort) ) > ( r.xy <- cor(lat, Mort) ) Kuinka vahva on muuttujien välinen korrelaatio? (d) Piirrä leveyspiirin ja kuolleisuuden välille samanlainen sirontakuvio kuin kotitehtäväpaperissakin, jossa havaintopisteet merkitään osavaltioiden lyhenteillä umpipallolla, ja kuva-alue ruudutetaan harmailla vaaka- ja pystyviivoilla. Funktion plot() kutsussa asetus type="n" (= none ) saa aikaan sen, että kuvaan ei ensin piirretä havaintopisteitä lainkaan. Sen jälkeen lyhenteet ST kirjoitetaan funktiolla text() muuttujien Lat ja Mort määräämien koordinaattipisteiden kohdalle > par(mfrow=c(1,1)) > plot(lat, Mort, type = "n", + xlab = "Leveysaste", ylab = "Kuolleisuus (per v)" ) > abline( h = 8 + 1:15, col = "gray") > abline( v = 26+(1:22), col = "gray") > text(lat, Mort, ST) (e) Laske ja tulosta regressiokertoimen β 1 ja β 0 estimaattien arvot käyttäen hyväksi aiemmin laskemiasi keskiarvoja, keskihajontoja ja korrelaatiokerrointa ja soveltaen luentomonisteen alaluvun 6.2 ao. kaavoja. Vertaa kotitehtävän ratkaisussasi antamiisi estimaatteihin
2 > b1hat <- r.xy * sd.y/sd.x > b0hat <- mean.y - b1hat * mean.x > c( b0hat, b1hat ) 2. Regressiomallin sovittaminen funktiolla lm(). (a) Sovita regressiomalli vasteena Mort ja selittäjänä Lat käyttäen funktiota lm() (= linear model) ja sijoita sovitustulokset malliobjektiin m1: > m1 <- lm( Mort ~ Lat ) Tästä eteenpäin malliobjektiin m1 talletetuista sovitustuloksista voidaan tulostaa monia kiinnostavia tunnuslukuja kutsuen vastaavia funktioita pääargumentilla m1. (b) Tulosta mallisovituksen päätulokset funktiolla summary() ja Anova-taulun rivit funktiolla anova() ja tutki, mitä informaatiota nämä antavat. > summary(m1) > anova(m1) Saitko samat estimaatit regressiokertoimille kuin edellisessä kohdassa? (c) Kertoimien piste-estimaatit ja luottamusvälit saadaan tulostetuksi samanaikaisesti yhdistämällä funktioiden coef() ja confint() tuottamat sarakevektorit: > round( cbind( coef(m1), confint(m1) ), 4) (d) Tarkista, että edellä komennon summary(m1) tulostuksessa suureen Residual standard error eli funktion summary() tuottaman objektin aliobjektin sigma arvo on sama kuin Anovataulun jäännöskeskineliösumman MSE neliöjuuri eli jäännöskeskihajonta S. > (S <- summary(m1)$sigma ) > S^2 3. Jatkoa edelliseen tehtävään. Tutkitaan vielä mallituksesta saatavia sovitteita ja jäännöstermejä. (a) Sijoita vasteen sovitteet Ŷi vektoriin Yhat funktiolla fitted() ja jäännöstermit E i vektoriin Res funktiolla resid(). Listaa tämän jälkeen rinnakkain havainnot, sovitteet ja jäännöstermit: > Yhat <- fitted(m1) > Res <- resid(m1) > data.frame(state, ST, Lat, Mort, Yhat, Res) (b) Sijoita sirontakuvioon kullekin havaintoyksikölle sovitetut arvot, piirrä sovitettu suora ja havainnollista jäännöstermejä yhdistämällä havaitut ja sovitetut arvot pisteviivoin. Merkitse myös muuttujien Lat ja Mort keskiarvojen määräämä piste koordinaatistoon punaisella, tavanomaista suurikokoisemmalla pallolla. > points( Yhat ~ Lat) # lisätään kuvaan sovitteet > abline(m1) # mallin m1 mukainen sovitetesuora > segments( Lat, Mort, Lat, Yhat, lty=3 ) # pystysuorat janat > points( mean.x, mean.y, pch=16, cex=2, col="red") # keskiarvot Millä kolmella osavaltiolla residuaalien itseisarvot näyttäisivät olevan muita suuremmat? (c) Muodosta potentiaalisten X-muuttujan arvojen hila vaihteluvälille [28, 48] yhden välein: > Xnew <- data.frame( Lat = seq(28, 48, by=1) )
3 (d) Käyttäen funktiota predict() luo 3-sarakkeinen matriisi Yfit, jossa on edellä muodostetuille X-arvoille X k {28,29,...,47,48}, lasketut vasteen sovitteet Ŷk = β 0 + β 1 X k eli piste-estimaatit vasteen odotusarvoille µ k = β 0 +β 1 X k ja näiden 95% luottamusvälien ala- ja ylärajat, ja tulosta tämä matriisi yhdessä X-arvojen kanssa: > Yfit <- predict(m1, newdata= Xnew, interval="confidence", level=0.95) > round(cbind(xnew, Yfit), 2) (e) Vasteen odotusarvojen luottamusvälien ala- ja ylärajat ovat siis Yfit-matriisin 2. ja 3. sarakkeella. Piirrä sirontakuvioon näiden luottamusvälien vyöhyke katkoviivoin: > lines( Xnew[, 1], Yfit[, 2], lty=2) > lines( Xnew[, 1], Yfit[, 3], lty=2) Mitä havaintoja teet? (f) Luo samantyyppinen matriisi Ypred edelleen funktiolla predict() mutta nyt käyttäen optiota interval="predict", joka laskee kullekin uudelle X-arvolle X k vasteen ennusteen Ỹk (joka on siis sama kuin sovite Ŷk) sekä 95% ennustevälin. Listaa tämän matriisin sisältö yhdessä Xnewarvojen sekä Yfit-matriisin kanssa kuten edellä. Piirrä ennustevälien vyöhyke sirontakuvioon kuten sovitteelle edellä mutta käyttäen pisteviivaa (lty=3). Mitä havaintoja teet? 4. Jäännöstermien eli residuaalien tarkastelua (a) Piirrä rinnakkain kolme sirontakuviota, jossa kussakin havaintopisteiden y-koordinaattina on vasteen raakaresiduaali E i = Y i Ŷi ja x-koordinaattina on ensin leveyspiiri Lat ja jälkimmäisissä vasteen sovite Ŷi. Kolmas kuvio piirretään geneerisen plot()-funktion lm-malliobjektille spesifin metodin avulla > par(mfrow=c(1,3)) > plot( Lat, Res, type="n") > abline(h = 0, col="gray") > text( Lat, Res, ST) > plot( Yhat, Res, type="n") > abline(h = 0, col="gray") > text( Yhat, Res, ST) > plot(m1, which=1) Vertaa kuvia keskenään. Mitä havaintoja teet yhtäältä mallin lineaarisuus- ja toisaalta vakiovarianssioletuksen realistisuudesta? Mitkä osavaltiot on oikeanpuoleisessa kuvassa erikseen merkitty järjestysnumeroillaan? (b) Kunkin havaintoyksikön potentiaali h i = [1/n+(X i X) 2 /SSX] saadaan malliobjektista funktiolla hatvalues(). Sijoita potentiaalit muuttujaan hi. Laske standardoitujen residuaalien arvot määritelmän mukaan r i = E i /(S 1 h i ). Piirrä sirontakuvio, jossa standardoidut residuaalit ovat potentiaaleja vastaan. Piirrä toinen kuvio hyödyntäen ao. plot-metodia. > par(mfrow=c(1,2)) > hi <- hatvalues(m1) > ri <- Res/(S*sqrt(1 - hi)) > plot( hi, ri, type="n", xlim=c(0,0.15) ) > abline(h = c(-2, 0, 2), col="gray") > text( hi, ri, ST) > plot(m1, which=5) Tarkastele kuviota ja vertaa niitä keskenään. Mitä havaintoja teet? Onko aineistossa selkeitä oudokkeja? Huom. Standardoidut residuaalit saadaan myös funktiokutsulla rstandard(m1). (c) Piirretään vielä plot-metodin avulla skaala-sijaintikuvio, jossa y-akselilla ovat luvut r i ja x-akselilla vasteen sovitteet Ŷi, sekä standardoitujen residuaalien QQ-kuvio.
4 > par(mfrow=c(1,2)) > plot(m1, 2:3) Mitä havaintoja teet? Antavatko nämä kuviot näyttöä virhetermien normaalisuus- ja homoskedastisuusoletusta vastaan? 5. Joukolta vapaaehtoisia miehiä (n = 20) ja naisia (n = 20) mitattiin heidän älykkyysosamääränsä (IQ), aivojen koko (MRI) magneettikuvauslaitteen avulla pikseleinä ( , 18 MRI-kuvasta) sekä mm. pituus (cm). Halutaan selvittää kummallakin sukupuolella erikseen, missä määrin älykkyysosamäärä on yhteydessä aivojen kokoon. Havaintoaineisto on talletettu kurssin kotikansioon tiedostonimellä brain.txt. (a) Lue aineisto R:n muistiin ja tutki aineiston rakennetta funktiolla str(). > brain <- read.table("y:/yleiset/mikroluokat/matematiikka/jrva2017/brain.txt", + header=t) > str(brain) (b) Sukupuolimuuttuja suku on koodattu: 0 = mies ja 1 = nainen. Muodosta tästä luokitteluasteikollinen tekijä sukup. Laske sen jälkeen sukupuolittain perustunnuslukuja muuttujista IQ, MRI ja pituus. > brain$sukup <- factor(brain$suku, levels=c(0,1), labels = c("mies", "nainen") ) > attach(brain) > source("y:/yleiset/mikroluokat/matematiikka/jrva2017/esanfunktiot.r") > tunnus.taulu(iq, sukup, 1) > tunnus.taulu(mri, sukup, 2) > tunnus.taulu(pituus, sukup, 1) Miehillä ja naisilla näyttäisi olevan eroa MRI-muuttujan jakauman sijainnissa, kun taas ero IQmuuttujan keskiarvojen välillä on melko vaatimaton. (c) Poimitaan brain-aineistosta erilliset datakehikot miehille ja naisille funktiolla subset(). Sen avulla valitaan 1. argumenttina annettavasta alkuperäisestä datakehikosta osajoukko, jonka alkiot täyttävät 2. argumentin sisältämän loogisen ehdon. > brain.m <- subset(brain, sukup == "mies") ; brain.m > brain.n <- subset(brain, sukup == "nainen") ; brain.n (d) Piirretään miehille ja naisille vierekkäiset sirontakuviot > par(mfrow=c(1,2)) > with(brain.m, plot(iq ~ MRI, pch = 16, main = "Miehet") ) > with(brain.n, plot(iq ~ MRI, pch = 16, main = "Naiset") ) (e) Kuinka suuri on korrelaatiokerroin IQ:n ja MRI:n välillä erikseen miehillä ja naisilla? > with( brain.m, cor(mri, IQ) ) > with( brain.n, cor(mri, IQ) ) Millä edellytyksillä korrelaatiokerroin on mielekäs riippuvuusluku? Mitä arvelet, kuinka hyvin nämä edellytykset on täytetty tässä aineistossa? 6. Regressio aivojen koon ja älykkyysosamäärän välillä (a) Sovitetaan pelkästään naisten aineistoon lineaarinen regressiomalli Y i = β 0 + β 1 X i + ε i, jossa vastemuuttuja Y = IQ ja selittäjä X = MRI.
5 > malli.n <- lm( IQ ~ MRI, data = brain.n) > summary(malli.n) > round( cbind( coef(malli.n), confint(malli.n) ), 2) Miten tulkitset estimoituja regressiokertoimia ja mitä päättelet aivojen koon ja älykkyysosamäärän välisestä riippuvuudesta tämän aineiston pohjalta? (b) Piirretään uudelleen naisten sirontakuvio ja lisätään siihen edellä sovitettu regressiosuora funktiolla abline(). > par(mfrow=c(1,1)) > with(brain.n, plot( IQ ~ MRI, pch = 16) ) > abline(malli.n) (c) Laske ja piirrä älykkysosamäärälle mallin mukaisten ehdollisten odotusarvojen 95% luottamusvälien muodostama vyöhyke MRI:n arvojen vaihteluvälillä [7.5, 10.5], jossa by = Ota mallia tehtävän 3. kohdista (c) (e). (d) Laske ja piirrä älykkyysosamäärän 95% ennusteväli MRI:n arvojen vaihteluvälillä [7.5, 10.5]. Ota mallia tehtävän 3. kohdasta (f). 7. Jatkoa kahteen edelliseen tehtävään. Jos aikaa jää, niin tee samat analyysitehtävät mutta tällä kertaa rajoittuen miesten osajoukkoon. Vertaa tuloksia naisten ja miesten välillä. Mitä havaintoja ja päätelmiä teet? Jatkossa tulee pohdittavaksi mm. se, olisiko miesten ja naisten regressiosuorien todellisilla kulmakertoimilla täsmälleen sama arvo.
(d) Laske selittäjään paino liittyvälle regressiokertoimelle 95 %:n luottamusväli ja tulkitse tulos lyhyesti.
2. VÄLIKOE vuodelta -14 1. Liitteessä 1 on esitetty R-ohjelmalla saatuja tuloksia aineistosta, johon on talletettu kahdenkymmenen satunnaisesti valitun miehen paino (kg), vyötärön ympärysmitta (cm) ja
Lisätiedot(b) Vedonlyöntikertoimet syytetyn ihonvärin eri luokissa
Oulun yliopiston matemaattisten tieteiden tutkimusyksikkö/tilastotiede 805306A JOHDATUS MONIMUUTTUJAMENETELMIIN, sl 2017 (Jari Päkkilä) Harjoitus 3, viikko 47 (19.20.11.): kotitehtävät Ratkaisuja 1. Floridan
LisätiedotTässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. eli matriisissa on 200 riviä (havainnot) ja 7 saraketta (mittaus-arvot)
R-ohjelman käyttö data-analyysissä Panu Somervuo 2014 Tässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. 0) käynnistetään R-ohjelma Huom.1 allaolevissa ohjeissa '>' merkki on R:n
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
Lisätiedot54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös):
Tilastollinen tietojenkäsittely / SPSS Harjoitus 5 Tarkastellaan ensin aineistoa KUNNAT. Kyseessähän on siis kokonaistutkimusaineisto, joten tilastollisia testejä ja niiden merkitsevyystarkasteluja ei
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Logistinen regressioanalyysi Vastemuuttuja Y on luokiteltu muuttuja Pyritään mallittamaan havaintoyksikön todennäköisyyttä kuulua
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n
LisätiedotIlmoittaudu Weboodissa klo (sali L4) pidettävään 1. välikokeeseen!
8069 TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Harjoitus 7, viikko 9, kevät 2013 (Muut kuin taloustieteiden tiedekunnan opiskelijat) MUISTA MIKROLUOKKAHARJOITUKSET VIIKOLLA 9! Ilmoittaudu Weboodissa 4.3.2013 klo
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet
Lisätiedot(b) Laske ja tulosta muuttujien keskinäiset korrelaatiot ja piirrä sirontakuviomatriisi.
Oulun yliopiston matemaattisten tieteiden tutkimusyksikkö/tilastotiede 805351A LINEAARINEN REGRESSIO, kl 2019 (EL) Harjoitus 7, pe 1.3. klo 10-12 MA336: mikroluokkatehtävät Analysoidaan aineistoa, prostate.txt,
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1
Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen
LisätiedotHarjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
LisätiedotSuhtautuminen Sukupuoli uudistukseen Mies Nainen Yhteensä Kannattaa Ei kannata Yhteensä
806109 TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Harjoitus 7, viikko 9, kevät 2011 (Muut kuin taloustieteiden tiedekunnan opiskelijat) MUISTA MIKROLUOKKAHARJOITUKSET VIIKOILLA 8 JA 9! 1. Eräässä suuressa yrityksessä
LisätiedotOpiskelija viipymisaika pistemäärä
806109 TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Harjoitus 7, viikko 9, kevät 2012 (Muut kuin taloustieteiden tiedekunnan opiskelijat) MUISTA MIKROLUOKKAHARJOITUKSET VIIKOILLA 8 JA 9! 1. Jatkoa harjoituksen 5 tehtävään
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen
LisätiedotHarjoitus 3: Regressiomallit (Matlab)
Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab) SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio 1 Harjoituksen aiheita Pienimmän neliösumman menetelmä
LisätiedotAalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 2016 Laskuharjoitus 5, Kotitehtävien palautus laskuharjoitusten
Lisätiedot1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet
VAASAN YLIOPISTO/AVOIN YLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia 1 KURSSIKYSELYAINEISTO: 1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
LisätiedotTilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi. Esimerkit laskettu JMP:llä
Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi Esimerkit laskettu JMP:llä Antti Hyttinen Tampereen teknillinen yliopisto 29.12.2003 ii Ohjelmien
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.
LisätiedotNäistä standardoiduista arvoista laskettu keskiarvo on nolla ja varianssi 1, näin on standardoidulle muuttujalle aina.
[MTTTP1] TILASTOTIETEEN JOHDANTOKURSSI, kevät 2019 https://coursepages.uta.fi/mtttp1/kevat-2019/ HARJOITUS 3 Joitain ratkaisuja 1. x =(8+9+6+7+10)/5 = 8, s 2 = ((8 8) 2 + (9 8) 2 +(6 8) 2 + (7 8) 2 ) +
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotNäistä standardoiduista arvoista laskettu keskiarvo on nolla ja varianssi 1, näin on standardoidulle muuttujalle aina.
[MTTTP1] TILASTOTIETEEN JOHDANTOKURSSI, Syksy 2017 http://www.uta.fi/sis/mtt/mtttp1/syksy_2017.html HARJOITUS 3 viikko 40 Joitain ratkaisuja 1. Suoritetaan standardointi. Standardoidut arvot ovat z 1 =
LisätiedotKorrelaatiokerroin. Hanna Heikkinen. Matemaattisten tieteiden laitos. 23. toukokuuta 2012
Korrelaatiokerroin Hanna Heikkinen 23. toukokuuta 2012 Matemaattisten tieteiden laitos Esimerkki 1: opiskelijoiden ja heidän äitiensä pituuksien sirontakuvio, n = 61 tyttären pituus (cm) 155 160 165 170
LisätiedotHarjoitus 3: Regressiomallit (Matlab)
Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Pienimmän neliösumman menetelmä mallin sovittamisessa
Lisätiedot1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet
VAASAN YLIOPISTO/KESÄYLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia A KURSSIKYSELYAINEISTO: 1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka
Lisätiedot5 Osa 5: Ohjelmointikielen perusteita
5 Osa 5: Ohjelmointikielen perusteita 5.1 Omat funktiot R on lausekekieli: Kaikki komennot kuten funktiokutsut ja sijoitusoperaatiot ovat lausekkeita. Lausekkeet palauttavat jonkin arvon. Lausekkeita voidaan
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet Deterministiset mallit ja regressioanalyysi
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla
LisätiedotKoska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.
24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ
LisätiedotKandidaatintutkielman aineistonhankinta ja analyysi
Kandidaatintutkielman aineistonhankinta ja analyysi Anna-Kaisa Ylitalo M 315, anna-kaisa.ylitalo@jyu.fi Musiikin, taiteen ja kulttuurin tutkimuksen laitos Jyväskylän yliopisto 2018 2 Havaintomatriisi Havaintomatriisi
LisätiedotYleistetyistä lineaarisista malleista
Yleistetyistä lineaarisista malleista Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Klassinen lineaarinen malli y = Xb + e eli E(Y) = m, jossa m = Xb Satunnaiskomponentti: Y:n komponentit
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotYleinen lineaarinen malli eli usean selittäjän lineaarinen regressiomalli
MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 1. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävät: 2 Aiheet: Aluksi Yleinen lineaarinen malli eli usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Tällä kurssilla käytetään
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotVastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,
LisätiedotHarha mallin arvioinnissa
Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 1/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Harha mallin arvioinnissa Antti Toppila 13.10.2010 Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 2/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Sisältö
Lisätiedotb6) samaan perusjoukkoon kohdistuu samanaikaisesti useampia tutkimuksia.
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I 1. välikoe 11.3.2011 (Jari Päkkilä) VALITSE VIIDESTÄ TEHTÄVÄSTÄ NELJÄ JA VASTAA VAIN NIIHIN! 1. Valitse kohdissa A-F oikea (vain yksi) vaihtoehto. Oikeasta vastauksesta
Lisätiedot(b) Testaa valmistajan väitettä komponenttien keskimääräisestä 40 viikon elinajasta normaalijakaumamallin puitteissa (yhden otoksen t-testi).
Oulun yliopiston matemaattisten tieteiden tutkimusyksikkö/tilastotiede 805305A JOHDATUS REGRESSIO- JA VARIANSSIANALYYSIIN, sl 2018 (Jari Päkkilä) Harjoitus 3, viikko 37 (20. 21.9.): kotitehtävät 1. Erään
LisätiedotPylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 2003 LKM 14.8% 11.2% 19.7% 4.9% 3.6% 45.
Pylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 8.8% 8.9%.%.% 9.7%.7% Etelä Länsi Itä Oulu Lappi Ahvenanmaa Länsi Etelä Itä Oulu Lappi Ahvenanmaa Läänien
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas JAKAUMAN MUOTO Vinous, skew (g 1, γ 1 ) Kertoo jakauman symmetrisyydestä Vertailuarvona on nolla, joka vastaa symmetristä jakaumaa (mm. normaalijakauma)
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
LisätiedotKorrelaatiokertoinen määrittely 165
kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x
Lisätiedot2. Tietokoneharjoitukset
2. Tietokoneharjoitukset Demotehtävät 2.1 Jatkoa kotitehtävälle. a) Piirrä aineistosta pistediagrammi (KULUTUS, SAIRAST) ja siihen estimoitu regressiosuora. KULUTUS on selitettävä muuttuja. b) Määrää estimoidusta
Lisätiedot1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Päättely yhden selittäjän lineaarisesta regressiomallista Ennustaminen, Ennuste, Ennusteen luottamusväli, Estimaatti, Estimaattori,
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Lisätiedot805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016) Tavoitteet (teoria): Hallita autokovarianssifunktion ominaisuuksien tarkastelu. Osata laskea autokovarianssifunktion spektriiheysfunktio. Tavoitteet
LisätiedotTarkista vielä ennen analysoinnin aloittamista seuraavat seikat:
Yleistä Tilastoapu on Excelin sisällä toimiva apuohjelma, jonka avulla voit analysoida tilastoaineistoja. Tilastoapu toimii Excelin Windows-versioissa Excel 2007, Excel 2010 ja Excel 2013. Kun avaat Tilastoavun,
LisätiedotKeskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit kevät Keskipisteen lisääminen k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Esim (Montg. ex. 9-, 6-): Tutkitaan kemiallisen prosessin saannon Y riippuvuutta faktoreista
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?
MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotMTTTP1, luento KERTAUSTA
19.3.2019/1 MTTTP1, luento 19.3.2019 KERTAUSTA Varianssi, kaava (2) http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2018/kaavat.pdf n i i n i i x x n x n x x n s 1 2 2 1 2 2 1 1 ) ( 1 1 Mittaa muuttujan arvojen
Lisätiedot805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 3 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 3 (2016) Tavoitteet (teoria): Hallita multinormaalijakauman määritelmä. Ymmärtää likelihood-funktion ja todennäköisyystiheysfunktion ero. Oppia kirjoittamaan
Lisätiedot6. Tietokoneharjoitukset
6. Tietokoneharjoitukset 6.1 Tiedostossa Const.txt on eräällä Yhdysvaltalaisella asuinalueella aloitettujen rakennusurakoiden määrä kuukausittain, aikavälillä 1966-1974. Urakoiden määrä on skaalattu asuinalueen
Lisätiedot1. R:n käynnistäminen, työhakemiston käyttöönotto ja skriptin kirjoittaminen.
Oulun yliopiston matemaattisten tieteiden tutkimusyksikkö/tilastotiede 805305A JOHDATUS REGRESSIO- JA VARIANSSIANALYYSIIN, sl 2018 (Jari Päkkilä) Harjoitus 1, viikko 36 (6. 7.9.): mikroluokkatehtävät Tässä
LisätiedotHarjoittele tulkintoja
Harjoittele tulkintoja Syksy 9: KT (55 op) Kvantitatiivisen aineiston keruu ja analyysi SPSS tulosteiden tulkintaa/til Analyysit perustuvat aineistoon: Haavio-Mannila, Elina & Kontula, Osmo (1993): Suomalainen
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotTeema 5: Ristiintaulukointi
Teema 5: Ristiintaulukointi Kahden (tai useamman) muuttujan ristiintaulukointi: aineiston analysoinnin ja tulosten esittämisen perusmenetelmä usein samat tiedot esitetään sekä taulukkona että kuvana mahdollisen
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos K:n lähimmän naapurin menetelmä (K-Nearest neighbours) Tarkastellaan aluksi pientä (n = 9) kurjenmiekka-aineistoa, joka on seuraava:
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 8B Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 8B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatkoa Harjoitus 8A tehtävään 3. Muodosta odotusarvolle µ approksimatiivinen
LisätiedotEsimerkki 1: auringonkukan kasvun kuvailu
GeoGebran LASKENTATAULUKKO Esimerkki 1: auringonkukan kasvun kuvailu Auringonkukka (Helianthus annuus) on yksivuotinen kasvi, jonka varren pituus voi aurinkoisina kesinä hyvissä kasvuolosuhteissa Suomessakin
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yleinen lineaarinen malli Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Yleisen lineaarisen mallin matriisisesitys Yleisen
Lisätiedot2. Teoriaharjoitukset
2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Lineaarinen regressiomalli ja suurimman uskottavuuden menetelmä Minimin löytäminen
Lisätiedot1. Tietokoneharjoitukset
1. Tietokoneharjoitukset Aluksi Tällä kurssilla käytetään R-ohjelmistoa, jonka käyttämisestä lienee muutama sana paikallaan. R-ohjelmisto on laajasti käytetty vapaassa levityksessä oleva ammattimaiseen
LisätiedotLohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Lohkoasetelmat Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 1/3 Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla voidaan tutkia kahden tekijän A ja B vaikutusta sekä niiden yhdysvaikutusta tutkimuksen kohteeseen Kaksisuuntaisessa
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Odotusarvojen erotuksen testi, hajonnat σ 1 σ 2 tuntemattomia Oletetaan jälleen, että X ja Y ovat normaalijakautuneita.
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een
031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11
LisätiedotYleinen lineaarinen malli
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 1: 1 Määritelmä ja standardioletukset 2
Lisätiedot4. Tietokoneharjoitukset
4. Tietokoneharjoitukset Demotehtävät 4.1 Tarkastellaan seuraavia aikasarjoja. Tiedosto (.txt) Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus INTEL Intel_Close Intelin osakekurssi Pörssipäivä n = 20 Intel_Volume
LisätiedotHarjoitukset 4 : Paneelidata (Palautus )
31C99904, Capstone: Ekonometria ja data-analyysi TA : markku.siikanen(a)aalto.fi & tuuli.vanhapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 4 : Paneelidata (Palautus 7.3.2017) Tämän harjoituskerran tarkoitus on perehtyä
Lisätiedot1. Lineaarialgebraa A := Matriisin osia voidaan muutella päivittämällä riviä, saraketta tai osamatriisia (Matlabmaisesti): B :=
27. elokuuta 202 2 27. elokuuta 202 www.math.hut/~apiola/maple/la.pdf. Lineaarialgebraa Maplen matriisi- ja vektorioperaatiot ovat kirjastopakkauksissa LinearAlgebra ja linalg. Keskitymme pääasiassa edelliseen,
LisätiedotKURSSIKYSELYAINEISTO: HUOM! Aineiston tilastoyksikkömäärä 11 on kovin pieni oikean tilastotieteen tekemiseen, mutta Harjoitteluun se kelpaa kyllä!
VAASAN YLIOPISTO/KESÄYLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia A KURSSIKYSELYAINEISTO: HUOM! Aineiston tilastoyksikkömäärä 11 on kovin pieni oikean tilastotieteen tekemiseen, mutta Harjoitteluun
Lisätiedotpisteet Frekvenssi frekvenssi Yhteensä
806118P JOHDATUS TILASTOTIETEESEEN Loppukoe 15.3.2018 (Jari Päkkilä) 1. Kevään -17 Johdaus tilastotieteeseen -kurssin opiskelijoiden harjoitusaktiivisuudesta saatujen pisteiden frekvenssijakauma: Harjoitus-
LisätiedotHannu mies LTK 180 Johanna nainen HuTK 168 Laura nainen LuTK 173 Jere mies NA 173 Riitta nainen LTK 164
86118P JOHDATUS TILASTOTIETEESEEN Harjoituksen 3 ratkaisut, viikko 5, kevät 19 1. a) Havaintomatriisissa on viisi riviä (eli tilastoyksikköä) ja neljä saraketta (eli muuttujaa). Hannu mies LTK 18 Johanna
Lisätiedot4. Tietokoneharjoitukset
4. Tietokoneharjoitukset Demotehtävät 4.1 Tarkastellaan seuraavia aikasarjoja. Tiedosto (.txt) Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus INTEL Intel_Close Intelin osakekurssi Pörssipäivä n = 20 Intel_Volume
LisätiedotSukupuoli Mies Nainen Yht. Suhtautuminen kannattaa 10 45 55 uudistukseen ei kannata 20 90 110 Yht. 30 135 165
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Harjoitus 6, viikko 42, syksy 2012 HUOM. 1. välikoe on pe 19.10. klo 13-17 salissa L1. Välikokeeseen on ilmoittauduttava weboodissa 15.10. klo 12
LisätiedotPeilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla
Peilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla ALKUHARJOITUS Kynän ja paperin avulla peilaaminen koordinaatistossa a) Peilaa pisteen (0,0) suhteen koordinaatistossa sijaitseva - neliö, jonka
Lisätiedot7 Osa 7: Pidempiä esimerkkejä R:n käytöstä
7 Osa 7: Pidempiä esimerkkejä R:n käytöstä R:n pääasiallinen käyttö monelle on tilastollisten menetelmien suorittaminen. Käydään nyt läpi joitain esimerkkitilanteita, alkaen aineiston luvusta ja päättyen
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Johdatus monimuuttujamenetelmiin Luennot 30.10.13.12.-18 Tiistaina klo 12-14 (30.10., BF119-1) Keskiviikkoisin klo 10-12 (MA101,
Lisätiedotxi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =
1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi
LisätiedotFoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 9. luento. Pertti Palo
FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 9. luento Pertti Palo 22.11.2012 Käytännön asioita Eihän kukaan paikallaolijoista tee 3 op kurssia? 2. seminaarin ilmoittautuminen. 2. harjoitustyön
LisätiedotHarjoitusten 4 vastaukset
Harjoitusten 4 vastaukset 4.1. Prosessi on = 1 +, jossa»iid( 2 )ja =1 2. PNS estimaattori :lle on (" P P 2 ") = +( X X 2 ) 1 1. =1 Suluissa oleva termi on deterministinen ja suppenee vihjeen mukaan 2 6:teen.
LisätiedotTA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET 16..015 1. a Poliisivoimien suuruuden lisäksi piirikuntien rikostilastoihin vaikuttaa monet muutkin tekijät. Esimerkiksi asukkaiden keskimääräinen
LisätiedotValitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab.
Luku 1 Ohjeita ohjelmiston Scilab käyttöön 1.1 Ohjelmiston lataaminen Ohjeet ohjelmiston lataamiseen Windows-koneelle. Mene verkko-osoitteeseen www.scilab.org. Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download
Lisätiedot1. USEAN SELITTÄJÄN LINEAARINEN REGRESSIOMALLI JA OSITTAISKORRELAATIO
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Estimaatti, Estimaattori, Estimointi, Jäännösneliösumma, Jäännöstermi, Jäännösvarianssi,
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas Itse arvioidun terveydentilan ja sukupuolen välinen riippuvuustarkastelu. Jyväskyläläiset 75-vuotiaat miehet ja naiset vuonna 1989.
LisätiedotKaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu.
Ka6710000 TILASTOLLISEN ANALYYSIN PERUSTEET 2. VÄLIKOE 9.5.2007 / Anssi Tarkiainen Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Tehtävä 1. a) Gallupissa
LisätiedotMTTTP1, luento KERTAUSTA
25.9.2018/1 MTTTP1, luento 25.9.2018 KERTAUSTA Varianssi, kaava (2) http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2018/kaavat.pdf n i i n i i x x n x n x x n s 1 2 2 1 2 2 1 1 ) ( 1 1 Mittaa muuttujan arvojen
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
Lisätiedot